（理论物理专业论文）自旋费米化的研究.pdf

摘要 摘要 在这篇文章中，我们首先介绍了一维自旋5 2 j o r d a n w i g n e r 变换，接着介绍了 一维自旋1 2j o r d a n w i g n e r 变换在一自旋链模型中的应用和一维自旋 3 2 j o r d a n w i g n e r 变换。然后由一维推向二维，介绍了二维自旋1 2j o r d a n w i g n e r 变换。最后讨论了二维自旋1 2 j o r d a n w i g n e r 在两种自旋模型中的应用。 第一章：首先介绍了用费米予表述的自旋5 2 j o r d a n - w i g n e r 变换，该变换将 自旋模型转变为无自旋费米子模型，接着，基于无自旋费米子表象，我们讨论了 自旋算符所遵循的统计关系。然后介绍了一维自旋5 2j o r d a n w i g n e r 变换在一维 各向异性删模型中的应用。 第二章：在自旋为3 2 的自旋算符和双费米子之间构建出了一种新的 j o r d a n w i g n e r 变换。基于双费米子表象，我们讨论了自旋值为3 2 的自旋算符所 遵循的统计关系。 第三章；在一维变换的基础上，分别讨论了m a z z o u z 和y r w a n g 关于自 旋1 2 j o r d a n w i g n e r 变换在二维中的延伸。 第四章：介绍了二维自旋1 2 j o r d a n w i g n e r 变换在两种模型中的应用。首先 详细讨论了各向同性x y 模型中的j o r d a n - w i g n e r 费米子平均场近似处理，然后 单独给出了用费米子描述的考虑了易辛项在内的海森伯模型。 关键词：自旋算符，一维，二维，j o r d a n w i g n e r 变换。 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h et h e s i sw ef i r s t l yi n t r o d u c eo n e d i m e n s i o n a l s p i nv 2j o r d a n w i g n e r t r a n s f o r m a t i o n t h e nt h ea p p l i c a t i o nt h a to n e d i m e n s i o n a ls p i n1 2j o r d a n w i g n e r t r a n s f o r m a t i o ni su s e df o ro n es p i nc h a i nm o d e li sd i s p l a y e da n do n e d i m e n s i o n a l s p i n3 2j o r d a n w i g n e r t r a n s f o r m a t i o ni sd i s c u s s e d f r o mo n e d i m e n s i o n a lt o t w o - d i m e n s i o n a l ，w ed i s c u s st w o d i m e n s i o n a ls p i nl 2j o r d a n w i g n e rt r a n s f o r m a t i o n a tl a s t ，t w om o d e l si nw h i c ht w o d i m e n s i o n a ls p i nl 2j o r d a n - w i g n e rt r a n s f o r m a t i o n h a v eb e e na p p l i e da r ep r e s e n t e d c h a p t e r l ：f i r s t l y ，o n e d i m e n s i o n a ls p i n1 2j o r d a n w i g n e r t r a n s f o r m a t i o nt h a t m a p st h es p i no p e r a t o r si n t of e r m i o n si si n t r o d u c e d ，w h i c hm a p ss p i nm o d e li n t o s p i n s l e s sf e r m i o n sm o d e l n e x t ，w ed i s c u s st h es t a t i s t i c a lr e l a t i o n so fs p i no p e r a t o r sb y m e a n s o ft h i s m a p p i n g t h e n t h e a p p l i c a t i o n t h a to n e - d i m e n s i o n a l s p i