（应用数学专业论文）李color代数及其相关问题研究.pdf

摘要 本文研究李c o l o r 代数及其相关问题，即李c o l o r 代数，李c o l o r 三系和单模李 超代数众所周知，特征零李超代数已获得了巨大的发展例如：特征零代数闭域 上有限维单李超代数的分类和无限维单的线性紧致李超代数的分类均已完成另一 方面，李c o l o r 代数，李c o l o r 三系与特征零李超代数紧密相关又有本质不同因而， 对李c o l o r 代数，李c o l o r 三系的研究具有重要的意义特别地，李c o l o r 代数，李 c o l o r 三系的许多基本问题都没有解决，如：分类问题，典型李c o l o r 代数的表示，典 型李c o l o r 代数的上同调群以及李c o l o r 代数的c o l o r 量子化等在模李超代数方 面，虽然已经构造了六族有限维c a f t a n 型单模李超代数，但是，有限维单模李超代 数的分类仍是没有解决的公开问凰 在第二章细化了李c o l o r 代数的上同调群的定义，给出了李c o l o r 代数导子的 重要性质，揭示了李c o l o r 代数的斜导子空间与中心扩张的关系，这一关系为进一 步研究李c o l o r 代数的结构和中心扩张提供帮助， 第三章定义了二次李c o l o r 代数，讨论了它的基本性质，建立了二次李c o l o r 代 数双扩张的基本结果，并获得了一个李c o l o r 代数存在双扩张的充分条件 第四章讨论了完备李c o l o r 代数，得到了李c o l o r 代数的形是完备的充要条件 第五章讨论了李c o l o r 三系定义了李c o l o r 三底给出了李c o l o r 三系导子的 一些性质，获得了李c o l o r 三系分解唯性定理定义了二次李c o l o r 三系，证明了 李c o l o r 三系上的不变对称双线性型可扩充为内导子代数上的不变对称双线性型， 同时，也可唯一地扩充为标准嵌入李c o l o r 代数上的不变对称双线性型 第六章构造了一类新的有限维单模李超代数，通过利用生成元集分别确定齐次 超导子方法，完全决定了它的超导子代数，通过超导子代数的齐次成分证明了这类 单模李超代数不同构于已知六类c a r t a n 型单模李超代觌 关键词：李c o l o r 代数；c o l o r 导子代数；二次李c o l o r 代数，双扩张；完备李c o l o r 代数；李c o l o r 三系；二次李c o l o r 三系；各阶化李超代数；上同调群 a b s t r a c t i i t h ep r e s e n tt h e s i si sd e v o t e dt os t u d y i n gl i ec o l o ra l g e b r a sa n dc o r r e l a t i v e p r o b l e m s ( t h a ti s ，l i ec o l o ra l g e b r a s ，l i ec o l o rt r i p l es y s t e m s ，f i n i t e - d i m e n s i o n a ls i r e - p l el i es u p e r a l g e b r ao v e rf i e l d so fp r i m ec h a r a c t e r i s t i c ) a si sw e l lk n o w n ，t h et h e o - t i e so fl i es u p e r a l g e b r a so fc h a r a c t e r i s t i cz e r oh a v es e e nr e m a r k a b l ee v o l u t i o n s ，f o r i n s t a n c e ，t h ec l a s s i f i c a t i o n sh a v eb e e ns e t t l e df o rf i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l el i es u - p e r a l g e b r a sa n di n f i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l el i n e a r l yc o m p a c tl i es u p e r a l g e b r a so v e r a l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d so fc h a r a c t e r i s t i cz e r o ，r e s p e c t i v e l y o nt h eo t h e rh a n d ，t h e t h e o r yo fl i ec o l o ra l g e b r a sa