（凝聚态物理专业论文）量子点中杂质态体系的性质研究.pdf

摘要 在有效质量近似下，本文采用数学形式简单物理意义明确的六个参数的尝试波函 数，利用变分法数值计算了有限深垂直耦合单、双、三量子点中浅施主杂质体系的束 缚能。本文分别计算了杂质位于体系中心时体系的束缚能以及电子和杂质问平均距离， 结果发现单量子点体系中体系的基态能级强烈依赖于量子点的尺寸，量子点尺寸较小 时，随着单量子点尺寸的增大，体系基态束缚能增大，当达到一定数值后，体系的束 缚能随着量子点的尺寸的增大而减小，这是由于我们选用的有限势垒的原因。 在双量子点体系中，我们计算了垂直耦合双量子点中杂质态的束缚能以及粒子问 平均距离，并且分别讨论了杂质位于三个不同位置时的情况。同时讨论了在各种情况 下电子在量子点中各个位置出现的几率。可以发现，杂质态在耦合双量子点中的性质 比单个量子点中的性质更加重要。 在三量子点体系中，随着各个量子点之间距离的增加，杂质态体系的束缚能增大， 当各个量子点间距离趋于无穷大时，电子将不在各个量子点中跃迁，体系相当于单量 子点体系，体系的束缚能也恒等于一个数值，这个数值与相应宽度的单量子点体系中 杂质态的束缚能相等。三量子点体系中电子与杂质问的平均距离的变化趋势与体系的 束缚能变化趋势正好相反，这说明粒子间距离越大，体系的束缚能越小。最后计算了 体系中电子在各个位置出现的几率随z 的变化关系，都得到了较好的结果。耦合三量 子点中施主杂质态体系中的电子在上下两个量子点中出现的几率相等，而电子在中间 量子点中出现的几率大于其余两个量子点中的几率。 关键词：量子点耦合双量子点耦合三量子点杂质态束缚能平均距离 i i i a bs t r a c t w ec a l c u l a t et h ee l e c t r o n i cs t r u c t u r e sa n d b i n d i n ge n e r g y o fa h y d r o g e n i ci m p u r i t yi nas i n g l eq u a n t u ma n dc o u p l e dd o u b l e da n dc o u p l e d t h r e eq u a n t u md o t si nt h ef r a m e w o r ko fe f f e c t i v e - m a s se n v e l o p e f u n c t i o n t h e o r y t h ev a r i a t i o no ft h ee l e c t r o n i cs t r u c t u r e sa n db i n d i n ge n e r g yw i t ht h e q ds t r u c t u r ep a r a m e t e r sa r es t u d i e di n d e t a i l t h eb i n d i n ge n e r g yo fa h y d r o g e n i ci m p u r i t yi nah i e r a r c h i c a l l ys e l f - a s s e m b l e dq u a n t u md o ti n c r e a s e a n dd e c r e a s e w i t ht h ei n c r e a s i n go ft h eq u a n t u md o t ss i z e s t h i si sb e c a u s e t h ep o t e n t i a lw eu s e di sf i n i t e h y d r o g e n i ci m p u r i t i e si nd o u b l eq u a n t u md o t sa r es t u d i e dv a r i a t i o n a l l y w ec a l c u l a t et h e b i n d i n ge n e r g i e sa n dt h ea v e r a g ei n t e r p a r t i c l ed i s t a n c e w e a l s od i s c u s st h er e s u l t sw h e nt h ed o n o ri si nd i f f e r e n tp o s i t i o n s t h e p r o b a b i l i t yd e n s i t yo ft h ee l e c t r o ni sc a l c u l a t e d ，t o o i nt h et h r e eq u a n t u md o t ss y s t e m ，w i t ht h ei n c r e a s i n go ft h ed i s t a n c e s b e t w e e nt w oq u a