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初高中函数概念衔接教学研究 中文摘要 初高中函数概念衔接教学研究 中文摘要 函数概念是中学数学课程中的核心概念同时，函数概念因其抽象性和复杂性也 成为中学数学教学的一个难点随着新课程的实施，初高中衔接教学已成为数学教育 的一个研究热点函数概念历经初中、高中两个阶段，虽采取了分段安排、螺旋上升 的方式，但学生对函数概念的理解水平仍不尽人意研究如何做好初高中函数概念的 衔接教学十分必要 本文通过查阅文献，从教材、教学和学习三个方面梳理了已有的相关研究；通过 问卷调查和访谈，了解不同阶段学生对函数概念的掌握情况，探索初高中生函数概念 学习衔接不畅的原因，据此提出函数概念的有效教学策略 最后，通过教学案例，将上述教学策略运用于函数概念的衔接教学 关键词：函数概念；衔接教学；高中数学 作者：周礼平 指导老师：徐稼红 ar e s e a r c ho nt e a c h i n gt h ec o n c e p to f f u n c t i o nb a s e do nl i n k i n gl l pj u n i o rm a t ha n ds e n i o rm a t h ar e s e a r c ho nt e a c h i n gt h ec o n c e p to ff u n c t i o nb a s e do n l i n k i n gu p j u n i o rm a t ha n ds e n i o rm a t h a b s t r a c t t h ef u n c t i o nc o n c e p ti sac o r ec o n c e p ti nm i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u m h o w e v e r ，i ti s a l s oam i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c st e a c h i n gd i f f i c u l t yb e c a u s eo fi t s a b s t r a c t n e s sa n dc o m p l e x i t y a l o n gw i t ht h ei m p l e m e n t a t i o no ft h en e wc u r r i c u l u m ，h o w t op r o m o t et h el i n k sb e t w e e nj u n i o ra n ds e n i o rs c h o o lm a t h e m a t i c st e a c h i n gh a sb e c o m ea r e s e a r c hf o c u s a f t e rj u n i o ra n dh i g hs c h o o ls t a g e s ，t h o u g ha l r e a d ya r r a n g e di np i e c e w i s e a n ds p i r a l i n gw a y s ，t h ef u n c t i o nc o n c e p tt e a c h i n gi ss t i l ln o ts a t i s f a c t o r y t h u s ，i ti sv e r y n e c e s s a r yt or e s e a r c ht h et e a c h i n go ff u n c t i o nc o n c e p tb a s e do nl i n k i n gu pj u n i o rm a t ha n d s e n i o rm a t h t h r o u g ht h er e v i e wo ft h ed o c u m e n t s ，t h i sp a p e rc o m b e ds o m er e l a t e dr e s e a r c ho n m a t ht e x t b o o k , t e a c h i n ga n dl e a r n i n g b e s i d e s ，i ts h o w ss t u d e n t s s t a t u si nd i f f e r e n t l e a r n i n gs t a g e sa n de x p l o r e s c a u s e so fi n c o h e r e n te d u c a t i o nb y q u e s t i o n n a i r e s a n d i n t e r v i e w b a s e do nt h ea b o v er e s e a r c h ，t h i sp a p e rp u t sf o r w a r ds o m ee f f e c t i v et e a c h i n g s t r a t e g i e s i nt h ee n d ，t h r o