n dl i ec o l o rt r i p l es y s t e m sa r ec l o s e l yr e l a t e dt o ，b u t d i f f e r e n tf r o m ，l i es u p e r a l g e b r a so fc h a r a c t e r i s t i cz e r o ，t h e r e f o r e ，t h ew o r ko nl i e c o l o ra l g e b r a sa n dl i ec o l o rt r i p l es y s t e m sa r eo fp a r t i c u l a ri n t e r e s t i np a r t i c u - l a r ，m a n yp r o b l e ma r es t i l lo p e nf o rl i ec o l o ra l g e b r a sa n dl i ec o l o rt r i p l es y s t e m s ；f o r i n s t a n c e ，t h er e p r e s e n t a t i v ea n dt h ec o h o m o l o g yo fl i ec o l o ra l g e b r a so fc l a e s i f i - c a lt y p ea n dc l a s s i f i c a t i o nh a v en o tb e e ns e t t l e d ，w ea l s ok n o wt h a ts i xf a m i l i e s o ff i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l em o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a so fc a r t a nt y p eh a v eb e e n f o u n d w h a ti sm o r e ，t h ec l a s s i f i c a t i o np r o b l e mi ss t i l lo p e nf o rf i n i t e - d i m e n s i o n a l s i m p l em o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a s i nc h a p t e r2w eg i v ead e f i n i t i o no ft h ec o h o m o l o g yo fl i ec o l o ra l g e b r aa n d d i s c u s s8 0 m ep r o p e r t i e so fd e r i v a t i o n so fl i ec o l o ra l g e b r a s m e a n w h i l e ，w eo b t a i n t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns k e wd e r i v a t i o ns p a c ea n dc e n t r a le x t e n s i o no n8 0 m el i e c o l o ra l g e b r a s u s i n gt h i sr e l a t i o n s h i pw ec a ns t u d ys t r u c t u r ea n dc e n t r a le x t e n s i o n o fl i ec o l o ra l g e b r a s i nc h a p t e r3w ef i r s ti n t r o d u c et h en o t i o l t so fq u a d r a t i cl i ec o l o ra l g e b r aa n d i t sd o u b l ee x t e n s i o n 、 ，es t u d yt h es t r u c t u r eo fq u a d r a t i cl i ec o l o ra l g e b r aa n d o b t a i nt h es u f f i c i e n c yc o n d i t i o nf o raq u a d r a t i cl i ec o l o ra l g e b r at ob ead o u b l e e x t e n s i o n i i i i nc h a p t e r4w ed i s c u s st h ec o m p l e t e n e s so fs o m el i ec o l o ra l g e b r a sa n dt h e s u f f i c i e n c ya n dn