n l 2j o r d a n - w i g n e rt r a n s f o r m a t i o ni su s e df o ro n e d i m e n s i o n a la n i s o t r o p i cx y m o d e li sd i s p l a y e d c h a p t e r 2 ：n e wj o r d a n w i g n e r - t y p et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e ns p i n 3 2a n df e r m i o n s o ft w ot y p ei ss h o w n b yu s i n gt h ed o u b l e f e r m i o nr e p r e s e n t a t i o n ，w ed i s c u s st h e s t a t i s t i c a lr e l a t i o n so f t h es = 3 2s p i no p e r a t o r c h a p t e r 3 ：b a s e du p o no n e d i m e n s i o n a lt r a n s f o r m a t i o n ，w ed i s c u s st h ee s t e n s i o n s f o rt w od i m e n s i o n ss u g g e s t e db ym a z z o u za n dy r w a n g c h a p t e r 4 ：t h ea p p l i c a t i o n t h a tt w o d i m e n s i o n a l s p i n1 2j o r d a n - w i g n e r t r a n s f o r m a t i o na l eu s e df o rt w o s p i n c h a i nm o d e l sa r ed i s p l a y e d f i r s t l y ，t h e m e a n - f i e l d l i k et r e a t m e n to ft h ej o r d a n w i g n e rf e r m i o n sf o rt h ei s o t r o p i cx ym o d e l i sd i s c u s s e di nd e t a i l t h e nt h ec o n s i d e r a t i o no fh e i s e n b e r gm o d e lw i t hi s i n gt e r mi n f e r m i o n i cl a n g u a g ei sg i v e ns e p a r a t e l y 些! ! 坚! k e y w o r d s ：s p i n o p e r a t o r ，o n e - d i m e n s i o n a l ，t w o d i m e n s i o n a l ，j o r d a n w i g n e r t r a n s f o r m a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安徽大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：李长岭签字日期：2 0 0 6 年4 月2 5 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解安徽大学有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅本人授权安徽大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 f 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：李长岭导师签名：娄平 签字日期：2 0 0 6 年4 月2 5 日签字日期：2 0 0 6 年4 月2 5 日 学位论文作者毕业去向：无 工作单位：无电话：13 85 6 0 7 6 959 通讯地址：安徽大学物理与材料科学学院0 3 级研究生邮编：23 0 0 3 9 绪论 绪论 变量变换的方法在众多物理问题的求解过程中，得到了广泛的应用。无论 在经典力学还是在量子力学中这些变换都能进行，有时候它们的应用可以简化对 所研究问题的分析。 人们经常通过相互作用的量子自旋来描述在磁体中各种不同种类的磁序状 态( 如铁磁序、反铁磁序以及铁淦氧磁序等) 。然而量子自旋行为很怪异，它既 不同于单纯的玻色子，也不同于单纯的费米子，因此，给人们对其的研究带来了 诸多的不便。