（光学专业论文）landau—zener隧穿效应理论研究.pdf

i 摘要摘要 能级间的 landau-zener 隧穿效应是一种非常重要的量子现象， 它描述一个系统 在外场驱动下相邻能级间的量子隧穿。这种隧穿效应普遍地存在于各类系统中，如 化学系统、核物理系统和自旋体系等。本论文主要讲述了线性 landau-zener 隧穿效 应的基本模型及其在不同驱动下的行为，并在此基础上介绍了非线性二能级 landau-zener 模型，同时介绍了 bec 系统中的非线性 landau-zener 隧穿效应。主 要内容如下： 1. 简 单 回 顾 landau-zener 隧 穿 效 应 的 提 出 与 发 展 历 程 ， 并 概 述 了 landau-zener 隧穿理论最新研究进展。 2. 主要介绍 landau-zener 隧穿效应的基本理论。首先简单推导了量子绝热理 论，并给出了量子绝热理论的适用条件；接着分别介绍了 landau-zener 隧 穿效应的两种描述方式：landau 的绝热跃迁模型和 zener 的隧穿模型。 3. 主要研究了在不同驱动下的线性 landau-zener 隧穿行为。首先给出标准的 landau-zener 模型即线性二能级模型，然后介绍了在均匀场驱动下的 landau-zener效应， 接着分析了三种极限条件下周期场驱动的landau-zener 隧穿。分析表明，在高频和低频极限条件下，隧穿总是被抑制；在弱耦合 极限下，出现了共振情况。 4. 给出非线性二能级模型并从数值模拟和解析解两方面分析了非线性 landau-zener 隧穿效应。结果表明，当非线性强度超过某一临界值时，即 使在绝热近似下，也出现了能级间的隧穿。 5. 简单介绍了 bec 中的非线性 landau-zener 隧穿效应。首先给出了 bec 的 相关基础知识，然后分析了光晶格中的非线性 landau-zener 隧穿效应，发 现在布里渊区边界处，布洛赫带间出现环状结构，最后简单介绍了两阱中 产生隧穿的条件。 关键词：关键词： 量子绝热跃迁; landau-zener 隧穿; 二能级模型; bec ii abstract landau-zener tunneling between energy levels is an important quantum phenomenon. it describes the quantum tunneling between adjacent levels in a system driven by an outer field. this tunneling effect exists in a variety of systems, such as chemical systems, nuclear systems and spin systems. this thesis describes the basic model of the linear landau-zener tunneling effect as well as the systems behavior in different driven fields. and based on that, we present the nonlinear two-level landau-zener model, and also describe the nonlinear landau-zener tunneling effect of bec. the structure of the thesis is as follows: 1. the discovery and study of landau-zener tunneling, as well as the latest research progress, are briefly reviewed. 2. the basic theory of landau-zener tunneling effect is introduced. this is done by first giving a simple derivation of quantum adiabatic theory. meanwhile, the conditions of using quantum adiabatic theory are mentioned. after that, two methods of describing landau-zener tunneling are introduced, which are landaus adiabatic transition model and zeners model respectively. 