（应用数学专业论文）奇异微分方程多点边值问题的正解的存在性.pdf

山东师范大学硕士学位论文 奇异微分方程多点边值问题的正解的存在性 马亚 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 在本文中，我们主要研究奇异微分方程仇点边值问题( 1 ) 和( 2 ) 正解的存在性 ， ix t ( t ) + a ( t ) f ( t ，z ( t ) ，z 俅) ) = 0 ，0 t 1 ， ? m 一2 f 1 、 iz ，( o ) = 0 ，x ( 1 ) = 叩( 纠， 一 l 石1 其中0 a t 1 ，0 已 1 ，i = 1 ，2 ，m 一2 ，在z = 0 和z 7 = 0 可以奇异且可能 变号， f iz ”( t ) + a ( t ) f ( t ，z ( 亡) ，z 7 ) ) = 0 ，0 t 1 ， ? m 一2m 一2 f 2 1 lz ，( 0 ) = b i x 他) ，z ( 1 ) = a i x ( i ) ， 一 1 i = 1 一 i = l 其中，可能在茁= 0 和z 7 = 0 奇异 微分方程多点边值问题是指常微分方程的定解条件不仅依赖于解在区间端点 的取值，而且依赖于解在区间内部点的取值它起源于各种不同的应用数学和物理 领域，这方面的背景实例包括横截面相同而密度分段不同的支索的振动以及弹性稳 定性理论中的许多问题f 1 】正因为多点边值问题具有广泛的应用背景，所以具有重 要的研究价值 关于线性二阶常微分方程多点边值问题的研究较早始于i l i n 和m o i s e e v 发表 的论文 2 - a 】自此，许多学者对一般的非线i 生多点边值问题进行了大量研究，例如 【4 - 5 景近，马如云和d o n a l0 r 。g a n 利用l e r a y s c h a u & ，定理证明了下面方程 的c 1 【0 ，1 ) 正解的存在性 ， iz ( t ) = f ( t ，z ( t ) ，z 7 ( t ) ) + e ( t ) ，0 t 1 ， 2 m 一2 lz ，( o ) = 0 ，x ( 1 ) = 乏：a i x ( i ) ， l i = 1 其中厂： 0 ，1 】xr 2 一冗满足c a r a t h 叠o d o r y s 条件( 参见 6 】) 但是关于非线性项既 依赖于z 7 又奇异的多解性的文章很少本文所研究问题的特点是，首先非线性项 ，在z = 0 ，z 7 = 0 奇异，再者证明了方程的多解性所以本文是对多点边值问题正 解存在性理论的发展 在研究上述问题正解存在性时，主要参考了文【5 】 【7 1 3 ， 2 3 3 2 研究方法 是首先构造适当的积分算子，把由于i 厂变号使积分算子变号的那一部分去掉，然后 提出新的条件克服奇异和变号，利用a r z e l a 一a s c o l i 定理得出所研究方程的近似 解，其极限就是原方程的解全文共分三章 1 山东师范大学硕士学位论文 在第一章中，研究了问题( 1 ) 当，变号且在t = 0 ，t = 1 ，z = 0 ，z 7 = 0 奇异时， 正解的存在性 在第二章中，我们主要研究奇异微分方程m 点边值问题( 1 ) 的多解性首先 研究当，在z = 0 奇异，但在z 7 = 0 不奇异时，问题( 1 ) 的多解性然后研究， 在z = 0 不奇异，但在z 7 = 0 奇异时，问题( 1 ) 的多解性最后研究厂在z = 0 和 z 7 = 0 奇异时，问题( 1 ) 的多解性 在第三章中，我们研究了f ( t ，z ，z ) 可能在z = 0 和z = 0 奇异且奇异度可以任 意时，根据问题( 2 ) 解的性质，另外加上适当的条件将f ( t ，z ，z ) 的奇异性去掉，从 而直接考虑含有连续非线性项的问题( 2 ) 的解的存在性问题 关键词：m 点边值问题，奇异性，变号，不动点，锥，正解，多解性 分类号：0 1 7 5 8 2 山东师范大学硕士学位论文 e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so f m u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r s i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s y am a s c h o o lo fm p t h e m a t i c a ls c i e n c e ss h a n d e n gn o r m a lu n i v e r s i * y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fm - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) a sf o l l o w s ，0 t 1 ， ( 1 ) 一 w h e r e0 a 1 ，0 已 1 ，i = 1 ，2 ，m 一2 ，m a yc h a n g es i g na n dm a yb e s i n g u l a ra tx = 0 a n dz 7 = 0 a n d 1 ， ( 2 ) w h e r e 厂m a yb es i n g u l a ra tz = 0a n dz 7 = 0 m p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r