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摘要 本文从两个方面研究了d i r i c h l e t 级数和随机d i r i c h l e t 级数的增长性： 1 d i r i c h l e t 级数所表示整函数的增长性； 2 随机d i r i c h l e t 级数的增长性 在第一章中，回顾了d i r i c h l e t 级数研究的历史，并给出了一些定理和引 理作为本论文的预备知识 在第二章中，减弱了前人提出的关于d i r i c h l e t 级数f ( 8 ) = k e 如的增 长性的条件，在条件 芦_ininn：d1llm- ：2 n 。m a t i 下，证明了它全平面上是收敛与绝对收敛的；再系统地研究了全平面上收敛的 d i r i c h l e t 级数的增长性，并得了级数的系数和增长级之间关系的一系列结论 在第三章中，对于随机d i r i c h l e t 级数允( 5 ) = k 墨。( u ) e h 8 ，证明了它在 全平面上是收敛与绝对收敛的；再仿照第二章中的研究方法，探究随机d i r i c h l e t 级数的增长性，得到一些有用的结论 关键词：d i r i c h l e t 级数；随机d i r i c h l e t 级数；系数；v a l i r o n 公式；型函数； 整函数；增长性 a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t ht h eg r o w t ho fd i r i c h l e ts e r i e sa n dr a n d o md i r i c h l e ts e r i e s i nt h et w oa s p e c t s ： 1 t h eg r o w t ho fe n t i r ef u n c t i o n sr e s p r e s e n t e db yd i r i c h l e ts e r i e s ； 2 t h eg r o w t ho fr a n d o md i r i c h l e ts e r i e s i nc h a p t e r1 ，w eo u t l i n et h eh i s t o r yo ft h er e s e a r c h e so nd i r i c h l e ts e r i e s ，a n d g i v es o m el e m m a sa n dt h e o r e m sa sp r e p a r a t i o nk n o w l e d g eo ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w ed e a lw i t ht h eg r o w t ho fe n t i r ed i r i c h l e ts e r i e sf ( s ) = b e k 8 n = l u n d e rt h ew e a k e re x p o n e n tc o n d i t i o n l i m - i n i n n ：d 1 。i i 2上 a n dp r o v et h a tt h i sd i r i c h l e ts e r i e si sc o n v e r g e n ta n da b s o l u t ec o n v e r g e n ti nt h e w h o l eo ft h ep l a n e ；t h e nr e s e a r c ht h eg r o w t ho ft h ed i r i c h l e ts e r i e sw h i c hi sc o n v e r - g e n ti nt h ew h o l eo ft h ep l a n e ，a n ds t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nt h eo r d e ro fg r o w t h a n dc o e 佑c i e n t so ft h i ss e r i e sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，w er e s e a r c hr a n d o