为了克服这些困难，人们开始考虑是否可以用其他形式来表述这一 怪异的量子自旋行为，美国物理学家p j o r d a n 和e w i g n e r 在这方面率先得到了 行之有效的变量变换方法即“j o r d a n w i g n e r ”变换。 关于变量变换，在量子多体理论中存在许多不同的变量变换，运用它们可 以将量子自旋体系变换到粒子体系。其中最为人所熟知并且得到广泛应用的有玻 色子变换和费米子变换两类。玻色子变换中有：适用于任意自旋s 的 “h o l s t e i n p r i m a k o f f ”玻色予变换i ”，“s c h w i n g e r ”玻色子表述，以及 “d y s o n m a l e e v ”玻色子表述。费米子变换中有：适合于自旋s = 1 2 磁体的 “j o r d a n - w i g n e r ”费米子变换以及费米子表述i “。玻色子变换是在玻色子的表 象下描述自旋体系，可是自旋体系的相位空间是有限维的，而玻色子体系的相位 空间是无限维的，因此给我们运用这一类变换方法带来了困难，我们必须考虑到 用某些局域约束条件去固定或限制( 例如“h o l s t e i n p r i m a k o f f ”玻色子变换中 对自旋偏离量子数”的限制：，? 2 s ) 所涉及粒子体系中的玻色子的数目。这一 因素大大限n t 玻色子变换方法的应用。 费米子变换则不同于玻色子变换，它在一维情况下处于相同格点的j = l 2 的自旋算符和无自旋费米子算符之间建立了联系，即一维“j o r d a n w i g n e r ”变 换。“j o r d a n w i g n e r ”变换是可逆的并且不需要任何限制，因而被广泛的应用。 这种变换方法是研究量子自旋链的统计力学性质的手段之一( 近年来，一些学者 基于传统的热力学b e t h e 方案积分方程方法也可以用来研究自旋链的统计力学 性质，结果证明两种方法的结果符合的相当好) 。这种变换方法最早是在1 9 2 8 年 被美国物理学家p j o r d a n 和e w i g n e r 所提出，并且在以后的时间多次被提及， 自旋费米化的研究 应用和发展。1 9 6 1 年到1 9 6 3 年，美国物理学家e l i e b ，t s c h u l t z 和d m a t t i s 运用“j o r d a n w i g n e r ”变换先后将自旋算符变换为费米子算符叭电子变换成 为“硬核”( h a r dc o r e ) 玻色子 4 1 、硬核”玻色子变换为费米子【5 l 。从这些变 换中人们发现，虽然“j o r d a n - w i g n e r ”变换的形式比较复杂，但将它应用到若 干模型中后，却带来了若干精确的求解结果。1 9 6 1 年，e l i e b 等人对自旋1 2 肼 链模型求解得到了较精确的解。1 9 6 4 年他们又运用“j o r d a n w i g n e r ”变换对二 维易辛( i s i n g ) 模型的转换矩阵进行变换并得到了二维易辛( i s i n g ) 模型的热 力学量的精确解 6 】。鉴于“j o r d a n w i g n e r 变换在一维体系中的成功应用，近 来人们又做了很多努力来总结二维1 7 - 1 7 】a n = 维，】的费米化过程。首先是1 9 8 9 年，美国物理学家e d u a r d of r a d k i n 对于“s p i n o n e h a lf ”量子体系在二 维格点上建立了“j o r d a n w i g n e r 变换p 】：智利物理学家l u i sh u e r t a 和j o r g e z a n e l l i 于1 9 9 3 年建立了推广到三维( 或更高维) 的“j o r d a n w i g n e r ”变换 1 8 j ， 当然这些变换都是围绕着自旋1 2 体系建立起来的。 由于自然界中自旋有可能非常大( n 卿j 上i g ns ：1 5 2 的自旋都存在) 1 2 0 】， 因此仅满足于对自旋为1 2 的体系所取得的成功是不够的，应转向研究自旋大于 1 2 的自旋体系。于是人们开始尝试在高自旋体系与费米予之间建立联系，构建 一种新的没有玻色子表述之缺点的表述，来推广针对于高自旋的 “j o r d a n - w i g n e r ”变换。2 0 0 1 年，美国物理学家c d b a t i s t a 和g 0 r t i z l 2 , j 对 于生成s u ( 2 ) 群代数的任意自旋s 引入一种全新的自旋一费米表述，虽然这种表 述构建了自旋s = 1 2 的“j o r d a n w i g n e r ”变换的一种自然的推广结果。但在随 后的2 0 0 3 年，俄罗斯物理学家s t a n i s l a vvd o b r o v l 2 2 】发现这一结果中包含着严 重的不一致并给以证明，对他们的公式给出了另外的解释，并在自旋s = 3 2 和 双费米子之间明确地构造出了真正的“j o r d a n w i g n e r ”类型的变换，同时对自 旋费米化的一般条件给以公式化。 