（应用数学专业论文）一类schrodinger方程整体解的存在性.pdf

；一；筌垒鎏三堡垒兰霎；三兰些竺圣； ； 摘要 本文研究一类s c h r s d i n g e r 方程的c a u c h y 问题 i u ，+ “+ i “i 一“= o ， x r ”，t o u ( x ，0 ) = u o ( x ) ， x r ” 以及在有界区域qcr ”上的初边值问题 i u j + a u + l u 一“= o ， x q ，f o u ( x ，o ) = u o ( x ) ， 工q u ( x ，f ) l m = o ，t 0 的当1 ， ，挖：1 ，2 ；1 - - 0 u ( x ，0 ) = u o ( x ) ， u ( x ，t ) l m - - 0 ， x q t 芝0 w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sa n dt h eb l o w - u po fs o l u t i o n sf o rt h ep r o b l e m w h e n1 p o , x q ， 0 文中作者首先用新的方法得到了位势井深度d 的值，并且首次得到了位 势井内外结构而后用位势井方法得到了问题的整体弱解，整体强解的存在 性最后证明了位势井及井外集合y 在问题的流之下的不变性这篇文章 是在位势井方法提出之后又一次实质的发展文 1 4 中，刘亚成又在原位势 井理论的基础上加以改进，利用新的方法引进了位势井族，并给出了这族位 势井的性质，而后利用这族位势井得到了一些完全新的整体弱解与强解的存 在定理最后，讨论了解的不变集合及真空隔离现象 1 2 2 问题的研究现状以及本文的主要工作 经典的s c h r s d i n g e r 方程是一类非常重要的发展方程，有着极其重要的 物理背景而由于其方程在形式上的特殊性，即含有一般的非线性发展方程 中没有的虚数项，与我们熟知的例如s o b o l e v g a l p e r n 方程m n ”，g b b m m “方 程、非线性抛物方程。、非线性双曲方程、热传导方程、以及波动方程m 等 非线性发展方程在形式上有着根本的不同因此，引起了学者的广泛兴趣 对于此类方程目前已有很多研究r 1 5 哈匀：摄 = 程人掌帧t 掌位论义 例如，在非线性光学中研究强激光束通过非均匀介质和在等离子体的传 播问题中，提出了一类具有相同的线性主部f “，+ 的s c h r s d i n g e r 方程， 对于这些方程的研究已有了很多结论”，其中在文 3 2 中，姚景齐研究了方 程 i 宴+ 材：素( 1 _ e - v h 2 a 、7 在q c r 2 ，u 0 ( x ) h 2 ) n 联( o ) 的初边值问题，利用半群理论以及当满足 条件， u eh 2 ( q ) ， l m 眺n ) 兰l 时的b r 6 z i s g a l l o u e t 不等式： 删r ( n ) c 0 + l o g ( 1 + 趴n ) ) ) ，给出了问题的整体解的存在性和解的估计， 并讨论了在q 是r 2 中的外区域的情况下，当t - - ) o o 时的解的渐近性；刘跃在 文 3 3 中研究了问题对区域q c r 2 的c a u c h y 问题，讨论了问题的整体解的 存在性；t c a z e n a v e 在 3 4 中研究了当q = r ”时c a u c h y 问题的整体解的存 在性 在【3 7 】中，郭柏灵和刑家省研究了一类具调和振子的非线性s c h r s d i n g e r 方程 ，0 = 妒。+ z 2 p + g ( ) 妒 的c a u c h y 问题，采用g a l e r k i n 方法和能量估计的方法，证明了问题的整体 解的存在性和唯一性 在文 3 8 中，张健研究了下面方程在尺”上的c a u c h y 问题 i u f + ”+ l z ，l ，一甜= 0 ， x r ”，f o ( 1 1 ) u ( x ，o ) = 7 1 0 0 ) ， 工e r ” ( 卜2 ) 在当= 2 ，l + 昙p m 和3 ，1 + 昙s p o 的c a u c h y 问题，研究的主要方法也是利用方程的基态解，以及估计的手段， 证明了整体解的存在性目前对解的有限时间b l o w - u p 的研究也有很多结果， 方法主要有爆破因子法w ，特征函数法m ，以及能量法m ，等然而，目前在证 明解的存在性时，利用半群理论较为常见，利用位势井理论研究的结论还比 较少，因而有很高的研究价值 本文考虑问题当l p ，一：1 , 2 ；l 0( 1 3 ) u ( x ，0 ) = u 0 ( x ) ， 工q( 1 4 ) u ( x ，) i m = 0 ，t 0 ( 卜5 ) 其中，边界触是光滑的，一为空间维数，为施的外法线方向，u ( x ，t ) 是实变量的复值函数，石= ( 而，x n ) r ”，v 表示梯度算子， 砚= ( ，) ，是上的l a p l a c e 算子，缸= 妒“= 喜骞= 玎 为了方便，下文以| i ，表示p ( q ) 模，| h l 表示r ( q ) 模，| | 1 l 表示k , p ( q ) 模， 且( ”，v ) 2 上u v o k 第二章利用了g a l e r k i n 方法结合位势井理论研究了c a u c h y 问题 ( 1 - 1 ) - ( 卜2 ) ，在证明了解的不变集合的基础上，证明了当满足条件：若 o ) 日1 ( r ”) ，0 e ( o ) 0 或l l v - 。8 = 0 问题存在一个整体解 甜( ，) ：u 三。( 0 ，；日1 ( 胄“) ) ，材，上。( o ，a o ；r ( 尺”) ) 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 且 甜w 0 sr o o 第三章主要通过能量的方法并且参考了r t g l a s s y 在文 4 9 中的思想 和方法，得到了较为简单的判别条件，证明了当p 满足条件：1 p 0 0 ， 珂：1 , 2 ；l 3 ，“ ，f ) 为初值问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的解，当初值 以一z 材。h 1 ( 胄”) 时，若满足下列条件之一 ( i )e ( o ) 0 则问题( 1 - 1 ) - ( 1 - 2 ) 的局部解在有限时间内b l o w - u p 第四章利用位势井族的方法研究了初边值问题( 卜3 ) ( 1 - 5 ) 满足条件：若 o ) 联( q ) ，0 e ( o ) d ，最 o 或0 v 0 = 0 ，则问题( 1 3 ) - ( 1 5 ) 存在整体弱解“r ( o ，o o ；日；( q ) ) 且 “黟0 ，艿( 磊，最) ，0 t 0 ( i i ) h p - 1 弹_ a h n u - c j r e u l 9 以及满足了推论的条件时，问题的局部解在有限时间b l o w u p 1 3 几个预备引理及证明 首先给出本节证明中所需的主要引理 引理1 1( s o b o l e v 嵌入定理) 设q c r ”为有界域或无界域，且具有锥 性质，则 ( i ) 若印疗，则9 ( q ) 嵌入( q ) ，当印 h 时p g 磊n p ，当匆= 时，p - q 打，则却( q ) 嵌入c ( 孬) 且。c i 甜 ( 常数c ，c 。与u 无关，与k , n ，p ，q 有关) 引理1 2若g ( x ，f ) f ( q ) ， g 。( 工，f ) ) 于l q ( q ) 有界，1 g 且 g m ( 毛r ) 寸g ( x ，哆于q 几乎处处收敛，则岛( x ，d 专g ( 墨f ) 于p ( 弱收敛 引理1 3假设f c ，甜。o ，f ) 仨r ( o ，t ；w 9 ( 尺“) n r ( r ”) ) ， k 1 ，1 p o o ，1 , 2 ，s 则 f ( u i ，甜7 ，“，) r ( o ，t ；w p ( 尺”) ) 引理1 4 ( 局部解存在性定理) 设1 p o o ，n ；1 ，2 ：l p 詈笔， 3 ，对于h 1 ( 震”) ，和t ( o ，) ，问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 存在唯一解u ( x ，f ) ， “( x ，f ) = s ( r ) “。