（应用数学专业论文）一类非自治波动方程一致吸引子存在性的研究.pdf

t h ee x i s t e n c eo fu n i f o r ma t t r a c t o rf o rac l a s so f n o n - a u t o n o m o u sw a v ee q u a t i o n f e n gy a nc h a o b s ( w e i n a nt e a c h e r su n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n a p p l i e dm a t h e m a t i c s l n c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r pr o f e s s o rx i ey o n gq i n a p r i l ，2 0 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重卢明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出霞要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本卢明的法律 后果由本人承担 作者签名：搬 日期：劫，年月夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位沦文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学叮以将本学位论文的今部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“) 作者签名：旅 刷程轹亏f 掀 e e 岁7 月 月 廿 令 年 年 口 屯 加 力 期 期 了 r r t 摘要 本文主要研究j ，如下形式的波型方程整体解的长时间行为： ( z ，t ) qx 畔 x q ( o 1 ) t 其中p 0 ，0 = ( 7 - ，+ 。) 7 - r ，qcr 3 是具有适当光滑边界的有界域，u ( x ，t ) 为未 知函数且u t = 甭a u ( ) 是已知函数，厂( ) 是满足适当条件的非线性项，g 是外力项 研究上述非自治无穷维动力系统一致吸引子的存在性问题，需要克服以下两大难 题：其一，系统的耗散性( 即其对应解过程存在一致有界吸收集) ，这对处理强解问题 来说足十分困难的，因为非线性项不能由方程中的线性项来控制；其二，系统的紧性，即系 统满足某种紧性( 如一致渐近紧或一致u 极限紧等) 因为本文考虑系统( 0 1 ) 的强解 的渐近行为，丁是很难得到解( “，u 。) 相对j 二初解有较高的正则性：另外由于系统( 0 1 ) 中 的依赖f 时间的外力项g 在相应的相空间上仅假设是( 伊) 函数，即1 9 l 2 ( r ：l 2 ( q ) ) ， 则使得问题更加困难本文将利用推广的g r o n w a l l 不等式克服了第一个难题，而获得 系统的一致有界吸收集：利用类似f 能量估计等分析技巧验系统满足一致。一极限紧 本文中我们仅对方程( 0 1 ) 中非线性项作一般性的假设在第三章中我们讨论了 当h ( u t ，a u t ) = 一毗，肛 0 时系统( 0 1 ) 在咒l 中，致吸引子的存在性在第四 章我们讨论r ? ( “f a u t ) = - a a u t ，肛= 0 时系统( 0 1 ) 在晶中一致吸引子的存在 性在第五章中我们讨论了当 ( t 如，a u f ) = 厉租f 一 f ，p 0 ，g ( x t ) = g ( x ) 时自治系 统( 0 1 ) 在1 ( r 3 ) h 1 ( r 3 ) 中今局吸引子的存在性 关键词：非自治波动方程：整体强解：临界指数；( c ) 函数类；一致。一极限紧：一致 吸引子 i i i dm 出 ，j u + = 力 p “ 一 弛 ”一 、l ， 毗o 坼 = 0 m 一= e k 扩k a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h el o n g - t i m eb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n g e v o l u t i o n a r ye q u a t i o n ： a u 一弘仳t u t ( x ，r ) + ( u ) = g ( z t ) = t 正l r ( z ) ( z ，t ) qx b x q ( o 1 ) t r ， w h e r ep 0i sac o n s t a n t ，鹏= ( t ，+ o 。) ，7 - r ，qcr 3i sa b o u n d e dd o m a i nw i t h s m o o t hb o u n d a r y , u ( x ，t ) i sau n k n o w nf u n c t i o n ，a n d “= 甏。