（概率论与数理统计专业论文）资产组合椭球分布下的cvar及均值cvar有效前沿.pdfVIP

中文摘要 摘要 近二十年来，由于受经济全球化与金融自由化、金融创新等因素的影响，金融市场 呈现出前所未有的波动性，因金融风险而导致的金融危机时有发生因此，金融市场风 险成为全球金融机构和监管当局普遍关注的焦点v a r ( v 8 j u e a t 一s k ) 正是在这种背 景下应运而生的种风险计量技术，并已成为度量金融风险的主流方法，但是实证表 明v a r 风险度量方法存在着严重的缺陷比如：v l r 不是一致性的风险度量；不一定满足 凸性：没有对超额损失进行处理等 c v a r ( c o n d i t i o n a lv a l u e - “一m s k ，条件风险价值) 风险度量方法是在、，a r 风险度量方 法的基础之上产生的，其含义为：资产组合损失的口尾部分布的均值，其中0 p l 为给 定的置信水平实证表明c v a r 是一致性的风险度量，更能体现资产组合的潜在风险并且 计算更加简单目前国内外的很多学者在c v 凰的等价定义及性质、计算与样本逼近、 麻闹等方面做了大量的工作，并且解决了风险资产组合正态分布情形下的均值一c v 凰边 界和均值一c v a r 有效前沿，但没有解决风险资产组合其它分布情形下的均值c v a r 边界 和均值c v a r 有效前沿 本文对c v a r 方法作了一些初步的研究，研究主要分为如下四个部分：第一部分简 单的介绍了c v a r 产生的背景，c v a r 的定义和c v 8 鼠的性质；比较了c v a r 和期望亏空的 异同处第二部分分为两个小节，第一小节推导了风险资产组合椭球分布下的c v l r 的 公式：第二小节推导了含有无风险资产的资产组合在椭球分布下的c v a r 的公式第三 部分基于c v a r 风险计量技术，讨论了椭球分布情形下风险资产组合的均值一c v a r 边界， 并与经典的均值一方差边界进行了比较研究；给出了椭球分布情形下最小化c v a r 组合 存在的条件以及最小化c v l r 组合的表达式；讨论了椭球分布情形下风险资产组合的均 值c v a r 有效前沿、探讨了其经济含义，并与经典的均值一方差有效前沿进行了对比研究， 第四部分通过实例对前面的部分结论进行了实证分析，得到了很好的结果 关键词：风险价值，条件风险价值，资产组合，期望亏空，边界，有效前沿 英文摘要 a b s t r a c t i nt h ep a s tt 7 e n t yy e a r s ，矗n a n c i a im a r k e th a v ep r e s e n t e dal a r g eb u c t u a t i o n ，d u et o t h ef a c t o r so fe c o n o m i cg 王o b a l i z 8 t i o n 、n a i l c i ld e r e g u l a t i o n 、f i n a n c i 宙i n n o v a t i o na i l ds o o n ，f i n a j l c i a lc r i s i st o o kp l 毗e e q u e l l t l yb e c a u s eo f6 n a n e i a lr i s k s o ，t h er i s ko f6 n a n c i a l m 盯k e th a v eb e c o m et h ef o c u so f6 n a n c i di n s t i t u t i o n sa n ds u p e r v i s o r ya u t h o r i t i e s ，u n d e r t h i sb a c k g r o u n dt h er i s km e 柚u r em e t h o d0 fv 芒皿( v a l u e a o r i s k ) h a eb e e nd e v e l o p e