3. the behavior of linear landau-zener tunneling in different driven fields are presented, which includes the standard landau-zener model (two-level linear model), the landau-zener effect in uniform field, and the landau-zener tunneling under three extreme conditions in periodic driven field. analysis shows that tunneling can be suppressed under the limit of both high-frequency and low-frequency, while resonance will occur in the weak coupling limit. 4. based on both numerical simulation and analytic solution, the nonlinear two-level model is given. result shows that tunneling between levels appears when the nonlinear intensity exceeds a certain threshold value, even in the adiabatic approximation. 5. introduction to the nonlinear landau-zener tunneling effect of bec. the basic concepts of bec is described first, followed by the analysis of nonlinear landau-zener tunneling effect in optical lattices, which shows that the bloch band develops a loop at the edge of the brillouin zone. finally the condition of iii tunneling in a double-well potential is depicted. key words: quantum adiabatic transition; landau-zener tunneling; two-level model; bec 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 1 1 绪论绪论 landau-zener隧穿效应是一种非常重要的量子现象， 它描述一个系统在外场驱动 下相邻能级间的量子隧穿。这个现象是1932年由3个物理学家：朗道（landau）1、 基纳(zener)2和斯塔克伯格（stueckelberg）3在理论上独立发现的，因此也称为朗 道基纳斯塔克伯格隧穿，文献中多称之为朗道基纳隧穿（landau-zener隧穿） 。 这种隧穿相当普遍地存在于各类系统中，并有广泛的应用，比如化学反应系统、核 物理系统和自旋体系等。虽然发现这个现象至今已有七十多年，但人们一直保持着 对它的研究热情。 1.1 landau-zener 隧穿理论历史回顾隧穿理论历史回顾 本节我们主要介绍landau-zener隧穿效应产生的背景。 当经典绝热理论和量子绝 热定理发展到一定阶段的时候，某些实际中存在的问题已经不能够得到很好的解决， 比如在系统演化的某个阶段不能应用量子绝热定理来计算系统从哈密顿量的某个本 征态跃迁到其他本征态的几率。在此基础上landau和zener提出了landau-zener模型 来解决这一问题。 （一）经典绝热定理阶段（一）经典绝热定理阶段 人们对少体系统的绝热演化的研究始于二十世纪初叶。出于进行原子结构理论 研究和构建旧量子论的需要，当时的物理学家们深入地探讨了作周期运动的经典系 统的动力学性质4问题。在1911年召开的第一届solvay会议上，lorentz提出了一个单 摆的动力学问题5，该单摆的摆长l随时间缓慢变化。这里“缓慢变化”的条件是 () 11 1dl dt l v ?。其中dl dt是摆长变化的速率，v是单摆的瞬时频率。