一i k i s ( t - f ) b ( f m 9 一“( f 矽f ，“( x ，) c ( 【o ，丁) ；h 1 ( r ”) ) 并且有如下的二择性结论 t = 或者 r 懈且l i m i t 聃= 佃 引理1 5 ( g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式) 若p 满足条件 l p ，珂= 1 ，2 ；1 p 五n + 2 ，以2 3 则有下面不等式成立 州岩sc ：1 一下n ( p - i ) 8 圳了n ( p 广- | ) 9 下面给出几个有用的引理及其证明 引理1 6( 质量不变式) 设u ( x ，) 是初值问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的解， 。( 曲p ( o ，t ；h 1 ( r “) ) ，则有下式成立 l 。l “1 2 d x = l 。i “。j 2 d x 即l l “( x ，w 1 2 = i l u o ( x ) 0 2 证明以u 的共轭u 乘以方程( 卜1 ) 的两边，得 对上式取共轭，得 两式相减得 i u u + a u u + k i i 川j 五= o i u ，u + a u “+ 膏j 甜1 9 一石”= o i ( u 一1 1 + l l f u ) + a u 一u a u = 0 把上式对x 在月”上积分，得 f l 。( “，一t t + 一u ，“) d x + 【( 甜云一a u 甜) d x = 0 利用格林公式将上式化为 即成立 故 f ( 旦盯) d x ：0 永4 、o t l 洲d 1 2 - o 8 “( 工，f ) | | 2 = 帆( 刮1 2 引理1 7 设u ( x ，t ) 满足引理1 6 的条件，还有下式成立 e ( ，) = 旧“1 2 一六旷1 皿= 均1 2 一击”“胁= 即) 通常我们称为能量不变式 1 0 ；i ；竺垒鎏：坠兰竺：兰丝兰； 证明用“，乘以方程( 卜1 ) 的两端，得到 对上式取共轭，得 两式相加，得 i u ，荔，+ a u 云，+ 一磊t = o i u ，u , + a u 甜，+ l u l 9 一一，= o 甜一u 。+ 云甜，+ j “j 9 “( z f 一u ，+ 五“，) = o 在矗”上关于x 积分，得 由格林公式 令 则可得 所以有 l ( 咖否，+ _ m + 旷1 ( 甜。一u t + 一u t ) ) 出= o i 。( “一u ，+ 一u ) 出= 一j d f l v u l 2 出= 一丢8 v ”8 2 。m 川( 一u ，+ 一u = ；鲁罢l 。h ”。出= ；鲁磊d ” 即) = 蛸“1 2 一雨1 旷协 d e ( t ) ：0 d t e ( ，) = e ( o ) 一一；一；一些些；堡垡坠丝鳖；一一一；一一； 第2 章位势井方法解决整体解的存在性 2 1 位势井的引进及性质 首先对问题我们总假设p 满足 ( ) l p o ，a ( u ) d u 0 ) v = “h ( 丑”) i j ( “) d ) 中，位势井深度d 满足关系式 d = i n fs u p j ( 2 u ) 引理2 1 对于任意的“( 五f ) h ( 矗”) ，l v “0 0 ，有下列性质 i 1 l i m j ( 旯“) = 0 ，z 1 i r a 。j ( a u ) 2 哪； 斗o z 呻+ o 存在唯一的名= z ( ，使得 丢，( 砌牡= o ，( a 村) 于o 五刀是递增的，于zs 旯 0 ，对于o 旯z ；l ( a u ) 0 ，对于 旯 0 0 ；，( z “) = 0 2 m m m 证明 ( i ) 由于 呐) = t 扣i i v 4 2 一筹： 由于f i v “l i 2 0 ，：o ，易得结论成立 ( i i ) 若 刍朋垆a 酬1 2 卅：= o 则显然有唯一解2 = ，故结论成立 ( i i i ) 由于 l 似j ( k u ) = 旯酬1 2 一州瞄 = 到i v “卜。1 且在五：z 时，有要，( 砌) = 0 ，故根据( i ) ，( i i ) 的结论，利用函数j ( 他) 口 的增减性可得到引理的结论 ( i v ) 因为 ，( 砌) = a q v 4 2 一矿“： = 五( 丑0 v 甜0 2 一五” j “| i ：二1 ) ；五妥，( 勉) 2 旯磊j 【砌) 可知j ( 砌) 的递增方向与i aj ( 2 u ) 的一致，由( i i i ) 易得到所求的结论 a 弓l 理2 2由d 的定义，我们还可以证明 d = i n f d ( u ) 其中u ( x ，t ) 满足关系 “h 1 似”) ，( ”) = 0 且i l v 甜忙0 哈尔演丁程人学颧 。