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正交异性双材料反平面界面端应力场分析 中文摘要 随着科技的不断发展，复合材料以其优越的性能，广泛应用于生产、生活的各个领 域。从日常生活经验中，我们知道：复合材料作为一种结合材料，它的破坏往往是从结 合处或界面附近首先发生的。因此，界面端的分析对结合材料的强度和可靠性评价具有 重要意义。在对复合材料界面力学的研究中，各向同性双材料界面端的应力场研究已取 得了一些重要的研究成果n 。近期，关于正交异性双材料界面裂纹尖端没有振荡奇异 性的应力场研究也取得了一些成果，但是对于正交异性双材料反平面界面端应力场 这方面的研究还很少。 本文对正交异性双材料反平面界面端问题进行了研究。通过复合材料断裂复变分析 方法，构造特殊的应力函数，求解了一类偏微分方程组问题，研究了正交异性双材料反平 面界面裂纹，平板搭接界面端以及几类特殊界面端情况。主要研究工作如下： 1 研究了正交异性双材料反平面界面裂纹问题。结果显示：正交异性双材料反平面 界面裂纹尖端附近应力场具有，2 奇异性，但不具有振荡性，其特征值与两材料参数无 关，并推出了正交异性双材料反平面界面裂纹尖端附近的应力场、位移场以及应力强度 因子的表达式。 2 研究了正交异性双材料反平面平板搭接界面端问题。推导出平板搭接界面端裂 尖附近的应力场、位移场及应力强度因子的表达式。结果显示：上下材料参数比 差戮2 时，应力场没有奇异性：差器 2 时，应力场具有幂次奇异性，且随着 拿辫增长，奇异指数趋于一l 2 。 伤( 鳓j 2 3 研究了正交异性双材料反平面界面端问题。得到了对称界面端的特征方程。结果显 示：( 1 ) 当岛：0 2 = 砟时，奇异性指数大于l ，应力不具有奇异性：( 2 ) 当岛= 0 2 = 们时，对 于不同结合材料，奇异性指数随着结合材料参数的变化而变化。由所得结果可知，当 q = 岛5 等时，工0 ，各向同性双材料反平面应力不存在应力奇异性；当q = 0 2 詈时， a 疗，反平面应力奇异性指数和顶角呈线性关系，这与文献 1 5 1 所得结果是一致的。 得n t ! i e 对称界面端的特征方程。结果显示：( 1 ) 岛= 衫2 ，易= 一要时，l ( 0 r e l 1 ) 随材料参数比爱戮的增大而增大；当爱器无限大时，卫逐渐趋于o 4 ；随舍戮 的增大，a ( 以 r e , i 2 3 t h ep r o b l e mo fa l lo r t h o t r o p i cb i m a t e r i a la n t i p l a n ei n t e r f a c ee n dw a s s t u d i e d t h ec h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n o f s y m m e t r i c a l i n t e r f a c ee n dw a s d e r i v e d t h er e s u l ts h o w ：( 1 ) w h e n f i = 吃- - ，r 2 ，t h es i n g u l a r i t ye x p o n e n ta r e g r e a t e rt h a n1 ，s t r e s sh a sn os i n g u l a r i t y ；( 2 ) w h e nf i - - 0 2 - - 万4 ，c o m b i n a t i o no f m a t e r i a l sf o rd i f f e r e n t ，t h es i n g u l a r i t ye x p o n e n tw i t ht h ec o m b i n a t i o no fm a t e r i a l p a r a m e t e r sc h a n g e t h eg r e a t e rd i f f e r e n c eb e t w e e nt h em a t e r i a lp r o p e r t i e so f 等，t h e s t r o n g e r s i n g u l a r i t y f r o mm er e s u l t s w ek n o wm a tt h e 姗s o f a n t i 。p l a n ei s o t r o p i cb i - m a t e r i a ih a sn os i n g u l a r i t yw h e n q = 吼三，川；a n d 工 三t h e r e s u i t sa r ec 。