（概率论与数理统计专业论文）关于广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件.pdf

广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件中文摘要 中文摘要 周知，分布理论是概率论的基础之一，而且它在随机游动，从而在风险理论，排 队系统，l e v y 过程，分支过程等领域有重要的应用，因而一直受到人们的关注而其 中的广义长尾分布族是非常宽泛的一类分布族，它包括了具有重要应用价值的卷积等 价分布族，而广义长尾分布族及广义卷积等价分布族研究的核心问题之一就是所谓的 卷积封闭性本文的第一章介绍了一些常见的分布族和局部分布族，并回顾了一些已 有的成果，进而引出了本文的动机本文第二章的前一部分得到了有关广义长尾分布 的卷积封闭性的等价条件，推广和改进了p a k e s ( 2 0 0 4 ) 1 l 的一个相应结果，进而得到 一类卷积等价分布的等价条件；第二章的后一部分证明了这些结果本文第三章讨论 了局部长尾分布的相应问题，并得到了局部长尾分布族及局部次指数分布族的卷积封 闭性的相应结果 关键词：广义长尾分布，卷积等价分布，局部长尾分布，局部次指数分布，封闭 性，等价条件 作者：倪凤莲 指导老师：王岳宝( 教授) 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件英文摘要 s o m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so fe x t e n d e dl o n g - t a i l e d d i s t r i b u t i o na n dl o c a l l yl o n g - t a i l e dd i s t r i b u t i o n s ab s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ed i s t r i b u t i o nt h e o r yi so n cf o u n d a t i o n so fp r o b a b i l i t y , a n d i th a sv e r yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nr a n d o mw a l k ，a n ds oi nr i s kt h e o r y , q u e u e i n g t h e o r y , l e v yp r o c e s st h e o r y , b r a n c h i n gp r o c e s st h e o r ya n ds oo n ，s oi t h a sa l w a y s b e e np a i dw i d ea t t e n t i o n s w h i l et h ee x t e n d e dl o n g - t a i l e dd i s t r i b u t i o nc l a s si so n e o ft h ev e r yb r o a dd i s t r i b u t i o nc l a s s e s i ti n v o l v c st h ec o n v o l u t i o ne q u i v a l e n td i s t r i b u t i o nc l a s sw h i c hh a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o nv a l u e ，h o w e v e ro n ec r i t i c a lp r o b l e mo ft h e e x t e n d e dl o n g - t a i l e dd i s t r i b u t i o nt h e o r ya n de x t e n d e dc o n v o l u t i o ne q u i v a l e n c ed i s t r i b u t i o nt h e o r yi ss o - c a l l e dt h ec l o s u r eo fc o n v o l u t i o n i nt h ef i r s tc h a p t e ro ft h i sa r t i c l c ，w ei n t r o d u c es o m ec o n v c n t i o n a ld i s t r i b u t i o nc l a s s e sa n d1 0 c a ld i s t r i b u t i o nc l a s s e s ， t h e nr e c a l ls o m ee x i s t i n gr e s u l t s f i n a l l yl c a dt ot h em o t i v eo ft h i sa r t i c l