学位论文 证明由定义 d = i n fs u p j ( a u ) 肚1e ) j 砷 i 钆i o = i n f ，( z “) _ t 【胪) i v - i 一0 垒堕蒯i n f ，m ) 一v e h l ( “r 脚 1 w 1 o 驯引理得证 引理2 3 若j i v 甜| l 。 证明根据p 满足的条件，由嵌入定理可得 i l - i i ；+ + ：掣f i 1 9 “ = 钟“0 v “l | 审“1 1 2 0 ，j ( u ) d 或= 0 舄酬1 2 + 六砌h d i i v 1 1 2 等d 2 2 解的不变集合 引理2 8设e ( o ) 0 ，或i l v 甜0 0 往证对任意的0 t t ，有u ( t ) w 1 6 用反证法，设若不然，则定存在一个时间t 。，0 “ t ，使得”( ，0 ) ea 即 i ( u ( t 。) ) = on f u ( t o ) 忙0 或者 j ( u ( t 。) ) = d 由于j ( 甜) d 恒成立，所以j ( u ( t 。) ) = d 不可能 若( “( ，。) ) = o 且i j v “( ，o 川0 ，由d 的定义可得 d ( u ( t o ) ) d 这与e ( f ) d 相矛盾 引理2 9 设e ( o ) d ，则矿在问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的流之下是不变的 证明 设( x ) v ，u ( t ) 是问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 以( 工) 为初值的解，存 在时间为f 往证对任意的0 t t ，有u ( t ) v 若不然，则存在一个f 0 ( o ，r ) ，使得( b ) a 矿 即 l ( u ( t o ) ) = o 或j ( u ( t o ) ) = d 类似前面证明，j ( u ( t o ) ) = d 是不可能的 设“是第一个便，( ”( ，) ) = 0 的，值，则对于o t ( 专) 击，易得 d ( u ( t o ) ) d ，与已知相矛盾，故引理褥证 ；一；! 垒鎏三堡查兰竺圭耋篁鎏兰； ； 2 3 整体解的存在性 定义2 1称= u ( x ，f ) 为问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的于r ”【o ，丁) 上的一个整 体解，若u r ( 0 ，t ；h 1 ( r ”) ) ，对所有的f o ，t ) 成立 i ( u ，v ) 一( v u ，v v ) + 删”) = o 且u ( x ，o ) = u o ( x ) 于h 1 ( r ”) 定理2 1 0设1 p ，胛：1 , 2 ；l p s 兰罢，厅3 ，( 曲h 1 ( r 一) 胛一z 若0 五( o ) o 或l j v u 。0 = 0 ，则问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 存在一个整体解 u ( x ，f ) ：1 1 r ( o ，o o ；h ( r ”，u ，上。( o ，o o ；l 2 ( r “) ) 且”w ，0 - t c o 证明 设 q ( z ) 为问题 一i = a i j q i 帕= 0 的特征函数系已知 ) 在三2 ( r ”) 中构成正交完备系，且 q 在( r ”) 中 稠密，构造问题( 1 - 1 ) 一( 卜2 ) 的近似解 ( 五r ) = g ，。( r ) ，( 功，肌1 , 2 ；1 其中，g 。( f ) 是【o ，r 】上的复值函数，且满足如下的常微分方程组的初值问题 i ( u 州，国，) 一( v 。，v 吐) + ( 。i p 。，f 峨) = o ( 2 1 ) 。( x ，o ) = 口p 口，( x ) 一g o ( 曲于日( r ”) ( 2 2 ) 以孑。( f ) 乘( 2 1 ) 式两端，再对j 从1 到求和，得 i c u 。，五。，) 一( v u 。，v 五。，) + ( 1 “。 ”一1 “。，五。，) = 0 对上式取共轭，得 一f ( 五。，“。) 一( v 云。，v u 。) + 0 “，i “一u 。，甜。