（应用数学专业论文）一类随机微分方程的差分算法的研究.pdf

摘要 摘要 隧着科学技术的飞速发展，随机因素对系统的影响日益受到重视，而作为 概率论、隧机过程、微分方程相结合发展褥成的随机微分方程的研究，也越来 越受到科学工作者的重视一般情况下，随机微分方程的理论解的解析表达式 难以得到，数值方法的构造就显得尤为重要，丽数值方法的有效性通常是用收 敛性、稳定性来衡量，本文主要研究了随机差分方法在求解自治标量随机微分 方程中的相关性质 本文首先介绍了随机微分方程的相关背景知识和研究现状，以及随机微分 方程的基础知识差分法在构造微分方程数值解的过程中起了重要作用，在随 概微分方程中也同样被广泛应用其次本文给潞了求解皇治标量随机微分方程 的欧拉格式，证明了方程的偏移系数和扩散系数均满足李普希兹( l 主p s e h 量t z ) 条件时，方法的均方局部收敛阶和强收敛阶分别为1 o ，并且迸步对线性检 验方程的三种欧拉格式的稳定性进行了讨论 最后，本文在常微分方程的中心差分法和随机微分方程的欧拉法的基础上， 给出了种改进的差分格式，并鼠求掰了此方法在方程系数满足全局李普希兹 条件和线性增长条件时的局部收敛阶，讨论了两种检验方程的此方法豹矗一稳定 性、均方稳定性、t 一稳定性以及指数稳定性的条件。 关键词：随机微分方程；欧拉法；差分法；收敛性；稳定性 a b s t i a c t a b s t r a c t w i t hm ed e v e l o p m e n to ft h es c i e n c ea 1 1 dt e c l l i l o l o 烈p e o p l eh a v ea t t a c h e d v e 叮g r e a ti m p o r t a i l c et oe 丘- e c t so fs t o c h a s t i cf a c t o ro nt h es y s t 锄d a yb yd a y t h e r e s e a r c ho fs t o c h a s t i cd i 仃打e n t i a le q u a t i o n ( s d e ) w a sp a y e dm o r ea t t a t i o nb yt l l e s c i e n t i f i cw o r k e r sw h i c hi sac o m b i n a t i o no fp r o b a b i l i t ym e o s t o c h a u s t i cp r o c e s s 锄dd i t i a le q u a t i o n i ng e n e r a l l y s t o c h a s t i cd i 脑e i l t i a le q u a t i o nd on o th a v e e x p l i c i ts o l u t i o n ，s o i ti s i m p o r t a n tt 0c o n s t m c tm l m 甜c a ls o l u t i o nm e t h o d t h e v a l i d i t ) ，o fn 啪面c a ls o l “o nm e t h o di sm e a s u r e db yt h ec o n v e 唱e n c ea n d s t a b i l i t y ：7 i h eq u a l i t yo f s t o c h a s t i cd i 佰：r e n c em e t h o dt 0s o l v et h es t o c h a s t i c d i f | 衙e i l t i a le q u a t i o ni ss t i l d i e di nt l l i sp 印e l mt l l i sp a p e r 丘r s t ，m eb a c k g r o u n do ft h es t o c h a s t i cd i 触i a le q u a t i o n s ，t h e r c s e a r c hs i t l l a t i o na n dm eb a s i so fb “n 百n gf o r w a r d 廿1 ep r o b l e n la r ei n t r o d u c e d t h e d i f f e r e i l c em e m o di si m