n s i s t e n tw i t ht h el i t e r a t u r e 【15 】t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no fa s y m m e t r i ci n t e r f a c ee n dw a sd e r i v e d t h e r e s u i ts h o w ：( 1 ) w h e nq 2 叫2 ，2 - - - ；，a ( 。 r e 2 1 ) i si n c r e a s i n g w i t h 爱笼赘 i n c r e a s e s ；w h e n t h e 羰i n f i n i t e e d ，a i s 仃e n d i n g t oo 4 w i t ht h e 差羰( - 2 r e 2 0 ) i n c r e a s e 洲i s 仃e n d i n g t o - 1 a sc a l lb es e e n ，t h e m a t e r i a l1i ss o l i d e rf a rt h a nm a t e r i a l2 t h ei n t e r f a c ee n dh a sn os i n g u l a r i t y ( 2 ) f i = 衫2 ，吃= 一了3 x t h es t r e s sf i e l d so f d i s s i m i l a r 。r t h 。t r 。p i cc 。m p o s i t em a t e r i a i s i v h a v ep 。w e rs i n g u l a r i t y , b u tw h e nt h em a t e r i a lp a r a m e t e r s r a t i 。f 勰 i n c r e s e d ，c h a r a c t e r i s t i cv a l u eo f 丑i st r e n d i n gt o 一1 t h e s er e s u l t ss h o wt h a ti n t e r f a c es t r e s s s i n g u l a r i t y o n o r t h o t r o p i c b i m a t e r i a l so fa n t i - p l a n ew i t ht h ep o w e rs i n g u l a r i t y , - 1 2s i n g u l a r i t ya sw i t ht h e s i n g l ep l a n eo rh a sn os i n g u l a r i t y t h er e s u l t s w i l lb ee x t r e m e l yu s e f u lt o s t r u c t u r a ld e s i g n ，a n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n ，m a k i n gd u ec o n t r i b u t i o nt ot h e t h e o r e t i c a ls t u d yo fi n t e r f a c em e c h a n i c sa n dc o m ei n t ob e i n gi m p o r t a n te f f e c t st o m o r ed e v e l o p m e n ta n dg e n e r a l i z i n ga p p l i c a t i o no fc o m p o s i t em a t e r i a l s k e yw o r d s ：c o m p o s i t em a t e r i a l ；o r t h o g o n a l i t y ；a n t i p l a n e ；s i n g u l a r i t yi n d e x ； i n t e r f a c ec r a c k ；i n t e r f a c ee n d v 声明尸口明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 作者签名： 侈冉r q - 一 日期：型金盈尘囱塑望 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原科技大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件、复印 件与电子版；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存 学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交 流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 作者签名：兰小r 日 铷繇么妣 日期碰塑丝旦 日期：趔纽盟 第一章绪论 第一章绪论弟一早三百v 匕 1 1 课题提出的背景及意义 2 0 世纪4 0 年，因航空工业的需要，发展了玻璃纤维增强塑料( 俗称玻璃钢) ， 从此出现了复合材料这一名称。