（应用数学专业论文）landweber迭代方法解决非线性不适定问题的收敛性分析.pdf

争 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：丝丝日期：趔芝筐 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) t? f 论文作者签名：毖 导师签名：噬日 期： 呈：三? 一 l i i 东大学硕士学位论文 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t i e n g l i s ha b s t r a c t n o t a t i o n s v i i c h a p t e r1p r i o rk n o w l e d g e 1 t 1 1i l l - p o s e dp r o b l e m s 1 1 2 t h eb a c k g r o u n da n da c t u a l i t yo fr c g u l a r i z a t i o nm e t h o d 2 1 3 l a n d w e b e rr e g u l a r i z a t i o n 3 c h a p t e r2t h em a i nc o n c l u s i o n s 6 t 2 1 i n t r o d u c t i o n 6 f 2 2c o n v e r g e n c eo ft h el a n d w e b e ri t e r a t i o n 7 t 2 3c o n v e r g e n c er a t e so f t h el a n d w e b e ri t e r a t i o n 8 c h a p t e r3p r o o f o ft h e o r e m s 1 0 c h a p t e r4a p p l i c a t i o n s 1 9 a c k n o w l e d g e m e n t s 2 5 i i i ( 山东大学硕士学位论文 l a n d w e b e r 迭代方法解决非线性不适定问题的 收敛性分析 李艳 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) ( 指导老师：张玉海) 中文摘要 应用l a n d w e b e r 正则化方法解决线性不适定问题 f ( z ) = y 时，l a n d w e b e r ，f r i e d m a n ，b i a l y 将方程改写成下列形式 其迭代格式为： z = ( i a f f ) x + a f y ，a 0 z o ：= o ，z = ( j a f + f ) z 仉一1 + a f + y ，m = 1 ，2 该迭代法实际上是求解二次泛函i i f x 一洲2 极小值的以步长为a 的最速下降 法。 对于迭代解z m ，6 到精确解x 的收敛性与收敛速度，有如下结论： ( 1 ) 令x = f + z f ( y ) ，且l e ，选取e l 鲁sm ( 6 ) sc 2 鲁，0 c 1 c 2 ，则有i i z “一z i f = d ( 6 ) ； ( 2 ) 令z = f + f z f + f ( x ) ，且i i z l i e ，选取c l ( 鲁) 2 3 m ( 6 ) c 2 ( 鲁) 2 3 ，0 c l c 2 ，贝u 有l | z m ，6 一z 0 = d ( 6 2 3 ) ； ( 3 ) 在用l a n d w e b e r 正则化方法解决线性问题时，如果对x 有更强的限 制，迭代序列 z “，6 ) 最快以o ( 护2 r + 1 ) 的速度收敛到精确解。 将上述方法推广到非线性不适定问题时，由于非线性问题的不适定性， 方程的解往往不连续依赖r 右端数据y ，或者对于微小的扰动数据矿，方程 的近似解与精确解之问会相差甚远，因此得到的解会毫无意义。 l l j 东大学硕士学位论文 目前对于l a n d w e b e r 正则化在非线性不适定问题巾的研究，都是通过 对初始条件加以限定或者在特殊的h i l b e r t 空间中讨论其收敛性与收敛速 度。本文总结了前人所做的研究，比较l a n d w e b e r 正则化在线性问题与非 线性问题中的应用，并在此基础上，用一种带参数的l a n d w e b e r 迭代方法 解决该问题。 