e i nt h e f i r s tp a r to ft h es e c o n dc h a p t e r ，w eo b t a i nae q u i v a l e n tc o n d i t i o no ft h ec o n v o l u t i o n c l o s u r eo ft h ee x t e n d e dl o n g - t a i l e dd i s t r i b u t i o n s ，g e n e r a l i z ea n di m p r o v et h ec o r r e - s p o n d i n gr e s u l t so fp a k e s ( 2 0 0 4 ) 1 1 | ，a n dt h e nr e c e i v eak i n do fe q u i v a l e n tc o n d i t i o n so f c o n v o l u t i o n e q u i v a l e n c ed i s t r i b u t i o n s i nt h e l a s tp a r to ft h es e c o n dc h a p t e r ，w ep r o v e t h e s er e s u l t s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ec o r r e s p o n d i n gq u e s t i o n so fl o c a l l y l o n g - t a i l e dd i s t r i b u t i o n s ，a n dt h e ng a i nt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so ft h ec o n v o l u t i o n c l o s u r eo fl o c a l l yl o n g - t a i l e dd i s t r i b u t i o na n dl o c a l l ys u b e x p o n e n t i md i s t r i b u t i o n s k e y w o r d s ：e x t e n d e dl o n g - t a i l e d t i o n ；l o c a l l yl o n g - t a i l e dd i s t r i b u t i o n p r o p e r t y ；e q u i v a l e n tc o n d i t i o n d i s t r i b u t i o n ；c o n v o l u t i o n - e q u i v a l e n c ed i s t r i b u - ；l o c a l l ys u b c x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ；c l o s u r e w r i t t e nb yn if c n g l i a n s u p e r v i s e db yp r o f w a n gy u e b a o i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：塑星董日期：避：篁： 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 导师签名：丝e t 期： 牡业 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件 第一章引言 第一章引言 在本章的第一节，我们介绍一些与本文有关的概念，记号与约定主要介绍一些 分布族及局部分布族的概念本章的第二节我们回顾已有的研究成果，从而引出本文 的动机和目的 若无特殊申明，本文中的极限均指z _ o c 设n ( z ) ，b ( x ) 为两个最终正值函数， 若l i m s u p a ( x ) b ( x ) 0 ，使得 ，o 。 厂( 一i a ) = c , i x f ( d z ) 0 ，e e n z = 。；而，y 0 时，c ( 7 ) 属于轻尾分布族 c ( 7 ) ，y 0 ，是非常宽泛的分布族，它包括了具有重要应用价值的卷积等价分布 族，记作s ( 7 ) 下面给出卷积等价分布族的定义 定义1 4 对某个常数，y 0 ，称支撑在一上的分布f 属于指标为7 的卷积等价 分布族，记作f 5 ( 7 ) 若f c ( ，y ) ， 知n ) z ) p ( m a x 。