et h a tb o u n d a r y v a l u ec o n d i t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd e p e n do nt h ev a l u ea ti n t e r v a le n d p o i n t s a n di n s i d et h ei n t e r v a l ，w h i c ha r o s ei nd i f f e r e n tf i e l d so fa p p l i c a b l em a t h e m a t i c sa n d p h y s i c s i l l ，i n c l u d i n ge x a m p l e so ft h es a m ec r o s s s e c t i o na n dd e n s i t yo fd i f f e r e n ts u b - e x t e n s i o nc o r dv i b r a t i o na n de l a s t i cs t a b i l i t yt h e o r yi nm a n yo ft h ei s s u e s b e c a u s e t h em u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sh a v ew i d e l ya p p l y i n gb a c k g r o u n d ，i th a s a ni m p o r t a n tr e s e a r c hv a l u e t h es t u d yo fm u l t i - p o i n tb v p s ( b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ) f o rl i n e a rs e c o n d o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw a se a r l i e rs t u d i e db y1 1 i na n dm o i s e e v 【2 _ 3 1 s i n c et h e n ，m a n ya u t h o r ss t u d i e dm o r eg e n e r mn o n l i n e a rm u l t i p o i n tb v p s ，f o r e x a m p l e s 阻5 】，a n dr e f e r e n c e st h e r e i n r e c e n t l y ，u s i n gl e r a y - s c h a u d e rc o n t i n u a t i o n t h e o r e m ，r m aa n dd 0 r e g a np r o v e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fc 1 o ，1 ) 3 0 l = ” 锄 1一 w 一汹 c ： 坤 i i 1上 ，j z ， 口 0 + = 、j 俅 ，-ii-，、lli_， l 亡 邑 “ 0 毗 o 1 d善 j | l l ”d 义 z z 幻l双皤 d乇、d州一汹 + = t、j 心 秽 铲 山东师范大学硕士学位论文 僻篇竺 z 他) ) + e ( 亡) ，0 t 1 ， m 一2 o i z ( 纠， t = 1 w h e r ef ： 0 ，1 r 2 _ rs a t i s f i e st h ec a r a t h 考o d o r y sc o n d i t i o n s ( s e e 6 ) h o w e v e r ， u pt on o w ，t h e r ea r ea f e w e rr e s u l t so nt h ee x i s e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n st oe q u a t i o n ( 1 ) w h e nt h en o n l i n e a r i t yfd e p e n d so nz 7a n dm a yb es i n g u l a r t h i st h e s i so b t a i n s t h ee x i s e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n st oe q u a t i o n ( 1 ) a n d ( 2 ) w h e nt h en o n l i n e a r i t yf m a yb es i n g u l a ra tz = 0 z 7 = 0 s oi ti st h ei m p r o v e m e n tf o re x i s t e n c eo fp o s i t i v e s o l u t i o n sf o rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h e r ea r em a n yr e s u l t sa b o u ta b o v ep r o b l e m s ( s e e 5 】， 7 1 3 ， 2 3 3 2 ) t h