（计算数学专业论文）j中心对称矩阵逆特征值问题的研究.pdf

摘要 这篇文章主要阐述了j 中心对称矩阵逆特征值，反j 中心对称矩阵逆特征值 问题以及j 一中心对称矩阵逆特征值的最佳近似解问题。根据j 一中心对称矩阵的结 构特性，利用其约化性质得出了其特征向量的相应性质结构，推导出了其逆特征 值可解的充分必要条件，还提供了其通解解的表达式。除此以外，还得出了计算 最佳近似解的方法。 本文共分五章，结构如下： 第一章为引言。主要介绍了本论文的研究背景和选题依据，以及研究内容和 创新 第二章主要介绍了一些在本文中要用到的基本概念和符号表示。 第三章得出了j 一中心对称矩阵逆特征值问题的可解条件及解的结构，并针对 其特征向量的性质和结构做出了说明。 第四章得出了反j 一中心对称矩阵逆特征值问题的可解条件及解的结构，阐述 了其特征值的性质。 第五章讨论了j 中心对称矩阵逆特征值问题的最佳逼近，给出了最佳逼近解 的表达式。 关键词：j 一中心对称矩阵；反j 一中心对称矩阵；逆特征值；最佳逼近 a b s t r a c t i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m so fj - c e n t r o s y m m a t r i c ea n dj s k e w c e n t r o s y m - m a t r i c ea r ec o n s i d e r e di n t h i st h e s i s t h e o p t i m a la p p r o x i m a t i o np r o b l e mo f j c e n t r o s y m m a t r i c e i sa l s o c o n s i d e r e d a c c o r d i n gt ot h es t r u c t u r a lp r o p e r t yo f j - c e n t r o s y m m a t r i c ea n dj - s k e wc e n t r o s y m m a t r i c e ，b ye x p l o i t i n g t h e i rr e d u c i b l e p r o p e r t y , w eo b t a i nt h es t r u c t u r eo fe i g e n v e c t o ro ft h et h em a t r i c e s t h es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so nw h i c ht h ei n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m sm e n t i o n e d a b o v ea r es o l v a b l ea r eg i v e na n dt h ee x p r e s s i o no ft h eg e n e r i cs o l u t i o n sa r ep r o v i d e d f u r t h e r m o r e ，t h ea l g o r i t h mt oc o m p u t et h eo p t i m a la p p r o x i m a t es o l u t i o ni sg i v e n t h i st h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s ，a n db eo r g a n i z e da sf o l l o w s ： t h ef i r s tc h a p t e ri sa ni n t r o d u c t i o n w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d ，t h e m a i nc o n t e n t sa n dt h eo r i g i n a l t i e so ft h et h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w cb r i e f l yr e v i e ws o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n w h i c hw i l lb eu s e di nt h et h e s i s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eo f f e rt h es o l v a b l ec o n d i t i o no fi n v e r s ee i g e n v a l u e p r o b l e m sf o rj - c e n t r o s