绪论 针对于自旋为1 2 的自旋体系，本文将主要讨论如何在一维和二维中运用 “j o r d a n w i g n e r ”变换方法将自旋体系变换到无自旋费米子体系中去以及该变 换方法分别在若干自旋模型中的应用，同时简要讨论了自旋为3 2 的 “j o r d a n w i g n e r ”变换。第一章将详细介绍运用“j o r d a n w i g n e r ”变换将一维 自旋1 2 体系变换到无自旋费米予体系中去，另外给出了该变换在一维各向异性 朋7 模型中的应用。第二章简要讨论了自旋为3 2 的一维“j o r d a n w i g n e r ”变换； 在第三节里分别讨论了m a z z o u z 和y r w a n g 关于自旋1 2j o r d a n w i g n e r 变换在 二维中延伸。第四章分别介绍了二维自旋1 2 “j o r d a n w i g n e r ”变换在各向同性 册7 模型和海森伯模型中的应用。 自旋费米化的研究 第一章一维自旋1 , 2j o r d a n w i g n e r 变换 及其应用 第一节一维白旋1 2j o r d a n w i g n c r 变换 我们知道量子自旋的行为很怪异，它既不同于单纯的玻色子，也不同于单 纯的费米子，因此给人们在研究这一课题时带来很多困难。但是，在一维情况 下s ：1 2 的单自旋的行为和费米子很类似。那么能否用费米子来描述量子自旋 呢? 1 9 2 8 年，美国物理学家p j o r d a n 和e w i g n e r 发现，一个单独自旋向上或 自旋向下的状态可以认为是一个被单个电子占据或空的、未被占据的费米子态。 为此我们做如下描述： 1 1 、) - - = c + i o ) ，i o ) = 1 0 ) ( 1 1 t 1 ) c + 代表费米子产生算符，用c 表示费米子消灭算符，它们遵循反对易关系： c + ，c _ 1 ，扛+ ，c + _ t ，c = 0 ( 1 1 t 2 ) 目旋算符的= 个分萤s 、s 、s 。( h = 1 ) 用垲利矩阡衣不力： 圭( 褂止戈丹小三( ， 很显然： b 。，s ，j - i s 2 ，b ，s ：j - i s 。，b 。，s 5 | - 捃， ( 1 1 4 ) 8 = 丢p ，j = 吉缸肛，z ) ( 1 1 5 ) 这里我们引进两个互为厄密共轭的自旋上升算符s + 和自旋下降算符s 一，表示 为： c + = s + = j 。+ 捃7 = ( ： 第一章一维自旋1 2j o r d a n - w i g n e r 变换及其应用 c = s 一= s 。一括7 = ?： c - 6 ， 在这里： i 2 = g 。) 2 + g ，) 2 + g 。) 2 ( 1 m 1 由对易关系式( 1 1 4 ) 可得： 【j2 ，j 8j = 0 ， = 矗y ，z ) ( 1 1 8 ) 依据( 1 1 6 ) 式和( 1 1 8 ) 式，我们得到： p2 ，s + j = b2 ，s j - 0 ( 1 1 9 ) 用算符s + ，s 一，s 2 可以完全地确定矢量算符；，且更便于代数变换。 由式( 1 1 6 ) 可以得到 j 。= 丢g + + j 一) = 吉g + + c ) s ，= 去g + 一s 一) = 土2 i g + 一c ) ( - o ) 代入( 1 1 4 ) 式得到： s ：c + c 一昙 ( 1 1 1 1 ) 这样自旋算符s 的x ，y ，z 的分量形式分别用费米子算符c 和c + 表示出来，现 在我们来看一下它们遵循的统计关系： i t , s - j - b 。+ 捃y ，s 。一j = b 。，s 。j + ，s 。j 一，s ，j - b ，西叫 = 一2 啦。，s ，j = 2 s ：( 1 1 1 2 ) b 。，s + j = k + c 一 ，c + j = c + c c + 一 c + 一c + c + c + c + ( 1 1 1 3 ) 自旋费米化的研究 同理口 推得： b ：，s j - 一s 一 ( 1 1 1 14 ) 同样它们遵循费米对易规则： + ，s 一) = t + ，c = l ，矗+ ，s + = 冬一，s 一 = 0 ( 1 1 1 5 ) 前面我们所讨论的是单自旋态，当所讨论的问题是非单自旋时，就要对这 种表述进行修改。因为相互独立的自旋算符对易，而相互独立的费米子算符却 反对易，解决这一问题办法是给算符乘上一个称为“弦算符”的相位因子。 如图( 1 ) 所示，对于一维情况下的自旋链，定义处在格点胆上的自旋算符 为： s ：= c ；e ( 1 1 1 6 ) j ：= e - i c 。 ( 1 1 1 7 ) 相位算符丸为包含所有的小于格点1 1 的费米子占据态之和： 丸= 万 ， ( 1 1 1 8 ) l n 其中，= c j c ，为无自旋费米子的粒子数算符且： 茸= c ：c ic ：c i = c ：q c ：cj ) cj = c j q = 卉j( 1 1 1 9 ) 图1 一维j o r d a n w i g n e r 变换 f i g1 t o w a r d st h ej o r d a n w i g n e rt r a n s f o r m a t i o ni no n ed i m e n s i o n 这样对于多自旋的完备的j o r d a n w i g n e r 变换被定义为： s ：= c ：e x p ( i z c ) j n 第一章一维自旋i 2j o r d a n - w i g n e r 变换及其应用 s t , = e x p ( 一f 万c j c ) c 。 s ：= c ：c ，一； ( i 1 2 0 ) 处在格点”上的无自旋费米子的产生和湮灭算符c ：与“满足反对易关系 t j = 占 。f = k c i ：0 由( 1 1 2 0 ) 式可以得到 s 2 s 2 = c + e “e 叫。c n = c ：c ， 这样得到j o r d a n - w i g n e r 变换的逆变换式为 另外 c ：= s 2 e x p ( 一，7 r 5 j j j ) c 。= e x p ( i 万s 簿) s 2 我们先证明用来简化算符c ：、o 和弦算符之间计算的下面的等式 e + ：l 一2 h ：l f 厩一去万2 卉2 千去f 万3 3 + 土丌t 二t l i 丌 h5 一 2 1 31 4151 叫“加去疗干刍矿i + 去以三二一 娟“，痈一刍而干三i + 去椭击i 一 娟一扩五十去万4 ) ( ，痈一击卉专揣) 一 = 卉( ，一刍万2 + 啬厅4 一一) 历( 万一壶，石3 + 壶，厅5 一一) 一j 搴+ t = l 一2 存 e 2 吨= ( 1 - 2 h 戌1 2 h j ) 7 ( 1 1 2 2 ) ( 1 1 2 3 ) ( 1 1 2 4 ) 、j 菥 任 ，一剐 。 ： = 明 嘶 证 矿 自旋费米化的研究 = 1 4 而，+ 4 卉； = l( 1 1 2 5 ) 接下来，我们利用上面等式，再来证明相同格点上的费米子产生或湮没算符与 e + 。商一的关系： 2 而- ，c ： = ( 1 2 卉) c ：+ c ：( 1 2 卉) = c ：一2 c ：c 。c ：+ c ：一2 c ：c ：c 。 = 2 c ：一2 c ：( c 。c ：+ c ：c 。) = 0( 1 1 2 6 ) “一，c 。 = 2 c 。一2 ( c ：c 。+ c 。c ：) c = 2 c 。一2 6 , ，。c 。 = 0 ( 1 1 2 7 ) 由上两式，可以发现：“在相同格点上的费米子产生或湮没算符与e i 矾均为反 对易关系。” 由于曩，i ：，也二。彼此问相互对易，因此有： i x t l p “= p 。“ 。e t 赫lp 。_ ：e 7 d i = ( 1 2 h 。) ( 1 2 j ；2 ) ( 1 2 h 。一1 ) ( 1 1 2 8 ) 现在我们来证明“弦算符”e “与费米子产生或湮没算符之间的统计关系： ( 1 ) 当m 2n 时， k “一，j = ( 1 - 2 h 。) ( 1 2 而2 ) - - - ( 1 2 h 。一1 ) c 。一c m ( 1 2 h 1 ) ( 1 2 h 2 ) ( 1 2 h 。一i ) = ( 1 2 h ，) ( 1 2 h 2 ) - ( c 。一2 c 二i c 。一l c 。) 一c ，( 1 2 i ) ( 1 - 2 h 2 ) ( 1 - 2 h 。一i ) 由反对易关系： c ，) = 0 = ，c n - i c 。= 一c h 第一章一维自旋i 2j o r d a n - w i g n e r 变换及其应用 可推出 叠二，c 。 = 瓯吐。= 0 ：c 二，c 。= 一c ，c 二 c 。一2 c 二l c 。一i c 。= c 。一2 c m c 二l c 。一l = c 。( 1 2 c 二1 c 。一1 ) 所以，e “ 与费米子湮灭算符c 。的对易关系为 p 一，c 。j = ( 1 2 h t ) ( 1 2 h 2 ) c 。( 1 2 c 二t c ，1 ) 一c m ( 1 2 h 1 ) ( 1 2 h 2 ) - ( 1 2 h 。1 ) = c 。( 1 2 h 1 ) ( 1 2 h 2 ) ( 1 2 c ：l c 。一1 ) 一c 。( 1 2 h 1 ) ( 1 2 h 2 ) ( 1 2 h 。一1 ) = 0( 1 1 2 9 ) 同理可推得： p “，c ：j = 0 ( 1 1 3 0 ) ( 2 ) 当m k ，则： b ；，s ：j = c k c j e 一，e 。“j + p j 。一，c j “ = c ；c ；k 。 ，e + “j + c ；i j ，e 。“ + c j # 一，c ：_ “一 c j ，c ：k 。