h ( ) i sk n o w nf u n c t i o n ， ，( ) i st h en o n l i n e a r i t ya n ds a t i s f i e ss o m es u i t a b l ec o n d i t i o n s ，gi sat i m e - d e p e n d e n t f o r c i n g t ot e s ta n dv e r i f yt h ee x i s t e n c eo ff o rt h en o n - a u t o n o m o u sd y n a m i cs y s t e m s ，w e h a v et oo v e r c o m et w om a i nd i f f i c u l t i e s o n ei st oo b t a i nt h ed i s s i p a t i o no fs y s t e m s ， t h a ti st ot e s ta n dv e r i f yt h ee x i s t e n c eo fab o u n d e du n i f o r m l ya b s o r b i n gs e tf o rs y s - t e n s ；a n o t h e ri st oo b t a i ns o m ec o m p a c to fs y s t e m ，t h a ti st ot e s ta n dv e r i f ys y s t e m w i t hu n i f o r m l ya s y m p t o t i c a l l yc o m p a c to rt h eu n i f o r m w - l i m i tc o m p a c t b e c a u s ew e m a i n l yc o n s i d e rt h el o n g - t i m eb e h a v i o rf o rt h es t r o n g l ys o l u t i o n s o ft h es y s t e m s ( 0 1 ) i t i sd i f f i c u l tt oo b t a i nt h eh i g h e rr e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o n s ( u ，u t ) r e l a t i v et oi n i t i a l v a l u e s ：o t h e r w i s e t h et i m e - d e p e n d e n tf o r c i n ggi st h ec l a s s e so ff u n c t i o n sd e n o t e db y l 刍( 匙；l 2 ( q ) ) w h i c ha r et r a n s l a t i o nn o n c o m p a c t i ti sv e r yd i f f i c u l tt oo b t a i nt h e c o m - p a c t n e s so fe q u a t i o n s ( o 1 ) i nt h ep a p e r ，w eu s et h ep r o m o t i o no fg r o w a l li n e q u a l i t y t oo v e r c o m et h ef i r s tp r o b l e m ，s ow eo b t a i nt h eb o u n d e da b s o r b i n gs e t so ft h es y s - t e m ( 0 1 ) ；t og e tt h eu n i f o r mu l i m i tc o m p a c t n e s so ft h en o n - a u t o n o m o u ss y s t e m s ，w e m a k eu s eo ft h ea n a l y r t i c a lm e t h o d sw h i c ha r es i m i l a rt ot h ee n e r g ye s t i m a t i o n i nt h i sp a p e r ，w eo n l ya s s u m et h a