（运筹学与控制论专业论文）股票收益分布具有厚尾时的欧式期权定价.pdf

摘要 在1 9 7 3 年，b l a c k 和s e h o l e s 研究了股票价格的连续市场模型，并在该模型 的基础上得到了欧式期权的定价公式，从而使金融学的研究迈出了具有开创性的一 步。该模型以b r o w n 运动作为随机来源，相应地股票的收益率呈正态分布。在二十 世纪六十年代，f a m a 在实证研究中发现，股票收益率的分布与正态分布相比，具 有明显的“厚尾”特征。近年来，e b e r l e i n ，k e l l e r 和r y d b e r g 等学者也得到了类似 的结论。他们发现，与正态分布相比，用双曲分布描述股票的收益率更好地拟合了 市场实际。f a m a ，b l a t t b e r g ，g o n e d e s ，h u l l 和w h i t e 等研究人员发现p a r e t o 一分 布模型，t 一分布模型以及随机风险系数模型也较好地拟合股票走势。这些模型的 共同特征是其分布呈“厚尾”分布。 e b e r l e i n ，k e l l e r 和r y d b e r g 借助鞅的理论在双曲分布的框架下研究了期权的定 价问题。他们所考虑的是双曲分布下一种特殊的模型，即股票的调整收益率所满足 的i t 5 型随机微分方程的漂移项为零。 在本文中，我们考虑可以包含双曲分布、t 一 分布、p a r e t o 一分布等具有厚尾”特征的般市场模型。在只有一种债券和一种股 票上市交易的市场上，我们运用倒向随机微分方程理论以及研究正倒向随机微分方 程的“四步法 来研究期权的定价问题。在用这种方法研究的过程中，我们发现了一 个非常有趣的事实：我们这里的股票价格模型不同于经典几何b r o w n 运动模型，但 期权价格的确定方式却与后者是一样的。期权价格的这种特性具有两方面的意义： 它可以用来确定当前时刻的期权定价，也可用于预测未来时刻期权的价格。另外， 我们得到下述结果：股票价格的波动越大，则以其为标的资产的期权价格就越高。 此外，本文还得到了特定情况下期权价格的显式表达式。在文章的第五节中，考虑 到“突发信息对金融市场的影响，我们研究了股票价格有跳跃时的市场模型，运 用“四步法”导出了期权价格满足的偏微分方程，并对其进行了简单讨论。 关键词：倒向随机微分方程，欧式期权，g i r s a n o v 变换，自融资策略 1 a b s t r a c t i n1 9 7 3 ，b l a c ka n ds c h o l e ss t u d i e dc o n t i n u o u sm a r k e tm o d e lo ns t o c kp r i c ea n d d e r i v e de u r o p e a n o p t i o np r i c i n gf o r m u l a ，w h i c h l e a d st oa g r e a ts t e pi nt h er e s e a r c h f i e l do nf i n a n c e i nt h ea b o v e m e n t i o n e dm o d e l ，b r o w n i a nm o t i o ni st h es o u r c eo f r a n d o m n e s sa n ds t o c kr e t u r nh a san o r m a ld i s t r i b u t i o n i n1 9 6 0 s ，f a m af o u n dt h a t i nc o n t r a s tw i t hn o r m a ld i s t r i b u t i o n s t o c kr e t u r n sh a v ed i s t r i b u t i o n sw i t hh e a v y t a i l s r e c e n t l y ，e b e r l e i n ，k e l l e ra n dr y d b e r g ，e t c o b t a i n e ds i m i l a rc o n c l u s i o na s f a m a s t h e yf o u n dt h a tt h es o - c a l l e dh y p e r b o l i cm o d e lc a nd i s c r i b es