一e i “ = 0 ( 2 ) 若_ ， k ，则 k ，s i 】_ c 如e ，e 1 “j + k e ，刊一 = c 。c j k 。一，e l “j + c k 【c j ，e 。“ + c j # , c k 一，“一 c j , c k 。 e 一“ = 0 ( 2 ) 若， - 2 c o s c ；f 。+ 要( c 。s 尼+ fs i n 女) c jc 二 + 姜( c o s k 一s i n k ) c 一女q 1 ( 1 2 1 5 ) 、，j 我们运用格林函数运动方程法来求解该模型的准粒子能谱，频率表象中的格林 函数运动方程式： h c o ( 珊) = 矗 + ( 甜) ( 1 2 1 6 ) 在上式中，- ，b 。下标中的正号对应于费米子系统，负号对应于玻色子系统。取 a = c 。，b = c ：，代入( 1 2 1 6 ) ，由于唧和c 为费米子算符，因此阻，b 】的下标取 “+ ”，于是我们得到下述方程： h c o ( 缈) = + ( ) ( 1 2 1 7 ) 利用费米子算符的反对易关系： 第一章一维自旋1 2j o r d a n - w i g n e r 变换及其应用 k l = ( 1 2 1 8 ) 以及： k ，以】_ c o s k c 女+ i 7s i n k c + _ , ( 1 2 1 9 ) 代入式( 1 2 1 7 ) ，得到： ( h c o c o s k ) ( 国) = 向气+ i y s i n k ( 国) ( 1 2 2 0 ) 上式中出现了奇异格林函数 ( ) 。 接下来，我们来求奇异格林函数 ) 所满足的运动方程。同上我 们取a = c 二，b = c ：，代入( 1 2 1 6 ) 式可得： h c o ( ) = + ( 甜) ( 1 2 2 1 ) 利用费米子算符的反对易关系： k 二，c 扎= 0 ( 1 2 2 2 ) 以及： 【c - ，h j - 一c o s k c _ * 。一i 7 s i n k c 。 ( 1 2 2 3 ) 代入式( 1 2 2 1 ) ，得到： ( 卉出+ c o s k ) ( ) = 一i y s i n k ( ) ( 1 2 2 4 ) 联立式( 1 2 2 0 ) 和( 1 2 2 4 ) 式我们可求得单粒子格林函数： g 艏( 功) = ( 功) 2 6 屯_ h 2 c 0 2 自+ c o s k c o s 2k 一，2s i n 2k 1 +! ! ! ! = 扛c 裂筹蒜 1 一! ! ! ! +竺丝兰垒堡垒1 ( 1 2 2 5 ) h c o + c o s 2 k + y 2s i n2 k 从上式中，我们能清晰地看出格林函数g 。 ) 存在两个极点，它们分别对应着该 模型的两支准粒子能谱： e ( ) ：五万i 压赢 ( 1 2 2 6 ) 自旋费米化的研究 在运用j o r d a n w i g n e r 变换将一维各向异性姗7 模型的哈密顿量变换成用无自 旋费米子表述的形式后，对其的求解除了可以采取上面格林函数运动方程法之外还 可以利用b o g o l i u b o v v a l a t i n 变换法，求得的结果与用格林函数运动方程法求得的 结果是一样的，在此略过。 第二章一维自旋3 2j o r d a n - w i g n e r 变换 第二章一维自旋3 2j o r d a n w i g n e r 变换 在第一章里我们详细讨论了一维自旋为1 2 的“j o r d a n w i g n e r ”变换，将其应用 到各向异性x y 模型求出了该模型的的准粒子能谱。在这一章里我们将简要讨论一 下自旋为3 2 的“j o r d a n w i g n e r ”变换。文献【2 2 】中讲到，对于自旋值s 0 的自旋 体系的费米化( 不管有无限制) 所需要的费米子的最少数量必须遵守以下规则： 2 ”一1 1 的自旋体系费米化所需费米子的最少数量明显少 于文献【2 2 中b a t i s t a 和o r t i z 所用到的2 s 个。这样，对于自旋值s 1 的自旋体系， 就能用相比于文献中更少的费米子来构造更为简单的自旋费米变换。而且，对于某 些自旋，这些变换将是无约束的j o r d a n - w i g n e r 类型的变换。 从( 2 1 ) 式能够看出，当自旋值s = 3 2 时，n = 2 才能满足不等式的要求。因 此，要将自旋值为3 2 的自旋体系变换到无自旋费米子表象下，必须在自旋算符与 双费米子之间构建。 首先我们考虑单个自旋的情况，然后再将其所得的解推广到多自旋的情况。我 们知道，无论自旋值为多少，自旋角动量分量算符j 。，s ，和s 。总满足对易关系 ( 方= 1 ) ： b 。，s ，j = fs ：，b ，s ：j = ，s 。，b ：，s j = f s v ( 2 2 ) 对于自旋升降算符s 1 = s 。