（计算数学专业论文）图像去噪问题中的几类非光滑数值方法.pdf

博士学位论文 摘要 随着计算机技术的发展，图像处理问题在日常生活中扮演着越来越重要的角 色然而，由于图像在形成、传输、生成的过程中受外界因素的影响而导致质量的 降低因此有效地复原退化图像是图像处理中一个基本任务一般地，图像复原方 法可以归结为三类：基于小波的方法、基于概率统计的方法和基于偏微分方程的 方法其中。基于偏微分方程的图像复原模型由于具有自适应性比较强、贴近图像 特性等优点，因而最近十几年来得到了快速地发展，已经扩展到几乎所有的图像处 理领域 通常情况下，由于图像复原问题是一个不适定的反问题，因此需要在正则化意 义下建立一个适定的模型为了使所建模型能更好地描述图像的特性，经常要求 模型满足一定的数学性质，这样就增加了数值难度，所以寻求快速有效的数值算法 是图像处理领域内一个重要的研究课题由于图像去噪是图像复原问题中的一个 重要环节。因此本论文主要研究基于偏微分方程的两个基本而又重要的图像去噪 模型一r u d i n - o s h e r f a t e 皿( r o f ) 模型和l y s 8 k e r - l u n d e r v o l d 一1 撕( l l t ) 模型及其 快速的数值方法我们的主要工作和创新成果如下： 由于r o f 模型和l l t 模型的对偶问题的最优性条件包含有非线性互补问题， 因而我们可以利用f i s h e r b l l r i n e i s t e rn c p 函数的一些数学性质将这个最优性条件 转化为一个半光滑方程组为了使算法达到全局收敛性，通过引入一个价值函数， 我们提出用阻尼修正高斯牛顿法解这个半光滑方程组另外，在算法中，我们引入 一个修正参数使得搜索的步长增加，并且用预处理共轭梯度法来提高计算速度同 时，也给出了算法的全局收敛性及q 一超线性收敛速度的理论分析 由于增广拉格朗日方法结合了拉格朗日方法和罚方法的优点，因此被广泛地 应用到求解非光滑凸优化问题对于l l f t 模型，我们首先将其转换为一个约束问题， 然后基于增广拉格朗日方法得到该约束问题的最优性条件，并且指出这个最优性 条件可以看作投影梯度法因此，我们提出用投影梯度法解离散的l 班模型，并且 指出经典的半隐式梯度下降法可以由投影梯度法得到同时，我们还将投影梯度 法推广到解纹理提取问题的混合模型( r o f 模型和l m 模型) 此外，我们将增广拉 格朗日方法应用到非负约束图像去模糊问题，提出了一个积极集方法，并且证明了 这个积极集方法可以归结到半光滑牛顿法 最近，利用b r e g m a n 算法的思想，g o l d s t e i n 和o s h e r 提出了分裂b r e g m a n 算法 解图像复原问题在此基础上，我们把分裂b r e g m a n 方法推广到解各向异性l l l 7 模 型和l o t 模型的第二步虽然分裂b r e g m a n 方法具有一定的优势，但是由于该方法 的每一次迭代都需要解一个偏微分方程，从而使得计算量大大增加为了克服这 i i 图像去噪问题中的几类非光滑数值方法 种缺陷，利用投影算子和压缩算子的性质，我们提出一个新的快速有效的算法一投 影算法为了说明该算法的有效性，我们将本算法应用到解各向异性l l t 模型，并 且给出了此算法的收敛性的理论分析特别地，我们指出基于分裂b r e g m a n 方法的 投影算法可以归结到f b s 算法的框架中 此博士论文得到了国家自然科学基金( n o 6 0 8 7 2 1 2 9 ) 的资助 关键词：图像去噪：r o f 模型：l l t 模型；半光滑牛顿法；增广拉格朗日方法； 向前向后分裂( f b s ) 算法；分裂b r e g m a n 方法；投影方法 i i i 博七学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g y ，i m a g ep r o c e 鹃i n gp r o b k r 璐 p l a ya j li n c r e a s i n g l yi m p o r t a n tr 0 1 e i nd a i l yl i f e h o w e v e r ，i nt h ec o u r s eo ft h e i m a g ef 6 衄a t i o n ，t r a i l s m i s s i o na n dg e n e r a t i o n ，s o m ee x t e m a lf a c t o r sl e dt o 如 c r e a s ei nt h ei m a g eq u a u t y s oi ti so n eo f 曲p o r t a n tr e s e a l r c ht o p i c si ni m a g e p r o c e s s i n gt oe 髓c t