md i r i c h l e ts e r i e s 九s ) = p r o v et h a tt h i sr a n d o md i r i c h l e ts e r i e si sc o n v e r g e n ta n da b s o l u t ec o n v e r g e n ti nt h e w h o l eo ft h ep l a n e ；t h e n ，u s et h es a m er e s e a r c hm e t h o du s e di nc h a p t e r2t or e s e a r c h t h eg r o w t ho ft h i sr a n d o md i r i c h l e ts e r i e sa n do b t a i ns o m eu s e f u lr e s u l t s k e yw o r d s ：d i r i c h l e ts e r i e s ，r a n d o md i r i c h l e ts e r i e s ，c o e f f c i e n t ，v a l i r o nf o r - m u l a ，t y p ef u n c t i o n ，e n t i r ef u n c t i o n ，g r o w t h s n 入 e 、l ， u n x n b 一 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明s 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名。 签名嗍。1 学位论文使用授权说明 日 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即，按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：新黟呻 样嗍叩糊2 7 日 皂嘛世台矽禾 导师签名： 。 签名日期：叫年y 月矽日 第一章预备知识 第一章预备知识 1 1 研究背景 d i r i c h l e t 级数是十九世纪中叶d i r i c h l e t 研究数论时引进的，可以看做是 t a y l o r 级数的推广，也是l a p l a c e - s t i e l t i j e s 变换的特例研究d i r i c h l e t 级数，一 方面是为了解决数论中提出的问题，另一方面是为了研究级数本身的分析性 质后者的研究主要由四部分组成：收敛性、自然边界( 以及奇异点的分布) 、 增长性和值分布 增长性不仅是d i r i c h l e t 级数的一种重要性质，而且是研究值分布理论的 基础近年来，很多学者研究了d i r i c h l e t 级数的增长性，并且得到了很多成 果关于随机d i r i c h l e t 级数的增长性，目前的研究主要是围绕以下四个方面 来进行：在水平直线上的增长性、在水平半带形上的增长性、在收敛半平面上 及全平面上的增长性、与n e v n n l i n n a 特征函数有关的增长性本文主要讨论 d i r i c h l e t 级数和随机d i r i c h l e t 级数在收敛全平面上的增长性问题 d i r i c h l c t 级数的般形式是 o o ( 8 ) = k e 抽， ( i i ) 磊 其中，8 = 矿+ i t ，其中仃，t r ， 6 n ) 为一列复数列，指数数列a n 满足 0 = a o 入l 入nto o 当级数( 1 1 ) 收敛时，用f ( s ) 表示它的和 用a r c ，分别表示级数( 1 1 ) 的收敛横坐标，一致收敛横坐标及绝对收 敛横坐标定义如下 c r c = s u p ( a o ：级数( 1 1 ) 在r es c r o 内收敛，( 7 0 r ) a = s u p ( a l ：级数( 1 1 ) 在r e5 o 1 上一致收敛，o 1 r ) 仃n = s u p ( f f 2 ：级数( 1 1 ) 在r e5 c r 2 上绝对收敛，0 2 r ) 对于三者，我们有 湖北大学硕士学位论文 可以证明( 参见定理1 1 ) ：对级数( 1 1 ) ，有 恕i i n n = 。