x i z ) t = l 一 这就是说，和的尾分布与最大值的尾分布是等价的换言之，在这种情况下，个别” 危险分子”的作用特别大从而次指数分布为风险理论中人们常说的一个大跳原理， 即破产是由一个大的风险造成的，找到了理论依据 当7 0 时，5 ( 7 ) 是最重要的轻尾分布族之一，它是由c h o v e r 等( 1 9 7 2 引，1 9 7 3 4 1 ) 引入的 a s m u s s e n 等( 2 0 0 3 ) 5 l 引入了一些重要的重尾局部分布族的概念并进行了系统 的研究一些后续的研究可以参见w a n g 等( 2 0 0 5 ) 6 i ，w a n g 等( 2 0 0 7 ) 【7 1 ，g a oa n d w a n g ( 2 0 0 8 ) 8 j 等 2 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件第一章引言 对某个0 0 和fx g ( d x ) 0 ，都存在a r 0 满足 虿丽( z ) k ( ( 0 ( 7 ) + e ) v1 ) ”虿( z ) ， 对每价z r 和n 1 定理1 j ( p a k e s ( 2 0 0 4 ) 1 1 的引理2 5 ) 设p ，p l 和p 2 是( 一o 。，0 0 ) 上的分布函数， 且满足p = p l 木p 2 贝4 ( 1 ) 设p c ，面l ( z ) = o ( 万( 搿) ) 且废( p ) 0 则有 面( z ) 一面2 ( z ) ( 2 ) 设，y 0 ，卢l ，p 2 是( 一。，o o ) 上的分布函数，又若肛，历( p ) ，y ，且 p o o e 印( ( 7 + i z ) x ) m d x 0 ， l ，一o o 对每个z ( 一o 。，o o ) ，那么我们有 面( z ) 一反( 7 ) 面：( z )肛( z j “肛l l y ) p 2 ( z j 此外，如果p s ( 7 ) ，贝0p 2 s ( ，y ) 6 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件第一章引言 以上的结果较为系统地讨论了一些广义长尾分布族和一些常见的分布族中的卷积 封闭性问题，由此可见对于卷积封闭性的研究的重要性 对于定理1 a 和定理1 b 中给出的结果，我们有如下几点看法： 首先，容易看出，条件a 幻( 1 ) 可以推出条件耳= o ( 否) ，因此，后一条件是 多余的事实上，由m n ( 7 ) 0 7 0 ， 即否o l o g 是慢变函数及b i n g h m ，g o l d i e 及t e u g c l ( 1 9 8 7 ) 1 2 】的p r o p o s i t i o n l 3 6 ( v ) 知 l i me 7 z 虿( z ) = 结合两者立得百( z ) = o ( 虿( z ) ) 其次，更为重要的是，定理1 b 给出的是( 1 1 ) 的充分条件，由下文命题2 1 可 知条件a ，轴( 7 7 ) o o 是不必要的对此，人们自然要问，( 1 1 ) 的等价条件是什么? 本文将试图回答这一问题 最后，我们将讨论m ( - y ) = 。o 及0 口= l i m 勰 o o 的情况，后者将涉及卷 积等价分布族，它是本文的主要结果之一 我们将在第二章中逐个解决上述提出的问题，给出广义长尾分布及广义卷积等价 分布的卷积封闭性的等价条件，并给出其相应的证明 而在第三章中我们将进一步讨论局部长尾分布及局部次指数分布的卷积封闭性问 题 7 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件第二章卷积封闭性的等价条件 第二章卷积封闭性的等价条件 2 1引言和主要结果 本章推广和改进了p a k e s ( 2 0 0 4 ) l 1 】的个相应结果，即本文中的定理1 b ，给出了 广义长尾分布及广义卷积等价分布的卷积封闭性的等价条件 其中，本章第一节介绍了本章的主要结果，本章第二节给出了证明过程中要用到 的两个重要引理，本章第三节给出了本章主要结果的证明 因为广义长尾分布族及卷积等价分布族在排队系统，风险理论，无穷可分分布及 分支过程等领域有重要的应用，因此长期以来，人们对它们进行了系统的研究，得到 许多成果，但仍然存在一些有趣的问题值得讨论 广义长尾分布族研究的核心问题之一，是所谓的卷积封闭性问题即对某个7 0 ， 设g c ( - y ) ，又设为另个( 一。，0 0 ) 上的分布，记f = g 宰h 为g 与，的卷 积问在什么条件下，f c ( ，y ) 且f 与百，耳有什么关系? 下面我们将用定理的形式回答这个问题 定理2 1 对某个7 0 ，设g c ( 7 ) ， n ：l i m 婴：o ， 幻( ，y ) ： 一0 0 - c ( x ) “7 则下列两个命题相互等价。 e w 删秒) 0 ，设g ( 7 ) 及i ( 7 ) = o o ，则( 2 1 ) 仍然成立，即 规器g 一 ( 2 3 ) 霉_ o o ( z ) 当0 a 时，我们发现( 2 2 ) 成为f s ( 7 ) 的等价条件之一，如下： 定理2 3 对某个7 0 ， g c ( 毗m a ( - y ) 。，剖i m 器( o ，c o ) ， 则下列命题相互等价： ( 1 ) g s ( 7 ) ； ( 2 ) h s ( 7 ) ； ( 3 ) p s ( 7 ) ； ( 4 ) ( 2 2 ) 成立5 ( 5 ) 1 i m 掣：m n ( - y ) + n m e , ( n ) ( 2 4 ) 牟一o 。