（计算数学专业论文）椭圆问题局部非协调mortar方法及预处理技术.pdf

摘要 3 6 1 2 主t 在这篇论文中，对于二阶和四阶椭圆型方程，我们讨论在不匹配网格上的局部非协调m o r t a r 有限元离散和预条件技术。对局部非协调的m o r t a r 有限元方法，我们进行了误差分析，并设计 了求解离散问题的并行算法。同时对二阶椭圆问题进行了数值试验，计算结果与理论相吻合，而 且对两子区域而言，收敛性的计算显示了比理论更好的结果。 f 首先对二阶椭躅型边值问题，在局部的子区域上采用p l 非协调有限元离散，我们提出了一 种新的m o r t a r 条件，在这个m o r t a r 条件中，n o n m o r t a r 边上的自由度只依赖于与它对应 的m o r t a r 边上的值，而与m o r t a r 边所在的内部区域的自由度无关，也与其他相邻的子区域无 关。对于这种局部p l 非协调的m o r t a r 元方法，我们给出了收敛性分析，得到了拟一致的误差 估计。 同时我们讨论了用子结构方法构造预处理技术，通过空间分解，并引入新的粗网格空间，在 a s m 框架的抽象框架下，得到了预处理后代数方程的条件数估计。并且对两区域情形，给出了数 值试验结果。 接着对四阶椭圆型边值问题我们考虑在不匹配m o r t a r 网格上用局部的m o r l e y 元离散的 m o r t a r 方法，通过对m o r t a r 有限元空间逼近性的改进，得到了与常规m o r l e y 元方法一致的 最优误差估计。 由于收敛性结果的改进，对于m o r t a r 一型m o r l e 3 ，有限元离散后形成的代数方程，我们可以 构造了预处理算子。首先我们构造了瀑布多重阿格方法。在瀑布多重网格方法中，在得到m o r t a r 一 型m o r l e y 有限元离散1 一范数收敛性结果的基础上，证明了瀑布多重网格方法具有与有限元解 同样的精度和拟最优的计算复杂性。 最后我们构造了m o r t a r 一型m o , l e y 有限元方法的v a r i a b l ev c y c l e 多重网徽预处理算 法。在理论上证明了v a r i a b l ev - ( y c e 多重网格预处理算法具有最优的条件数估计。j 关键词：m o t t a r 有限元，r 非协调元，m o r l e y 元a s m 方法，瀑布多重网格方法 多重网格方法 v 分类号：0 2 4 1 8 2 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s sd i s c r e t i z a i t n so dn o n m a t c h i n gt r i a n g u a l t i o no fe e r t a i n s e c o n do r d e ra n df o r t ho r d e re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si nt h et w od i m e n s i o n s b yt h em o r t a rm e t h o dw i t hl o c a l l yn o n c o n f o r m i n g f i n i t ee l e m e n t w ep e r f o r ma ne r r o r a n a l y s i sa n dd e s i g na n da n a l y z e s o m e p a r a l l e lm e t h o d s f o rs o l v i n gt h e r e s u l t i n gd e s c r e t e p r o b e l e m w ea l s op r e s e n tt h er e s u l t so fs o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sw h i c hc o n f i r m s s o m eo ft h et h e o r e t i c a lr e s u l t sf o rm o r t a rm e t h o dw i t hl o c a l l y 1n o n c o n f o r m i n gf i n i t e e l e m e n ta n dt h et h ee x e r i m e n tf o re r r o ra n a l y s i so nt w os u b d o m a i n sj ss u p e r i o rt ot h e t h e o r e t i c a lr e s u l t r ) rs e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m w ef i r s tc o n s i d e