i v e l yr e s t o r ed e g r a d e di m a g e n o 咖a l l y t h ei m a g er e s t o r a t i o n m e t h o d sc a nb es u m m a r i z e di n t ot h r e ec a t e g o r i e s ：w a e l e t b 嬲e dm e t h o d s ，b a u s e d o np r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t 妇l e t h o d s ，a n dm e t h o d sb a l s e do np a r t i a id i 雎r e n t i a l e q u a t i o i l s ( p d e s ) a m o n gt h e s ea p p r o a u c h e s ，t h ei m a 薛r 铬t o r a t i o ni n o d e l sb a s e d o nt h ep d e sha ：v es o m ea d 啪t a g e ss u c h 弱r e l a t i v e l ys t r o n gs e 惟a d 印t a b i l i t y ，c l o s e t ot h ei m a g ec h a r a c t e r i s t i c s ，e t c ，8 0t h a tt h i sc l a s so fa p p r o a c h e sh a sb e e nr a p i d d e v e l o p m e n to v e rt h ep a s tt e ny e a r sa n dh a sb e e ne 赋e n d e dt oa l m o s ta l lf i e l d si n i m a g ep r o c e s s i n g t h ei m a g er e s t o r a t i o np r o b l e mi su s u a l l ya nm p o s e di n _ v l e r s ep r o b l e ms ot h a t a w e u p o s e dm o d e li sn e e d e dt ob u i l di nt h es e n s eo ft h er e g m a u r i z a t i o n i no r d e rt o b u i l dam o d e lc o n s i s t e n tw i t ht h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ei i i l a g e ，t h em d d e li so r e n r e q u i r e dt os a t i s 黟c e r t a i nm a t h e m a t i c a lp r o p e r t “e ss 0t h a tt h en 眦e 而：a ld i 毋e u 上哆 i si n e r e a s e d ，t h e r e f o r ei tba ni m p o r t a n tr e s e a r c ht o p i ci ni m a g ep r o c e 豁i n gt o1 0 0 k f o rs o m er a p i da n de f f t i v en 1 加 1 面c a ia l g o r i t h n l s s i n c et h ei i n a g ed e n o i s i n gi sa n i m p o r t a n tp 盯ti nt h ei m a g er e s 乞o r a t i o n ，i nt h i sd 豳沦r t a t i o n ，w ef o c 1 1 so n 怕叼b a s i c a j l di m p o r t a n td e n o i s i n gh l o d e l s r u d i n - o s h e 卜f a t e m i ( r o f ) m o d e la n dl y s a k e 卜 l u n d e r v o l d - t a i ( l l t ) m o d e l ，a n dt h e i rr a p i dn n e r i c 8 lm e t h o d s o u rm a i nw o r k a n dt h ei n n o v a t i o 璐a 工ea sf b l l c y w s ： s i n c et h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rt