a ( x 、 77、 对此，我们指出，一般地，若g s ( 7 ) ，es ( ，y ) ，未必能推出f = g 术h s ( 7 ) ， 见k 1 u p p e l b e r g ( 1 9 9 1 ) 【1 ：；】而定理2 3 则在一定条件下，得出了f = g ，i c s ( n ) 的 等价条件 我们将在本章第三节证明上述结果，为此先给出证明上述结果要用到的两个引理 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件 第二章卷积封闭性的等价条件 2 2两个引理 第一个引理可见p a k e s ( 2 0 0 4 ) 1 i 的引理5 6 j 如下： 引理2 1 设对某个7 0 ，分布g ，h ( 7 ) 且 亿( ，y ) o 。， 知( 7 ) z ) = ( + + f ) - c ( z 一可) d ( 可) 三i i ( x ) + 如( z ) + 如( 。) 1 0 ( 2 7 ) 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件第二章卷积封闭性的等价条件 由g s ( 7 ) 及控制收敛定理易知 a 峻z 魄r a ( x 1 ) g ( x a 峻洲帕) a 0 0 z _ o c 1a o 。 = i 抽( 7 ) 又由分部积分知 厶( 占) = 否( z 一秒) d ，( ! ，) = 础) 矶一a ) + 砩刊蚓办 由( 2 ，9 ) ，g c ( - r ) ，a = 0 及控制收敛定理知 u m 器u ( x = 。 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 由( 2 7 ) ，( 2 9 ) 及( 2 1 0 ) 立得( 2 1 ) 铮( 2 2 ) 口 命题2 1 的证明：设召( z ) = e 一，z o ；虿( z ) = l ，z 0 又设一h ( x ) = x - 2 e _ ， 名l ；万( z ) = l ，z 1 ，由分部积分易知 一呦_ 2 e 叫 一( z a ) 一2 + a 一2 一( z a ) 一1 + a 一1 先令z 哼o o ，再令a 一o o ，则条件( 2 2 ) 满足 从而由定理2 1 知( 2 1 ) 成立且f = g 木胃c ( 1 ) 显然，我们不能由定理1 b 得到这个结论 1 l 口 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件 第二章卷积封闭性的等价条件 定理2 2 的证明：由( 2 7 ) 知对任a 0 ，有 z 峻器g ( x z 魄j 厂掣g ( x 删 z o o ) 一z 一。) = le 竹d h ( y ) 再由m h ( 7 ) = 。，令a 一。立得( 2 3 ) 定理2 3 的证明：先证( 1 ) ( 2 ) 口 由0 a o o 知( 1 ) 甘( 2 ) ，a 纪( ，y ) 。兮a 幻( 7 ) 0 ，我们同样如( 2 7 ) 分割f ( z ) ，由g c ( ，y ) ，0 a o c 及控制收敛定 理知( 2 8 ) 仍然成立 再由( 2 9 ) ，g c ( 7 ) ，0 a o o 及控制收敛定理知 下证( 1 ) 铮( 4 ) at-；-+ccx - m - 。o o 糍刊槲 g ( z ) 先证( 1 ) j ( 4 ) ，由( ；7 s ( z ) 知h s ( 7 ) ，从而 恿。魄帮岫 a o 。o ，f ，h 1 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 由( 2 1 2 ) 及0 0 ，若a 充分大，有 魄z 峨等铲圳邮( 1 刊a z 魄铲d ( 沪。 再由h ( 7 ) 知h s ( 7 ) ，最后由( 1 ) ( 2 ) 知g s ( ，y ) ，即( 4 ) 专( 1 ) 成立 1 2 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件第二章卷积封闭性的等价条件 下证( 1 ) 甘( 5 ) 先证( 1 ) 令( 5 ) ，由( 1 ) 兮( 4 ) 知( 2 2 ) 成立由( 2 2 ) ，( 2 7 ) ，( 2 8 ) 及( 2 1 1 ) 立得( 2 4 ) ， 即( 5 ) 成立 另一方面，若( 2 4 ) 成立，结合( 2 7 ) ，( 2 8 ) 及( 2 1 1 ) 知( 2 2 ) 成立，即( 4 ) 成立， 再由( 4 ) ( 1 ) 知( 5 ) ( 1 ) 最后证( 1 ) ( 3 ) 先证( 1 ) 今( 3 ) ，由上述( 1 ) 铮( 5 ) 立得f s ( 7 ) 反之，若f s ( ，y ) ，下证g s ( 7 ) 或h s ( 7 ) ，我们先证 h m s u p 器 o 。 不然，反设( 2 1 3 ) 不成立，则存在z 竹下o 。