tt h en o n l i n e a rt e r ms a t i s f i e st h eg e n e r a lc o n - d i t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fu n i f o r ma t t r a c t o rf o rs y s - t e m ( o 1 ) i n t - l , h e r e ( 毗，毗) = 一地，p 0 i nt h ef o r t hc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h e e x i s t e n c eo fu n i f o r ma t t r a c t o rf o rs y s t e m ( o 1 ) i n 1 ，h e r eh ( u t ，u t ) = 一入厶饥，p = 0 i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o rf o rs y s t e m ( o 1 ) i n 日1 ( r 3 ) xh 1 ( 瓞3 ) h e r eh ( u ，a u ) = 卢乱一t ，p 0 ，g ( x ，t ) = 9 ( z ) k e yw o r d s ：n o n a u t o n o m o u sw a v ee q u a t i o n s ；g l o b a ls t r o n gs o l u t i o n ； c r i t i c a le x p o n e n t s ；( c ) f u n c t i o n s ；t h eu n i f o r m 沙l i m i tc o m p a c t ；u n i f o r m a t t r a c t o r i i )，： 叶 “ 乱 = 0 危)=矗订= p k u “ u ，l_-_-，、-iil 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第1 章绪论1 1 1非自治动力系统的发展概述1 1 2 问题研究背景及现状3 1 3 研究问题所涉及的数学理论，方法和进展4 第2 章预备知识1 1 2 1 有关一致吸引子的概念及存在性判定定理1 l 2 2 符号说明1 2 2 3 符号宅间1 3 第3 章色散耗散波动方程在咒。整体强解的长时间行为1 4 3 1 在咒l 中一致有界吸收集1 5 3 2 一致叫极限紧1 9 3 3 一致吸引子的存在性2 1 第4 章强耗散波动方程在。整体强解的长时间行为2 2 4 1 在l 中致宵界吸收集2 2 4 2 致u 一极限紧2 5 4 3 一致吸引j 二的存在性2 6 第5 章色散耗散波动方程在h i ( r 3 ) h i ( r 3 ) 全局吸引子的存在性2 7 5 1 解的存在性与唯一性2 7 5 2 ，1 ( r 3 ) h 1 ( r 3 ) 中解得渐近紧正则性2 8 5 3 令局吸引子3 0 参考文献3 3 致谢3 7 附录( 攻读学位期间所发表的学术论文目录) 3 8 第1 章绪论 本文主要研究了如f 形式的波型方程的整体解的长时间行为： ：ut譬t：+!h(iut咖acuzt，)一u u - 。c # z a ，。u ，三二：二；2 9 ( z ，t ) q r r ， z q ( 1 1 ) t 脚 其中肛0 ，是具有适当光滑边界，u ( z ，t ) 为未知函数且u = 象， ( ，) 是已知函 数，厂是满足适当条件的非线性项，夕外力项当f 2cr 3 是具有适当光滑边界的有 界域时，我们研究当h ( u ，厶u t ) 分别为一a u 。，一u 。时，方程整体强解对应的解过程 族 u ( ，7 - ) ) 矿在相空间中一致吸引子的存在性及其结构当q = 肽3 是无界域时我 们研究当h ( u t ，a u t ) = p u 一“t 时，方程整体弱解对应的解半群f s ( ) ) o 在相空间中 全局吸引予的存在性 1 1 非自治动力系统的发展概述 无穷维动力系统具有非常广泛的实际应用背景。它主要考虑从物理、力学、生命科 学、金融学和大气科学等自然科学中大量涌现出来的具有耗散性的非线性发展型偏微 分方程解的长时间行为，这些方程的典掣代表有1 f 线性发应扩散方程、n a v i e r - s t o k e s 方 程以及带耗散项的非线性波动方程，当然还其它类型的 f 线性发展方程，例如：c a h n t t i l l a r d 方程，g i n z b u r g l a n d a u 方裎、非线。 