u g ht e a c h i n gc a s e s ，t e a c h i n gs t r a t e g i e sa b o v ew i l lb ea p p l i e dt ot h e f u t u r ef u n c t i o nc o n c e p tt e a c h i n gc o h e s i o n k e y w o r d s ：f u n c t i o nc o n c e p t ；c o h e s i o ne d u c a t i o n ；h i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s w r i t t e n b y ：z h o ul i p i n g s u p e r v i s e db y ：x uj i a h o n g 初高中函数概念衔接教学研究第1 章问题的提出 第1 章问题的提出 纵观数学的发展历史，我们知道函数概念不仅使得人类数学思维发生了质的飞 跃，而且导致了数学科学的蓬勃发展，数学中的许多概念或由函数派生，或由函数统 率，或可归之为函数观点研究【l 】概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念 作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用而函数概念的学习，是学生现实世界认识 从具体数量关系向抽象数量关系发展的一个飞跃函数的教学，既有利于学生牢固掌 握数学基础知识，又能培养学生思维能力和运算能力以及分析问题和解决问题的能 力函数概念对于学生将来的发展也有重要的意义：对于以后将要学习的高等数学中 的许多内容都与函数概念有关，是函数知识学习的起点总而言之，对函数概念的认 识和理解，从一定程度上讲，影响着整个中学数学的学习因此，函数概念是中学数 学教学的重点 但是由于函数概念的抽象性和复杂性，使得它也成为中学数学教与学的难点 我国中学的函数概念教学，在初中采用“变量说”，在高中采用“对应说 ，这种 安排基本上是遵循函数概念历史发展的本来顺序，也符合人们对于函数概念认识过程 上的发展性、阶段性但大量的教学实践表明，函数概念仍是学生数学学习中感觉最 困难的概念之一，很多学生即使能做一些题目，但并不能真正的理解函数的概念 由于函数概念在中学数学中的核心地位以及学生对其认知的困难性，在新一轮的 课程改革中，函数概念的研究又正在成为一个研究的新话题笔者觉得如何更好地衔 接好初高中函数概念教学很有意义，故基于前人的研究，并结合新课程，试图对初高 中函数概念的衔接教学进行初步的探讨，希望能对新课程下函数概念的教学有所启 示 1 1 研究的背景 中学数学课程设置的目的是使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需 的重要数学事实( 数学知识、数学活动经验等) 、必要的应用技能以及基本的数学思 f l l 郝妍琴对高中生函数概念理解的调查研究 d j 华东师范大学，2 0 0 6 1 第1 章问题的提出初高中函数概念衔接教学研究 想方法由函数思想作为中学数学核心内容有利于提高学生的数学素质，特别在培养 学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的过程中，函数思想方法具有无可替代 的指导作用函数思想是解决许多实际问题手段和方法所以函数知识在中学数学中 占有重要的地位学习函数概念，用运动、变化的观点去研究变量之间的相互关系， 有利于培养学生的辩证唯物主义观点，以及运用这一观点去观察、思考和分析问题同 时又在整个中学函数教学的这条主线上起到承前启后的重要作用学了函数之后，不 仅可以用函数的观点对以前所学过的有关知识重新进行分析，达到复习巩固的目的， 又能在认识上提高一步，同时还能为今后进一步学习数列等其他数学知识奠定基础 【2 】然而由于函数概念的抽象性，学生对“对应法则”不能很好地理解，函数表示方 法的多样性，学生不能灵活的变换如何把初中知识渗透到高中，有机衔接起来关系 到学生的后续学习 在我国，函数概念是中学最基本、最重要的概念之一，其渗透面很大，涉及到代 数、几何、三角等知识，其思想贯穿在整个数学教学内容之t 3 1 但在实际教学实践和学生的学习过程中存在很多问题主要表现在以下几个方 面：首先，课程标准对相关知识点的要求不同，初、高中数学内容衔接存在一些脱节 问题，初高中教科书缺乏连贯性初中八年级上学期学生开始学习函数的概念，教科 书一般采用变量来定义函数，依次学习函数的概念，一次函数( 包括正比例函数) ， 反比例函数，二次函数而高中函数概念的学习一开始就以较为抽象的集合、对应作 为基础对函数概念进一步加深、拓展，这样的内容安排使得函数概念在高中阶段的抽 象性思维更强，形式化程度更高，使得习惯于初中直观形象思维和程式化教学的高一 新生极不适应，学生感到跨度大，很难由已有的知识来建构这一抽象的函数概念 其次，由于高中数学教师长时间受应试教育的影响，往往采用较为单一的教学模 式( 比如示范一模仿一训练三步曲) ，学生学习较为被动，部分教师( 特别是刚从高 三循环下来的老师) 甚至人为提高难度，按高考要求进行教学，而较少关注学生的接 