i s ，它们之间满足以下统计关系： b + ，s j _ 2s ：，l s - , r j - - + s 2 ， ( 2 3 ) + ，j 一 = 2s + 1 ) 一2 ( sz ) 2 ( 2 4 ) 这里我们发现( 2 4 ) 式与第一章针对于自旋s = 1 2 的( 1 1 4 5 ) 中第一式形式不同， 其实( 2 4 ) 是针对于所有自旋值的通式，当j = 1 2 时我们发现： 自旋费米化的研究 ( s d 2 = 抄，s _ = i ( s * s - s * s - - - s * s - s - s + - - s - s + s + s - + s - s + s - s + ) = 三 ( 1 一s s + ) s + s 一+ ( 1 - - s + s - ) s s + = i 1 ( s + s 一+ j s + ) l 4 ( 2 5 ) 将( 2 5 ) 式代入( 2 4 ) 得( s 取3 2 ) ： 一) = 吾一扫 s ， 显然式( 2 6 ) 就是式( 1 1 4 5 ) 中的第一式。当然在这一章里我们讨论的是s = 3 2 的 情况。同样我们引进费米子算符c i ：和c 1 2 ，满足以下反对易规则： c 。，c 口 = 0 ，k ，c ； = 0 ，# 。，c ； = ，( 口，卢= 1 ，2 ) ( 2 7 ) 且无自旋费米子的粒子数算符为= c ：吒。 自旋态空间的基矢由- 3 2 ) ，f - 1 2 ) ，1 1 2 ) 和1 3 2 ) 四个矢量组成，这些基矢也 是算符的本征矢量，而双费米子的相位空间也是四维的，其基矢为： o ) ，1 1 ) = c f o ) ，1 2 ) = c ； o ) ，1 1 ，2 ) = o ；c ；i o ) 。现在我们将在自旋算符与作用在费米子空 闻的算符之间建立联系。 由量子力学可知，这些算符的矩阵表示为： 且 又 0 打 0 0 0 0 o0 00 20 0 压 0o s 一= ( s + ) + = ( s + ) 7 = i 3000 000 00 一 0 0 00一 0 0 0 压02 0 2 0 00 压 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 第二章维自旋3 2j o r d a n - w i g n e r 变换 o ooo 铲匕 0 0 0 0 0 0 01o o 且c i 2 = ( c 啦) + = ( c u ) 7 ，很明显 铲；| ；| s + = 4 3 c ；+ 2 c ? c 2 ( 2 1 0 ) s 一= - c 2 + 2 c ；c l j2 = 一昙+ 2 珂1 + ”2( 2 1 1 ) 2 1 由上( 2 1 1 ) 可推得： b 。，s + j = ( 一。3 + 2 n + n 2 x 4 3 c ；+ 2 c ? c ：) 一( 4 5 c ；+ 2 c c ：) ( 一兰+ 2 n i + n 2 ) = 2 f f 3 c ；c l c ；+ 4 c i c l c i c 2 + 弱c 2 c ；+ 2 c ；c 2 c c 2 2 x 3 c ；c ；c l 一蟊；c ；c 2 4 c c 2 c i q 一2 c c 2 c ；c 2 = 4 ( 1 一q f ? ) f c 2 + 4 3 0 一f 2 f ；) c ；一2 c ? 0 一c ；c 2 ) f 2 = 4 c c 2 + 砬一2 c c 2 = 五；+ 2 c c ： = s + ( 2 1 2 ) 同理： b2 ，s j _ 一s 一 ( 2 1 3 ) 又： b + ，s j _ ( 4 3 c ；+ 2 c i 岛) ( 佤。+ 2 c 一( 压：+ 2 c ( 扛；+ 2 c c 。 = 3 c ；c ，+ 4 c c ，c ；c l 一3 c ，c ；4 c ；c l c c ， = 3 n 2 + 4 n l ( i n 2 ) 一3 ( 1 一i 2 ) 一4 n 2 ( 1 一n 1 ) = 一3 + 4 n 1 + 2 n 2 = 2 s ： 2 1 ( 2 1 4 ) 自旋费米化的研究 s , s - - ( , t i c ；+ 2 c c ：) ( 虱：+ 2 c ；c ) + ( _ c ：+ 2 c ；c ，) ( 4 9 c ；+ 2 c i c ：) = 3 + 4 n l ( 1 一 2 ) + 4 n 2 ( 1 一, 7 1 ) = 3 + 4 n l + 4 n 2 8 n l ”2 ( 2 1 5 ) 因为s = 3 2 ，所以有： 2 + 1 ) - 2 ( 2 = 萼- 2 ( 2 ”叫( 一吾+ 2 n + 1 2 ) ：等- 2 ( 昙砌。勘：+ 4 n 。n 2 ) 2、4 1 7 = 3 + 4 n l + 4 n 2 8 n l i 1 2 ( 2 1 6 ) 由式( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 即得： b + ，j 一 = 2sp + 1 ) 一2 ( j 。) 