（光学专业论文）基于有限元方法的平板波导场模分析.pdf

摘要 介质光波导是在光波导器件和集成光路中用以限制和传播光的元件，它包括 具有圆形截面的波导( 光纤) 以及平板波导、条形波导等。研究光波导通常以光 的电磁场理论和介质光学特性的理论为基础，由支配光波导现象的麦克斯韦方程 组及其边值条件，推导作为光波导波动理论基础的波动方程。 由于结构和参数复杂，除有限的几种结构和折射率分布，光波导具有严格的 精确解之外，绝大多数非均匀波导没有精确解，只能用近似法和数值法求解。近 似方法中，光线近似和w k b 近似具有物理图像清晰、分析简单的特点，因而获得 了广泛的应用。但它们只适用于变化缓慢的折射率分布和波导中远离截止的模 式。 有限元方法是波导光学模式求解的重要方法之一。有限元方法中全域被离散 成多个小单元，因此问题的求解被近似成在每个单元中的求解。有限元方法适用 于结构复杂的或有任意折射率分布的光波导模式分析，是当今工程分析中获得最 广泛应用的数值计算方法。 本论文的工作是用基于变分原理的有限元方法把对光波导中的波动方程的 求解转化为对相应的线性方程组求解。本文采用标量节点有限元方法，推导给出 了满足边值条件的方程组，分析了平板光波导中的导模。论文数值模拟结果与现 有文献理论和实验数据相吻合，可以此为借鉴进行其他器件的有限元数值分析， 表明有限元方法具有解决光波导问题的能力，是一种有效可靠的数值计算方法。 关键词：有限元方法，平板波导，电磁场，数值计算 a b s t r a c t d i e l e c t r i cw a v e g u i d e sa r eu s e di n t ol i m i t i n gt h ew a ya n dt h es p r e a do fo p t i c a l c o m p o n e n t si ni n t e g r a t e do p t i c a lc i r c u i t sa n dw a v e g u i d ed e v i c e s ，w h i c hi n c l u d e sw i t h ac i r c u l a rs e c t i o no fw a v e g u i d e ( o p t i c a lf i b e r ) a n dt h es l a bw a v e g u i d e ，r e c t a n g u l a r w a v e g u i d e ，e t c t h er e s e a r c ho nt h eo p t i c a lw a v e g u i d ei su s u a l l yb a s e do nt h et h e o r y o fe l e c t r o m a g n e t i ca n dt h eo p t i c a lc h a r a c t e r i s t i co fd i e l e c t r i cm a t e r i a l s t h em a x w e l l s e q u a t i o n sa n db o u n d a r 夕c o n d i t i o n s ，w h i c hd o m i n a n tt h ep h e n o m e n o no fo p t i c a l w a v e g u i d e h a v ed e d u c e dt h ew a v ee q u a t i o nw h i c hi st h et h e o r e t i c a lb a s i so fo p t i c a l w a v e g u i d e d u et ot h ec o m p l e xs t r u c t u r ea n dp a r a m e t e r s ，o p t i c a lw a v e g u i d ec a ng e ts t r i c t e x a c ts o l u t i o n se x c 印tf o rs e v e r a l l i m i t e ds t r u c t u r ea n dr e f r a c t i v er a t ed i s t r i b u t i o n ，a n d m o s tn o n u n if o l l nw a v e g u i d eh a sn oe x a c ts o l u t i o n s ，o n l ys o l u t e db yt h ea p p r o x