受能力，忽略了知识的发生、发展过程，忽视了学生的认知水平和学习情绪，这样导 致一些学生只知其然而不知其所以然，觉得学习枯燥，失去学习的积极性，大脑中仅 仅只记得几个抽象符号和一些解题套路，缺乏对函数本质的认识和理解，由此可见在 【2 】朱文芳，林崇德初中生函数概念发展的特点【j 】心理科学，2 0 0 0 ，2 3 ( 5 ) 【3 】李强高中新教材中函数概念教学思【j 】数学通报，2 0 0 7 ( 5 ) ：3 3 - 3 5 2 初高中函数概念衔接教学研究第l 章问题的提出 教和学方面都存在很多问题，导致函数概念掌握不到位 最后，中学阶段的学生的思维发展水平从具体形象思维逐步过渡到抽象逻辑思 维，刚进入高中的学生，他们的思维刚刚脱离了经验型的逻辑思维，学会了对一些事 物进行浅层次的抽象，但还无法上升到辩证逻辑思维阶段【4 】中学生这种认知发展的 阶段性特点，往往限制了他们对于抽象函数概念的理解和把握，从而导致了高中生在 学习函数时对函数对应变化的相依关系深感困难在学习方法上通过初中三年的学 习，不少学生已经形成了固定的学习方法和学习习惯，习惯了围着教师转，养成了不 善于独立思考，不善于对知识进行归纳总结的习惯，缺乏学习主动性但到了高中学 习后，知识面广，要求教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、 较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，这就要求学生勤于思考，善于归 纳总结规律，掌握数学思想方法，做到触类旁通，举一反三 由于上述几种原因，对于刚进入高中的学生，进行必要的衔接教学，既有利于促 进函数概念的理解，也有利于学生尽快地适应高中的学生生活 1 2 研究的目的和意义 本研究的目的是：探索困扰高一新生对函数概念理解的因素，寻找解决问题的办 法，并用于教学实际，让学生在高中完成对函数概念的再认识，把初中掌握到的函数 概念的知识渗透到高中中来，把初、高中的函数概念有机地衔接起来，帮助学生尽快 适应高中的数学学习 + 研究意义：( 1 ) 本文将系统研究函数概念衔接教学的原则和实施策略，得到的结 论将丰富教学策略研究的内容，使其结构更加完善，为从事基础数学教育的同行提供 借鉴 ( 2 ) 通过设计具体的教学案例，为数学教师提供教学设计的样例，从而更好地 实现函数概念衔接教学的目标从这个意义上讲，本研究具有现实意义 1 3 研究方法 本研究主要采用文献综述、问卷调查和访谈等研究方法 通过查阅文献资料，从教材、教学和学习三个方面梳理已有的相关研究，对比、 【4 】王辉函数在教学中逻辑思维能力培养的探索川中国科教创新导刊，2 0 0 8 ( 1 8 ) 3 第1 章问题的提出 初高中函数概念衔接教学研究 分析初高中课程标准和教材对函数教学的不同要求，了解初高中学生学习函数概念的 学习心理和学习现状，寻找异同和衔接的生长点，了解教师对函数概念的理解情况以 及教学实施策略 通过问卷调查和访谈，了解不同阶段和同一阶段不同层次( 初三) 的学生对函数 概念的掌握情况，了解高中教师有无实施衔接教学和常用衔接教学的措施，并在此基 础上探索初高中生函数概念学习衔接不畅的原因根据以上研究提出函数概念的有效 教学策略并实施到具体教学 4 初高中函数概念衔接教学研究第2 章文献综述 第2 章文献综述 初高中数学衔接教学的研究一直是中学数学教师关注的问题，由于初高中学生的 年龄段不同，课程设置的不同，中高考选拔功能的不同，使得高中数学不论是在知识 的量上还是知识的难度上都比初中数学有了很大的变化，函数作为中学数学的核心内 容，其概念的变化是巨大的，同时作为学生进入高中后接触到的第一个抽象性概念， 如何做好衔接教育至关重要“衔接”的本义是事物之间的连接本文所说的“初高 中”，是指初中高年级( 初中三年级) 和高中起始年级( 高中一年级) ，其中实施的对 象重点在高中一年级学生笔者对初高中函数概念的衔接教学，主要从教材和课程标 准，学生的学习习惯及学习心理，教师的教学策略几个方面来研究 2 1 初高中课程标准对函数概念的教学要求 本节主要介绍全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 和普通高中数学课 程标准( 实验) ( 以下分别称为“初中标准 和“高中标准”) 有关函数内容 的安排及教学要求 2 1 1 初中新课程对函数概念的教学要求 初中标准对函数概念的教学要求是： 5 1 ( 1 ) 探索具体问题中的数量关系和变化规律 ( 2 ) 函数 通过简单实例，了解常量、变量的意义 能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析 能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会 求出函数值 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系 结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测 【5 1 中华人民共和国教育部全u 制义务教育数学课程标准( 实验稿) 【m 】北京：人民教育出版社，2 0 0 1 ：3 3 5 第2 