e c e s s a r yf o rt h eh o l o m o r p ho fac e n t e r l e s sp e r f e c tl i ec o l o ra l g e b r a t ob ec o m p l e t e i nc h a p t e r5w es t u d yl i ec o l o rt r i p l es y s t e m s p e a k i n gp r e c i s e l y , w ef i r s ti n - t r o d u c et h en o t i o n so fl i ec o l o rt r i p l es y s t e ma n dq u a d r a t i cl i ec o l o rt r i p l es y s t e m 嬲w e l la sl i ec o l o rt r i p l es y s t e mw i t hs o m ee x a m p l e s ，w ed i s c u s ss o m ep r o p e r t i e s o fd e r i v a t i o no fl i ec o l o rt r i p l es y s t e m s w ea l s oc o n s i d e rp r o b l e mo ft h eu n i q u e n e s s o ft h ed e c o m p o s i t i o no fl i ec o l o rt r i p l es y s t e mw h o s ec e n t e ri sz e r o w es h o wt h a ta c o l o rs y m m e t r i ci n v a r i a n tb i l i n e a rf o r mo nal i ec o l o rt r i p l es y s t e me b x lb eu n i q u e l y e x t e n d e dt oi t ss t a n d a r di m b e d d i n gl i ec o l o ra l g e b r a i nc h a p t e r6w - ec o n s t r u c tan e wf a m i l yo ff i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l em o d u - l a rl i es u p e r a l g e b r ana n dp r o v ei t ss i m p l i c i t y b yg i v i n gt h eg e n e r a t o rs e ta n d f o r m u l a t i n gt h eh o m o g e n e o u ss u p e r d e r i v a t i o u s ，w ed e t e r m i n ec o m p l e t e l yt h es u o p e r d e r i v a t i o na l g e b r a f i n a l l y , w ep o i n to u tt h a tt h i sa l g e b r ai s n ti s o m o r p h i ct o a n yk n o w nm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a so fc a r t a n - t y p e k e yw o r d s ：( q u a d r a t i c ) l i ec o l o ra l g e b r a ；c o l o rd e r i v a t i o na l g e b r a ；d o u b l e e x t e n s i o n ；c o m p l e t el i ec o l o ra l g e b r a ；( q u a d r a t i e ) l i ec o l o rt n p l es y s t e m ；z g r a d e d l i es u p e r a l g e b r a ；c o h o m o l o g yg r o u p 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学 位或证书丽使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文储貉殛丛垒日期兰! 翌墅! 互旦乡 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即， 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 、l 学位论文作者签名：魍冬 指导教师签名：墟盘星 日 期：丝罩堡生鱼至! 