i m a t e m e t h o da n dn u m e r i c a lm e t h o d i nt h ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，t h el i g h ta p p r o x i m a t i o n a n d q a p p r o x i m a t i o na r ee x t e n s i v e l ya p p l i c a t e db e c a u s eo ft h ef e a t u r eo fc l e a r a n ds i m p l ea n a l y s i s ，w h i c h ，h o w e v e r , a r eo n l ys u i t a b l ef o rt h es l o wc h a n g e dr e f r a c t i v e r a t ed i s t i l b u t i o na n dt h em o d eo fw a v e g u i d e t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) i so n eo ft h ei m p o r t a n tw a y st of i n do p t i c a l w a v e g u i d em o d e s i nf e m t h ed o m a i no ft h ep r o b l e mi sd i s c r e t i z e di n t os m a l l e l e m e n t s t h es o l u t i o no ft h ep r o b l e mi sa p p r o x i m a t e di ne a c he l e m e n t ，a n di ti s c o n n e c t e da tt h en o d a lp o i n t st of 0 1 1 1 1t h es o l u t i o nm o d e li nt h ee n t i r ea n a l y s i s d o m a i n f e mi ss u i t a b l ef o rt h em o d ea n a l y s i so fo p t i c a lw a v e g u i d e sw i t ha r b i t r a r y r e f r a c t i v e i n d e xp r o f i l e sa n dc o m p l i c a t e ds r u c t u r e s i t so n eo ft h em o s tw i d e l yu s e d n u m e r i c a lm e t h o di ne n g i n e e r i n ga n a l y s i s s c a l a rn o d ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di sa p p l i e di n t h i sp a p e r f r o mw h i c hl i n e a r e q u a t i o n sa r ed e r i v e dw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h es l a bo p t i c a lw a v e g u i d e sm o d e s a r ea n a l y z e di nt h ep a p e r s i m u l a t i o nr e s u l t sc o i n c i d e w i t he x i s t i n g1 i t e r a t u r et h e o r y a n dt h ee x p e r i m e n t a ld a t a a r eu s e f u lr e f e r e n c ef o ro t h e rd e v i c e sf i n i t ee l e m e n t n u m e r i c a la n a l y s i s t h ec a l c u l a t e dn u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tf e mb a s e do nt h e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e i sa n a p p r o a c h f o r a n a l y s i s o fw a v e g u i d ee i g e n v a l u e p r o b l e m s f e mi sa ne f f e c t i v ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d 。 