， 此时o e = 口u = o a 但一般来说，这样的等式不成立 c r c ，和o r u 可以为有限实数，也可以为士o o 如果a r c ，吼或氏= + o o ，那么级数( 1 1 ) 在整个复平面上处处收敛，处处绝 对收敛或在任何与横坐标轴垂直的直线上一致收敛 如果，或o u = 一o o ，那么级数( 1 1 ) 在整个复平面上处处发散，处处不 绝对收敛或在任何与横坐标轴垂直的直线上不一致收敛 如果c r c ，或吼为有限实数，那么级数( 1 1 ) 在半平面r e s c r c 内发散；半平面r e s 内不绝对收敛；或者v a 2 吼，级数( 1 1 ) 在半平面r e s 0 2 上不一致收敛 如果c r c 为有限实数，那么半平面r e s o r c 为级数( 1 1 ) 的收敛半平面， 直线r e s = o r c 为级数( 1 1 ) 的收敛坐标轴类似可以定义绝对收敛半平面，绝 对收敛坐标轴以及一致收敛半平面，一致收敛坐标轴 当c r c 足级数( 1 1 ) 的和f ( s ) 在收敛半平面r e s c r c 时，记( s ) 最大模、最大项分别为 m ( 仃) =s u p i f ( a + i t ) t m ( 盯) = m a x i b i e x 口】 当然有； m ( 口) 珏( 盯) 如果级数( 1 1 ) 满足 匦l i mi i n i f n n ：d 1 ， ( 1 2 ) ”。1 丙。 1 l l z j 而掣：一， ( 1 3 ) 由v a l i r o n 公式，在本论文的第二章中，可以证明级数( 1 1 ) 在满足条件( 1 2 ， 和( 1 3 ) 的前提下，它的收敛横坐标、绝对收敛横坐标和一致收敛横坐标均为 + o c ，此时级数( 1 1 ) 的和( 8 ) 是整函数 2 第一章预备知识 这个整函数的( r ) 级和( r ) 下级分别定义为 一i n + i n + m ( 口) l i p 2 r a 二二 口c r 7 ：l i m i n + i n + m ( a ) 口， 口 当p = 0 , 0 户 + o o 或p = + o o 时，级数( 1 1 ) 分别称为零级，有限级和无限 级d i r i c h l e t 级数 考虑与( 1 1 ) 对应的随机d i r i c h l e t 级数 凡( s ) = k ( u ) e ， ( 1 4 ) n = l 其中，5 = 盯+ i t ，其中正t r ，【( u ) ) 是定义在某完备概率空间( q ，f p ) 上 的一列复随机变量列 在本论文的第三章中，可以证明级数( 1 4 ) 在满足条件( 1 2 ) 和( 1 3 ) 的前 提下，在全平面上几乎处处是收敛与绝对收敛的 定义级数( 1 4 ) 的最大模和最大项分别为 m ( 口，u ) = s u p i 凡( s ) i ) ， z s 叮 m ( 盯，u ) = m a x i b x ( u ) l e h 口) 当然有： 7 n ( 矾u ) m ( 口，u ) 如果c r c ) = a a ( w ) = + o oa s ，那么厶( s ) 是一个随机整函数，同样可以定义 l ( s ) 的级和下级 p ( u ) = 矿1 i - m l n + l n + 盯m ( a , w ) r ( u ) ：l i m i n + i n + m ( a , o j ) 本文中，将对以下两个方面进行研究： ( 1 ) d i r i c h l e t 级数所表示的整函数的增长性； ( 2 ) 随机d i r i c h l e t 级数的增长性 1 2 预备知识 3 湖北大学硕士学位论文 为了确定d i r i c h l e t 级数和随机d i r i c h l e t 级数的各种收敛域，需要计算各种 收敛横坐标所以先引入v a l i r o n 公式 定理1 1 对于级数( 1 1 ) ， 一而刿a r c 吼o a 一而掣一而罂 n 。 a n b - - - * o o a nn 。，、n 定理1 1 的证明对于定理1 1 ，我们只需要证明第一个及最后一个不等 式先证第个不等式 如果级数( 1 1 ) 在5 0 = a r 0 + i t o 处收敛，那么当几充分大时，i b 。i e a n 。r o 1 ， 即 l n i k i + a n a o 0 于是 一而掣 n ， 掣, a n 山2 ，等 一。