，n 哼o o 使 n 一f ( x t i ) n , - 0 0 f ( x l i m 1 n ) g 掣：i m 璺掣： 又由f s ( 7 ) ，引理2 1 ，( 2 5 ) 及( 2 1 4 ) 知 k n 魄c 等掣 成立 这一矛盾证明了( 2 1 3 ) 另一方面，显然有 这样就有 + 墼掣) ：o f ( x n ) 7 h 器 i m 甜器剑p 器 o 。 f ( z ) 一f ( z ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 再由引理2 2 知，由f s ( ，y ) ，g c ( 7 ) 及( 2 15 ) 知g s ( 7 ) ，即( 3 ) 兮( 1 ) 至此，定理2 3 全部证毕 口 1 3 f s ( 长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件第三章 局部长尾分布的卷积封闭性 第三章局部长尾分布的卷积封闭性 3 1引言及主要结果 周知，局部分布族的卷积封闭性也是分布理论中的核心问题之一，它在风险理论， 排队系统，l e v y 过程及分支过程等领域有同样重要的应用本章主要研究局部长尾 分布及局部次指数分布的卷积封闭性， 并给出一个相应的等价条件 若无特别申明，本章我们均设分布的支撑为【0 ，。) 定理3 1 设对某个0 t o o ， ge c h , t m 等篑= o ， 则下列两个命题相互等价： 熙丽p c z + a ) = 1 ； ( 3 1 ) 熙丽丽2 1 ； ( 3 1 ) 熙魄错删- o ( 3 2 ) 此外，( 3 1 ) 与( 3 2 ) 中的每个都可以推出f c 类似于非局部的情况，当0 a 。o 时，我们发现( 3 2 ) 成为f , s a 的等价条 件之一 定理3 2 设对某个0 t o o ， g ，一z 峻等篙( o 川，z 一，。【j l ： ：+ z 、i 则下列命题相互等价： ( 1 ) g s a ； ( 2 ) h t 弘； ( 3 ) f t 弘； 14 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件 第三章局部长尾分布的卷积封闭性 ( 4 ) ( 3 2 ) 成立； ( 5 ) 茁一l i m g f ( x + + a ) 广n + 1 我们将在本章第三节证明上述结果，本章第二节我们给出证明上述结果要用到的 若干引理 3 2若干引理 第一个引理可见h s m u s s e n ( 2 0 0 3 ) 5 1 的引理1 ，它在弱等价的条件下给出了卷积的 封闭性 引理3 1 对某个0 t o o ，f 黾，如果g c 并且 。 i 。m 。i 。n f 要黜u i 。n 。s 。u p ；黜 o 。 则g - 蚣 特别地，若 c ( x4 - a ) 一c f ( z + ) ， z _ 。o ， 其中c ( 0 ，。o ) ，则g - 瓢 此外，我们还需要a s m u s s e n ( 2 0 0 3 ) 5 1 的命题2 ，如下： 引理3 2 对某个0 ( z ) ) = o ( f ( x + ) ) 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件 第三章局部长尾分布的卷积封闭性 一致成立； ( 3 ) 对每个函数 ( z ) ，只要满足x 一。，h ( x ) _ o o ：就有 p ( l + f 2 x + ， 1 忍( z ) ，f 2 ( z ) ) = o ( f ( z + ) ) 成立 最后，我们的证明还需要w a n g 等( 2 0 0 7 ) f 7 l 的引理3 1 ，给出了类似于引理2 1 的 局部分布族上的结果 引理3 3 设g ，是定义在a 上的两个适正分布函数， g g z , ，h 对某 个0 t 0 ，分割f ( z + a ) 如下： f ( z + ) = g ( z + 丁一秒) 以( y ) 一g ( z y ) ( f 日( y ) = g ( x - y + ) d ( 秒) + g ( x - y + t ) d ( y ) = ( + i + i ) g ( x - y + ) d ( ) + g ( x - - y + t ) 矗日( y ) = 乃( z ) ( 3 4 ) 1 6 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件第三章局部长尾分布的卷积封闭性 由g c 及控制收敛定理易知 l i r a 。魄磊= 峻d ，( 可) = ， ( 3 剐 义由分邵积分知 以( 名) = g ( 。