（应用数学专业论文）常权分析与变权原理.pdf

国防科。学技术大学研究生院学位论文 摘要 本文主要讨沦了多目标规划中权向量w = ( w l ，w ：，w 。) 问题，并分别讨论了 ( i ) 权分量w ，= c i ，其中c ，r 1 ，即权向量是常数情况：以及( i i ) w ，= w ，( x l ，x 2 ，x 。) ，即权向量w = ( w 1 ( x 1 ，x 2 ，- 一，x m ) ，w 2 ( x l ，x 2 ，一，x 。) ，一，w 。( z l ，x 2 ， ，x 。) ) 是关于多目标规划变量的函数。 第一章给出r 多目标规划的定义、多目标规划解的定义，以及相应的权的概念。 第二、三章对常权函数讨论。第二章中利用分层规划的思想求多目标规划的秤个 权系数，并给出了在所确定权系数不合理情况下修正权系数的方法，最终利用归一化 的方法确定多目标规划的常权系数。 在第三章中，对于多目标规划问题，首先由决策者给出秆子目标的满意水平p ， 在满意水平p 下，压缩多目标可行域，导出与多目标的子目标数量相同个数的弱 p a r e t o 解，用求解非线性规划方法，构造l a g r a n g e 函数，在把权向量看成是变量的 基础上，求得多目标规划问题的权向量w = ( w i ，w ：) ，并在所求得的多目标规划 问题的个p a r e t o 解中，把偏差最小的p a r e t o 解作为此多目标规划问题的解。 第四章讨论了变权原理，在已有文献的基础上加深并完善了变权原理的理论，讨 论了惩罚、激励型变权，以及与之相应的惩罚、激励型状态变权，定义并构造惩罚、 激励型均衡函数。在此基础之上义给出了大量的例证，并论证了g ( x ，) 型和兀g ( _ ) 型函数是均衡函数的充要条件。 关键字：多目标规划权变权状态变权均衡函数 第1 页 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，w e h a v ed i s c u s s e d w e i g h t v e c t o r sw = ( ，w 卅) p r o b l e m i n m u l t i o b j e c t i v ed e c i s i o n - m a k i n g a n dd i s c u s st w od i f f e r e n tt y p eo f t h ep r o b l e m i e t h e f i r s tc a s e w ，= c ，w h e r ee ，r 1 a n d c = ( c l ，c 。) i sc o n s t a n t ，t h es e c o n d c a s ei st h a t w j = w ，( x 1 ，x 2 ，) ，w h e r e w = ( w i ( x 1 ，x 2 ，x 。) ，w 2 ( x i ，x 2 ，x ，。) ，w ，( xl ，x 2 ，x 。) ) ， a n d w i saf u n c t i o no f t h em u l t i - o b j e c t i v ed e c i s i o n m a k i n g v e c t o r s x = ( 一，一，x 。) i n c h a p t e r 1 w e p u tf o r w a r dt h ep r o b l e mo fm u l t i - o b j e c t i v ed e c i s i o n m a k i n g ，t h e d e f i n i t i o no fm u l t i - o b j e c t i v ed e c i s i o n m a k i n gs o l u t i o n ，a n dt h ec o n c e p to fw e i g h tt h a ti s c o r r e l a t i v ew i t ht h em u l t i - o b j e c t i v ed e c i s i o n - m a k i n g c h a p t e r2 a n d c h a p t e r 3a r ed e v o t e dt ot h ec o n s t a n tw e i g h tp r o b l e m i nc h a p t e r2 ，w ef i n dt h ew e i g h tv e c t o r so fm u l t i o b j e c t i v ed e c i s i o n - m a k i n gp r o