y m m a t r i c e ，a n dg i v et h es o l u t i o ns t r u c t u r e f o rt h ee i g e n v e t o r s t r u c t u r ew em a k et h ee x p l a n a t i o n i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w es h o wt h es o l v a b l ec o n d i t i o no fi n v e r s ee i g e n v a l u e p r o b l e m sf o rj - s k e wc e n t r o s y m m a t r i c ea n dt h es o l u t i o ns t r u c t u r e ，a n d a b t a i nt h e e i g e n v a l u e sc h a r a c t e r i s t i c i nt h ef i f t hc h a p t e r , t h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o np r o b l e mf o rj - c e n t r o s y m m a t r i c e i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m sa r ed i s c u s s e d ，a l s ot h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n e x p r e s s i o nb eg i v e n k e yw o r d s ：j - c e n t r o s y m m e t r i cm a t r i c e s ；j s k e wc e n t r o s y m m a t r i c e ；i n v e r s e e i g e n v a l u e ；o p t i m a la p p r o x i m a t i o n 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：彳凌窍辟日期：研年厂月歹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密囤。 ( 请在以上相应方框内打“) 作者签名：粒三辟 新躲扣卜 日期：。呷年f 月日 日期秒年r 月衫日 1 1 研究背景 第一章引言 现代科学与应用中存在着各种各样的逆操作过程，我们把他们抽象出来成为 数学中的反问题。在数值代数中，已知一个矩阵，求其特征值或特征向量称为矩 阵特征值问题。然而在结构设计中，却往往要求设计出具有给定频率或振型的结 构，并推断或识别出结构的其它物理参数，这反映到数学上就是由给定特征值或 特征向量构造出相应的矩阵，我们称之为矩阵逆特征值问题。矩阵逆特征值问题 的研究，不仅充实和丰富了矩阵理论和方法，而且在模式识别、数学物理，量子 化学、分子光谱学、结构动力学、自动控制、结构设计与动态分析等许多领域中 有着重要的应用。 矩阵逆特征值问题的理论及主要结果是在几十年里得到的。1 9 5 6 年， d o w i n i n g 和h o u s e h o l d e r 首先提出矩阵逆特征值问题的加法问题和乘法问题， 1 9 6 7 年，h o c h s t a d t 发表了关于j a c o b i 矩阵逆特征值问题的研究论文，1 9 7 4 年， w i l h e l m i 提出一类含参数的矩阵逆特征值问题，最近几十年里矩阵逆特征值问题 的加法问题、乘法问题和含参数问题的研究有了很大的进展。同时人们越来月关 注某种具有特殊结构的矩阵的逆特征值问题，例如：关于对称矩阵，反对称矩阵， 。 中心对称矩阵，中心反对称矩阵，双对称矩阵，正定矩阵，正交矩阵，非负矩阵 等的逆特征值问题的研究。 中心对称矩阵与反中心对称矩阵在统计分析、矩阵对称等领域中有着十分重 要的应用，如在控制论领域中，h a m i l t i o n 中心对称矩阵就为反j 中心对称矩阵， h a m i l t i o n 反中心对称矩阵即为j 一中心对称矩阵。 关于特殊矩阵逆特征值问题的研究，国内外已有不少的专家不断探究、开拓 并且取得了一系列成果，如文献 2 ， 3 ， 9 ， 1 0 ， 4 1 ， 5 0 等相关文章 都对逆特征值问题做了一定的研究，本文将用矩阵的奇异值分解( s v d ) ，矩阵 的广义逆，酉辛变换等相关知识研究出求j 一中心对称矩阵逆特征值问题的简单 快捷的方法。而关于j 一中心对称矩阵的定义及相关性质在文献 4 中都有叙述。 