n t u md o t s ，t h eb i n d i n ge n e r g i e sh a sam i n i m u m ，w h e nt h e d i s t a n c ei s v e r yl a r g e ，t h eb i n d i n ge n e r g yo fah y d r o g e n i ci m p u r i t y w i l l n e v e ri n c r e a s e w ec a l c u l a t et h ea v e r a g ei n t e r p a r t i c l ed i s t a n c e so ft h es y s t e m ， i tc a nb es e e nt h a tt h ec h a n g i n gt e n d e n c yo ft h ea v e r a g ei n t e r p a r t i c l e d i s t a n c e si sr e v e r s et ot h a to ft h eb i n d i n ge n e r g y t h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yo f t h ee l e c t r o nw a sc a l c u l a t e d ，t o o i tc a nb es e e nt h a tt h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yi n t h em i d d l eq u a n t u md o t si sl a r g e rt h a nt h eo t h e rt w oq u a n t u md o t s k e yw o r d s ：q u a n t u md o t ；c o u p l e dd o u b l eq u a n t u md o t s ；c o u p l e d t h r e e q u a n t u md o t s ；h y d r o g e n i ci m p u r i t y ；b i n d i n ge n e r g y ；t h e i n t e r p a r t i c l ed i s t a n c e s i v 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文量子点中杂质态体系的性质研究，是在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：磐良 o 7 年6 月乙日 指导教师确认( 签名) ： 年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交 学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制 手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：磐程 07 年6 月ze t 指导教师( 签名) ： 年月搿 l 1绪论 半导体科学是自然科学及技术领域中最活跃的分支。纵观半导体科学技术的发展 史，至今已经历了5 7 个春秋，可以说它还是- - i t 年轻的学科，然而，在半个多世纪的 发展进程中，对人类文明和社会进步产生了巨大的影响和带来了巨大的经济利益，它 不仅导致了微电子技术的产生，促进了信息技术的发展，而且渗透到各个领域，加速 了现代科学技术的进程，使人们的社会生活面貌发生了天翻地覆的变化。半导体材料 的研究在当代物理学和高新技术的发展中占有突出的地位，与半导体微观结构有关的 物理和应用器件经历了巨大的发展，如量子激光器、量子计算机、光双稳器件、光探 测器等量子结构器件。对半导体低维结构在理论上和实验上的研究都很多，并且已经 把研究成果应用到各种光学及声学器件。当前，半导体科技的一个重要的发展方向就 是如何在更小的尺度上实现对材料物理特性的操控。目前，这个范围已经能够达到纳 米量级，这在很大程度上是依赖于材料先进生长技术( 分子束外延技术、金属有机化 合物气相沉积技术等) 和精细加工工艺( 聚焦电子、离子和x 射线光刻技术等) 的发 展。 在纳米尺寸的低维结构中，电子的运动至少在一个方向上受到限制，当这种受限 尺寸小于电子本身的d eb r o g l i e 波长时，体系的量子特性凸现出来。这种量子特性， 正是人们对半导体纳米器件的应用前景寄予厚望的物理基础。因此，半导体纳米结构 往往又称为量子结构，如量子阱( q u a n t u mw e l l s ) 、量子线( q u a n t u mw i r e s ) 、量子 点( q u a n t u md o t s ) 、耦合双、多量子点( c o u p l e dq u a n t u md o t s ) 和量子环( q u a n t u m r i n g s ) 等。 