b l e m b yu s i n gt h ep - s e r i e sm e t h o d ，a n dp u tt h ei d e ao fh i e r a r c h yo n t o t h ea s c e r t a i n m e n to f f u n c t i o n p o w e r t o s o l v et h em o pp r o b l e mi s c h a n g e d i n t o p l o t t h e p r o b l e m o f h i e r a r c h i c a l m u l t i - o b j e c t i v ep r o b l e m sl s p t h e nu s i n gp - s e r i e s m e t h o dt os o l v et h e s i n g l e o b j e c t i v e f u n c t i o n ，i ft h e r e s u l ti sn o tt h ei d e a l w e a k l y p a r e t o o p t i m a t o d e c i s i o n - m a k e r w ec h a n g et h ep r i m a r yp o w e ro ft h em u l t i - o b j e c t i v eo p t i m a t oi n t e r a c t i v e a n d y i e l dt oo n es o l u t i o n i nc h a p t e r3 w ep u tf o r w a r do n em e t h o dt os o l v et h em u l t i o b j e c t i v ed e c i s i o n - m a k i n g p r o b l e mo nt h eg r o u n dt h a tt h ed e c i d e rh a sp r o v i d e dt h ef e a s i b l er e g i o na n dc o n s t r a i n ts e t o fe a c hs u b o b j e c t i v ef u n c t i o n w ec a nc h e c ko u tt h es a m en u m b e rp a r e t os o l u t i o n so f m u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gp r o b l e ma st h en u m b e ro fm u l t i o b j e c t i v ev e c t o r s u s et h e p a r e t os o l u t i o n sa n d l a g r a n g ef u n c t i o n ，w ec a ng e t t h ep o w e rv e c t o r i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h ev a r i a b l ew e i g h tp r i n c i p l e w ei m p r o v et h et h e o r yo f v a r i a b l e w e i g h tp r i n c i p l e b a s e do nt h e p r e v i o u s d o c u m e n t s ，d i s c u s st h e c a s eo f p e n a l b ，i n c e n t i v e v a r i a b l e w e i g h t s ，p e n a l t ) ，i n c e n t i v e s t a t ev a r i a b l e w e i g h t s ，a n d p e n a l t y i n c e n t i v eb a l a n c ef u n c t i o n a tl a s tw eg i v et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s t h a t g ( x ，) a n d 丌g ( x ，) a r e b a l a n c ef u n c t i o n s k e y w o r d s ：m u l t i o b j e e t i