d ， w h i c hh a sa c h j e v e dt h eh i 曲s t a t u so f b e i n gw r i t t e ni m o i n d u s t r yr e g u l a t i o l l s b u tr e s e a r c h i n d i c a t e d 幽a tv a rm e t h o dh a v es e r i o u ss h o r t c o m i n g ，f o re x a m p l ei t i sn o tac o h e r e n t m e a s u r eo fr i s k ；i td o e s n th a v ec o n v e x i t ya n dd o e s n td e a lw i t ht h es u p e rl o s se t c t h er i s km e a s u r e 瑚e t h o do fc v a r ( c o n d i t i o n 以v “u e _ a t r i 8 k ) h a sb e e nd e v e i o p e do n b a s i so f 、7 a rm e t h o d ，t 1 1 ei m p l i c 虬i o no fw h i c hi st h em e a no fl o s s s 卢一t 虹ld i s t r i b u t l o n ( o 口 v 。r ) = 1 一卢，其中p 为投 资组合持有期t 内的损失，v a r 为置信水平卢( 0 卢 1 ) 下处于风险中的价值v a r 作为 风险度量方法有很多优点，如概念简单，易于理解，能直接比较面临不同风险的不同工具 的相对风险度，也为高层管理者在风险一收益的基础上评估业绩、资本配置、风险限额设 置等提供了简单的方法 然而v a r 的流行并不意味着v a r 是一种合理有效的风险度量方法实际上，研究结 果和实践经验都表明，过于单纯的混风险度量方法存在着严重的缺陷如： v a r 不是致性的风险度量因为它不满足次可加性，这就意味着用、r a r 来度量 风险，投资组合的风险不一定小于组成投资组合的各个资产风险的和，这与风险分散化 的市场现象柏违背，从经济意义上讲是不合理的 ( 2 1 v a r 不定满足凸性，故在基于v a r 对投资组合进行优化时，可能存在多个局部 极值；对整体优化，在数学上难以实现，这也是将v 如模型用于投资组合研究时的主要障 碍 ( 3 ) v a r 只依赖于单一的损失函数的分位数，虽能以较大的概率保证损失不超过之， 但不能表明损失目超过v a r 这种极端情况发生时的潜在损失的大小( 尤其在损失服从 厚尾分布时) ，并且容易通过特定的，狡诈的交易策略操纵和篡改要报告的v a r 的值 为了克服v e 凰的不足，r d c k 8 f e l l e r 和u r y a s e v ( 2 0 0 0 ) 提出了c v i r ( e o n d i t i o n a l 、w u e a t r i 8 k ，条件风险价值) 风险计量技术( 实际上早在1 9 9 9 年末就己提出并发布于网上) ，并 冈为下列原冈，被学术界认为是一利，比v a r 风险计量技术更为合理有效的现代风险管理 方法 ( 1 ) c v a r 满足同变动性、正交性、次可加性和单调性，因而是一致性的风险度量 1 2c v a r 的定义 ( 2 ) c v a r 的计算可以通过构造一个功能函数而化为一个凸函数的优化问题，在数学 上容易处理；如果用样本均值逼近总体均值，凸规划还可以化为线性规划问题，计算更加 简便易行、 ( 3 ) 计算c v a r 的同时，相应的v a r 值也可同时获得，因此可对风险实行“双限”监 管，这比用单纯的v 汛更加保险，更不易遭受不法操纵与篡改 1 2 c v a r 的定义 设l ( 。，) 为损失函数，其中。