这个条件表 明在单摆振动的一个周期之内摆长的变化是极其微小的。einstein当场就对这个问题 作了正确解答：当满足该缓变条件时，单摆的瞬时能量e与瞬时频率v的比值e v是 一个不随时间变化的常数。需要注意的是，在简谐振子系统中，比值e v恰恰就是该 系统的作用量jpdq= ? 。此处q是系统的正则坐标，p是正则动量， ?表示在一个 周期内进行积分。而burgers在其后给出的证明则表明5,6，在一般的作周期运动(设 2 其周期为t)的非简并力学系统当中，当系统的某些参数作绝热变化时，即条件 () 1 1ddtt ?被满足时，该系统的作用量jnh=在演化中不随时间改变。作用量 j是其中的绝热不变量，这就是经典绝热定理。 （二）量子绝热定理阶段（二）量子绝热定理阶段 在19111916年间ehrenfest深入地探讨了绝热定理在旧量子论中的应用7。 他的 工作是建立在所谓“绝热假定”上的。这个假定认为,如果系统初始时刻处在一个旧 量子论所允许的运动状态(即定态)上，那么当系统的某个参数绝热变化的时候，该 系统每时每刻都将处在量子论所允许的运动状态上。在这个假定下，ehrenfest指出， 当系统的某个参数取特定值时，其定态满足bohr-sommerfield量子化法则inh=，那 么当这个参数绝热地变化到其他值时，相应的定态仍然满足该量子化法则。这是由 于在绝热演化中作用量j并不随时间改变。ehrenfest的工作不但指出量子数在绝热演 化中是一个不变量，更表明旧量子论存在着内在的统一性:如果bohr-sommerfield量 子化法则在某一个周期体系中适用，那么它也会在另外的一些周期体系中适用，但 必须满足一个条件。这个条件就是这些周期系统的差别仅仅在于一个参数的不同取 值。einstein和bohr对这一工作的重要性都给予了充分的肯定8 。 从中我们可以看出， 经典绝热定理中实际上已经包含了绝热近似需要满足的所有条件：两个不同的时间 尺度（快变的系统和慢变的参数）；一个绝热不变量；以及恰当的适用范围非简 并系统。旧量子论中的探讨更指出微观系统中这个绝热不变量即是量子数。因而， 当量子力学建立以后，一个严格的量子绝热定理已经呼之欲出。事实上，只要旧量 子论中的定态改换为量子力学中与之对应的哈密顿量的瞬时本征态，就可以得到量 子绝热定理的表述形式:设( )h t是体系随时间变化的哈密顿量，若0t =时，体系处 在( )0h的本征函数( )0n上，那么，当( )h t的变化足够缓慢时，在任一时刻t，体 系仍将处在瞬时哈密顿量( )h t的本征态( )n t上。这一表述9最早由born和fock给 出。 （三）（三）landau-zener模型的提出模型的提出 在量子绝热定理发展的过程中，在实际物理问题中却遇到了这样的情况：在体 系演化的初始和结束的时候都可以使用绝热近似，只是在演化中的某段时间内不能 使用。在这种情况下，如何计算体系在演化的过程中从哈密顿量的一个本征态跃迁 3 到其它本征态的概率， 就成为一个有趣的数学物理问题。1932年，landau10和zener2 在研究分子碰撞的问题时首先给出了两态体系中上述问题的一个精确解模型 landau-zener模型。80年代以来，随着量子光学的发展，人们对光场和三能级原子的 相互作用进行了许多研究。19861987年，carroll和hioe给出了landau-zener非绝热 跃迁模型在三能级情形的两个推广11。2000年,吴飙和刘杰等人将landau-zener模型 推广到了非线性系统中。近年来，牛谦和吴飙、刘杰等人致力于非线性landau-zener 隧穿的研究。发现在光晶格中的玻色爱因斯坦凝聚体由于外加线性力的驱动在布 洛赫带间会产生landau-zener隧穿， 由凝聚体中原子间排斥相互作用带来的非线性会 增强这种隧穿12 ，即产生非线性landau-zener隧穿,现已被实验验证14。理论分析进 一步表明，非线性会对布洛赫能带的结构产生重大的影响。当非线性足够强时，在光 晶格中玻色爱因斯坦凝聚体的布洛赫能带会出现一个环状结构12。这个环状结构 会导致系统在绝热极限下也会产生能带间的隧穿，有悖于传统的量子绝热定理13。 这个新的现象还有待实验验证，但吴飙和刘杰等人已将这个结果推广到了一般的非 线性量子系统中，建立了非线性量子绝热定理14 。 1.2 landau-zener 隧穿的研究进展隧穿的研究进展 landau-zener模型在凝聚态物理15， 中微子振荡16,17， 量子耗散18以及量子光学 19和玻色爱因斯坦凝聚20等问题中都有很多应用21。人们可以利用这些模型讨论 体系在一些特定情况下的非绝热演化和跃迁几率。