，) = 0 两式相加，得 一( v 吁v 云w + v 五m 吼。) d x + 廿。n 五“一u 刑。) 出= 0 即 磊d z i v 8 2 一雨1 她。瞄= 。 对t 从0 n t 积分得 扣。卜雨1 = = 扣删1 2 一六) 暇 即 ， j ( u 。) = e 。( o ) ，0 t o o ( 2 3 ) 由于 e ( o ) d 则 j ( u o ) o 或i l v “。8 = 0 可得 形 因为矽是日1 ( r ”) 中的开集，故由( 2 2 ) 可得对充分大的所有 “。( o ) w ，e 。( o ) 0 ，有 。( ，) w 利用反证法，假设上式不成立，则一定存在某个0 以及充分大的棚，使 得 甜。( ，) o w 即有下式成立 l ( u 。o o ) ) = o ，i f v 掰。( t o ) i f 0 或d ( u 。( f 。) ) = 矗 由( 2 3 ) 式可得，对充分大的肼有 j ( u ，) d 故，0 ，( f o ) ) = 0 是不可能的 1 ( u 。) ) = 0 ，8 v u ，( ，o ) 0 0 ，则显然有 j ( u 。( f o ) ) d 这与( 2 4 ) 矛盾故对于充分大的掰t 有群。 由( 2 - 4 ) 可得 专一击川砜8 2 + 六地小口 h 吩等d ，o t o o 又由g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式，可得 e s c ) l u 。一下n ( p - i ) i v i t n ( p - i ) 根据引理1 6 ，代入得 i ：c ，o f 。 鼽c 刮堋“竿啤半】竿为与瞅的常数 所以 h n f u 盯u + 等d 是有界的从而存在u ，z 及协，) 的子序列 d ，) ，使得当v 峥m 时 甜，_ 群于p ( o ，o o ；h 1 ( r “”弱木收敛，且于q = r “x 【o ，。o ) 几乎处处收敛； “。呻甜，于r ( o ，；r ( r ”) ) 弱 收敛； v rt ”，专z 于r ( o ，。；口( r 。) ) 中弱奉收敛，r f f - r “几乎处处收敛， g = 等从而z 州1 玑 在( 2 - 1 ) 中固定j ，令m = v 寸o 。，可得 j ( ”，蛾) 一( v u ，v 噱) + ( m 川甜，国，) = 0 ，对于 从而 j ( ，v ) 一( v u ，v v ) + d “f 9 一甜，叻；o ，v v h 1 ( 月”) 又由( z - 2 ) 可得， u ( x ，0 ) = u o ) 于h 1 ( 月”) 故u ( x ，t ) 为问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的一个整体解 2 4 本章小节 本节主要和用了位势井的理论，研究了问题( 卜1 ) - 0 - 2 ) 的整体解的存在 性首先引进了位势井的概念以及给出了相应的性质和定理，接下来证明了 解在肜和v 的流下是不变的，保证了解在存在时间内的不变性，进而证明了 当满足一定的条件的时候。问题存在整体解目前，对此类的方程的研究已 2 l 吩尔演丁程大学硕t 学位论义 经取得了许多的结果和结论，但是在研究解的存在性问题时，现有的研究成 果基本上利用半群的方法研究比较常见，利用位势井方法研究的结果还很少， 本文在已有结论的基础上继续做了研究，利用了位势井的方法给出了证明， 提出了创新，并补充和推广了已有的结论，为今后对此类方程的研究提供了 一个方法上的借鉴 哈尔演t 程人学硕十学位论文 第3 章解的有限时间b l o w u p 3 1 几个引理及其证明 我们定义能量空i 司 - “卜日1 ( r “) ，。h 2 h 2 出 o o 在h 上赋予如下的内积 。f 1 。( v 胛；+ ；+ 咖；胁， 其对应的范数记为l | | | 。