+ n 从而 i b n i e k ( 一l + 枯) ，i nr t a n 这时 i b n e a , t s li = i b n e h 口1 e h ( - l + 2 c ) e h ( 件d 一缸) =c a - ( d 咄) p n = e x p 【- 锯l n n 由于级数量p n 是收敛的，所以级数( 1 1 ) 在s ：8 1 时绝对收敛 因为s 1 是半甲面r e s z + d 上任意一点，所以级数( 1 1 ) 在这个半平面内是 绝对收敛的 不难看出，当z = + 时，以及当l = 一o o 且d + 时，不等式仍然成 立 定理1 2 对于级数( 1 4 ) ， 一甄骘掣嘶) ) ) 一凰掣一厩等 4 第一章预备知识 定理1 2 的证明仿照定理1 1 的证明方法，易得 引理1 1 设g ( x ) 是【口，o o ) 上的连续函数，满足 亘g ( z ) = o o ，甄掣掣：p ：o o ( o p o o ) ， z _ z _ i n z 则存在连续可微函数p ( z ) 满足 ( 1 ) g ( x ) ( 引，存在z nto o ，使a ( x n ) = z n p ( n ) ； ( 2 ) 1 i mp ( z ) = p ； ( 3 ) l i mz p ( z ) i n z = o ； ( 4 ) z p ( 茹) 单调趋于o o 引理1 1 的证明见文献1 2 2 】 引理1 2 设函数s ( r ) 是【a ，。o ) 上正值，连续，趋于无穷大，且 一l i m i nb ( r ) ：七，( o k 0 ，有u ( 0 + 1 ) 7 ) ( ( t + 1 ) r - 4 - d ( 1 ) ) u p ) 引理1 2 的证明由文献【2 2 】中引理4 及其证明可得 对于级数( 1 1 ) ，我们先给出它的系数，最大项和最大模之间的关系 定理1 3 对于级数( 1 1 ) ，如果一致收敛横坐标吼 + o 。，那么对v a o u ，v n n ， b n e x n a t ；( 他+ i t ) e i t d t 定理1 3 的证明容易验证t 如果m n ，那么 7 1 i m 1 ：e c a m 一 n ，i d t = 。 现在任取口 o ， c a r ，使得 m ( a ) m ( a ) k ( e ) m ( a + )( 口 n 时，有 所以 l n n _ 石 n 第一章预备知识 于是 i b n e 。矿+ 量l b n p 。( 口+ s ) e 。( 一c ) i n 矿+ li e a n ( 口+ 5 ) e n ( 一5 ) n = ln = n + l n m ( c r ) + m ( 仃+ ) n m ( c r ) + m ( c r + e ) n m ( c r ) + m p + e ) k ( e ) m ( c x + ) 后半式得证，前半式由定理1 4 可得 7 叶 。万 “ 1 以 洲 柄 一 ：8管一 n n n 湖北大学硕士学位论文 第二章d i r i c h l e t 级数所表示的整函数的增长性 2 1 引言 d i r i c h l e t 级数所表示的整函数在整个级数理论中有着重要的位置，对于 d i r i c h l e t 级数所表示的整函数的增长性，有很多学者做出了研究1 9 9 4 年， 高宗升在指数条件 一l i m 0=dlira 9 o o ，2 o o ， n 。o o n 下研究了d i r i c h l e t 级数所表示的整函数的增长性；贺隆贞也曾在上述条件下， 引进指标( p ，q ) ( r ) 级和( p ，q ) ( r ) 一下级，对d i r i c h l e t 级数所表示的整函数的增 长性进行了研究；2 0 0 0 年，田范基、胡付高也在上述条件下进行了深入研究， 得到了d i r i c h l e t 级数所表示的整函数的增长性的一系列重要结论 这些条件是比较强的，在本章中减弱了这些指数条件，在条件 面百i n i n n ：d n 时，有 i i n 弋i n n d d + 9 1 i 丙+ 9 1 从而 l n l n n ( d + e 1 ) h 1 入n = l n 【( 入n ) d + 1 】 所以 i nn e t n i ( x n ) d a r e i1 ：( 入n ) d + c 1 因为 i n ni n n a ? + 5 1 i 。天阿1 = - 所以 凰嚣“恶t a d + e x = 。 从而有 从而 一l i m i n n ：0 竹一。