在量子信息和原子分子物理中， 非绝热跃迁理论可以扮演一个双重角色。一方面人们可以利用这一理论估计基于绝 热近似的量子操作方案所产生的误差；另一方面，由于这些非绝热跃迁模型大多假 定在系统演化的初始和结束时均可使用绝热近似，因而在绝热近似适用的区域内， 系统的演化不会敏感依赖于参数随时间的变化。这使得人们开始考虑利用非绝热跃 迁理论建立一些对实际系统进行量子操作的方案。kleppner22在1981年利用rydberg 原子和经典光场的相互作用演示了基于landau-zener模型的量子操作。1997年， ketterle23利用三能级landau-zener模型在实验上实现了bose-einstein凝聚体的相干 输出。在假设能级差随时间作线性变化的条件下，landau-zener模型为隧穿动力学提 供了有效的描述方法。它是量子力学的一个基本模型，在量子化学、碰撞理论中都 有很好的应用。近年来，它在玻色爱因斯坦凝聚，量子计算中也有应用。2000年 4 吴飙和刘杰等人将二能级线性landau-zener模型推广到非线性系统中， 研究了光晶格 中玻色爱因斯坦凝聚体的非线性landau-zener隧穿。 这种非线性效应的产生是由凝 聚体中原子间的排斥相互作用引起的，当非线性足够强的时候，光晶格中凝聚体的 布洛赫带间会产生环状结构，从而导致在绝热近似下也会发生能带间的隧穿。相关 研究结果还有待实验验证。 1.3 主要研究内容主要研究内容 本文主要对线性及非线性landau-zener隧穿效应的基本模型做了介绍。 在此基 础上简单介绍了在不同驱动下的线性landau-zener隧穿效应， 包括均匀场及周期场 驱动；同时研究了bec中的非线性landau-zener隧穿效应。我们主要对以下几个 方面进行研究： 我们首先对landau-zener隧穿效应产生的物理背景作了简单介绍， 以期更好的 了解landau-zener隧穿理论的历史本源和发展背景，同时简单回顾了landau-zener 隧穿效应的研究进展。第二章对landau-zener隧穿效应作了最基本的介绍，首先简 单推导了量子绝热理论，从半经典理论和量子理论两方面分析了哈密顿量随时间缓 变的确切含义，并给出了量子绝热理论的适用条件；接着分别介绍了landau-zener 隧穿效应的两种描述方式：landau的绝热跃迁模型和zener的隧穿模型。第三章首 先给出线性landau-zener模型，然后从两方面介绍了它在不同驱动场中的行为。吴 飙和刘杰等人将线性二能级landau-zener模型推广到了非线性系统中， 所以在第四 章从数值模拟和解析结果两方面研究了非线性landau-zener隧穿效应的一些性质。 由于bec中原子间相互作用的存在使得我们能够较容易地研究非线性 landau-zener隧穿效应的一系列奇妙行为， 所以在第五章中我们首先对bec的发展 作了较为简单的介绍，其次从光晶格和两阱两个方面讨论了bec中的非线性 landau-zener隧穿效应。 5 2 landau-zener 隧穿效应简介隧穿效应简介 本章我们主要对landau-zener隧穿效应作最基本的介绍。在landau的绝热跃 迁理论和zener的隧穿模型产生之前， 量子绝热理论在物理学中得到了广泛的应用。 对于研究非简并系统，它无疑是最有效的（毫无疑问它是非常有效的） ，但对于存 在偶然简并的系统，由于无法找到系统缓慢变化的条件，所以不能应用量子绝热定 理来解决问题。在此基础上产生的landau-zener模型可以很好地解决这一问题。本 章我们首先对量子绝热定理进行推导并给出它适用的条件，然后介绍landau及 zener的理论。 2.1 量子绝热理论量子绝热理论 2.1.1 量子绝热定理及其适用的条件量子绝热定理及其适用的条件 一般来说，量子体系的哈密顿量是随时间变化的，我们把它记为( ) h t，按照 量子力学的基本原理，量子态( ) t 随时间的演化要遵守薛定谔波动方程24： ( )( )( )ith tt t = ? （2.1） 这个方程中含有( ) t 对时间的一次微商。按照微分方程的解的唯一性定理， 如果给定体系的初态( ) 0 ，那么0t时刻体系的状态( ) t 就唯一确定。 如果系统中h不显含t，则能量为守恒量，薛定谔方程（2.1）的求解就比较容 易。但是对于哈密顿量含时的体系，薛定谔方程（2.1）的求解，一般则比较困难， 往往需要近似方法，其中最常用的一种方法是微扰方法。另外两种近似是突发近似 和绝热近似，前者适用于外界在极短的时间内（相对于体系内禀的特征时间而言） 作用于体系的情况；后者则适用于( ) h t随时间变化极为缓慢（相对于体系内禀的 特征频率而言）的情况。