ram o r t a re l e m e n tm e t h e dw i t h l o c a l l y 尸1n o n c o n f o r m i n gf i n i t ec l e m e n t ，a n dd e s i g nan e wm o r t a rc o n d i t i o n aq u a s i o p t i m a lc o n v e r g e n c e ( w i t haf a c t o ro fl nh ) i so b t a i n e du n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h e t r i a n g u l a t i o n so ne v e r ys u b d o m a i na r eu n i f o r m a ni t e r a t i v es u b s t r u c t i n gm e t h e o d f o rs o l v i n gt i l er e s u l t i n gd i s c r e t ep r o b l e mi sp r e s e n t e d t h ep r e c o n d i t o n e rm e t h o di s a l m o s to p t i m a l ，i e t h ec o n d i t i o nn u m b e ro ft h ep r e c o n d i t i o n e ds y s t e mg r o w so n l y p o l y l o g a r i t h m i c a l l yw i t ht h en u m b e r o fe l e m e n t sp e rs u b d o m a i n f o rf o r t ho i - d e re l l i p t i cp r o b l e m w es t u d yam o r t a re l e m e n tm e t h e dw i t hl o c a l l y m o r l e yn o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t ，b a s e do nt h em o r t a rc o n d i t i o no f1 6 3 l ，w ec a n d e f t , l ( ，m o r t a r t y p em o r l e yf i n i t ee l e m e n ts p a c e f o rt h i ss p a c e ，w e c o n s t r u c taf u n c t i o n b e l o n g i n gt o 明( n ) a n ds a t i s f ) ，i n gt h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o nt om o r t a r t 3 r p em o r l e y f i n i t ee l e m e n ts p a c ei nt h es e n s eo fl 2 f n ) b a s e do i lt h i sp r o p t y ，w eg i v ea ni m p r o v e d o p t i m a le l r o t e s t i m a t e s1 i k et h a tf o rg e n e r a lm o r l e ye l e m e n tm e t h o d a n dw ea l s o c o n s t r u c tp r e c o n d i t i o n e rt os o l v et h ed i s c r e t ep r o b l e m f i r s tw ed e s i g n e dac a s c a d i c m u l t i g r i dm e t h o da n dp r o v et h a tt h ec a s c a d i cm u l t i g r i ds o l v e rg i v e ss a t t ! ea c c u r a t ea s t h ef i n i t ee l e m e n ts o l u t i o na n dn e a r l yo p t i m a lc o m p l e x i t yf o rt h ec o n j u g a t eg r a d i e n t m e t h o d ，t h e nw ep r o p o s e da v a r i a b l ev c y c l em u l t i g r i dm e t h o df o rm o r t a r t y p em o r l e y e l e m e n tm e t h o d 、a n dp r o v et h ec o n d i t i o nn u m b e ro ft h ev a r i a b l ev c y c l em u l t i g r i di s o p t i m a l c h a p t e r 1 介绍 1 1 综述 m o t “本意指用来粘和砖块的泥浆，被法国数学家c b e r n a r d i ，y m a d a ) r 和a tp a t e r a 用 来形象地描述一种新的离散方法。