i 2 + o o 一而掣c r c 吼一一l i m 掣一而_ i n n ：+ o o n _ nn 一，、nn o o ，、n 由v a r i l o n 公式，可得 c r c2 吼2o a = + 0 0 因此级数( 1 1 ) 在全平面上是收敛与绝对收敛的，定理2 1 证毕 在本文中，c 表示常数，且先后出现可以不同，不再一一说明 引理2 1 设m ( 盯) 在【a ，+ 。o ) 上正值连续且趋于o o 凰掣= 眠l i - - - mi n i n m l n ( a 盯) - i n a l l m l i r a 一“ ( 0 t l 卢 毗( 2 1 ) _ 2 。o ，= ，i o ，u 1 ( a a ) = a 卢+ o ( 1 ) ( 1 + d ( 1 ) ) 仉( 盯) = c 仉( 盯) 我们称仉( 口) 为型函数，以下同 引理2 1 的证明由引理1 1 ，存在连续可微函数p ( 盯) 满足掣口口， 存在靠t0 0 ，使得 i n _ m f ( a n ) = 以( a n ) 口1 i r a 。f l ( 矿) = p ，i 骧( 盯) l n 盯= o ， 其中口口( 口) 单调趋于o 。 令巩( 盯) = 口p ( 引，则引理中的( i ) ( i i ) 成立 最后证明( i i i ) 成立 当0 口1 时，由( i i ) 知( i i i ) 成立 当1 口 o o 时，帮= 口p ( 口盯) 盯p ( 口力一p ( 力，应用微分中值定理，有o n o ，b n 0 时，有 a 冉 n o 时， r ，、南、，i n i b l l 妒( 入 0 ，取天r + ，使 妒( x 南) = 2 a 应用引理2 1 中的( i i i ) ，存在正数c ，使得天= c 研十叩( 盯) 当入n 天及礼 n o 时，由上面的两个式子得； i b n l e k 矿 e x p a n ( 盯一妒( 天葛) ) 】= e x p 一a 。盯】 1 ， 设 r e ( a ) = m n a x i b n e , x - a ) ， n ( 盯) = m a x k l b k e a k 口= m ( 盯) ) ， 对于充分大的口，必有 入n ( 盯) 入， 由文献【3 】 l n r e ( o - ) = a + z 4 a n ( 。d t u + 2 y ( 盯) 盯， 这里a ，o ( n 时，有 百i n i n n 1 一e 1 i i 卜e 1 所以 一a n 一i n l ( 1 一e 1 ) 佗= 一i nn l n c 2 o e 1 ) 佗 1 1 湖北大学硕士学位论文 故盯 0 时， m ( 力i b n l e 枷 ：登1 6 n 一一执 o o， m ( a ) e - 寺h o 。 m ( ) ( + e x p - 吾i n n i n e l ( 1 一刚佗) ) m ( ) ( n + 曼几一；1l n f l ( 1 - 1 1 ) n ) m ( ) (+ 几一；1 n q 八”1 h ) 其中= 口+ 孑1 令t = e x p ( 2 a ) ( 1 _ c 1 ) e ) ，则当n t 时，有 由上式得； 三1 n c l ( 1 一e 1 ) n 2 盯 m ( 盯)m ( ) ( + 量n 一吾l n 1 ( 1 - t 1 ) n ) l t = - n to o 仇( ) ( + n - 吉+嘉) n = nn - - - - 7 + l 丁 m ( ) ( + ft 一言d t + c ) n = 1 仇( ) ( c + 者t 1 一言) 当口绝对充分大时 i n m ( 盯) i n r e ( a ) - i - c + ( 1 一言) i n t + i n 矗 = l n m ( ) + c + ( 1 一圭) ( 2 口) 1 一l 俺+ l n 了马 斫+ 2 可( 盯+ 1 盯) ( 盯+ l a ) q - c + ( 2 盯) ( 1 - e x ) e l 两边再取对数，由此推出 成立 下面进一步证明当 凰业学1恶丽肃卜q 南挖 j 吼 凰 第二章d i r i c h l e t 级数所表示的整函数的增长性 成立时， 厩坐铲1熙丽赢广l 中的不等号是不能成立的 若不然，则 一l i m i n + i n _ + m 两( a 石) - 一l n a ：口 1 ，一。