h ed u a lp r o b l e mo ft h er o fm o d e lo r t h el 工正m o d e lc o n t a i nan o n l i n e a rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ( n c p ) ，w ec 8 na p p l y s o i n em a t h 哪a t i c sq u a l i t i e so ft h ef i s h e r b u m e i s t e rn c pf i l n c t i o nt ot r a i l s d r m t h i so p t i m a l i t yc o n d i t i o ni n t oas y s t 咖o fs e m i s m o o t he q u a t i o n s i no r d e rt o d e d u c eg l o b a lc o n v e r g e n c eo ft h ep r o p o s e da l l g o r i t h m ，b yi n t r o d u c i n gam e r i tf u n c t i o n ，w ep r o p o s et ou s et h ed a h l p e dm o d i f l e dg a u s i n e w t o nm e t h o dt os o l v et h e 8 y s t e mo fs e m i s m o o t he q u a t i o i l s i na d d i t i o n ，i nt h ea l g o r i t h m ，w ei n t r o d u c ea m o d i f i e dp a l r 锄e t e rt oi n c r e a s et h es e a r c hs t e pl e n g t ha n du s et h ep r e c o n d i t i o n e d c o n ju g a t eg r a d i e n tm e t h o dt oi m p r o v et h ec a l c u l a t i o ns p e e d a tt h es a m et i m e ，w e a l s o 西v et h e o r e t i c a la n a l y s e sa b o u tt h eg l o b a lc o n v e r g e n c e8 i l dt h eq s u p e r l i n e a r c o i l v e r g e n c er a t ef o rt h ep r o p o s e da l g o r i t h m 图像去噪问题中的几类非光滑数值方法 s i n c et h ea u g m e n t e dl a 驴a n 舀a na p p r o a c hc o h l b i n e st h ea d v a n t a g eo ft h e l a 旷舡l 舀a nm e t h o da n dp e n 北ym e t h o d ，i ti s 谢d e l ya p p h e dt os o l v et h en o 胯 m 0 0 t hc o i l v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e 磷f o rt h el l tm o d e l ，w ea r s tc o n v e r ti ti n t oa c o n s t r a i n e dp r o b l e ma n dt h e na t t a i nt h eo p t i n l a h t yc o n d i t i o o ft h ec o n s t r 出n e d p r o b l e mb a s e do nt h ea u g m e i l t e dl a g r a n 酉a n 印p r o 缸h m o r e 0 v e r w ep o i n t0 u t t h a tt h e0 p t i m “t yc o n d i t i o n sc a nb es e e na sap r o j e c t e dg r a d i e n tm e t h o d s o w p r o p 0 8 et ou s et h ep r o j e c t e dg r a d i e n tm e t h o dt os o l v et h ed i s c r e t i z a t i o nu 口 m o d e la i l dp o i n to