常规的变分方法是在求解区域定义全局的网格，并建立离散变 分问题，然后把全局网格分成小的区域来构造区域分解方法。而在m o r t a r 方法中，首先把求解 区域分成小的子区域( 子结构) ，在每个子区域上分别构造独立的网格剖分，并定义独立的变分离 散问题。对于在于区域交界面上出现的网格不匹配，用积分条件来进行耦合。采用m o r t a r 有限 元方法，提供了有限元网格构造的灵活性，可以很容易地构造局部有结构而整体无结构的网格； 可以克服谱方法适用于周期边界条件的限制而不影响它的无限精度能力，可以在不同的区域定义 不同的变分问题，更适合复杂的，跳跃系数的物理问题i 同时m o r t a r 方法是十分适合并行处理 的。下面我们简单描述一下m o r t a r 有限元方法的基本思想： 设n 是舻上的一个有界多边形区域q 。为多边形子区域，( 1 曼s ) ，满足 k q = u q 和n nq 。= o k = 1 如果q 。n 科的交或者是空集或者是条边，或者是顶点，那么我们称它为几何协调情形，否则 称为几何不协调情形。我们考虑几何协调情形。 对任何和f ，l 南，f k ，开线段7 “定义为 定义r 为所有子区域边的集合 h = q n q kj 伸) r = uu p 我们记这些r 6 j 边为7 ”，并把它们称为”m o r t a r ”，把对应的另一边称为”n o n m o r t a r ”。 m 体 i | mp 是满台集的m ”， v 一r g 旦 1 | | r 一 一 f | m 对且 效，整的为交m 硼 设是 2 第一章介 绍 在每个子区域上构造独立的网格e 和有限元空间k ，同时在每一个子区域的交界面上用积 分匹配条件，称为m o r t a r 条件，来解决网格的不匹配性，从而可以定义整体的m o r t a r 有限元 空间k 。因此m o r t a r 有限元空问可以分为三个部分： u l n 。属于标准的有限元空间， 满足整体边界条件 在交界面上满足m o r t a r 条件) m o r t a r 有限元方法离散后形成的伐致左程，= 般是太的箍琉矩阵，面且釜往数较差，j 辅i 态的， 需要用加性s c h w a r z 方法，子结构方法，多重网格方法等预条件技术来进行处理。各种预处理方 法现在已经广泛地用于分析和求解偏微分离散后的代数方程，而且日益成熟。这里我们只提到我 们引用的文献：子结构方法 3 5 】- 【3 8 及书【8 2 】，a s m 方法【5 4 ，5 5 】，多重网格算法【3 2 】_ 【3 4 j ， c a s c a d i c 多重网格算法f 2 7 ，2 8 ，5 0 ，5 1 ，7 3 ，7 4 ，7 7 ，7 9 和1 8 0 】。而对于m o r t a r 有限元方法 上的预处理方法，是从最近几年开始并取得结果，而对四阶问题的预处理技术还远远未深入。下 面我们介绍一下关于m o r t a r 方法的研究成果。m o r t a r 方法是在八十年代末九十年代初由法国 数学家提出f 12 1 和f 2 5 1 。最近十年得到了广泛的关注。在方法的拓展和应用上有：3 维l 可题的 收敛性分析1 2 3 ，拟线性问题【6 9 】，角点奇性问题 1 1 i ，接触问题【1 6 ，1 9 ，2 0 】流体及n s 方 程f 8 ，9 ，5 8 1 ，对流扩散3 】，h p 方法【7 5 ，7 6 】，谱方法1 1 7 ，1 8 ，2 1 ，6 8 1 ，谱方法及有限元方 法2 2 1 重叠型m o r t a r 有限元方法1 4 3 l ，稳定性分析 2 9 】。在前处理和后处理上：有网格加 密【2 4 自适应网格【6 2 】，先验误差估计1 8 5 】，【8 6 】，【8 7 。在预处理技术上有：并行实砸1 1 j ， 子结构及加性s c h w a z 方法4 ，5 ，4 4 ，4 5 ，6 ，7 ，5 2 ，5 3 】多重网格方法【3 0 ，3 1 ，6 1 ，8 4 j 。对于 四阶椭圆问题m o r t a r 方法的研究和局部非协调m o r t a r 方法的研究还比较少，主要的工作是 m a r c i n k o w s k i 在他的博士论文【7 0 】傲的，黄建国、李立康和陈金如【6 4 ，6 3 】等也考虑了局部 b 有限元和局部m o r l e y 非协调元的m o r t a r 方法，得到比较好的结果。 