1 = s c h r b d i n g e r 方程及k d v 力- 程等等二十世 纪6 0 年代，关f 非性偏微分方程的长时间动力学、分歧和混沌理论的研究为无穷维动 力系统的形成和发展提供了丰富的实际背景从二十世纪8 0 年代以来，由于数学自身 发展的需要以及物理、力学、生命科学、金融学和大气科学等学科发展的推动无穷维 动力系统成为了动力系统、微分方程和非线性泛函分析等交叉领域中重要研究课题 无穷维动力系统所关心的主要问题是非线性发展型偏微分方程整体解的存在性、i f 则 性、稳定性、吸引子的存在性、以及吸引子的分析性质和几何拓扑性质从动力学的角 度来说它所关心的问题更加注重于二系统解的极限状态由吸引子的定义告诉我们：原 始方程的任意一条轨道经过充分长的时间之后，看起来就像吸引子里的某条轨道，而 解轨道被吸引子里的一系列轨道所跟梢，随着时i 日j 越来越长则距离越来越近也就是 说如果系统存在吸引子，那么吸引了将包含系统解的所有可能的极限状态从而研究 限制在吸引子上的动力系统我们将町以了解很多重要的反映整个系统的一些基本性质 的问题。因此，证明吸引子的存在性是研穷无穷维动力系统的一个基本而十分霞要的 问题。动力系统有自治系统和非自治系统之分，自治系统足指系统在变化过程中，其 向鼍场与时间无关，向非自治系统是指系统在变化过程巾，其向量场依赖于时间。因 此非自治系统较之自治系统显得更复杂对非自治系统的研究起步也比较晚，据我们 所掌握的材料，对于非自治无穷维动力系统的集中研究大约只有约二十年的历史，因 1 而其理论不像自治系统那么丰富、完善。研究非自治无穷维动力系统1 。致吸引子的存 在性、正则性以及分析性质和几何拓扑性质，对发展和完善非自治无穷维动力系统的 理论有着极其重要的意义 动力系统的研究，最早可以追溯到1 8 世纪英困科学家n e w t o n ，他用微分方程来 描述有关的天体运动规律，他的思想对于后来人们的研究有很大的启发在那以后人 们，总是希望着能够利用微分方程的解来描述天体运动规律，如运动轨迹等但是随着 研究的深入，人们发现解微分方程是非常凼难的j i ：作，向且有研究者证明得到某些微 分方程的解不能用简单函数表示。直到1 9 世纪法因数学家h p o i n c a r e 在研究天体力 学时通过在相窄间上建立微分方程的定性理论，其特点是不通过求方程的解而是直接 利用方程本身来研究解的性态从这以后人们便开启了动力系统的研究和探索之门 在2 0 世纪初，美国数学家b i r k h o 耐动力系统作了公理化处理以后，动力系统便成为 一门系统的学科逐渐的发展起来为一门独立的科学从1 9 3 1 年后的若干年时间里，以 a m a r k o f f 为代表的数学家们在b i r k h o f f 理论的基础上提出动力系统的理论框架，前苏 联学者进一步推动了和丰富了动力系统理论的发展然而动力系统的系统研究，则始于 二十世纪六十年代初p e x i o t o 等人的t 作并在s a m l e 等其他学者的倡导和推动下，动 力系统的研究取得r 重大的进展从那以后，动力系统的理论体系逐步的完善和发展今 天的动力系统的研究范围，已经远远地超出了原始的领域当今的动力系统已发展为微 分动力系统、h a m i l t o n 动力系统、拓扑动力系统、无穷维动力系统、复动力系统、遍历 理论和随机动力系统等多个方向 在二十世纪六、七十年代，g r s e l l 、r k m i l l e r 以及j k h a l e 提出了对应于常微分 方程的微分动力系统的概念，将有穷维的自治动力系统长时间行为的研究转化为考虑 扩展厂的相宅间f ：的自治系统的全局吸引子从这时动力系统便分为自治和非自治动 力系统然而这一时期的人们的对十非自治的认识和研究还处r 摸索阶段由十理论 和方法的限制，在这期间，人们就将精力主要集中于对自治动力系统的研究 非自治发展型方程可以写成如下抽象形式： 镰0 竺曼= t t r 其中上述系统中方程的右端依赖于时间t 如果系统的解存在且唯一，则系统的解可表 示为： u ( t ) = u ( t ，丁) 扎( 7 ) ， v t 7 - r 其中c ，( ，7 ) ：- - 4 这样双参数( 非线性) 算子满足类似于自治系统所生成的半群 的性质，我们称其为系统所对应的解过程尽管非自治系统所生成的解过程也有类似于 自治系统所乍成的半群的性质，然而，全局吸引子的概念却不能直接推广应用到非自治 无穷维动力系统的情形1 9 8 8 年，a h a r a u x 在 1 l 中用最小性代替不变性，首先提出了关 于初值丁的致吸引子的概念人们利刖在扩展的相窄间中通过构造过程的斜积流的方 法研究1 e 自治有穷维动力系统的一致吸引子存在性借助斜积流理论，即利用方程所对 应的依赖丁：时间的外力项g 的平移族，在适当的拓扑空间中取闭包( 也称为壳”h u u ”) 2 来扩展相空间，相应地把原来的过程扩展成斜积流，由此来考虑系统致吸引f 的存在 