u tt h a tt h ec l a s s i cs e m i i m p l i c i tg r a d i e n td e s c e n tm e t h o dc a nb e d e d u c e df r o mt h ep r o j e c t e dg r a d i e n tm e t h o d a tt h es a m et i m e ，w ee 烈e n dt h e p r o j e c t e dg r a d i e n tm e t h o dt os o l v eam 没e dm o d e l ( n 妇i n gt h er o fm o d e la n d t h el i tm o d e l ) f o rt e 赋u r ee 赋r a u c t i o n i n8 d d i t i o n ，w ea l s oa p p l yt h ea u g m e n t e d l a g r a n g em e t h o dt ot h ei m a g ed e b l u r r i n gp r o b l e m 谢t hn o m l e g a t i v ec o n s t r a i n t s a n dp r o p o s ea na c t i v e 辩ts t r a t e g y n l r t h e m o r e ，w ep r o v et h a tt h ea c t i v e 鼬t m e t h o dc a nb ef e ui n t ot h e 丘锄e w o r ko fs e 妇o o t hn e w t o nm e t h o d s f i ，e c e n t l y b yu s i n gt h e “d e a so ft h eb r e g m a ni t e r a t i v ea l g o r i t h m ，g o l j d s t e i na 矾 o s h e rp r o p o das p u tb r e g m a nm e t h o dt os o l v et h ei m a g er e s t o r a t i o np r o b l e 麟 o nt h j sb 酗i s ，w ee x t e n dt h es p u tb r e g m a nm e t h o dt os o l v et h e 龇咖t r o p i cl l t m o d e la n dt h es e c o n ds t e po ft h el o tm o d e l - a l t h o u g ht h es p h tb r e g m a nm e t h o d h a sc e r t 址na d 、，a n t a g e s ，i th a st os e rf r o ms o l 访n gap d ea te a c hi t e r a t i v e8 0 t h a t t h ec o m p u t a t i o nc o s t sa r ei n c r e a s e d i no r d e rt oo v e r c o m et h i sd r a w b a c k ， b a s e do nt h ep r o p e r t i e 8o ft h ep r o j e c t i o no p e r a t o ra n dt h es h r i n ko p e r a t o r ，w e p r o p o s ean e wr a p i da n de m c i e n ta l g o r i t h m t h ep r o j e c t i o na l g o r i t h m i no r d e r t oi u u s t r a t et h ee 髓c t i v e n e 豁o ft h ep r o j e c t i o n 龃g o r i t l l i n ，w ea p p l yt h i sa l g o r i t h m t os o l v et h ea i l i s o t r o p i cl i tm o d e l f u r t h e r m o r e ，t h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa b o u t t h ec o n v e r g e n c eo ft h i sa l g o r i t h mi sa l s o 酉v e n i np a r t i c u l a r ，伦p o i n to u tt h a t t h ep r o j e c t i o na l g