章文献综述初高中函数概念衔接教学研究 上述要求符合初中学生的认知，从变量的角度来定义函数容易找到新知识的生长 点，强调函数的具体实例及函数的应用 2 1 2 高中新课程对函数概念的教学要求 高中标准对函数概念的教学要求是： 6 1 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型， 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的 作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法( 如图象法、列表法、解 析法) 表示函数 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大( 小) 值及其 几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义 学会运用函数图象理解和研究函数的性质 高中课程标准显然要求更高，由可知从“变量”到“对应”，从具体到抽象， 是质的飞跃对函数的表示要求基本一致，但是对分段函数的要求更高对数学符号 和数学语言的要求更高( 如初中是用形象化的语言来描述函数的单调性，高中则是严 格的数学语言和逻辑推理) 增加了奇偶性，对函数图象作为工具的要求更高对高 一新生而言，。从集合到函数都是抽象的概念，只能循序渐进，逐步掌握 2 2 初高中教科书函数内容的比较 尽管在新课程下初中和高中教科书的版本较多，但在课标的指导下，教学内容的 主体基本是一致的笔者主要依据的是苏科版初中教科书和苏教版高中教科书 函数概念成为中学阶段最难理解的概念之一，由m 的形式化表达方式所带来的 高度抽象性；变量的概念涉及到用运动、变化的观点看待和思考问题，具有辩证思维 特征；有许多下位概念( 如自变量、因变量、定义域、值域、单调性、奇偶性) ， 是派生数学概念的强大“固着点”；具有广泛应用性，建立函数模型不仅需要具备较 强的数学能力，而且与学生的人生阅历有关 7 1 【6 1 中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准( 实验) 【m 】北京：人民教育出版社，2 0 0 3 ：1 4 【7 】钟赣平高中函数的教学 d i 浙江师范大学，2 0 0 3 6 初高中函数概念衔接教学研究第2 章文献综述 在中学，函数的学习大致可以分为三个阶段第一阶段是在义务教育阶段，从八 年级( 上) 及初二上学期开始依次学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反 比例函数、一次函数、二次函数等简单函数，了解了它们的图象、性质等在初中学 习的基础上，在高一运用集合与对应的语言，进一步刻画了函数的概念；通过观察、 分析、概括，从不同角度学习函数的基本性质，并学习了基本初等函数，这是函数学 习的第二阶段，是对函数概念再认识阶段第三阶段，是高中选修系列的导数及其应 用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高函数是高中数学的重点，又是高中数 学的一大难点，函数的思想方法贯穿了高中数学课程的始终，如用二分法求方程的近 似解、解不等式、数列问题等等，函数与曲线是贯穿中学数学的一对孪生姐妹在历 年的高考试题中，对函数知识和函数思想的考察都占相当重要的地位初高中教科书 函数内容的比较如下表【8 】： 初中函数高中函数 定义函数的角度变量和对应集合和对应 变化和对应的思想是函数思想的函数作为桥梁，把两个集合( 或领 函数思想的定位 本质域) 内的东西联系起来 一次函数( 包括正比例函数) 、反分段函数、指数、对数和幂函数、 函数类型 比例函数、二次函数三角函数 研究性质最值、单调性( 用增大、减小表示)单调性、奇偶性、周期性、对称 建立联系代数式、方程、不等式方程、不等式、数列、导数等 从中可以看到，初中函数内容较少且比较简单，具体的函数也是由易到难，用增 大、减小来反映单调性形象化；而高中函数教学内容多，知识信息广泛，概念增多， 形式化程度较高，函数性质增多，与函数相关的内容也增多，对数学语言的运用要求 更高在概念教学中，由形象到抽象有一些跳跃，尤其多出“对应法则”这个抽象的 概念 2 3 函数概念学习心理和学习情况的研究 从教学内容的对比可以看出，高中函数的教学内容和教学要求都有很大的提升， 形式化和抽象化得要求更高为了使高一新生尽快适应高中的数学学习，必须对学生 【8 】董淑玲现行初中数学教材的比较研究函数课程设置与教学【d 】山东师范大学，2 0 0 7 7 第2 章文献综述初高中函数概念衔接教学研究 的学习心理进行研究，以便在衔接教学中采取有针对性的措施 以下主要就万方数据库中检索到的相关文献做一梳理 陆之鸿认为，学生对函数的理解，从初中到高中，存在着脱节现象，即高中学生 对函数的运用不顺手，有时甚至束手无策，即使到了高三复习阶段，许多学生对函数 的认识及运用水平、思维层次还停留在初中阶段，呈现较强的思维定势这主要是初 高中函数的学习虽有共同点，但更多的是不同点，学生未及时适应变化，已形成的思 维定势不能消除教学实践表明，学生不能很好地掌握数学概念是造成其学习困难的 重要原因，如果仅从抽象的定义去理解函数的概念对于学生来说是个难题【9 