1 2 选题依据，研究内容和创新 1 2 1 本文的选题依据和研究内容 一般地，矩阵逆特征值的提法可概述如下：给定一些特征信息( 如特征值， 特征向量，特征多项式) 及附加条件( 矩阵的部分元素或指定矩阵为某类特定矩 阵) ，讨论在什么条件下矩阵存在，以及如何构造所求矩阵。矩阵的逆特征值问 题由于所给条件不同或应用背景不同而有各种各样的提法。 矩阵逆特征值问题的研究包括如下四个方面： ( 1 ) 可解性包括问题可解的必要或( 和) 充分条件。 ( 2 ) 适应性包括问题解的存在性，唯一性和稳定性。 ( 3 ) 数值方法 包括构造问题的解，并讨论与方法有关的问题。 ( 4 ) 实际应用包括问题的背景及应用。 迄今为止，湖南大学以及中科院的一些专家，学者，对特征植反问题的可 解条件 3 4 3 7 ，解存在的条件 3 5 4 5 ，谱约束下的矩阵束逼近 5 1 ：线形流 形上的一类矩阵的最佳逼近等问题 4 7 进行了比较深入的研究。南京航空航天大 学的戴华教授一些特殊类型的矩阵的特征植反问题 4 9 解的存在性，稳定性进行 了讨论。 本论文中主要讨论了三个问题。第一，j 一中心对称矩阵逆特征值问题的可解 条件及解的结构；第二，反j 一中心对称矩阵逆特征值问题的可解条件及解的结 2 构；第三，j 一中心对称矩阵逆特征值问题的最佳逼近。 1 2 1 本文的主要创新 本文将利用j 一中心对称矩阵结构和反j 一中心对称矩阵结构特性，通过酉 变换使p 日a p 变得更加简单，再用矩阵的奇异值分解( s v d ) ，矩阵的广义逆等知 识研究出一种求解j 一中心对称矩阵，反j 一中心对称矩阵逆特征值问题的方 法。在求出通解的情况下用最佳逼近法求出最佳解。 3 第二章预备知识 本章中主要介绍了在论文里面将要用到的一些记号和相关知识，对 于在后面章节中单独出现的概念再另做介绍。 记c 2 “2 ”表示复的2 m 阶矩阵集合，u 表示n 阶酉矩阵集合。表示矩 阵a 的m o o r e - p e n r o s e 广义逆，a 日表示矩阵a 的共轭转置。对于任意的 矩阵a , bc ，矩阵a ，j 5 i 的内积定义为( a ，b ) = t r a c e ( b 日a ) ，由此导出的矩阵 范数为f r o b e ni u s 范数，记为i i i | ，。j 2 m - = ( 一0 j 。0 ) ，j 。为m 阶的单位阵， 当j ：，的维数上下文能判断时，：。简记为j 。 矩阵逆特征值问题可表示为： 问题，已知矩阵类scc ，向量而，五， c n x l ，i r o ，o i ，2 = d i a g ( f l l ，厦，& ) ，屈 o ，0 i r 2 引理3 5 己知x 。一m 。i ，a c ”，令x 。的奇异值分解为 ( 6 ) 式，人= d i a g ( , 五，五，如。) c 2 h 从，那么a x l = x 。a l 是可解的，当且仅当 x 。a 。x ；x l = x l a l ，且它的一般解可表示为a = x 。人。x ? + g 【，；，v g c “忙 。 证明：“j ( 必要性) a x l = x l a l 有解 又x ，的奇异值分解为( 6 ) ， ( 8 ) 式的一般解可表示为： a = x l a l x ? + g u ，v g e c “”1 将( 9 ) 代入( 8 ) 式得： ( x 1 人l x j + 6 u f ) x l = x l a l j x l a l x ；x l + g u 罗x l = x 1 人1 。= u 雕v h = u i i k h u x 。= u 罗u 言：v h = u 罗u 。k h = 。 g u x l = ox 1 人l x ；x l = x l a l “仁 ( 充分性) 。x 。a l x ；x 1 = x 1 人l 取a = x 1 a l x j ，则有a x l = x 1 人l 即a x l = x l a l 在c “上是可解的。 而x 。的奇异值分解为( 6 ) ，所以( 8 ) 式的一般解可表示为： a = x l a l x j + g u f ，v g c “”一 。 8 ( 8 ) ( 9 ) 定理3 1 已知x c 一“，设x 为( 5 ) 式，x l ，x 2 的奇异值分解分别为( 6 ) ， c7 ，式，人= 八l 乏 ，人。= 历鳄c 五，如， ，人：= 讹g c 丑坩，丸， 那么问题是可解的，当且仅当x 。a 。x ；x l = x 1 人l ，x 2 a 2 x ；x 2 = x 2 人2 ( 10 ) 且其一般解可表示成： m + p 降品卜v g i ec m x ( _ - r 1 ) , 叫咖训) 其中a = p x 1 名x ? x ：人0 ：x ； p 耳 c - 2 ， p = 批甜 证明：”j 。( 必要性) ，设问题口可解，则由引理3 1 得a 的形式为： 肚陉甜“一 由似，叱铷盏吗x 2 - 耄捌含是 i ( 4 一4 ) x l = x 1 人1 1 【( 4 + 坞) x 2 = x 2 人l 由引理3 4 可得x 1 人l x ；x i = x l a l ，x 2 a 2 x ；x 2 = x 2 a 2 且存在g l c r e x ( m - r 1 ) , g 2 c ”使得 a 一讥：x ，人，x _ + g 1 u 乒 ( 13 ) a + 坞= x 2 人2 x ；+ g 2 q ， ( 1 4 ) 。