量子阱是人类用分子束外延方法成功生长的第一种半导体低维结构。它是由不同 的半导体材料交替生长的周期性薄膜结构，类似于二维层状的三明治，由于两种半导 体材料的导带能级不同，层间形成势垒，使电子的运动被限制在二维平面上，而沿着 生长方向，电子的能量是量子化的，因此，量子阱是一种准二维系统。紧接着在上世 纪八十年代初，随着技术的进步，特别是光刻技术的发展，使人们实现了在两个方向 上都能限制电子运动的准一维系统，即量子线。制备量子线最早是通过把量子阱结构 样品刻蚀成为很窄的条纹状，后来就利用分子束外延技术在各种自然表面上直接生长， 或者在一些衬底上生长，如v 形槽等等。通过降低体系维数可使量子尺寸效应更加明 显，当电子被完全限制在一个准0 维的体系中时，它的运动便完全量子化了。1 9 8 6 年， 美国科学家r e e d 等人【1 】利用光刻蚀技术首先制造出了边长为2 5 0 n m 的方形量子点，紧 接着其它实验室也制造出了直径为3 0 - 4 5 n m 的量子点1 2 - 4 。 自组织量子点一般产生在晶格失配较大的材料体系，是在生长材料的过程中由于 应变而自发形成的一种岛状结构。量子点系统自由度为零，在三个维度方向上都被势 垒所约束，受到较强的量子限制。根据量子力学原理，量子点中的载流子的能量被三 维量子化，因此呈现出原子的特性，因此量子点也被称为“人造原子”，“超原子”或 “量子点原子”。量子点具有类似于原子的分立能级，因而相对于量子阱和量子线而言， 具有更加显著的量子效应，如量子尺寸效应、量子干涉效应、量子隧穿效应、库仑阻 塞效应等。 由于在一定范围内可以控制自组织量子点的形状和大小，因此可以控制体系能级 结构和受限的电子数，自组织量子点体系已经成为一个重要的研究领域。自组织量子 点独特的物理性质被应用于各种光电器件上 5 6 j 。1 9 9 4 年德国的k i r s t a e d t e r 小组制 得了第一个量子点激光器。当前，有源区量子点能量的弥散成为制约量子点激光器发 展的一个瓶颈，因此提高有源区量子点的尺寸均匀性、减小能量分布的弥散度、增加 对激射有效的量子点数目成为重要的研究课题。目前对量子点激光器的研究主要集中 在光通讯波段上。量子点也可以用于制作量子点红外探测器。量子点红外探测器具有 可以吸收垂直入射光、高的探测效率、高的工作温度等优点 7 】，但同样也受到量子点 尺寸分布难以控制的限制。此外，利用量子点独特的库仑阻塞效应，可以制各单电子 量子点晶体管和单电子量子点存储器 8 9 j ，相邻量子点或量子点与量子阱之间的载流子 隧穿效应使得量子点可用于实现大容量光学存储器 1 0 j 。由于量子点具有一定的电子库 仑排斥能和较大的能级间距，可以用于量子点分子从而进一步构成量子点单元。目前， 2 人们正在探索将量子点应用于固态量子计算机及相关的量子信息处理 1 l _ 1 4 】，并取得了 初步的研究成果，这使得有关耦合量子点的理论和实验研究成为固体物理最热门的课 题之一。 早期的量子点是利用光刻蚀具有二维电子气的量子阱异质结构的方法、或者是在 量子阱异质结构上光刻后再制作微小电极的方法实现的，在水平方向上的尺寸大于垂 直方向( 生长方向) 上的尺寸，那么量子点中的电子在各个方向上运动受到的约束势 不同，在水平方向上的侧向约束势远小于垂直方向上的势阱，因此，人们一般假定量 子点为人造原子。不同于自然界里原子核的库仑势，量子点的侧向约束势是由制造量 子点的方法决定的，因而，理论计算时可近似成各种不同的模型势 1 5 - 2 0 。k u m a r 等人 2 1 首先研究了量子点阵列中的一个单量子点，在h a r t r e e 近似下，自洽求解薛定谔方 程和泊松方程的联立方程组，他们发现在量子点中电子数比较少的情况下，受到的有 效约束势近似圆对称。在他们工作的基础上，在量子点的电子结构计算中采用简单的 各向同性的谐振子势作为标准的量子点约束势的理论模型。r i b e i r o 2 2 等人计算了量 子点中在外加电场和磁场下施主杂质束缚能随点的宽度和杂质位置的变化曲线，并对 其态密度和束缚能的变化情况进行了计算和讨论。m o n t e n e g r o 2 3 等人计算了有限深球 形量子点中施主杂质基态能和束缚能。c y f o n g 2 4 等人研究了势垒的宽度对耦合量子 点中的电子几率分布的影响。a c o r e l l a - m a d u e n o z s 等人介绍了球形量子点中均匀磁 场对类氢杂质态的影响。 所谓耦合量子点体系是指几个量子点在空间上相互靠近并发生耦合效应。这样， 原来束缚于一个特定量子点上的电子可隧穿到相互耦合的其他量子点上，在这种情况 下电子属于整个耦合系统，有时也把这样的多个量子点耦合系统称为“人造分子。当 两个量子点耦合时，两个量子点能级相互耦合，形成新的能级状态，其中包括成键的 对称状态和反成键的不对称状态。