1 朱文芳对北京市六所中学的八百多名初一到初三的学生进行了调查，考察了初中 生的函数概念发展水平，并进行了数据分析研究结果表明：初中生函数概念的发展 存在着较为特殊的年龄特征，学生所接受的学校教育的内容显著地影响其函数概念的 发展水平，初中生进行正与反、肯定与否定之间转化的辩证思维能力还比较差；初中 生将近一半的人不能用运动、变化的观点来看待问题；初二是学生函数概念发展的一 个转折点，从初二以后，学生无论是进行文字信息，还是图形信息加工的能力都有明 显地增强，但将文字信息和图形信息进行转换的能力还很低；在考查同类问题的联系 时，学生还不能脱离开问题的实际内容来理解抽象概括的数量关系另外，她从学生 的概念形成水平、不同数学气质类型的影响以及学生思维发展水平三个方面论述了学 生学习数学概念困难的根源分析指出，函数是个较难形成的概念，当学生概念形成 水平较低时，就会出现认识上的困难因此，教学分两次学习来减轻学生认知上的困 难是必要的；学生数学气质类型上的差异在函数学习中表现得尤为显著；对中学生的 思维水平来说，建立函数这样一个复杂的概念在认知上需要克服许多障碍【1 0 1 t - d r e y f u s 和t e i s e n b e r g 调查了4 4 0 名6 至9 年级学生的函数概念的直观基础， 问卷涉及函数的具体和抽象情境下的象、原象、增长率、极值、斜率的问题结果能 力强的学生喜欢从图象来分析问题，能力弱的学生则喜欢从表格数据来分析他们对 学生直觉上的函数概念进行研究，发现学生的直觉会随着学习的进展、能力水平的高 低而不同，但在男生与女生之间、具体情境与抽象情境之间没有什么区别【1 1 1 【9 】陆之鸿高中“数困生”数学概念认知障碍研究【d 】广西师范大学，2 0 0 3 【1 0 】朱文芳函数概念学习的心理分析【j 】数学教育学报，1 9 9 9 ，8 ( 4 ) 1 1 1 张奠宙，李士奇，李俊数学教育学导论【m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 3 ：9 9 8 初高中函数概念衔接教学研究 第2 章文献综述 这些文献分别从思维定势、认知水平、直觉等几个角度来分析学生函数概念形成 的障碍，笔者觉得其中认知水平是主要因素函数概念的形成应允许螺旋上升逐步形 成 2 4 教师对函数概念的理解和教学策略的研究 教师对概念的理解往往决定了他的教学策略那么如何理解函数概念，如何实施 有效教学，前人做了不少研究： r u h a m ae v e n 于1 9 8 7 年1 1 月。1 9 8 8 年4 月曾对美国1 6 2 位中学数学教师进行了 问卷调查和访谈，以函数概念教学为例探讨了教师的学科专业知识和教学内容之间的 关系，揭示了分析教师对某一特殊课题的专业知识应从以下七个方面着手：概念的本 质特征；概念的不同表示法；概念的不同处理方法；概念的影响力；概念的基本例子； 概念的理解；相关的数学知识研究指出，未来的中学数学教师的函数知识是薄弱的， 他们对将要教授的数学课程没有一个全面完善的认识调查表明，许多中学数学教师 没有真正理解函数的现代定义，他们在问卷中对学生的错误结论进行解释时，许多人 用的是其有限的函数概念表象，而不是函数的现代定义术语除此之外，问卷中要求 被调查者向学生解释什么是函数，许多人通常不描述函数的定义，只是教给学生一些 判断函数的规则方法，例如“通过画函数图象和作直线来检验，一条垂直于x 轴的直 线最多只能通过函数图象一次 【1 2 1 王兄从函数概念本质出发，探究图式理论在函数概念学习中的影响及特征，并通 过实证性研究，提出将现代图式理论与函数概念学习有机结合，改观学生学习的局 面实验结果表明图式教学策略有利于学生函数概念知识结构的建构与活化，并且优 化了学生的认知结构，消减了因函数概念知识难度的增加所带来的认知障碍【1 3 】 汤炳兴提出用建构主义的数学教学观指导数学概念教学，提出数学概念教学应以 培养学生用数学的意识为指导，重视概念的生成过程，把概念学习变为“学数学、做 数学、用数学的过程为此，在教学中应注意以下几点：( 1 ) 将学生带回现实中； ( 2 ) 将学生带入问题中；( 3 ) 引导学生学习数学化；( 4 ) 在概念的实例中体会数学【1 4 】 【1 2 】r u h a n ae v e n s u b j e c t m a t t e rk n o w l e d g ef o rt e a c h i n ga n dt e e a s eo ff u n c t i o n s j e d u c a t i o n a ls t u d i e si nm a t h e m a t i c s ， 1 9 9 0 2 1 ：5 2 l _ 5 4 4 1 3 1 于兄图式理论与函数概念学习【d 】广西师范大学，2 0 0 2 1 4 1 汤炳兴在概念教学中“学数学做数学用数学”【j 】数学教育学报，2 0 0 2 ( 4 ) 9 第2 章文献综述初高中函数概念衔接教学研究 关晓贞从七个方面提出初高中函数概念的教学策略与建议：( 1 ) 做好首次的衔接 工作，让平稳学生渡过函数概念的转变；( 2 ) 通过函数符号的教学，让学生体会函数 符号的意义；( 3 ) 要把“概念教学 贯穿教学始终；( 