，则日按此内积构成一个l t i l b e r t 空间 定义上的能量函数为 础) = 曲v u l 2 出一，击缸i 川出 引理3 1 如下换算关系成立 v ( x “、= n l g + x v u r e v u v ( 工v “) ：i v “1 2 + i x v ( 1 v “1 2 ) 其中，行为空问的维数，x r ” 证明只须证明第二个等式由于 v u v ( x v u ) = v 云v u + v u x v ( v u ) = l v “1 2 + v ( v 品x v u ) 一v u v ( v 石x ) ( 3 一1 ) 又 v ( v 五v “) = l v “1 2 + x v q w l 2 ) 代入( 3 - 1 ) ，有 v 乏v ( x v u ) = 2 i v 1 2 + 押( 刚2 ) - v u v ( x v u ) 于是引理得证 引理3 2 设“o h ( r ”) ，c ( ( o ，r ) ；h ( 曰”) ) ，h “o l 2 ( r ”) ，令 口( f ) = 心2 w 出 则有下列积分等式成立 a ( t ) = - 4 i r a 。x 1 2 v 盈 = 1 6 e ( 0 ) + 坠等业肼川出 2 ) i 正n , q 因为口( ，) = i 。i x l 2 川2 d x ，所以 口，( ，) = 丢l 。h 2 盯蠡= i t x l 2 ( 嚣i + 动，) 破 由( 卜1 ) 式知 = i a u + i l u 川“ 代如上式有 口( ，) = 2 阻( - i a u 一舡卜“) + 耻“+ i l “r “) 胁 = 2 ( f - “- i u a u ) d x = 2 i r r l l w 砌孤 = - 2 i m 【。v 孑v ( i 工1 2u ) d x = - 2i m1 1 x 巾“1 2 + 2 x u v u d x = - - 4 i m x u v u d x 所以 ( t ) = - 4i m 。( z “，v u + x “v 云r ) d x ( 3 - 3 ) 由于 1 x u v u ，d x = 一肛uv ( x u ) d x = 一f ( 腑+ 胛“) d x 代入( 3 - 3 ) 式，得 ( t ) = - 4 i m x u t v u d x + 4 i m 。五，( n u + 工v “) d x = 4 i m l 。( x 磊v “一x l l ，v u ) d x + 4 i mi 。n u u ，d x = 8 i m x u ，v “d x + 4 i m f 。以“石r d x = 8 i i l l l 。刃甜( _ f 石一杠r u ) d x + 4 i mj ：n u ( 一i a u - i i “卜u ) a x = 一8 r efx v 甜( - + m u ) d x 一4 r e 【。拧“( - + 。石协 ( 3 - 4 ) 由引理3 1 有 r e x v u a 五x = - 。 i v | 2 + 吉x v ( t v 甜1 2 ) l a x = 一。刚2 出+ 昙“v “i 2 出 =盟。iv9 1 2 出 冉“ i r e l 。胛州一赢= 三r e x v ( i 蜊“r 出 = 一托聆( “i t d s ) d x = 一i 1p 西1 一肛 =一告川”出p 1 上 ”l 1 r el 。胛a 云d x = - n 【。刚2 d x 将以上关系式代入( 3 - 4 ) ，得 以归一s 孚肿陋s 寿川川凼椭腑k 4 m ；尘垒婆；! 堡垒兰至兰些兰兰； ； = s 【。i v k 4 ”l 。筹旷1 凼 娟即，+ 半川”1 出 3 2 主要结论及其证明 考愿初值i 叫越( 卜1 ) 一u 一2 ) ，以p 总假设条件：( k ) 1 6 4 n ( p 1 ) 0 成豆 定理3 3 设l p ，l ：l ，2 ；l p s 竺二罢，厅23 ，甜。h 1 ( 月”) ， n z “( x ，f ) 为初值问题( 卜1 ) 一( 卜2 ) 的解，若满足下列条件之一 ( i )e ( o ) 0 则问题( 1 - 1 ) 一( 卜2 ) 不存在整体解，且局部解的存在时间是有限的，且在有限 时j 日j 内b l o w u p ，即存在时问t ，0 t 。o ，使得 蚓i m 陋 t ) l l = 佃 证明由古典分析知 口( t ) - - - 口( o ) + 口( o ) f + i ( t - s ) a ”( t ) a s ，v 0 z 时，有 口( o ) 十( 0 ) t + 8 e ( 0 ) t 2 o ，则必存在丁s 瓦 0 即方程疗( 0 ) + 口( o 弦+ 8 e ( 0 ) t 2 = o 有两个相异实根，记 五，：= - a ( 0 ) _ + 、l a 而 z ( 0 丽) - 3 2 a ( 一0 ) e ( 0 ) 当f ( 正，疋) 时，有 口( o ) 十口( 0 ) f + 8 e ( 0 ) t2 _ o ，故必存在时间丁疋 同时可得，口。