性基十这思想，1 9 9 4 年，v v c h e p y z h o v & m i v i s h t k 给出了非自治发展方程所对 应的非自治无穷维动力系统一致吸引乎的存在性理论框架( 见2 1 ) 在2 l 中，作者提出 关于时i 日j 符号的概念，记为，它表示方程中所有依赖于时间的参数项，取值于距离牢间 或空间或者是其它适当的拓扑空间后来v v u h e p y z h o v & m i v i s h i k 分别在1 9 9 5 年， 2 0 0 2 年对符号是、f 移紧的非自治无穷维动力系统进行了系统研究，同时给出了某些经 典的偏微分方程所对应的无穷维动力系统的一致吸引子的存在性然而，正如【2 1 中所 指出的一样，在考虑”一般”的时间依赖方程时，构造斜积流的过程中町能产生相当复杂 的相空间，同时这种方法保持了自治无穷维动力系统全局吸引子的不变性的概念，从 而在使得非自治系统的一致吸引子的思想没有得剑充分的体现2 0 0 5 年，s s l u c k z h o n g 等在【3 】中，继承了前者关于过程、过程族、。致吸引子和符号窄间的概念，但不 构造斜积流，而是直接利用m a w a n g & z h o n g 在f 4 1 中的思想，提出了一致极限紧的 概念并证明了非自治2 d n a v i e r s t o k e s 方程一致吸引子的存在性随后人们将这 一方法应用到讨论其它具有耗散性的发展方程对应的无穷维动力系统一致吸引子的存 在性，并得到了许多很好的结果在这一理论的应用中，耗散算子的紧性和解的正则 性所带来的紧嵌入定理的应用起了决定性作用，为此作者考虑较j f 移紧更为广泛的外 力项即正规函数( n o r m a lf u n c t i o n ) 然而，对于弱耗散系统或昔缺失紧嵌入定理时， 符号空间不再紧，则这一方法就很难应用为此，s m a c k z h o n g 5 提出了满足条 件( c + ) 的函数类的概念，作者证明r 当外力项满足条件( c 。) 时，弱耗散波方程所对应 系统生成的过程族一致吸引子的存在性这里值得注意的有两个问题：其一，s m a & c k z h o n g 在该文中假设非线性项仅为次临界指数增长，对于非线性项涉及到临界 指数这一方法很难应用；其二，满足条件( c ) 的函数类并不是较正规函数类更广泛的 函数类严格米说，其符号空间仍然具有某种广义的紧性那么，对于弱耗散系统，如 果符号空间不紧，一致吸引子是否可能存在? 这一问题的完全解决，将是我们今后努 力的。厅向 1 2问题的研究背景与现状 本文主要研究系统( 1 1 ) 这一波型方程解的长时间行为非线性波动方程是数学物 理r f l 最具有吸引力的研究领域之一+ 4 是因为，它表明了现代物理学中一些最具深刻意 义的运动规律，有着广泛的物理等实际背景；二足因为，它足比较重要的一类偏微分疗 程，是数学理论和方法研究的重要内容本文所研究的方程( 1 1 ) 被称之为波型方程，对 于不同的非线性阻尼项h ( u 。，a u t ) 可表示为不同类型的波方程，如： 当 ( u 。，a u 。) = - i a u t ，p = 0 时，系统( 1 1 ) 则为( f 线性) 弱耗散波动方程 z t t t a a u t a u + f ( u 1 = g 当，l ( 毗，a u 。) = 一a u 。，p 0 时，系统( 1 1 ) 则为( 非线性) 色散耗散波动方程 u “一a u t 一厶让一肛1 “+ ，( 扎) = g 3 用以描述非线性弹性杆振动波的传播问题的数学物理模璎人们在研究弹性杆 的振动时，发现影响振动波的产牛和传播的因素卡要有：非线性、弥散、耗散等其 中，非线性性态直接影响和干扰着波前突变是导致波的断裂的主要原因，波的断裂将 会导致弹性杆的折断然而弥散性和阻尼性还有耗散性的主要作用是减弱或降低波的 振动强度，阻止或者抑制波的断裂从而使得波动更加的稳定我们上面提到的四种影响 波动因素的相互作用伴随着能鼍的聚集耗散与稳定所以，我们对f 研究和分析固体介 质中非线性弹性杆的波动过程行为很有意义在研究这些问题的文章困内外有大量的 文章f 3 j 4 】【l oj 【1 3 】【1 6 】等 如果我们仔细的观察方程( 1 1 ) 就是在不考虑阻尼与耗散两种因素影响的情形下，非 线性和弥散两种因素瓦相作用而形成的孤波建立的数学物理模型方程( 1 1 ) 中的j 非线性 项u t f 一u + h ( u t a u ) 一肛乱甜恰恰决定了此或强或弱的耗散波动方程属于非线性的、 几何弥散的振动波由于非线性弹性杆对应的波动方程中非线性项的不同，即影响波 动的因素不同，国内外很多作者建市f 振动的影响因素相对应的数学物理模型，并对 各种定解问日适应性做出了有效的研究，如文献3 ，1 0 ，1 2 1 3 等 由f 非线性弹性杆振动口】题的复杂性，我们就需要全面考虑影响其所建电数学模 型的动力项、阻力项、外力项( 横纵之分) 我们通常用在最初始的构形的非线性振动波 方程传播中，动力项和阻力项是波动的。