这里我们采用绝热近似方法对其研究。 6 设( ) h t的瞬时本征值方程为: ( )( )( )( ) n h tn tetn t= （2.2） ( )n t是包含( )h t在内的一组力学量完全集的共同本征态，n是一组完备的量 子数，( ) e t为瞬时能量本征值，它一般上要随时间变化。作为本征态，( )n t 具有 相位不定性。 设体系初态处于( ) 0h 的某一瞬时本征态: ( )( )00m= （2.3） 众所周知，哈密顿量含时的体系能量不守恒，不存在严格的定态，体系会发生 量子跃迁。一般说来，( ) t 应该表示为所有( ) n t 的相干叠加: ( )( )( )( ) 0 exp t nn n i tatetn t = ? （2.4） 上式中( ) 2 n at表示在t时刻测得体系处于( )n t态的几率。一般情况下，( )t 很难求解，需要用近似方法来处理，但如果( ) h t随时间变化足够缓慢，则可以用 量子绝热定理来处理。 量子绝热定理25,26 是这样的：设体系哈密顿量( ) h t随时间变化足够缓慢，初 态为( )( ) 00m= ，则0t 时刻体系将保持在( ) h t的相应的瞬时本征态( )m t 上。那么，( ) h t随时间变化足够缓慢的确切含义是什么呢？从绝热定理的物理内 容来讲， 就是要求 （2.4） 式中所有n m 项的( ) 2 n at非常小，( ) 2 1 n at? ， 即从( )0m 态到所有( ) () n tnm 态的跃迁可以忽略，因此体系才可能保持在( ) m t 态。能保 证这一点的条件，就是式（2.4）中只需保留n m= 一项，所有n m 项可以略去。 即满足下列无量纲量： 1,() mn m n nm ee ? ?对所有 。这也是量子绝热定理适用的条 件。 7 2.1.2 直观分析直观分析 下面我们从物理直观图像来分析“( ) h t随时间缓慢变化”的确切含义。 。 （1） 半经典图像：（1） 半经典图像： 考虑质量为m的粒子在宽度为( ) l t的一维无限深方势阱中运动， 阱宽( ) l t随时间缓慢变化（阱壁缓慢移动） 。阱内粒子动量和速度的量级为 , p pl vml m =? （2.5） 粒子在阱内运动的周期（即粒子运动的周期时间） 2 lml t v ? （2.6） 所谓 “阱壁缓慢移动” 是指在粒子运动的一周期t内阱宽的变化 lt ll = ? ? ， 即 2 /1 ml llll v ml = ? ? ? ? （2.7） 从上式我们可以看出，阱壁移动的速度l ? 非常缓慢比阱内粒子运动速度v小得 多，这就是经典物理中阱壁绝热移动的含义。 （2）量子力学的估算：）量子力学的估算：一个量子体系随时间变化的特征时间为： min 1t （2.8） min 是体系从初始时刻i到一切可能末态f的跃迁相应的频率 fifi ee=? 的极小值。对于一维无限深方势阱，( )( ) 2222 2 n etnml t=? ， 1,2,3,n =? 2 min min 1 fi ml t ee = ? ? （2.9） 与式（2.6）的估算一致。阱壁移动的特征时间（即哈密顿量( ) h t随时间变 化快慢的特征时间）为 1 l l= ? （2.10） 8 所以绝热变化条件可以表达为47,48 min 1,1tl ml = ? ? ?或 （2.11） 这与半经典估计一致，它表示体系哈密顿量( ) h t缓慢变化的频率远小于体 系的特征频率 min 。mostafazaden 把无量纲量 min 称为绝热参量，则绝热近 似成立的条件就是 1?。 由式（2.9）与（2.11）可以看出，在能级接近简并情况（ min 很小） ，量子绝 热近似就很差。特别是能级出现简并情况，量子绝热定理完全失效。 2.2 landau 的绝热跃迁模型和的绝热跃迁模型和 zener 的隧穿模型的隧穿模型 在上节中，我们简要介绍了量子绝热理论。正如我们在讨论中所讲的，量子绝 热近似的使用是有条件的。那么，一个自然的问题就是，如果在实际问题中绝热条 件不能满足，我们如何求解量子系统的演化方程? 一般而言 ，求解含时哈密顿量支配的薛定谔方程是比较困难的，没有一个普适 的方法。当绝热条件被破坏得不是很严重时，我们可以利用微扰论或高阶绝热近似 方法对绝热近似给出的结果进行修正；另外一种情况是体系刚开始演化和演化将近 结束时绝热条件都是满足的，只是在演化过程中的某一段时间绝热条件被违反。在 这种情况下薛定谔方程在时间区域的两端(在实际问题中通常取为t 和t +) 的渐近解都由绝热近似给出，问题是如何将这两端的解衔接起来。