p o r t 觚ti nc o n s 讯l c t i n gt h en u m 甜c a lm e m o df o ft 1 1 eo r d i n a 叫 d i 行e r e n t i a le q u a t i o n s t h em e t h o di sa l s ou s e di ns t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i d e l y s e c o n d ，t h ee u l e rm e t h o d so ft h es c a l a ra u t o n o m o u ss t o c h a s t i cd i f f 打e n t i a l e q u a t i o n sa r e 酉v e l l t l l ec o n v e 玛e n c eo ft h em e t h o dw h e nt h e 嘶rc o e m c i e i l ta n d d i 觚s i o nc o e 硒c i e l l to ft h ee q u a t i o ns a t i s f i e dt h eg l o b a ll i p s c h i t zc o n d i t i o n i ti s s h o w nt h a tm em e a n - s q u a r el o c a lc o n v e r g e n c eo r d e ra i l dt h es t r o n gc o n v e r g e n c e o r d e ro fm ee u l e rm e t h o da r e1 o t h es t a b i l i t yo ft l l r e ek i n d se u l e rs c h e m e sf o rt h e 1 i n e a rs t o c h a s t i cd i 仟打e n t i a le q u a t i o n sh a sb e e nd i s c u s s e d f i n a l l y ，an e wd i f f 醯e n c em e t h o di nt i l eb a s i so ft h ee u l e rm e t h o da 1 1 dt h ec e n t e r d i 疗旨e n c eo ft h eo r d i n a 叫d i 行e r i e n t i a le q u a t i o ni s 西v e n t h e1 0 c a lc o n v e r g e n c eo r d e r w h e nt h ec o e 街c i e n to ft h ee q u a t i o ns a t i s f i e dt h e 舀o b a ll i p s c h i t zc o n d i t i o na n dt h e l i n e a r 黟o w t hc o n d i t i o ni sp r o v i d e d t h es t a b i l i t yc o n d i t i o n so fm em e m o do ft h et e s t e q u a t i o n ，f o r t h e a s t a b i l i 劬m e a l l 一s q u a r es t a b i l i t y ，t - s t a b i l i t y a n d a s y l p t o t i c s t a b 订i t ya r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cd i f i 研e i l t i a le q u a t i o n ；e u l e rm e t h o d ；d i 仃e r e n c em e t h o d ； c o n v e 唱e n c e ；s t a b i l i t y i i 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： 学位论文使用授权说明 年月日 河海大学、中国科学技术信息研究所( 含万方数据库) 、国家 图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学 位论文的复印件或电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期 内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公 布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ：年月日 第一章绪论 第一章绪论 l 。