（理论物理专业论文）合作竞争网络与相继事件的研究.pdf

刘爱芬：合作竞争网络与相继事什的研究 中文摘要 本文首先介绍相关的基础知识，然后再介绍我的四部分工作。 第二章是大陆电影网络的实证研究，己在复杂系统与复杂性科学上发表。 本章对中国大陆近八十年的电影网络进行了实证统计。我们得到了度分，仿、平均 罡巨离和距离分布、项目度分布和点权的分布等十几种统计性质，并在电影m 络中 对它们进行分析。得到的结论是：用复杂网络来描述电影网，不仅能看到不同国 家电影网的共性，还订可能显示不同国家的电影网的不同个性。 本文第三章研究了用二分图描述的合作竞争网络中竞争能力对独特性的依赖 关系的实证调研，已在a r x i v 上发表。自然界中存在很多这样的系统，在这些系统 中基本单元在不停地合作与竞争。如果这些基本单元有自主意识，例如：社会上的 人或者机构，明确最佳的竞争策略对他们而言十分重要。我们考虑这样一类网络， 它的节点可以把输入的原材料加工成产品，让产品在市场上竞争市场资源。其中工 厂、大学和餐馆就是典型的例子。为了更好地研究这类网络，我们定量的定义了两 个参数：竞争能力和独特性。通过对1 5 个真实合作竞争网络的实证统计，我们发 现真实网络中竞争能力与独特性基本上遵循s p l 分布，也可近似地看作幂律分布； 同时也计算出这些真实网络竞争能力分布和独特性分布的异质性大小。这些实证研 究也让我们明白在这些合作竞争网络中，竞争能力和独特性显示出很不同的依赖关 系，这也提供了我们区别不同系统的新方法。 第四章介绍了对合作竞争网络的竞争能力和独特性非平庸关系的对比研究。 这章内容已经递交物理快报。对1 4 个合作竞争二分图网络的竞争能力与独 特性非平庸依赖关系进行了研究。研究结果显示：在大部分系统中，这种依赖关 三 扬 1 1 人! 学硕十。学位论文 系要强于平庸系统。然而，不同的系统，它的依赖强度也各不相同。其中有个 系统就显示了负相关依赖性。这也提醒我们，自然界中存在了这样一类特殊系统， 它越独特，竞争能力反而越弱。本章研究的重要成果是：物理学家可以定量地研 究社会科学家的提出的好的想法并能够取得全新的认识。 本文的第五章介绍我的近期工作，主要研究了相继事件过程中的相与相变。本 文把雪崩、相继故障等概念扩展和修证为相继事件。我们建立了三个模型，来说明 相继事件过程中的三个相、三种相变及其相应的特征规律。并尽可能地与一些实证 结论做了对比。这三个模型( 沙堆、逻辑斯蒂、流行病) 都是著名模型，但是我们 进行了大刀阔斧地简化和改造，使得它们能展示本章倡导的新意，并且极其简单地 解析得到关键的规律。 在此之外，我还参与了师兄、师姐的工作，分别在物理学报、c p l 上发表。 关键词 ：复杂网络、竞争能力、独特性、动力学模型、相继事件 刘爱芬：合作竞争网络与相继事什的研究 3 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h eb a s i ck n o w l e d g ew a sp r e s e n t e df i r s t l y t h e nm yw o r kw i l lb e p r e s e n t e di nf o u rp a r t s s e c t i o n2r e p o r t sa l le m p i r i c a li n v e s t i g a t i o no nt h em o v i en e t w o r kw i t h i nr e c e n t 8 0y e a r si nt h ec h i n e s em a i n l a n d w eo b t a i n e dt h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e s ，s u c ha st h e a v e r a g e dd i s t a n c e s ，d i s t r i b u t i o no fa v e r a g e dd i s t a n c e s ，a v e r a g e dc l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t s ， d i s t r i b u t i o no ft h e c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t s ，d e g r e ed i s t r i b u t i o n ，n o d es t r e n g t h d i s t r i b u t i o n ，a c td e g r e ed i s t r i b u t i o n ，a c ts i z ed i s t r i b u t i o n ，a n da s s o r t a t i v i t y s o m e a n a l y s e sh a v eb e e nm a d eb a s e do nt h es t a t i s t i c a ld i s c u s s i o n s t