（计算数学专业论文）一类稳定混合型间断有限元方法.pdf

摘要 间断有限元方法一定程度上保持了有限元的优点，同时极大放松 对单元间连续性的要求，能够更精确地逼近具有奇性、振荡、边界层等 特征的问题很多d g 格式，如局部间断g a l e r k i n 有限元方法( l d g ) ，能 够在形式上显式求解，容易实现并行计算，并且具有很好的稳定性 本文主要考虑经典椭圆方程的一个混合型间断g a l e r k i n 方法的离散 格式，通常逼近格式的稳定顼是由解或者其梯度在内边界上的跳跃值 来决定但本文给出的稳定项是由单元上的残量决定文中讨论了格 式的有界性、稳定性及相容性，并给出了在所定义范数下的最优误差 估计 关键词：间断有限元方法；稳定性；相容性；误差估计 a b s t r a c t d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o dk e e p sm a n ya d v a n t a g e so f c l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n tm e t h - o d s t o t a l l yd i s c o n t i n u o n se l e m e n t sa l eu s e di nt h ea p p r o x i m a t i o ns c h e m e ，w h i c he n a b l e s d gm e t h o d st oc a p t u r eh i g ho s c i l l a t i o n so rv a r i a t i o n si nb o u n d a r yl a y e r s s o m ed gm e t h - o d s ，s u c ha sl d gm e t h o d ，c a l lb es o l v e ds y m b o l l y , a n dh a v en i c es t a b i l i z a t i o n i nt h i st h e s i sam i x e df i n i t ee l e m e n td i s c r e t i z a t i o nj sc o n s i d e r e df o rp a s s i o ne q u a t i o n w i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n a n dh e wf o r m u l a t i o nf o rt h es t a b i l i z a t i o nw a si n t r o d u c e d i n s t e a do fl | s i n gaj u m po fs o l u t i o no ri t s 铲a d i e n t 鹪i tw a su s u a l l yd o n ew e1 】s er e s i d u a l s t a b i l i z a t i o n t h eb o u n d e d n e e s ，s t a b i l i t ya n dc o n s i s t e n c ya l ep r e s e n t e d a n dt h eb a s i ce l r o t e s t i m a t e sa l eo b t a i n e dw i t hr e f q d e e tt ot h ed e f i n e dn o r m k e yw o r d s ：d i s c o m i n u o n s f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；s t a b i l i z a t i o n ；c o n s i s t e n c y ；e r r o r e s t i m a t e s 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违 反学术道德的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后 果，特此郑重声明 学位论文作者：7 渗友 讼6 年q 月日 引言 1 9 4 3 年c o u r a n t 提出了三角形网格刹分的d i r i c h l e t 问题的分片线性逼近f ”，这 是有限元最原始的思想我国计算数学家冯康先生独立于西方也发现了这种方 法至今，有限元方法已成为一门理论完善、应用广泛的数值计算方法 现在有限元被广泛应用到二阶椭圆问题、抛物问题、双曲问题，流体中的 s t o k e s 问题等等目前，该领域的研究相当活跃，随着该门学科的发展，渐渐产生了 许多分支有限元离散求解，牵涉到线性方程组求解，随之带动了线性方程组求解 技术的发展及有限元软件的研究为了提高求解效率和精度，产生了如多重网格 方法、区域分解方法、水平集方法等新兴的研究方向，求解问题的不同需求、计 