l 随机微分方程的发展背景及研究现状 在当代无论是自然科学还是社会科学的研究中，其发展都分为确定的和随 机的两部分定性的与经验的理论被定量的与数学的理论所代替或补充已成为 研究的重要方向之研究的主要方法是用构造方程的办法来描述现实过程， 在研究实际物理现象的数学建模时，从一个物理问题转到一组数学问题绝不会 是完全精确的，由子它的不确定性、复杂性，不可避免地给数学建模带来一些 不确定的因素确定性的微分方程在物理和工程问题中的应用是人们所熟悉的， 而这些不确定的因素往往是问题的关键所在，不可忽视，而一般的确定性微分 方程不能够解决这些随机问题，因此随机微分方程的研究就越来越重要，利用 随机方法来处理问题，就成为自然而必要的手段特别是近三十年来随着随机 微分方程越来越广泛地应用于系统科学、工程控制、生态学等各个方面，使得 随机微分方程的理论和应用有了迅速的发展，内容十分丰富 随机微分方程正是在随机过程理论和确定性微分方程理论的基础上发展起 来的，具体的发展过程如下： 早在随机过程严格的数学理论建立之前二十年，就已经提出了微分系统的 随机积分问题 1 9 0 2 年，g i b b s 【1 l 在讨论统计力学问题时，研究了保守力学系统的 h a 搬i l 幻n j 曲i 微分方程组，它的初始积分状态是随枧的，这就是最早熬随机 微分方程闻题 1 9 0 8 年，协g e v i n l 2 l 在研究布朗运动时得到了新的形式 肌掣：一摩( f ) + j ，( f ) ( 1 1 1 ) 露f 其中，x ( f ) 表示液体微粒在某一方向的运动速度，一摩( ) 表示介质中分子运动 对微粒碰撞构成的随机作用，y 为随机作用力，这种形式叫乙a n g 嘶n 方程 河海大学硕士学位论文 1 9 3 4 年至1 9 3 8 年s b e m t e i n 【3 4 1 引进了随机微分方程，并证明了方程所确 定的随机变量的极限分布是k o l m o g o r o v 方程的基本解 在s b e m t e i n 的框架下，i i g i l h m a i l 独立建立了随机微分方程的理论 1 9 4 2 年伊藤利用随机微分方程研究了关于m a r k o v 过程的k o l m o g o r o v 方程 直到1 9 5 1 年，伊藤才独立建立了伊藤型随机微分方程的理论，建立如下模 型 出( f ) = 6 ( x ，f ) 出+ 盯( x ，f ) d w o )x ( ) = h ( 1 1 2 ) 其中，职力是维纳过程，姒力为伊藤意义下的随机微分，随后随机微分方程得到 了很快的发展伊藤型随机微分方程的提出对于随机微分方程的研究具有重大 意义目前，伊藤型方程是随机微分方程研究的主要方向，因为它的解过程是 m a d v 过程，因此它对随机过程理论和控制理论都有着十分重要的意义 1 1 1 理论解的研究 由于随机微分方程在各个领域的广泛应用，对其方程本身及解的性态的研 究就显得十分重要目前，对于随机微分方程理论解的研究已经取得了一些成 果5 10 1 1 9 6 5 年，s k o r o k h o d 证明了当口 丢时，伊藤型随机微分方程 出( f ) = g ( x ( r ) ) 州f ) f o( 1 1 3 ) 在初始条件x ( ) = ( 嘞r ) 下，解是唯一存在的，其中w ( f ) 是一维标准维 纳过程，g 是一维有界的实值函数，且满足： i g ( 功一础) ls 锨一 魄，j ，尺，口 丢 其中尼是大于零的常数1 9 7 1 年y 哑a d a 和w 缸a n a b e 对此的结论进行了推广， 证明了当口圭时方程( 1 1 3 ) 存在唯一解 1 9 6 7 年，s y s k i 根据问题的物理起源和数学特点将随机微分方程分成三类6 1 ： 最简单的一类方程是只有初始条件是随机的，这类方程本身不受随机因 素的影响； 2 第一章绪论 第二类随机微分方程的特点是随机元素只出瑷在方程的菲齐次项或输出 项： 警叫蹴甜夕诋) = 粕 其中，y ( f ) 