h ec o n c l u s i o ni ss t u d y w i t hc o o p e r a t i o n c o m p e t i t i o nb i p a r t i t en e t w o r kc o u l dd e s c r i b et h ec o m m o n n e s sa n d i n d i v i d u a l i t yo f d i f f e r e n tn a t i o n a lm o v i e n e t w o r k - i ns e c t i o n3 ，w ep r e s e n tt h e e m p i r i c a li n v e s t i g a t i o n so ft h ed i s t r i b u t i o n so f c o m p e t i t i o na b i l i t ya n du n i q u e n e s sa n do nt h eh e t e r o g e n e i t i e so ft h ed i s t r ib u t i o n s a n d t h i s s t u d yh a sb e e np u b l i s h e d o na r x i v t h es y s t e m sw h e r eb a s i ce l e m e n t sa r e s i m u l t a n e o u s l yc o o p e r a t i n ga n dc o m p e t i n ga r ec o m m o ni nn a t u r e i ft h ee l e m e n t sa r e a c t i v e , e g p e o p l eo ri n s t i t u t i o n si nas o c i e t y , i ti si m p o r t a n tf o rt h e mt ok n o wt h e o p t i m u mc o m p e t i n gs t r a t e g y o u rg r o u pq u a n t i t a t i v e l y d e f i n e dt w oq u a n t i t i e s ， “c o m p e t i t i o na b i l i t y a n d u n i q u e n e s s ”f o rak i n do fc o o p e r a t i o n - c o m p e t i t i o nb i p a r t i t e n e t w o r k s ，w h e r e p r o d u c e r s p r o d u c es o m e p r o d u c t s a n d o u t p u t t h e mt oa m a r k e t t om a k ec o m p e t i t i o n f a c t o r i e s ，u n i v e r s i t i e so rr e s t a u r a n t sc a ns e r v ea st h ee x a m p l e s t h ec o n c l u s i o np r o p o s e dt h a tap e r s o no ra l li n s t i t u t i o ns h o u l db ea su n i q u ea sp o s s i b l e t og a i nt h eh i g h e s tc o m p e t i t i o na b i l i t y i nt h i ss e c t i o nw ep r e s e n t e da na n a l y t i c a l c o n c l u s i o nt h a tt h ec o m p e t i t i o na b i l i t yw a sl i n e a r l yd e p e n d e n to nt h eu n i q u e n e s si nt h e t r i v i a lc a s e s w h e r eb o t ht h e “i n p u tq u a l i t y a n d “c o m p e t i t i o ng a i n o b e yn o r m a l d i s t r i b u t i o n s w ed i s c u s st h ea b n o r m a lc a s e sw h e r ec o m p e t i t i o ng a i n ss h o wt h e d i s t r i b u t i o n sn e a rt op o w e rl a w s i na d d i t i o n ，w ee x t e n dt h es t u d yo n t oa l lt h e c o o p e r a t i o n - c o m p e t i t i o nb i p a r t i t e n e t w o r k sa n dt h e r e f o r er e d e f i n et h e c o m p e t i t i o n 4 一 扬州人! 