在本文中，我们都做如下假设： ( 1 ) f ，( ) 局部一致有界； ( 2 ) i i f ( x ) 一f ( 习一f 7 ( z ) ( z 一童) i isu l i f ( z ) - f ( 5 ) i i ，叩 1 ，z ，z 佛x o ) c d ( f ) 下面我们写出改进的针对非线性问题的l a n d w e b e r 迭代形式： z 七+ l = z 七+ 口( z 七) ( 可一f ( z 七) ) ，后= 0 ，1 ，2 ， 其中，a 是参数，这是与【1 3 】中不同的地方。 如上假设，足以保证至少在魄( z o ) 内迭代局部收敛到方程f ( z ) = y 的 解。在假设条件下，得到了如下l a n d w e b e r 正则化的收敛性结论： 定理：令z 。是非线性不适定问题f ( x ) = y 的一个解，扰动数据y 6 满足 l l y 6 一洲s 巧，k 。由停止规则 i l 矿一f ( z 2 ) 0 ，y 6 i l y 6 一f ( x 2 ) l l ，0 k 得到，即扰动迭代在奴( 6 ) 步后停止，则在假设条件下，应用 ；t k + 1 = z 七+ a f ( x k ) 。( 可一f ( z 七) ) ，k = 0 ，1 ，2 ， 解决该问题，则迭代解 z 2 6 _ “，6 一。 且 扩一z2 | i = l l e k 0 c l l f l l l ( 2 州) 6 2 ”( 2 v + 1 ) 由此，我们证明了用改进的方法用来解决非线性不适定问题是可行的， 在扰动数据误差界6 下，同样得到收敛阶为d ( 6 ) ，但限制条件相对较弱 ( 叩 0 a n di t e r a t i n gt h i se q u a t i o n ，i e ，c o m p u t i n g z o ：= 0 ，= ( i a f + f ) x ”一1 + a f + y ，m = 1 ，2 t h i si t e r a t i o ns c h e m ec a nb ei n t e r p r e t e da st h es t e e p e s td e s c e n ta l g o r i t h m a p p l i e dt ot h eq u a d r a t i cf u n c t i o nz i f x 一圳2 b e s i d e st h e s e ，w eh a v eg o tt h ec o n c l u s i o no ft h ec o n v e r g e n c ea n dc o n v e r - g e n c er a t e so fi t e r a t i v es o l u t i o nz ”，6t ot h ee x a c ts o l u t i o nxa sb e l o w ： ( 1 ) a s s u m ez = f z f 。( y ) ，a n d l l z l i e ，c h o o s ec 1 鲁sm ( 6 ) 5c 2 鲁，0 c 1 c 2 ，t h e nw eh a v e l l x ，6 一z 0 = 0 ( 、6 ) ； ( 2 ) a s s u m ez = f f z f f ( x ) ，a n d l l z l i e ，c h o o s ec 1 ( 导) 2 3 m ( 6 ) c 2 ( 鲁) 啪，0 e l c 2 ， t h e nw eh a v e l l x m , 6 一z i l = d ( 6 2 3 ) ； ( 3 ) w h e nu s el a n d w e b e rr e g u l a r i z a t i o nf o rl i n e a ri l l - p o s e dp r o b l e m s ，i fw e h a v es t r o n g e rr e s t r i c tt ox ，t h ei t e r a t i v es e q u e n c e z m , 6 c o n v e r g e st ot h ee x a c t s o l u t i o nw i t ht h es p e e do fd ( 6 2 2 r + 1 ) a tm o s t i v o w h e nw ea p p l yt h ea b o v em e t h o d s t on o n l i n e a ri u p e dp 。o b l e m 8 ，b 争 c a u s eo ft h em p o s e d n e s so fn o n l i n e a rp r o b l e m s ，t h e s 0 1 u t i o no fe q u a t l o nu s u - a l l vd o e s n td 印e n do nt h ed a t ac o n d i t i o nc o n t i n u o u s l y o ri s n tu 1 1 1 q u eo r d o e s n te x i s t a tp r e 8 e n tt h es t u d yo fl a n d w e b e rr e g u l a r i z a t i o n f o rn o n h n e 盯1 l l 。