算量设法减少以及变分形式的多样性产生了如非协调元、混合元等方法 s o b o l e v 空间插值理论，有限维空间的构造以及微分方程正则性理论都是有限 元方法能够实现的理论前提有限元方法的基本原理是将原始问题转化为变分 形式，即弱形式在较弱的空间y 上求解，然后构造出能逼近变分问题求解空间的 有限维空间，一般将求解区域q 剖分成许多小片，构造分片多项式，进而在有 限维空间求解这种方法称为有限元方法若cv ，这种有限元称为协调有限 元若仁v ，这种有限元称为非协调的非协调有限元一度被称为非标准的，因 它求出的解甚至根本不属于原来的空间y 但近年来的数值实验和理论分析说 明这种方法在某些意义下有较好的收敛效果 间断有限元方法就是一种非常实用的非标准有限元方法1 9 7 3 年由r e e d 和 h i l l 首先提出，应用于求解中子运输问题上世纪八十年代后由b c o c k b u r n 和舒 其望结合r u n g e k u t t a 法，将间断有限元推广到非线性守恒律方程和方程组，给 出收敛性理论后，该方法逐渐应用刭流体力学领域，诸如可压缩的n a v i e r - s t o k e s 方 1 程，对流扩散方程等问题的计算 间断有限元方法因为较好的保留了有限元和有限差分的优点，因此得到越来 越多的重视因为保持了有限元的优点，能够处理复杂的区域边界和复杂的边界 条件问题，易于网格加密和高精度处理边界条件，实现自适应算法由于吸收了差 分的一些特点，能够显式求解，容易实现并行计算，一般具有很好的稳定性缺点 是程序设计复杂，计算量比较大，随着大型计算机和并行计算机的问世，间断有限 元方法已经能把低维问题推广到高维了间断有限元方法的文献参见阻7 】、【1 2 - 1 3 l 等但这只是问题的一面，为了算得即快又准，还必须将计算建立在更精密的数学 机理上，建立精确的误差分析是提高效率的基础最近也有一些构造良好离散格 式的文献，参见【8 、1 0 、1 1 】本文主要考虑经典椭圆方程d i r i c h l e t 问题的一个稳定 化混合型间断g a l e r k i n 方法的离散格式通常逼近格式的稳定项是由解或者其梯 度在内边界上的跳跃值来决定，但是本文给出的稳定项是由单元上的残量决定 文中讨论了该离散格式的有界性，稳定性及相容性，并给出了在所定义范数下的 误差估计 2 本文的写作安排如下： 第一章：介绍有限元及间断有限元的预备知识，列举本文所用到的记号和定理 第二章：本文考虑椭圆方程的一个的混合型离散格式讨论了其性质并给出了误 差估计 3 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间和泛函分祈的基础知识 设形为n 维欧氏空间，n 为舻中的区域p ( q ) ( 1 p m ) 表示一切定义在 q 上的p 次可积函数组成的集合，l * ( q ) 表示一切定义在上q 的本性有界的可测 函数组成的集合c ”( q ) 表示区域q 上m 次连续可微的函数组成的集合e * ( q ) 表 示q 区域上无穷次连续可微函数组成的集合 定义1 1 定义范数 o t 8 p m ) = ( i ( z ) l 气b ) ；， 1s p ， ，o i i “l 一( n ) = e s s p i “( $ ) l ，p = ( 1 1 ) 到en 设r r t 为非负整数，1 p o o ，函数空间 i 覃7 m p ( q ) = 让：d o 牡e ，( q ) ，i d i 1 ) ， 依范数 怕驴( 1 墓z m 耐，l _ p o o ( 1 2 ) 0 “l l m ，* 2 川m s a 。xi i z 弘“0 o t * ，p2 。0 构成一个b a n a c h 空间，我们称之为s o b o l e v 空间并定义半范数 m 一一l 暑上m 耐，t 纵 i - i 。= , , x 婴a x e s s s u p i d 4 u ( z ) i ，p = 0 0 i o l - - m z e i 孵”p ( q ) 为c 扩( q ) 按范数。在空间内的完备空同，则h 守，( q ) 也是个b a n a c h 空间 记 点p ( q ) = w 邮( n ) ，日矿( q ) = w 矿2 ( q ) ”i l 。= i i | | m t ：，i | h = i l 帕，f i m i i 。，。 