e m e t h o dw h a tw eu s e di sf i r s t l yt oc o n s t r u c tp r o p e ri n t e g r a lo p e l a t o r sd n dt or e m o v e t h ep a r ti nw h i c hi n t e g r a lo p e r a t o r sc h a n g es i g nb e c a u s eo ffc h a n g i n gs i g n t h e n ， u s i n ga r z e l a - a s c o l it h e o r e m ，w ec o n s i d e rt h es e to ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sa n d o b t a i na c o n v e r g e n ts u b s e q u e n c e t h el i m i ti sap o s i t i v es o l u t i o nf o re q u a t i o n ( 1 ) t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ep r e s e n tt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 ) w h e nn o n - l i n e a r i t ym a yb es i n g u l a ra tz = 0 ，z 7 = 0a n d ，m a yb ec h a n g es i g n i nc h a p t e r2 ，w em a i n l ys t u d yt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 ) f i r s t l y , u s i n gt h et h e o r yo ff i x e dp o i n ti n d e xo n ac o n e ，w ep r e s e n tt h e e x i s t e n c e o fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n st oe q u a t i o n ( 1 ) w h e n 厂m a yb es i n g u l a ra tz 7 = 0b u t n o ta tz = 0 s e c o n d l y , u n d e rt h ec o n d i t i o n ，i ss i n g u l a ra tz 7 = 0a n dz = 0 ，w e p r e s e n tt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n st oe q u a t i o n ( 1 ) f i n a l l y , u n d e r t h ec o n d i t i o n ，i ss i n g u l a ra tz = 0b u tn o ta tz 7 = 0 ，w ep r e s e n tt h ee x i s t e n c eo f m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n st oe q u a t i o n ( 1 ) i nc h a p t e r3 ，w ep r e s e n tt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nt oe q u a t i o n ( 2 ) w h e n t h en o n l i n e a r i t yf ( t ，z ，z ) m a yb es i n g u l a ra tz=0a n dz = 0 ，a n dt h ed e g r e eo f s i n g u l a r i t ya tz = 0 a n dz = 0 m a yb ea r b i t r a r y k e y w o r d s ：m - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep 。o b l e m s ，s i n g u l a r i t y , s l g n - c 1 a n g i n g ，f i x e d p o i n t ，c o n e ，p o s i t i v es o l u t i o n s ，m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n s c 】a s s i 6 c a t i o n ：o 】7 5 8 4 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：马五 导师签名： 学位论文版权使用授权书 ( 勺嘭纺i 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印牛和磁盘，允许论文被查阅 和借阅本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行搜索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保 密的学位论文在解密后使用本授权书) 学位论文作者签名：易豇名：( 7 幻7 么矽 签字日期：2 0 0 9 年 月2 日签字日期：2 0 0 9 年华月了日 山东师范大学硕士学位论文 第一章带有依赖于一变号非线性项的奇异微分方程m 点边 值问题的正解的存在性 1 1引言 利用锥上的不动点定理，本章研究了奇异m 点边值问题( 1 1 。