p o s e d p r o b l e m s 盯ea l lb a s e do ns e v e r a la s s u m p t i o n s o ni n i t i a lc o n d i t l o 瑚o rs p e c l a l h 曲e r t 印獬t 0d i s c u s st h ec o n v e r g e n c ea n d c o n v e r g e n c er 黼i h i sp a p e r s 啪m 撕z e st h ef o r m e rs t u d y , a n d a n a l y z e ，s t u d ya n dc o r n p a r 叭h e 唧h ? 吼? o fl i n e a ra n dn o n h n e a rp r o b l e m s o nt h eb a s eo fi t , w eu s eam e t h o d 钠t n p a r 缸n e t e rt os o l v et h ep r o b l e m i no r d e rt o0 v 哪c o i n et h ef i r s tp r o b l e m s ，w em a k es e v e r a la s s u m p t i o n 8 够 b e l o w ： ( 1 ) t h ef r 芭c 九e d e r i v a t i v ef ，( ) o ff i sl o c a l l yu n i f o r m l yb o u n d e d ； ( 2 ) 愀z ) 一踊一脚) ( z 一训n l l f ( z ) 一f ( x 动l l ，7 7 1 ，z ，i 伟( 知) c 烈f 2 r h 。 n o 】血n e 缸皿p o s e dp roble脚isthel a n d w e b e ri t e r a t i v ee q u a t i o nf o r t h e n n o n l l n e 瞰1 u p wp “。“一 x k + l ：z 七+ a f ( z k ) ( y f ( z k ) ) ，k = o ，l ，2 ， 向嘿三parameterthis讧哆酬0【k以一gm鳓们。ncondition i se n o u g ht oe n s u r e a t t h i s l e 瞄l1 u c a l 。u i i ”孔6 “ 。荆= 徊驰。) o fl 幽b e r r e g u l 盯i z 加a s b e l 咧：w e h a v et h ec o n v e r g e n c ec o n c l u s l o l l o il a 凸uv v e u c 工工c 5 u u 止一。 a 删z 抽a s o l u t i o no ft h en o n l i n e a ri l l - p o s e dp r o b l 邮f ( z ) 。? ，黑 d i s t u r b e dd a t a 矿s a 七黼e sl l 矿一y l ls 6 t h ei t e r a t i o ni ss t 。p p e da f t e r = ( 6 ) s t e p sa c c o r d i n gt o ag e n e r a l i z e dd i s c r e p a n c yp r i n c l p l e ，1 e l i 矿一f ( z ：。) 1 1 7 6 i i 矿一f c x ：) l l ，0 知冬七 t h e na c c o r d i n gt ot h ea s s u m p t i o n s ，w eu s e x k + l ：z 七+ a r ( z k ) ( 矽一f ( z k ) ) ，k = 0 ，1 ，2 ， flllli【ii t os 0 1 v et h ep r o b l e m ，w eh a v et h ei t e r a t e ds o l u t i o nz 毛6c o n v e r g e st ox , , a n d z 一z 。