个重要因素在建立的模型中u ( x ，t ) ，夕( z ，) 分 别代表着在t 时n x 处弹性杆中的纵向位移与受应力在方程( 1 1 ) 中u 掂项是波传播的动 力项，而“h ( u t ，a u ，) 这两项都是阻力( 通常称为耗散项) 特别地，夕 i 力项的作用尤其地 重要，如方程( l 1 ) 中其外力项为f ( u ) 、g ( x ，) 其中非线性项，( 乱) 足横向外力的重要组 成部分，它对物体的平向拉伸或压缩作用矗接关系着原始构形中的能鼍积聚因为在 讨论粘弹性物体时厂( u ) 的作用很重要，所以我们就要对厂( “) 做洋细的研究与假设一 般地，在研究弹性物体运动时我们部要考虑外力项( u ) 通常情况下，我们在建立的模型 后，外力项f ( u ) 的存在使得所建立模型的古典型解很难求于是我们研究其广义解的定 性问题一般地，对于方程( 1 1 ) 的解我们用伽辽金方法来证明 当h ( u a u t ) = 一a u 彬肛 0 为常数时系统( 1 1 ) 实质上是一个强耗散的高阶的 非自治波动方程在文献2 4 ，1 3 等，作者研究了非线性杆中纵向形变波的传播及弱非线 性作用f 窄间变换离子声波传播时提出了其线性模型，并对其适定性作了初步研究随 后国内外许多学者进行了有益的探讨如系统整体强解的存在性、正则性及长时间行 为等，有文献f 6 ，7 ，8 1 等对r 非自治动力系统( 1 1 ) 的解过程长时间行为，其研究成有文 献l ，3 1 在文献【1 ，3 1 中，作者首先证明解的渐进正则性并在此基础上获得紧一致吸引子 的存在性及其结构 1 3 研究问题所涉及的数学理论、方法与进展 我们首先米刚顾自治动力系统和非自治动力系统的发展概况，并阐述l 三有的理论 4 及其进展自治动力系统的对应方程叮抽象为： 摩c q u 二 ( 1 2 ) 其中u h h 是某个抽象空间通常称为它的相空间，利用解的全局存在的唯一性，( 1 2 ) 的解可以表示为： u ( t ) = s ( t ) u o ， 0 其中s ( ) ：h h ( i 是打中的恒等算子) 这样单参数族( 非线性) 算子s ( ) ：t o 满足 如f 性质： s ( t + s ) = s ( t ) s ( s ) v t ，s 0 s ( o ) = i d( 恒等变换) 并称为系统( 1 2 ) 对应的半群自治动力系统_ t 要是就能量耗散系统的动力学渐近行为 进行研究 对丁二耗散系统( 这哩的耗散性事指用有界吸收集的存在性来刻画的，即存在有界 集b ocx ，对任意的有界集b ，存在t b 0 ，使得t t b 时，有s ( t ) bcb o ) 全局吸引 子4 是描述系统的解的长时间行为的合适概念如果系统存在全局吸引子4 ，那么吸引 子将包含系统( 1 2 ) 所可能的极限状态凶为全局吸引子具有如下三个性质： ( i ) 紧性：4 在x 中紧； ( i i ) 不变性：s ( t ) a = a ，v t o ； ( i i i ) 吸c l 性：对x 中任意的有界集b ， l i md ( s ( t ) 口，a ) = 0 t - - - b 0 0 这t - ，d ( x ，y ) = s u p z xi n f y e yd ( x ，) 表示x 和y 的h a u s d o r f f i 疆离 我们从全局吸引子的定义知道假若半群的全局吸引子存在，那么全局吸引子将包 含( 1 2 ) 的解得所有的极限状态的可能一般地，我们在研究自治动力系统时所关注的毛 要问题时非线性发展型偏微分方程整体解得存在性，正则性稳定性，全局吸引子的存在 性，及其的分析结构性质和几何拓扑结构性质1 ：e l 是住数学物理模型。 j ，我们只是研究系 统的解得极限状态冈为通过研究全局吸引子的4 可以厂解到很多比较霞要的能反映整 个系统的些基本的特征 如果系统的全局吸引子存在，那么研究限制在全局吸引f 的动力系统将能r 解很 多重要的反映整个系统的信息，冈此证明伞局吸引子的存在性事研究自治动力系统的 一个基本问题 5 从已于的知识中，我们知道对于b a n a c h ( 或度量) 窄间x 上的算子半群s ( f ) 。o ，要 得出全局吸引子系统必须满足下列三个条件： ( i ) 半群s ( ) o 在x 中具有耗散性，如点耗散、有界耗散； ( i i ) 群s ( ) 。 