1 ) 正解的存在性 lz ( t ) + a ( t ) f ( t ，z ( ) ，z 他) ) = 0 ，0 t 1 ， h ) _ 0 “1 ) ：m - 2 础a o 工d li = 1 竹；一0 其中0 1 2 一2 1 ，叱【o ，1 ) ，i = 1 ，2 ，m 一2 且0 q t 1 ，f 可能变号也可能在z = 0 ，z 7 = 0 奇异 在 1 4 】中，g u p t a ，n t o u y a s ，t s a m a t o s 考虑了下面m 点边值问题的c 1 0 ，1 】正 解的存在性 iz ( t ) = f ( t ，z ) ，z 7 ( ) ) + e ( t ) ，0 t 1 ， lz ，( o ) = o ，z ( 1 ) = a i x ( f i ) ， l i = 1 其中邑( 0 ，1 ) ，i = 1 ，2 ，m 一2 ，0 1 2 6 n 一2 0 上有界； 5 山东师范大学硕士学位论文 ( h 3 ) _ 。赢芴咖= + ； 且以下条件成立 ( p 1 ) f c ( ( o ，1 ) x4 xr 一，r ) ； ( p 2 ) n o t i 1 ，0 & 0 满足f ( t ，z ，y ) f l ( t ) ，y ( 一6 ，o ) 其中r + = ( 0 ，+ o 。) ，r 一= ( 一，o ) ，r = ( 一o 。，+ ) 引理1 2 1 【2 5 je 为一b a n a c h 空间，k 为e 上一个锥，且b r = z e ：i i x l l r ) ，其中0 r r 假设f ：k 0 b n b ，= k r ，一k 是一完全连续算子且以下条件 成立 ( 1 ) 对任意z k ，归( z ) i i i i x l i ，f i x l i = r ； ( 2 ) 对任意z k ，如果z 入f ( z ) ，l i x l i = r ，0 0 是一个自然数对y p ，有 6 ( a y 一 一1 一 一l 一 一1 0 ， m ) = 还蠹f o - y ( r ) d r - 萼紫一o 刊打 去z 1 一y ( 丁) d r 一至翌等薹兰紫一z 1 一y ( 丁) 打 繇卜婴雒 甓丁胁 山东师范大学硕士学位论文 一c1 1 c ( y ( 芒) ) = 一1 0 口( s ) ，( 8 ，( 如) ( s ) + 麦，m l n y ( s ) ，一云) ) d s ， 亡 0 1 】， c ( 弧( t ) ) = 一z 。口( s ) ，( s ，( a 讥) ( s ) + 三，m i n 玑( s ) ，一熹) ) d s ， 亡【0 1 由等式r n i n c ，o - t c - i c l ，很容易知道 ( t ) ) = 一元1 + 型堕生2 2 掣，t 【o ，1 】 令y 忌，y p i 一训_ 0 ，存在常数h 0 ，满足l | 奄i l h 目i h 那 么，i im i n 弧( s ) ，一元1 ) 一m i n 剪( s ) ，一丢) j i _ o ，i i ( a y 南) ( s ) + 丢一( ( a 可) ( s ) + ) l l _ ( ! - 由( p 1 ) 知 。( s ) ，( s ，( a 鲰) ( s ) + 砉，m i n 弧( s ) ，一去】i ) ) 收敛于 。( s ) ，( s ，( 向) ( s ) + 去，m i n ( s ) ，一寺) ) ) ，s ( o ，1 ) 由勒贝格控制收敛定理知( 控制函数为。( s ) 尼( s ) f 【去，+ o 。) g 【一九一 去，一去】) ，ij 咧七一钮j j _ o i t y k - t y l l ：o 血上型 亟幽o o 煎丛! 鱼生丝照幽i | 一i l n i i 0 使得l l y l i 危1 对 t l ，t 2 【0 ，1 】，亡1 o 使得i e 2 口( s ) 庇( s ) 幽i 7 山东师范大学硕士学位论文 e ，j t 2 一t l i 1 a ( s ) 忌( s ) d ss u p f 睦，+ ) 对礼 否1 ，我们证明对每一个可p 且l = ，o 入 1 ，有 绯) 入( t y m ) = 鲁+ 入i i l i n 0 j z 。小班“剀f s ) + 去脚n ms ) ，一去川吐t f o 1 】 【1 2 3 ) 事实上，如果存在y p 且i = 和0 入 吾，有一占 一正t f 0 ，晶) 由( p 3 ) f o ta ( s ) ，( s ，( 却) ( s ) 十三，m i n 【小) ，一三踟s 。，亡 0 ，l 】 令矿- - - - s u p s 0 ，1 j n ( 丁) ，( 丁，( a y ) ( 丁) + 去，1 1 1 i n y ( 7 ) ，一熹) ) 打 o ，o t s ) ? h。l b 一正 ( 1 2 6 ) 由( 1 2 6 ) 和( p 3 ) 知存在r 0 使得f ( t ，z ，y ) p ( ) ，t ( t + 一7 ，t + ) 所以 邢勺塞门f o i la ( s ) f ( m s , ( a 私y ) 洲( s ) s + ，鬻璃。