i l = i i e k i i c i l ，1 1 1 ( 2 v + 1 ) 6 2 ”7 2 ”+ 1 s ow ep r c v e dt h a tt h ei m p r o v e dm e t h o di sa v a i l a b l e f o rp e r t u r b e d d a t a w i t hn o i s el e v e l6w ep r o p o s eas t o p p i n gr u l et h a ta l s oy i e l d st h ec o n v e r g e n c e r a t e0 ( 6 ) ，b u tw i t hw e a k e rc o n d i t i o n s ( r 0 z o ：= 0 ，z m = ( ，一a f + f ) x “一1 + a f + y ，m = 1 ，2 对于有扰动的情况，迭代格式即为： z ”，6 = 一1 ，6 + a f + ( y f x m - 1 , 6 ) ，m = 0 ，1 ，2 ( 1 3 2 ) 该迭代法实际上是求解二次泛函i i f z 一圳2 极小值的以步长为a 的最速下降 法。 对于迭代解，6 到精确解x 的收敛性与收敛速度，有如下结论： ( 1 ) 令z = f 。z f ( y ) ，且i i z 0 e ，选取c 1 鲁- o ) c 2 鲁，0 c 1 c 2 ，贝q 育i i z ”，6 一z 0 = d ( 、厉) ； ( 2 ) 令z = f + f z f + f ( x ) ，且ise ，选取c 1 ( 鲁) 2 3 c 2 ( 鲁) 2 30 c l c 2 ，则有i i z ”，6 一z 0 = d ( 6 2 3 ) ； ( 3 ) 在用l a n d w e b e r 正则化方法解决线性问题时，如果对x 制，迭代序列x m , 5 最快以0 ( 矿2 r + 1 ) 的速度收敛到精确解。 而解决非线性方程，即方程( 1 3 1 ) 的算子f 是非线性的情 非线性问题的不适定性，方程的解往往不连续依赖于数据条件。 我们都做如下假设： 一4 一 山东大学硕士学位论文 ( 1 ) f ，( ) 局部一致有界： ( 2 ) i i f ( z ) - f ( x - ) 一，( z ) ( z z ) 0 冬n l l f ( = ) - f ( x - - ) | i ，叩 1 ，z ，z 体( x o ) c d ( f ) 类似于( 1 3 2 ) ，我们写出针对非线性不适定问题的l a n d w e b e r 迭代格 式： x k + 1 = x k + a f ( z 七) + ( y f ( z 七) ) ，k = 0 ，1 ，2 ，( 1 3 3 ) 其中，a 是参数。f ，( ) + 是f ，( ) 的共轭。x 0 是初值，包含了精确解戤的先 验信息，若f 是线性算子，则迭代( 1 3 3 ) 与线性的l a n d w e b e r 迭代是一 致的。 a n d r e a , sn e u b a u e r 用不带参数的l a n d w e b e r 迭代方法解决非线性不适 定问题时，得到了比t i k h o n o v 更好的收敛速度，但是需要在特殊的h i l b e r t 空间中，对i | 忆有更强的限制【l 】。m h a n k e ，a n e u b a u e ra n do s c h e r z e r 在一般的h i l b e r t 空间中对该问题做出了分析，在要求的局部性质中，限 制条件相对较强。本文通过总结比较前人所做的研究，分析l a n d w e b e r 正 则化在线性问题与非线性问题中的应用，并在此基础上，用一种带参数的 l a n d w e b e r 迭代方法解决该问题，并证明改进的方法用来解决非线性不适定 i ；j 题是可行的，在扰动数据误差界6 下，同样得到收敛阶为d ( 6 ) ，但限制 条件相对较弱。 一5 一 山东大学硕士学位论文 第2 章主要结论 2 1引言 考虑非线性算子方程 f ( x ) = y( 2 1 1 ) 这里f ：d ( f ) 一y ；非线性，定义域d ( f ) cx 其中，x ，y 都是h i l b e r t 空间，我们假设方程( 2 1 1 ) 有解z 。但并一定唯一，扰动输入数据y 6 ，满 足 i 妒一洲5( 2 1 2 ) 所谓不适定问题就是方程( 2 1 1 ) 的解以不连续依赖于右端数据y 对 微小的扰动数据y 6 ，可能方程( 2 1 1 ) 得到的近似解与z 。相差甚远或变得 毫无意义。因此，我们需要用一种正则化方法来解决这个问题，从而得到合 理的z 。的近似解。对线性不适定问题，我们已经知道t i k h o n o v 正则化是著 名的正则化方法，在 4 】中，此方法得到了很好的应用。