关于这类问题几 十年来人们发展了一些精确解和近似解的方法，其中最有代表性也是最为常用的是 landau-zener模型。 2.2.1 背景介绍背景介绍 在刚刚提出量子绝热近似的时候，人们就开始考虑这样一个问题，如果量子系 统在演化的过程中，由于能级的偶然简并或近简并，导致绝热近似不能使用，那么 该怎样处理这类问题？在这方面物理学家们研究了一系列相关近似方法。首先，由 于绝热近似相当于忽略含时表象下哈密顿量矩阵的非对角项，所以可以利用含时微 9 扰论对这一近似进行修正。另一种逐级修正的方法是孙昌璞提出的高阶绝热近似 27,28。在这种方法中，则将体系的精确几率辐展开为能级差倒数的级数。另一方面， 正如我们前面所提到的，绝热近似的使用是有条件的。它在体系演化的初始和结束 的时候都可以使用，只是在演化中的某段时间内不适用。在这种情况下，就出现了 一个有趣的数学物理问题，即如何计算体系在演化过程中从哈密顿量的一个本征态 跃迁到其它本征态的概率。1932年，landau和zener在研究分子碰撞的问题时首先给 出了两态体系中的一个精确解模型即landau-zener模型，从而上述问题得到解决。他 们假定在近简并点附近哈密顿量的对角项是时间的线性函数，而非对角项则为常数。 该模型普适性很强， 几十年来广泛应用于物理学的各个领域中。 事实上， landau-zener 模型提出后， 人们对非绝热跃迁问题的探索并未停止， 在两态体系29,30、 三态体系31 和多态体系32,33中，一系列非绝热跃迁模型被相继提出。人们利用解析和数值计算 等手段对这些模型进行了充分的研究。除了具体的模型以外，从六十年代起，科学 家们对二能级系统非绝热跃迁的普遍性质也进行了深人探讨44,45。 2.2.2 landau 的绝热跃迁理论的绝热跃迁理论 从前面所讨论的绝热定理我们已经知道，在非简并系统中，当微扰随时间变化 足够缓慢时，系统从一个状态跃迁到另一个状态的几率趋于零。现在我们来定量地 研究这个问题，算出在微扰缓慢变化下的跃迁几率1。 设系统的哈密顿量是时间的缓变函数， 当t 时它趋向于一定的极限。 通过 解薛定谔方程( ) nnn h te=，我们可以得到能量的本征函数和本征值（依赖于时 间参量）(), n q t和( ) n et。由于 h随时间的变化具有绝热性，所以(), n q t和( ) n et 随时间的变化也是缓慢的。我们需要解决的问题是：如果在t 时系统处在 1 态，那么，当t +时系统处在 2 态的几率是多少？ 外部微扰作缓慢变化意味着“跃迁过程”所经历的时间非常长，因此，在这段 时间内作用量的改变（由积分式( )e t dt给出）是很大的。从这个意义上讲我们所 讨论的问题具有准经典性，所求的跃迁几率由下面的条件决定： 10 ( )( ) 1020 e tet= （2.12） 0 t对应于经典力学中的“跃迁时刻” ，当然，实际上在经典力学中这样的跃迁 是不可能的，表现出来就是方程（2.12）具有复根。因此，就有必要研究t为复参量 时在 0 tt=点的邻域内薛定谔方程的解所具有的性质， 在 0 t点处两个能量本征值变成 相等的。 我们将看到，在 0 tt=点附近本征函数 1 和 2 将随t快速地变化，为了求出其关 系，我们先令 1 和 2 的线性组合为 12 , ，并满足下列条件： 22 1212 0,1dqdqdq= （2.13） 只要恰当选择复组合系数（t的函数） ，总能做到这一点。这里， 1 和 2 在 0 tt= 处没有奇异点。 现在我们把本征函数写成下列线性组合形式： 1122 aa=+ （2.14） 要注意的是，当“时间”t为复参量时，由于势能( )( )u tut ，( ) h t算符仍 等于它的转置算符（ hh= ? ） ，但不再厄密（ hh ? ） 。 把（2.14）式代入薛定谔方程，对该式左乘 1 或 2 ，然后对dq积分，引入下列 记号： ( ) ikik hthdq= （2.15） 考虑到哈密顿量的上述性质，我们可得到 1221 hh=,结果有下面的方程组： 11 11222 1212221 h ah aea h ah aea += += （2.16） 这个方程组有非零解的条件是() 2 121122 heh h=,这个式子的根给出了能量的 本征值： 11 () 121122 ehh h= (2.17) 把它代入（2.16）中得： () 211122 aahh= (2.18) 由（2.17）式可知，为使在 0 tt=点处两个本征值相等，其中的 11 h或 22 h在该点 应等于零；这里我们假定 11 h为零。一般来讲，在正则点函数随 0 tt而趋于零，因 此有： ( )( ) 00 constane te tttt= (2.19) 即( )e t在 0 tt=处具有分支点。