在成键态和反成键态间存在能级分裂。不同量子点 能否通过量子相干作用发生耦合对于制造量子器件是很重要的。由于耦合强度的不同， 这两个量子点之间可以形成离子键和共价键。前者，电子局限在各自的量子点上；后 者，电子在量子点之间巡游。共价键的成键态和反成键态的能量差与隧穿的程度成正 比，因而可以通过改变量子点之间的耦合来研究从离子键到共价键的转变。 耦合量子点体系有其独特的优点： ( 1 ) 作为介观量子器件，有良好的量子相干性； ( 2 ) 可以很容易地与各种量子点接触耦合，从而可以研究量子耗散带来的量子输 运现象； ( 3 ) 通过对量子点或点间势垒加含时外场，可以研究能级系统和光场的相互作用； ( 4 ) 可以研究量子能级系统和环境( 如声子) 的相互作用带来的各种去相干效应； ( 5 ) 通过施加栅压改变量子点的能级结构，可以研究多能级系统与光场的相互作 用。 对于耦合量子点体系，由于考虑了量子点与量子点间的耦合作用，耦合量子点具 有独特的光电特性和输运性质。由于两量子点之间的耦合作用，量子隧穿效应和库仑 阻塞效应会对耦合量子点结构的输运特性产生巨大的影响 瓣3 0 j ，同样也会影响耦合量 子点光电特性，使其表现出不同于离散量子点的特征 3 1 - 3 5 】。近年来，对耦合量子点两 电子自旋态的研究使人们认识到，耦合量子点中电子的自旋态可以作为量子计算和量 子信息过程中的量子比特，并且，有可能通过磁场对自旋单、三态的调控来实现量子 门的操作 3 6 - 3 8 。 杂质对于半导体来说非常重要，半导体的许多重要性质都与杂质有关。目前，对 超晶格中浅杂质的行为已有较多的理论和实验研究。b a s t a r d 3 9 首先在理论上采用变分 法研究了一维无限深势阱中的施主态，他只考虑与第一子带相联系的s 态的情形。然 而，实际的量子阱势垒高度不是无穷大，因此，g r e e n 等 删和m a i h i o t 等 4 1 利用高斯 函数展开的方法计算有限势垒高度，宽度为l 的量子阱中施主态的基态能量。接着， c h a n d h u r i 4 z 计算了在无穷高势垒里三个相邻的量子阱中施主杂质态的结合能。量子阱 中施主杂质态的哈密顿量看似简单，但并不能严格求解，只能求助于变分等数值计算 方法。采用单个变分参量的，物理意义明显，并能得到解析形式的杂质态波函数，但 精度受限制。采用高斯函数展开或其他数值方法，能得到比较精确的结合能和波函数 量子阱中浅施主态的实验研究不多。s h a n a b r o o k 等 4 3 】研究了在g a a s a 1 0 3 g a o 7 a s - g a a s 4 量子阱中集中掺杂样品的荧光( p l ) 谱，并得出结论：激子和施主态波函数都同样受 到量子阱约束的影响，激子束缚能、施主态结合能随阱宽变化遵循相同的规律，它们 的差基本不随阱宽变化。最近，随着现代科学技术的不断发展，凝聚态物理学的研究 对象在不断扩大，特别是低维体系的研究引起了人们极大的兴趣。朱嘉麟等 4 4 4 5 1 n 用 波函数展开方法分别计算了有限深和无限深势阱下球形量子点中类氢杂质态体系的束 缚能。接着，c h u u 等人 4 6 利用微扰一变分的方法计算了量子点中杂质位于量子点中心 位置时体系的基态能量。w a n g 等人 4 7 采用变分法研究了耦合双量子点中杂质态体系的 束缚能以及粒子间平均距离。然而，对耦合多量子点体系中杂质态体系的理论研究较 少，我们的工作就是利用变分法对单量子点以及耦合三量子点中杂质态体系进行理论 计算。 2 理论框架与计算结果 2 1 单量子点中的杂质态体系 我们首先计算单量子点中杂质态体系，计算中我们采用高斯限制势，假设柱形量 子点中的限制势采用如下形式： 形( j d ，互兄刁= 一乜缘双p ，互冠刁，( 1 ) 其中a e g 为g a a s 和i n a s 材料间的能带宽，并且 以p ，z ；r , z ) = x oe x p ( - p 2 铲一夕孑) ，( 2 ) 其中以为量子点中心的i n 的浓度，p 2 = ，+ ，启为量子点半径，z 为量子 点高度。对于单量子点体系，我们无法得到精确解，故选用试探波函数形式如下： y = 矽p ( j d p ，乞，r , z ) e x p ( - a , d p 三, v 一卢艺) ，( 3 ) 其中为归一化常数，九( 几，乙，尼刁= 吨，p ；- 3 ，z 为高斯试探波函数，口，卢， a 耐，卢为变分参数。 单量子点中的杂质态体系的哈密顿表示如下： 劈= 一v ；+ 三+ 杉( j d ，互尼刁。( 4 ) r e d 因此，单量子点中杂质态体系的基态能可通过下式求得： = 他吲y ) 。( 5 为了使体系束缚能最小，通过求解各个变分参数口，卢，a 耐和卢耐的一阶导数 所组成的方程组，就可以得到单量子点中杂质态体系的束缚能。 计算中采用如下参数：x o = 0 6 7 ，介电常数s = 1 2 5 ，电子有效质量织= 0 0 6 6 7 有效里德伯常数r = m e e 4 2 s 2 壳2 ，有效玻尔半径a s = 动2 m , e 2 ，本文中我们分别采用 6 和作为长度和能量单位。 