k e yw o r d s ：t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ；s l a bw a v e g u i d e ；e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d ； n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：绎守签字日期：如尹年6 月r 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：车百 签字日期：刎年6 月1 日 基于有限元方法的平板波导场模分析 第一章引言 1 1 波导光学的求解方法 自1 8 7 3 年麦克斯韦( m a x w e l l ) 建立电磁场基本方程以来，电磁波理论和应 用的发展己经有一百多年的历史。目前，电磁波的研究己深入到各个领域， 应用十分广泛，例如无线电波传播、光纤通信和移动通信、微波、天线、电磁 成像、地下电磁探测、电磁兼容，等等。电磁波在实际环境中的传播过程十分 复杂，例如各种复杂目标的散射，复杂结构天线辐射，在波导和微带结构中的 传播，实际通信中城市环境、复杂地形及海面对电磁波传播的影响，等等。具 体实际的研究电磁波的特性有着十分重要的意义。一般来说，实验和理论分析 计算是相辅相成的重要手段。分析计算途径需要结合实际环境电磁参数求解 m a x w e l l 方程边值问题，通常只有一些经典问题有解析解。应当说，解析解具 有明显的物理意义。 然而，由于实际环境的复杂性，往往需要通过数值解得到具体环境下的电 磁波特性。随着计算机技术的发展，己经提出求解m a x w e l l 方程的许多有意义 的数值解方法，例如矩量法( m o m ) 、有限元法( f e m ) 、边界元法( b e m ) 以及时 域有限差分( f d t d ) 方法等等乜3 。并且，随着电磁波应用的广泛和计算机技术的 发展，各种方法的研究也更加深入。尽管有很多的数值方法，但是不同的方法 基本上都有各自的适用范围。在波导光学的模拟中，有限元方法和有限差分方 法是比较普遍的。 1 1 1 有限差分方法 有限差分法是一种直接用有限差分来近似微分的数值方法，它也是一种求 解频域m a x w e l l 方程的有效方法，但是相对于有限元方法来说，它还有一些不 足，特别是在处理伪模的问题上，不过它采用横向场方法也可以克服口儿引。另外， 有限差分的网格在整个求解区域内是均匀划分的，这对于比较复杂的几何结构 或者结构尺寸相差很大的物理模型是不合适的。为了达到一定的求解精度，所 有的区域必须划分得很小，这样使计算机的求解效率很低。非均匀网格划分法 也在研究中1 。 1 1 2 时域有限差分方法 时域有限差分( f d t d ) 法可以直接在时域中计算m a x w e l l 方程。与其他必须 假定传播场类型或特定的传播方向的方法不同，f d t d 方法不对光的传播行为简 硕_ 上学位论文 单的作任何事先假定。直接对电磁场e 和h 分量在空间和时间上采取交替抽样 的离敝方式，每一个e ( 或h ) 场分量周围有四个h ( 或e ) 场分量环绕，应用这种 离散方式将含时间变量的m a x w e l l 旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴 上逐步推进的求解空间电磁场。这种抽样方法是1 9 6 6 年k 5 y e e 首次提出的， 所以也被称为y e e 元胞m 。 1 1 3 有限单元法 有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术，是数值计算，泛函 分析，变分法融合的结晶 1 。这种方法大约有5 0 年的历史，它首先在上世纪4 0 年代被提出，在5 0 年代开始用于飞机设计。后来，该方法得到了发展并被非常 广泛的用于结构分析问题中。 电磁场分析的有限元方法不仅仅是该方法应用领域的一次推广，还大大促 进了有限元方法理论的进步和完善陋1 。