学硕一：。f t 论文 a b i l i t y t h ee m p i r i c a li n v e s t i g a t i o no ft h ec o m p e t i t i o na b i l i t yd e p e n d e n c eo nt h e u n i q u e n e s si n15r e a lw o r l dc o l l a b o r a t i o n c o m p e t i t i o ns y s t e m si sp r e s e n t e d ，14o fw h i c h b e l o n gt ot h eg e n e r a ln o n t r i v i a lc a s e s w ef i n dt h a tt h ed e p e n d e n c eg e n e r a l l yf o l l o w st h e s o c a l l e d “s h i f t e dp o w e rl a w ( s p l ) ”，b u tv e r yn e a rt op o w e rl a w s h e t e r o g e n e i t yi n d e x e s o ft h ed i s t r i b u t i o n so fc o m p e t i t i o na b i l i t ya n du n i q u e n e s sw ee m p i r i c a l l yo b t a i n e da r e a l s op r e s e n t e d i ns e c t i o n4 ，w ed i s c u s sc o m p e t i t i o na b i l i t yd e p e n d e n c eo nu n i q u e n e s si ng e n e r a l n o n t r i v i a lc o o p e r a t i o n c o m p e t i t i o nb i p a r t i t en e t w o r k s t h i sw o r kh a sb e e nr e v i e w e db y c p l w ee m p i r i c a l l yi n v e s t i g a t e dt h en o n t r i v i a ld e p e n d e n c eo ft h ec o m p e t i t i o na b i l i t y o nt h eu n i q u e n e s si n14g e n e r a lc o o p e r a t i o n - c o m p e t i t i o nb i p a r t i t en e t w o r k s t h e r e s u l t ss h o wt h a ti nm o s to ft h es y s t e m st h ed e p e n d e n c ei sm u c hs t r o n g e rt h a n t h a tin t h et r i v i a lc a s e s h o w e v e lt h es t r e n g t hi sv e r yd i f f e r e n tf o rd i f f e r e n ts y s t e m s t h e r ei s o n es y s t e m ，w h i c hs h o w sa “n e g a t i v e ”d e p e n d e n c e t h i sr e m i n d su st h a tas p e c i a lk i n d o fs y s t e m se x i s t sw h e r ei ti st h em o r eu n i q u et h ew o r s ef o rac o m p e t i t i o n ah e l p f u l h i n to ft h er e s e a r c h e sp r e s e n t e di nt h i ss e c t i o nm a yb et h a tp h y s i c i s t sc a n q u a n t i t a t i v e l y s t u d ys o m eg o o di d e a so fs o c i a ls c i e n t i s t sa n do b t a i n e db r a n dn e wu n d e r s t a n d i n g s t h el a t e s tr e s e a r c hw a sp r e s e n t e di ns e c