对非线性不适定问 题，t i k h o n o v 正则化方法在【3 ，6 ，7 1 中也得到了研究。l a n d e r w e b e r 迭代 是不同于t i k h o n o v 正则化的另外一种解决不适定问题的方法，它在解决线 性不适定问题上的应用在f 5 1 中已经得到了阐述。在稳定性方面，尤其在大 型问题的求解上，l a n d w e b e r 迭代比t i k h o n o v 方法有更好的优越性 8 。我 们关心的是l a n d w e b e r 迭代在解决非线性不适定问题上的应用。下面，我 们写出针对非线性问题的l a n d w e b e r 迭代形式： z 七+ 1 = z 七+ a f 7 ( z 膏) ( y f ( z k ) ) ，k = 0 ，1 ，2 ，( 2 1 3 ) 这里，a 是参数，是不同于【1 3 】的地方，我们要求f 的f r d c h e t 导数 f ，( ) 在局部是一致有界的，f ，( ) + 是( ) 的共轭。x o 是初值，包含了精确 解z 。的先验信息，若f 是线性算子，则迭代( 2 1 3 ) 与线性的l a n d w e b e r 迭代是一致的。对于有扰动的问题，只要把( 2 1 3 ) 中的y 换成矿，相应的 钆换成即可，并且我们假设z 5 = z o 。 在以z o 为中心，p 为半径的球体( z o ) 内，我们需要- f 面的局部性质： 一6 一 i f ( x ) 一f ( 习一f ，( z ) ( z 一习l is 7 | i f ( z ) 一f ( 习i i ，7 而i + t ( 2 1 6 ) 7 可i 声赫 而 ( 2 1 6 ) 也就是说，k 。是第一次使y 6 一f m ) 达到我们误差要求的指数。 2 2l a n d w e b e r 迭代的收敛性 首先我们指出条件( 2 1 4 ) 指明了方程( 2 1 1 ) 在体( z o ) 中所有可能 解的一个性质： 性质2 1 如果( 2 1 4 ) 成立，文是( 2 1 1 ) 的一个解，z 体( z o ) 。 那么任何其他的解氖体( x o ) ，满足 z 。一夏n ( f 7 ( z 。) ) 这里( ) 代表算子f ，( z ) 的零空间 性质2 2 假设z 。是( 2 1 1 ) 在他( 跏) 中的一个解，k 是由停止规则 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 决定的，扰动数据y 6 满足( 2 1 2 ) ，若( 2 1 4 ) 成立， 那么我们有 i l z 。一z 2 + 10 i x 。一z 2 | | ，0 k k ，( 2 2 1 ) 并且，如果6 = 0 ，那么有， 一f ( x 七) 1 1 2 0 ，f z 中的二元组( t ，i i f l l ) 。对于非线性的t i k h o n o v 正则化问题， z + 一x 0 = ( f ，( z + ) + f 7 ( z + ) ) ， 0 ，z( 2 3 1 ) 中相应的参数( ，i i f l l ) 同样起着决定收敛速度的作用， ( 2 3 1 ) 实际上是对 x - i - 一z o 的一种光滑性假设。 不同于t i k h o n o v 正则化方法，假设( 2 3 1 ) 还不足以保证l a n d w e b e r 迭代的收敛速度，我们需要f 另外的性质， f 7 ( z ) = j 乙f ( z + ) ，z 纬( z o ) ( 2 3 2 ) 这里忍：z 伟( z o ) 是一族有界线性算子，兄：y _ y ，满足 0 f 乙一i i l c i i x z + 0 ，z 体( z o ) ( 2 3 3 ) c 是正常数，注意到对线性情况，则忍兰i 。因此， ( 2 3 2 ) 可以理解成 是对f 非线性的进一步限制，特别地， ( 2 3 2 ) 包含着 ( ，( z + ) ) cy ( f 7 ( z ) ) ，z 伟( z o ) 一r 一 i f 东大学硕士学位论文 从( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 不难看出，当p 充分小，对z 佛( z o ) 有 i i f ( z ) 一f ( x + ) 一f ，( z ) ( z z + ) i l ，1 = i i ( f 7 ( 魂) f ，( z ) ) ( z x - i - ) d t l l j 0 厂1 ( 2 3 4 )，1i 4 j i i ( 如一，+ j r 一忍) ，( z + ) ( z z + ) l l d t ，o ；c l i e 7 ( 石+ ) ( z x - t - ) 1 11 1 z 一2 ：- i - i i 成立，这里，魂：= t x - t - ( 1 一t ) x + ，0 1 。 