我们也注意到关于m o r t a r 方法类似的方法梁国平1 6 5 i 等也讨论过。 下面我们介绍一下论文的内容。在论文中我们主要讨论局部r 非协调元方法和m o r l e y 元 m o r t a r 方法的收敛性分析及预处理技术。我们知道r 非协调元方法和m o r l e y 元方法非协调 元方法是十分重要的，它们与混合元方法有一种内在的紧密联系( 见 1 3 ，【4 6 】) 。所以考虑这两 种非协调元的m o r t a r 方法是十分重要的。 论文的内容分为两大部分。第一部分对二阶椭圆边值问题考虑在每个子区域用局部尸l 非协 调有限元离散的m o r t a r 有限元方法和子结构预处理方法。 在第二章对局部p 1 非协调有限元m o r t a r 方法，我们提出一种不依赖于内部自由度的新 的m o r t a r 条件并对这种m o r t a r 有限元方法进行收敛性分析得到了拟一致的误差估计。在 m a r c i n k o w s k i ( 见f 7 0 1 ) 关于局部p 1 非协调有限元的m o r t a r 方法中，他提出的m o r t a r 条 件仅仅依赖于相邻m o r t a r 边的自由度还依赖于相邻区域与m o r t a r 边有公共单元边的单元上 的内部的自由度。这样在某种剖分情况下，比如子区域剖分有内交点以粗网格作为m o r t a r 边，一个子区域n o n m o r t a r 边上的自由度不仅仅与相邻的子区域有关而且与有公共内交点的 子区域都有关系，在最坏的情况下，要求解一个线性代敷方程( 见第二章中图2 1 ) 。因此当考虑 并行计算尤其是分布并行计算算法时，由于于结构之间通讯量的增加，会影响分布并行计算的效 率。在我们的数值例子中，也说明了算法的收敛性。 接着在第三章，我们给出了第一章中介绍的局部p 1 非协调元m o r t a r 方法的加性s c h w a r z 算 法。在第一章给出的m o r t a r 有限元方法导出的代致方程是大的稀疏矩阵，条件数为o ( h 。) 。为了 求解代数方程，必须进行预处理。这里给出的加性s c h w a r z 预处理算法是在d r y j a 和w i n d l u n d 综述 3 的抽象a s m 框架f 5 5 1 之下构造的，但是也可以看作类似b r a m b l e 等【3 6 构造的子结构算法。 首先，我们把m o r t a r 有限元空间分解成子空间的和，一般地，这些子空间由粗网格空间，局部 的椭圆投影空间和局部离散调和空间组成。( 如果从s c h u r 补的角度，可以先在每个子区域求解 对应的椭圆投影，消去子区域内部的未知量而求解交界面问题，就不需要局部的椭圆投影空间。) 然后。构造局部的双线性形式，给出一个等价与原问题但有更好条件效的替代方程。然后对替代 的方程可以用共扼梯度方法求解。在d r y j a 和w i n d l u n d 的抽象a s m 框架的基础上，我们得 到了区域分解算法的条件效估计。数值例子也说明算法的有效性。 第二部分对四阶椭圆边值问题，考虑在每个子区域用局都m o r l e y 非协调有限元离散的m o t t a r 有限元方法，改进了 6 3 】中提出的关于局部m o r l e y 有限元m o r t a r 方法的误差估计，得到了 与常规m o r l e y 有限元一致的误差估计，同时我们构造了瀑布多重网格方法和v a r i a b l ev c y c l e 多重网格预处理方法。 在第四章考虑的是紧支板问题，我们考虑在每个子区域用局部m o r l e y 非协调有限元离散，对 于f 6 3 1 中提出的m o r t a r 条件形成的m o r t a r 有限元空间，构造了具有最优逼近性质的h ；( ! ) 逼近。在此基础上，我们得到了新的相容性结果，因此得到了与常规m o r l e y 有限元一致的误差 估计。 对于四阶椭圆型方程的m o r t a l 方法，据我们所知，结果比较少( 1 1 7 i ，1 1 8 】，1 7 0 i ) 。在1 1 7j ，【1 8j ， z b e l h a c h m i 和c b e r n a d i 在谱m o r t a l 元方法的意义下离散双调和方程，给出了最优的误差 估计，由于谱方法的限制，在他们的文章中，要求求解区域与j 或一坐标平行。在m a r c i n k o w s k j 的博士论文中，考虑了关于局部b f s 元、a d i n i 元、h c t 元和r h c t 元以及m o r l e y 元 的m o r t a r 方法的构造，并给出了误差估计，同时构造了局部b f s 元、a d i n i 元、i t c t 和 r h c t 元的a s m 方法。