i 将( 13 ) ( 14 ) 代入到引理3 2 中a 式得( 11 ) 式。 下证充分性”乍。： 设( 11 ) 式成立，则对vg l c “” ，g 2 c “”m ， ( 11 ) 式决定相应的一个j 中心对称矩阵a ，且 似：p lx 人- x ? o fp 日x l 0 x 2 人2 x ；j 9 干0 rx 刘a 啦i x 羔i x ： + p 印0 茹h 羞二i x ：【z ：x ；j【- - 一z j【-g 2 篮j【- f x 。一：j =pxlair掣0；托捌00 x 2 0 巾0 剐瓜01 , f i x ：人：x 刈一压x ：1 【g 2 彰j l 一 ：l 。x l = u l l k h ，u 罗u l = o u x 。= u 【，。k 日= o 即【，? x l = 0 g l v x l = 0 同理g 2 硝x 2 = 0 似妇p 0 矸x x ：a 3 x ；x ： - 厨p 0 x 廿从 i，llx ，人，i 故a a = x a 成立。 1 0 第四章反j 一中心对称矩阵的逆特征值问题 本章节将讨论反j 中心对称矩阵特征值，特征向量的性质和结构，反j 中心对称矩阵的逆特征值问题，给出了其可解的充分必要条件以及通解 的表达式。 4 1 反j 一中心对称矩阵的性质和结构 引理4 1 如果n = 2 m ，那么有： s ；”= a a c 2 r a x 2 r a i a j = 一m = 2 = ； 1 4 ， c “x ”) 。 姐4 2 仆搬二。 ，陉甜 贝i j p h a p = 似0 卜0 鸪 。 类似于引理3 1 ，引理3 2 易证得结论。 4 2 反j 一中心对称矩阵特征值特征向量的性质结构 引理4 3 设a s ，2 h i ，2 为a 的一个特征值，工为相应于a 的特征向量，则一名也 为a 的特征值，且矗为相应于一名的特征向量。 证明：a x = 五石 则j a x = 旯厶 。a j = 一j 扎 一a j x = 五i x ja j x = 一兄i x 一五为a 的特征值，厶为相应于一兄的特征向量。 人= 除甜小 ， 对应的特征向量可写成： x = 【y ，刀】，y c 2 。 ( 16 ) 推论4 3 2 设】，= 乏 ，霪= x + t k ，穸= x z 匕，x ，k c ”i ， 贻v + t j y ) = 压阱 p h ( v - i j y ) = 压卧 跏p h ( y + i j y ) = 却- i , l r 一, 订斗 = 却稠 = 压强 o 又文= x + i y 2 ， p h ( y + i j y ) = o 同理可证咿( y - i j y ) 叫斗 令矿奇异值分解为：p = 龟( 吉匀z 。， ( 17 ) 1 2 4 3 反j 一中心对称矩阵逆特征值问题的可解性及解的表达 式 、 根据4 2 节推论4 3 1 ，我们知道反_ ，一中心对称矩阵有形如( 15 ) 式的特 征值结构，形如( 16 ) 式的特征向量结构，所以问题i i 可重新表述为： 问题珊设人= 除二。 ，a l ，x - 【y ，吼y 彰。 求矩阵a s ；“， 使得： a x = x a 。 本章将讨论问题脚的解的存在性和其通解的表达式。 引理4 4 已知b c “_ ，c c “”，b ，c 非奇异，m = b c ，n = c b ，则矩阵m ， 相似。 根据矩阵相似的定义容易证出。 推论4 4 若m ，n 相似，则可找到矩阵s 1s 2 c “以及若当块，。， 使得 m = s i l j l s l ，n = s ；1 ，l s 2 。 7 1 理4 5 设a s ；“，非奇异，b = 4 一鸪，c = 4 + 缝，则b ，c 非奇异。 证明：p 日a p = 三 ： 2 二 ：一i 玎 = o 坞 列o = c 0 坞 j lj 州e 奇异，列乍奇异， 矩阵 言 o c 0 b 言 非奇异，故 三言 也非奇异， 言 = 等导 也为非奇异矩阵 b ，c 非奇异。 引理4 6 已知戈c m x k 矿c 础为推论4 3 冲定义的，b ，c 为引理4 4 中所定义 的，人。c h ，则得b 2 = p 人。，c f = 2 a ，的解b ，c 存在的充分必要条件为； c b f c = x a l 2 , b c 矿= 矿人1 2 的解j 5 i ，c 存在。 证明：必要性很容易可以推得。 下证充分性：”乍”： 已知 c 哆2 芒八e ， ib c y = y 人，2 令贾= ( j i l ，毛，五) ，f = ( 歹。，歹2 ，或)暑，受c ”1 ，l f 足， a 。= d i a g ( 五，五，五) 由 c b 2 = 2 a 1 2j 薯= 置 1 i k j c b c c 。1 暑= 名2 暑 j b c c 1 置= 磊2 c 。