日期：2 丝2 笸12 电话：圭竺! a 邮缘! a ! 型 1 绪论 l 1 1 课题背景 李代数是s l i e 作为研究李群的代数工具而引进的在李代数的经典理论方面 有着重要贡献的，除了s l i e 本人外，当推w k i l l i n g ，e c a f t a n 和h w e y l 等人 七十年代初，由于物理学的需要，人们开始系统地研究李超代数与一般代数 相同，李超代数的研究主要分为分类、结构和表示三大方面 七十年代末，v k a c 完成了特征为零的代数闭域上的有限维单李超代数的分 类这种代数分为典型李超代数与c a r t a n 型李超代数两大类设l = l o o a 是 特征零域上的单李超代数，若岛一模幻是完全可约的，则称l 是典型的，否则称 三是c a f t a n 型的按v k a c 的分类，典型单李趁代数共有九种ta ( m ，”) ，8 ( m ， ) ， g ( ，) ，d ( m ，n ) ，d ( 2 ，1 ，2 ) ，f ( 4 ) ，g ( 3 ) ，尸( 行) 与q ( 7 1 ) c a f t a n 型单李超代数共有四 种t 渺( n ) ，s ( 哟，s ( n ) 与日( n ) ( 见1 9 1 ) 1 9 9 8 年v k a c 完成了特征为零的代数闭 域上的无限维单线性紧致李超代数的分类，具体有下列系列( m 1 ) ( 1 ) 形( m ，铭) ( 2 ) 君( m ，n ) ，其中( m ，r 1 ) ( 1 ，o ) ，( 1 ，1 ) ( 3 ) y ( m ，n ) ，其中m 2 的偶数 ( 4 ) 霄( m ，n ) ，其中m 1 的奇数 ( 5 ) 7 7 虿( m ， 1 ) ，其中m 2 ( 6 ) s - - f f 0 ( m ，m ) ，其中m 3 ( 7 ) 否霄西( m ，m ) ，其中 i 2 的偶数 ( 8 ) r - o ( m ，m + 1 ) ， ( 9 ) 可 f 万( m ，”l + l ；卢) ，其中m 2 , b c ( 1 0 ) 丐i 丽( m ，m + 1 ) ，其中m 3 的奇数 ( 1 1 ) e ( 1 ，6 ) ，耳( 2 ，2 ) ，西( 3 ，6 ) ，面( 3 ，8 ) ，面( 4 ，4 ) ，西( 5 ，6 ) 在上述所列的( 1 ) 一( 1 1 ) 中仅有下列同构 w ( 1 ，1 ) 掣耳( 1 ，2 ) 星r - 0 ( t ，2 ) ，5 ( 2 ，1 ) 型9 0 ( 2 ，2 ) 2 见f l o j ，有关参考文献见【6 】，f 5 j ，f 14 】，f 1 5 l ， 1 8 】，【1 9 1 ，f 3 1 1 ，【4 0 】 特征零域上李超代数结构的研究也取得丰硕成粟n c a n t a r i n i 和v k a c 详细 论述了所有单无限维线性紧致李超代数连续自同构群，并决定了这些代数的f 型 ( 见f l 垂1 5 】) 在文献f 1 6 1 中决定了任意特征p 2 ，3 上的例外单李超代数的型文 献f 1 7 - 1 8 分别研究了两类重要李超代数的结构对于特征零域上的具有非退化对 称不变双线性型的李超代数，也称为二次李超代数，这是类重要的李超代数，文 献【2 0 1 【2 2 1 系统的进行了研究，讨论了偶部在奇部完全约简作用的李超代数，并给 出这种二次半单李超代数的一个分类，同时又给出了二次李超代数的一些新的不 变性的结论把二次李代数双扩张的概念推广到了二次李超代数，并获得了一个重 要的充分性判据参考文献见【2 3 】一【2 6 1 文献【2 7 1 中作者讨论正交辛李超代数导 子，给出了一个导子能分解成内导子和外导子的半直积的一个充分条件 我们知道，一个李超代数三是它的泛包络代数u ( l ) 的子代数，所以泛包络 代数结构的研究有助于李超代数的研究i m u s s o n 在文献【3 4 1 中讨论了典型李超 代数的泛包络代数的中心m a r k ，c w i l s o n 系统的研究了李超代数的包络代数的索 性问题，并把环中的d e l t a 方法推广到李超代数上去，从而获得了一些重要结果， 见 3 2 】一【3 9 】国内在此方面也有很好的工作张永正教授给出了z - 阶化李超代 数的嵌入定理，决定了特征零代数闭域上无限维单线性紧致李超代数彬s 的滤过 不变往和自同构群( 见【6 8 1 一【7 4 】) 朱林生孟道骥两位教授完成了李超代数和二 次李超代数分解唯性的证明( 见【1 0 7 ) ，文【5 8 1 对b l o c k 代数进行了推广，构造 了一族无限维单李超代数2 0 0 6 年文1 4 0 】利用文献f 1 1 9 结果构造几类新的典型 李超代数 特征零域上李超代数的表示理论是十分丰富的v g k a c 在文献f 1 2 】中讨论了 典型李超代数的表示，多次提出一系列重要问题，见f 7 】，f 8 】，【9 】，1 1 2 它们是李超代数 的最基本而又最重要的问题：如典型李超代数的有限维不可约模的分类，有限维模 的完全可约性( 包括不可约模的上同调) ，不可约模的特征标公式，不可分解模的分 