4 ) 进行数学史教学，解决学生 在刚刚接触到“对应说 时，与“变量说 产生困惑的问题；( 5 ) 通过正反例教学提 高对函数概念的认识，弥补初中“变量说 对学生带来的影响；( 6 ) 把函数概念的教 学和信息技术整合，把函数概念渗透到各个领域中；( 7 ) 函数概念应用于生活实际， 让学生不但体会函数概念的本质，也让学生学会“学以致用 0 5 1 r u h a m ae v e n 的研究说明教师本身不重视或不理解函数概念王兄提出的图式教 学，汤炳兴的重视结合问题和实例教学以及关晓贞提出的七条具体措施，大都体现了 标准的要求在实际教学中，许多教师并不重视概念的教学，不进行深入的分析， 不注重概念的形成过程，而是强调操练，直接通过大量的习题进行巩固，这不利于培 养学生的数学思维和数学素养，笔者认为教师本身必须重视概念的教学 总之，在学生的学习心理和教师的教学策略方面前人已经做了大量细致和有效的 工作，特别是教学策略这一块笔者认真研究初高中的标准和教材，拟从教材、 教法和学法三个方面做进_ 步的研究，寻找能适应高中新生数学学习心理特点的教学 方法和学习方法，提高学生函数概念学习的积极性和探究问题的主动性 【1 5 】关晓贞新课程下初中和高中函数概念教学衔接的研究【d 1 首都师范大学，2 0 0 9 1 0 初高中函数概念衔接教学研究第3 章问卷调查和访谈 第3 章问卷调查和访谈 通过问卷调查了解不同阶段和不同层次学生对函数概念的掌握程度，以及学习中 存在的主要问题通过与教师的访谈，了解在高中教学中衔接教学的落实和主要措施 3 1 问卷调查 为了了解初三学生和刚刚进入高中的高一学生对函数这一重要数学概念的理解 状况，本研究分别设计了调查问卷( 见附录1 和附录2 ) ，其中部分题目来自教学实际， 有些问题是根据已有的研究中的问卷改编的在初三的问卷调查试验中，考察学生在 解析式和图象这两个方面的认知水平、判断函数的依据，并了解学生认识的函数是什 么，从而分析初中学生对函数概念的理解和掌握程度在高一的闯卷试题主要是从解 析式、图象和列表三个方面检验学生对函数概念的本质认识，对二次函数的进一步认 识以及学生在实际问题中对函数概念的应用 3 1 1 问卷( 1 ) 及统计分析 ， 调查对象：无锡市塘南中学3 0 人；无锡市侨谊实验中学实验中学3 5 人，共计6 5 人塘南中学是无锡市的一所普通初中，毕业生大部分进入中等职业学校；侨谊实验 中学是无锡市的重点初中，毕业生大部分进入重点高中 材料：测试题一份，共5 个问题( 见附录1 ) 调查目的：了解初三不同层次学生对函数概念的认知水平 调查数据统计如表3 - 1 表3 1 问卷( 1 ) 各题得分( 百分比) 统计 题号 1234 5 塘南中学3 3 31 6 27 0 o4 8 13 6 5 侨谊实验中学 5 5 65 1 48 2 97 0 27 1 5 在学生学习了二次函数后进行了此次测试 第l 题“请根据自己的理解，叙述什么是函数? 旨在了解学生对函数的理解， 结果在两个班的试卷中，学生都不同程度地按照课本的定义写出了对函数的理解，尤 第3 章问卷调查和访谈初高中函数概念衔接教学研究 其实验中学的学生按课本定义写的更多一些，这说明学生对函数概念的理解基本上可 以说是机械的、表面的，以记忆为主 第2 题“图3 1 所反映的能将y 称为是的函数吗? 学生对于图形所反应的y 与工之间的关系，大都判断为不能 把y 称之为戈的函数其中有人认为它不是一次函数，反比例函 数，也不是二次函数；也有学生认为他们没有学过这种形式； 也有学生觉得它不能为函数，因为它的图象太不规则了因此 y 1 一 ， o v ； 图3 - 1 学生在学习函数概念表象中，他们认为函数图象要么是一条直线，要么是像抛物线或 双曲线这样规则的曲线 第3 题“给出下列关系： 石+ 1 ；y = 2 x 一1 ；y = 1 ；及一3 o ；y = 工1 其中是函数关系的有( 写出所有符合要求的序号) 这样的问题学生较熟悉，两个班的正确率都较高，部分学生还分不清函数和方程 的联系与区别，部分学生x c y = 1 有疑问，认为x 变化时，y 没有发生改变 第4 题“一支蜡烛长2 0c m ，点燃后每小时燃烧掉5c m ，请写出刻画这支蜡烛点燃 后剩下的长度与点燃时间之间的函数关系 ，实验中学学生答的都较好，但塘南中学 很多学生搞不清楚剩余长度与燃烧时间，谁是自变量，谁是因变量 第5 题“已知y = 一2 x + 1 ，若一1 j 嗽j 1 ，求y 的取值范围”，主要考查函数的单 调性，或数形结合的能力两个班有很多学生都是利用类似于多项式求值的问题，求 出两个端点的函数值有的给出了错误回答：当x = 一1 时，y = 3 ；x = i l n ，y = 一1 ，所 以有3 ：匆：0 1 可以看出其解题的出发点是多项式求值，没有想到函数的图象因 此，学生的数形结合能力还不强，很难在数与形之间进行有效的联系 由此可见，初三学生对函数的认识理解过程中，对解析式较为熟悉，对函数的图 象只停留在自己学过的几个特殊函数上，数形结合的能力差，很难把图象和函数结合 起来，函数应用能力差，对概念本身理解不够透彻并且同一年龄的学生的理解层次 存在很大的差异，重点初中的学生明显优于普通初中的学生，可以看出能进入高中的 学生训练比较到位，函数基础较好 1 2 初高中函数概念衔接教学研究 第3 章问卷调查和访谈 3 1 2 问卷( 2 ) 及统计分析 调查对象：无锡市三高中高一学生6 0 人，高一共1 2 班，每班5 人，样本通过系统 抽样获得 材料：测试试题一份( 附录2 ) 调查目的：了解高一学生对函数的理解情况和认识水平 调查数据统计如表3 - 2 表3 - 2 问卷( 2 ) 各题正确率统计 题号 l23 4 56 正确率百分比 6 07 04 85 84 05 0 第1 题“请根据自己的理解，叙述什么是函数? 