t i o n5 ，w em a i n l yd i s c u s st h ec a s c a d e e v e n t s w eh a v ee s t a b l i s h e dt h r e em o d e l st oe x p l a i nt h r e ep h a s e sa n dt h r e ep h a s e t r a n s i t i o ni nc a s c a d ee v e n t s w ec o m p a r e ds o m ee m p i r i c a li n v e s t i g a t i o n sw i t hm o d e l s i na d d i t i o n ，id os o m ew o r kw i t hm ys c h o o l m a t e s m o s to ft h ep r o d u c t i o nh a s b e e na c c e p t e di n “c h i n e s ej o u r n a lo fp h y s i c s ”a n dc p l i k e y w o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ，c o m p e t i t i o na b i l i t y , u n i q u e n e s s ，d y n a m i c a lm o d e l ， c a s c a d ee v e n t s 刘爱芬：合作竞争网络与相继事什的研究 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研 究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表 的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 签字日期：年月 同 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。 本人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月日签字日期：年月只 ( 本页为学位论文末页。如论文为密件可不授权，但论文原创必须声明。) 刘爱芬：合作竞争网络与相继事什的研究 第一章基础知识简介 1 1 图论的基础知识简介 一、图论的重要性和发展 图论是公认的研究复杂网络的数学基础。虽然传统的图论不是以复杂网络的 动力学描述为目的，而且也远远不能满足研究复杂网络的工作者的需要，可足日 前还没有更好的工具。图论经过几百年的发展，研究成果博大精深。现住我只足 简单介绍一些对于复杂网络研究最主要的图沦知识。 现在大家普遍认为图论是从1 7 3 6 年著名数学家欧拉研究哥尼斯( k o n i g s b e r g ) 七桥环游的问题开始的。图1 1 显示了哥尼斯堡被河流分割的四个区域，出河上的七 座桥相连接的地理情况。问题是：是不是可能存在一条路径，人可以走遍这四个区 域，而且能把每座桥都走一次并只走一次? 这就是我们常玩的“一笔画”的游戏， 在。图论中这称为“连绘图”问题。欧拉就把每一个地区抽象为一个点，这就称为图 的节点( 英文为n o d e ，也称“结点”，v e r t e x ) ，每一座桥抽象就为两个节点之间的一 条边( 英文为e d g e ，也称“链接”，l i n k ) ( 图1 1 ) 。欧拉做了这种简化，可以完全 解析地证明了像这样的一次遍历七座桥的路径根本就不存在。 c d l 图1 1 欧拉的图( 引自文献【1 】) 6 扬州人学硕f j 学位论文 在2 0 世纪5 0 年代之前，图论研究主要是用人的日艮睛看图，凭人的脑子分析， 然后进行证明的方法。用这样的方法研究的图恐怕最多只有几百个节点。除哈密 顿问题之外，传统图论主要研究的内容还包括着色问题、赋权图中最短路径的问 题、连通性的问题和匹配问题等等，取得了丰富的严格解析成果。1 9 5 0 年后，随 着计算机的发明，图的矩阵描述引起了广泛的关注。这种方法可以用来研究规模 更大的图( 也可称嘲络) 。这样，用图来描述诸如电力网、交通网、通讯网等超大 规模实际网络的问题就提上了r 程。伴之而来的问题是：大规模实际网络的主要 特性是什么? 显然，这些实际网络并不是严格规则的。那么，它们是否呵能用完 全随机产生的图来描述呢? 如果可能，完全随机的图如何进行解析? 这是2 0 世纪 下半世纪图论的毛要研究问题。 由匈牙利数学家额尔多斯( p a u le r d 6 s ) 和任易( a l f r e dr 6 n y i ) 提出的e r 随 机网模型以及他们作出的杰出解析结果【1 1 代表了这一时期图论研究的最高成就和 主要潮流。他们提出的e r 随机网模型如图1 2 所示。在每个时| 、口j 步，在由n 个 节点构成的一维图中以确定概率p 随机选择其中的两个节点连接一条边，如此演 化形成一个随机网络。额尔多斯和任易解析地得到了这个随机网模型的许多重要 拓扑性质。 