v e ；w e i g h t ；v a r i a b l ew e i g h t ；s t a t ev a r i a b l ew e i g h t ； b a l a n c ef u n e t i o n 第1 i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：堂抠佥盘生銮拯厘堡 学位论文作者签名 真4 一 喜红b 一 日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：堂担佥堑量变拯簋堡 学位论文作者签名：j 讳也 日期：乒伽严，庐月目 作者指导教师签名：鲎篁咝日期：功。j 年，月f 7 日 垦堕型兰垫查_ 大堂笪茎竺堕兰生堡苎 表4 1各科分数状态值表 表4 2变权系数表 表4 3变权综合表 图表目录 3 0 3 1 3 1 第i i 页 国防科学技术犬学研究生院学位论文 第一章预备知识 1 1 多目标规划的基本知识 考虑多日标问题 m i n i ( 工) = ( 一( x ) ，i ，j ( x ) ，一，厶( x ) ) ( m o p ) s t x d = 仁| g ，( x ) 0 ，= 1 , 2 ，一，m ；x r ” 其中， 一( x ) ，五( z ) 厶( x ) 为m 个目标函数，令d 为可行集合( 可行域) ，即 x d = x l g ，( x ) 0 ，j = 1 , 2 ，小；x r ” ， 求解多目标规划m o p 已经有多种方法，目的就是求解m o p 的p a r e t o 弱有效解。这里，我们 先给出各种解的概念。 对丁多目标规划问题： m i n i ( x ) = ( z ( x ) ， ( x ) ，f o ( x ) ) s t x d = 忸i g ，( 工) 0 ，j = 1 , 2 ，埘；x r ” 求解这样的多日标规划问题，大多数的方法是依照将这个多目标规划问题经过转化，转变 为一个单目标求解的问题，这样就可以利用已有的求解线性规划或非线性规划的方法对问 题进行求解。在求解过程中，参照各个目标的重要性，对各目标加权，化为一个线性规划 或非线性规划问题。如下所示： m i n f ( x ) = w 1 z ( x ) + w 2 ( x ) + s t - x d = 扛i g ，( 算) o ，= 1 , 2 ， 对丁多目标规划问题，有它独特的解的概念 不同的。以下定义多目标规划在各种意义下的解 定义1 1 设i d = k ig j ( z ) o ，j = 1 , 2 ， x d 均有 - + w 。厶( j )( 1 1 ) ，m ；x r ” 这个解与已有的单目标规划问题的解是 以及各种解之问的关系。 ，m ) ，若对任意，= l ，2 ，m 。以及任意 ( x ) ，( 工) ， j i 【j 称x 为问题m o p 的绝对最优解。记解的集合为r + 。 对 二一个多同标规划问题，绝对最优解在大多数情况下是达不到的，往往要求其次 优解，下面给出有效解的定义。 定义1 2 设；d = k l g j ( x ) o ，j = 1 , 2 ， ，若不存在x d ，满足 ，( x ) f ( j ) ， 则称x 为问题m o p 的p a r e t o 解。记p a e e t o 解全体为尺二。也就足说，当；r 二时，在 第1 页 国防科学技术大，：研冗生院学位论文 意义下是不能找到另一个可“改进”的解的。 定义1 3 ”1 设i d = 扛旧，( j ) o = 1 , 2 ，j ，若不存在x d ，满足 f ( j ) f ( x ) ， 则称x 为问题m o p 的弱p a r e t o 解。我们把弱p a r e t o 解的全体记为月二。 可以证明在这三种意义下的解之间，有如下的包含关系： 定理1 1 r + 亡r 二c 砭c r 证明：由y - r ：。 r 显然。 先证明r j r 二 若 f 一碍 ：。 i = l 显然满足r c r 二 若r g ，我们再用反证法证之。若有；r + ，但有j r 二。则必存在歹r ，有 f ( ，) f ( x ) ， 即对任意i = 1 , 2 ，有 ，( y ) ，( x ) 并且至少存在某个f o ( 1 i o ) ，使 ( j ) f , o ( x ) ， 冈为 j e r = n 碍， 忙j 故 x 砭 然而，由y r 及式( 1 ) 可知，此与( 2 ) 矛盾。故，r cr 乙。 接下来，再证群。cr 品。用反证法证之。 