则日”( q ) ，琊( q ) 是h i l b e r t 空间，其内积为 ( “，t ，) m = ( 矿 ，矿口) ，口日”( q ) i l m 迹定理设有界区域qc 舻具有m 阶光滑的边界，“丑”( q ) 则存在与u 无关的常数c ，使得 i i t o ，a n g 0 t i i ，+ l ，v u 日m ( q ) ，0 歹s m 一1 ( 1 3 ) 当舰是l i p s c m t z 连续盹有 i l u l lo t 鼬c l l “l l l ，v 日1 ( o ) 由于月铲( q ) 是c 矿( n ) 的完备化空间，则根据迹算子的定义有 哪( n ) = “h m ( f 1 ) ：嘉l 舳_ 0 ，j = o l ，m l 如下不等式是s o b o l e v 空间中常用的不等式 ( 1 4 ) h i l d e r 不等式z 设1 p ，g 为一对共轭指数，即；+ ：= 1 ，且，驴( o ) ，g p ( q ) ，则 i 厶，扛) g ( 岔) 如l ( 矗i f ( x ) l 一妇) ；( 矗 雪( 霉) i a 如) m i n k o w s k i 不等式设1 s p ，l , g l p ( q ) ，则： ( 厶i ，0 ) + g ( 茁) f p 如) ；( 厶l ，( z ) i 嗨) ；+ ( 厶b ( l p 出) ； g r e e n 公式设暂，口日1 ( q ) ，则 z “嘉出z “笔如+ 厶伽c o s c 7 闽“ c 刀 5 其中q 为锥形区域锄逐段光滑，7 为外法线方向设u 珥( q ) ，口h 1 ( 囝，则 z u 蠡如一z ”鑫如 设“e h 2 ( q ) ，t ，h 1 ( q ) ，在g r e e n 公式( 1 7 ) 中用嘉代替u 后对i 个变量求和， 则有 f 。”0 u0 v ；如= 一z 舭厶考嘶 s ， g r e e n 公式把微分方程纳入泛函框架，从而甩泛函分析研究微分方程和有限元 1 2 有限元空间的一些性质 在区域q 建立一个剖分 ，将q 分割为有限个具有l i p s c b i t z 连续边界的相互 之间没有公共点的内部非空的有界闭集k 之和，即磊= u k ：k 以 k 称为 割分单元h = m a x d i a m f ：r ) ，称为剖分直径常用到三角剖分、矩形剖分任 意四边行剖分等剖分形式 定义1 2有限维空间k 称为相应于剖分以的有限元空间，如果对每个 k ，集合f k = 仞：p = i k ，v v h k ) 是k 上的某一多项式类，并且存在一 个自由度集合膏= 1 l ) ，它是唯一可解的，即任给他，1 t ， 存在唯一一个函数p 氏满足 如= 啦，l s i s 三元集合 k 忍，x ) 称为一个有限元这里一般要求属于某个s o b o l e v 空间 常用的插值空间 k = t h m ( n ) ：t ， i k p k ，k j h c 刀m + 1 ( q ) 逆不等式设剖分 是拟一致的，是 上的分片多项式函数，1 r , q 6 o o ，l s m ，则存在常数c = c b ，y ，f ，m ，r ，g ) ，使得 ( i i “k ) ；c h 一“州o t ；一；h t 一”( i i j r ) ， ( 1 1 1 ) k j hk e j h 当r = q = 2 时，则有 ( h ) s 洲一”( 呦， ( l 1 2 ) ( e j k e 由此可得有限元空间cw 1 一( q ) 上的一个常用的逆不等式 鲰l l ，p c h 10 却，1 s p o o ，( 1 1 3 ) 定义1 3 给定有限元 k , p k ，眉) ，称i i k v 为t ，h 。( k ) 0 是e 耳中出现的最 高阶偏导数的阶数) 的政一插值，如果 i i k v f k ，l ( i i k v ) = f ( 口) ，v l 乏k ( 1 9 ) 此时h k ：h 4 ( 耳) 一斥就称为斥一插值k 为相应于剖分 的有限元空间，称h 为”日( q ) 到k 一插值，如果 r l h v k ，l ( 1 l h vl k ) = z ( k 口) v k j i ( 1 1 0 ) “：( q ) 一k 就称为一插值算子有限元空间作为求解问题所在的无穷维空 间的一个近似空间，必须具有一定的逼近性质 插值定理给定一个有限元仿射族，设相应的剖分j r , = u k ) 是正则的，在 参考元( 霞，户，匀上成立下列关系 h 1 9 ( 露) 一c o ( r ) ， 1 p ( 露) 一矿”一( 霞) ， 7 淼( 霞) ci 矿“e ( 霞) ， 不依赖k 的常数c ，使对任何k 以和函数”- 一( 霞) ，有 扣一v l m 舟e 危矿i 铲1 一m i 叫 + 1 晶耳 ( 1 1 4 ) 扣一r l r v l , ，l t x c h ? 1 。 训+ l ，k ( 1 1 5 ) a q 是局部l i p s c h i t z 连续的 锚- a u ：= 。f 饥i n f。2, 忉 这里f l 2 ( f 1 ) ，方程的解满足正则性条件利用有限元方法求解微分方程数值解， 其中( 扯t ，) = 厶v u v v d x ，( 口) = f n f v d 2 对问题( 1 。