节点元的物理背景及其工程应用的局限 性在电磁场分析中得以充分的体现，棱边元( 矢量元) 也是在这种背景下得到全 面发展并走向成熟的阳m o 。有限元网格的自适应划分也是有限元方法的一个重 要发展，它使得该方法比有限差分法具有更广的适用范围，特别是在计算机辅 助设计中。 1 1 4 时域有限元方法 时域有限元方法的最大的优势是它可以求解瞬态电磁场n 1 。它一般有两种 实现方式，一是直接对m a x w e l l 方程组进行差分，这种方法相对于频域方法并 没有很大的优越性：二是差分二阶矢量波动方程，它可以处理完全不规则的网 格，而且也可以施加介质边界处的连续性条件。在第二种实现方式的基础上改 进，提出的混合有限元一边界积分方法具有一定的优越性，它一方面可以克服 时域有限差分法在处理介质边界时的阶梯问题，另一方面也可处理复杂的几何 形状1 2 13 。 1 2m a tla b 介绍 m a t l a b 是一种集数值计算和图形图像处理并能进行仿真模拟的大型工具软 件。它由一个简单的矩阵分析软件发展成为了国际认可的最优秀的科技应用软 件。主要有以下特点n 卜： 1 ) 简单易学：m a t1 a b 不仅是一个开发软件，也是一门编程语言。比c 语言 更简便，使用m a tl a b 编程与人进行科学计算的思路和表达方式完全一 致，所以容易掌握。 2 ) 计算功能强大：m a tl a b 拥有庞大的数学、统计及工程函数。其数值计算 程序，使用了安全、成熟、可靠的算法，从币j 保证了最快的运算速度和 可靠的结果。 2 基于有限元方法的甲板波导场模分析 3 ) 先进的可视化工具：m a t l a b 提供强大的、交互的绘图功能。 4 ) 开放性、可扩展性强：m 文件是可见的m a t l a b 程序，可以查看源代码。 5 ) 特殊应用工具箱：m a t l a b 的工具箱加强了对科学中特殊应用的支持。 m a t l a b 语言结构简明，功能强大，易学易用，是一个具有极高通用性、带 有众多适用工具的预算操作平台。 1 3 本文的结构安排 第一章引言部分介绍了求解导波光学的几种方法，包括有限差分法和有限 元方法等，也简单介绍了数值计算软件m a t l a b 。第二章讲述电磁学理论基础， 给出了m a x w e l l 方程组以及其各种边界条件。第三章是介绍了有限元方法的基 本原理，着重讲述用节点有限元方法建立问题的线性方程组。第四章应用有限 元方法求解平板光波导中的场分布，并与其他方法进行了比较。 硕l 学位论文 第二章电磁场理论基础 光波导器件的性能优化过程需要了解光在波导中的传输特性，场的分布， 以及它们与工艺参数的相关性。随着波导结构的越来越复杂，其特性的分析与 设计用传统的解析方法或人工求解方法己难以实现，计算机逐渐占据了主导作 用。因此，各种各样的数值方法得到了充分的应用，其中，有限元方法是其中 重要的一支m 3n 6 3 。 2 1m a w x ei l 方程组 光是一种电磁波，可由以位置矢量r m 和时间t s 为函数的四个场矢 量一电场e v m 、磁场强度h a m 、电位移d c m2 和磁感应 矢量b wb m2 表征，它们满足m a x w e l 方程组n 3 v e ：一塑( 2 1 ) 夙 v h ：塑+ j( 2 2 ) 夙 v d = p( 2 3 ) v b = 0( 2 4 ) 式中pi t m ： 为电荷密度，j a m 2 为电流密度矢量。在上面四个方程中， 后两个方程可利用矢量公式v ( v a ) = o 和电荷守恒定律： v j ：一翌( 2 5 ) 及 由前两式导出。 麦克斯韦方程中d 与e ，b 与h 的本构关系是由介质的材料性质所决定的。对于 线性、各向同性的材料，通常有： d = fo ，e = pe ( 2 6 ) b = 。，h = h ( 2 7 ) j = oe( 2 8 ) 其中f 。和。分别为真空电容率和真空磁导率，f ，和，分别为物质的相对电 容率和相对磁导率。对非磁性物质，= l 。口 s m 为电导率，若真空中的 光速用c 表示，则有： 1 = 8 8 5 4 1 8 8 x 1 0 1 1 2 f m ( 2 9 ) 4 基于有限元方法的平板波导场模分析 a o = 4 r e 1 0 。