5 0 年以后，碳纤维、石墨纤维等增强复合材料相继 问世，已经成为众多产业的必备材料。我们把两种不同或者相同的材料，利用某种结 合方法连接在一起使用的结构或组合材料称为结合材料，其结合部称为界面。由两种 不同性质的材料沿界面结合在一起，称之为”双材料 。但是，在界面处往往存在缺 陷，这些缺陷( 裂纹、夹杂等) 会导致结合强度的低下，而且会因界面的存在而引发应 力集中并产生残余应力等，使界面附近的材料处于较高的应力水平，最终造成材料强 度降低或结构的破坏。因此，随着多相物质组成的新材料在工程上的应用增多，迫切 需要解决界面断裂问题。 结合材料问题有两个特殊的现象，即界面端应力奇异性以及界面裂纹尖端 的振荡应力奇异性。应力奇异性通常出现在裂纹端部以及两种材料的界面处。 目前，许多研究者对于界面裂纹的强度问题进行了大量的研究，关于单材料的裂 纹研究已经有非常成熟的理论和方法。而双材料的出现，使界面裂纹表现出许多 不同于单材料裂纹的奇特性质。各向同性双材料的界面断裂力学研究正趋于成 熟，但仍存在裂纹尖端处裂纹面相互嵌入现象、应力具有振荡奇异性等问题。因 此，对于界面端以及界面裂纹的应力奇异性作更深一步的研究，尽可能的避免较 强应力奇异性的出现，是提高材料强度的有效方法，并且研究界面端应力奇异场 将其作为评价界面端强度的依据有着重要的现实意义。 1 2 复合材料发展概述 复合材料( c o m p o s i t em a t e r i a l s ) ，是以一种材料为基体，另种材料为增强体组 合而成的材料。复合材料保留了组分材料的主要优点，各种材料在性能上互相取长 补短，还可以产生组分材料所没有的一些优异性能，使复合材料的综合性能优于原组 成材料从而满足各种不同的要求。 由于复合材料具有密度低、比模量高、可设计性强、热稳定性好等优良性能， 复合材料的应用领域应用非常之广。其主要应用于航天领域、汽车工业、化工 和机械制造领域、医学领域等。此外，复合材料还用于制造体育运动器件和用作 建筑材料等，推动了复合材料工业的进一步发展。 正交异性双材料反平面界面端应力场分析 1 3 界面端的研究 1 3 1 双材料界面裂纹尖端应力的奇异性和振荡性问题 在弹性学范畴内，应力在某点趋于无穷大的特性称为应力奇异性，而该点则被称 为奇异点( 奇点) 。在界面上的奇异点附近，应力和位移可统一地描述为u 引： 勺：兰尝驴兰妒如( 缈 ( 1 1 ) 式中，r 为离奇异点的距离。屯为第k 个特征值，由奇异点附近的几何形状和被结合 的材料特性决定。一般只考虑0 r e 五 7 r 2 ，0 2 o 部 分为第一种正交异性复合材料，其材料工程常数为( ) 。( g 3 。) ，而y 0 ，y ：0 为材料粘接界面。y 0 部分为第一种正交异性复合材料， 其材料工程常数为( g b ) 1 ，( c 3 1 ) l ，而y 2 时，有 2 ( 1 一r ) s i n 2 ( 警+ f = 0 ( 3 1 5 ) 考虑到界面端裂尖附近可得： _ , = - - 2a r ci ne 上(316)arcsin , 4 莉 u 此种情况，正交异性双材料反平面平板搭接界面端应力存在幂次奇异性。 由式( 3 1 6 ) 可以看出，a 随材料参数的不同而变化。图3 2 给出了特征值2 随材料参 数比r 变化的关系图。从图3 2 可以看出，随着材料参数比r 的增长，应力奇异指数 趋于专 r 图3 2a 随r 的变换图 f i g 3 2t h et r a n s f o r m a t i o nc h a l to faw i t hf 2 1 正交异性双材料反平面界面端应力场分析 由式( 3 1 3 ) 、( 3 1 5 ) 可得 ， 6 2 3 4 应力场和位移场 场为 由式( 3 1 1 ) 、( 3 1 2 ) ( 嘞= ( q 5 5 ) l 警= ( q 5 ，) l r 2 ( 6 2 为自由变量) ( 3 1 7 ) ， ( 3 1 7 ) 正交异性双材料反平面平板搭接界面端应力 ( q 5 5 ) l 角2 + 1 ，1 【c o s 仍( a + 1 ) a l + s i n c l ( 2 + 1 ) 岛】 q + 唑壁竖# 塑型岛】 ( 9 5 ) l 矿1 ，l c o s 州+ 1 ) 州以) + s i n q 、( 川) 【l _ 。