类，等等但这些问题至今都尚未彻底解决( 除某些特殊的李超代数外) h u g l l 鹤 等人十多年前在【4 6 j 提出了关于8 i ( m n ) 的k a c - 模的本原权与一类可允许码一 一对应的猜溅v a n d e rj u e g t 等人十年前给出的s l ( m n ) 的猜测的特征标公式【3 】 s e r g a n o v a 1 ，f 2 】利用代数和几何相结合的方法，通过i t - 舅tk a z h d a n - l u s z t i g 多项式 3 的系数，在1 9 9 8 年的国际数学家大会上，给出了s l ( m n ) 的不可约模特征标公式 的无限递推公式，之后，最近b r u n d a n 利用纯代数的方法也给出了这一公式，发 表在极重要的杂志j a m s 上( f 4 5 1 ) 我们注意到，s e r g a n o v a 是通过李超代数某些 不可约模上的上同调来定义k a z h d a n - l u s z t i n 多项式的但由于她给出的s l ( m n 1 的不可约模的特征标公式是一个无限递推公式，难以应用，因此具体有效地给出 s l ( m l n ) 的特征标公式还是一大难题要想解决这些问题关键是k a c - 模的结构，它 对彻底弄清楚s l ( m n ) 的不可约模以及其它典型李超代数的不可约模并具体地给 出特征标公式( 见f 1 j i f 2 】，f 3 j ， 4 6 1 ，f 4 3 j ， 6 0 l f 6 1 1 ) 将是一个关键这些结果对李超代数 的表示理论及在量子群( 如李超代数的量子化问题等) 等领域里将有重要应用文 献【1 1 ，| 2 】i 【3 】 1 4 a ，1 4 6 】，【5 9 】， 6 0 l ， 6 1 1 ，则是与李超代数特征标相关的文献张永正教授 讨论了c a f t a n 型李超代数不可约阶化模，并获得一些重要结果( 见1 6 8 】，【7 0 i ， 7 4 1 ) 李代数的上嗣调和扩张理论在李代数的研究中所起的重要作用促使人们讨论 李超代数的上同调和扩张理论李超代数的上同调的定义最初是由p a l e i t e s 在 1 9 7 5 年给出的( 见 4 8 1 ) v g k 在文 9 1 9 中提出关于李超代数上同调群的公开问 题，这些问题至今没有彻底解决1 9 9 0 年k t r i p a t h y 和m p a t r a 又将上同调定义 精细化，并利用s h o e h s c h i l d 的谱序列方法计算李超代数的上同调( 见【4 9 】，【1 2 9 】) 我们知道，二阶上同调与中心扩张紧密联系着因而讨论李超代数的中心扩张是自 然的问题e n e h e r 在【5 2 】中系统地讨论了李超代数的中心扩张，给出了个李超 代数有泛中心扩张的充要条 牛是李超代数是完全的而文献 5 3 1 则决定了某些李 超代数的中心扩张有关上同调和扩张的文献见f s 4 一【5 5 】 特征零域上李超代数的丰硕成果，促使人们研究模李超代数模李超代数最早 的例子可能是文献【5 6 】中给出的而模李超代数的( 限制) 包络代数的系统研究是 文献1 8 0 1 进行的，同时给出限制李超代数的定义而文献【9 1 l 对限制李超代数的定 义进行了细化，给出限制李超代数的新定义文献1 8 l 】研究了f r o b e n i u s 扩张和模 李超代数，并把f r o b e n i u s 扩张用于模李超代数表示研究，决定了模李超代数的上 同调群文献【3 8 ， 1 1 6 】把环的d e l t a 方法推广到了李超代数，获得了有关模李超 代数的限制包络代数的许多重要结果2 0 0 6 年文【1 9 】利用辛三角积理论在特征3 域上构造出有限维单李超代数文【9 4 】给出了限制李超代数的限制包络代数是半 单的。半索的，索的充分与必要条件1 9 9 7 年张永正教授利用模李代数的方法，构 造出四族有限维单的c a f t a n 型模李超代数瞰s ，h 和k ( 见【7 3 d 文献【8 7 】， 1 0 0 4 利用f 1 0 】中方法构造出两族有限维单的c a f t a n 型模李超代数h o 和k o 文献 1 6 6 ，【7 7 1 ，【8 7 】， 9 3 1 ， 1 0 0 1 一 1 0 2 】决定出这六族c a f t a n 型模李超代数的超导子代数并确 定了其滤过不变性和结合型在限制的情况下确定了彬只抒，k 和1 4 0 的自同构 群( f 8 8 】) 在表示方面，张永正教授应用沈光宇教授1 7 6 】中的混合积的方法研究了 c a r t a n 型模李超代数的混合积，决定了c a r t a n 型模李超代数n ( m ，n ；t ) 的互阶 化模( 见1 8 8 1 ， 7 0 1 ，1 7 1 1 ， 7 4 1 ) 对于分类来说，文献【7 3 i 中提出了个有限维单模李 超代数的分类猜想，这是一个困难的丽又具有挑战性的目标，更加详细的进展见 文献【6 9 1 ，1 8 9 卜 9 6 1 李c