江苏省苏州市2017届初三上学期数学期末复习专题提优《抛物线与特殊四边形》.doc

初三数学期末复习专题提优抛物线与特殊四边形 抛物线中的特殊四边形问题通常是在抛物线图像与性质的背景下，通过运算证明特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形)的判定条件，解法比较灵活，综合性较强，偏重于考查考生分析图形、以算代证、综合应用数学知识解决问题的能力.学生要较熟练地应用待定系数法、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想和特殊四边形的性质和判定公理.类型一 抛物线与平行四边形1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点为(2,0),与轴的交点为，对称轴是直线，对称轴与轴交于点. (1)求抛物线的函数表达式; (2)经过的直线平移后与抛物线交于点，与轴的交点为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求出点的坐标.2.如图，经过点的抛物线与轴相交于,两点. (1) 0, 0(填“”或 “”); (2)若该抛物线关于直线对称，求抛物线的函数表达式; (3)在(2)的条件下，连接是抛物线上一动点，过点作的平行线交轴于点.是否存在这样的点，使得以为顶点所组成的四边形是平行四边形?若存在，求出满足条件的点的坐标;若不存在，请说明理由.3如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（4，0）（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S求S的最大值；在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值4如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由类型二 抛物线与矩形、菱形、正方形5.如图，已知抛物线的图像经过两点.(1)求抛物线的解析式;(2)若是抛物线上位于第一象限内的点，是线段上的一个动点(不与重合)，过点分别作交于交于. 求证:四边形是矩形; 连接，线段的长是否存在最小值?若存在，求出的最小值;若不存在，请说明理由.6.在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点. (1)求过三点的抛物线的解析式; (2)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为. 当四边形为菱形时，求点的坐标; 若点的横坐标为，当为何值时，四边形的面积最大?并说明理由.7.如图，矩形顶点的坐标为 (8,3)，定点的坐标为(12, 0)，动点 从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的负方向匀速运动，两点同时运动，相遇时停止.在运动过程中，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，设运动时间为秒. (1)当= 时，的边经过点; (2)设和矩形重叠部分的面积为,求关于的函数表达式; (3)如图，过定点作，垂足为,当的顶点落在矩形 的内部时，过点作轴、轴的平行线，分别交于点，若，求的值.8. 如图，一次函数的图像与二次函数的图像相交于两点，点的横坐标分别为. (1)当时，= ,= ; 当时, = ,= ; (2)根据(1)中的结果，用含的代数式分别表示与b，并证明你的结论; (3)利用(2)中的结论，解答下列问题: 如图，直线与轴，轴分别交于点,点关于轴的对称点为点，连接.当时，求的值(用含的代数式表示); 当四边形为菱形时，与满足的关系式为 ; 当四边形为正方形时，= ，= .9如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PFx轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标参考答案1.(1)抛物线与轴的一个交点为，对称轴是，解得，抛物线的函数表达式为. (2)当时，如图 点和点关于对称，点的坐标为(6,4) 当时，如图 点的纵坐标是4，在抛物线上， ，或， 点的坐标为或.2.(1)(2)直线是对称轴， 将的坐标分别代入，解得， 抛物线表达式为. (3)存在，理由如下： (i)假设存在点,作如图1辅助线，四边形为满足条件的平行四边形， 抛物线关于对称，存在点. (ii)假设还存在点，作如图2辅助线，为满足条件的平行四边形，的纵坐标是4， 解得， .3. （1）把A（0，8），B（4，0）代入y=x2+bx+c得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2+x+8；当y=0时， x2+x+8=0，解得x1=4，x2=8，所以C点坐标为（8，0）；（2）连结OF，如图，设F（t， t2+t+8），S四边形OCFD=SCDF+SOCD=SODF+SOCF，SCDF=SODF+SOCFSOCD=4t+8（t2+t+8）48=t2+6t+16=（t3）2+25，当t=3时，CDF的面积有最大值，最大值为25，四边形CDEF为平行四边形，S的最大值为50；四边形CDEF为平行四边形，CDEF，CD=EF，点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t8， t2+t+12），E（t8， t2+t+12）在抛物线上，（t8）2+t8+8=t2+t+12，解得t=7，当t=7时，SCDF=（73）2+25=9，此时S=2SCDF=184.（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=x22x；（2）抛物线的解析式为：y=x22x，其对称轴为直线x=2，连接BC，如图1所示，B（5，0），C（0，），设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），解得，直线BC的解析式为y=x，当x=2时，y=1=，P（2，）；（3）存在如图2所示，当点N在x轴下方时，抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，），N1（4，）；当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2Dx轴于点D，在AN2D与M2CO中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即N2点的纵坐标为x22x=，解得x=2+或x=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，），（2+，）或（2，）5.(1)图像过点，. (2)作如图辅助线， 代入， 解得或(舍去).,是矩形. 存在，连接.当时，的值最小是2.6.(1)(2)点坐标为或时，四边形的面积最大.7.(1)(2)三种情况：时，如图甲， 时，如图乙, 时，如图丙， (3)8.(1)3,4 1,6 (2) (3) 若四边形为菱形，； 若四边形为正方形，.9.（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，解得，经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=x2+2x+3；（2）如图1，连接PC、PE，x=1，当x=1时，y=4，点D的坐标为（1，4），设直线BD的解析式为：y=mx+n，则，解得，直线BD的解析式为y=2x+6，设点P的坐标为（x，2x+6），则PC2=x2+（3+2x6）2，PE2=（x1）2+（2x+6）2，PC=PE，x2+（3+2x6）2=（x1）2+（2x+6）2，解得，x=2，则y=22+6=2，点P的坐标为（2，2）；（3）设点M的坐标为（a，0）