若有j r 二，但j e 矗0 ，! i ! i j 由定义3 可知，必定存在歹r ，使得 f g ) ，( ；) ， 即对任意i = 1 , 2 ，m 有 ，( 歹) ，( ；) 因此，y 满足 f ( 歹) s f ( ；) 第2 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 由此推出x r 二，这便导致矛盾。故，r 二c 月品，证毕。 对于多目标规划问题，往往很难求解出完全满足全部目标要求的解，而是在各个日标之间 权衡，这样就有必要定义多目标规划问题中一种常用的概念，即满意水平。 定义1 4 由决策者给定实数b ，如果，( x ) n ，x r ”，就称单目标规划问题只( 第 二章中定义) 是满意的。与之对应的p = ( 只，p 2 ，p 。) 称为满意水平。 1 2 权向量的基本概念 定义1 5 称式1 1 产生的系数，= ( w l ，w 2 ，w 卅) 为权系数。且要求满足归性、正 定性。要求w ，o ，w ，= 1 。 j = l 定义1 6 权系数w = ( ，w 2 ，) 的正定性为：w = 1 ，m w 0 。 定义1 7 权系数w = ( w l ，w 2 ，) 的归一性为：w ，= 1 。 ，= i 定义1 8 称这样的一组数设w = ( w 。，w 2 ，w 卅) ，w ，o ，芝w ，：1 称由所有，构成的 j = 】 空间为权空间。 w 2 i i ，f i ，尺，o w j = 1 j = l 定义1 9 在可加性系统决策中，称函数 为综合函数。 ( _ ( x ) ，厶( x ) ) = ( _ ( x ) ， ( x ) ，兀( x ) ) 兰芝w ，( f ( x ) ) j = l 一 第3 页 第二章利用分层规划的思想修正多目标规划中权系数 2 1引言 考虑多目标问题 i 卿 z ( x ) ，厶( x ) ，厶( 。) ) “曩( x ) = o ，i = 1 , 2 ， ( m o p ) lg ，( 工) 0 ，j = 1 , 2 ， 其中， l ( x ) ， ( x ) ，工，( x ) 为m 个目标函数，令x 为可行集合( 可行域) ，即 x = x i x 冗”， ，( x ) = 0 ，g ，( x ) 0 ，i = 1 , 2 ，一，r ；j = 1 , 2 ，一，f j 。 求解多目标规划m o p 已经有多种方法，目的就是求解m o p 的p a r e t o 弱有效解。这里，我们 给出种类似于迭代的方法求解这个多日标规划。利用决策者的偏好信息构造一个实函 数，使得求决策者最满意解等价于求该实函数为新目标函数的最优解。我们首先求解各个 单目标优化 燃sx 璺x ( c ) 1 f 假设已经求得它的最有解的值为，。 我们选择下面的p 一级数的方法来将多标规划m o p 化为单目标问题 卿( w i ( ，( x ) 一，) 9 ) 厅，p 2 ，p e z ( p ( w ) ) 对这个函数利用求解单目标函数的方法进行求解。求出的解作为m o p 问题的解。 上面的方法中用到了权系数w t ，如何确定每个子目标函数的权系数是我们所要解决的 首要问题，假设我们已经按照后面的方法确定了权系数，并且已经找到了p ( w ) f q 题的最 优解x 。 定义2 1 相对偏差”1 = 相对偏差s ，描述了最优目标值与近似目标值之间的差异的程度 时，对这个偏差的大小应该是有所限制的，设限制条件为 8 ，s 7 其中，s 。= ( s ? ，0 ，艺) 为m o p 给出的满意水平向量。 往往在给定m o p 的同 ( 2 1 ) 如果求解目标规划时有这样的问题存在，即：当决策者已经解出了问题的p a r e t o 有效解 第4 页 铲 h 型 国防科学技术大学研究生院学位论文 但某些不满足条件( 2 1 ) ，那么我们将如何确定m o p 问题的最优解呢? 显然，我们在求 解m o p 问题p ( w ) 时，曾利用了加权系数w = ( w l ，w ，w 。) ，w w 。这个权系数的是通 过决策人的经验得来的，有一定的模糊性，不确定性。确定权系数可以通过多名决策者的 商讨，共同得到一个合理的值。在多目标规划问题m o p 时，如果很大的话，我们可以采 取分层的方式确定各目标函数的权系数。 2 2 利用分层法初步确定多目标规划m o p 的权系数 分层法求解多目标规划问题的主要思想，是将各个函数的重要性排序，按照重要性的 不同分出层次，从大到小排列，求解时按层次的不同，从重要性高的层，到重要性低的层， 逐层对m o p 问题进行求解，解集逐渐缩小到最终值。这种方法在很多情况下不能求解出问 题的可行解，这里，我们利用分层法的思想，确定多目标规划问题m o p 的加权系数这种方 法的优点在于可以按照各目标函数的重要程度，对它进行加权，不会出现类似丁分层法求 解中所遇到的难以求解的问题。 