丽币万一2 口 l 于是可选择0 e l 1 ，使口+ 2 e l o 0 时，有 i n + m - ( 一a ) 叼帆( 口) 盯 从而对于充分大的口，对于任意的7 , ，有 l i li k l + , k n a 砑+ 乱( 盯) 盯 对于固定的充分大的n ，取o r ，满足嵋托1 ( 口) = a n ，由上式知 i n i b n i + a t i 盯 言a n 盯 由此得到 仉( 口) c 1 u l ( 一掣) 所以 a n ：2 叼恫( 仃) q 卵恫( 一掣) 这里研，q 为正数故 而兰口+ e l 0 若 那么 ( i ) a v 为一单调递增数列， 业l z m 。等a _ 1 1 _ o2l ， 口_ o 。l nn 并且吼_ o o ( v o o ) ； 1 3 湖北大学硕士学位论文 ( i i l 。魄削= 1 ； ( i i i l 。骧等= l 引理2 2 的证明由于7 - = 妒( 口) 为口= 仉( 矿) 的反函数，从而妒( 口) 严格 单调递增且妒( ) 一。o ( 口一o o ) 于是 = a 妒( a 嚣。) a c ，o ( a a 。+ 1 ) = + l ， 且 则( i ) 获证 1 由= a 妒( a ：，) ，得a n ，= 呼( 警) 由型函数的性质， 仉( 鲁) ：三斛邮( 1 + 。( 1 ) ) 巩( 吼) ， q口 因此 入n 。= 【( 壶) a + o ( o ( 1 + 。( 1 ) ) 1 石1 听( ) 所以 i na m ： 吉l n 【( 丢) 厣+ 。( 1 ( 1 + d ( 1 ) ) 】+ 1 i nu i ( a 计1 ) i na n 。 1 pl n 【( 吉) 口+ 。( 1 ) ( 1 + d ( 1 ) ) 】+ 石1i nu 1 ( a 。) 故 1 ： 一i n u ( 仃件1 ) 1 v _ i n 丽u 。1 v 。 i 仉ij ( i i ) 成立下面证明( i i i ) 由引理2 1 ，阢( r ) ：7 p ( ”，所r ) 一p ( o o ( o a 几。矿一a n 。妒( a 击i ) 取，使得吼= 2 i p ( 入乎) ，则入。= u 1 5 ( 譬) 由引理2 2 知， 吼) 为一单调递增且趋于o 。的序列 因此，对比 0 ，| 竹，使得o r v 盯+ 1 ， 由i n1 6 n ，l e a n v 盯 a n 。口一a n 。妒( 入丢) 知； i nm ( a ) i n m ( 口r ) i n l b n 。l e a n v 仃 1 i nl b 。l e 入n ”盯v 入n 。吼一入。妒( a 乎) = a 。d 。一 a n 。o r v = a n 。a = u 1 吖( 譬) 再由引理2 2 中的( i i ) 和( i i i ) 知； i nm ( 口) c u l 一s ( 矿。) 吼 c u f | - i g ( + 1 ) 口j 焉1 c 【，i = l - - 面t ( 盯) 盯再1 i 所以 f f - - t m * 0 0 唑i 鬻n 产扎 u 1 i 盯l 由定理2 2 的证明过程知，定理2 3 成立 引理2 3 设m ( a ) 在i a ，+ 。o ) 上正值连续且趋于o o ， 1 e = l n + i n + ，( 盯) 儿m = - 二 盯。o盯= 七，( 。耿o o ) 面! n l n m 盯( a ) o - - - * o oi n = o o ， ( 2 3 ) 盯 则存在连续可微函数沈( 仃) = 盯厣( 引p ( 盯) 一p ( 口_ o o ) 满足如下条件： ( i ) l n m ( 盯) u 2 ( o ) ，存在一。c ，使得i n m ( a n ) = 巩( 靠) ； 1 5 湖北大学硕士学位论文 ( i i ) ( 盯) 严格单调趋于o o ，且堡 兰卑t + ； ( i i i ) v 毒 0 ，( ( f + 1 ) 盯) ( ( 毒+ 1 ) 七+ o ( 1 ) ) u 2 ( 口) = c 沈( 盯) 引理2 3 的证明令口= i n r ，由引理1 2 ，存在连续可微函数矽( 盯) ，满足 ( i ) l n m ( 1 n r ) 疗( r ) ，存在一o 。，使得i n m ( r n ) = 矽( h ) ； ( i i ) u ( r ) 严格单调趋于，且型业i n r 盟t + o 。