( o ) 0 ，因此得到( f ) 是减函数，即口( f ) 口( o ) 所以， “2 盯d x l m ”。1 2 d r = c 2 其中，c 为与x 和f 无关的常数 根据s c h w a r z 不等式，我们有 口( t ) = - 4 i r a x u v f a t x 一旧x u v 五t x i 一( f h 2 盯出) ；( f i v u l 2 c 6 c ) ； = - 4 c l l w , i i ( 3 8 ) 由( 3 7 ) 和( 3 - 8 ) 式可得 批) s 号驴相 分离变量后积分，得 。、4 c 。口7 ( o ) 口( ) 4 c 2 - 2 - 兰n ( p 旦- l 1 ) a ( o ) t 若取丁= 西二淼，则当f 一丁时，有( f ) 一，从而 l 鲫l l v u l l - - 佃， 2 9 哈尔演t 程大学硕 学位论空 ii i ；i ；i ii i ；i i ；i ；i ；i ；i ；i i ；i i i i i ；i i ； 3 3 本章小结 本章主要利用了能量方法研究了方程的b ：l o w u p 问题，首先介绍了定理 证明中需要的几个引理，得出了几个关键的等式，然后对从研究二阶导数出 发得到了一个有用的不等式关系，进而将问题转化为通过研究一元二次方程 的解的情况，然后根据相关的理论证明了解在有限时间内爆破 第4 章位势井族方法研究整体解的存在性 4 1 位势井族的引进及性质 对于问题( 卜3 ) 一( 1 5 ) ，如前面相同的定义j ( u ) 与i ( u ) ，迸一步对于 j ( 0 , 1 ) ，我们定义 以( 加争卜两1 呲： = 半舄回去，c ：s 叩丽f l u l l , + , 在以下引理和推论中，我们总假设p 满足条件( h ) 甜n 1 ( n ) 且o 艿 0 当且仅当 。 酬j o 我们有i i v “0 0 ，且由 ，( “) = 半l l v u 8 2 + 以( “) d ( j ) ( 4 - 2 ) 可得( 4 - 1 ) 式 引理4 2 若( “) s 矗( 子) ，则j 8 ) ( 券回i ( 4 - 3 ) 证明 首先设，。 ) 0 ，则由j 。 ) 定义得 p 菩18 1 1 w l l 2 8 甜i l ：c ，“l t v ”一l i v 甜8 2 故由上式可得“一3 ) 。另一方面由( 4 - 3 ) 可得到 1 2 a v u 吩半唠回高叫回 故由( 4 - 2 ) 得以( 甜) 氏时d v ) o ，j ( “) d ( j ) u o ，0 0 另一方面由于，。( 甜) 关于艿的函数在 【o ，l 】上单调递增，且当j = i 时，( “) = 以( ) 故也可得上述结论 v = 每酬( q i ，( 雄) o ，j ( “) d = 岳j ( q ) i 以 ) ( o ， ) d ( 6 ) ，o j 1 矿；：v , u a f d = 0 日；( q i 以( “) o ，( 甜) d ( 占) 耻k 球q 郴v 硼 ( 舄回击 显然我们有 = 矿 南弓i 弹4 1 与引理4 2 可得如下 ；一；一；皇：璧；! ；堡奎兰至兰茎篁竺耋；i ； 推论4 7 设t ，( ) s 去 v ”2 2 ，因此对于给定的6 e ( o ，1 ) 当 。 f u l l ( 1 呐；( 舄艿) 击 则有，( “) 0 这意味着 色c ，万- - 满足否而l = ( 1 一回i j 而 由此，及引理4 1 与引理4 2 ，我们有 定理4 8 令，易，彤及j 如上所定义，则 b i c w sc 7 b 5 ，y 6 c 或 推论4 9 岛。c w c 氏，v c b 。c 其中 耻 非咖v 训 c 匆击) 钴珀者= 筹c 万1 ，击 引理4 1 0 ( i ) 若0 万7 万s 氏，则，c ( i i ) 若磊s 万 占。 1 ，则c ， 证明 由以( “) 在( 0 ，1 ) 上单增及引理4 4 可得 引理4 假设对给定的“剜( q ) ，0 ，白) d ( 卤) = d ( 岛) 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 此与，( “) = d ( 磊) = d ( 8 2 ) 矛盾 推论4 1 2 假设对给定的“h ；(