我们计算了单量子点中杂质位于体系中心位置时的情况。计算结果见图l 。 ，、 叱 、一 、 p c 山 口 三 口 量 r ( a ) 图1 半径为刀，z = i o a b 的单量子点中杂质态体系的束缚能随量子点半径r 的变化，其 中杂质位于量子点中心位置。 由图l 可见，当量子点半径较小时，体系的束缚能随半径的增加而增大，当半径增 加到一定数值时，束缚能开始减小。这是由于我们采用的是有限深势阱的缘故。通过与 文献 3 9 中的相关数据比较，可以发现量子点中的杂质态体系的束缚能要大于量子阱中 的杂质态体系的束缚能。 2 2 垂直耦合双量子盘中的电子 计算中采用如图2 所示的双量子盘模型，每个量子盘都在一层厚度为的浸润层 上生长而成。该体系以g a a s 材料作为势垒物质。每个量子盘的高度均为劈，上、下两 个量子盘的半径分别为局和眉，两个量子盘之间的距离为刃，电子的限制势为i n a s 材 料和g a a s 材料的导带带尾之间的能量差。在下面的计算过程中将有效里得堡常数和有 效玻尔半径分别取为能量和长度的单位，呢和g 分别为电子有效质量和介电常数。 7 图2 垂直耦台自组织i n a s g a s 双量子盘 在柱坐标系下体系的有效质量哈密顿表示为 一古p 昙，昙+ 寿每+ 讹砷， 在量子点中势能，= 一，在势垒中v = 0 。首先对体系做个简单的分析。把电子 的运动分开为径向和生长方向两个方向来考虑。在生长方向( 即为垂直方向) ，所处理 的对象为两个耦含量子阱，若用岛标记相应的基态能量，彳( 力和z ( 力为两个量子阱孤 立时的基态电子波函数。则当两个量子盘相同时，体系的z 方向( 生长方向) 的波函数 可以表示为两个量子阱波函数的对称以及反对称线性组合z = 断( 力+ z ( 瑚，压， 正= l 水力一z ( 瑚，以，相应的能量本征值为f = 五千2 ，其中a 为能级的劈裂。电子 径向的运动是量子化的，相应的波函数可以用贝塞尔函数表示。对于无限深势垒，体系 的径向能谱可以用贝塞尔函数的零点口：来表达：目巩砷= 以：册2 ，r 为量子盘的半径、 n 为径向量子数、m 为角量子敦。则体系的电子能谱包含了两类电子态，一类为对称能 级，另一类为反对称能级。 由于量子盘的高度与其半径相比要小得多，因此电子的运动在生长方向上受到强 烈限制。电子的波函数可以写为l f ，( 厂，9 ，力= ( 1 万) ( 力形( 厂) ，其中( 力是关于r 的缓变函数。对于每一个角量子数m 和子带指数v ( v = 0 ，1 ，) 而言，波函数( 力 和形( 厂) 满足下面的方程： ( 7 ) -豸r7r，力。彰cz。，=sz，c，。s?：c易， 愕1 厂导，杀们一鲁蜊力 删= 职c 力。 在式( 7 ) 中的本征值e ( 厂) 为式( 8 ) 中的有效势。本论文的计算限于v = 0 ，1 的 子带。 考虑垂直方向的运动，整个体系可以划分为三个区域( 如图3 所示) ：( 1 ) 当 厂 届时，为两个宽度均为w + h 的耦合量子阱。两个量子阱之间为厚度为d 的势垒。此时 磊为基态能、五为第一激发态能量。( 2 ) 当局 厂 局时，为 两个宽度均为w 的窄量子阱。两个量子阱之间为厚度为d 的势垒。此时磊高于上个区域 中对应的能级，而与在d 的值比较小的时候可能进入连续能带，此时取磊= 。 磊( 力可以通过传递矩阵方法求得。对于一个给定的磊( 力我们在不同的区域定义 垂直方向的波函数( 力求得： ( 1 ) 势垒区域z 而， g ：( z ) = a le x p f i ( z 一互) 】+ 4e x p 一局( z 一而) 】，= j 虿 ( 2 ) 势阱区域乞 z 乞，g , ”( z ) = a 2 e x p 一h q z + e 2 e x p h q z ，五= 丽 9 ( 3 ) 势垒区域乞 z 乞，( 力= 4e x p - k 3 z + b 3e x p k 3 z ，置- j - e ，一 ( 4 ) 势阱区域乞 z 气，g , ( z ) = a 5e x p 一向p z 4 ) + g s e x p k s ( z 一白) 】，丘= 虿 1 邑 e o 2 晰荆 谯8 i 礞酞 轧岛勤毛 - ， 二：- - 肆r 翟穸 ，。 一，、 毒品| e 图3 绝热近似下i n a s g a a s 双量子盘体系的势能。 波函数( 力在边界处应满足连续性、光滑性，这就使得系数4 、4 可以用4 、 忍来表示： 1 0 4 = 石。( 历) 4 + 磊( 磊) 忍，( 9 ) 点= 互l ( 历) 4 + 互：( 磊) 忍。( 1 0 ) 其中传递矩阵定义为： ! 