t o c kp r i c e s a t i s f a c t o r i l y f a m a ，b l a t t b e r g ，g o n e d e s ，h u l l ，w h i t e ，e t c a l s of o u n dt h a tp a r e t o - d i s t r i b u t i o n ，t - d i s t r i b u t i o na n ds t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l sc a nf i t s t o c kp r i c ev e r y w e l l t h ec h a r a c t e rt h e s em o d e l sh a v ei nc o m m o ni st h a tt h e i rd i s t r i b u t i o n sh a v e h e a v yt a t l s e b e r l e i n ，k e l l e ra n dr y d b e r g ，e t c u s e dm a r t i n g a l et h e o r yt od i s c u s so p t i o n p r i c i n gp r o b l e mu n d e rh y p e r b o l i cd i s t r i b u t i o nf r a m e w o r k b u tt h e yo n l ys t u d i e da s p e c i a lc a s ei nw h i c ht h ed r i f tt e r mi nt h ei t 5t y p es t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n f o rt h es t o c kr e t u r nr a t ei sz e r o i nt h i sp a p e r ，w es t u d yag e n e n r a lm o d e lw h i c h i n c l u d e sh y p e r b o h cd i s t r i b u t i o n ，t - d i s t r i b u t i o n ，p a r e t o - d i s t r i b u t i o n ，e t c w ec o n - s i d e rt h ec a s et h a tt h e r ei sab o n da n das t o c kb e i n gt r a d e di nt h em a r k e t b y t h e o r yo fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e t i a le q u a t i o na n d “f o u rs t e ps c h e m e f o u n di n t h et h e o r yo ff o r w a r d b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w cs t u d yo p t i o n p r i d n gp r o b l e m w e h a v ef o u n da ni n t e r e s t i n gf a c tt h a tt h o u g hs t o c km o d e l sa r e d i f f e r e n t ，t h ew a y so fd e t e r m i n a t i o n o f o p t i o np r i c e sa r et h es a m e o n e c a nu s ei tt o o b t a i nt h ec u r r e n tp r i c eo ft h eo p t i o na n dt op r e d i c tf u t u r ep r i c e so ft h eo p t i o n w e a l s of i n dt h a tt h el a r g e rt h ev o l a t i h t yo fs t o c kp r i c ei s ，t h eh i g h e rt h ep r i