定理2 3 假设( 2 1 1 ) 在魄( 跏) 中有解，矿满足( 2 1 2 ) ，f 满足( 2 1 4 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 若矿一x 0 满足( 2 3 1 ) ，其中0 u 互1 ，i l f l l 充分 小，那么存在正数c ，满足 z + 一z 2 l i c 1 l f l l c k + 1 ) 一移( 2 3 5 ) 05k 0 ，只依赖于t ， 一9 一 l l j 东大学硕士学位论文 第3 章定理证明 性质2 1 如果( 2 1 4 ) 成立，z 。是( 2 1 1 ) 的一个解，z 。绋( z o ) 。 那么任何其他的解磊佛( z o ) ，满足 z 。一瓦n ( f 7 ( z ，) ) 这里( ) 代表算子f ，( 巩) 的零空间 证明i 从( 2 1 4 ) 我们立即可以得到： r 而1i i f 7 ( z ) 一习| | i i f ( z ) 一j f l ( 习| i r 鬲1 | i f 7 ( z ) 一习i i( 3 1 ) 对所有的z ，z 体( 黝) 都成屯。n l l t , ，若f ( z ，) 一f ( 瓦) = 0 ，则p ( 文) ( 巩一 瓦) = 0 ，即z 。一瓦n ( f 7 ( z 。) ) ，结论得以证明。 性质2 2 假设z 是( 2 1 1 ) 在魄( z o ) 中的一个解，是由停止规则 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 决定的，扰动数据y 6 满足( 2 1 2 ) ，若( 2 1 4 ) 成立， 那么我们有 i l z + 一z 2 + 1 i i i l z 。一z ：| i ，0 k 并且，如果6 = 0 ，那么有， 并且 恬一f ( z 七) l | 2 o o k = 0 证明：令0s k ，从( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 我们有z 2 镌( z 。) c 体( z o ) ， 一1 0 一 山东大学硕士学位论文 j i x 。一z 2 + 。0 2 一i i x 。一z ：1 1 2 = 2 ( 一z 。，+ ，一) + 0 + 。一1 1 2 = 2 n ( z 2 一z 。，f 7 ( z 2 ) ( s ，6 一f ( z ：) ) ) + a 2 l i e 7 ( z 2 ) ( 可6 一f ( z ：) ) | f 2 = 一2 a ( y 6 一f ( z 2 ) ，f 7 ( z 2 ) ( z 。一z 2 ) ) + a 2 ( y 6 一f c x 6 k ) ，f 7 ( z 2 ) f 7 ( z 2 ) + ( y 6 一f ( z ：) ) ) = 2 a ( y 6 一f ( z 2 ) ，y 6 一f ( z 2 ) 一f 7 ( z ：) ( z 。一z ：) ) 一a ( y 6 一j f l ( z 2 ) ，y 6 一f ( z 2 ) 一o ，( z 2 ) f ，( z 2 ) ( 矿一f ( z ：) ) ) 一a l l u 6 一f ( z ：) 1 1 2 = 2 a ( y s f ( z 2 ) ，f ( x 。) 一f ( 4 ) 一，( z ：) 。一z ：) + y 6 一y ) 一o ( 可6 一f ( z ：) ，y 6 一f ( z 2 ) 一a f 7 ( z 2 ) f 7 ( z 2 ) + ( f 6 一f ( z ：) ) ) 一n l i 矿一f ( ) 1 1 2 _ 2 a l l y 6 一f ( z 2 ) i i ( 叩| i 可6 一f ( z ：) i | + t 7 j + j ) 一2 0 1 1 y 6 一f ( x 2 ) 1 1 2 + a 2 i i f ( z ) 1 1 2 扩一f ( x 2 ) 1 1 2 = a l l y 6 一f ( z 2 ) i i ( ( 2 ，7 2 + a l l f ( x ) 1 1 2 ) i l y 6 一f ( z 1 ) 0 + 2 ( 1 + 叩) j ) 因为k k 。，故由( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 得右端项为负数，( 2 2 1 ) 式得以 证明。 若巧：0 ，则我们有 i i x 。