注意到在1 7 0 i 对收敛性分析的要求太强( 要求变分问题的解“属于 h 0 2 ( n ) n ，4 ( n ) ) ，同时考虑到m o r l e y 元方法的重要性与混合元密切相关( 1 1 3 】) 且是自由 度最少的板元和强非协调元黄建国李立康和陈金如f 6 3 l 重新考虑了局部m o r l e 3 ，元m o r t a l 方法，构造了新的m o r t a r 条件在低的光滑性条件下“孵( n ) n 日4 ( f2 ) ，证明了他们提出 的m o l t a r 一型有限元方法有最优的误差估计。但直接利用【6 3 l 的收敛性结果。不能直接得到多 重网格的条件敷估计。本章改进了f 6 3 l 中的收敛性结果，使得f 6 37 中的m o r t a t - - 型m o l i c y 元 方法与普通的m o r l e y 有限元方法给出一致的误差估计。在此基础上，我们可以构造多重网格算 法。 在第五章我们构造了在第四章给出的m o r t a r 型m o r l e y 元的瀑布多重网格预处理方法。由 为由m o r t a r 型m o r l e y 有限元方法形成的刚度矩阵的条件数为o ( h “) ( h 为有限元网格) ， 预处理技术对实际问题的求解变得十分重要。在这一章我们考虑瀑布多重网格方法瀑布多重网 格方法是一种多水平的计算方法，利用它可以得到与有限元解同样精度的迭代解。与通常的多重 网格方法相比，瀑布多重网格方法不器要粗网格的校正，是一种。单向”的多重网恪方法，同时为 了得到与有限元解同样的精度，要求在粗网格上比细网格上有更多的迭代。当在每一层( 水平) 上 用共扼梯度迭代方法时，我们瀑布塑多重网格方法称为c c g 方法。对于二维的二阶椭圆变分问 题，b o r n e m a n n 和d e u f l h a r d 证明了 2 7 1 c c c 方法给出了与有限元方法同样最优的精度，并 且有最优的计算复杂度。石钟慈和许学军 7 9 把c c g 方法推广到了板问题，并证明了对于板问 题c c g 方法给出了与有限元方法同样最优的精度但只有拟最优的计算复杂度。同时在【8 0 】 中给出了瀑布多重网格方法的一个抽象框架。本章在1 8 0 i 工作的基础上给出了1 6 3 i 中m o r t a r 一 型m o r l e y 元方法的瀑布多重网格方法。证明了对于第四章中的m o r t a r 一型m o r l e y 有限元空 间，c c g 方法可以给出同样最优的精度和拟最优的计算复杂度。 在第六章，我们构造了调和方程m o r t a r 一型m o r l e y 有限元的多重网格算法。关于二阶问题 的多重网格方法已经有较深入的研究( 见1 3 0 ，6 1 ，8 4 1 ) 。而对于四阶椭圆问题m o r t a r 有限元 方法的多重网格算法还刚刚开始。对于m o r l e y 有限元，b r e n n e r 在文1 3 9 】构造了最优的多重 4第一章介 绍 阿格算法。在j h b r a m b l e 【3 2 】s e 构建了关于非协调有限元的多重网格框架，在一定的假设条 件下可以得到v a r i a b l ev - c y c l e 多重网格算法的最优条件效估计。由于我们在第五章中已经考 虑了m o r t a r 一型m o r l e y 有限元方法的瀑布多重网格算法一些关键的引理已经被证明，多重网 格方法的条件数的估计变得简单。我们利用【3 2 】的基本框架，通过证明假设条件对调和阿题的 m o r t a r 一型m o r l e y 有限元方法，得到了最优条件的v a r i a b l ev - c y c l e 多重网格算法。对于紧 支板问题可以得到同样的结果。 1 2 函数空间 这一节我们定义一些函数空间。如果s r “，那么尸n ( 5 ) 表示在s 上次致最多不超过n 的多 项式函数的集合。啤( n ) 为“l p ( f 1 ) 且知道k 阶导致也属于护( q ) 的函数全体。在吩( q ) 怯，= 融伽郴，) 1 ，p 1 鳅o 。l 川bj 雌( q ) 2 挑m a x k i i o “怯( n ) ， 这里i | 1 | l r ( n ) 表示标准的9 范效， | “| | 。一( n ，= 上i “1 9 d x ) 9 ，t sp m ， i l 。( n ) = e s ss u l “，( z ) i 在吩( n ) 上的半范定义为 川彬，= 融弛川钿。，r 一 和 雌( q ) = m a x i i 沪“怯( n ) ， 对于p = 2 ，记h ( n ) = w ( n ) 。分数次空间h ( q ) 上半范和范数的定义为：设s = b + t ，0 t 1 ，女是整数 喝佃广。量上上铲捌v 这里是空间的维数， 备( n ) = i f v l l ；, ( 。) + i v l l , ( n ) 定义螂( n ) 为c g ( f 1 ) 在h 一( n ) 意义下的闭。设s 为一线段，n ，b 为其两个端点，空间h 品2 ( s ) 为2 ( s ) 和硪( n ) 的内插空间。 