【h m 】 ( 2 1 0 ) 物质的折射率可表示为： ：、辰 ( 11n 2 1 ) = ， ( 1 ) 对时谐场有： v x e + j o b = 0 ( 2 1 2 ) v h - j c o d = j ( 2 1 3 ) v j = 一j c o p ( 2 1 4 ) 式中用了时间约定e x p ( j c o t ) ，利用本构关系，由( 2 1 ) 和( 2 2 ) 中消去h ， 可以得到e 的微分方程 v ( 去v e ) 一彩2 e = 一歹国j ( 2 1 5 a ) 同样可以消去e 可得h 的微分方程： v b h - c 0 2 z h = v x ( 2 1 5 b ) 在上面两式中，j 是自由电流，占：s 一，l 包括了感应电流和位移电流的综 合贡献，为简单起见，本文以后用占表示o c 。方程( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 被称为非齐次 矢量波动方程。 在无源，非磁条件下，方程( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 对应的齐次方程可以统一表示 为： v x ( 【p 】v ) 一碍【q 】= o ( 2 1 6 ) 式中。表示矢量场e 或者h ，p 对应1 或t ，q 则对应1 或1 。 2 2 物理边界条件 一个电磁问题的完整描述应该包括微分方程和边界条件的全部信息，而这 些边界条件部分是从微分方程推导来的，另外也可以根据物理模型的假设人为 确定部分边界条件。 碰学位论文 、 h 图2 一i 两媒质问界面 221 两媒质界面边界条件( 连续性条件) 在两攥质的分界面上( 例如| 墨| 2 - 1 ) ，根据微分方程( 2 其边界条件如下 n ( e l e2 ) = 0 n ( h t - h 2 ) = j s ( d l d 2 ) = 风 ( 21 7 ) ( 21 8 ) ( 21 9 ) ( b i b2 ) = 0 ( 2 2 0 ) 这里n 是垂直于分界面的( 法向) 单位矢量，由媒质2 指向媒质1 如图2l 所 示j ； m 为界面l 的电流面密度，p c m 2 为面电荷密度。 222 理想导体边界条件 当两媒质之是理想导体时，由于理想导体内部不存在场，边界条件可简 化为： x e = 0( 2 2 nb = 0 ( 22 2 ) 式中e 和b 都是指导体外部的场，1 3 是导体的外法向单位矢量，在这种情况下， 始终有面电荷和面电流存在。 2 23 非理想导电边界 当媒质2 为非理想导体时，可以证明“，导体边界上的电场和磁场关系为： e 一( ne ) n = r z o a x h ( 22 3 a ) 基于有限元方法的平板波导场模分析 或 n e = 刁z o ( n - ) - h ( 2 2 3 b ) 式中，7 7 = 万7 2 为媒质2 的归一化特征阻抗。上两个式子称为阻抗边界条件。 在二维情况下，当e 迥，即e ：极化时，可以写成： 竽：风鱼e o n 7 7 当h = 锕，即h ：极化时，可以写成 _ a h z ：j k # r _ h i d 玎 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 2 3 人工边界条件 当区域的外边界延伸至无穷远时，此区域被称为“无约束的”或“开放 区域。同样，为了得到问题的唯一解，在外边界处也必须确定一个条件，由于 这个条件是在求解过程中人为加上的，实际并不存在，这一类边界条件叫人工 边界条件8 h 2 0 | 。 2 3 1 索末菲辐射条件 一股二维场的索术菲辐射边界条件司以表不为： ，l i m 。r v ( 三 + ，声( 三 = 。 式中，= 归而。 二一：维场的索木菲辐射边界条件为 一l i ， 印a 鼢e j k o 爰) = 。 式中p = 厢。 2 3 2 吸收边界条件( 高阶辐射条件) 三维高阶辐射条件可以表示为： 吃= 。( ，勘一) m - 1 2 ，3 当g l = l 和2 时，算符b 可表示兰i ： 7 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 硕士学位论文 蜀( e ) = 户x v x e j k o e ，+ ( s 一1 ) v ，e r ( 2 2 9 ) 岛( e ) = 声v e 一，e ，一南 v 声( v e ) ， + ( s 1 ) v ，( 阢e ，) + j k o ( 2 一j ) v ，e ( 2 3 0 ) 上面式子中，s 是任意数，下标r 表示有关量的径向分量；下标t 表示有关量 的横向( 相对于产) 分量。 对于二维情况，场e 。和h 。满足高阶辐射条件： 吃= 。p 碳) 州_ 3 汜3 ， 当m = l 和2 时，b 。是如下的算符： 骂= 易埔+ 历1 色= 易+ 盹+ 万1 一双而1 丽一 此处( 尸，妒，z ) 是通常的柱坐标。 