丁= 户1 ( 幺，毛) 以乞，五) 纩1 ( 幺，乞) 以白，乞) 纩1 ( 乞，乞) 认厶，乞) 纩1 ( 厶，气) 域色，毛) 其中幺= 色= 色，乞= 白，当互= 0 时，下列矩阵定义为： z = i _ ， = _ ：嘉 ， 矿= 瞄甜“ r = i 1 i 一后 将矩阵t 中的翻旷1 、刃广定义为w 、b 如下： 职伽 茹一端p ， 夙厄力= 一篇一搿p 州4 ， 其中d 为中间隧穿势垒的厚度，h 为量子阱的宽度。则 丁= f 1 群局形刀= e 1 a r 。( 1 5 ) 彳= 呖昼是描述体系结构的矩阵。可以看出，把相应数目的矩阵、b 代入矩 阵a 中，上面所述的方法可以用来计算耦合多量子盘体系。 由波函数的边界条件可知，点= 0 、忍= 0 ，且互= 互。( 勺) 4 + 乞( 勺) 忍，所以 互。( 色) = 0 。通过计算求解矩阵元互。( 磊) 的零点，就可以得到体系径向运动的有效势 e ( 厂) 。 在上面工作的基础上，我们就可以用传递矩阵方法求解体系的径向运动方程( 8 ) 由于整个体系具有径向对称性，所以可以用贝塞尔函数来构造径向波函数： ( 1 ) 、广 局时，为振荡解，形= 幺厶( 局厂) + 或圪( 向厂) ，局- - 。匾o ( 2 ) 、矗 厂 皿时，为衰减解，名= z 峨( 色厂) + 域厶( 色厂) ，色= 厢。 波函数形( 力及其导数的连续性仍用传递矩阵t 表达 ，= c - 1 ( 墨) 文眉) ，1 ( 码) 以曼) ， 其中 = 参篇，毒然， 删- 盘器，参器， 。 矩阵s 具有衰减解、振荡解两种形式： 1 2 产c 句= 盘0 怒 俨c 句= 够器毒 。 通过求解传递矩阵的矩阵元互。的零点，就可以得到体系的本征值。 董 l a j q dl a y e r 蛾翻躺徽o 硒 图4i n a s g a h s 双量子盘体系电子态随浸润层间隔d 变化的函数关系。( 实线为对称态， 虚线为反对称态) 。 图4 展示了电子结构对浸润层间隔d 的依赖关系，所对应的结构参数为：量子盘半 径r l - - 8 n m ，r 2 - - 8 n m ，量子盘高度h = 2 n m ，v 。= l e v ；电子的有效质量m 。- - 0 0 2 3 m o 。 2 3 垂直耦合双量子点中的杂质态体系 垂直耦合量子点中电子可以从一个点隧穿到另个量子点中。如果两个量子点之 间距离较小，它们之间的耦合效应会影响体系的能量。假设两个量子点具有相同的半径 和高度，而且对称轴在同一直线上，模型见图5 。计算过程中采用与单量子点计算过程 中同样的参数，电子的限制势如公式( 1 6 ) ， 1 4 图5 半径为启，高度为z 的垂直耦合双量子点模型。 形( p ，石冠刁= 形( p ，z - a 1 2 ；冠刀+ 形( j d ，z + 2 ；尼刁，( 1 6 ) 其中形( p ，石冠刁= 一峨以p ，石尼刁，限制势的形式如图6 所示。 zc 0 0 r d i n a t e 0 2 一 o 4 0 6 _ no 图6 限制势在x - - - - y = 0 位置随z 的变化。 为了计算耦合双量子点中杂质态体系的能量，我们采用变分方法，假设变分波函 哥筝cm眷oci若mi-cc#cn。 数为： y = n 屯( 以，乞+ a 2 ，屈刀+ 屯( 以，乞- a 2 ，冠刁 e x p ( _ a 扩刍一卢已) ， ( 1 7 ) 其中n 为归一化常数，妒f ( p ，乙，尼刁= e x p ( 一仅，p ，2 一p ，乙2 ) 为高斯试探波函数 口，p ，a 以及卢为变分参数。 体系的哈密顿同样具有如下形式： ， = 一v ：+ 三+ e ( p ，石圮刁 饧 其中饧= k 一乃i 为电子和杂质之问的距离。垂直耦合双量子点中杂质态体系的基 态能量可以通过求解下式的最小值求得。 = 似l 纠杪) 。 ( 1 9 ) 图7 所示为耦合量子点中施主杂质态体系的束缚能随两个量子点中心之间距离的 变化。我们分别计算了三种情况：( 1 ) 杂质位于上面量子点的下表面的中心；( 2 ) 杂 质位于两个量子点的中心位置；( 3 ) 杂质位于其中一个量子点的中心位置。当a 很小时， 结果与单量子点中的情况一样。随着a 增加到某一数值，体系成为双量子点体系，电子 可以在两个量子点间跃迁，当杂质位于( 1 ) 和( 3 ) 情况时，曲线有最小值，而当杂质 位于( 2 ) 所示的情况时，随着a 的增加，体系的束缚能减小。当a 较大时，电子不能在 两个量子点间跃迁，体系相当于单量子点，体系的束缚能趋于一个常数。此常数恰与我 们前面计算的相应条件下的单量子点中杂质态体系的束缚能一样。 a ( a b ) 图7 耦合量子点中施主杂质态体系的束缚能随两个量子点中心之间距离的变化。其中 z = i 0 a b ，r = i 0 a b 。实线表示杂质位于上面量子点的下表面的中心；虚线表示杂质 位于两个量子点的中心位置；点线表示杂质位于其中一个量子点的中心位置。 耦合双量子点中杂质态体系的电子和杂质之间的平均距离可由下式求得： ( 厂) = 似l ，1 y ) 。( 2 0 ) 我们分别计算了杂质位于几个位置时电子和杂质间平均距离变化关系曲线，如图8 所示。