聪2 ( s ) = l 2 ( s ) ，硪( s ) 1 2 j3c g 方怯 在其上定义范数 孤一z 6 网l u ( x ) 1 2 a x + z 6 黜a x ) 1 2 1 3 共扼梯度方法 5 对于有限元离散形成的代数方程 a u = f 中的刚度矩阵a ，一般是大的稀疏矩阵，丽且条件数比较差。通常我f f l l 如预条件子曰转而 考虑预处理后的代数方程 b 一1 a u = t 3 1 ， 对于预处理子b 的构造要满足两个性质： 1 ) 新的矩阵a = b _ 1 a 条件数要好，应与a 的维数无关或只是对数依赖。 2 ) b - 1 要容易实现和并行计算。 现在发展起来的预处理技术一般满足这两个条件。由于在求解预处理化的代效方程时，我们常 选用共扼梯度方法( 即p c g1 ，下面给出共扼梯度方法的表达： 预处理共扼梯度方法 设k = 0 ；x 0 = 0 ；r 0 = ，； 当l h f i s , l l r o l l ： 计算z k = b 一1 “ k = k + l i fk = 1 p 1 = 0 1 e l s e 风= ( r k 一1 z k1 ) ( “一2 ，z k 一2 ) p k = z k 一1 + 风p k 一1 e n d o = ( r k 。1z k1 ) ( p b ，a p k ) x k2x k 一1 + o k p k r k = “一1 一o k a p k e n d 经过k 步迭代后其误差在能量范数下递减 i i x - - x k | | - sz ( ；黼) i i z z 。i f - 这里t v ( b - 1 a ) 是口- 1 a 的条件效。 c h a p t e r 2 关于局部毋非协调元m o r t a r 方法的收敛 性分析 2 1 介绍 本章的目标是对于二阶椭圆边值问题，当在每个子区域用局部尸1 非协调有限元离散时，提出一 种不依赖于内部自由度的新的m o r t a r 条件，并对这种m o r t a r 有限元方法进行收敛性分析。 法国数学家b e r n a r d i ，m a d a y 和p a t e r a 首先提出m o r t a r 方法在【25 】在他们的文章 中，考虑的是谱方法和局部p 1 协调有限元离散意义下的m o r t a r 方法。我们知道非协调元方法 是十分重要的，例如b 非协调元方法与混合元方法有一种内在的紧密联系( 见【1 3 】，( 4 6 】) 。关 于局部非协调有限元离散的m o r t a r 方法据我们所知，是由m a r c i n k o w s k i ( 见 7 0 1 ) 首先提 出的，在【7 0 】中他在每个子区域考虑用局部p 1 协调有限元离散，在子区域的交界面上他提 出如下m o r t a r 条件：设是局部p l 非协调有限元空间的函数，在子区域g 和1 0 交界面 r 玎= n i n f 2 ，上的迹分别为“和2 0 ，设q m 为l 2 ( r ，) 到n o n m o r t a r 边上分片线性函致空 间的正交投影，那么 q 。“j = q m i i 对于这种m o r t a r 条件，m a r c i n k o w s k i 证明了无论是粗网格所在子区域的边作为m o r t a r 边， 还是粗网格子区域的边作为m o r t a r 边，都有最优收敛性结果。 我们注意到在这种m o r t a r 条件中，n o n m o r t a r 边上的自由度不仅仅依赖于相邻m o r t a r 边的自由度，还依赖于相邻区域与m o r t a r 边有公共单元边的单元上的内部的自由度。因此在某 种剖分情况下，比如在圈2 1 和图2 2 中子区域剖分有内交点，如果以槛网格作为m o r t a r 边， 一个子区域n o n m o r t a r 边上的自由度不仅仅与相邻的子区域有关，而且与有公共内交点的子区 域都有关系，在最坏的情况下( 例如图2 2 的制分) ，要求解涉及多个区域的自由度线性代数方程 才能确定n o n m o r t a r 边上的值。在图2 2 中，在内交点附近的四条n o n m o r t a r 条件会互相影 响，求解m o r t a r 条件会变得复杂，同时由于于结构之间的通讯增加，会影响分布并行计算的效 率。 在这里，我们构造了个新的m o r t a r 条件，首先利用在m o r t a r 边上的自由度构造一个分 片连续线性函数，然后利用这个线性函致在n o n m o r t a r 边分片常数空间上的l 2 投影来计算 n o n m o r t a r 边节点上的值。这样构造的m o r t a r 条件n o n m o r t a r 边上的值与m o r t a r 边上 自由度有关，丽与m o r t a r 边所在内部区域无关，与其他区域也无关。对于这样的局部p 1 非协 调m o r t a r 有限元空间，我们在理论上证明了其有拟一致的收敛性在数值实验中，计算结果也 7 8 很好。 第二章关于局部且非协调元m o r t a r 方法的收敛性分析 在这章中，首先介绍连续问题，然后在第三节给出m o r t a r 空间的定义和离散变分形式， 在第四节，给出了相容性和逼近性结果，得到了收敛性结果。