厶啪斌鲁一入z 一7 0 ( s ( 驯( s ) + 扣n 愀s ) - 扣s a 二r 巾删斌 山东师范大学硕士学位论文 加f o t * - - ra ( s ) ，( s ，( 剀( s ) + 三，m i n 拟s ) ，一三) ) d s + r 二r 口( s ) 郎) d s 1 和y p ，所以存在一 ( o ，1 ) 满足剪( ) 一1 0 使得。_ 0 和- 5 y n 。 7 - ， 所以存在5 0 0 使得( t ) 1 ，t ( 0 ，如) 令t n = s u p 引s 【0 ，吼y n ( s ) 7 ) ，那么 鼽( k ) = 7 - 如果t 竹 f m 一2 ，有鼽( ) 7 - 一正t 0 ，一2 】( h a ) 表明 9 ， + 如1 一n “ + 三，佗+ 们 0 o p e 、l， z z p 一 一 0 c 1元1元厂厶 y n ( t ) = 山东师范大学硕士学位论文 s ) ，( s ，( a ) ( s ) + 三，( s ) ) d s s ) f l ( s ) d s s ) d s 则7 孙f f m - 2 ) 一厂。( s ) p ( s ) d s 丁，矛盾 0 第二证明 事实上，如果存在一个 鼽( 亡7 ) = 7 - ，丁 y n ( 亡) 一 。 一 s ： ，l、 一 l 搬 三弘 0 一 o 1 t zu三彬 一叽 ，l笙 叫川垃 m ， n l = 他眦雌4 令 羲 界有匕 叫p 在 一 鼽 “ 璺 = 力“ 明表 柚知聊和 凰和 ，l、， 在牡 现 连 列 蹦 一缈在膨存铆了 侧 汪 桁睬 财 狸靴淀 山东师范大学硕士学位论文 在f 去，1 一去l 上一致收敛当七= 1 时，存在 ( t ) ) 的一个子列 鳄( t ) 】，在 j ，cj 疗f 一。一一 1 3 ，詈 上一致收敛当后= 2 时，存在 赭) ( ) ) 的一个子列 拶) ( t ) ) ，在 丢，丢 上 一致收敛总之，存在 可乎( ) ) 的一个子列 拶“( t ) ) ，在 可两，1 一玎可 上一致收敛那么对角列 可( t ) ) 在( o ，1 ) 上处处收敛且容易验证 蜡( t ) 在任 意区间【c ，司( 0 ，1 ) 上一致收敛不失一般性，令 乎( t ) ) 为 ( t ) 】本身令 y ( t ) 2 撬鼽( t ) ，t ( o ，1 ) ，则可( t ) 在( o ，1 ) 上连续且因为跏( t ) w ( t ) 0 ，有 y ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) 3 ) 现在( 1 2 1 0 ) 表明 s u p m a x - y n ( t ) ，t 0 ，1 】) ) + 则有 t 骢s u p o y n ( s ) d s l = 0 “l i m s u p j 一y n ( s ) = o ，t 0 ，1 】， ( 1 2 】2 ) ( a ) ( t ) 2f 厦1 忑 1 1 一仁m w l 2 t z1-yn(t)dt-萼訾一o刊丁，打1， “声j 。 | 一y n ( r ) d r + 。，t 【0 ，1 j ( 1 2 1 3 ) 因为( 1 2 1 2 ) 和( 1 2 1 3 ) 成立，对每一固定的t ( 0 ，1 ) ，由勒贝格积分的法度引理知 ( a y ) ( t ) + 。 4 ) 秒( 亡) 满足以下方程 ，亡 秒( t ) = 一正a ( s ) ，( s ，( 匈) ( s ) ，y ( s ) ) d s ，t ( 0 ，1 ) ( 1 2 1 4 ) 冈为在! o ，6 lc ( o ，1 ) 上一致收敛，对每一个sri o ，1 ) ，i i 2 1 2 ) 说明( a 鼽j i s ) 收敛于( a 可) ( s ) 对每一个固定的t ( 0 ，1 ) 和任意d ，0 d 尼) ( 1 2 1 5 ) 因为鼽( 5 ) m a x ，7 - ，w ( d ) ) ，( a ) ( s ) - 4 - 砉0 ，s e 】，_ ( a 鼽) ( s ) ) 和 鼽( s ) ) 在 d ，芒】 上有界等度连续，则 秒( t ) 一可( d ) = 一jo ( s ) ，( s ，( a y ) ( s ) ，y ( s ) ) d s 在( 12 1 0 ) 中令t = d ，则有 震怒，d 巾s ) d ssupfa(v j o 【e ，删 ，掣。( d ) n ) 一 叫“r 7 r p 令n o o ，d 一0 + ，得到 y ( o + ) 2 鲰( d ) = 0 ( 1 2 1 6 ) ( 1 2 1 7 ) 1 1 山东师范大学硕士学位论文 在( 1 2 1 6 ) 中令d 一0 + ，有 ，c 秒( ) = 一a ( s ) f ( s ，( a 妙) ( s ) ，y ( s ) ) d s ，t ( 0 ，1 ) ， ( 1 2 1 8 ) ，0 ( a y ) ( 1 ) = q t ( 咖) ( 鳓 扛：1 由此x ( t ) = ( a y ) ( t ) 是( 1 1 1 ) 的一个正解口 iz + o ( ) 七( t ) 1 + x - 7 + ( 一y ) 一盯一( - y ) l n ( - y ) 】= o ，t ( 0 ，1 ) m 一- 2 ( 1 2 1 9 ) lz ，( 0 ) = 0 ，z ( 1 ) = a i x ( i ) ， 、。 