o r i t h mb a s e do nt h es p l i tb r e g m a nm e t h o dc a nb ef e ui n t ot h e f r a m e w o r ko ft h ef b s a l g o r i t l 皿 t h ed i s s e r t a t i o r u si ss u p p o r t e db yt h en a t i o n a ln a t m a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f c h i n a ( n o 6 0 8 7 21 2 9 ) k e yw 0 r d s ：i m a g ed e n o i s i n g ；r o fm o d e l ；l i tm o d e l ；s e m i s i l l o o t hn e w c o n m e t h o d ；a u g m e n t e dl a g r a n g i a nm e t h o d ；f i o r w a r db a c k w a r ds p l i t t i n gm e t h o d ； s p h tb r e g m a nm e t h o d ；p r o j e c t i o nm e t h o d v 博十学位论文 1 1 研究背景和意义 第1 章绪论 图像是人类认知世界的重要途径然而，由于人类视觉系统的限制，有时不得 不借助于光学系统来认知世界，如雷达、摄像机以及计算机等在实际中，光学系 统的像差、大气湍流、移动、散焦和系统噪声等因素可能会导致图像质量降低，因 此对降质图像进行有效的处理具有重要的理论价值和实际意义 最近几十年来，随着计算机硬件和软件的飞速发展，图像处理技术已广泛地应 用于天文、卫星导航及遥感、生物医学工程、智能控制、模式识别、视频技术及图 像通讯等领域在众多的图像处理问题中，图像复原不但是一个重要的研究领域， 而且也是进行其他图像处理工作的必不可少的阶段通常情况下，图像复原问题 考虑从下面的降质模型 或者 ，( z ，y ) = 七( z ，暑，) 幸t 正( z ，掣) 十叩( z ，可)( 1 1 ) ，( z ，暑) = 缸( z ，可) 卵( z ，! )( 1 2 ) 中复原初始图像u ( z ，可) 这里，( 1 1 ) 称为加性噪声模型，其中七( z ，可) 为点扩散函 数( p s f ) ，牛表示卷积运算；( 1 2 ) 称为乘陛噪声模型，其中表示乘法运算对于噪声 信号? 7 ，我们经常假设其符合一定的分布，例如：在加性噪声模型中，经常假设噪声 服从均值为零的高斯分布( 高斯白噪声) 或者是区间( 0 ，1 ) 内的均匀分布；在乘性噪 声模型中，经常假设噪声服从均值为l 的g 锄m a 分布，如图1 1 所示显然，图1 1 中 的图像包括大量的细节和轮廓，如头发、帽檐、脸部、肩部等，这为有效地复原退 化图像带来了建模和数值困难最近几十年来，随着人们对图像认识的加深，涌现 出了大量的图像处理模型，这些模型可以分别归属于下面的三种方法：基于小波 的方法、基于统计的方法和基于变分和偏微分方程的方法1 1 基于偏微分方程的图像处理方法的研究始于从2 0 世纪8 0 年代，k o e n d e r i i l l 【 2 】 和w i t l c i nf 3 1 各自独立的工作使得该方法取得了实质性进展他们把尺度空间的理 论引入到图像处理问题中，而尺度空间理论正是图像处理中偏微分方程方法研究 的基础随后，r u d i n 、o s h e r 和e a t e m i 【4 1 提出的全变分模型使得基于偏微分方程 的图像复原技术迅速扩展到图像处理的众多领域【l ，5 9 】实际上，图像复原问题 中的偏微分方程方法主要可分为三类：其一，直接建立一个偏微分方程并基于一 定的边值条件来复原图像；其二，几何偏微分方程方法；其三，基于最小能量泛函 一 1 一 图像去噪问题中的几类非光滑数值方法 ( a ) ( d ) ( e )( f ) 图1 _ 1 ( a ) 初始图像( 2 5 6 2 5 6 ) ；( b ) 高斯白噪声污染的图像仃= 1 0 ；( c ) 均值噪 声污染的图像盯= 4 0 ；( d ) 5 5 高斯核模糊的图像；( e ) 高斯白噪声污染的模糊图像 盯= 1 0 ；( f ) 乘性噪声污染的图像 的最优性条件得到一个偏微分方程，进而求解对于基于最小能量泛函的最优性 条件的方法，一般是先建立一个能量泛函，然后基于变分基本原理求得能量泛函的 最优性条件，即：e u l e r - l a g r a n g e 方程由于这类方法能结合图像的本质特征在一 定的函数空间中建立适当的能量泛函，同时有利于讨论对应的偏微分方程解的相 关性质，因此寻求适当的泛函模型以及建立快速有效的算法成为图像处理领域内 