瑶l o - 图1 2e r 随机网的模型( 文献 1 】) 刘爱芬：合作竞争网络与相继事f ，j ：的研究 w a t t s 和s t r o g a t z 在1 9 9 8 年在n a t u r e 上发表了一篇影响很大的论文【2 】他们 提出了小世界网络模型，并举例子说明许多生活中的实际网络都具有所谓的“小 世界性”，也就是比规则网小的多的平均距离和比随机网大的多的集群系数。之后， b a r a b a s i 和a l b e r t 在1 9 9 9 年在s c i e n c e 上发表了同样影响也很大的论文【3 1 ，提出 了无标度网络模型，并举例说明许多实际网络都具有所谓的“无标度性”，即遵循 幂函数的度分布。这两项伟大成就使人们认识到：大量的真实网络既不是规则网 络，也不是随机网络，而是具有与两者皆不同统计特征的复杂网络。同时，他们 首先把统计物理学的思想、方法和工具引入了网络研究，从而带动了一大批物理 学工作者进入了复杂网络研究领域，开创了图论研究的新时代。 从图论发展的历史可以看出：与微积分和原胞自动机完全不同，图论从一开 始就不是为了作为动力学工具而创造的。传统的图论只研究平面( 或二维曲面) 上的一些点及其关系的拓扑性质，可以对应许多实际问题，但却都是静态的。虽 然经过几百年来的发展，这一条还没有能够根本地改变。目前复杂网络的研究热 潮席卷全世界，各人有不同的目的。希望把网络作为复杂系统运动学和动力学描 述工具的人面临着改造图论的任务。幸运的是，已经有一些探索图论作为复杂系 统运动学和动力学描述工具的研究成果问世。 二、图的一些基本概念 1 、二元关系 在数学中，两个元素之间的相互关系叫二元关系。现在介绍有序对( 口，b ) ，它 表示有顺序的二个事物的排列。如果a 、b 为二集合，并且a 彳，b b ，那么所 有( 口，6 ) 有序对的集合称为a 和b 的“有序积”。那么有序积的任何一个子集称a 到b 的一个有序二元关系。 扬州人学硕+ 学位论文 2 、图的定义 我们所讨论的图不是几何学中简单的图形，而是客观世界中某些具体的事物 问相互联系的一个数学抽象，就比如欧拉把七桥问题抽象为四个点、七条边的这 种图。用顶点代表事物，用边表示各事物之问的二元关系，如果事物之i h j 有某一 种二元的关系，我们就可以把相应的顶点连成一条边。这种有顶点和连接这些项 点的边所组成的图就是图论中所研究的图。把图记为g = c v ( c ，e g 渺，w q 是图g 的节点集合，而e 是图中边的集。节点的个数称为此图的“阶”，边的个数称 为“边数”。综上所述，图是对系统中基本单元( 称为节点) 的集合，以及每两个 基本单元之问的关系( 也就是边) 集合之间关系的描述。 3 、图的基本性质： 现在简单介绍图论中和复杂网络联系紧密的基本性质。 ( 1 ) 相邻：同一个节点指向其它不同的节点的边称为这个节点的“邻边”。同一 条边相连的两个端点互称为“邻点 。 ( 2 ) 顶点的度：图g = c v c g ) ，e 阳缈中，若节点v v ( g ) ，则在g 中与1 ，顶点联结 的边数，称为节点1 ，在g 中的度，记为d e g ( v ) 或七( y ) 。度为零的顶点称为孤立顶点。 不难知道，y 七( v ) = 2el ，其中iei 为图g 中的边数。 ：乏 ( 3 ) 最短道路长：给定连接若干城市的公路( 铁路) 网，找一条给定城市之间 的最短公路( 铁路) ，这是一个极为普通的实际问题，也就是最短路径问题。“图 g = ( v ( g ) ，e ( g ) ) 中一个节点与边的交替序列 ：设 “= v o e l v l e 2 k 一。巳( 1 f ，z 时边乞两端的端点是u - l ，k ) ，这条序列称为g 中的一条 “路径”( 或称途径) 【4 1 。中问的k 称为途径的起点和终点，而路径甜中的边 数称为此路径的“长”。若路径u 中的边e 。、e ：、e 川、e 。都不同，就称u 是g 中 刘爱芬：合作竞争网络与相继事1 j ，i ：的研究 9 一 的一条“道路”。其中1 ，。，。之间的那条最短的一条道路称为“最短道路”。而最短 道路长就称作“距离”，记为d ( v 。，v 。) 。如果图g 中节点v 。，v 。间没有道路，那这两 点之问的距离d ( v 。，) = ，就表示此路不通。图g 任何两点之间都有距离，“而其 中最大的距离就称为图g 的“直径”，记为d i a m ( g ) = m a x d ( v o ，) k 训g ) ) 引。它 是图g 中相距最远的两节点间的最短道路边数。关于某一个顶点v o 到连通图g 的 各个顶点的最短路的有效算法有很多。“算法是指一组有序规则，它能准确告知， 为解决给定的问题，何时应做何种操作”i s 。 三、图的分类 l 、完全图：每一对节点间都有边连接的简单图或是简单子图称为“完全图”。 完全图中所有的节点数称为它的“阶”。，z 阶完全图记作k 。，它有q = 三甩( ，z 1 ) 条 边。 2 、二分图：若可以把图g 中的节点集合矿分割成两个互补的节点子集，那 么我们称g 为“二分图”。对于复杂网络，我们通常只研究不同类节点之间的连 边。下面就介绍隶属网与合作网，二分图的传统投影。