1 置 j b c ( c 。1 i ) = 五2 ( c 一置) 又由，b c 矿= 拟1 2 j b c y i = 更( 1 f s 七) 由( 18 ) ，( 19 ) 式可得： 受= h , c - 1 置v 嚏c ，1 i 七 所以存在矩阵h = d i a g ( h 1 ，) ，使得 矿：c 一1 f c h 将( 2 0 ) 式代入b c f = 1 7 a 1 2 得： - b c c 一1 2 h = 1 7 a 1 2 , 即放日= 拟1 2 取h = 人l ，得：放= f 人1 2 h = 】9 ；人1 2 a l 一1 故璐= 拟。 同理可推得c 矿= 贾人。 即由 c 唑2 芒人ej 蟹2 誓- 成立。 证毕。 ib c y = l ，人。2ic y = x 人， 1 4 ( 18 ) ( 19 ) ( 2 0 ) 引理4 7 已知爻c m x kp c “为推论4 3 冲定义的，b ，c ，m ，n 为引理4 4 中所 定义的，s 1s ：为推论4 4 中定义的，a 。c h ，p 奇异值分解为( 17 ) 式，则使 得放= 穸人。，c 矿= y e a 。成立的解b ，c 存在的充分必要条件为： 耍人；赫+ = 夏a ；，矿人；行+ = 矿八；。 且其中一组解可表示为： b = 耳1 s ：，c = s 2 s 。( 扒尹+ g 3 留) 。 证明： 。仁。 x 人；x x + = x 人i ，y 人；盯+ = y 人； 蚓舭5 得，存在m 膝黧有解 即 器三搿有解 由引理4 6 有武= 拟。，c p = 贾人。有解 又p 的奇异值分解为( 17 ) 式，则有 m = 拟。尹+ g 3 鳄，v g 3 c ”吩 由推论4 4 有： m：=墨s；。i始js：ij = s i m s f l j n = 1 s l m s ? 1 s 2 又n 、= c b ，可取曰= s i l s ：，c = 墨1 s 。m = 1 s 。( 矿人。矿+ + g 3 掣) 故。仁”成立 结合引理3 5 ，引理4 6 容易证得必要性。 定理4 ，已知a s ，2 m ，非奇异，x = c y ，日，c 2 脱艉，人= 舍一0 人 ， 人，c “m ，x 。，y 。为推论4 3 2 中定义的矩阵，m ，n ，s 。，s 2 定义如同引理4 7 ， 则似：x a 可解的充分必要条件为：戈人i 磁+ ：戈人i ，矿人i 开+ ：矿人；，且其解的 1 5 一种表达式为： a = p ( e 人；e 一。+ 三凹) s i 。墨s 字2 p 日。肚p b mg 3 凹) s 声。1 0 j p 日。 证明：充分性结合引理4 6 ，引理4 7 很容易证得下证必要性 ”j ” 由a x = x aj a ( l 月) = ( l 月) 含一0 人。 一l a y = y 人1 j 。 【a 腰= 一彤人1 = ， = ， a ( y + i j y ) = ( y - i j y ) a 1 a ( y - i j y ) = ( y + i j y ) a 1 p u a p p 日( y + f 盯) = p 日( y - i j y ) a l p h a p p 曰( y i 盯) = p 日( y + i j y ) a l 结合推论4 3 2 得：瓮；爹二委会： 取b = 4 一鸪，c = 4 + 鸪 ib x = y 人 j 。 ， ic y = x a ， 即 a x = x a 醐等同于 篓三委2 有解 这就转化为引理4 7 ，即：a x = x 人可解的充分必要条件为 贾人；磁+ = 文人；，f 人；帮+ = 矿人； 且可取j 5 i = s i l s ：，c ：i 墨1 s 1 ( y a 。尹+ g 3 凹) 再由引理4 2 有 叫( 咿+ ：雄计目。肚p 【- ( 卧mg 3 鳄) 班。1 0 r 1 6 ，?，l，j、 第五章j 一中心对称矩阵逆特征值问题的最佳逼近 本章节讨论了j 一中心对称矩阵逆特征值问题的最佳逼近，通过 c 2 n “2 mc ；“与s ，2 “之间的关系得到了最佳近似解的表达式。 5 1 关于最佳逼近问题 对于反j 中心对称矩阵a ，我们将考虑a x = 人x 的最佳近似解问题，问 题归纳如下： 问题v 已知a c 2 ”。拥，求a s e ，使得 0 a a 8 = i n f 。l l a a 0 。 其中& 为问题i i 的解。 5 2 最佳逼近解的表达式 引理5 1c 2 翮”= q ”+ s ；”。 