的一个重要研究方向 1 2 图像复原模型 在图像复原的过程中，初始图像信息的缺乏和运算的不可逆性，经常导致图像 复原问题是一个不适定问题也就是说，不满足解的适定性条件：存在性、唯一性 和稳定性为了克服这种不适定性，我们需要在t i l 【i l o n o v 正则化【1 0 】意义下考虑下 面的最小化问题 锻害西( 让，) + 皿( u ) ， ( 1 3 ) 其中，石为适宜的函数空间，入为正则化参数，圣( u ，) 为拟合项，皿( 札) 为正则项由 一 2 一 博士学位论文 于图像去噪是很多图像复原问题中不可避免的阶段，因此，基于最优化问题( 1 3 ) ， 我们接下来主要回顾相关的加性噪声的图像复原模型然而，对于乘性噪声模型， 可以通过对数变换转化为加性噪声的模型 1 2 1 局部图像复原模型 假设，为观测图像，则在t i l ( h o n o v 正则化意义下我们考虑 卿冲一，i | 至：( 哟+ l v t i 羔：( q ) ， ( 1 4 ) 其中q 为图像区域，a o 为正则化参数若下面的n e u m 砌界条件 宴：o 一= i ， a 。 成立，则该模型在1 ，2 ( q ) 空间内存在唯一解且满足如下的e u l e 卜l a 留a n g e 方程： 入( ，一t 1 ) + u = o ， 其中表示l 印l a c e 算子且表示边界剪2 的单位外法向 若定义切线方向丁和法向方向，则l a p l a c e 算子在局部坐标意义下满足 t 正= t z z + 可2t 正玎+ t i 由此可知l a p l a c e 算子具有各向同性的扩散性质，因此由模型( 1 4 ) 复原的图像在边 缘区域会产生模糊现象如图1 2 所示事实上，这种现象也可以理解为模型( 1 4 ) 特 别强调对大的梯度的惩罚 初始图像噪声图像 模型( 1 4 ) 去噪图像 图1 2 图像大小2 0 0 2 0 0 为了克服模型( 1 4 ) 复原的图像在边界处出现模糊的现象，r u d i n 、o s h e r 和f e t a m i 【4 】提出了下面的t y l 2 模型或者称为r o f 模型： 嘶割让一川羔。( n ) + i v “i 州蛳 ( 】：5 ) 一3 一 图像去噪问题中的几类非光滑数值方法 其对应的e u l e r - l a g r a i l g e 方程为： w 刊+ d i v 品- o ( 1 6 ) 由于r o f 模型中的i v 钍l l - 界定了图像边缘的跃迁，或者说r o f 模型的最优性条 件( 1 6 ) 中的d i v ( 毒络) 在扩散意义下相当于仅在切线方向扩散，因此可以保持复原图 像的边缘【1 1 一1 3 】，从而促进了基于偏微分方程的图像处理技术的迅速发展【l ，5 _ 9 】 然而，由于r o f 模型( 1 5 ) 中的全变差项介于凸性的边缘，从而导致该模型复原 的图像经常在渐变区域或者斜坡型区域出现阶梯现象，于是一些学者考虑r o f 模 型的改进形式【1 3 1 5 1 另外，由于高阶偏微分方程具有演化震荡信号比较快和演 化复原图像趋向于光滑的优点，因此一些高阶模型引起了广泛的关注1 6 _ 1 9 1 其 中值得注意的是，l y s a k e r 和l u n d e r v o l d 以及1 ：a i ( l l i t ) f 1 9 1 提出的如下的模型 哑n 扣刊) + i v 2 u 帅) ， ( 1 7 ) 其中i v 2 札i 工- ( n ) = 厶、砭再函了可暑f 霹或i v 2 牡i 工t ( q ) = 厶( i u 嚣i + l t 鲫1 ) 如 然而，大量的数值试验证明高阶模型在复原图像的边缘部分经常出现模糊为了 在复原图像中既克服梯度现象又避免边缘模糊，一些低阶模型和高阶模型的结合 也引起了学者们的关注f 2 0 ，2 1 1 最近，m e y e r 在【2 2 】中指出r o f 模型作为分割模型厂= 让+ 秽并不能很好地分 离图像的纹理和噪声口以及卡通部分u 例如考虑用r o f 模型分割特征函数 ，c z ，可，：= 口) ( r c z ，可，= 口，若“巧孑1 ， 0 ，其它 可以得到 缸c z ，掣，= 2 ； 这反映了丁y 一1 模型具有良好的尺度性质 实际上，前面的模型都是在一定的函数空问中建立一个能量泛函，然后利用一 定的边值条件和变分原理得到该泛函的最优性条件事实上，该最优性条件是一个 偏微分方程，于是这些方法相当于将原能量泛函转化为一个偏微分方程问题，通过 对偏微分方程的求解进而得到原问题的解显然，不同的函数空间对应不同的模型， 比如日一。