用二分图来描述的一种网 络称为“隶属网 。其中的一类节点是参与某种组织、事件或者活动的“参与者”， 譬如演员、科学家等；另一类节点是它们所参与的组织、事件或者活动( 一般称 为“项目”) ，例如演员演的影片、科学家写的科学论文等等。最近，隶属网中“合 作网络”( 即网络中任意两个节点间的连边只用来表示节点间的合作关系，把节点 间的其它任何关系，例如竞争、支配等都忽略掉了) 引起了很大的关注。在这类 网络的研究中，我们更加关心的是同一类节点间的相互合作的关系，就比如电影 中演员之间的合作关系、科研工作人员在写论文过程中的合作关系等。我们就把 卫 扬州人学硕 学何论文 二分图向某一类节点( 一般是表示参与者的节点) 投影，就得到单模式网络。每 个项目的所有参与者之间都有表示在该项目中有合作关系的边，每个项目在投影 图中就能表成一个完全图，所以整个单模式网络就是完全图的集合。像这样表示 项目的完全图就被称为“项目完全子图”。 图l - 3 二分幽及具投影的简幽 图1 3 是二分图和它投影的简图。上面的方点表示项目，下面的圆点就表示 项目的参与者。它们之间的边属于二分图，同类之间的边属于向参与者的投影图。 “每一条投影图中的边是相应的两条二分图边向下投影形成的”【4 1 。我们一般不 考虑多重边。 1 2 复杂网络的研究背景和基础知识简介 一、复杂网络的研究背景 经典物理学比较接近我们周围的世界，所以更容易被人接受，好理解。在经 典物理学中的研究对象是运动物质，认为可以被分割为无限多个无限小，又在空 间连续分布的基本单元的集合。尽管各个基本单元时间的相互作用遵从已经被认 识的简单的、普适的基本法则，因此运用微积分工具就可以非常简明地表示一大 类客观体系运动变化的普遍动力学规律，并且可以用来准确地预言这些系统未来 的行为。 可是，在自然界中有大量不能用这种还原法讨论的系统。因为实际系统的基 刘爱芬：合作竞争网络与相继事4 1 的研究旦 本单元之间的相互作用涉及很多因素，这些因素之间又紧密联系，所以要用动力 学的知识进行讨论和解析，根本就行不通。就比如气象系统，长时间的精确预报 是不可能的。随着物理学的不断深入发展，很多物理学的分支前沿研究都涉及到 了这类很复杂系统。例如在经济领域，生物领域，社会关系领域等。对于这些系 统，我们好像就不能简单的用经典力学的方法来解决了。那么，是否应该寻找另 一种全新的方法来解决问题。除上面已经提到的系统之外，还有一类系统的基本 单元的“组织”会出现很多单个基本单元不会展现的性质，所以不能仅仅由单个 基本单元的性质来预言整体的丰富的集体行为。随着计算机性能的不断进步，很 多科学家认为要突破原来的限制，寻找捕i 述复杂网络和复杂系统的新方法和硼沦。 所以把物理学适删的领域推j 。到复杂网络i 1 引起了大家空前的兴趣。 二、复杂网络的基础知识 1 、介绍网络的统计性质：因为实际网络有随机性和确定性两大特征，而确定性的 规律或者说特征一般都隐藏在统计涨落中，所以对于复杂网络的各种统计性质的 描述显得十分重要。现在大家提出的网络的统计性质仅仅用来体现或者描述该网 络的统计性质，而对于我们研究的复杂网络，节点之间的连边往往代表了节点之 间的各种相互作用和关系，可以说以上的统计描述也包含了网络的动态变化。在 1 9 9 8 年后，复杂网络有了飞快的发展，大家统计的网络拓扑结构的性质也有很多， 现在简单介绍我以及我的合作者经常用到的网络统计性质。 ( 1 ) 节点的度以及度分布：度是对描述节点之问相互连接的情况，也能反映网络的 演化。节点的度定义为该节点的邻边的数目，度分布是网络中节点的度的概率分 布函数，记为p ( 七) ，表示网络中节点的度为k 的概率。近年来，大量研究显示， 许多实际的网络度分布遵从剧琵函数分布，它是介于指数函数和幂函数之间的一 扬州人学硕+ 学位论文 种函数形式。 ( 2 ) 平均距离：它是描述节点之间相隔远近的统计性质。两节点( i j ) 之间边数最少 的一条路径，那么这条路径上的边数就称为节点j 之间的距离。网络的平均距 离就是该网络中所有的节点对之间的距离的平均值，记为“ _ 丽嘉可否如。 ( 3 ) 集群系数：它描述坏和完全图的统计性质。通俗的说，就是节点的朋友是否还 是朋友。集群系数就是描述网络中节点的邻点是互为邻点的比例，记为： 3 = ( 。 ，( z 腩相口弦+ a k i a k j ) k j i 它表示网络中三角形的个数。如果节点i 和节点之间有边相连，口驴= 1 ；否则为0 。 口口称为网络邻接矩阵的矩阵元。节点的集群系数还可记为：c j = i 考与，i i ；表示 节点i 的度，以为与f 节点相连的节点之间的连边数目。集群系数越大，说明小集 团结构越明显。很多人认为集群系数和度有关系。 1 3 数理统计简介 就像开普勒三大定律来自第谷2 0 多年来观察的数据资料，任何知识都来源于 实践，并获得实证的支持。科学的过程总是先在实践中观察并记录实验数据，再 对数据进行处理和分析，从而得到隐藏在数据背后的统计规律，也就是我们所说 的物理规律。所以，任何一门科学的发展一定得从实证( 实验) 开始。对于复杂 网络的研究也不例外，最著名而且得到普遍认可的论文都是以大量的实证数据来 支撑自己的理论和结论。