8 2 p ( 1 + j k o p ) a 伊2 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 基于有限元方法的甲板波导场模分析 第三章有限元方法以及其原理 人们对物理问题进行分析的方法有很多种，但归纳起来可分为两类，即解 析法和数值法，不管采用什么方法，本质上都是对给定边界条件的一定区域内 微分方程的转化和求解。由于实际结构物的形状和所受载荷往往比较复杂，除 了少数简单问题外，按解析法求解是非常困难的，所以数值法己成为不可替代 的广泛的应用方法，并得到不断发展。有限单元法就是伴随着计算机技术的进 步而发展起来的一种新兴数值分析方法。 有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复 杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变分方程和边界条件 综合求解，在求解中采用矩阵表达方式心。由于单元的数目是有限的，节点的 数目也是有限的，所以称为有限元法( f e m ，t h ef i n i t ee 1 e m e n tm e t h o d ) 。此 法物理概念清晰，有很强的机动灵活性和适应性，不仅能应用于复杂物体力学 分析，还能适用于流体力学，热传导和电磁场等连续介质和场的问题。引进边 界条件非常简便，不受几何形状的限制，格式统一简单便于计算机编程。随着 计算机的高速发展和计算软件包不断更新，有限单元法在工程中得到了广泛的 应用。有限元方法在波导光学模拟中的优势主要体现在：适用于任意形状的波 导、任意折射率分布的结构心引。 3 1 节点有限元 边值问题的有限元方法求解的过程可以描述如下： 1 ) 区域的离散或子域划分 假设全域q 被分成许多小区域，用躇表示( e = l ，2 ，3 ，m ) ，m 是子域的总 数。这些子域通常被称为单元。对于一维区域，单元通常是短直线段；对于二 维区域，单元通常是小三角形或者矩形：对于三维区域，单元包括四面体、三 棱柱和矩形块等等。 硕十学位论文 ： ： ， 7 、 ， 、 ， 、 ，、 ( c ) 图3 1 基本有限元( a ) 一维；( b ) 二维；( c ) 三维 在有限元求解中，问题足用与单元有关的节点上的未知函数来表达。例如 一次线元有两个节点，线性三角单元( c s t ) 有三个节点，线性四面体单元有四 个节点。每个节点的完整描述应包括它的坐标值，局部编码和全局编码。 2 ) 插值函数的选择 有限元分析的第二步是选择能近似表达一个单元中未知解的插值函数。通常， 插值函数也可以选择为一阶( 线性) 、二阶( 二次) 或高阶多项式。尽管高阶多 项式的精度较高，但通常得到的公式也比较复杂。因此，简单且基本的线性插 值仍被广泛使用。一旦选定了多项式的阶数，就能导出一个单元中未知解的表 达式。以e 单元为例，得到下列形式： 面8 = 巧；= 8 ) 7 。 ( 3 1 ) = l 式中f i 是单元的节点数：是单元中j 结点的中值：n ；是插值函数，通常也称 为展开函数或基函数，其重要特征是：它们只有在单元e 内才不为零，而在单元 e 外均为零。 3 ) 方程组的建立 对于微分方程_ 1 ： 三= 7 r( 3 2 ) 1 0 皋于有限元方法的甲板波导场模分析 其中l 是自伴且正定的微分算符。 定义的内积： - p 伊d q ( 3 3 ) q 星号半表示复共轭。则有对应泛函： f ( m ) = 必 一 - g ( 3 4 ) 把( 3 1 ) 代入，并在每个单元中求f 8 ( 中8 ) 对。的极值有 k 8 】 。) = b 8 ) ( 3 5 ) 其中 蟛= f 孵彤d q ( 3 6 ) 域= ln ；，d q ( 3 1 、) 搿 在全域上求f ( ) 对的极值，可把问题转换为对下列矩阵形式的线性方程组 求解 k ) = b ) ( 3 8 ) k 是总体刚度矩阵娩们，由所有单元刚度矩阵 k 8 增广后合成可得，是所聊矩 阵，m 是总节点数。 b 是总右端向量，由所有右端向量 b 8 增广后合成可得， 是m l 列向量。再根据边界条件( 常用的有狄利克雷边界条件和齐次诺曼边界 条件) ，求解( 3 5 ) 式可得( 3 2 ) 式的数值解。 4 ) 方程组的求解 由于最终的方程组是如下形式： k 中) = b ( 3 9 ) 或者 【4 】 j = 兄【b 】 ( 3 。1 0 ) ( 3 9 ) 是确定型，从非齐次微分方程或者非齐次边界条件或者它们两者兼 有的问题中导出。