空间【1 7 ，2 9 】、b e s 伽空间【3 0 1 等不同于前面的优化模型，p e r o n a 和m a l i k 【3 1 】将一个非线性热传导方程直接用于图像处理问题为了在同质区域使得图像平 滑，而沿着边缘区域不做变化，p m 模型f 3 1 1 考虑 蕊， 杀= d i v ( 9 ( i v “i ) v “) ， ( 1 1 2 ) 其中g 是单调递减函数并且在零点处等于1 而在无穷远处趋于0 由于这种模型在 演化过程中不断地根据最近一步所获得的图像梯度作为边缘检测子，因此能减少 噪声对边缘检测的影响由于p m 模型使用具有保护边缘特性的定向扩散替代具 有高斯光滑核的同质扩散，从而奠定了p d e 模型用于图像处理的理论基础然而， p m 模型在扩散系数中关注的仅仅是梯度的范数，并没有考虑梯度的方向，况且模 型中的梯度算子对噪声也很敏感，因此p m 模型利用梯度范数检测边缘是不稳定 的另外，由于p m 模型解的存在唯一性不能保证，所以从数学上来讲该模型是病 态的【3 2 】为解决图像边缘处的去噪问题，实际中涌现出了大量的基于p m 模型的 正则化变形模型( 3 3 】，比如：w e i c k e r t 【3 3 1 将p m 模型的扩散系数转化为一个二阶局 部张量矩阵，使得其在切线方向的特征值较大而在法向方向特征值较小，于是该 模型既能保留边缘又能对边缘处的噪声进行处理，从而得到较好的复原图像 1 2 2 非局部图像复原模型 通常意义下，前面的局部模型可看作是用一个局部滤波器滤除图像的高频部 分后重建图像的几何构型，因此在处理图像的过程中，这些模型经常将图像的纹理 一 5 一 图像去噪问题中的几类非光滑数值方法 细节等信息误判为噪声以至于将这些重要的信息滤除掉为了在滤除图像噪声的 同时又能有效地保持图像的纹理结构等信息，利用图像拥有大量的冗余信息以及 图像具有自相似性等特征，b u a d e s 等【3 4 】提出了下面的非局部模型： 其中 酬= 南上唑塑丝蝴岫油，( 1 1 3 ) c = z 巫塑丝她妣，n “一 且( 一( g 口奉( 缸( z + ) 一u ( 秒+ ) ) 2 ) ( 0 ) ) 满足 ( 一( g a 宰( + ) 一t | + ) ) 2 ) ( o ) ) = ( g 。木( 缸 + 亡) 一t 正 + t ) ) 2 ) ( o ) 出 - ，n 这里g 口表示标准差为。的高斯卷积核，九为滤波参数 虽然使用非局部模型( 1 1 3 ) 复原图像能得到很好的复原效果，但是非局部模 型( 1 1 3 ) 中的归一化算子c ) 却使得由高斯白噪声退化的图像的方差和复原图像 的方差不吻合另外，在非局部模型( 1 1 3 ) 中对于相似度的度量也不具有对称性最 近，基于偏微分方程在图像处理中的优越性和谱图的思想，g i l b o a 与o s h e rf 3 5 】提 出了一个非局部全变分模型( g o 模型) ： 其中 啊n 扣札一川z ：( n ) + 厶l ( 缸) ， ( 1 1 4 ) 山工( u ( z ) ) = z i v r l 仳( 列出 = z ( z ( 让( 掣) 一u ( z ) ) 2 u ( z ，! ) 咖) 5 出 由于g o 模型保留了全变分的一些数学性质和非局部模型的特征，因此该模型已经 被广泛地应用到图像处理领域f 3 5 3 9 1 事实上，非局部模型主要是对每两个像素计算距离时首先考虑其周围一个子 块而非单一像素的相似性，然后对子块中与它结构相似的像素加权平均而得到复 原图像一般情况下。选取7 7 或者9 9 大小的邻域就能得到很好的复原效果不 过此类模型由于考虑的是非局部信息，需要对子块的信息进行处理而且通常并没 有用到关于噪声方差之类的先验信息因此，寻求快速的算法以及有效地利用图像 的先验信息将值得进一步研究 6 一 博士学位论文 1 3 本论文的主要工作及创新点 随着图像处理模型的建立对建立的数学模型如何进行有效地求解已成为 个研究热点例如：基于欧拉方程的时间演化法f 4 ，1 9 1 、不动点迭代法 1 2 ，4 0 】等：基 于原问题的对偶问题的半隐式投影梯度法【4 1 ，4 2 】、半光滑牛顿法f 4 3 等；将原问题 转化为可微的优化问题的增广拉格朗日方法f 4 4 4 6 】、算子分裂法 4 卜4 9 】、b f g s 算 法f 5 0 1 、多重网格方法f 5 l ，5 2 1 等基于最基本的图像去噪模型r o f 模型和l l t 模 型，我们在本论文中主要研究以下几个问题： 1 在第三章中首在利用f i s c h e r b u 咖e i s t e rn c p 函数的性质将r o f 模型对偶形 式的最优性条件转化为一个非线性方程组的基础上，我们提出用半光滑牛顿 型方法解这个方程组事实上，所提出的方法是对f 4 3 1 中的半光滑牛顿型方法 的修正，即在用阻尼修正高斯牛顿法解方程组时，不仅引入了预处理共轭梯度 法，而且在每一步迭代选取参数时引入了一个小的系数，这样就大大地提高了 计算速度特别地，我们将半光滑牛顿型方法推广到解高阶偏微分方程模型 l l t 模型我们不仅证明了算法的全局收敛性，而且证明了算法的收敛速度可 达到q 超线性数值实验结果验证了所提算法的可行性与有效性，同时也说明 在解高阶模型时对算法进行预处理显得尤为重要 2 由于通常的图像去噪模型中的不可微项给数值计算带来了一定的困难，因而， 为了解决这个问题。