是方程的随机作用项，它是某个随机过程； 第三类随机微分方程是指有随机系数的微分方程： 掣：( 石，罗f ) ) 毒( 岛) ：而 d f 其中，y ( d 是随机过程然后分别就这三种情况讨论其解过程的存在唯一性，统 计性质等等 与常微分方程不同的是，随机微分方程有强解与弱解之分，在本文的第二 章中将对其性质作简单介绍泽夫司曲斯7 1 ( z e e vs c h u s s ) 中对于随机微分方 程的强解与弱解及它们与扩散过程和某些带跳跃的马氏过程之间的联系进行了 探讨 x 毯焖鹤m 涯明了当解的存在瞧一性满足时，对于某些特殊的线性方程， 可以求游解析解当无法给出方程解的解析表达式器寸，也可以通过考察解过程 的各阶矩的性质把握解的性态x u e r o n gm 1 0 详细讨论了随机系统的平均稳定 性、平均渐近稳定性、均方稳定性、均方渐近稳定性、按概率稳定性、指数均 方稳定性等等，并讨论了随机微分方程在实际中的应用目前，对随机系统稳 定性的研究也取得了一定的成果，但是还远未达到确定性常微分方程稳定性理 论那么成熟 重。重2 数值解的构造研究 与常微分方程的情形样，在大多数情况下是无法给出随机微分方程解的 表达式的，近年来有大量的研究者投入到对随机微分方程数僮辫的研究【l l 。4 3 l 中 1 9 9 2 年，k 1 n d c np e ，p l a t e l le 在【l l 】以及以后的文章中系统地讨论了求 解随机微分方程数值方法的构造及其稳定性、收敛性 河海大学硕士学位论文 在构造算法格式的过程中，最简单的求解随机微分方程的方法是1 9 9 4 年 v l a db a l l y 和d e i l i st a l a y 在 1 2 】中提出的欧拉格式的构造原则，并且研究了关于 随机微分方程( 1 1 2 ) 的欧拉格式，其算法格式为 吃+ i ) = 碥+ 6 ( 岛) + 仃( 乇) ( h 川) 一) 其中 为固定步长，萨o ，l ，2 ，当p j l l f ( p + 1 ) j l z 时，群被定义为 f = 略+ 6 ( 砝) o 一础) + 仃( ) ( w 一) 在朱霞【”1 文章中给出了自治标量随机微分方程的显式欧拉格式，并求出其强收 敛阶在增加噪声和附加噪声情形时分别为o 5 和1 o 由于其收敛阶比较低，需要采取改变步长的方法增加收敛阶，后来的h e n n 方法就是对欧拉法的改进，此方法为： = + j i z 6 ( 吒) + 仃( 吒) _ + 。= 矗+ 兰( 6 ( 吒) + 6 ( k ) ) + 三( 仃( ) + 盯( k ) ) 在文献 1 4 】中通过定理说明了h e f h l 方法是具有比欧拉法更高的收敛阶 另外，随机微分方程还有一些构造方法： 通过截取随机t a y l o r 展式项6 1 来获得，如m i l s t e i n 方法 1 6 便是截取t a y l o r 展式的前四项 毛+ l ：+ 6 ( ) + 仃( ) + 委盯( ) 仃，( 毛) ( ( ) 2 一j j l ) 当e ( ) 2 = 而，f ，明，螂) = ( 毪o ) ，( f ) ，( f ) ) r ，司& | 2 ， ，：足蓐，刃专冀# ，g ：霖蠢魄，】寸震缸”，工g 均为【岛，明上鼢恐可测数 这种模型在控制论和滤波理论中很普遍，主要原因有两方面：首先是数学 表达形式上简单，它是经典的最优控制理论中行之有效的状态空间方法的随机 推广，丽虽我们可以看到方程( 2 1 。2 ) 的解过程是马尔可夫的，对于它存在有 效的研究方法其次，虽然自噪声是数学上人为的，但它十分近似电子系统中 许多重要噪声过程的性质由于这些优点，方程( 2 1 2 ) 在工程与其他应用学 科中起着突出作用。 在本文中主要磷究了一类自治标量随机微分方程，如下： 出( f ) = ( 爿o ) ) 疵+ g ( x ( f ) ) 挑o ) ，x ( f o ) 篇而，f ( 岛，r 】，x 毯r ( 2 1 3 ) 7 河海大学硕士学位论文 其中， g 为 ，明上的连续可测函数，分别称为偏移系数和扩散系数，且 e i 1 2 方程有两种特殊的形式：一种是当g ( x ) 关于x 为线性时称为乘性噪 声，另一种是当g ( x ) 为常量时称为加性噪声 2 2 w i n n e r 过程与白噪声 2 2 1 w i n n e r 过程 1 8 2 8 年，植物学家罗泊特布朗( r o b e r tb r o w n ) 观察到浸没在液体中的 