o l o r 代数理论是李代数、李超代数的自然推广最近一些年来在数学和物 理方面的研究和应用变得十分活跃最早引入李c o l o r 代数应是在文献【1 1 4 ，最早 系统地定义和研究应是文献【3 2 】，在该文献中从数学角度定义了李c o l o r 代数，证 明了李c o l o r 代数的包络代数的p b w 定理和a d o 定理成立，同时建立了李c o l o r 代数与普通李超代数的联系文f 1 2 3 利用这种联系构造了几类典型李c o l o r 代数 并且应用这种联系讨论中心化代数关于李c o l o r 代数的系统研究被收录于1 9 9 2 年出版的y u b a h t u r i n ，a ，m i k h a l i v ，v p e t r o g r a d s k i i 和m z a i c e v 共同写作的无限 维李超代数( 见【1 1 s ) 这是李c o l o r 代数方面的专著，总结了1 9 9 2 年以前关于李 c o l o r 代数方面的研究成果1 9 9 5 年m c w i l s o n 把李超代数的的d e l t a 方法进一 步推广到了李c o l o r 代数，尽管结果相似与李超代数，但是证明相对困难( 见【1 1 6 1 ) 同时f 1 1 t l 中获得李c o l o r 代数的d e l t a 理想的一些有趣的结果1 9 9 7 年文献【1 1 8 从阶化结合代数出发构造了单李c o l o r 代数并证明了李c o l o r 代数的h e r s t e i n 定理 成立文献1 1 2 0 】构造了w i t t 型李c o l o r 代数，并给出了李c o l o r 代数单的充分与 必要条件文 6 事6 4 】利用文献【1 2 0 j 的方法构造了两类更广泛的w i t t 型和w e l y 型单李c o l o r 代数讨论了这两类代数的结构2 0 0 3 年文i n 9 从阶化结合代数出发 构造一类单李c o l o r 代数，完全推广h e r s t e i n 定理，并推广了文献1 1 1 8 】的一个结 果李c o l o r 代数的表示理论是十分重要的课题，2 0 0 1 年文献f 1 2 6 】系统的研究了 李c o l o r 代数的表示理论，特别是对限制李c o l o r 代数的研究，推广了文【8 4 1 中 许多重要结论其它文献见【1 2 1 1 一( 1 3 3 1 尽管李c o l o r 代数的研究取得了一定的 进展 但与特征零李超代数相比发展还很不完全，许多重要问题还没有廨决如李 c o l o r 代数的分类，典型李c o l o r 代数的表示，典型李c o l o r 代数的上同调群和李 c o l o r 代数的c o l o r 量子化等还没有解决，李c o l o r 代数与普通李超代数的联系还需 进一步深入研究本文研究李c o l o r 代数及其相关问题 1 2 本文的研究内容 5 我们知道，导子代数在李代数，李超代数和李c o l o r 代数的研究中非常重要， 它的决定常常能够提供这个代数结构的刻化，我们还知道，导子代数与上同调群紧 密联系着，而上同调群又与中心扩张相联系，上同调群的计算和决定是十分有趣 和重要的，文献【9 】中提出了有关李超代数上同调群的重要猜想为此，我们首先 细化了李c o l o r 代数的上同调群的定义，给出了李c o l o r 代数导子的重要性质，讨 论了斜导子空间与中心扩张之间的关系。即斜导子空间与二阶上同调群之问的关 系 众所周知，李代数、李超代数的扩张有着丰富的理论，是重要的研究课题文 献【1 1 1 】中对二次李代数进行了分类，并使用了双扩张的概念所谓二次李代数是 指一个李代数上存在非退化对称不变双线性型二次李超代数是指一个李超代数 上存在非退化、超对称、不变双线性型这是一类重要的李代数，因为它的伴随表 示与余伴随表示等价，而且与共形场论有关，并且，进一步证明了李代数上存在 s u g a w a r a t y p e 结构充分必要条件是t 它是二次李代数( 见【1 1 0 ) 同样，二次 李超代数也与y a n g b a x t e r 方程紧密相连文献【2 2 1 进一步把双扩张的概念推 广到了二次李超代数，并获得了一些重要结果本文讨论了二次李c o l o r 代数的双 扩张，获得了一些结果，同时还讨论了二次李c o l o r 代数的分解定理 完备李代数是李代数中重要内容，孟道骥，朱林生、姜翠波等教授对此有着深 入的研究，取得了一些重要的结果本文讨论了完备李c o l o r 代数，得到了一些性 质 我们知道，李三系理论是十分丰富的，它与黎曼几何，y a n g - b a x t e r 方程紧密相 关。而且它是李代数，李超代数的推广本文首先引入了李c o l o r 三系的概念，讨 论了它的基本性质，给出了二次李c o l o r 三系的刻化，得到了李c o l o r 三系的分解 唯性定理，同时获得了二次李c o l o r 三系与二次标准嵌入李c o l o r 代数之间的内 在关系。