我们基于h i l b e r t 空间的增广拉格朗日方法提出用一个光 滑函数来逼近不可微项在此基础上，我们在第四章中建立了l l t 模型的最优 性条件同时，我们注意到这个最优性条件实际上相当于投影梯度法，于是我 们提出解离散l l l 7 模型的投影梯度法，并利用b m 算法的相关结果证明了算法 的收敛性进一步，在离散情形下，我们得到由这个投影梯度法可以推导出基 于对偶方法的半隐式梯度下降法，数值实验结果表明投影梯度法的计算速度 快于半隐式梯度下降法为了提取图像的纹理部分，我们提出了一个由r o f 模 型和l u 慎型相结合的混合模型，同样用投影梯度法求得相应的解并得到类似 于l l t 模型的结论此外，我们将增广拉格朗日方法推广到解非负约束去模糊 问题并提出一个积极集算法，同时证明了算法的收敛性，并指出积极集算法可 以被看作一个半光滑牛顿法 3 分裂b r e g m a n 算法在解含有l 1 不可微项的图像处理问题时，由于其具有编程简 单以及容易并行实现等优点，已经被广泛地应用到图像处理问题的各个领域 然而，由于分裂b r e g m a n 算法每一次迭代需要解一个偏微分方程，从而降低了 计算速度于是在第五章中，基于分裂b r e g m a n 算法，我们提出了一个新的投 影算法来解图像处理问题事实上，该投影算法可以避免解偏微分方程，这是 7 一 图像去噪问题中的几类非光滑数值方法 由于利用了投影算子和分裂b r e g m a n 算法中所用到的压缩算子的关系同时我 们给出了算法的收敛性分析，并指出分裂b r e g m a n 算法和投影算法可以归结为 一种经典的算子分裂方法最后，我们将分裂b r e g m a n 算法推广到解l o t 模型 的第二步，提出了解各向异性l l t 模型的投影算法，并通过数值试验验证了这 两种算法的有效性与优越性 1 4 本论文的章节安排 本论文的章节安排如下： 第一章，首先介绍了图像处理问题的研究背景，指出了对基于偏微分方程的图 像处理问题的理论与方法进行研究的重要意义；然后回顾了两类图像复原模型：局 部图像复原模型和非局部图像复原模型，特别是近二十年来引起广泛关注的偏微 分方程模型一r o f 模型与l u 模型；最后给出了本论文研究的内容和结构框架 第二章，详细阐述了与图像处理有关的泛函分析、最优化理论、凸分析和变分 法等相关内容，并给出了b y 空间以及b y 2 空间的相关定义和性质为了有效地衡 量图像的复原效果，我们给出了信噪比、l 2 能量范数和均方差的定义 第三章，首先回顾了半光滑函数的性质以及解非光滑方程组的半光滑牛顿型 方法的相关理论在此基础上，针对r o f 模型，我们提出了阻尼修正高斯牛顿法， 并在算法中引入了预处理共轭梯度法最后将半光滑牛顿型方法推广到解l l t 模 型，并证明了算法具有全局收敛性及q - 超线性收敛速度 第四章，首先介绍了无限维h i l b e r t 空间中优化问题的增广拉格朗日方法及其 相关理论，在此基础上，针对l 【t 模型和纹理提取的混合模型，我们提出了新的投 影梯度法，并证明了该算法的收敛性同时也指出了该投影梯度法和经典的半隐 式梯度下降法的关系最后将增广拉格朗日方法推广到解非负约束去模糊问题，提 出了一个积极集算法，证明了该算法的收敛性并指出该算法可以看作半光滑牛顿 法 第五章，首先回顾了邻近算子的定义及其相关性质、向前向后分裂( f b s ) 算法 和d o u g l a s - 风斌渤r d 分裂( d r s ) 算法，并指出分裂b r e g m a n 算法和d r s 分裂算法的 联系在此基础上，基于b r e 鲫a i l 算法，提出了一个新的投影算法来解图像处理问 题，并给出了算法的收敛性分析最后，将分裂b r 唧皿a n 算法推广到解l o t 模型的 第二步，并提出了解各向异性l l l 7 模型的投影算法 一 8 一 博士学位论文 第2 章预备知识 在图像处理问题中，由于基于偏微分方程的方法可以对连续图像进行建模，具 有非常强的局域自适应性，而且模型易于修改和扩充，应用面广，具有高度的灵活 性，因而已成为图像处理问题中常用的方法通常意义下，这类方法涉及到泛函分 析、最优化理论、凸分析和变分法等相关数学内容本章我们介绍了相关的数学知 识，同时也给出衡量图像复原质量的量化标准 2 1 泛函分析基础 本小节主要回顾与图像处理相关的泛函分析的基础内容，主要可参看文献【5 3 ， 5 4 】 定义2 1 1 供轭空间j 设x 是线性赋范空间，x 上连续线性泛函的全体称为x 的 共轭空间做对偶空间，记作x 。 定义2 1 2 缈空间夕设区域q 为形中的非空眈协弘e 可测集，：q _ r 为实 值眈6 e 踟e 可测