小粒子的无规则运动，布朗正确地把它描述为液体中粒子碰撞的结果，这个现 象称为布朗运动由于布朗运动的第一个严格研究是维纳( w i e n n e r ) 和列维 ( l e v y ) 给出的，因而这种随机过程x ( f ) 也称为维纳过程或维纳一列维过程 维纳过程的性质睁8 1 ，即实值随机过程口( f ) ，f 丁 满足： ( i ) 具有独立增量，即任意对于 的真正含义是： ( 2 2 1 ) w ( f ) = p 潮f 翮口沁”蠡，以o ) = o ，w p 1 ( 2 2 2 ) 式( 2 2 2 ) 也可以作为w i n l l e r 过程的定义 2 3 伊藤积分与微分法则 2 3 1 伊藤积分与伊藤方程 隧规微分方程： 出( f ) = 厂( x ( f ) ，f ) 出+ g ( f ) ，f ) 州f ) f r ；x ( ) 一粕 ( 2 3 1 ) 用积分方程表示 一一 x o ) 一x ( 气) = l ，( x ( s ) ，s ) 凼+ lg ( 工( s ) ，s x 舳( s )f r ；x ( 岛) = ( 2 3 2 ) 01 0 其中而独立于增量姒线歹 在适当的条件下( 2 3 2 ) 的第一个积分可以定义为均方黎曼积分，把第二 个积分作为均方黎曼一司梯捷斯积分( 狲e m a n n s t i e l t j e s ) 将没有意义因为如果 定义随机变量 e = 并( ) 【w ( 乓) 一w ( o ，) 】，【气一l ，颤) ( 2 3 3 ) 此随机变量序列不均方收敛于唯一极限，其极限值依赖于的选择，所以积分 苫( s ) 批( s ) ( 2 3 4 ) 作为透常意义的均方积分是不存在熊。导致这一结果的根本原因在于w i e n 嚣过 程满足阮似f ) = f ，或者即其方差随着时间的推移不断变大导致无界，而期望值 保持为零不变，是因为w ( f ) 的不可微性 9 河海大学硕士学位论文 定义2 3 1 【6 如果存在均方极限 z m 匕= y 一 月_ o ( 2 3 5 ) 称随机变量y 为x ( f ) 关于w ( f ) 在区间丁上的伊藤随机积分或简称伊藤积分表 示为： ( 咀x ( f ) 挑( s ) 2 墩匕 ( 2 3 6 ) 注意在等式( 2 3 3 ) 中工( f ) 的值不是在区间 气，气】上任意选取的，而是在点气上 取值，因此，这个定义有别于通常意义的均方积分。如上面提到的，极限y 依 赖于的选值 在式( 2 3 2 ) 中的第二个积分是伊藤积分时，方程( 2 3 1 ) 或( 2 3 2 ) 一 般称为伊藤随机微分方程( s f o c j i l 以s 比啦虎陀，z f f c 口，p g “口玎d 淞) 定义2 3 2 【6 1 如： s 。= 窆x ( 每) 呲。) 一w ( 。，) 】 并且有z j 朋s 。= s 存在就定义其极限为s 仃a t o n o v i c h 积分，记为 ( s ) fx ( j ) c 机( s ) = ，m s 。 ( 2 3 7 ) o 蚪 h - + o 这一积分比伊藤积分( ，) j ：x ( f ) 咖( s ) 在某种意义上更接近古典分析的结果 同样在式( 2 3 2 ) 中的第二个积分是s t r 2 l t o n o v i c h 积分时，方程( 2 3 1 ) 或 ( 2 3 2 ) 一般称为s t r a t o n o v i c h 随机微分方程 i t 0 随机微分方程与s t r a t o n o v i c h 随机微分方程是可以互相转化的，对于i t o 随机微分方程 则 令 出( f ) = 厂( x ( f ) ，f ) 疵+ g ( 工( f ) ，f ) d w ( f ) 7 ( m 忙m 力毛罢蝴) ，f ) 1 0 第二章随机常微分方程的基本知识 觑秘) = ，( x 8 ) ，f ) 魂+ 9 0 ) ，磅o 喊f 即为相应的s 缸咖n o v i c h 随机微分方程 命题2 3 1 8 设x ( f ) 是均方连续的，且对任意的j ：，s ；气1 气及 s 。 s 2 气_ 1 ，( x ( 葺；) ，x ( s ；) ，以s 2 ) 一以s i ) ) 与似气) 一从f 川) 相互独立，则x ( f ) 关于以f ) 的i t o 积分存在且唯一 例2 3 1 试求( z ) f 畎f ) 州f ) 解：以) 俸力石0 ) 满足命题2 3 1 豹条彳争，所以上述积分存在唯一取【盘， 6 】的组分点 口2 气 拟) 存在，则对瘁墨f e ，y ( ) = x ( f ) 州f ) 存在，并且夕( f ) 关于f 是均方连续的： ( i v ) 设 以( f ) ，f r 叫口，明 是均方连续的二阶矩过程，且满足伊藤积 分存在的条件k ( f ) ，霹= l ，2 是随机变量序列，如果关于? 