c ei sf o rt h i s o p t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，w ed e r i v ea ne x p l i c i te x p r e s s i o n o fo p t i o np r i c ef o rs o m e s p e c i a lc a s e s i ns e c t i o n5 ，w es t u d ym a r k e tm o d e l w i t hs t o c kp r i c eh a v i n g j u m p s a p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o ro p t i o np r i c ei s d e r i v e db ym e a n so f “f o u r s t e p s c h e m e ” k e y w o r d s ：b a c k w a r d s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，e u r o p e a no p t i o n s ，g i r s a n o vt r a n s f o r m ，s e l f - f i n a n c i n gs t r a t e g y 1 1 引言 在金融市场上，投资者关心资产的价格的目的是关心资产的收益资产的增值 速度与资产的收益是紧密相关的对于无风险资产，比如债券，其收益率是确定性 的，因而对仅投资于无风险资产的投资者来说，可以认为他不面临市场风险对人们 来说，研究这样的市场相对是容易的与其相反，当投资者致力予风险资产投资时， 他将面临严重的市场风险，此时风险资产收益的变化便成为投资者关心的核心股 票是风险资产中最重要的代表之一 在上个世纪的六十年代，f a m a ( 9 ，1 0 ) 就在离散模型的框架下对股票的收益做 出细致的研究1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 研究了由b r o w n 运动驱动的连续时间的 市场模型，并在该模型的基础上，给出了欧式期权定价公式，即著名的b l a c k s c h o l e s 公式( 5 】) ，这使现代金融学的研究迈出了开拓性的一步在此后相当长一段时间 里，一些研究人员对该模型进行或多或少的推广，但仍然保持随机来源于b r o w n 运 动这一特点由于这样的模型实际上意味着股票的价格过程类似于几何b r o w n 运 动因此，这样市场缺乏某种意义下的稳定性将很小的时间区间放大后，相应股 票价格过程的波动性态仍与几何b r o w n 运动类似从轨迹来看，它有某种“分形” 意义下的自相似性但是，在实际情形中，在较短的时间间隔中，股票的价格是相 对比较稳定的而不呈“自相似”性( 8 ) 在近年来对金融资产分布形态的诸多讨论 中，大量的实证结果还表明，股票收益率的概率分布是呈“厚尾”的我们这里所 说的“厚尾”，是与正态分布相比较而言的；它的尾部比正态分布的厚，其实际意 义是非常低或非常高收益出现的频数要比正态场合的高( 1 ，7 j ) 因而不少学者认为 股票收益不服从正态分布近年来，许多研究人员建立了各种模型使其尽可能地反 映市场上股票价格的真实情形b i b b y ，s q r e n s e n ，e b e r k e i n ，k e l l e r ，r y d b e r g 发现 ( 4 ，8 ，2 6 ) 双曲分布较好地拟合了股票价格的走势同时b l a t t e r g ，g o n e d e s ，f a m a ， h u l l ，w h i t e 等也从实证研究中得到，t 一分布模型，p a r e t o 一分布模型以及随机风 险系数模型( 6 ，9 ，1 0 ，1 3 ) 都很好地拟合了股票的价格走势在文献( 4 ，8 ) ，人们还借 助于鞅的理论，研究了一特定双曲模型下以股票为标的资产的欧式期权定价问题 在本文中，我们研究比较般的股票价格模型，在一定条件下，它可以包含双曲分 1 布，t 一分布以及p a r e t o - 分布通过考虑只有一种债券和一种股票上市交易的市 场，运用正倒向随机微分方程的理论和研究正倒向随机微分方程的“四步法”( 1 8 ) 来研究期权的定价问题在进行研究的过程中，我们得到了期权价格满足的偏微分 方程，还揭示了一个很有趣的事实，即尽管我们这里的股票价格模型不同于经典的 几何b r o w n 运动模型，但期权价格的确定方式却与后者是一样的期权价格的这一 特性有两方面的意义：它可用来给出当前时刻的期权定价，还可用来预测将来时刻 的期权价格由于期权价格因标的资产模型的不同而不同，我们还得到一个结论：股 票价格的波动越大，以其为标的资产的期权价格就越高这正吻合市场实际情况。 