1 8 ) ，显然y 秘8 ( t ，) 满足l a x - m i l g r a m 定理的条件，因此( 1 2 0 ) 的解 存在唯一阿题( 1 1 9 ) 中需要适当定义v h ，( ，) t ，及k 上的离散模，使其满足 l a x - m i l g r a m 定理的条件 对于协调元，( 1 1 9 ) 中的a h ( ，) 取为n ( ，) 即可由于i i h t v h ，结合插值逼近定 理和c e a 引理可得到协调元的能量模误差估计i i 一恢进而，利用n i t s c h e 对偶 技巧可以得到“一的口模估计 对于非协调元而言，v h 仁v ，若可找到更大的空间s ) v 且s ) ，这时双线 性型8 ( ，) 扩展到s s 上的一个延拓a ( ，) f 可以扩展到s 7 ，使得 a ( u ，t ，) = a ( u ，魄，移k ，( 口) = ，( 口) ，讹v 此时( 1 j 9 ) 中的( ，) 取为烈，) k 即可，如取似) 2 盖上v t 协如 1 3 间断有限元方法的一些基础知识 我们设q 是一个有界多角形区域，并且在鼬上l i p s c h i t z 连续记靠为n 的一 个剖分，且q = ur ，瓢为瓦中的单元边界的集合，破是内部边界的集合，2 是 r ，k 外部边界的集合冉= 谨u 定义1 4 跳跃值和平均值取e 馥，设单元甄n 确= e ，对标量函数。 驴( 0 ) ，我们记 v i i 。：= 肿k + ( 一n ) t ，k ， v e 程， t ，) l 。：= 些妻垫， ve 程， ”l 2 ( ) ，我们记 p l k ：= h i ， ve 露， 9 口扎：= ve e 2 ， 对向量函数r ( l 2 ) ) 2 ，我们记 h k ：= n t k i + ( 一n ) r i 硒， ve 馥 吼一墅净，v e 馥， 对向量函数r ( 三? 砖2 ) ) 2 ，我们记 | r m _ n r , ve ， f ) k ：= r ， ve 8 用跳跃度和平均值来分部积分 。f a k u k t k n k = f e t ，k i t k l 竹一口k 2 t k 2 叫+ 正【t w t k n 】 c 即2e e z h t 2 = 五f ( z n 一钩b b ) = 。笋+ 分虬+ v x 。2 ( r m 一，- k o ( 2 1 ) c c ： + 上【t k 7 k n 片】 c e c 碟 = 厶l v l r ) + 氐( t ， | r 1 简单起见，取n r l k ，用高斯公式， j ；h r + 丘似h2 ；。泛佑船 ( 2 2 ) 2 ；厶v ( 咐咏) = 厶v h ( ) = f o v h u t + 厶口v a t 第- i 一类稳定混合型间断有限元方法在椭圆问题上的应用 1 9 7 3 年r e e d 和h i l l 对双曲问题提出了间断g a l e r k i n 方法，后来被应用到椭 圆同题和抛物问题。同时，独立于间断有限元方法的加罚方法也得到发展间断 g a l e r k i n 方法研究椭圆方程和抛物方程的思想源于文献【1 2 ，1 3 他们研究了可压 缩的n a v i e r - s t o k e s 方程的数值解法，并产生了极为重要的影响 椭圆边界同题的求解都要讨论格式的稳定性和收敛性，用间断g m e r k i n 方法 研究问题构造出离散格式性能优良的文献参见【8 ，1 0 1 b = 偿t ， 其中q r 2 是一个有界多角形区域，并且在a n 上l z i p c h i t z 连续记磊为q 的一 个制分，且o = ur ，“为霸中的单元边界的集合，e 2 是内部边界的集合，靠是 外部边界的集合，魏= 硼u 引入辅助变量口= v u ，改写经典椭圆方程如下： q = 孔，v r 矗， 一v q 2 ， v r ( 2 2 ) i 硐i 。= 0 ， ve 馥， m k = o ， 杆 i i 本文采用【8 】的记号： l p l k = p 住+ 一，ve 馥， 纠i 。= p ”， ve 勰 p l l i 。= v n + j r ，ve 嘏， v i i 。= ) i t , ， ve 勰， p ) i 。= i ( p + 矿) ， ve 馥 p ) i 。= p ， ve a q ， ) i 。= p + t ，) ，ve 馥， 扣) l 。= 可， ve a n ( 2 3 ) k = = ：。 眨t ， 9 ) 2 1 薹 e i iz ，幽l 1 2 扣，”) 靠= w v d x , r 靠0 7 矿，a d s ， e e e j e r h = w v d s e e c j c 简单起见，本文各处均用这种符号来表达积分 引理1 ：问题( 2 2 ) 与( 2 4 ) 是等价的，若( 2 4 ) 的解充分光滑 注：问题( 2 4 ) 可以理解为在单元内部或边界上的残量形式的组合 2 2 离散格式的弱形式 定义间断有限元( d g f e m ) 空间如下 k ：= 口f ( q ) lt ，i ，p 0 - ) ，v r 霸) ， ：= p ( l 2 ( ) 2 lp | ，( p ( 丁) ) 2 ，v 丁n 于是v hch 1 ) ，ch ( d i v ，靠) 从问题( 2 4 ) 可以直接离散一个格式：求( 蛳) 碥，使得对所有( p ，移) 坛 ( 2 ，5 ) k ( q a - v h u h , p ) t 慧“+ 0 ，8 t b ( t ，口) c 甜i i “l l i i l l v l l l ，v 口v 稳定性 引理3 ：如果k 1 ，那么问题( 2 1 4 ) 是稳定的 证明：在( 2 1 4 ) 左端取口= “( v u ，v k ) ，有 b ( 。