又因为 20 att，故在 0 tt=点只有一个本征 函数 1 。 现在我们看到所讨论的问题在形式上完全类似于垒顶反射问题。只是由“对时 间为准经典的”波函数( )t，代替了对坐标为准经典的函数，当t 时波函数 为( ) 1 1 ie t te = ? ，我们希望求出t +时波函数中的 2 22 ie t ce ? 项。这类似于用 x +的透射波求出x 的反射波问题。欲求的跃迁几率为 2 212 c=。作用量 ( )se t dt= 由具有复支点的( )e t函数对时间积分给出（正如积分( )pd x 中的 ( )p x函数具有复支点那样） ，因此所考虑的问题可以通过复平面t上从很大负值到 很大正值的一个积分回路加以解决，正如在x复平面中所讨论的那样。 我们简单介绍一下x复平面的情况。 在x复平面内，把看成复变量x的函数，把透射波写成下列形式： 1 1 exp x x i pdx p + = ? （2.20） 式中的 1 x为实轴上的任一点， 我们来追究它沿上半平面中曲线c的变化，c围 绕（在足够远处）回点 0 x（图2.1） 。这条曲线的整个最后部分必须位于很远的左区， 12 使得入射波的近似（准经典）波函数中的误差远小于欲求的小量。绕过 0 x点致 使( )()eu x 变一个符号，回到实轴后+函数就变成向左传播的反射波。由 于入射波和透射波的振幅可以看作是相等的，所以所求的反射系数r就简单的等于 和+的模的平方之比： 2 2 expim c rpdx + = ? （2.21） 导出此式后，指数幂的积分路线就可以任意变形；如果变换到图2.1所示的路 径 c ，则上式积分化为从 1 x到 0 x的积分的两倍，可得到： ()()()( ) 0 1 1010 exp4,im x x rx xx xp x dx= ? （2.22） 因为在实轴上任意一点( )p x都是实数，所以 1 x的选择是不重要的。 （2.22）中 的指数部分已经规一化。 图图 2.1 积分回路曲线1 现在我们考虑复平面t的情况。我们假定实轴上有 21 ee，此时回路必须位于 复变量t的上半平面（该处的比值 21 ie tie t ee ? 是增长的） 。结果可得下列公式： ( ) 21 2 expim c e t dt = ? （2.23） 其中的积分沿图2.1所示的回路（自左向右）进行。 在支点之左的回路上有 1 ee=,支点之右的回路上有 2 ee=，因此可把（2.23） 写成： 13 ( ) 0 1 2121 exp2im t t t dt = （2.24） 其中的() 2121 ee=?, 1 t为实轴t上的任一点； 0 t点应选（2.12）式的一个复 根，此根位于上半平面内，并使（2.24）式中的指数幂具有较小的绝对值。除了以 上自1态直接跃迁到2态以外，还可能有通过几个中间态的“跃迁方式” ；其几率 也可用类似的公式表示。例如按132的“方式”进行跃迁时， （2.24）式中的 积分应改为以下两个积分之和: () ( ) () ( ) 00 3123 3123 tt t dtt dt+ （2.25） 式中的两个积分上限分别为( )( ) 13 ,e tet以及( )( ) 23 ,etet的两个“交点” 。以上的积 分式，是采用同时围绕这两个复交点的一个回路后得出的。 2.2.3 zener 的隧穿模型的隧穿模型2 图图 2.2 能级交叉系统（其中虚线表示透热能级，实线表示绝热能级） zener最初考虑的是分子的两个电本征态：极化态和非极化态。t （t是 系统参数)时，基态是极化态，激发态是非极化态；t时，基态是非极化态，激 发态是极化态。在 0t 的区域，zener认为，两个态之间交换极化特性。为了描述 14 系统的运动特征，引入波函数：极化态 1 a和非极化态 2 a。 （表示两能级之间的耦 合）薛定谔运动方程为： ( )( ) ( )( ) 1112 2221 iae t at a iaet at a =+ =+ ? ? （2.26） 问题：当系统初始从基态开始近绝热演化时，跃迁到激发态的几率是多少？ 在处理这个问题的过程中，可以认为能级交叉（反交叉）的区域很狭窄，如图 2.2所示。