做法如下： 首先，假设有p 名决策者，对各日标，的重要性进行粗略的估计。将重要程度相同的 目标规划到同一类，并按照重要性的不同按字典序排序。这些权系数反映出了各个单目标 函数，( x ) 的重要程度，将重要性相同或相差在一定范围内的目标函数规划为类( 不能 把目标相矛盾的函数分到一类中) ，设共分成层，并已按照优先级的顺序排列。记 e ( x ) = ( 一( x ) ， ( 工) 一，厶( 工) ) 7 ； e ( j ) = ( 厶。+ 【( 戈) ，：，t l + 2 ( x ) ，一，厶，( x ) ) 7 ； f a x ) 2 ( 厶一+ - ( x ) ，厶。+ z ( x ) ，一，。( x ) ) 7 记旧j = 嘲一m 。，= 0 ，是每层中的函数个数。确定m o p 问题的权系数就只需要对分层的 目标函数l s p 问题： 一m i n p 。只( 工) ( l s p ) s = l s t x 工 估计权系数。 利用数理统计的方法对l s p 问题进行估计。假设共有p 名决策人，每名决策人都对权 系数发表意见，假设统计结果如下： 第5 页 里堕型兰垫查查兰塑至竺堕兰堡笙兰 f 2 w 2 w 1 2 w 2 2 通过求解上面矩阵的期望值，来确定每个函数的权系数。 九，= 亡w ，= l ，2 ，2 ，k 这就是第，层目标函数厶。+ 。( x ) ，厶，( x ) 所共有的权系数。这里，权系数九，是对l s p 函数的估计，对原日标规划m o p ，我们再利用下面的方式确定其权系数： 珏( 2 l 豁h 一啦， 对原多目标规划m o p 问题的每个分量，( x ) ，对应的权系数为： _ 。1 f 兰m l w 2 1 ：。 一。+ 。，。 这样我们就已经确定了所有的目标函数，( 神的权系数w i ，对多f i 标规划问题m o p 我们就 可以利用p 级数法进行求解。这就是我们利用分层法确定目标函数权系数的方法。那么， 这个权系数的确立是否合理呢，如果不合理，该如何将它修正，这将是我们下一步的：i ：作。 首先，我们利用p 级数方法解出的目标函数解x + 。 2 3 修正权系数的方法 定理2 1 当某个单目标函数的权系数趋于1 时，m o p 问题的解趋向于这个单目标函 数的目标解。 证明当趋于1 时，w ，( ，f ) 趋丁二o ，故 辫曾善”似) 2 卿辫善w ，( x ) 2 卿w ，( x ) = m 晒f ( x ) = ， 我们可以看出，当某个目标函数的加权值增大，多目标规划问题m o p 的解有向这个增 大的目标函数解靠近的趋势，根据这个思想，我们得到可以确立如何改变权系数的思想。 第6 丽 凡肌彬憎 1 2 国防科学技术大学研究生院学位沦文 对i = 1 , 2 ，m ，求f ( x + ) 相对于f 的相对偏差，并检验是否满足条件( 2 1 ) ，如果 对所有的i 都有( 2 1 ) 成立。那么我们就得到一个p a r e t o 有效解。这个解也就是我们所 得到的原多目标规划的。个满意解。如果对于某些s 这个条件不能满足。则我们对所有的 权系数w ，转换为w + a w ，w = k ( c 一? ) 。k 为调箝系数。我们可以对它的值进行设定。 馏剖掣弘 0 ， w j ( x l ，- - - ，) ， 那么p x o , i 】，即e x 属于变权函数的定义域。因此它有： w 如一x ) = l ： j = 1 w 2 连续性：显然成立： w 3 激励( 惩罚) 性： 令1 一z ，= y ，= ( y 1 ，y 2 ，一，y 。) 。贝u 1 ) 激励性： 8 w j ( e - x ) ：丝! ! 二兰! ：! 二兰! ：! 二兰：主垒! m 瓠j 却，( y l ，y 2 ，y ，y 。) a ( 1 一y j ) 跏，( 儿，y 2 ，儿) 砂， 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 由于w ( y ) 的惩罚性。故 丝也! ：丝：些! o ， 砂， 因而 _ o w j ( e - x ) ：一至盟娑堂堕o 。 o x j 砂， 2 ) 惩罚性： 由于w ( j ，) 的激励性。故 o w s ( e x 1 眦 o w ，( 1 一x l , 1 一x 2 ，一，】一x ，一，l x m ) o x = 鱼：! 兰! ：羔! ：! ：兰：兰! 1 0 ( 1 一y j ) ：一垦! ! ! ! ：丝：兰! ! 砂， 却，p x ) 出 生业兰生o 。 田i 定理4 2 若w ( x ) 是混合型变权向量，且埘应的激励策略p = ( p 。，p ：，) 。