本文余下部分的的安排如下：第二节中讨论特定厚尾分布下的期权定价；第三 节我们研究具有厚尾分布特征的一般模型；第四节中将给出特定形式下期权价格的 显示表达式；第五节中我们简要地讨论股票价格有跳跃时的期权定价问题 2 厚尾分布下的期权定价 近年来，人们在对股票价格过程的研究中发现，股票收益率的分布与正态分布 相比，比正态分布的尾部厚，因而不是正态的一些研究人员( 4 ，8 ，2 6 】) 发现，双曲 分布可较好地拟合股票价格走势同时，还有一些学者( 6 ，9 ，l o ) 发现，t 分布， p a r e t o 一分布以及随机风险系数模型( 1 3 ，1 4 】) 也较好地拟合了股票的分布情形在 本文中，我们来建立较为一般的股票价格模型，在一定条件下，它可以包含双曲分 布，t 一分布和p a r e t o - 分布 考虑一个完备的带一一域流的概率空间( n ， 五) t ，o ，p ) 设w ( ) 为定义在该空间 上的一个标准的一维b r o w n 运动， 五 t o 为”( ) 生成的自然一一域流假设一 个市场中有两种资产上市交易：一种债券，一种股票，它们的价格过程 s 。( t ) ) 幽 和 s ( t ) ) t o 分别满足： 牡s o e 小。m 。，( 2 1 ) 【8 ( t ) = 3 ( o ) 矿【“， 2 其中，r ( ) 为债券的利率过程，z ( ) 满足方程： fd x ( t ) = a ( t ，z ( t ) ) d t + v ( t ，z ( ) ) d ( ) ， ( 2 2 ) 【z ( o ) = 0 ， 这里，( ，) 0 ，v ( t ，z ) 【0 ，列r 我们说，该模型可以包含具有厚尾分布的双曲分布，t 一分布，p a r e t o - 分布 等为说明此点，让我们回忆一下双曲分布，t 一分布及p a r e t o 一分布的密度函数 p ( 。) ，t ( x ) 及m ( z ) 首先，双曲分布的密度函数p ( ) 由下式给出 p ( z ) = 口e 一“、5 2 + ( 2 一p ) 2 + 口( 2 一，o - o ) ( 2 3 ) 此处，0s 俐so t ，参数o t ，p ，吒p 分别称为密度函数p ( ) 的特征指数，斜度，标度 参数和局部参数从p ( ) 的图形上来看，当p 0 时，图形向左“倾斜”；当p 0 从( 2 3 ) 一( 2 5 ) ，可以看到，当一o o 时，( z ) 按x - ( n q - i ) 方式趋于o ；当z 0 0 时，m ( z ) 以x - ( p + 1 ) 方式趋于o ；而当一o 。时，p ( z ) 最快按e - ( 叶旧i ) i 。i 的方 式趋于0 相对于正态分布而言它们均是“厚尾”的，因为正态分布的密度函数是按 e - t ：l z l 2 ( 为大于0 的常数) 趋于0 的( 当一o 。时) 3 由 1 7 我们知道，如果( 2 2 ) 中的z ( ) ，a ( ) ，v ( ) 满足下述关系 z ( ) = 启g ( s ) d s + i ( t ) a ( t ，z ( ) ) = g ( t ) + a t ( z ( ) 一f j g ( s ) d s ) ， ( t ，z ( ) ) = 2 1 ( 。( t ) 一启g ( s ) d s ) 此处9 ( s ) 为确定性的函数( 在通常情况下，g ( s ) 可以取为常值，并且该常值可经一 般的线形回归得到) ，过程i ( t ) 作为调整的收益率，它满足方程： fd i ( ) = a - ( i ( t ) ) d + 2 1 ( i ( ) ) d u ，( ) ， 1 那) 扎 心6 ) 那么，在方程( 2 6 ) 有强解时，随机过程i ( ) 具有稳态分布密度在本文中，我们 假设方程( 2 6 ) 有强解事实上，只要a - ( i ) ，n ( i ) 满足l i p s c h i t z 条件即可 下面，我们讨论a ，( i ) 与n ( 量) 满足三种特殊关系时的稳态分布： ( 1 ) 如果a ( i ) 与v - ( i ) 满足： 州套) = 丽1 嘉( 嘶) 弥训 则随机过程( ) 具有呈双曲分布的稳态密度p ( i ) ，也即p ( ) 是i ( ) 的转移概率密 度的极限函数( 见附录) ( 2 ) 如果a 1 f i ) 与2 1 ( i ) 满足： 州面) = 丽1 磊( 蜘) 嵋( 钏 则i ( ) 具有呈s t u d e n t t 分布的稳态密度( i ) ( 见附录) ( 3 ) 如果a ( i ) 与v - ( i ) 满足： 州i ) = 志嘉( m ( 亳) 瑶( 钏 则调整的收益率i ( ) 具有p a r e t o 一分布密度m ( ) ( 见附录) 下面，我们在方程( 2 6 ) 有稳态密度函数的情形下，来研究期权的定价问题对 ( 2 1 ) 运用i t 5 公式，则s o ( t ) 和s ( ) 满足的微分方程分别为： 4 f d s o ( t ) = r ( t ) s o ( t ) d t ， id 。( t ) ：s ( ) 函( ) + a 。( i ( ) ) + ；。；( i ( ) ) 出+ s ( ) p 。( i ( ) ) d 。( t ) 27 假定一投资者以初始资产珈在这样的市场上做投资设”( ) 为他在t 时刻持 有股票的市值，并且当7 r ( ) 满足 门1 ( 7 r ( t ) n ( i ( ) ) ) 2 d t 0 ，r ( ) ；r ，即r ( ) ，n ( ) 为常数时， 方程( 2 1 5 ) 化为： j 札t + ；s 2 ；u j j + r s u 5 = 钍( 21 6 ) 【 l b t = ( s k ) + 解方程( 2 1 6 ) 可得到 u ( t ，s ) = s 圣( d 1 ( ，s ) ) 一k e 一( 7 一。) 西( d 2 ( t ，s ) ) ( 2 1 7 ) 此处，西为标准正态分布函数， 州如) ：堕锷磐型 蹦如) ：堕害型 7 我们看到方程( 2 1 6 ) 在形式上与b l a c k s c h o l e s 方程相同，这恰揭示了一个有 趣的事实，即尽管股票价格的模型是不同的，但期权价格的确定方式却是一样的 如果我们要确定当前时刻t 的某一种期权价格，则只要从市场上观测到当前时刻基 础资产的价格，直接代入期权价格公式( 2 1 7 ) ，即 t c ( t ，s ( t ) ) = 8 ( ) 西( d 1 ( t ，s ( ) ) ) 一k e - r ( t - t ) 垂( d ：( t ，s ( t ) ) ) ， 而不必考虑基础资产的具体分布形态；如果我们在当前时刻t 来预测将来时刻( f t ) 期权的价格，那么只需要根据基础资产的价格方程得到时刻的基础资产价格， 然后再代入( 2 1 7 ) 即可此时，值得注意的是虽然期权的表达形式( 2 1 7 ) 与b l a c k s c h o l e s 公式相同，但因基础资产价格满足的方程不同，期权价格也将是不一样的 3 推广的一般模型 在上一节，我们讨论了几种满足特殊条件的股票价格模型，这里我们考虑一般 情形 我们所考虑的市场上有两种资产，即债券与股票它们的价格过程s o ( ) ，s ( ) 满 足：( 设s ( 0 ) = 1 ) = - ， 其中，z ( ) 满足方程 l d z 。= a 。，z 。d 。+ 廿。，。d 。 ( 32 ) iz ( o ) ：0 这里，我们设”( ，) 一致下有界，即存在6 0 ，使得口( ，z ) 6 ，v ( t ，z ) 0 ，t 冗 设一位投资者在市场上作自融资投资，”( t ) 为t 时刻投资者持有的股票市值， 则他的总财富y ( t ) 满足： d y ( t ) = y ( t ) r d t + 7 c ( t ) v ( t ，z ( t ) ) q ( ) 出+ 托( ) 】 这里 。r 一a ( ，z ( ) ) + ；。：( ，。( ) ) 一， 们) = 业嗡弊 同样，我们假设成立n o v i k o v 条件，即 e e r q 2 ( ) 出 + o 。 由g i r s a n o v 变换，经类似于第二节中的推理，我们得到欧式买入期权的价格所满 足的偏微分方程为： f 札+ ； 2 。，1 ns 占：2 5 5 + r s 钍。一r t = 。 ( 3 3 ) 【u ( t ) = ( s 一贸) + 为了对方程( 3 3 ) 进行适当形式的化简，令 以t 代替原来的t t ，v ( t ，z ) 代替v ( t t ，i ns ) ，则上述方程化为： f 一仳+ ；口2 ( ，。) u 。