一z 七+ i i i 2 + a ( 2 2 7 7 一a l l f ( x ) 1 1 2 ) l l u 6 一f ( x 七) 1 1 2si i x 一z 七1 1 2 对所有k n o 都成立，故 掣扩f ( 瓢) | 1 2 而瓦知丽i i x , - - x o i l 2 结论( 2 2 2 ) 得证。 从上面的证明过程中看到，要求2 7 一2 + a l l f ( x ) 1 1 2 0 ，故7 1 一剖f 7 ( x ) 1 1 2 ，但只要叩 0 ，使a l l f ( x ) 1 1 2 1 ， 且r m ，我们由性质2 2 ，有 i i z 乏一z ，l i i l z 量一- 一z + | | sl | z 乏一z i i( 3 7 ) s l i z 乏一z 缸。i i + i i z 一z + i l 、 由定理2 1 我们得到，可以固定m ，满足其足够大，从而( 3 7 ) 右端式的最 后一项收敛到0 ，假设k 固定，那么应用( 3 6 ) ，我们得出i | z 乏一z 。i i _ 0 ，亿_ o o ，定理得证。 定理2 3 假设( 2 1 1 ) 在毪( z o ) 中有解，y 6 满足( 2 1 2 ) ，f 满足 ( 2 1 4 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 。若z + 一z o 满足( 2 3 1 ) ，其中0 可；，i i f l i 充分小，那么存在正数巳，满足 z + 一z 2 i | c 1 l f l l ( k + 1 ) 一( 2 3 5 ) 0 k 。对于精确数据 = o ) ， ( 2 3 5 ) 对所有的k 0 都成立。 证明：由性质2 2 ，迭代( 2 1 3 ) 是可行的，因此，所有的迭代z 2 ，0 尼k ，包含在绋( z o ) cd ( f ) 中，我们记k ：= f 7 + ) ，e 知：= z + 一z 为迭 代的第k 步误差，则由( 2 1 3 ) 我们有 + 1 = e 七一a k 。( f ( z + ) 一f ( z ：) ) + n ( k 一f ，( z ：) + ) ( 秒6 一f ( z ：) ) + a k 一暑6 ) = ( f a k + k ) e k a k + ( f ( z + ) 一f ( z ：) 一k ( z + 一z ：) ) + 。k ( f 一2 ) ( 矿一f ( z 2 ) ) + a k ( 剪一y 6 ) ( 3 8 ) 一1 4 一 i i , l i i 东大学硕士学位论文 类似于( 2 3 4 ) ，有 l i e ( z + ) 一f ( z 2 ) 一k c x + - x 2 ) l l 丢c l | e 七i ii i k e 。i i 另一方面，由0 k k 。及7 ，我们有 i l y 6 一f ( z 2 ) i | 2 ( 1 l y z f ( z ：) i i 一6 ) 2 1 1 y f ( z ：) | |( 3 9 ) 由( 3 1 ) i i ( x 一2 ) ( 矿一f ( z t ) ) l l 2 c i i e 七l i l l y f c x t ) l l 4 c i i e k l l l l g e 七 故 e k + 1 = ( ，一a k + k ) e k + a k + z k + a k + ( 可一y 6 ) 其中 0 i i z k l i 吾c i i e k l l l l g e k l l ，0 k ( 3 1 0 )。 对0 k ，误差表达式可表示为： e 七= ( j 一口k k ) k e o 4 - n ( i - a k k ) k 张叫一1 + n ( ，一。k + k ) k ( 可一y 6 ) j = o j = o ( 3 1 1 ) 七一1 k e k = ( ，一a k k + ) 七k e o + a ( i - a k k + ) k k z k - j - 1 + 【，一( ，一a k k ) 】( y y 6 ) j = o 下面我们需要证明 i i 勺i i c 。l l f l lc j + 1 ) 一 ，i i k e j i i c 1 l f l l ( j + 1 ) 一”一( 3 1 2 ) 其中，0 j 0 ，我们用递推归纳法：假设 ( 3 1 2 ) 对0 歹 k ，k 0 ，依赖于口( 0 ，；】a 故 e k l i 0 0 t ， 互1 口= 口互1 瓜 + 一一 七 z 1 2 一 l+ “：豆 厄 + ， 可 一 l + 七0 一 七 e 南 知 簖措 h 舢 = & 汁估 南 = 记 令 、， l 趸 、l ， 一 、， id 缸 十d ， + d 轨 d o d ，-illjcliil【 1 ，l l 一2 一 s 卜厂，jh ， p一 1 + 七 g 0 ，有限，依赖于u ，i i i l 可任意小，那么不失一般性，i i 1 1 1 ，则i i 。