一致地有 l 溉置( 磅= x ( ) n 则x ( f ) 也是均方连续的，x ( f ) 也满足伊藤积分的条件，并且对于口f 6 ，一 致地有 擞f 置( ) 瞰f ) = 羔x 拟) 2 3 2 伊藤微分法则 在常微理论中，若 警= 几j ，) 州，珏j ，n 邝，y ) = ( 邪，珐，积y ) r 对于给定的函数f ( f ，j ，) ，其微分为 卵积y ) = 筹旃+ 等巾川积 但在随杌微分方程体系中，有不同予上述的微分法则，通过例2 3 。l 可进一步说 明。由例2 3 1 可知 羔坤) 螂) = 三班) 一 郎 w 2 ( f ) = f + 2 f 眦) 州f ) 由随机微分的定义 矗w 2 ) ) = 出+ 2 联知始暖f ) 这与通常的微分是不同的。 考虑随机过程x f ) 以概率l 满足： 肖( f ) = x ( 岛) + 厂( s ) 出+ g ( j ) 挑( j ) ( f 【气，口】) ( 2 3 11 ) 河海大学硕士学位论文 其中厂是，z 维随机矢量，第一个积分作为均方黎曼积分是有意义的，g 是n ，z 随机矩阵，以f ) 是m 维矢量维纳过程，第二个积分作为伊藤积分是有意义的初 值x ( 气) 独立于挑( f ) ，f 气，就称由( 2 3 1 1 ) 定义的随机过程x ( f ) 有随机微 分 厂( f ) 比+ g ( f ) d w ( f ) 并记为 批( f ) = 厂( f ) 出+ g ( f ) 挑( f )( f 岛，口】) ( 2 3 1 2 ) 随机微分的概念是不同于均方微分的，因为( 2 3 1 1 ) 第二个积分为伊藤积分 定理2 3 1 f 6 】( 伊藤微分法则) 设x ( f ) 有随机微分( 2 3 1 2 ) ，“= “( f ，x ) ：丁尺”专尺是连续函数，并有 连续偏导数 知加即挚鼍，蕞飞秘班，z ， 则有初值y ( 气) = “( 岛，x ( 岛) ) 并在区问 ，口】上定义的尼维随机过程 y ( f ) = “( f ，x ( f ) ) 在r 上也具有关于同一维纳过程w ( f ) 的随机微分，且 删却删m 以删+ 丢缸州脚删、出 + ( f ，x ( f ) ) g ( f ) 州f ) ( 2 3 1 3 ) 其中，= m ，“如) 是七，z 矩阵，“再一是后维列矢量 公式( 2 3 1 3 ) 中的二重和可以表示为 “知- ( f ，x o ) ) ( g g7 ) 妒= 驴 麒g g 7 ) = 护( g g r 甜厨) 其中，“崩= ( “而即) 是，l ，l 矩阵，它的元素是七维矢量于是公式( 2 3 1 3 ) 可以 写成： 1 4 第二肇随机常微分方程的基本知识 蠢y 1 ) = 哆瘢+ 掰x 拨( ) + 圭妒( g g r 鼯勰) 凼 推论2 3 1 【6 l 当，| 絮班= 意端l 时，站= 掰，x ) ，表示一个定义在r 尺上的纯 量连续函数，有连续偏导数，和“嚣，如果x ( f ) 由下列随机微分定义 d y o ) = 厂( f ) 以+ g o ) 口w ( f ) ( f 丁) ， 则】，( f ) = “o ，x ( f ) ) 在r 上也有随机微分，且 d 】，( f ) = 【l l f o ，x o ) ) + “，o ，x ( f ) ) 厂o ) + 扣( f ，删) 础) 2 】出坞亿删) 钟) 撕) ( 2 3 1 4 ) 在本文中我们主要研究纯量伊藤随机微分方程，此定理叫做伊藤微分法则。 2 4 伊藤随机微分方程解的存在唯一性及其矩估计 2 4 1 强解的存在性与唯一性 把随机微分看成是随机积分的另种表达形式，因此在本文中的随机微分 方程其实是随机积分方程的另一种表达形式 随机积分方程最一般的形式为： 工( ) = 乱+ 厂o ，s ) 凼+ j ：g ( 以j 矽形( s ) f z ；气) = 而 ( 2 4 1 ) 其中矿o ) 为m 维b r o 、枞运动，其各分量相互独立，丽厂：足犬“一只”为适应 的可测泛函，g ：r 尺“一时机“为b o r e l 可测映射，其中膨删为咒埘矩阵全 体，满足：v f ， j ：| 厂( 而s ) 陋 ，班瓴s ) 