为决策向量，x 为可行集，g y 尼n 为一个随机向量 例如z 可以理解为一个投资组合各个金融工具的头寸，x 为所有可能组合的集合，f 代表 影响损失的市场不确定性，当损失为负的时意味着有正的收益 对任意的z ，记垂( z ，) 为损失l ( ，口) 的分布函数，即： 垂( 墨f ) = p 。( l 扛，) ) 这样在置信水平声( o 廖 1 ) 下，损失的争v a r 定义如下 y o 嘞= 妇和) = m t n 代l 垂0 ， ) 2p ) 定义1 1给定置信水平p ( o 卢 1 ) ，损失l ( ，f ) 的卢一g y o r 如( z ) 定义如下 如( 。) 是损失l ( z ，) 的尾部分布的均值，其中损失l ( 。，y ) 的卢尾部分布的分布函数为 啾，辫磷 m ， 定义1 2 给定置信水平卢( o 妇( 。) ) 一2 一 第一章绪论 证明 第“步先证明蝣( $ ) = e ( l ( 。，) f l ( z ，) 妇( z ) ) 是变量z 的均值，其中变 量z 的分布函数如下： f o 妇( 。) ) ：璺! 垒壁! ! ! ! ! 墨垒! ! ! 三! ! 苎21 2 p ( l ( 。，) 妇( 茁) ) ：监盟垫止堕堕坐 1 一旷( 茁) 所以 曲j ( z ) = p = e ( l ( 茁，可) i l ( 。，) 妇( 。) ) 又因为垂( 。，) 关于 连续，所以卢= 矿( z ) = p 。( l ( z ，可) 妇( z ) ) ，故( 1 1 ) 与( 1 2 ) 等价 一3 1 2c v a r 的定义 故如( z ) = 站( 。) 证毕 注意在现实中，人们往往会把c 、雠0 和期望亏空混为一谈，引理1 1 给出c 鼠和期望 亏空等同时的情况实际上当损失函数为离散时，由于最小的一些损益数据可能存在着 重复，c v a r 和期望亏空是有差异的 例如：一个情景分析模型 假设概率测度p 只在y 上有限个点有定义这样比x ，损失五( 。，爹) = z 的分布也集 中于有限个点上，且损失分布垂( z ，) 是个分段函数并且在这些点上有跳跃固定。，假设 相应的损失点为z 1 2 2 o ) 给定卢( 0 卢 p b 脚 第一章绪论 于是很容易知道，当氅。m = 卢时，如( z ) = 蝣( z ) 当是。m 卢时， 似牡孥锄+ 曾罄 ：普譬锄+ 砗学础， 又冈为孙 蝣( 。) ，所以如( z ) 妨( z ) 51 3c v a r 的性质 根据文 2 0 】、文 3 4 等，c v a r 有如下的性质： 性质1 1 给定置信水平p ( o p 妇( z ) 这就说明c v a r 风险管 理方法比v a r 风险管理方法更加保守，也就更加便于管理风险 记昂( z ，) = + r 与e ( 陋( z ，y ) 一酬+ ) ，其中嘲+ = m 。z o ，t 下面的性质都是 在假设损失l ( 。，) 的分布函数蛋( z ，f ) 关于连续，关于y 可测，且e ( 1 工( 。，) 1 ) o 。，忱 x 的基础上产生的 哇质1 - 2 作为的函数，乃( z ，) 是有限的和凸的，且咖 ) 2 i n 昂( z ，f ) ， 妇( 。) 是a 叼唾“昂( z ，) 的左端点其中a 佃哩n f 口( z ，f ) 是使得昂( z ，f ) 达到最小的点 的集合，且是非空有界的区间( 有时为一个点) 这个性质有很好的理论价值，由于乃( z ，f ) 是凸函数，因此以它作为优化目标时可以 做到局部最优解即为全局最优解 性质l3 若l ( z ，) 关于z 是凸的，则咖p ) 关于z 也是凸的，事实上这肘昂( z ，f ) 关 于( z ，) 也是联合凸的 性质1 4在所有z x 中最小化p g y n r 如( 士) 等同于在所有( ，f ) x r 中 最小化乃( 。，) ，即：恕咖( 。) 2 ( 。，艘。r 昂( z ，) 由性质1 3 知，当l ( g ，) 关于z 是凸的时，咖( z ) 关于z 及昂( z ，) 关于( z ，) 也是凸的 如果x 是一个凸集，则两者的最小化皆化为凸规划问题 5 一 1 4 本文的主要工作 性质15离散化 乃( z ，) 可以阁如下方法近似表明根据f 的密度函数p ( 们取样，如果得到了个向 量1 ，9 2 ，y 那么 1r 昂( z ，f ) = + 南厶。