这个关系可用于深入研究李c o l o r 三系 众所周知，特征零域上李超代数的研究取得了丰硕的成果。但素特征域上李 超代数的研究虽然也取得了一定的成果，但与特征零域相比还十分匮乏，索挣征 代数闭域上有限维单李超代数的分类这个基本问题还没有解奂，尽管已经构造了 6 六类c a r t a n 型模李超代数，但离彻底分类还差很远，而且也十分困难本文在索 特征域上构造了类李超代数，证明了它的单性，完全决定了它的导子超代数，它 与已知的六类c a r t a n 型模李超代数都不同构 1 3 本文的结构 本文是博士期间学习工作的总结全文共分六章 第一章绪论概述了李超代数、李c o l o r 代数产生的背景、发展概况和存 在的问题，说明了本文要讨论的主要内容 第二章李c o l o r 代数导子本章细化了李c o l o r 代数上同调群的定义，得 到了李c o l o r 代数导子几条重要性质，揭示了斜导子空间与中心扩张的关系，这 一联系为进一步讨论李c o l o r 代数的上同调群提供有益的帮助本章参考文献见 【2 6 j ，【3 2 】，【4 8 】，【4 9 】，f 5 4 】，【8 2 】一【8 7 j ， 0 3 1 ， 1 0 0 一 1 0 2 1 ， 1 2 9 第三章二次李c o l o r 代数的双扩张本章定义二次李c o l o r 代数，讨论了二 次李c o l o r 代数的基本性质，建立了二次李c o l o r 代数的双扩张的基本结果，获得了 个李c o l o r 代数存在着双扩张的充分条件本章参考文献见f 1 9 】- f 2 5 】，f 5 2 】，f 5 3 j ， 1 1 0 ， 1 1 1 j 第四章完备李c o l o r 代数的一些结果本章讨论了完备李c o l o r 代数的 基本性质，给出了完备李c o l o r 代数的形是完备的充要条件本章参考文献见 ( 6 2 1 ， 0 7 1 ，【9 8 1 ，f 1 0 3 一 1 0 6 1 第五章李c o l o r 三系本章定义了李c o l o r 三系，讨论了李c o l o r 三系的导 子的一些基本性质，获得了李c o l o r 三系分解唯性定理；定义了二次李c o l o r 三 系，证明了李c o l o r 三系上的不变对称双线性型可扩充为内导子代数上的不变对称 双线性型，同时也可唯一地扩充为标准嵌入李c o l o r 代数上的不变对称双线性型 本章参考文献见f 2 3 】- 1 2 5 】，i t 3 0 一 1 3 3 第六章 素特征域上一类有限维单李超代数本章首先构造了素特征域上 一类有限维李超代数，证明了它的单性，决定了它的生元集通过计算导子的阶化 成分在生成元作用的方法完全决定了它的超导- y - i f ；数的结构，同时指出了这类单李 超代数不同构于已知的六类g a r t a r 型模李超代数，为有限维单模李超代数的分类 奠定基础本章参考文献见f 1 7 1 ，【6 7 】，1 0 9 1 ， 7 1 1 ，【7 3 1 一【7 5 】i 【7 0 1 ， 8 4 1 ， 8 7 1 ，1 9 3 1 ， 1 0 1 1 ，1 1 0 2 1 2 李c o l o r 代数的导子 7 2 1 预备 整个这一段，f 表示一个任意特征的域，f + = f o ) 表示f 单位群，所有的 阶化都是相对于某个加法a b e l 群的我们用口( 霉) 表示非零的齐次元素z 的次数 若无特殊说明，表达式中出现的元素都是齐次元素 定义2 1 1设g 是加法a b e l 群，映射e g g p 被称为g 上的反对称双 杼征标，若它满足下列条件t e ( f ，g + h ) = e ( ，9 ) e ( ，h ) e ( 9 + h ，f ) = f ( 9 ，f ) e ( h ，) ( g h ) e c h ，g ) = 1 其中，g ，h g 如果和9 都是齐次元素，e 是反对称双特征标， ( 盯( ) ，盯( 可) ) ( 2 1 i ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 则我们用( ，y ) 代替 定义2 1 ：2设l 是一个g 一阶化向量空间l = ok 被称为是李c o l o r 代数， 若l 中有一个双线性映射【，1 ：lxl l 满足： 【k ，“】ck 怖k ，叩g ( 2 1 ，4 ) 汪，y 】= 一0 ，f ) 悟，司 ( 2 1 5 ) e ( 五而陋，眵，2 j j + ，f ) 胁， z ，司j + s 白，z ) p ，k ，鲥j = 0( 2 1 6 ) 其中z k ( 。) ，y l a ( _ ) ，名l ，o ) ，盯( 茁) ，盯( ) ，a ( z ) g 仞2 1 1 设g ：= o ，和e ( o ，0 ) = 1 ，则每一个李代数都是李c o l o r 代数， 饲2 1 2设g 是任意一个交换群，令( z ，y ) = 1 ，其中z ，y g ，则每一个g 阶化李代数l = 0 k 都是李c o l o