一! ，+ ) d ( ) = g ( a + ) 矾一a ) 一g ( t ) 耻) + h ( x - y + 酬g ( y ) 及 以( z ) 从而 + f h ( x - y + t ) d g ( 黟) 一 = g ( x + t - y ) d ， = g ( t ) 百( z ) 一h ( x + t - y ) d g ( ! ，) + 丁 ) 十) = g ( a + ) 矶一a ) 一万( z 刊蚓卅 ( 3 6 ) ( 3 7 ) h ( x - y + a ) d g ( n ( 3 8 ) 由( 3 8 ) ，a = 0 ，g c 及控制收敛定理知 a 峻错= o 所以由( 3 4 ) ，( 3 5 ) 及( 3 9 ) 立得( 3 1 ) 铮( 3 2 ) ( 3 9 ) 口 定理3 2 的证明由0 a 0 ，我们同样如( 3 4 ) 分割f ( x + ) y g d o y z r 百 + 厂 舢a 、i ， ，f gd 、l， 卜 剪 一 z ，、 盯 r o 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件第三章局部长尾分布的卷积封闭性 由g c ，0 a 及控制收敛定理知( 3 5 ) 仍然成立 又由( 3 6 ) 和( 3 7 ) 知 1 3 ( z ) + 五( z ) = g ( a + a ) 一h ( x a ) 一 其中， a + t 。矶刊蚓沪叫十a ) 一h ( x - a ) g ( a + a ) 一h ( x a t ) 一g ( a + ) 耳( z a ) = g ( a + a ) h ( x a 一丁+ ) 由0 a 。o 及g c 得 h ( x y + a ) d c ( y 1 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) a l - - i n l - - , c oz 峻坐掣筹产_ a 辄 ( 3 1 2 ) z 一 “( z +i 由( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 知 l i ml i m a 一 。oz - + o o a + 丁 g ( a + a ) 一1 1 ( x a ) 一j f7 ( x y ) d g ( y ) ：!：一 g ( 。+ ) 又由0 a o 。，g c 及控制收敛定理知 + 丁 a 峻。魄错删 由( 3 1 0 ) ，( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 知 o a 唆z 峻错 下证( 1 ) ( 4 ) 先证( 1 ) ( 4 ) ，由g s a 知，t 轮，从而由引理3 2 知 z a a z 哦错埘- o = 0 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 丁 厂，o + 可 gd 可 一 zr 耳 a 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件 第三章局部长尾分布的卷积封闭性 由( 3 1 6 ) 及0 0 ，若a 充分大，则 z 峻- 等茜等州邮( ，刊a 峻聋峻 署等州小。 再由h 知h t 坛最后由( 1 ) 铮( 2 ) 知g s t , ，即( 4 ) 号( 1 ) 成立 下证( 1 ) 铮( 5 ) 先证( 1 ) 号( 5 ) ，由( 1 ) 咎( 4 ) 知( 3 2 ) 成立，又由( 3 2 ) ，( 3 4 ) ，( 3 5 ) 及( 3 1 5 ) 立得 ( 5 ) 成立 另一方面，若( 5 ) 成立，结合( 3 4 ) ，( 3 5 ) 及( 3 1 5 ) 知( 3 2 ) 成立，即( 4 ) 成立， 再由( 4 ) 铮( 1 ) 知( 5 ) 号( 1 ) 最后证( 1 ) ( 3 ) 先证( 1 ) 专( 3 ) ，由上述( 1 ) 兮( 5 ) 立得f s t , ，即( 3 ) 成立 再证( 3 ) 兮( 1 ) ，即若f s 么，下证g s t , 或日5 厶为此我们先证 否则存在z nto 。，几哼使 - i m s u p 筹曷 。 忉 l i m g m ( x n , 1 + + a ) y = n 魄畿蚓= o ( 3 1 8 ) 下面记f = g 丰日，则由f & ，引理3 3 ，( 3 3 ) 及( 3 1 8 ) 知 k n 峻( 篙筹十畿岩) = 0 n 叫o 。 ，ij ：帕十i，iz 种十厶i 成立这一矛盾证明了( 3 1 7 ) 1 9 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件 第三章局部长尾分布的卷积封闭性 另一方面，显然有 这样就有 1 磐罗等篙 。1 竺罗贰百萄 溉 。 掣箩等篙g i ms u p 等篙 。 