从图8 可以看出，粒子间平均距离的随a 的变化趋势恰好与体系束缚能随a 的变化 趋势相反。 1 6 a c a b ) 图8 耦合量子点中施主杂质态体系的电子和杂质间平均距离随两个量子点中心之 间距离的变化。其中z = 1 o a b ，彳= 1 0 a s 。实线表示杂质位于上面量子点的下表 面的中心；虚线表示杂质位于两个量子点的中心位置；点线表示杂质位于其中一 个量子点的中心位置。 图9 为耦合双量子点中杂质态体系电子在各个位置出现的几率。由图可见， 当杂质位于两个量子点中心位置时，电子在两个点中出现的几率相同，并且在两 个点的中心位置出现的几率最大。当杂质位于其他两个位置时，电子在上面量子 点出现的几率大于在下面的量子点中出现的几率，在上面量子点的中心位置，电 子出现的几率最大。 1 7 z ( a b ) 图9 耦合量子点中施主杂质态体系中电子在各个位置出现的几率随z 的变化。其中 z = ! o a b ，月= ! o a b ，实线表示杂质位于上面量子点的下表面的中心；虚线表示杂质 位于两个量子点的中心位置；点线表示杂质位于其中一个量子点的中心位置。 2 4 垂直耦合三量子点中的杂质态体系 对于三量子点体系，我们选用如图l o 所示的量子点模型。假设三个量子点具有 相同的半径和高度，而且对称轴在同一直线上，上下两个量子点相对于中间的量子点 对称。我们取中间量子点的中心位置坐标为( o ，0 ，0 ) ，量子点生长方向 1 0 0 为坐 标轴的z 方向，量子点半径为r ，每个量子点宽度都为z ，相邻两个量子点中心间的距 离为a 。我们计算杂质位于中间量子点的中心位置。 1 8 图1 0 半径为r ，各个量子点高为z 的垂直耦合三量子点模型。 对于耦合三量子点体系，我们采用电子限制势如公式( 2 1 ) 所示， 圪( j d ，石墨刁= 形( p ，z 一巧冠刁+ 形( p ，石尼刁+ 嘭( p ，z + 巧冠刁( 2 1 ) 对于我们选取的限制势，我们计算了x - - - - y = 0 位置时体系的限制势随z 的变化关 系，计算中选取a = 1 o a s ，z = i o a s ，r = i o a b ，计算结果如图1 1 所示。由图可见， 在中心量子点中心位置，体系的限制势较小，上、下两个量子点中心位置处体系的限 制势较大，z 较大或者较小时，体系的限制势趋于无穷。 1 9 耍 c 罟 三 岳 量 舌 舌 ， 图l l 所采用的限制势在x = y = o 时随z 的变化关系。 为了变分的计算体系的基态能，选取。f 面的试探波函数： 炒= a r 眈( p f ，乞一岛尼刁+ 矽f ( 见，乞，冠刁+ 妒p ( 见，乞+ 岛尼刁 e x p ( - a 耐p 一卢耐乞) ( 2 2 ) 其中n 为归一化常数，( 以，乙，尼刃= e x p ( 一a ，p ，2 一卢，乙2 ) 为高斯试探波函 数， 口，j b ，a 以及芦耐为变分参数。 耦合三量子点体系中的杂质态体系的哈密顿同样具有如下形式： = 一v ：+ 三+ 形( p ，石尼刁( 2 3 ) r e d 。 其中饧= 1 名一白l 为电子和杂质之间的距离。 因此，垂直耦合三量子点体系中杂质态的基态能表示如下： = 缈l 纠y ) 。( 2 4 2 0 通过求解( 2 4 ) 式的最小值，可确定口，卢。，a 以及卢耐四个变分参数，可以求 得体系的束缚能。 我们计算了耦合三量子点体系中杂质位于耦合三量子点体系中心位置时的情况， 计算中选取z = 1 0 a b ，月= 1 0 a b 。计算结果见图1 2 。 由图1 2 可见，当a 较小时，体系的束缚能随a 的增加而减小，当a 增加到一定 数值时，束缚能开始随a 的增大而增大。这是由于当a 较小时，体系为单量子点体系， 此时随着a 的增大，量子点的宽度变大，所以体系的束缚能减小，此趋势与单量子点 中的趋势相同。随着a 增加到某一数值，体系有单量子点体系变为三量子点体系，电 子可以在三个量子点间跃迁，此体系为我们计算的耦合三量子点体系，随着a 的增加， 体系的束缚能开始增大。当a 较大时，电子在各个量子点之间跃迁的几率越来越小， 量子点间的耦合作用不明显，体系近似单量子点，体系的束缚能也趋于一个常数。此 常数与计算单量子点杂质态体系的计算结果比较，可以发现此数值与单量子点体系中 启= 1 0 a s ，z = 1 0 a s 时的计算结果一样。 2 l a ( a b ) 图1 2 耦合三量子点中施主杂质态体系的束缚能随a 的变化关系。其中z = i o a s ， 曰= 1 0 a b ，且杂质位于耦合三量子点体系的中心位置。 耦合三量子点中杂质态体系的电子和杂质之间的平均距离可由下式求得： ( 厂 = 他h l f ，) 。( 2 5 ) 图1 3 为耦合三量子点中施主杂质态体系的电子和杂质问平均距离随相邻两个量 子点中心之间距离的变化。 一笆(6jou|罂一pui 图1 3 耦合三量子点中施主杂质态体系中的电子和杂质问平均距离随a 的变化关系， 其中z = 1 0 a s ，刀= 1 0 a s ，且杂质位于体系中心位置。 