离丌实证系统，再好的物理想法也没有用。复杂网络的 实证调研包括很多步骤。从数据的搜集到数据的处理，而且还要在一大堆数据中 得到隐藏在背后的物理规律，所以有必要学习数理统计的基础知识。 。刘爱芬：合作竞争网络与相继事什的研究 在我们做实验的过程中，影响测量结果的各种偶然因素和人为因素都不可避 免，任何实际测量得到的结果与准确值都有一定的误差。在计算机发达的今天， 从网上下载数据显得更为方便快捷。所以如何得到可靠的数据，又如何去加工处 理数据都很重要。 1 、统计总体就是指所要研究的统计对象的全部个体。因为由于条件的限制， 我们一般只能在总体中按照一定规则来选取一小部分个体，这部分的个体就被称 为统计样本。好的统计样本的取值分布能够代表统计总体。我们希望对样本统计 和对全体统计应该能得到一致的结果。而且要求样本的个体能够相互独立，测量 时它们之间互不影响。如果能满足这两条要求，那么就称该样本为“简单随机样 本”。 2 、平均值：i = 专喜_ ，为直接测量得到的数据，为数据量( 也称为 样本数) 。 3 、概率：p ( x ) = n ( x ) n ，n ( x ) 为数据的数值是z 的个数，就是数据石出现 频率。 ， 4 、累计概率：数据按照大小排列以后，把尸( ) = n ( x j ) n 作为数值的 累计出现的概率。这样做能避免概率分布的平庸性，也不会减少数据量，最主要 的是累计后每个数据都包含着原来的数据，因此这样能减小涨落。但是累计后的 函数形式并不是我们想要知道的e ( x ) 分布的形式。所以推导这两个分布函数间的 关系很重要，但一般都很困难。 5 、幂函数分布： 很多人都认为大部分的系统的分布都是正态分布。例如某一地国家或地区的 兰 扬州人学硕l ：! 学位论文 人的身高分布。每个人的身高取值虽然都有各种相互独立的因素的影响，但都足 围绕着个平均值在波动。所以可以认为正态分布是由于各种原因，个体偏离平 均值所导致的分布。但是在1 9 9 9 年b a 模型 6 1 发表以后，很多实证研究都把“幂 律度分布”作为潮流。幂律度分布是指网络中节点的度分布遵循一个幂函数分布。 这是在开放的环境下，当某一个样本可以凭个人的努力程度来决定，那么它的测 量值的分布就会显示幂函数规律分布，就比如世界的财富分布满足幂函数关系。 幂函数规律是最最偏离j 下态的不均匀分布。它表示绝大多数的测量值都很小， 但也存在着极大的测量值( 虽然数量很少) 。有很多的自然现象的测量值分布都遵 从幂函数分布( 例如，例如世界河流的大小分布，大到宇宙中星球的尺寸分布都 遵循幂函数分布) ，所以研究幂函数分布十分重要。在本文中还要介绍“s p l 函 数分布，它表示为p ( x ) = o + 口) 。若口为0 ，s p l 函数变为幂函数；若口寸0 0 ， s p l 分布就接近指数函数。因此可以认为幂律和指数函数是s p l 分布函数的两个 极端情况o - 6 、累计函数如何还原成累计前的函数： 刚刚上面提到了累计可以减少涨落，但是需要解析地推导出累计前和累计后 的函数之间的定量关系。在复杂网络研究中，我们经常运用p a r e t o 累计分布( 又 称为大于等于累计) ，也就是户( _ ) = n ( x j ) n 。当jo d ，x 按照从大到 小的顺序排列，而且要求p 俐呵数据不存在明显的跳跃，p a r e t o 累计分布可以近 似地写为p ( x j 气) = ，p ( x ) d x ，式中有p ( x ) = 刀( x ) n 。若不累计的分布函数 j p ( x ) 芘石一，是幂函数，由上面的积分可得到累计后的分布函数p ( _ ) = x ，一7 ”， 这也就是说它们遵循的都是幂函数关系，只不过幂指数相差了1 。若累计前的分 刘爱芬：合作竞争网络与相继事件的研究堕 布p ( x ) o ce 。7 4 是指数函数分布，由上面的积分可得到累计后的函数分布 p ( x j x i ) = p 。7 一，也就是累计自仃后它们遵循同样的指数函数分布，且指数相同。 那我们来看最普遍的s p l 分布函数p ( x ) = ( x + 口) 一，同样可以由上面的积分得到 累计后的函数分布p ( x ，x i ) = ( x + 口) 。+ 1 ，也就是说它们都是s p l 分命函数，而 且参数口相同，幂指数五相差l 。以此类推，我们一般都能得到累计分布函数和 原来不累计分布函数问的定量或定性关系。但是，以上的累计都要在样本数据足 够大时，误差才会小。不管怎么样，把从积分近似得到的累计函数还原成不累计 的函数形式都只能是一种估计、猜测，它的正确性和准确性还需其它方法说明或 者检验。如果是j 下相关用小于等于累计；如果负相关，且不累计的幂指数小于1 ， 则用大于等于累计。 1 4 复杂网络上的传播动力学 复杂网络上的传播的规则和动力学的分析研究已经有很多。例如有流行病的 传播，计算机病毒在网络士的传播，还有电方故障等在大规模网络上的传播导致 停电事故等等。它们的传播行为是否服从某种规律? 而我们又怎么样去描述这些 行为呢，又怎样找出对这些行为的控制或者说是利用的方法。这些都是科研学者 一直想要解决的问题。以前对网络传播的模型大多数是在规则网络上进行的。现 在主要介绍几种常见的模型和结论。 