旨在考查学生对以集合、对应 定义的函数概念的理解情况，结果发现有6 0 的学生能够写出函数的概念，很多学生 掌握了“对应说”( 即对任意的j 的一个值，) ，都有唯一的一个值与之对应) ，但部分 学生还停留在初中所学的“变量说 第2 题“给出下列关系： 捌：2 ；y 2 啪= o ；y ：仁，竺 其中是函数关系的有( 写出所有符合要求的序号) ” 学生掌握得较好，可见学生对函数的解析式表示还是比较熟悉和习惯的对于y 2 ：x ，能说明理由对分段函数有一定的认识，但对函数和方程的区别与联系还不很 清楚 第3 题“求函数) ，= ，+ 叙一l ( - 4 ：z ：2 ) 的最大值和最小值”，学生的做法 大致有3 种，一种是直接利用解析式中自变量的端点，得至帆4 ) ：= ) ，= 驭2 ) ，这显然 是错误的，当成代数式求值了；第二种是将解析式配方得y = 伍+ 2 ) 2 5 ，从而求得一5 ： ：1 l ；第三种是作出二次函数的图象，得到一5 ：1 1 ，用图象探求最值的学 生较少由此可见，高一学生学习了函数之后，对函数图象的认识较初三有了明显的 进步，但在处理函数最值一类的问题时仍不太习惯于用函数的图象，不能将图象作为 工具使用 第4 题“图3 - 2 中哪些图象可以表示y 是工的函数? 第3 章问卷调查和访谈 初高中函数概念衔接教学研究 j i 广、j l ) 。 图3 - 2 此题得分不高，主要为多选题，学生不能完全得分，说明对概念的掌握还有欠缺 第5 题“下列表格中两个量的关系是函数关系吗? 为什么? 表3 - 3 某家庭在2 0 0 4 年到2 0 0 8 年的家庭收入 年份 2 0 0 42 0 0 52 0 0 62 0 0 7 2 0 0 8 总收入3 27 0 03 93 0 03 89 0 04 21 0 05 00 0 0 表3 - 4 某校高一年级各班为四川汶川捐款 班级 l2345 678 金额 15 0 2 5 9 2 3 47 8 6 0 12 4 5 2 8 7 3 511 2 0 08 5 5 210 0 8 6 学生完成情况较差，说明在刚学完函数之后对函数的定义理解还不到位，很多学 生对函数的认识还停留在解析式和图象上，列表法的应用少，学生没有太多的印象 第6 题“是否存在函数，使得不为0 的每一个数都对应于自己的平方，而0 对应于l ? 如有，写出解析式，否则说明理由 ，学生不适应这类开放性问题对分段函数是否 是一个函数尚存疑问 由此可见，由于函数是具有多重表示方法的概念，高一学生对此表现出了一定的 认知困难主要体现在：( 1 ) 函数概念作为数学中多重表示的概念，经常需要学生 同时考虑几个表示，而且要不断协调各种表示之间的关系从认识发展上看，这种多 重表示的概念在学生形成时需要进行更多的思维操作；( 2 ) 学生数形结合能力差， 说明学生不能在几种表示之间进行灵活转化；( 3 ) 学生对解决开放性问题不适应， 习惯于处理传统型问题 3 1 3 两个调查的综合比较分析 初高中课程里对函数的不同定义，以及学生自身数学背景的变化，使得不同年龄 的学生对函数的理解有较大的差异 对初三学生的问卷调查发现，学生在理解函数的过程中，首先是把这一概念与自 1 4 初高中函数概念衔接教学研究第3 章问卷调查和访谈 己已有的相关知识联系起来很容易把函数式与代数式相混淆，并在解题中相互代替 从而导致错误高中学生已能判断现实生活中函数的例子调查发现，初三学生理解 的函数是作为“算式”的函数，对以解析式给出的函数很难在大脑中形成相应的图 象初中很多教师对概念的讲述过少，往往通过大量的习题去弥补，学生很难建立知 识点之间的联系和转换，解析式与图象是孤立的1 1 6 】而高中学生对此则有比较明显的 进步，他们大多能借用“对应”去辨别两个变量之间的函数关系，能借助图象解决问 题 调查发现，同一年龄阶段的学生在对函数的理解也有不同的层次差异可能是学 生个人头脑中的认知品质不同个人大脑中对函数概念建立的表征方式主要有3 种： 文字表征、符号表征、图象表征有的学生仅仅习惯于符号表征或图象表征，这造成 了学生无法用文字表征进行相应的转换比如，对) ，2 = 石，一些学生仅仅从解析式的 角度，而不从图象的角度去理解它，就给出了错误的回答这说明对于函数概念，每 个人头脑中的概念意象不同 在和学生的交流中，还可以察觉到初中生对变量的理解也不够深入，教材中是通 过几个具体的实例来引出变量的概念的，而老师在实践中往往草率处理高中生对对 应和对应法则的理解也不够到位，故而对给出解析式的函数印象深刻，对图表给出的 有时就把握不定，这跟教师的教学也有很大关系苏教版高中必修1 教科书开篇给出 的3 个例子就是分别从3 个角度给出的，对对应也有一个形象的处理一个输入值 对应到唯一的输出值由此可见，从初中到高中，必须帮助学生提高认知水平，强化 反例的功能( 无论初高中教科书都比较少，用以区别函数解析式、代数式和方程) ， 强化教科书的教学功能，让学生对函数的本质有深刻的理解 3 2 对教师的访谈 为了了解高中数学教师对函数概念教学的实际情况，笔者与无锡市辅仁高中和三 高中的l o 位高一数学老师进行了调查访谈这两所中学一所为老牌重点中学，学生 生源素质很高，所有学生中考都在市区前2 0 0 0 名以内，一所是新兴重点中学，生源 一般 1 6 1 彭丹初中生对函数概念理解的调查研究【d 】东北师范大学，2 0 0 7 1 5 第3 章问卷调查和访谈初高中函数概念衔接教学研究 问题l 高中教师是否了解初中的教材和课程? 