o 存x 中具有连续性，如强连续性、若连续性、强弱连续性； ( i i i ) 群s ( t ) d n 在x 中具有某种紧性，如渐近紧、渐近光滑性、叫一极限紧 通常情况下，我们只是利用不等式或者辅助泛函来验证半群的耗散性，即验证其 具有有界吸收集或点吸收集的正轨道终归有界等对于非线性的波动方程来讲，这些方 法来处理某些弱解问题足斗分有效的因为非线性耗散项条件比较容易由方程巾的线 性项来控制但对于强解对应的解半群的耗散性的验证却 分硝难因为上述方法不适 用于这一问题在文献 3 5 ，5 3 】中利用艟经典的g r o n w a l l 不等式解决了这一困难全局吸 引子的不变性是有系统本身的连续性决定的，有时候我们也结合先验估计来验证出半 群的渐近紧性最后，也足最重要的就足验证半群具有某种紧性半群具有的某种紧性 是全局吸引子存在的必要条件有时候我们部可以说。对j ：系统全局吸引子的存在性的 验证，关键就是怎么去验证半群的紧性因此，我们通常运用各种小同的思想和方法，来 证明全局吸引子的存在性时。其核心就是证明系统的某种紧性 依据前人的理论验证半群的紧性就的方法有以下四种在这里我们做一下简单的 介绍 1 渐近光滑即对于相空间x 中的任意的个非空的，有界的? 闭的，正不，叟的子集日， 总是存在x 中的一个_ i 仁宅不变紧子集c 使得c 按x 中的拓扑吸引b 这是全局吸引子 必须存在的必要条件之一用数学语言描述就是对x 中的任意一个有界的集合b ，存在 一个紧集尼( b ) cx ，使得 1 i md ( s ( t ) r ，瓦( 日) ) 卜0 f - - + r ，o 2 一致紧性即对于相空间x 中的任意的一个非空有界，闭，正不变的子集b ，总是存 在一个与b 在x 中相的界关的时间，使得当于t b 时，s ( t ) u 在x 中相对紧也就是说 一 【js ( t ) b 丁b 在x 中紧这种方法的指导思想是必须保证系统的解半群具有一致紧一般的，我们用紧 的嵌入定理来判断的因此它就需要解拥有更高的正则性 3 渐近紧性即对于相空间x 中的任意的一个有界序列 z n 巽l 及时间点列 氏 怠。， 当t n - 4o o ， s ( k ) z n 凡在x 中紧这种方法在系统的解半群不适用紧嵌入定理的时候经 常用到所以目前仍被广泛应用 4 川一极限紧即对于任意的 0 ，对于相窄间x 中的任意的一个有界集b 总是俘在 依赖于b 和的时间t = t ( e b ) ，使得当t 时，有 厄( 【js ( t ) u ) 7 1 r 6 在这里j i | c ( a ) 表示a 在x 中的非紧性测度但是利用非紧性测度来刻画半群的思想是比 较复杂的 在文献1 8 1 中作者提出了一种非常具有创新性的也是非常有效的估计紧性测度的 方法那就是( c ) 条件 定义1 3 1 1 1 7 1假设 s ( ) f o 足b a n a c h 空间x 上的半群并满足( c ) 条件： 如果对于任意的e 0 对于相窄问x 中的任意的一个有界集b 总是存在时间t b 0 和x 的有限维子空间x l ，使得对任意的t t b 和z b ，有p s ( t ) x 茁e b 有界，并且 i l ( ，一p ) s ( t ) x l l x s 在这咀p ：xt - - + x l 是正交投影，是恒等映射 对于在运用( c ) 条件都是对系统对应解进行分解通过对解得分解，我们可以选取。 定的试验函数，以至于我们更为简单的验证对应的半群在对应的相空间上满足( c ) 条 件在验证条件是我们可以通过利用与得到耗散性几乎完全相同的能量不等式直接估 计非紧性测度 非自治动力系统起步比自治动力系统晚，理论也没有自治系统丰富、完善尽管对 非自治动力系统的研究已有四。卜余年的历史，但是对其的集中研究大概只有二十年左 右对于系统( 1 1 ) ，非自治的系统可以抽象的写为如下方程： 其中 i t h ，h 是某个抽象空间通常称为它的相空间，( 1 3 ) 的解可以表示为： u ( t ) = u ( t ，7 - ) u r v t 7 - ，7 - r ( 1 3 ) 其中u ( t ，7 ) ：h 一日( ，是h 中的恒等算子) 这样双参数族( 非线性) 算子u ( t ，7 - ) ，t 7 - ，7 - r 满足如下性质： u ( t + s ，7 ) = u ( t ，7 ) 0u ( s ，7 - ) v t s 7 - ，7 - r u ( t ，7 - ) = i d( 恒等变换) 并称为系统( 1 3 ) 对应的过程由一致吸引子的概念知道，全局吸引子的概念不能直接推 广到非自治的情形 在1 9 8 8 年a h a r a u x 在【1 6 】首先提出了关于初值丁的致吸引子4 0 他用最小性代替 了不变性一致吸引子的具有如下三个性质： ( i ) 紧性：凡在x 中紧； ( i i ) 吸 3 1 性：对任意的有界集b ， 1 i ms u p d ( u ( t ，丁) b ，a o ) = o ； r _ 十r r 7 严沁 吣 坼 a i i = r 塑况帖，j一， ( i i i ) 