( 3 1 0 ) 是本征值型，由齐次控制微分方程和齐次边界条件导 出。电磁学中，本征值方程组通常与诸如波导和谐振腔等无源问题有关。此情 况中，向量( b _ o ； k 可以写成 彳卜x 8 1 形式，其中z 是未知量的本征值。 对于一般的物理模型，所建立的方程组都很大，至少上百个方程，所以其 求解都用计算机完成。针对不同类型的线性方程组，已有很多可靠软件用来求 解，这罩就不再赘述。 硕上学位论文 3 2 矢量有限元 应用节点有限元方法求解三维矢量场时，可能得到错误的结果一伪解原因 是：使用通常的节点元不能完全满足边界条件和散度条件。尽管通过引入罚项把 伪解挤到感兴趣的区域以外，但并没有根本去除伪解，这种现象直到矢量有限 元的发现心副乜6 l 。矢量有限元与节点有限元方法的区别是：前者的基函数是矢量函 数，而后者是标量函数。矢量基函数严格满足自由电磁场的无散条件( v d = p 和 v h = 0 ) 和切向连续性边界条件( 式( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) ) ，从而能够完全消除伪模。 为了得到矢量单元的基函数，先要推出节点单元的基函数。在节点有限元 中，计算区域划分成三角形( 或四边形) 单元，所有的节点( 三角形顶点) 被编号， 如图2 4 ，矢量单元中所有的边被编上号，未知量的值对应每条边，而不是每 个顶点。 3 2 1 矩形单元 如图3 一l ，矩形单元的边长在x 和y 方向分别为和巧，它的中心在( ，虻) 。 如果赋予单元每边一个不变的切向场分量。 y 则单元中的场可表示为： 彤= 专( 虻+ 鲁一y 群+ 专( y 一虻+ 罢) 筋 形= 毒( x ；+ 等一x ) 蝣+ 古( 石一+ 等) 筋 2 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 基十有限元方法的平板波导场模分析 改写为： 其中孵是矢量插值函数或基函数，他们分别为： 吖= 吉( 虻+ 等一y 曼 孵= 鼽彭+ 昝 孵= 吉( + 筹一工 夕 鬈= 吉( 工一+ 等 夕 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 a ) ( 3 1 4 b ) ( 3 1 4 c ) ( 3 1 4 d ) 这些基函数的重要特性：1 只在第i 边上有切向分量；2 在单元内散度为零。 3 2 2 三角单元 对三角形中p 点引入面积坐标l l ，l 2 ，l 3 ，如图3 - 3 所示，三角形中任一 点p ( x ，y ) 的位置可由三个比值来确定 1 0 ， 即p(l1，l2，l3) 其中li=a1a l 2 = a 2 a l 3 = a 3 a( 3 1 5 ) a1 ，a 2 ，a 3 是三个小三角形的面积；a = a i + a 2 + a 3 是大三角形的面积，则有： 三 = 主；1 主查 主圭 令 t ，= 荟 = 击 墨差墨 三 13 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 彭群 。汹 = p 硕上学位论文 y 0 图3 2 三角形单元的面积坐标 x 舭淞脚钳朝 峭2 = l i v l 2 - l 2 v l l ( 3 2 0 ) 不难看出彬：的散度为零，旋度不为零。令，乞，乞分别表示棱边1 ，2 ，3 的长度， n l = 彬2 = ( l i v l 2 一l 2 v l i ) i , ( 3 2 1 a ) n 2 = 3 1 2 = ( l 2 v l 3 一l 3 v l 2 ) 1 2 ( 3 2 1 b ) n 3 = 1 1 3 = ( l 3 v l i l i v l 3 ) 1 3 ( 3 2 1 c ) 14 基于有限元方法的平板波导场模分析 y 0x 棱边1 图3 - 3 三角形一阶棱边单元 因此，单元中的无散度矢量场可以展开为 3 旷= n ； 棱边2 3 ( 3 2 2 ) 这里，己将矢量单元e 的编号加上，群表示矢量单元e 上沿第i 个棱边的切向 场的大小。故也可得到形如( 3 1 0 ) 的线性方程组。 硕士学位论文 第四章平板波导中的场分布 本节讨论和研究光在平板波导中传播的线光学模型，并利用这个模型介绍 介质光波导理论的基本概念和术语心踟啪1 。其中包括导模、导模的截止、传播常 数以及波导的有效厚度等。线光学模型是一种简明直观的模型，但值得指出， 为了解释波导中的光传播特性，还必须引入位相和相干等波动概念，才能得到 光波导的模式本征方程和分立导模的结果。 4 1 三层平板光波导 。