透热能级在这个区域可以做线性近似；两能级之间的耦合可以看作常数， 即： 12 12 ,1 0 eet aa = = ? ? ? （2.27） 在初始时刻，假设系统处在基态： ()() 12 1,0aa = = （2.28） 做变量代换： j i e dt jj ac e = （2.29） 得到运动方程 ： 12 21 itdt itdt icc e icc e = = ? ? （2.30） 变换运算: 2 2 22 2 2 0 cc i tc tt += （2.31） 再作代换 ： 2 22 i tdt cu e = （2.32） 最终可得： 22 2 2 2 2 2 0 24 uit u t + += （2.33） 15 上式可以变换到标准的weber方程，其解为weber函数： 22 2 2 2 1 0 24 uz nu t += （2.34） 其中, 2 4 ,/ i ze t ni = （2.35） 利用初始条件（2.28）和weber函数在无穷远处的特性，得到 22 2 2 |( )|2sinh1 (1) (1) e cee ii = + + （2.36） 其中, 2 = ， 所以跃迁的几率是: 2 2 pe = （2.37） 从（2.36）式可以看到，landau-zener跃迁的几率与两态的耦合和驱动速率有 关系。当驱动无限小时，系统过渡到绝热机制，这个时候跃迁几率无限趋于零。这 是绝热定理要求的。 因为我们更关心跃迁的几率，在演化过程中，具体的动力学并不清楚，我们只 知道开始的状态和最终的跃迁几率。至于系统在什么时候开始跃迁，什么时候截止 等细节也不是很清楚。 2.3 本章小结本章小结 landau-zener模型是量子力学中一个非常普遍和基本的模型。随着量子绝热定 理的产生，在实际中也出现了一些绝热定理无法满足的情况。比如，当体系刚开始 演化和演化将近结束时绝热条件都是满足的，只是在演化过程中的某一段时间内绝 热条件不满足。landau和zener在1932年首先给出了这个问题的精确解模型即 landau-zener模型。我们在本章首先对量子绝热定理做了简单的介绍，并给出了它 的适用条件； 在第二节分别介绍了landau的绝热跃迁理论和zener的隧穿模型， 给 出landau-zener隧穿的几率。 16 3 不同驱动下的线性不同驱动下的线性 landau-zener 隧穿效应隧穿效应 上一章我们简单讨论了量子绝热定理以及landau的绝热跃迁理论和zener的隧穿 模型，得出了landau-zener隧穿的几率。landau-zener模型是最简单也是最常用的非 绝热跃迁精确解模型。 本章我们对不同驱动条件下的landau-zener效应作一下简单介 绍。 3.1 均匀场驱动下的均匀场驱动下的 landau-zener 效应效应 线性二能级landau-zener模型可以用来描述很多具体的物理系统， 这里我们研 究在均匀磁场中的自旋为1 2的粒子系统34。 描述landau-zener隧穿的数学非常简单。 我们考虑一个由以下矩阵方程描述的 线性二能级系统（已将所有变量作无量纲化处理） ： 11 22 1 2 d i dt = (3.1) 其中, 12 , 是系统波函数在两个量子态上的分量，在自旋系统中则代表粒子自 旋的两个分量，此时，式（3.1）中的v来自于磁场x分量和自旋的相互作用，而则 来自磁场的z分量。于是，的变化就是磁场的z分量随时间的变化。 。 我们很容易得出这个系统的两个本征值 22 2= +。图3.1显示了这两个 本征能级是怎样随外场变化的。当 0= 时，即外场不存在时，两能级间的间隙最 小， 此时没有landau-zener隧穿发生； 当外场随时间作线性变化时， 也就是 t= 时，出现landau-zener隧穿。 假设这个系统一开始（t = ）处于低能级，随着外场的变化，系统将有可能 从低能级隧穿到高能级，这种隧穿即landau-zener隧穿。这个隧穿几率的解析表达 式2在上一节中我们已经给出，即 2 exp 2 r = （3.2） 17 这个结果有两个有趣的极限情况： （1）当磁场变化极快时（ ） ，由上式可知隧穿几率1r =，这就是粒子完 全由低能级跃迁到高能级的情况。 （2）当磁场变化很缓慢时（ 0 ） ，也就是在绝热极限下，隧穿几率为零 （ 0r = ） ，这表明隧穿不会发生，粒子会始终待在低能级。这个结果和著名的量子 绝热定理（第二章第一节）是吻合的，即在绝热演化中能级之间没有隧穿，系统会 始终处在初始时刻的本征态上。 图图 3.1 线性二能级模型的能级34 3.2 周期驱动下的周期驱动下的 landau-zener 效应效应 上一节我们通过线性二能级模型研究了均匀场中landau-zener隧穿， 本节主要 研究在周期场驱动下的landau-zener隧穿效应。我们从高频、低频及弱耦合三种极 限情况对其进行研究35。 首先我们考虑一个随时间变化的外部电场( )e t ? ，将它应用到系统中用来调制两 能态之间的能量差，用1，2来表示这两个能态。电耦极距可以写作下面的形式。 ()1 122 2 ea = ? ?