陋 o 是有限常数，则方程( 2 4 2 ) 有唯一的均方解 2 4 2 矩估计 与常微分方程理论一样，从数学或物理的观点来看，随机微分方程的定量 理论和定性理论都是重要的对于随机常微分方程，一般是已知初始条件和 矢量随机过程i ，( f ) ( 戈( f ) = 厂 ( f ) ，】，( f ) ，f ) ) 的联合统计性质寻求解过程的统计性质 因为大部分随机微分方程的解是难以给出的，所以我们只能去确定与解过程的 有关少量统计性质 相对说，确定解过程的矩要容易一些矩，特别是均值和相关函数是解过 程的最重要的性质解过程的均值给出它的现实的集中趋势，相关函数给出一 1 6 第二鬻随机常微分方稳的基本知识 点友被其他一些点的影响程度，在任何点的方差或二除矩给出解过程能取的各 种现实的离散程度 定理2 4 2 9 ( i ) 设p 2 ，e k l p o o ，且( x ) ，g ( x ) 满足线性增长条件， 则对v ( 工，f ) r 【气，r 】，有 彗一2 应k ( f ) i 芦2 下( 1 + 矧l 户) e p 即一 v f ，明 ( i i ) 设o p 2 ，嗣| 2 ，且厂( x ) ，g o ) 满足线性增长条件，则对 v ( 鼍d 炎岛，翻，有 e | 菇( ) l + 捌而即；g 尹始嘞 v 瓯，刃 其中搿= 再+ 每冷厶掣) 。 定理2 4 3 例设p 2 ，e k | p 。，且厂( x ) 、g ( z ) 满足线性增长条件，则 叫x 滞) ( 1 专占时) g 舯# v f ，珀 ( 2 4 t 3 ) 其中声= 扣) ( h ) 孚咿训导+ 蟊南 定理2 4 4 f 1 3 】( i ) 设p 2 2 ，方程( 2 1 3 ) 出( f ) = ，( 石o ) ) 以+ g ( x 0 ) ) d w ( f ) ，x ( f o ) = ，f g 【，明，x 又 ，( x ) 、g “) 满足线性增长条件，且e k | 2 o 。，则 霉石8 ) 一菇) ) 蕊c g 一葶) v 岛s r ( 2 。4 4 ) 其中 c = 2 ，一2 ( 1 + e 1 r ) g p 口r 一( 【2 ( r 一岛) 】i + 【p ( p 1 ) 】i 】 口黑i + 厶( p 1 ) 2 ( i i ) 设o p 2 ，层k 1 2 o o ，且厂( 工) 、g ( 工) 满足线性增长条件，则对 v ( x ，f ) r 【“，r 】有 1 7 河海大学硕士学位论文 其中 矧x ( f ) 一x ( s ) i p c ( f s ) v s o ，e 卜。i ， 且e l j ，。l p o ，则有 令 e i 工o ) l p = e ( i x 。i pe x p p ( 口一仃2 2 弘+ p 仃w o ) 】) 则孝( f ) 为方程 的解，于是 从而 故 一出( 州l _ p ) 纠2 川毗i pe x p 【- 孚帅州伽 乳) 制p e x p - 竿帅州纠 d f o ) = p 嘴o ) d 似f ) ，孝( o ) = i 工。i p 荆= ”+ p 仃f 孝( s ) 坝j ) ，蟛( f ) = e ” e l x ( f ) i p = 善( f ) = e x p p ( 口一羔l = 乒) 力矧x 。l ， n l ，三+ 土：1 ，lm g m w n m 以，一舵，砌n ，z 不等式： 设函数五( f ) ，9 ( f ) ，“( f ) 定义在区间【，口】上，五( f ) 是非负可积函数，伊( f ) 和 “( f ) 绝对连续，且有不等式 o “o ) j ：兄( f ( f ) d f + 伊( f ) f 【f o ，口】 这时有 ) 驯u e x p ( j ：砸m + e x p ( f 硼) 鲁d f 吲枷】 3 1 2 各种收敛性定义 在解决滤波、i t o 过程检验估计等需要对随机系统作轨道仿真的问题时，就 必须构造强收敛的离散化格式，使数值解在均方或几乎处处等概率意义下收敛 河海大学硕士学位论文 于翼解 定义3 1 1 9 】对时间区间 o ，刀作剖分：o = f o 0 ( c 不依赖于 ) ，当| j l 专o 时，有 m 擎，l e ( 瓯+ 1 ) l 劬a ， d s h s 一l 。骤，( 啦+ - 1 2 ) j 鳓办， 燃( 驯2 ) j 函p 2 4 河海大学硕士学位论文 则称此数值算法在均值意义上的局部收敛除为p ，均方意义上的局部收敛阶为 p 2 ，均方强收敛阶为p 3 2