首先，流行病的s i r 和r i s 模型先不介绍，在后面的第四章将具体介绍。要 研究流行病的传播，就应该对疾病在什么样的网络中传播建立模型，这样才能找 到这些疾病的真实传播规律并找到控制这些疾病的的方法。我们可以借用数学建 模方法来研究网络中疾病的蔓延，流言的扩散、计算机病毒在网络上的流行等等。 在以往的模型中，都把将健康的人和生病的人放在网络的格子中国定不动， 1 6 扬州人学硕：l ：学位论文 他们之间的传染是通过连边进行的。有边相连的节点之f a j y j 能相互感染，没有边 相连就不能感染，而且人在格子中( 网络) 不能随便游走。如果一个节点在网络 中孤立节点，那么就永远不可能被传染，这显然和实际不太相符和。如果a 用来 表示疾病的传染率，很多研究都得到以下结论：流行病传播的传染率五有阈值为 l 。若a 小于如的时候，疾病不容易传染，感染的人数很少；而当五大于如时， 疾病比较容易传播，会有很大的感染人数】。基于以上的分析和结论，科研人员 就把疾病在不同种类的网络中的传播的阈值作为研究的重点。 1 5 连续相变和临界现象 艾伦费斯特在上世纪3 0 年代提出了相变的分类，认为相变可以分为两类。一 类就是一级相变，另一类是二级相变( 又称为连续相变) 。现在简单介绍这两类相 变的含义。一级相变是指“在相变点，两相的化学势相等，但化学式的一级偏微 熵不等于零”【9 1 。其中的化学势是l m o l 物质的吉布斯函数。二级相变是指在“柏 变点，两相的化学势和化学势的以及偏微熵都相等”【9 1 的相变。在一级相变相变 点附近，系统的状态会发生阶跃，或者称为突变，譬如：晶体晶格的结构的变化。 在二级相变的相变点附近，系统的宏观状态就不会发生跳跃式的改变，它的变化 是连续的。所以我们又二级相变为连续相变，就譬如水的三态的变化中的气体 液体的相变就是二级相变，我们就把在二级相变相变点附近叫做临界点。 一般而言，对于二级相变，我们引入了“序参量”这个物理量。序参量的选 择应该满足以下的条件：在无序相中，也就是对称性很高的相，我们的序参量应 该为0 ；在有序相中，也就是对称性比较低的相，我们的序参量应该不等于0 。当 系统从有序相连续变化到无序相时，序参量就会逐渐地向0 趋近。序参量由不同 的物理系统的相变类型决定，所以也会有不同的类型。有些相变的序参量很容易 刘爱芬：合作竞争网络与相继事f ，1 的研究 定义，有些相变的序参量就很复杂，不是很容易定义的。序参量在二级相变的相 变点附近是连续变化的，不会有突变的行为。 下面再介绍如何用平均场理论来研究连续相变：首先定义一个量可以表示从 “相对无序”向着“相对有序”渐变，也就是其值可以从0 向不等于0 的值变化， 我们称之为序参量。然后把系统的基本单元问的相互关系和作用以及系统外界的 干扰都看做平均场。接着就分析以上定义的驱动量在相变点是否连续，判断是一 级相变还是连续相变。最后，就把近似的平均场的化学势对驱动量进行展开，讨 论序参量对驱动量的函数关系式，其中最重要的是标度因子的研究。 扬州1 人。学硕十! 学位论文 第二章中国大陆电影网络的实证统计研究 2 1 研究背景 1 9 9 8 年，w s 小世界网络【2 】以及b a 无标度网络【3 】这两篇文章发表后引起了各 个科学领域都掀起了研究复杂网络的高潮【6 , 1 0 - 1 1 】。可以说这两篇文章具有，下创性的 研究意义。这两篇经典文献，都把好莱坞电影演员( 合作) 网作为实证例子，由此 可见，电影演员( 合作) 网是十分重要一个的实证系统。文献 1 2 1 ，主要研究了好莱 坞电影演员合作网的小世界特性，即相对于规则网络它具有更小的平均距离以及 相对于随机网络它具有更大的集群系数。而文献 1 3 】，主要研究了好莱坞演员合 作网的无标度特性，即它的度分布遵循幂函数规律。然而，目前除了平均距离和 集群系数之外，大家提出的而且公认较为重要的网络统计性质不在少数，但是关 于好莱坞演员合作网统计性质的进一步研究似乎并不多。我们知道的只有对阐述 合作网特性的项目度分布和项目大小分布的研究1 4 , 1 5 】，一关于同类性，以及同类性 和项目度分布关系的研究【1 ( 上述统计参量的定义将在下面介绍) 。值得注意的 是：赫南、淦文燕、李德毅、康健初在2 0 0 6 年报导了对中国( 包括大陆、香港、 澳门、台湾) 演员合作网的实证研究【15 1 。他们的数据来自m t i m e 网站，包括2 2 6 2 个演员。文献 1 5 】非常有特色。除了对中国演员合作网的规模发展和连通性演化 的研究之外，文献 1 5 】着重报道了对网络群落( c o m m u n i t y ) 以及对群落进行逐级骨 干简约的研究结果。这篇论文成功地让我们看n - 用复杂网络描述影片和演员， 不但可以看到不同国家电影网的共性，也有可能显示不同国家电影网的不同个性。 自然，一篇论文不可能包罗力象，文献 1 5 未能讨论上述的各种传统统计性质。 唯一涉及的度分布统计也由于在双对数坐标平面上列出的数据点显示比较大的涨 刘爱芬：合作竞争网络与相继事1 i ，i ：的研究 旦 落，因而不能确定度分布遵循的确切函数关系。因此，我们感到有必要撰写本篇 论文，对文献【1 5 在这个方