； ( i i i ) 0 ，【，( ( + 1 ) r ) c v p ) 令沈( 盯) = u ( e 矿) = u ( ，) ，则引理2 3 成立 利用引理2 3 ，仿照定理2 2 和定理2 3 的方法可以证明定理2 4 和定理2 5 定理2 4 设级数( 1 1 ) 满足( 1 2 ) ，( 1 3 ) 和( 2 3 三式，那么 厩l i m 喘笋= 筒凰蒜每乩( 卜 其中朋( 2 童s u 和p i ，( s ) m 型函数( 口) 满足引理2 3 中的( i ) ( i i i ) 定理2 5 设d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 满足( 1 2 ) ，( 1 3 ) 和( 2 3 ) 三式，若 甄两inan=1，(6nulnu 一，( n m 1 f f2i ， n 一号掣) 并且存在递增整数序列 n 知) ，使得 v 甄硒i n a n y _ 1 口魄等乩 则 盯l i - m l n + l n l n + ( m 叫( a ) = 1 盯_ o oi n u 口l 盯i 这里m ( 口) = 。s u p 口 f ，( s ) i ) ，型函数沈( 盯) 满足引理2 3 中的( i ) ( i i i ) 1 6 第三章随机d i r i c h l e t 级数的增长性 第三章随机d i r i c h l e t 级数的增长性 3 1 引言 对于随机d i r i c h l e t 级数的增长性，是个很有意义的内容，很多学者做了 深入的研究在余家荣，丁晓庆和田范基合编的d i r i c h l e t 级数与随机d i r i c h l e t 级数的值分布一书中，把随机d i r i c h l e t 级数的增长性分成在收敛半平面的 增长性和收敛全平面上的增长性这两大类进行研究，得到了一系列重要结论 随机d i r i c h l e t 级数所表示的整函数也是级数理论中的热点问题，在本章 中，还是在条件 一l i m 百 ni 广nn ：d 0 ，使 s u p e l l - 口 l 那么u na 8 ，| v j ( u ) ，当n v ( u ) ， i ) l n - 2 卢，( 3 4 ) 17 湖北大学硕士学位论文 ( i i i ) 若 】l 满足( 3 1 ) 和( 3 3 ) 两式，那么对u q 口83 n ( w ) ，n ( u ) ， n - k o i ) i r z k o ， 其中，硒 m a x ( 鲁，吾) ，n 引理3 1 的证明( i ) e ( i x 。l n 2 口) = p ( i x n i a n 2 ) 薹号笋s 纠u pe i a 薹去 3 ， 当他 n 时，有 in_innd+1i s - 卜e 1 n 入n 、 从而 l n l n 仡( d + 1 ) 1 n 入。= l n 【( 入n ) d + 。1 】 所以 1 nn e l n 【( n ) d + c lj ：( a n ) d + e i 因为 i n ni nr t 入2 扣l i5 孺两。1 _ = - 1 8 第三章随机d i r i c h l e t 级数的增长性 所以 从而有 熙万 nn 钆厩l i m 訾= 。 而罂：0 n - - * o o a n 所以 一l i m _ i ni b n x i 面业出型型 而弋i n i b i + 而弋_ i n n 2 a n - - - 0 0 n 7 1 - 0 0 o n ：而掣+ 一2 而訾 n 。o o 分 qn 。o o n 一o o + 二0 = 一。o q 由定理1 2 中给出的v a r i l o n 公式 一凰掣嘶) 嘶) ) 一厩骘掣一甄警 a - c ( u ) = a u ( w ) = 口口( u ) = + o o 因此随机d i r i c h l e t 级数( 1 4 ) 在全平面是收敛与绝对收敛的 引理3 2 级数( 1 4 ) 满足( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 3 1 ) 和( 3 3 ) 四式，则 ，1 n 十i n 十a f ( 正u ) 一i n 口，i n 十i n 十订( 口) 一i n 盯 恕i 赢并一2 恶丽京r m 豇 熙篇掣= 恶帮n s 恶i 币方一2 恶 丽矿m s 在第二章中的，用了同样的证明思路证明了定理2 2 ，2 3 ，2 4 及2 5 这 四个定理在本章中，根据定理2 2 ，引理2 1 ，2 3 和3 2 ，可以得到下面的定理 3 2 ，3 3 ，3 4 和3 5 定理3 2 设级数( 1 4 ) 满足( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 3 1 ) 和( 3 3 ) 四式，则 熙业翼等堂= 铮一诵i n a n a llminul n - e o o - l ，( k 0 ) j l m _ _ = 了弋一21 s 骨r 开2l ，l d n 产u ， 盯一o oi 口l l n ，r 一! ! ! l 堕i 、 这里m ( 矿) = s u p f ( s ) l ，型函数仉p ) 满足引理2 1 中的( i ) - - , ( i i i ) z 口 定理3 2 的证明由( 3 1 ) 和( 3 3 ) 两式，得到( 3 5 ) 式，从而可得 厩而博i n a n一。