1 ii c s c 2 ( 警) 】 岛 ( 9 5 ) l 向“1 ，1s 卿( a + 1 ) c o t ( 宄曩) ( a + 1 ) 【l 一 ( 等) 】 岛 一 - j c 协咆5 ) 2 等尥，) 2 r 2 【唑坐笙掣壁坐吃+ = ( 珐5 ) 2 p 2 1 + 1 ，1 【c o s 讫( a + 1 ) a 2 + s i n 讫( a + 1 ) h i = ( 珐5 ) 2 p 2 “1 ，1 c o s 9 2 ( 2 + 1 ) t ( 砝) + s i n 讫( 2 + 1 ) 】岛 ) l = ) l 篙= ) l 1 ) l2 ) l 高2 ) l + ( 3 1 8 ) 鲤型遂孥型6 2 】 2 f v 2 j q 】 = ( 翻4 ) l 向2 r 2 【一s i n0 c 。s 妒1 2 + 嘶c 。s 0 s i nn a 】口l _ i s ic 。s 0 c 。5 竹a + s i n0 s i n 竹a 】6 l ( 3 1 9 ) = ( q “) i a 2 r 2 - s i n 0 螂缔a + 卸c o s 口s i n n 棚t ( 砝) 一【卸s 口c o s 钮2 + s i n o s i n n 棚【l j 1c s c 2 ( 争】) 如 ( 3 2 0 ) ( k ) 2 = ( 篙：( ，【丝塑型2 竺竺簧竺坐业2 型- - 吃 生竺型尝磐堕型巫型笪竺。一2 j = ( q 4 4 ) 2 几2 r 2 “一s i n 0 c 。s 伤五+ i s 2c o s 0 s i n 妒2 2 a 2 一 i a 2c o s 0 c 。s 9 2 a + s i n 0 s i n a 】6 2 堕2 迦 ，l 丑 2 z “ 似 跚 叹 髂 m一2 吨2 邓 一一吒 = = 岛 q ，l-_-【1-_【 第三章正交异性双材料反平面平板搭接界面端的应力场分析 = ( q ) 2 见a ， 【一s i n 0 c 。s ( 0 2 a + s 2c o s 0 s i n 晚加c o t ( 顽) 一 i $ 2 c o s 0 c o s q p 2 , 1 + s i n 0 s i n 9 2 9 b 2 ( 3 2 1 ) 位移场为： + 1 w l ( ，p ) = ! 舟【c 。s ( a + 1 ) 9 l 口l + s i n ( a + 1 ) 妒l 6 l 】 p s ( 五+ 1 ) 仇州哟“m + 1 ) l 一互1c s c 2 譬) 】) ( 3 2 2 ) j + 1 w 2 ( ，口) = ! 昝【c 。s ( a + 1 ) 妒2 口2 + s i n ( 五+ 1 ) 伊2 6 2 】 a + i = 嵴【c 。s ( a + 1 ) 9 0 2 c 。t ( 石a ) + s i n ( a + 1 ) 妒2 】6 2 ( 3 2 3 ) 3 5 应力强度因子的计算 定义k m = l i m ( 2 x r ) 。( k ) li o = o = ( 姥5 ) i ( 2 石) 。p ? + 1c o t o r 2 ) b 2 ，+ 0 账) l = ( 刎一+ l 嗍一s 嘶+ 1 觇删畦齑每) _ l 】) ( ) 2 - 杨器。噜尸。( 栅) 1 脚啪+ 1 娩“以+ 1 境c o l ( 硼 ( ) l =k 肼( 2 耵) 1 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 器 - s i n o c o s ( 锄) + i s l c o s o s i n ( w 】+ 【卸c o s o c o s ( + s i n 矧n ( 慨) 】 三- c s c2 ( 等) 一”c o t ( 石工) ) ( r o z ) 2 = k i n ( 27 r r ) ( q 4 4 ) 2 ( q 5 5 ) l ( p 2 ) 1 ( p i ) 1 + 1 ( 3 2 7 ) 【一s i n0 co s ( 2 q 2 ) + i s 2c o so s i n ( 2 ( 0 2 ) 一 i s 2c o soc o s ( 2 ( 0 2 ) + s i n0s i n ( g 妒2 ) 】c o t ( 石a ) ) ( 3 2 8 ) w 一= 鲁笼旱 【c o s m 帅一呲川，( p l c o t h 一c 剐 ( 3 2 9 ) w ：咖鲁字一p 0 2 。) , i + 1 m 刚川d p 2 + s i n m ，0 2 c o t ) 】( 3 3 。