在第五章，我们给出了数值倒子。 么 ， ， ， ， 么 图2l v 小 价 图2 2 2 2 连续问题和m o r t a r 有限元空间 设q 为二维平面r 2 的一个凸多边形区域。考虑如下问题： 一- v 。a ，乳一 。i n 装：， z - ) 这里a ( x ) 是足够光滑在话一致对称正定的函数矩阵，f 是一个l 2 ( n ) 的函数。 我们假设连续问题( 2 2 1 ) 有一个唯一的解“属于聊( f 2 ) nh 2 ( n ) ，且有如下的椭圆正则 性假设：存在常数c n a 满足 i | u l l n ：( n s ， i | f i l l ：f 【i ) ( 2 2 2 ) 这里我们考虑m o r t a r 有限元方法的一个几何协调版本也就是说区域q 被剖分成凸多边 形区域她的集合，且这种剖分满足q = u 丝】哦和q nn 是空集或一个顶点或一条边对于 i j 。在每一个子区域f 2 i 产生一个由三角形单元 ， 组成的拟一致剖分靠，f 。记剖分，i 中最大单元的直径为 i 。因此靠= u 丝】靠构成一个区域n 的全局三角形剖分。并且， 记1 1 0 为子区域q i 和n j 公共的开边：p ，j = a q ina n ，且让r 记为所有这些边的集合： f = u 墨1 0 0 i o n 。因为每个子区域上的剖分矗的构造是独立的，因此每一条边r i 继承了 两个剖分，这两个剖分分别是子区域k 和q j 割分在【、“上的限制。这意味着r “提供两个独 立不同的l d 网格我们分别记为t n ，( f “) 和巩，j ( n i ) 。 定义c r 节点为五单元边的中点。那些在g ，a n 和a n 上的c r 节点的集合分别记为 n 量，a n # 和a n r 。 定义在子区域旺上的局部p 1 非协调有限元空间为 x h i = 因为在子区域的交界面上有两个独立的网格，所以我们在交界面上加上积分匹配条件 条件。 盼 q 盼 n乱 0孵 吨an 毗路 。抑氖呱 | | e ”棚附 r a b魄 日 23 误差估计 9 定义交界面r in - - 边nm o r t a r 边( 主边) ，记为。同时另一边为n o n m o r t a r ( 从) 边r 记为幻。且记蠢，i ( 均) ( 靠，j ( 妨) ) 为剖分t h ，, ( t h j ) 在边1 b ( 如) 的限制在，f i t 有夏誊c r ， 节点：菌于五i ( 7 。) 的单元边的中点和属于霸，i ( 如“) ) 单元边的中点，分别记为，y 置嚣( i ) 和 嚷景。 图2 3 设m h ( 7 。f i ) ) 是空间l 2 ( f i j ) 的子空间定义为 彳 ( 1 m ( ，) ) = ”： l 2 ( r 玎) ， i sc o n s t a n to ne ， v e 磊j ( 1 h ( i ) ) ) 设q 1 为映2 ( r 巧) 到m h ( 1 。( i ) ) 上的l 2 正交投影：对每条m o r t a r 边7 m ( 1 ) = f i t cr ( q “，妒) l ：( 1 m ( 。) ) = ( “，妒) l 。( 1 珥( 订) ，v 妒 靠( 1 m ( t ) ) ( 2 2 3 ) 类似地，我们可以定义m h ( 6 , n ( j ) ) 和q 6 。 通过连接靠j 单元边的中点可以得到剖分曩l 。设x ；( q ) 是在剖分疆，i 分片线性连续的协 调元函数空间且对线段sca n i 露( s ) = i ( n ) f 。在每条m o r t a l 边7 。( i ) co n i ( i = 1 ，n ) 上，我们介绍局部映射：m h ( 3 ，| 。( ) ) 一x ，( 7 。( 1 ) ) 定义为：给定a “( 1 ”( i ) ) ， 通过p u 在剖分曩，i ( 7 。( i ) ) 顶点p 上的值来定义p u x i 2 ( 州) 1 如果尸7 h c , 。r “) ，那么p “( p ) = u ( p ) 。 2 如果p 是7 。的一个端点，那么1 1 u ( p ) = “( ，0 r ) ，这里r 是在7 。( o 上离p 最 近的c r 点。 3 ，如果p 是单元7 r h ，( 1 h ( ) ) 的一个顶点那么p u ( p ) = ；( “( 日) + ( 只) ) ，这里r 和 尸r 是在7 m ( i 1 上与尸相邻的左右c r 点。 定义在n 上的离散空间x h 为： x h = ”：v l n x ，i ，a n dv 7 = 巧cf ，q 6 p q l v l l = q 6 ”1 6 ) ( 2 2 4 ) 我们把在交界面r 上的条件称为m o r t a r 条件。 