r 代魏 例2 1 3 设g = z 2 = d ，t ，令e ( 西，万) = ( 一1 ) 布西，万易，则每个李超代数 8 l = o k 均是李c o l o r 代数 ， 例2 1 4设g = 4 是非负整数集，令e ( a ，p ) ：= ( 一1 ) 叩，其中o ，p z i ，则每 二个g - 阶化李超代数l = 0l 叠都是李c o l o r 代数 倒2 1 5设a = oa 9 是个g - 阶化结合f 代数令f n ，6 】：= n 6 一e ( n b ) b a ， 其中a a ，“) ，b a ，( 6 ) ，口( o ) ，口( 6 ) g 则lj 可线性扩张成为a 的双线性映射且 使a 成为个李c o l o r 代数，记为l ( a ) ，称为与a 结合的李c o l o r 代魏( 见( 1 0 6 1 ) 设l 是李c o l o r 代数，口是的阶化子空间，若f 8 ，b 1cb ，则称8 是的 李c o l o r 子代数设，是l 的阶化子空间，若【j ，l 】c i ，则称，是l 的李c o l o r 理 想注意由定义2 ，t 2 知李c o l o r 理想j 也满足陋，明c ， 设三是个李c o l o r 代数，称g - 阶化向量空间m = o 毛是一个l 模，若 g e g 满足 岛 靠肘9 蛳v 9 ，h g ( 2 ，1 7 ) 且有 k ，引m = z 悖- m ) 一f 扛，y ) y 仁m )( 2 1 8 ) 其中m m ，2 ，f l ，注意，李c o l o r 代数的同态p ：l e n d ( m ) 可定义 一个l 模，反过来也是成立的设矿和都是李c o l o r 代数l 的模，若存在 f h o r n ( v , ) ，g g ，满足f ( x ”) = ( 9 ，。如，( ) 其中v k z 厶则称， 是厶模y 到口模w 的c o l o r 同态，若e ( g ，z ) = 1 ，则称，是d 模同态 设u 是个g 阶化代数，令 d c r ( u ) 6 ：= d e n d ( u ) 6 l d ( ：r y ) = d ( x ) y + e ( d ，z ) x d ( y ) ，$ 以，f ) ( 2 1 9 ) 其中6 g ，则 d e r ( ) g ：= dd e r ( u ) j g g 是l ( e n d ( u ) g ) 的一个李c o l o r 子代数，d e r ( g ) a 中每个元素被称为的c o l o r 导子 定义2 1 3设l 是个李c o l o r 代数，定义a d ：l e n d 满足 ( a d x ) ( y ) ：= 陋，引 9 a d x ，a d y 】：= a d x a d y e 扛，y ) a d y a d x 命题2 1 1设l 是李c o l o r 代数，则a d l = a d m i x l 是e n d ( l ) 的李c o l o r 子代数，称为的内导子代数 证明- 证明由定义2 1 3 直接验证即可 定义2 1 4设l 是一个g - 阶化c o l o r 代数，具有双线性乘积记为z y ，定义t ( z ，暑，z ) ：= ( 茁) - z z ( yr 名) ，( z ，y ，z ) ：= e ( z ，霉) i z y ) 7 - + e ( ，掣) ( 秒z ) 一z + ( ，z ) 0r $ ) r y f ( x y ，z 山) ：= ( z ，z + t ，) 0 y ，伽，z ) + 0 ，y + 埘) 国名，t t ，$ ) + e ( 玑石+ 1 t ，) 0 石， ，y ) 其中z ，y ，z ，彬l 定义2 1 5设己是g 一阶化c o l o r 代数，其运算记为z 若满足 y z = 6 e ( y ，z ) y f ( x ，y ，z ， ) = 0 其中6 = 4 - 1 则称此代数为5 - j o r d a nc o l o r 代数，特别当6 = 1 时，代数称为 j o r d a n - c o l o r 代数，当6 = 一1 时。代数称为反j o r d a n - c o l o r 代数 命题2 1 2设l 是李c o l o r 代数，令x y = p ，们，则三是个反j o r d a n - c o l o r 代 数 证明：根据定义 e 如，岔+ w ) e ( x ，w ) j ( z ，y ，w ) z + e 扛，y + t t ，) e ( 秒，w ) j ( y ，z ，伽) + 函，z + w ) e ( z ，t t ，) ，( 毛z ，w ) u e ( z + z ， ) ，( z ，y ，伽z ) 一e 0 + z ， ) j ( o ，w y ，z ) 一5 ( z + y ，w ) j ( w x ，y ，z ) ( z ) 仰) 。一( 聊) ( z ) 5 ( z ，t ，) ，( 霉，f ，w ) z e ( x ，w ) e ( x ，) ( 9 ) z z s ( z ， 弦( 暑，删) ( z