， 2 3 正交异性双材料反平面界面端应力场分析 3 6 结果分析 本文采用建立在z j 平面上的复变函数方法，研究了正交异性双材料反平面平板搭 接界面端问题，通过建立新的应力函数，问题最终归结为求解一组四阶齐次线性方程 组，给出了正交异性双材料反平面平板搭接界面端应力场、位移场以及应力强度因 子的解析表达式。结果显示：上下材料常数比f 2 时，应力场没有奇异性：r 2 时， 应力场具有幂次奇异性，且随着r 增长，奇异指数趋于一l 2 。 2 4 第四章正交异性双材料反平面对称、非对称界面端的理论研究 第四章正交异性双材料反平面对称、非对称界面端的理论研究 4 1 引言 前面我们研究了正交异性双材料界面端的两种特殊情况。界面裂纹尖端应力奇 异性以及界面端应力奇异性是目前较受关注的应力奇异性，其中以界面端应力奇异 性最复杂。界面端应力奇异性问题的研究起于7 0 年，b o g y 对双材料弹性平面界面端进 行了研究，得出双材料界面端存在应力奇异性，并指出界面端应力奇异性指数与双材 料参数( d u n d u r s ) 以及双材料楔形角有关系。基于二维弹性理论，很多学者对自由界 面端附近的奇异应力场进行了广泛的研究。大多数研究主要集中在固定的几何条件 下如何确定应力奇异性指数。当材料组合固定，如何通过改变界面端几何形状进而消 除应力奇异性，研究的还不是很多。本文采用复合材料断裂复变方法，对正交异性双 材料反平面对称、非对称界面端进行了初步的讨论，为工程实际的应用提供了理论依 据。 4 2 正交异性双材料反平面对称( 0 2 ：一岛) 界面端理论研究 4 2 1 力学模型 如图4 1 所示，x o ，y = 0 为材料粘接界面。y o 部分为第一种正交异性复合材料， 其材料工程常数为( g z o l ( g 1 ) l ，而y o 为第二种正交异性复合材料，其材料工程常数 为畅k 蚂1 ) 2 。 ， 娄蕊 4 乡1 图4 1 正交异性双材料界面端模型 f i g 4 1t h em o d e lo fi n t e r f a c ee n d t ot w od i s s i m i l a ro r t h o t r o p i cm a t e r i a l s 由弹性力学可知，控制方程为 ( 吼可9 2 w j + ( q 4 也等= 0 川)( q 5 5 ) ，可“q 4 也铲= 0 “产啦) 其相应的应力分量为 ( 4 1 ) 正交异性双材料反平面界面端应力场分析 ( r ，：) ，= ( q 5 5 ) ，孚o w ( 4 2 ) ( ) ，= ( q 5 5 ) ，寻 ( 2 ) ( f 疗，) ，：( q 。生(434) ) ( f 如) 2 ( q 4 j 斋 他j 位移分量为：吻= v j = o ，m = 叶 ，y ) ，u = l 2 ) ，和口为从裂纹边缘起度量的极坐标。 而常数( q ) ，= ( g 2 3 ) ，( 珐5 ) j = ( g 3 1 ) ，( 魄) ( g 3 l b 为剪切模量。 对于图4 1 所示的正交异性双材料对称( 0 2 = 一岛) 界面端，在极坐标下，界面连续条件 和自由边界条件可表示为： 0 = 0 ，( ) l = ( ) 2 ，= 屹 ( 4 4 ) 0 = 岛，( ) l = 0 ( 4 5 ) o = 0 2 = 一q ，( f e z ) 2 = o ( 4 6 ) 假设位移为w = w j ( x + s j y ) ，o + 勺) ，) 对固定的，是任一复变函数。 将w ，o + s ，y ) 代入控制方程( 1 ) ，得到特征方程 ( q 4 4 ) j s j z + ( q 5 5 ) = 0 ，( ，乩2 ) ( 4 7 ) 舣铲诋m 伤办一刮蕊邓一引4 1 ) 辆献稚棍骐螂奸 零的根如下： s j 2j 4 2 2 应力函数 = 泸_ ，( ，= l ，2 ) 娜：雨l ( 坐矿_ z j ；t + l _ 广i j x + i 。) 其中z j = x + s j y = r ( c o s o + s j s i n o ；， c 川 将式( 4 8 ) 、( 4 9 ) 入式( 4 2 ) 、( 4 3 ) 可得 b ：慨b 誓：慨矿 k 跏旆2 如酊洲柚a j + 竺! 竺竽掣巧】 2 6 8 劬 d 他 m 第四章正交异性双材料反平面对称、非对称界面端的理论研究 ( u 一，等；( 纰肭j rt b 岫s 砌r ( _ s 舢q 刚州乏- 刚呵舢r ( _ s 们+ _ 刚) a j + 丝业坐竺坐学虹型叠2 f 。，j 将式( 4 1 0 ) 、( 4 1 1 ) 代入界面连续条件和自由边界条件( 4 4 ) 一( 4 6 ) 可得一组关于( 口l ，a 2 ，6 i ，岛) 的四阶齐次线性方程组 a l a 2 = 0 ( ) 1 局6 l c o 。