证明若证本引理，只要证对v a e c 2 n x 2 n 存在唯一的彳1 ) q ”和2 ) s ；“使 a ( 1 ) + a ( 2 ) = a 且0 ( 1 l ，a ( 2 ) = 0 即可，下分三步证明： ( i ) 对w c 2 础辫，记= 半一2 ) = 半，易知a 0 ) e c ；”， a ( 2 ) s ；”且 a ( 1 ) + a ( 2 ) ：a( 21 ) ( i i )若还存在彳1 ) q 朋，彳( 2 ) s ；“使 和+ j ( 2 ) ：a( 2 2 ) ( 2i ) 和( 2 2 ) 两式相减得 4 ( 1 ) 一a ( 1 ) ：a ( 2 ) 一a ( 2 )( 2 3 ) 上式两边分别左乘- ，和右乘j r ，利用定义2 i 有 a ( 1 ) 一a ( 1 ) ：a ( 2 ) 一a ( 2 ) ( 2 4 ) 结合( 2 3 ) 和( 2 4 ) 得a ( 1 ) ：a ( ，a ( 2 ) = a ( ，即分解式( 2 1 ) 唯一。 ( i i i ) 对v a q “和v b s 2 “，有a = j a j r ，b = 一j b j r ，注意到，的正交 性，( a ，b ) = t r ( b h a ) = 一t r ( j b 日，r j a h ，r ) = 一f r p 日a ) ， 所以扩仁日a ) = o ，即( a ，b ) = o 结合( i ) ( i i ) 和( i i i ) ，引理得证。 由引理5 i ，易得下面结论： 引理5 2 设互c 2 m 2 卅，则存在唯一的五q “和互s ；m 。使j ：a 。+ j ：和 ( a 。，a ：) = 0 ，其中 j ，= 半，互= 半 ， 定理5 1 设j c 2 m 加， x c 掀敛，a = d i a g ( ，如，如i ) 的条件和定理3 i 相 l _ j ，则l 口j 赵y 仔仕唯一j b 午a 3 e ，且a 日j 衣不为o a = a + p ( 五1 u 互：兰q ， p 日 基中n fx ：儿p = 邻二， 二n = 扣订灯。“m 乙= 如炽。一厶， j 。= 半。 证明 由定理3 i ，s e 中任何元素a 可表示为： 能+ p 愕玉卜q 一- ) ，叫叫m - r 2 ， 1 8 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 由引理5 1 ，对 彳c 2 “2 m ， 使a = a l + a 2 ， 存在唯一的五q “和 且j 。：半，互= 竽 记p 日( 五一a ) p = ( 主： 其中 二。= 三( ，一z ，虹。一如 ( 三 ， 互s ；“， ，( ，a ：) = o 。 二萨扣订虹。一a ， 乙= 抄j 虹，一厶料二：= 如炕一厶， 又p 是酉矩阵， 则对任意a s ， 卜a | | 2 ：恤+ 五一a 0 2 = 忙 = 忙 一a 一 茹卜可 去川2 唰1 2 = 卜训p 一阿岛 = 慨一g l ( ，邓+ m i n 等价于 e 岛 、1 1 2 ”脚 恢一g 2 叫2 + h h 引2 + 2 l i a n - g 。u 刘= m i n 和 其中q c ) ，g 2 c 雄吨) 注意到u 是酉阵及u u 。- - 0 ，u u ：= l 一。，所以有： u n l a l i - g 。u 夕1 1 2 = l l 二。u g 。u u 0 2 = l l j 。u 。0 2 + i i j ，。u ：一g 。0 2 所以当g l = a t l u ：时，h g 。，剁达到最小值 1 9 一、，孔疋 l i 硝、q 一 乞 a一_ a 、 一 同理当g 2 = j 1 2 2 q 2 f j ，i l 五：一g 2 q 钏达到最小值 将g l 和g 2 代入( 2 7 ) 式得( 2 6 ) 式 故原命题成立。 参考文献 【1 】z h o n g y u nl i u ，z h a o l ut i a n ，y a n x i a n gt a n c o m p u t i n g t h el e a s t s q u a r e s o l u t i o n sf o rc e n t r o h e r m i t i a nm a t r i x p r o b l e m s a p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 6 ，1 7 4 ，5 6 6 5 7 7 【2 】z h o n g y u nl i u ，h e i k e f a i b e n d e r a ni n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e ma n da n a s s o c i a t e da p p r o x i m a t i o np r o b l e mf o rg e n e r a l i z e dk c e n t r o h e r m i t i a n m a t r i c e s a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 72 0 6 1 ：5 7 8 5 8 5 z y l i u s o m ep r o p e r t i e so fc e n t r o s y m m t r i cm a t r i c e s a p p l ym a t h c o m p u t