我们只计算了1 0 a s 的情形。从图1 3 可以看出，粒子间平均距离的变化趋势 正好与体系束缚能的变化趋势相反。随着a 的增加，电子和杂质问平均距离先增大然 后减小，当a 很大时，平均距离不再随a 的增加而变化。 图1 4 所示为耦合三量子点中杂质态体系电子在各个位置出现的几率。由图可见， 杂质在每个量子点的中心处出现的几率大于在此量子点中其他位置出现的几率，同时 在上下两个量子点中出现的几率小于在中间量子点中出现的几率。 2 3 z ( a b ) 图1 4 耦合三量子点中施主杂质态体系中电子在各个位置出现的几率随z 的变化关系。 其中z = 1 0 a s ，r = i o a s ，a - - - - 2 0 a s 。杂质位于耦合三量子点体系的中心位置。 3结论 在有效质量近似下，本文采用数学形式简单物理意义明确的六个参数的尝试波函 数，利用变分法数值计算了有限深单量子点、垂直耦合双量子点以及垂直耦合三量子 点中浅施主杂质体系的束缚能。本文计算了杂质位于体系中心时体系的束缚能以及电 子和杂质问平均距离，最后计算了体系中电子在各个位置出现的几率随z 的变化关系， 都得到了较好的结果。 对计算的结果进行了较详细的讨论，得出如下结论： ( 1 ) 体系的基态能级强烈依赖于量子点的尺寸，随着单量子点的增大，体系的 束缚能下降。这是因为，阱宽越小，势阱对体系的束缚越强，体系束缚能越大。 ( 2 ) 量子点尺寸较小时，随着单量子点尺寸的增大，体系基态束缚能增大，当 达到一定数值后，体系的束缚能随着量子点的尺寸的增大而减小，这是由于我们选用 的有限势垒的原因。 ( 3 ) 在双量子点体系中，当杂质位于上面量子点的下表面的中心和其中一个量 子点的中心位置情况时，束缚能随两个量子点中心之间距离的变化曲线有最小值，而 当杂质位于两个量子点的中心位置时，随着a 的增加，体系的束缚能减小。随着a 的 增大，当杂质位于其中一个量子点的中心位置时，体系的束缚能大于其它两种情况。 当a 较大时，体系的束缚能趋于一个常数，此常数与相应条件下单量子点中的杂质态 体系的束缚能值相同。 ( 4 ) 在三量子点体系中，随着各个量子点之间距离的增加，杂质态体系的束缚 能增大，当各个量子点间距离趋于无穷大的数值时，电子将不在各个量子点之间跃迁， 体系相当于单量子点体系，体系的束缚能也恒等于一个数值，这个数值与相应宽度的 单量子点体系中杂质态的束缚能相等。 ( 5 ) 三量子点体系中电子与杂质问的平均距离的变化趋势与体系的束缚能变化 趋势正好相反，这说明粒子间距离越大，体系的束缚能越小。 2 5 ( 6 ) 耦合三量子点中施主杂质态体系中的电子在上下两个量子点中出现的几率 相等，而电子在中间量子点中出现的几率大于其余两个量子点中的几率。 ( 7 ) 在计算中变分法，大大简化了数值计算，所选用的波函数中的变分参数都 可以通过使体系的能量取最小而得出，未引入任何可调参数，就得出了较好的结果所 以，我们认为此方法可以较好的研究低维量子体系的性质。 ( 8 ) 实际上，双、三量子点不可能做成完全相同的两、三个量子点。一般情况 下，由于压力的影响上面的点略大于下面的量子点。此时，当a 很小时，体系不能单 纯看做单个量子点，计算将非常复杂。 参考文献 1 r e e dma ，b a t ert ，b r a d s h a wk ，e ta 1 s p a t i a lq u a n t i z a t i o n i ng a a s a 1 g a a sm u l t i p l eq u a n t u md o t s j j v a c u u ms c i t e c h n 0 1 b ，1 9 8 6 ，4 ：3 5 8 2 c i b e r tj ，p e t r o f fpm ，d o l a ngj ，e ta 1 o p t i a l l yd e t e c t e d c a r r i e rc o n f i n e m e n tt 0o n ea n dz e r od i m e n s i o ni ng a a s q u a n t u m w e l lw i r e sa n db o x e s j a p p l p h y l e t t ， 1 9 8 6 ，4 9 ：12 7 5 3 k a s hk ，s c h e r e ra ，w o r l o c kjm ，e ta l ，o p t i c a ls e p e c t r o s c o p y o fu l t r a s m a l1s t r u c t u r e se t c h e df r o mq u a n t u mw e l ls j a p p l p h y s l e t t ，1 9 8 6 ，4 9 ：1 0 4 3 4 t e m k i nh ，d o l a ngj ，p a n is hmb ， c h us ng ，l o w t