翌兰墨竺! lz 工亘五一2 图4 1 介质平极波导 介质平板波导如图4 - 1 所示，它由三种材料组成。中间一层折射率为刀的 薄膜被称为导波层，其厚度一般为岬量级，可与光波长相当，导波层两侧则是 折射率分别为n 。和n ，( 刀。 玎：) 的衬底和覆盖层( 通常是空气) ，厚度远 大于导波层，因此，光仅在z 方向受约束。假定导波光是相干单色光，并假定 光波导是由无损耗、各向同性和非磁性的无源介质构成。 4 1 1 线光学模型求解导模 ji 覆盖层胛 蚶拶u 0 衬底n o 图4 2 平板波导的侧视图 z 图4 - 2 表示了平板波导的侧视图以及所选的啦标系，图中画出了对应于二导模的 z 字形波的波阵面。前面已指出，平板波导的导模可以用锯齿形光线图像描述， 并且锯齿光线与界面法线州夹角p 只能取有限个离散值：下面对这个i u j 题作进 1 6 基于有限元方法的平板波导场模分析 一步的分析。设波导中的光沿坐标z 方向传播，而在肖方向受到限制。至于在 垂直于朋平面的y 方向上，由于波导的尺寸相对比较大，所以在理论上认为平 板波导的几何结构和折射率分布沿y 方向是不变的，并可进一步认为光场沿y 方向也是均匀一致的。于是可以看出，锯齿光线实际上是两个重y 的均匀平面 波的图像，一个是斜向上的传播，另一个是斜向下传播的，其波阵面法线即是 图4 - 2 所示的锯齿形光线。设这两个平面波是单色并相干的，其角频率为国， 自由空间的波长为九，则自由空间的波数为： 砾：竺：丝 ( 4 1 ) 2 2 _ l lj c 式中，c 是真空中的光速。图4 - 2 所示的平面波的波矢量为： i k l = 心 ( 4 2 ) 彭= k o n i c o s 0 = k o n ls i n 9 ( 4 3 ) ( 4 4 ) 式中，k 和分别是波矢k 的x 分量和z 分量。由此可见，薄膜中的波动场按以 下方式变化： e x p i ( + k - x + f l z ) 】 ( 4 5 ) 式中，盯前面的正负号分别对应于斜向：上和斜向下传播的平面波。考察某一z 为常数的波导截面，这时只能看到光波沿x 方向的上下运动，因而可不考虑光 波沿z 方向的运动。以下从这个观点出发推导平板波导维持导模的条件，设一 光波从薄膜下界面o = o ) 出发向上行进到薄膜上界面( x = 磊) ，在上界面经历全 反射后返回到下界面，在下界面又经历全反射后与原先从下界面出发的光波叠 加在一起，将此过程中光波所经历的相移累加起来，可以看到，为了达到相干 加强( 谐振) 的结果，这个相移累加总和必须是2 刀的整数倍。对于厚度为h 的薄膜，光线第一次横向穿过薄膜的相移是砌，在薄膜一覆盖层分界面上的全 反射相移是一2 氟，另一次向下横穿薄膜的相移也是砌，在薄膜一衬底分界面 上的全反射相移是一2 么。因此，光波能在薄膜中传播的条件，即平板波导能维 持导模的条件是： 2 k h 一2 办2 2 办o = 2 研万 ( 4 6 ) 式中，1 7 为模序数，它取从零了于始的有限个正整数。相移办。和矽，：是角度9 的函 数。由此可看出，只有满足方程( 4 6 ) 的入射角秒才为波导所接受。即波导对光 线的入射角是有选择性的。在厚度h 确定的情况下，平板波导所能维持的导模 数量是有限的，因此m 只能取有限个正整数。方程( 4 6 ) 称为平板波导的模式本 征方程，该力程的未知数是或秒。对于给定的m ，一定有风或巳与z 对应。 硕：f ：学位论文 以叫作m 阶导模的传播常数，吼叫作m 阶导模的模角。当然上述方程也可以 表示成光频与传播常数的关系，故上式也称为平板波导的色散方程。由方 程( 4 6 ) ，可得到与两种偏振态有关的平板波导模式本征方程。 对t e 模，有 r h ：聊+ t a n 一1 ( 丛) + t a n 一1 ( 堕) ( 4 7 ) kk 式中： r = ( k 2 0 n i - p 2 ) 2 ( 4 8 ) 对t m 模，有 p 。= ( 2 一碍，z 2 ( 4 9 ) p ：= 2 一砖玎2 ( 4 1 0 ) r h = m n + t a n - 1 ( 垂旦) + t a n - t ，- 乃t ；- - 段，、 ( 4 11 ) n ok 月2 k 由( 4 4 ) 式和全反射条件可以看出，导模的传播常数介于平面波在衬底和薄膜 的波数之间，即有 k o n o k o i ( 4 1 2 ) 为了方便，定义n 为波导的有效折射率( 模折射率) ， = 罢= ，z ，s i n 口 ( 4 - 3 ， 易知它的取值范围是 n ：， 且导波沿z 方向传播，传播常数为肛该平板波导中t e 导模的电磁场分量是e 。、 h ，