部分教师对初中教材的了解不是很到位，甚至有的老师不知道初中教材的版本， 对于一些知识点如因式分解等要求的变化不清楚 问题2 有无必要进行初高中数学的衔接教学? 几乎所有的老师都认为有必要进行初高中数学的衔接教学，辅仁中学在2 0 0 5 年 新课程刚开始的时候就利用假期开始了衔接教学，包括知识和学法两个方面，侧重知 识点；三高中也在2 0 0 7 年开始新生入学的衔接教学 问题3 高中数学教学课时是否紧张? 在教学中对“度的把握如何? 普遍觉得课时比较紧，基本一周已经6 课时还是不够，特别是江苏省实施“五严 规定以来，再加上衔接教学，非常紧张对于高中知识点的把握也不是很确定，由于 江苏高考数学试卷的不稳定，难易跨度较大，教师在教学中患得患失，只能适当增加 难度 问题4 高一新生有没有良好的学习习惯和学习方法，是否具备一定的数学思 维? 普遍觉得新课改以来，学生的基本素质反而比课改前差，很多学生缺乏良好的学 习方法和学习习惯，计算能力下降，习惯填鸭式教学，不会主动学习，缺乏独立思考 解决问题的能力，培养学生良好的学习方法，任重而道远 问题5 高一学生函数掌握的水平如何，有哪些常见的问题? 教师基本上都觉得学生大多能借用“对应 去辨别两个变量之间的函数关系，能 借助图象解决问题，但是对于函数图象的运用不够熟练，缺乏主动性，对分段函数的 理解不够，对于单调性的定义理解不到位，对函数和方程的关系掌握不够，在实际问 题中建立模型解决问题的能力欠缺 问题6 在函数概念教学中有没有渗透相关的数学史? 高一学生所能知道、了解的数学家不多，因为高考不考，教师不重视函数概念发 展史的介绍 通过访谈可以发现，高中教师已经重视衔接教学，注重学习方法的指导，教学内 容把握上仍有欠缺，功利性较强 1 6 初高中函数概念衔接教学研究第3 章问卷调查和访谈 3 3 函数概念在初高衔接中的问题剖析 通过问卷调查和访谈，笔者认为在教材、教学和学法方面存在以下问题使得学生 衔接不够顺利 3 3 1 函数概念的形式化水平提高 在初中阶段学生所接触到的函数只有一次函数、正( 反) 比例函数以及二次函数 等具体函数，并且这些都是比较简单的函数在学习过程中，教师也往往通过具体事 例概括出函数定义，因此初中定义的“变量说”函数具有局限性，只提及数值之间的 关系，并没有说明是一个什么样的对应关系其次是对x 的取值没有说清楚，按照这 个定义，许多学生无法解释y = 1 ( 工r ) 这样一个函数 进入高中，先学集合，对于刚升入高中的学生来说，这个概念就有点抽象紧接 着在学习集合的基础上给函数下了一个新定义，这时的函数概念变得比较抽象，揭示 的是函数的本质特性，并且用更规范的数学语言来表达，提高了形式化水平可以看 到，高中基于集合上的函数概念的定义更加抽象，学生接受起来就比较困难 在初中学习阶段，与几何有关的内容引入符号语言较多，而在代数部分几乎没涉 及特别的符号表示而y = 删表示了一种特殊的对应关系，其中每一个字母都有特 定的含义但这种含义仅从字面上是看不出的我们不能通过甲来想象对应关系 的具体内容，也不能通过工( 或) ，) 来想象定义域( 或值域) 到底是什么这种抽象 性和形式化水平大大增加了函数理解的难度【1 7 】教学实践中，教师在讲完函数的定义 后，会直接给出通常表示法y = 删，所以学生虽然学习了函数定义，甚至于能够背 诵，但是对函数的真实意义仍不清楚，也不清楚y = 斛有什么含义甚至高中毕业 了也没真正清楚函数是指，删还是y = 删，究其原因就是符号的复杂性和隐蔽性( 其 具体内容不能从符号上得到体现) ，这就导致了大部分学生对y = 知其然不知其所 以然，一定程度上影响了以后的函数的学习 3 3 2 学生的思维发展水平限制 心理学研究表明，初中生的思维发展水平是从具体形象思维逐步过渡到形式逻辑 思维水平，高中生在继续完善形式逻辑思维发展的前提下，辩证思维发展开始逐渐占 【1 7 1 李吉宝有关函数概念教学的若干问题【j 1 数学教育学报，2 0 0 3 ( 2 ) 1 7 第3 章问卷调查和访谈初高中函数概念衔接教学研究 主流而辩证思维是人类思维发展的最高形式，中学生的辩证思维基本上处于形成与 发展的早期阶段 理解函数概念时，需要学生在头脑中建构个情景( 解析式的、表格的或图形的) ， 使得函数的对应关系能够得到形象的、动态的反映有时要把函数分为三个成分：对 应关系、定义域和值域，再将它们凝聚成一个对象来把握，像这种整体地、动态地、 具体地认识对象，同时还要把动态过程转化为静态对象，能够进行静止与运动、离散 与连续的相互转化，只有达到辩证思维水平才能做到 对于刚刚升入高中