，“) = l l v 。+ 冗( 陋1 ) 睦n + i 兄( 川) l l 毒n ( 1 l v h u l l 3 , n4 - i i r ( m ) 惦n ) 由范数等价( ( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) ) ，稳定性成立， 注：实际上对任意的p ( 0 ，1 ) 都是成立的 一般地，有 了c 0 0 ， 。t b ( 口，t ，) 2 c , l l l l l l 2 ，v 口k 相容性 用精确解“去代替近似解，考虑到“是连续的，并且跃度为零 ( 2 1 5 ) 1 8 嚣 纠 油 冽 圳 鼬 0 r 于是 b ( u ，口) = ( v u ，v h v + 冗( 1 口i ) ) 靠 = v u v h v d z 一正 v w u d s + r e t kc o = ( ，口) a b ( u 一让 ，口) = 0 ， v t ，k 注：由“的齐次边界条件，可消去残量的稳定项( r ( m ) ，r ( m ) ) 死 误差估计 首先，假定k 1 ，根据逼近定理，我们有如下局部逼近性质： i u u , i 。，s c h + 1 5 i 珏i 知+ 1 下，v r 孔，8 = 0 ，1 由引理2 和迹定理，有 川牡一钍川i g 胪m h l ，o 定理在引理2 , 3 的假设下，若缸胪+ 1 ( q ) ，则有如下的最优估计 t 一is6 h i i l ，n( 2 2 9 ) 证明：根据有界性( 2 2 2 ) ，稳定性( 2 2 4 ) ，相容性( 2 2 6 ) ，逼近( 2 2 8 ) ，有 故有 c , i l l u , 一u h l i l 2 b ( u t u h ，t 一u h ) = b ( u z t u l u h ) i l i t ，一u l l i | i i t ，一u h g 胪i 让i i + 1 ，a l l l u z 一 i “f 一牡 c h i t i h l ，n 由三角不等式得出最优估计： 定理证毕 阻一“ 川sl i l u u , l l l + i i l u z 一“ l i lsc h 。l u l + l , f 1 2 0 参考文献 1 1r c o u r a n t v a r i a t i o n a lm e t h o d sf o rt h es o l u t i o no fp r o b l e m so fe q u i l i b r i u ma n dv i b r a - t i o n s b u l l a m e r m a t h s o c 4 9 0 9 4 3 ) ：1 2 3 【2 jp g c i a r l e t t h e f i n i t ee l e m e n tm e t h o df o re l l i p t i cp r o b l e m ，n o r t h - h o l l a n dp u b l a m s t e r d a m ， 【3 】s c b r e n n e r ，l r s c o t t t h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d s s p r i n g e r - v e r l a gn e wy o r k ，1 9 9 4 【4 1f b r e z z i ，j d o u g l a sj r ，l d m a r i n i n t w of a m i l i e so fm i x e d f i n i t ee l e m e n tf o rs e c o n d o r d e re l l i p t i cp r o b l e m ，n u m e rm a t h 4 7 ( 1 9 8 5 ) ，2 1 7 - 2 3 5 【5 】f b r e z z i ，g m a n z i n i ，d m a r i n i n ，p p i e t r a , a n da r u s s o d i s c o n t i n u o u sf i u i n t ed e - m e n t 8f o r 衄u s i o np r o b l e m s ，a t t ic o n v e g n oi no n o r ed if b r i o s c h i ( m i l a n o1 9 9 7 ) ，i s t i t u t o l o m b a r d o ，a c c a d e m i ad is c i e n z eel e t t e r e ，1 9 9 9 ，1 9 7 - 2 1 7 【6 】b c o e k b u m ，a n dc d a w s o n a p p r o x i m a t i o no ft h ev e l o c