+ r 一互1 2 ( ，z ) 钍。一r 札= 0 ，( t ，z ) ( 0 ，t ) r i 。( 。) ：( 。一k ) + 垒h ( 。) 。4 为了下面叙述的明白，我们先给出方程( 3 4 ) 经典解的定义： 定义3 1 函数u ( t ，。) 称为方程( 3 4 ) 的一个经典解，如果u ( ，z ) 在( 0 ，t 】xr 上满足方程( 3 4 ) ，并且在d = 0 ，t r 具有连续性 我们有下列结果 定理3 1 假设在d = 0 ，t r 上有0 a ( ，z ) b 且满足h s l d e r 连 续性，即f ( ，z ) 一 ( z ) fsg ( i z z7 | i + i t 一 ) 0 f 0 ，设i t ，s ) 满足 r 钍6 = 0 的解，其中矿1 8 ) 是凸的二次连续可微函数且l 矿( s ) 一妒( s ) k4 - e ( 3 6 ) ( 3 7 ) 证：令矿( ，s ) = 矿i t ，s ) 一u ( ，s ) ，我们可得到 妒；+ j l u 2 0 ，1 n 5 ) s 2 币：s + r 3 妒：一妒= o 1 3 8 ) 【妒6 ( t ) = 妒6 ( s ) 一妒( 占) 由极值原理( 见 1 1 】) ，可得 一e m i n o ，妒i s ) 一妒( s ) ) 墨妒6 ( t ，3 ) sm a z o ，妒( 占) 一妒( 5 ) ) e 所以 0 | | m + m 一 珐 疏 妒 r | | + 十 吲 瓯 一 曲0 山 = 雄 1 2 u ，j，、【 吒 邶+ 咖 h 矿 0 = 扣曲+ 旧 ，_l_，【l_l 引理3 2 假设 那么 ；+ u 2 + 3 + 劬 ，。+ r l m ，0 m 0 ( 3 1 1 ) 令s = e 。， 一o 。 。 + o 。，以t 取代原来的t t ，记o ( ，z ) = v ( t ，l na ) ，壶6 ( t ，z ) = r 6 ( ，矿) ，可得 不妨设 f 一孟；+ ；i 2 逢。+ ( 2 e 一。i i 。+ ；i 2 + r ) 蠢： + ( 云2 + e 一2 。西：+ 3 e 一。矛舌。+ e 一2 。西矛。一e - 2 x o 面。+ r ) 壶= 0 ，( 3 1 2 ) 【r 6 ( t ) o 0 2 + e 一2 2 亩：+ 3 e 一。面谣+ e - 2 x 西岳。一e 一2 。亩o 。+ r 0 v ( t z 1 d 若不然，由假设 i 口；+ 2 + 3 v 。u + 廿u 。+ r l m 则 j 西2 + e 一2 。键+ 3 e 一2 西矛。+ e - 2 x 西记。一e 2 。西蟊+ rj m 1 1 令w 6 ( ，。) = 6 - m r 詹( ，z ) ，记算子三= l m ，其中： l r = 一r + ；i 2 ( ，z ) r 。 + ( 2 e 一2 i 讥+ ；i 2 + t ) r 。 + ( i 2 + e - 2 x t ) ：+ 3 e 一。i i 。+ e - 2 。：i i 。一6 - - 2 x i o 。+ r ) r ， 考虑三对w ( ，。) 的作用，即可化为上述情形 由极值原理( 见文献f 1 1 ) ，r 5 ( ，。) 不能在d = 0 ，t 】r 的内部取到负的极小 值，故有 r ( ，。) 之0 ， 于是 厅( t ，8 ) 0 ， 因此 “：。0 有了上述引理，我们可以给出定理3 2 的证明： 证：令( ，8 ) = _ a ( t ，s ) 一u ( ，3 ) ，则可得 f ；6 t + ；0 2 ( ，i ns ) 。s 2 + r s 。一r = ；( ”2 ( t ，i n s ) 一i 2 ( t ，i ns ) ) s 2 ，( 3 1 3 ) 【( t ) = 0 由引理3 2 ，知( ，8 ) 关于s 凸，因此坝 o ，1 ，s 1 ，s 2 ( 0 ，+ o 。) 有 6 ( t ，a s l + ( 1 一a ) s 2 ) a u ( ，8 1 ) + ( 1 一a ) ( t ，8 2 ) ， 由引理3 1 “( ，a s l + ( 1 一a ) s 2 ) 一e 札( ，a s l + ( 1 一a ) s 2 ) 令e 一0 ，则 u ( t ，a s i + ( 1 一a ) s 2 ) a u ( t ，3 1 ) + ( 1 一a ) “( ， 3 2 ) ， 故u ( t ，s ) 关于s 凸的这样在 0 ，t ( 0 ，+ o o ) 上有u ，。