2 ( 2 1 7 ) 很显然，依据( 2 1 1 ) 所推导出来的单自旋情况下算符所遵循的统计关系( 2 1 2 ) 、 ( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 、( 2 1 6 ) 完全吻合于( 2 3 ) 和( 2 4 ) 两式。 对于多个自旋的问题，要涉及到作用在不同格点上的所有自旋算符之间的对易 关系，为此我们引进弦算符, ，对于一维格点情况，弦算符： 驴叫，- ，r 酚，w = e x p i ，r ( n 1 1 + 1 1 2 1 ) 】e x p i z r ( n 1 2 + 胛2 2 ) 】e x p i t r ( n l 一l + 肝2 ，i ) j = e x p ( i n n l l ) e x p ( i n n 2 1 ) e x p ( i n n l 2 ) e x p ( i n n 2 2 ) e x p ( i n n 一1 ) e x p ( i n n 2 h ) 2 ( 1 2 n 1 1 ) ( 1 2 n 2 1 ) ( 1 2 n 1 2 ) ( 1 2 n 2 2 ) ( 1 2 n 1 ，1 ) ( 1 2 n 2 ，1 ) ( 2 1 8 ) 同理有： 强+ = e x p 慷，m ，) = ( 1 2 n 1 1 ) ( 1 2 n 2 1 ) ( 1 2 n 1 2 ) ( 1 2 n 2 2 ) ( 1 2 n l h ) ( 1 2 n 2 h ) ( 2 1 9 ) 由上面两式可以得到： l ：，】_ 0 ， b i _ 0 ，k ? ，c i j - 0 ( 2 2 0 ) 第二章一维自旋3 2j o r d a n - w i g n e r 变换 引进弦算符后式( 2 1 1 ) 丽曲式写为： s , - = _ c 2 ，“，+ 2 c 2 , c i ， s ? = 孔? c ；+ 2 c l + j c a ( 2 2 1 ) 将( 2 2 1 ) 代入( 2 1 4 ) 得： s ；= 昙b ? ，s = 昙【( 4 3 7 c ：+ 2 c ：c ：，) ( 4 3 c ：一+ 2 c ；c ，) 一( 4 3 c ：，“，+ 2 c ：4 - c 。，) ( 4 3 ? c j + 2 c ：c ：，) 】 = 一昙+ 2 l ，+ ”2 ( 2 2 2 ) 同样我们再来推导一下它们所遵循的统计关系： b j ，s ? j = ( 一昙+ 2 ”。，+ ”：，) ( 4 3 c ；+ 2 c ：c ：) 一( 五j c ；+ 2 c 以) ( 一委+ 2 啊，+ ”：，) = 2 以啊，? c 2 , 4 - ，+ 压”2 ，? c ：一2 4 3 “? c ：一，+ 2c jc 2 ， = c + ( 22 3 ) 同理： b j ，s i j - 一s , - ( 2 2 4 ) 又： ? ，s 一= ( 届? c 寺+ 2 c 瓶) ( 佤：，峨+ 2 c 轨) + ( 虱：，坼+ 2 c 瓶) ( 五? c ；+ 2 c ；c 2 ，) = 3 + 4 竹1 ，+ 4 胛2 ，一8 n l ，月2 = 3 + 4 门“+ 4 门2 ，一8 n h 门2 ， = 2 s ( s + 1 ) 一2 ( s j ) 2 ( 2 2 5 ) 显然，与前所述相同，依据多自旋情况下的定义式( 2 2 1 ) 所导出的上述统计关 系同样吻合于式( 2 t 3 ) 中的统计关系。 众所周知，相互独立的自旋算符相互对易，下面我们来看一下由定义式( 2 2 1 ) 自旋费米化的研究 所导出的多目旋情况p 小f 列格点的目旋算符之间的统计关系是否同样满足这一规 律? b ? ，町i ；= ( 拈“? c j + 2c jc ：，) ( 以c 2 “，+ 2c 玉c 。，) 一( 拈c 2 ju j + 2c 赫川以? c ；+ 2c c , c ：，) = 3 “jc ic ：，“，+ 2 订“? c 去c 毛c ，+ 2 订c ic ：，c ：，”， - 3 c ：，“，“? c ；一2 4 5c ：，“，c jc ：，一2 括c 玉q ，”? c j ( 1 ) 如果f _ ，则：缸? ，c ：， = o ，量? c l ， = 0 眩，c ；】= 0 ，k ，c i _ 0 b j ，s 土= 一3c jc ：，“j “，+ 2 拈c ：c ：4 - ，c 。，“2 拈c jc 2 1c 2 j ”， 一3 c 2 jc i “，“? 一2 了c ：，c jc ：，“，一2 4 5c 玉c 。，c j “j = 0 ( 2 ) 如果f ，则：b ? ，c ：一= 0k j , c i j - o ，0 ，c j = 0 ，0 ，c i = 0 b ? ，s j l 。，= 3c ic ：，“? “，+ 2 括c ic 轨“? + 撕c 托c 2 j “， + 3c ：，c ；“，“? 一2 西c ：，c 池“，一2 以c ；：，c 】，c 玉”j = 0 由此得到： b ? ，s j l 。，= 0 (