i t yb yc o u p l i n gd i s c o n t i n u o u s g a l e r k i na n dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rf l o wp r o b l e m s c o m p u t a t i o n a lg e o s c i e n c e s 6 ( 2 0 0 2 ) ：5 0 2 - 5 2 2 ma m a s u d ，t j r h u g h e s as t a b i l i z e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rd a x c yf l o w c o m p u t m e t h o d sa p p l m e c h e n g r g ，1 9 1 ( 2 0 0 2 ) ：4 3 4 1 4 3 7 0 i s f b r e z z i ，t j r h u g h e s ，l d m a r i n i ，a m a s u d m i x e dd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h - o t i sf o rd a r c yf l o w j o u r n a lo fs c i e n t i f i cc o m p u t i n g2 2 ( 2 0 0 5 ) ：1 1 9 - 1 4 5 【9 】d n a r n o l d a ni n t e r i o rp e n a l t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hd i s c o n t i n u o u se l e m e n t s i a m j n u m e r a n a l 1 9 ( 1 9 8 2 ) ：7 2 4 - 7 6 0 【1 0 1t j r h u g h e s ，a m a s u d ，j w a n as t a b i l i z e dm i x e dd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o df o r d a r c yf l o w ( mp r e p a r a t i o n ) 【1 1 】尹小红计算经典椭圆方程的局部i 可断g a l e r k i n 方法，6 ( 2 0 0 5 ) ：5 0 - 5 2 【1 2 】f b a s s i ，g m a x i o t t i ，s p e d i n o t t i ，s r e b a y , m s a v i n i ah i g h - o r d e ra c c u r a t ed i s c o n t i n u o u s f i n i t em e t h o df o ri n v i s c i da n dv i s c o t l bt u r b o m a c h i n e r yf o l w ，i np r o c e e d i n g so ft h e2 e n d e u r o p e a nc o n f e r e n c eo i lt u r b o m a c h i n e r yf l u i dd = i r n 锄j 娼a n dt h e r m o d y n a m i c s ，r d e c u y p e r e a n dg d i b e l i u s e ( 1 s ，1 9 9 7 ，9 9 - 1 0 8 【1 3 f b a s s i ，s r e b a y ah i g h - o r d e ra c c u r a t ed i s c o n t i n u o u sf i n i t em e t h o df o rt h es o l u t i o no f t h ec o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s j c o m p u t p h y s ，1 3 1 ( 1 9 9 7 ) ：2 6 7 - 2 7 9 【1 4 j 骆艳，冯民富s t o k e s 方程的稳定化间断有限元法2 ( 2 0 0 6 ) ：1 6 3 - 1 7 4 【1 5 】蔚喜军，周铁流体力学方程的局部间断有限元方法2 ( 2 0 0 5 ) ：1 0 8 - 1 1 6 【1 6 1d y ，s h ia n dh q z h u t h es u p e r c o n v e r g e n c ea n a l y s i so fa na n i s o t r o p i ce l e m e n t j o u r n a l o fs y s t e ms c i e n c ea n dc o m p l e x i t y , 1 8 ：4