0 ，从而 爿9 i ；：j 茎：j l n s ) 。5 3 2 + r s 3 一r 咖。， ( 3 1 4 ) 令s = 矿 由极值原理 于是 o 。 挈一“， 牡( t ，s ( ) ) d t + ；k z ：r ( t 一) s ( ) 西( d r + 7 i n _ 一+ k ) 一k e - , ( t e ) 。d t + l n ) ( 4 7 ) 当v ( t ) 为常数时，( 4 7 ) 便为b l a c k - s c h o l e s 情形而且此种情况对利率仅是 时间的函数时，同样可证 5 股票价格有跳跃时的期权定价问题 在六七十年代，大量的实证研究表明，b l a c k s c h o l e s 模型所描述的资产价格与 多种资产价格过程的统计特性是有显著差别的为了贴近市场实际，m e r t o n 2 1 1 在 股票价格研究中引入了“跳”的成份，他认为，股票价格的变化源于两个方面，即 “正常”波动和“非正常”波动，“正常”波动可以用一个轨道连续的b r o w n 运动来 描述；“非正常”波动是容许跳跃的，可以用普阿松过程来描述而在实际市场 1 5 上，由于一些“突发”事件的确会引起股票价格的大幅度波动在本节，我们考虑股 票价格有跳跃时的期权定价问题在存在一种债券和一种股票的市场上，股票和债 券的价格过程s o ( ) ，s ( ) 满足方程： id s o ( t ) = r ( t ) s o ( t ) d t ， ( 5 1 ) id s ( t ) = s ( t 一) 6 ( ，s ( ) ) d + 口( ，s ( t ) ) d w ( t ) + a ( t ) d n ( t ) 】 这里w ( t ) 为概率空间( q ，p ) 上标准的布朗运动，( ) 是其上以a ( f ) 为参数的 补偿普阿松过程，且w ( t ) 与n ( t ) 是相互独立的 现在一投资者在这样的市场上做投资，记( t ) 为t 时投资者的总市值”( ) 为t 时投资者持有股票的总市值，它为一右连左极的过程，称之为投资策略，于是 资产的运作方程为： d y ( ) = r ( t ) y ( t ) d t + ”( 一) ( 6 ( t ，s ( t ) ) 一r ( t ) ) d t + 口( t ，3 ( ) ) d ( t ) + a ( t ) d n ( t ) 面( t ) = ”( t ) + o 。型二瓣d r ， 则面( ) 为新的概率空间( q ，f ，p ) 中的一个鞅，其中 和：e f q o ) d t 一 r q 2 ( t ) d 。dp - 赳 们，：蝶铲 此时 d y ( ) = r ( t ) y ( t ) d t + w ( 一) 盯( t ，s ( t ) ) 出i 0 ) + a ( t ) d ( t ) 】 股票价格方程变为 d s ( t ) = s ( 一) 卜( t ) d t + 一( ，3 ( ) ) d 面( ) + a ( t ) d ( ) 于是，对于敲定价格为，执行时间为t ，基础资产为s ( ) 的欧式期权的定价问题 等价于解下列倒向随机微分方程 id y ( t ) = r ( t ) y ( t ) d t + 7 r ( t 一) p ( ，s ( ) ) d 西( ) + a ( t ) d ( ) ， ( 5 2 ) iy ( t ) = ( s ( t ) 一k ) + 1 6 现仕，孤川们丐届e = j 。必步盔“术钟艽期仪口r 惰两疋阳倔设分刀崔戎制希望 期权t 时刻的市场价格依赖于时间t 和t 时刻的股票价格s ( t ) ，同时还依赖于“突 发信息”( ) 如果存在充分可微的函数u ( t ，s ，) ，对任意t 0 ，卅，成立y ( t ) = u ( ，( t ) ，( ) ) ，并设( ) 满足方程： d e ( t ) = q ( ) 以+ f l ( t ) d t h ( t ) + 7 ( t ) d ( ) ， 则对”( ，s ( ) ，( ) ) 用i t d 公式，可得 撕小愀) ) - h 巾州( 7 错) 州加小m 俐( 乏嚣) ( 小繇) 懈，( 剐+ ( “剃) ， 砒( 剐h ( “搿) m 出 。， 地训( “稚”) 酬 啪，s ( t - - ) + ( “。