4 4 ) 2 h h = o ( _ 咖q 0 0 s 即一向c 0 s q 如q 岫+ 蝇c o s q c o s 伪五一如1 9 l 如竹呐= o ( 4 1 2 ) ( _ s i l l 吃0 0 s 哆一色0 0 s 吃s i n 脚娩+ 魄0 0 s 吃0 0 s 哆一如吃血吮魄2 0 其中如：岛 i ：t ：1 ( 4 1 2 ) 得a l = a 2 ，( 级4 ) i f l l b l = ( q 4 4 ) 2 尻b 2 ， 设l = 局( q 4 4 ) l ，2 = ( q 4 4 ) 2 2 为使该齐次线性方程组有一组非零解，则其系数行列式必须为零。 由此得到关于a 的特征方程式： ( 岛c o s 0 1c o s t p l i s i n0 1s i n ( p 1 2 ) ( s i n0 1c o s t p 2 1 + 卢2c o s 0 1s i nt p 2 1 ) 一_ p l ( f 1 2 一t p 2 c o s 0 1c o s 伊2 1s i n 0 1s i n 伊2 2 ) ( s i n 0 1c o s6 p l i + 岛c o s 0 1s i n ( p 1 2 ) ：0 ( 4 1 3 ) 一_ 一 + 岛 = 、1 一w 4 2 3 各向同性双材料应力奇异性分析 对于各向i 司性双材料，式( 4 1 3 ) 司以化为 1 ( 1 一二l ) ( c o s o c o s 0 1 一s i n 0s i n 0 2 ) ( s i n 0 c o s 觎- 4 - c o s os i n 觎) = 0 2 当心咆，式( 4 1 4 ) 化简为 2 c o s ( 1 + 五) 口s i n ( 1 + d o = 0 即s i n2 ( 1 + d o = 0 解得2 = 豸1 ( 门l ，2 ) 当1 9 l = 包= p 呈线性关系。 a = 丹一1 ，( 刀= 5 ：1 ，2 ) ，反平面界面端应力不具有奇异性。 2 疗，( 刀= 1 ，2 ) ，从图4 2 可以看出，反平面奇异性指数和顶角 图4 2 旯随0 的变化情况 f i g 4 2t h e t r a n s f o r m a t i o nc h a r to faw i t h0 以上所得各向同性双材料的结论与文献 1 5 中所得结果是一致的。 从式( 4 1 3 ) 可以看出，对称界面端的应力奇异性，不仅与界面端几何形状有关，也 与材料组合有关。如图4 2 所示，当材料常数一定时，2 受0 的影响而变化。可以看出， 特征值a 随角度0 的增大而增大。对于选定的某一特征值，式( 3 5 ) 就变成了关于届，岛 的二次方程，从而可以得到对应于该特征值的屈，废分布曲线。 4 2 。4 几种常见几何形状界面端的应力奇异性分析 1 当岛= 石，易= 一石时，即界面裂纹时的情况，将其代入方程( 4 1 3 ) 界面裂纹的特征方程可化为si n2 7 r 2 = 0 。 由第二章得到特征值为：a = 刀+ 1 ，l = - 1 ，- 2 z 2 当1 9 i = 衫2 ，吃= - a r 2 ，即直角界面端时，代入方程( 4 1 3 ) 可得 特征方程为：s i n 砝= 0 工：刀，刀= 0 ，1 ，2 当l 1 时，对应的应力在界面端附近趋于零，也就是几乎不存在应力集中现象。这 样有利于提高结合材料的强度。因此，这种几何形状的结合材料在工程中最为常用。 但是，即使是光滑的直角结合界面端，一般也具有应力奇异性。 2 8 第四章正交异性双材料反平面对称、非对称界面端的理论研究 ( lc o s 伊1 且一s i n 妒1a ) ( c o s 妒2a + p 2s i n 妒2a ) 一等( 声2c o s 妒2 卜“n 哪) ( c o s + 即i n ) - 0 其中吩= 蝴( p j t a n e j ) 局c 0 娟：k m 蝇) d s i l l ( a 咖( 角) 】 ( 窳稚畎地锄魄) + 晚s i n ( a 州) 句】 ( 4 1 6 ) c o s 雠加魄) d s 蛳魄) 珊c o s 汹：t a r 妫拗+ 岛s i i l 觚：t a n 蝇) 硼：o ( 4 1 7 ) q = 衫4 ，吃= 叫4 时，分别选取五= 一l ，i = - 0 8 ，i = - 0 5 ，i = - 0 3 ，得到四种情况下的角与恐 关系图。 如图4 3 - 4 6 ，从图中可知，材料特性( 堕) 相差越大，则奇异性越强。 ，l ，2 ，l 图4 3 反与恐关系图 f 嘻4 3t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n , 8 1w i t h 晚 芦2 ，i 图4 5 向与吃关系图 f i g 4 5t h er e l a t i o n s h i pb e t w