a t i o n ，2 0 0 3 ，14 1 ：2 9 7 3 0 6 【4 】a n g e l i k ab u n s e f e r s t n e r r a l p hby e r s v o l k e rm ac h a r to fn u m e r i c a l m e t h o d sf o rs t r u c t u r e de i g e n v a l u ep r o b l e m s s i a mj o u r n a lo fm a t r i x a n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n s ，v 0 1 1 9 9 2 ，1 3 ：4 1 9 4 5 3 【5 】 z y l i u ，h d c a o ，h j c h e n an o t eo nc o m p u t i n gm a t r i x v e c t o r r o d u c t sw i t hg e n e r a l i z e de e n t r o s y m m e t r i c ( c e n t r o h e r i t i a n ) m a t r i c e s a p p l i e dm a t h e m a 一一t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 5 ，1 6 9 ：1 3 3 2 1 3 4 5 【6 】 z y l i u ，h 。j c h e n ，h 。d 。c a o t h ec o m p u t a t i o no ft h ep r i n c i p a ls q u a r e r o o t so fc e n t r o s y m m e t r i ch m a t r i c e s a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n d c o m p u t a t i o n ，2 0 0 6 ，31 9 - 3 2 9 【7 】 o h a l d ，o n d i s c r e t ea n dn u m e r i c a ls t u r n - l i o u v i l l e p r o b l e m s p h ，d d i s s e r t a t i o n ，n e wy o r ku n i v e r s i t y ，n e wy o r k ，( 1 9 7 2 ) 【8 】g m l g l a d w e l l ，i n v e r s ep r o b l e m si nv i b r a t i o n m a r t i n u s n i j o f f ：d o r d r e c h t ，t h e n e r t h e r l a n d s ，b o s t o n ，m a ，1 9 8 6 【9 】s e l h a ya n dy m r a m ，a na f f i n ei n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m ，i n v e r s e p r o b l e m ，2 0 0 2 ，18 ：4 5 5 - 4 6 6 【1 0 】 a k i r s c h ，a ni n t r o d u c t i o nt ot h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo fi n v e r s e p r o b l e m s ，s p r i n g e r v e r l a gn e wy o r k ，1 9 9 6 【11 】 mt a d ia n dw c a i ，i n v e r s em a t r i xe v a l u a t i o nf o rl i n e a rs y s t e m s i n v e r s ep r o b l e m ，2 0 0 1 ，1 7 ：2 4 7 2 6 0 【12 】v b a r c i l o n ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es o l u t i o no fi n v e r s ep r o b l e m f o rav i b r a t i n gb e a m ，i n v e r s ep r o b l e m l 9 8 7 ，3 ：181 1 9 3 【13 】k t j o s e p h ，i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mi ss t r u c t u r a ld e s i g n ，a i a a j o u r n a l 1 