仲- ) a ) 。) ) 叫t ，( 粒( t - ) ) 硼班 比较( 5 2 ) 与( 5 3 ) 可得 ( ( 爹) = 吗 “( 扎, s ( t - - ；) + ( 8 。7 - ( ) 。a ) 。) ) 一u ( t ，( ；：二j ) ) = ”( t 一) a ( t ) ， r “讪仆一t ，( 苫) 硼删( 芝嚣) ( 孑) 懈( ；) + ( 弩) h ( ；) h 训( 弩) n 该方程是带有关于空空间变量差分项的偏微分方程，这里我们只简单讨论一下由 于对任意得函数o ( ) ，p ( ) ，7 ( ) ，上述等式都成立故取n ( ) = 0 ，7 ( ) = 0 时，方程 ( 5 4 ) 可化为 当卢一0 时，由方程( 5 5 ) 可形式地得到 r u = u t + 。r s + i 1 钍。3 2 口2 这正是股票价格没有跳跃时的期权价格的b l a c k s c h o l e s 方程 1 8 廊 队 卅 州 护 一 纠 + 岛矿 驴 u 一 扣纠 + 文 博 s w 饥叫 = + 6 附录 附录具有特定稳态密度的扩散过程的构造 定义6 1 如果一个随机过程z ( ) 满足方程： f d z ( ) 5 “( z ( ) ) 出+ 口( z ( t ) ) d ”( ) ，0 ， 1z ( o ) = z ， ( 6 1 ) 则称z ( ) 为一个时齐的扩散过程这里”( t ) 为标准的布朗运动设。( ) 是定义 在区间，= ( f ，r ) 上，f r ，并且l 可以是一o 。，而r 可以是+ o o 通常s ( ) ，m ( ) 分别被称为随机过程z ( ) 的标度密度和速度密度定义 p ( t ，z o ，y ) 三p ( z ( ) y l z ( o ) = 。o ) ， 讹 0 ，+ 。o ) ，z ( ) ，y r 其中z ( ) 三z ( ，) 是方程( 6 1 ) 的解，记 p ( t ，z 。，z ) ：d p ( t j , z o 一, x ) 由 1 7 知，如果存在函数区间j - 上的密度函数妒( z ) 满足下述方程： 矗( 一2 ( z ) 妒( z ) ) 一叠( u ( z ) 妒( z ) ) = 0 ，( 6 2 ) 则下述极限存在 规p ( t ，) = 妒( ) 容易知道，( 6 2 ) 的解由下述给出： 妒( z ) = c l 端+ 白南 = m ( 。) c l s ( 引+ ( 3 2 】， 1 9 忙 。 ， m 型力 弘 撕一哗 北 ，厶 。3 一e， = = 司 叱 趴 记 ，r 这里c 1 ，c 2 为常数，使得7 ，妒( 。) o ，且z 妒( z ) 如= 1 妒( ) 称为z ( ) 的 静态密度函数特别c 。= 0 ，妒( z ) 满足： 如矿( z ) = 1 2 ，则 r e f e r e n c e s 小) = 赤杀( 蛳) a 2 ( 圳 小) = 萼知删 1 r j a d l e r ，r e f e l d m a n c g a l l a g h e r ，a n a l y s i ss t a b l et i m es e r i e s a p r a c t i c a lg u i d et oh e a v yt a i l s ，b i r k h a u s e r ，1 9 9 8 【2 c a b a l l & a r o m a ，s t o c h a s t i cv o l a t i l i t yo p t i o np r i c i n g ，j f i n a n c i a la n d q u a n t i t a t i v ea n a l y s i s ，2 9 ( 1 9 9 4 ) ，5 8 9 6 0 7 3 s b e c k e r s ，an o t eo ne s t i m a t i n gt h ep a r a m e t e r so ft h ed i f f u s i o n - j u m pm o d e l s o fs t o c kr e t u r n ，j f i n a n c i a la n dq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s ，1 6 ( 1 9 8 1 ) ，1 2 7 1 4 0 【4 b m b i b b y & m s q r e n s e n ，ah y p e