c s 1 9 ) 由( 3 1 9 ) ，弓i 理3 1 ，f 5 及g c 知g 5 公 从而( 3 ) 兮( 1 ) 得证 2 0 口 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件 参考文献 参考文献 【1 jp a k e s ，a ，c o n v o l u t i o ne q u i v a l e n c ea n di n f i n i t ed i v i s i b i l i t y , ，a p p l p m ，2 0 0 4 ， 4 1 4 0 7 4 2 4 【2 】2c h i s t y a k o v ，v p ，at h e o r w mo ns u mo fi n d e p e n d e n tp o s i t i v er a n d o mv a r i a b l e s a n di t sa p p l i c a t i o nt ob r a n c h i n gr a n d o mp r o c e s s e s ，t h e o r yp r o b a b a p p l ，1 9 6 4 ，9 ， 6 4 0 - 6 4 8 【3 1c h o v e r ，j ，n e y , p ，w a i n g e r ，s ，f u n c t i o n so fp r o b a b i l i t ym e a s u r e s ，a n a l y s e m a t h ，1 9 7 2 ，2 6 ，2 5 5 3 0 2 【4 】c h o v e r ，j ：n e y ，p ，w a i n g e r ，s ，d e g e n e r a c yp r o p e r t i e so fs u b c r i t i c a lb r a n c h i n g p r o c e s s e s ，j ，a n n p r o b a b i l i t y ，1 9 7 3 ，l ，6 6 3 - 6 7 3 【5 】a s m u s s e n ，s ，f o s s ，s ，k o r s h u n o v ，d ，a s y m p t o t i c sf o rs u m so fr a n d o m v a r i a b l e s - w i t hl o c a ls u b e x p o n e n t i a lb e h a v i o u r ，t h e o r e t 尸r d 6 ，2 0 0 3 ，1 6 ，4 8 9 5 1 8 【6 】w a n g ，y b ，c h c n g ，d y ，w a n g ，k y ，t h ec l o s u r eo fal o c a ls u b e x p o n c n t i a l d i s t r i b u t i o nc l a s su n d e rc o n v o l u t i o nr o o t sw i t ha p p l i c a t i o n st ot h ec o m p o u n d p o i s s o np r o c e s s ，a p p l p r o b ，2 0 0 5 ，4 2 ( 4 ) ，1 1 9 4 - 1 2 0 3 7 】w a n g ，y ，y a n g ，y w a n g ，k a n dc h e n g ，d ，s o m en e we q u i v a l e n tc o n d i t i o n so n a s y m p t o t i c sf o rr a n d o ms u m sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ，i n s u r a n c e ：m a t h e c o n o m ， 2 0 0 7 ，4 0 ( 2 ) ，2 5 6 2 6 6 【8 1g a o ，q w ，w a n g ，y b ，r u i np r o b a b i l i t ya n dl o c a lr u i np r o b a b i l i t yi nt h e r a n d o mm u l t i d e l a y e dr e n e w a lr i s km o d e l ，s l a t p r o b a b l e t t ，2 0 0 9 ，7 9 ，5 8 8 - 5 9 6 【9 1e m b r e c h t s ，p a n dg o l d i e ，c ，o nc l o s u r ea n df a c t o r i z a t i o np r o p c r t i e so fs u b e x - p o n e b t i a la n dr e l a t e dd i s t r i b u t i o n s ，j a u s t r a l m a t h s o c ，1 9 8 0 ，2 9 ，2 4 3 2 5 6 2 1 广义长尾分布及局部长尾分布的若干等价条件 参考文献 【1 0 1w a t a n a b e ，t ，c o n v o l u t i o ne q u i v a l e n c ea n d d i s t r i b u t i o n so fr a n d o ms u m s ，p r o b a b t h e o wr e l a t e d f i e l d s ，2 0 0 8 ，1 4 2 ，3 6 3 9 7 【ii 1t a n g ，q ，t h eo v e r s h o o to far a n