l n 仉( 一型气；业)尚 甄 湖北大学硕士学位论文 再根据定理2 2 的结论，则定理3 2 成立 定理3 3 设级数( 1 4 ) 满足( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 3 i ) 和( 3 3 ) 四式，若 n l 叫i - m n 仉i ( n a 硒n = 1 ，( k 。)n o 。l n 仉( 一硒引 k 町 并且存在递增整数序列( 他七) ，使得 l i m 。n 仉i ( n a 帮, t k - 1 恕面i n a n k + l = 1 1 ：，i n + i n + m ( 吼u ) 一i n 盯1 o n - - - m * o o i 亩两一。1 l n u l l 仃i 这里m ( 口) = s u p 盯 i f s ) i ) ，型函数仉( 口) 满足引理2 1 中的( i ) ( i i i ) 定理3 4 设级数( 1 4 ) 满足( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 3 1 ) 和( 3 3 ) 四式，则 熙哿一凰面i n 哥a n - 1 ( ) 这里m ( 盯) = s u p i f ( s ) 1 ) ，型函数巩( 口) 满足引理2 3 中的( i ) - - , ( i i i ) 定理3 5 设级数( 1 4 ) 满足( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，( 3 1 ) 和( 3 3 ) 四式，级数( 1 1 ) 满足 ( 2 2 ) ，若 n l i - m 。1 n i ( n a 羁= 1 ，( h o ) n 一( 一书引 h o 并且存在递增整数序列【n 七) ，使得 l i m 。n 吣i n a 帮n 乩恕等= 1 则 0 t - - t - - # m o o 毪篇笋= h s i nf o i 盯i 这里m ( 盯) = s u p i f ( s ) l ，型函数u 2 ( a ) 满足引理2 3 中的( i ) 一( i i i ) z s 口 参考文献 参考文献 f 1 j 1 余家荣，丁晓庆，田范基d i r i c h i e t 级数与随机d i r i c h l e t 级数的值分布f m j 武汉：武汉大学出版社，2 0 0 4 【2 】高宗升零级狄里克莱级数的增长性【j j 武汉大学学报，1 9 9 4 【3 】y uc h a i y u n g s u rl e sd r o i t e sd eb o r e ld ec e r t a i n e sf u c t i o n se n t i e r e s a n ns c i e n t e cn o r ms u p 1 9 5 1 5 8 ( 3 ) 6 51 0 4 【4 】田范基，胡付高随机d i r i c h l e t 级数表示的整函数的增长性【j 】湖北大学 学报，2 0 0 1 【5 】g a oz o n g s h e n g t h eg r o w t ho fd i r i c h l e ts e r i e so fz e r oo r d e r 【j 1 w u h a nu n i vj n a ts c i ，1 9 9 6 6 】高宗升d i r i c h l e t 级数表示的整函数的增长性【j 】数学学报，1 9 9 9 【7 】余家荣l a p l a c e s t i e l t j e s 变换所定义的整函数之b o r e l 线【j 1 数学学报， 1 9 6 3 ，1 3 ：4 7 1 - 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