那么， l ( x ) = w ( e x ) 是以e p = ( 1 - p ，1 一p ：，1 一p m ) 为激励策略的混合型变权向量。 证明显然对于w l ，w 2 是满足的，可以参见定理4 1 的证明。现证明它满足w 3 ： 却( x ) 0 x ， p ，。 令1 一x ，= y j ，y = ( y l ，y 2 ，y 。) ，贝0 却，0 一x ) o w s ( y ) 叙，a ( 1 _ y ，) ：一型j 0 y j 1 一p ， 即w 3 成立。 由4 - 2 节的定义s ： a ，别“斗r ”，x 斗s ( j ) 兰( s ( x ) ，晶( 工) ) ，可知，状态变权向量 一。 第1 5 页 等 国防科学技术大学研究生院学位论文 s ( x ) 的定义域是 n ，6 ”。其中，d ，b 都是一维常数。则当x 口，6 】“时， ( + b ) 一x = ( a + b x i ，a + b x 2 ，- 一，a + b x m ) a ，6 】” ，其中 a = ( a ，a ，a ) ， 6 = ( b ，b ，一，6 ) 。 定理4 3 对于惩罚型状态变权向量s ( x ) ，设其定义域为工 n ，6 。取s ( x ) = s ( x ，) ， 那么s ( x ) = s ( + b ) 一x ) 是激励型状态变权向量。 证明 s 1 ：显然成立； s 2 ：当x x 时， a + b z a + b x ， 故 s ( d + b x ) s ，( 口+ b x ，) ： s 3 ：连续性显然成立； s 4 ：取x = ( x l ，x 2 ，x ，一，x ，。) ，x ”= ( x l ，工2 ，x ”，一，x 。) 。 爿“么 w ，( 口+ b x ) 一w ，( 盘+ 6 一x ”) ：堡苎! ! ! 二墨! z w j s j ( a + b x ，) + s ( 口+ 6 一工，。) j = 1 j o 一当! ! 鱼! 二苎。：2 z w s j ( a + 6 一x ，) + w s ( d + 6 一x ，) j = t ，p ( w ，s j ( a + b - ”) 】z w ，s ，( a + 6 一x ，) + w ，s ( d + 6 一x ，) i 。! i ! ! 二一 c ，套洲抄咧叫， ( ，套川_ 烈1 。 于s ( x ) 是惩罚型状态变权，因而，当z ，z ”时， 疗+ b x ，s 口+ b 一置”， 取= + 6 - - x l ，a + b x 2 ，a + b x a + b 一( z ，”蜗) 2 ，a + b x 。) ，那么 ( 4 2 ) 第1 6 页 一0 i刁一蔫 二 掣渺竺碳 套i 兰州竺 如一叶 一趴 矗州一已 国防科学技术大学研究生院学位论文 s ( a + b x ”) s ，( 日+ b 一( x ，”+ x ，) 2 ) s i ( a + b x ，) 刑于( 4 2 ) 式，其余各式的值大于零，故 w ，( a + b x ) 一w ，( a + b x ”) 0 即w ( ( + b ) 一x ) 是激励型变权。 定理4 4 设激励型状态变权向量s ( x ) ，定义域为x k 6 ”。当s ( 工) = s j ( x ，) 时，则 葺( x ) = s ( + b ) 一x ) 是惩罚型状态变权向量。 证明参见定理4 3 的证明。 4 4 确定变权的一组经验公式 先看二维的情形”。设，= ( w 】，w 2 ) 是一组常权，假设常权之比为丑，即五= 形，于 是可以认为： 兰! ! ! ! 兰2 ： 量：竺煎 w l ( z l ，x 2 )x 2 w 1 。2 。 该式与归一化公理联立可以解得 w i ( _ ，x ：) = = 坠； a x i 十x 2w 2 x 1 十w l x 2 w 2 ( 一，x ：) = 粤：坠 十x 2 w 2 x 1 + w l x 2 对于m 维变权w j ( x 一，) ，j = 1 , 2 ，可采用下面的方法确定 首先确定两两因素的变权比( - ，x ，) ，i ，j = 1 , 2 ，m 吣2 剖2 乃詈2 嚣 之后根据归性公理芝j = l 一( x l j ，) = 1 ，与上式联立得到方程组： 第1 7 页 1 4 ) 1 ( 工l ，x ) 一r 12 ( 工【，x 2 ) w 2 ( _ ，x 。) = 0 x 。) 一口【。( x l ，z 。) w 。( x 【，x 。) 20 ，x 。) 一砚l ( x 2 ，x 】) w i ( x 】，x 。) = 0 ，x 。) 一r h 2 ( x 2 ，x 2 ) w 2 ( x 】，x 。) = 0 w 2