2 3 误差估计 连续问题( 2 2 1 ) 有如下变分问题：找“硪( i 2 ) 满足 ( a v u ，v 口) z ( n ) = ( ，”) l ，( n ) ， v ”h o ( n ) ( 2 3 5 ) 1 0第二章关于局部尸1 非协调元m o r t a r 方法的收敛性分析 对应的离散问题是：找“ x 满足 a h ( u h ，v h ) = ( f ，v h ) l ：f n ) ，v v h ，( 2 3 6 ) 这里对任何“h 和”h x h ，定义 nn n h ( t h ，u h ) = a h ，i ( u h ，u h ) - ( a v h u h ，v h ”h ) l 2 ( n 。) ， 和 ( v h u h ) l e = v ( “ i f ) ，v e 五 l e m m a1 双线性形式“h ( - ，) 在x h 上是对称正定的因此存在唯一的解t l h x 满足 f 2 3 5 ) p r o o f 我 f l r 需证明对1 1 h 、，h ，a h ( v h ，y h ) = 0 隐含着v h = 0 。如果h ( t 堆，”h ) = 0 容易知道1 ) h 在每个子区域q i 上分别等于某个常数g 。由m o r t a r 条件( 2 2 4 ) ，这些常数是 相等的并且由边界条件得到c i = 0 。一 l e m m a 2 如果1ca n i 是子区域n i 的一条m o r t a r 边对任意的函数q i n 。x ，“，我们有 i ，1 q 7 州日sc l i v e , j i l l z ( n 。j ( 23 7 ) p r o o f 首先我们构造一个函数可i ( n i ) ，我们只需给出可在剖分疆( n 。) 顶点尸上的 值： 1 如果p 可，那么可( ，) = ，1 q 1 r l ( 尸) 。 2 如果p n 2 r r y c i r ，那么可( ，) ) = q ( p ) 。 3 如果p t l h ，a n h i 是单元磊，i 的一个顶点，那么 秽) 2 丽1 点。m 艘 这里岛是与p 有公共顶点的单元，、r ( p ) 是这些单元的个数。 4 如果p 是剖分五i 在o q 了上的节点，那么可( p ) = ；( q ( p 1 ) + q ( 只) ) ，这里p i ，0 是与，) 相邻的左右c r 点。 由尺度变换， 蚓备。1 s c ( 可( 坼) 一可( ) ) 2 雎疆，。毒激 e ( 7 ( 坼) 一_ ( ) ) 2 c l l v , v 7 l l s ( , ) e 磊、，基麓旒 利用文【4 9 1 的引理6 2 - 我们有矧h a n 。l c 吲日一( n ) j ：t - r l t l ；勾可b 在；上等于r , q 1 q 所以 l p q 叶1 1 1 日 h 阿1 日 ( a n ) g i l v h 叶i l b ( n r ) 一 2 3 误差估计 l e m m a3 假设线段sca n i 是n 的条边，( s 可以是m o l a r 边或n o n m o r t a r 边) 。 对任何函数q i n i x h ，i ，租函数u 日 ( s ) ，成立 i i q , 7 1 。一, 1 1 。i l l 。( ) c ? | f v h 叩l f l 。( n 。) ， ( 2 3 8 ) 和 i i q 5 u u l l 驴( 。) g h l t 汀 f 。) ( 2 3 - 9 ) 而且，如果1 = s 是n i 的一条m o l a r 边，那么成立 ff “( q 1 , 7 1 ，一q 1 , 7 1 ，) 如f c h i l l v h r l l l l ( n t ) l u l 日 f 们 ( 2 3 1 0 ) l ，1 i 。 、 p r o o f 对任何有一条边在s 上的单元e t h 成立：对v 日 ( s ) 或u x h ，有 i i q v l a 一”i 。l i l ，( o e n ) g ji v l 日 ( a 目。) 由尺度变换，x , t 任f qq i n 。x h ，i 成立 ( 鲴。) 墨c l l v h l l l l 2 对所有有一条边在s 上的单元e 的单元求和，可以得到( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) 。 由p 的定义，如果1 是一致剖分的那么 k + l 】i ，一q i ) d s = o ， 这里f l t ( = 1 ，t ) 是在，y 上的c r 点。由等式( 2 3 1 1 ) ，对任何在 b t ，6 蚪1 】( f = 1 ，t 一1 ) 上是分片常效的函效v 成立 z “( ，卜拈薯k “( 一”v 机一m d s - 取 i ( h ，6 ) = 翮1 j r “b t + 1 让d s ，类似于( 2 3 9 ) 的证明，成立 i i 一u i f l ：( 阳，b ，】) a ，l u l 日 ( 们 由p 的定义，并通过简单的计算，容易得到 l l i l l q 7 q i ，一q 1 q h i l l ，( 降。，b ，】) sc ；i f v ，7 f | ，【m 由( 2 3 1 2 )