9 9 2 ，3 0 ：2 8 9 0 2 8 9 6 【1 4 】s f r i e d l a n d ，t h er e c o n s t r u c t i o no fas y m m e t r i cm a t r i xf r o mt h e s p e c t r a ld a t a ，j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n d a p p l i c a t i o n s ，1 9 7 9 ，7 1 ：4 1 2 4 2 2 【15 】x i y a nh u ，l e iz h a n g ，f u z h a oz h o u t h ei n v e r s ee i g e n v a l u e p r o b l e mo fs y m m e t r i co r t h o s y m m e t r i cm a t r i c e s j 】m a t hn u m e r s i n i c a ，2 0 0 3 ，1 【16 】y a n p i n gs h e n g ，d o n g x i ux i e t h es o l v a b i l i t yc o n d i t i o n sf o rt h e i n v e r s ep r o b l e mo f a n t i - b i s y m m e t r i cm a t r i c e s j 】 j o u r n a lo n n u m e r i c a lm e t h o d sa n dc o m p u t e ra p p l i c a t i o n s ，2 0 0 2 ，2 ：111 1 2 0 【17 】 f u z h a oz h o u ，x i y a nh u ，l e iz h a n g ac l a s so fi n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m sf o ra n t i s y m m e t r i co r t h o a n t i s y m m e t r i em a t r i c e s j 】 m a t h e m a t i c si np r a c t i c ea n dt h e o r y ，2 0 0 4 ，2 【1 8 】a b j s r c k ，s h a m m a r l i n g as c h u rm e t h o df o rt h es q u a r er o o to fm a t r i x l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ，1 9 8 3 ，5 2 5 3 ：1 2 7 1 4 0 【19 】p l d a v i e s ，n j h i g h a m as c h u r p a r l e t ta l g o r i t h mf o rc o m p u t i n g m a t r i xf u n c t i o n s s i a mj m a t r i xa n a la p p l ，2 0 0 3 ，4 6 4 4 8 5 【2 0 】j b k e l l e r ，i n v e r s ep r o b l e m ，a m m a t h m o n ，19 7 6 ，8 3 ：10 7 118 【2 1 】l l i n ，z y l i u o nt h es q u a r er o o to fa nh m a t r i xw i t hp o s i t i v e d i a g o n a le l e m e n t s a n n o p e r a t r e s ，1 0 3 ( 2 0 0 1 ) ，3 3 9 3 5 0 【2 2 】h f a s s b e n d e r ，k d i k r a m o v c o m p u t i n gm a t r i x v e c t o rp r o d u c t sw i t h c e n t r o s y m m e t r i ca n dc e n t r o h e r m i t i a nm a t r i c e s l i n e a ra l g e b r a ， s i a m ，p h i l a d e l p h i a ，19 9 7 2 3 【2 3 】 w l e i t h e r e p o s i t i t v ed e f i n i t es o l u t i o n st ot h em a t r i xi n v e r s e p r o b l e m l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ，1 9 9