最小性：4 0 是适合上面两个条件的最小集： 这里，d ( x ，y ) = s u p 茁xi n f y e yd ( x ，) 表示x 和y 的h a u s d o r f f 足巨离 随后，a h a r a u x 在文献f 1 7 1 中完整的提出了一致吸引子的概念在对非自治有穷 维动力系统一一致吸引子的存在性研究中，人们在扩展的相宅i h j 中通过构造过程的斜积 流，然后应用自治系统的理论和方法得到致吸引子的的存在性依照v c h e p y z h o v 和 m v i s h i k 在文献3 4 l 中给出了非自治无穷维动力系统一致吸引子存在性定理的理论框 架，其方法是：认为系统( 1 3 ) 中的时间符号( t ) 转变为a ( t + h ) ( v h r ) 后的任意一个 新的系统的吸引子都相同，并且它们具有共同的致吸引子于是，我们也町以将系 统( 1 3 ) 也可以看成足下列这一族系统 仃7 - ( a 0 1 t r ( 1 4 ) 其中( c r 0 ) 是系统的符号空间因此，给定一个符号盯咒( 印) 就自唯一的一个过程族 ( t ，7 - ) ，t 7 ，7 r ，盯咒( c r 0 ) 对应那么我们就有关于符号空间w ( 印) 的一致吸引了4 咒) 与前面所提到的致吸引f 的概念相同于是就有4 咒【印) 的概念： ( i ) 紧性：a n ( 殉) 在x 中紧； ( i i ) 吸引性：对任意的有界集口， 。l i m s u pd ( ( 厶r ) u ， ( 印) ) = o ： t 。+ + 。盯咒( 知) ( i i i ) 最小性：a n ( 咖) 是适合上面两个条件的最小集 这里，d ( x ，y ) = s u p z xi n f y e yf z ( ：r ，秒) 表示x 和y 的h a u s d o r f f 距离 在1 9 9 4 年，作者在文献f 3 4 1 垦比较全面地研究了几乎周期和拟周期的系统，系统地提 出了符号空间的概念，并给我们指明了一个非常有用的方法去研究作自治动力系统此 种方法在实际应用中作为我们研究非自治发展硝方程所相应的非自治动力系统的一 致吸引子的存在性的理论体系和框架这个方法的主要思想就是在扩展的相空间e 建 构斜积流 s ( ) ( 乱，盯) = ( ，o ) u ，丁( ) 盯) ，( 7 - ，仃) xx7 - l ( a o ) 其中丁( ) 盯= o ( t + ) ，丁( ) o 是符号空间 日 ( c r 0 ) 卜的平移群通过半移以后我们就可 以将自治动力系统的一般性理论来研究非自治动力系统因为一致吸引了：4 咒( 彻1 是运 用将斜积流的全局吸引子直接投影剑x 上：的，所以这种方法一般要求o 0 带有某种紧性来 求得斜积流的全局吸引f 一般地我们假设符号空间是在某个空间的拓扑卜是紧的 定理1 3 2 【1 9 】 假若是一个紧的度量空间，且设 丁( 九) i o 足作用在符号宅 间e 的一族算子满足： ( 1 ) t ( h ) e 冬e ， v h r 十； 8 严扛 邢 嘶 a l i | i r 塑珧岵 ，-ijl_-一 ( 2 ) 平移恒等式： ( + h ，7 - + h ) = u r ( _ i ) 口( ，7 - ) ， c a e ，t 7 - ，h o ； 其中( t ，7 ) 是完备度量空间x 卜的过程进一步地。假若过程族 以( ，丁) 盯在( xx ，x ) 卜是连续的并且有一致( 关f a ) 紧的吸引集那么其对应的斜积流s ( ) 在xx 上有全局吸引予4 ，并且4 在x 上的投影是过程 ( ，7 - ) 旷e 的紧一致( 关f 盯 ) 吸引子 通过斜积流这种方法可以解决带有平移紧外力项的问题然而大多数情况下，系统 中的外力项部并非是平移紧的于是，l u ，w u 和z h o n g 2 0 , u 用非自治系统的有关概念和 符号空间的概念，将m a 讹n g 和z h o n g f l 7 】中的卡要思想推广到了非自治动力系统，并提 出了一致( 关f a ) u 一极限紧的概念从而避免了斜积流的构造，更好地验证了一致 吸引。f 的存在性判别定理，即，一致( 关丁：盯) 条件( c ) ： ( 1 ) 一致( 关于口) u 一极限紧：对垤 0 ，x e e 任意的有界集b 和7 r ，存 在t o = t o ( r ，b ，) 7 - ，使得 k ( uu 以( ，下) b ) 口t _ t o 其中k ( a ) 为集a 的非紧性测度( 2 ) 一致( 关f 仃) 条件( c ) ：对比 o ，x 中任意 的有界集b 和7 - r ，存在t l = t l ( r ，b ，e ) 7 - 和x 的有限维子空间x l ，使得 是有界的。且有 p ( uu ( 幻。) b ) ， 口t _ t a ( ，一p