i i - - - - 1 o ( t ) ：亡一 ，后( 亡) = t 一互1 ，0 t 0 ，盯 一2 ，：并令f ( x ) = 1 + x - 7 ，g ( y ) = 1 + ( 一y ) 一盯一( - y ) 1 n ( 一y ) 那么 f ( t ，z ，y ) 惫( t ) f ( z ) g ( y ) ，5 = 1 ，p ( t ) = 七( 亡) ， 仁南= 慨 由定理1 2 1 ，( 1 2 1 9 ) 至少有一个正解 1 2 山东师范大学硕士学位论文 第二章依赖于一的非线性项的奇异微分方程m 点边值问题 的正解的存在性 2 1引言 在本章中，我们主要研究奇异微分方程m 点边值问题( 2 1 1 ) 正解的存在性 iz ( t ) + a ( t ) f ( t ，z ( t ) ，z 7 ( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， ? m 一2 r 211 、 iz ，( 0 ) = 0 ，x ( 1 ) = o t z ( 纠， 、7 i i = 1 m 一2 其中0 1 2 锄一2 1 ，a i 【0 ，1 ) ，i = 1 ，2 ，m 一2 ，0 a i 1 i = 1 最近，用l e r a y s c h a u d e r 连续定理，r m a 和d o n a l0 r e g a n 证明了下述系 统的c 1 0 ，1 ) 正解的存在性问题 ， lz ( 亡) = f ( t ，z ( t ) ，z 7 ) ) + e ( 亡) ，0 t 1 ， 2 m 一2 iz ，( o ) = 0 ，x ( 1 ) = o i z ( 射， l i = 1 其中& ( 0 ，1 ) ，i = 1 ，2 ，m 一2 ，0 f 1 f 2 锄一2 0 ，t ( 0 ，1 ) ； ，c ( 【o ，1 】 o ，。) ( 一o o ，0 】，r ) ； ( 2 2 3 ) g c ， f ( t ，z ，y ) 夕( z ，秒) ，v ( t ，x ，y ) 【0 ，1 】xr + r 一 对于x p ，定义算子 ( a x ) = o 。( 一 ，z(s)z，(s)如+两101(1一s)。(s)m，茁(s)xtax)(t t s ) a ( s ) f ( s o u ( s ) ) d s ) = ( 一，z ( s ) z 7 ( s ) ) d s + 了j ( 1 一s ) o ( s ) ，( s ，茁( s ) ( s ) ) d s 上一厶一 一三a t 序& - s ) 巾蚺一( s ) ) 幽) -。 ( 2 2 4 ) 引理2 2 3 【2 2 】若 有唯一解 其中 1 4 z ) ：一厂( t s ) ( s ) d s 十m + ， j 0 题可f以 a 勰 p o c 、1d 印 一甜 y = 对 q红，文 男 l ， 拙呲眺 件 = 1 一斛装蚤 的“ = m q 2 z z rjl【 山东师范大学硕士学位论文 = 去( 小s ) 小m s ) d s m 苫- - 2 。i 0 6 ( & - s ) 吣m s ) d s 一显m-葡2芸foi雠(1一譬n跏b 笛2i 一1 、 葛“ 另外，如果y 0 ，t 0 ，1 】，则z 满足 t 【o i n f l 】刑之7 1 1 x 1 1 1 , 其中7 = 学警警 引理2 2 4 假设( 2 2 3 ) 成立则a ：p _ p 是连续且完全连续算子 证明对z p ，由引理2 2 3 知 ( a z ) ( t ) 一0 1 ( 1 一s ) 。( 5 ) ，( s ，z ( s ) x t ( s ) ) d s + 去( z 1 ( 1 一s ) n ( s ) ，( s ，z ( s ) ，z 7 ( s ) ) d s 一芝i = i 吼o 磊( 已一s ) 。( s ) 馋，碱z ，( s ) ) 如) 蒜0 1 ( 1 刊s ) ，( s ，如凇，( s ) ) d s 一芝i = l 口i 0 1 慨刊彬( s 巾加，( s ) ) d s 紫 1 a ( s ) ，( s 州s ) ，以s ) ) d s ，ji ，j ( a z ) ( t ) i = 一0 ( 亡一s ) 。( s ) ，( s ，z ( s ) z 7 ( s ) ) d s + i i 彘a i ( j o ( 1 一s ) 口( s ) ，( s ，z ( s ) ，z 7 ( s ) ) d s ， 上一2 。i - 二1 一 一蚤n t 尉扣s ) 0 ( s ) 坤，邢) , x t ( s ) ) 如) i 春上( 1 一s ) 。( s ) ，( s ，z ( s ) ，z 7 ( s ) ) d s 面1上。( s ) m 俐，z ，( s ) ) d s f 丽1 z 凸( s ) d s 。鲥m a x z l l s e _ o9 ( c ，幽 1 5 山东师范大学硕士学位论文 l ( a 。) 7 ( t ) i = l 一a ( s ) f ( s ，z ( s ) z 7 ( s ) ) d s f j o = o ( s ) ，( s ，z ( s ) z 7 ( s ) ) d s j o 凸( s ) ，( s ，z ( s ) z ( s ) ) d s j o a ( s ) d 8 蚓z m ，一a xi i e og(jo 0 i ii i z l c ，c ，) s c z ，一 o 连 续且在( 一，0 ) 上非增； ( h 3 ) 1 6 山东师范大学硕士学位论文 其中