0 ( 1 + o a ) l l f l i 。 从另一方面，有 i i k ( k + k ) ” i l = i i k e k 一 i 一( i a k + k ) k ( 耖一矿) i l ( 1 + n ) l l y f ( z 2 ) 0 + 6 ( 1 + 叩) ( 1 + 7 ) j + 6 = ( ( 1 + 7 7 ) ( ，y + 1 ) + 1 ) 6 故i i ( k + k ) ” 。0 c i i 1 1 1 ( 知+ 1 ) 6 2 ”( 2 计，c 0 则估计 恢。l l i i ( k + k 尸 。l l 十压6 若k 。= 0 ，则结论成立，否则的话，令k = 一1 由( 3 1 3 ) 得到 + c t l 1 1 6 故 氏c 。c i i l l 6 ) 2 ( 2 v + t ) 代入i i e k i i 的估计式，得 忙+ 一i | = 慨0 c 2 1 1 1 1 1 1 ( 2 v + 1 ) 6 2 ”( 2 州) 定理得以证明。 一1 8 一 山东大学硕士学位论文 第4 章数值举例 这一节我们把上面的结果应用在非线性不适定h a m m e r s t e i n 方程上， 来研究它的收敛性和收敛速度。假设( 2 3 1 ) 的光滑性条件在 3 中已经得 到了证明。 算子f 如下， f ：h 1 o ，1 】_ l 2 【o ，1 】 ； z _ ( z ( s ) ) d s ， o 假设伊，1 ( j ) ，很明显，算子f 是f r d c h e t 可导的，它的f r d c h e t 导 数和共轭为 之 ( f ，( z ) ) ( t ) = ( z ( s ) ) 九( s ) d s ( f ，( 矿) ( s ) = 揪小) ) 叫叫 ( 4 1 ) 这里b ：d ( b ) = 矽h 1 0 ，1 】| ( o ) = 矽7 ( 1 ) = o ) 一l 2 o ，1 】定义如 下， b e ：= 一矽+ 砂 若( z ) k ，k 0 ，其中z 体( z o ) ，贝u ( z ) = 见( z ) f 7 ( z ) ，z ，z 体( z o ) 酬证一( 辎呻7 并且 0 见( z ) 一，0 c 0 z z i l z ，z 佛x o ) 其中c 为不依赖于z ，z 的正数，很明显条件( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 1 4 ) 都是成 立的。 一1 9 一 i i i 东大学硕士学位论文 下面我们取( z ) = z 2 + z ，则 f ( z ( ) ) = ( z 2 ( s ) + z ( s ) ) d s 若令y = 2 t ，则x ( 8 ) = 1 选初值 z 。= 1 o + o 0 1 ( 1 o 一言s 2 + 百1 s 4 ) 结合( 2 1 3 ) ( 4 1 ) ，则该问题可归结为二阶微分方程的解， 焉= 篇”眦 其中，a = z 七+ l z 七，迭代在满足条件( 2 1 5 ) 时自然停止。 t a b l e1 ：数值解的误差和收敛速度 6k 。 桫一f ( z 2 。) i |e , c o r ：= l l x + 一z 钏e r r o r 6 0 3 6 1 0 02 60 1 4x1 0 0 0 7 9 1 0 0 0 8 3x1 0 0 0 1 0 1 0 05 70 3 3 1 0 10 7 7 1 0 00 4 1x1 0 0 0 3 6 1 0 12 5 00 1 7 1 0 10 6 8 1 0 10 2 7x1 0 0 0 1 0 1 0 15 3 00 1 4 1 0 20 4 5 1 0 10 2 2x1 0 0 0 3 6x1 0 27 2 50 1 1 1 0 20 2 9 1 0 2 0 2 1 1 0 0 本例中，咖 ) 的选取对于条件( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 1 4 ) 都是成立的，对y 选 取不同的扰动6 ，则有y 6 = y + 6 ，并且我们在m a t l a b7 1 环境下用如上二阶 微分方程的解z 是去逼近精确解z = 1 得到的数值解的误差和收敛速度如 表1 所示。 一2 0 一 l ii 东大学硕士学位论文 算法如f ： ( 1 ) i n p u ta ，5 ，r ，z o ，珈 ( 2 ) y 6 = y o + 6 ( 3 ) f o r k = 1 ，2 u n t i l c o n v e r g e n c e d o ： ( 4 ) c o m p u t e a ( a = z 2 +