舻( l ( 训) 一) + p ( 可) 曲 司近似的表不为 j 眦2 f + 南善( 砸叫+ 吩 其q l q 是情景的概率如果损失l ( z ，f ) 是茹的线性函数，那么岛( 。，) 是凸的且分段线性 的 性质1 6线性化 昂( z ，) 能用岛( 。，) 近似表示，通过使用虚拟变量勺，j = 1 ，z 函数岛( 。，) 能用 线性函数+ r 南名1 码勺表示且线性约束集为 z ，l ( o ，驺) 一， 0 ，= 1 ，z r 则风险约束简化为如下的线性不等式 s + 南喜哪伽 其中 勺l ( 。，协) 一， 句0 ，j = 1 ，一一，z f r ， 为给定的风险上界 51 4 本文的主要工作 日前c v a r 风险计量方法的研究有了很大的进展，文 2 1 l 首次提出了c v 皿的概念，讨 第一章绪论 论了其等价定义及性质、计算与样本逼近，并部分的解决了正态假设下的资产组合优化 问题，文【1 9 1 从定义、性质( 如一致性等) 、计算等若干方面对v 嬲c v a r 启勺优劣进行了 比较研究文 3 1 、文f 2 7 等研究了c 砺凰风险计量方法在信用风险的测量、内部风险资本 金的确定、资本配置、金融监管等方面的运用文【1 8 对以c v a r 作为目标或约束条件 下的资产组台优化问题进行了初步探讨，其研究虽涉及到风险资产组合的有效前沿，但 只是在一定条件下，得到了有效前沿的三种等价定义和用样本逼近的近似算法，而没有 从根本上解决有效前沿的问题文 3 1 、文【3 2 懈决了风险资产组合正态分布情形下的均 值一c v i r 边界和均值一c v a r 有效前沿，并与经典的均值一方差有效前沿进行了对比研究， 但没有解决风险资产组合其它分布情形下的均值一c v 姐边界和均值c v a r 有效前沿 本文对c v a r 方法作了一些初步的研究第二章分为两个小节，第一小节推导了风险 资产组合椭球分布情形下的c v a r 的公式；第二小节推导了含有无风险资产的资产组合 在椭球分布情形下的c v a r 的公式第三章基于c v a r 风险计量技术，讨论了椭球分布情 形下风险资产组合的均值c v a r 边界，并与经典的均值一方差边界进行了比较研究；绘出 了椭球分布情形下最小化c v a r 组台存在的条件以及最小化c v a r 组合的表达式；讨论了 椭球分布情形下风险资产组合的均值一c v a r 有效前沿，探讨了其经济含义，并与经典的 均值一方差有效前沿进行了对比研究第四章通过一个实例对前面的部分结论进行了实证 分析，得到了很好的结果， 7 第二章椭球分布下资产组合的c v a r 52 1 椭球分布下风险资产组合的c v a r 对风险资产组合而言，收益r ( z ，) 和损失l ( 。，) 分别为 r 。= r ( z ，掣) = 。y 丁，l ( z ，掣) = 一z 丁 ( 2 1 ) 这里z = ( 。z ，。z n ) ，q 是第j 个风险资产的头寸，1 = z p = 1 ，其中j ： ( 1 ，1 ，1 ) n ；y = ( l ，9 2 ) ，蜥是第j 个风险资产的回报率，j = l n 这时的可行集 为 x = 。r “，z ，t = 1 ( 2 2 ) 尽管v a 断口c v a r 的度量为货币单位，但是为了叙述方便，本章中将收益、损 失、v a r 、c v a r 等统统折算为初始价值的百分比来考虑( 因为货币单位与百分比之 间存在着一对应的线性关系) 假设风险资产组合的回报率向量y 服从均值为p ，方差为的椭球分布，其密度函数 为 p ( ) = j i 一g ( 悖一卢) e 一1 ( y 一肛) t ) 其中9 ( ) 是密度生成函数( d e n s i t yg e n e r a t o r ) 或g ( s 2 ) 是连续的、处处非零的且在r 上可积 e 内函数( 椭球分布包括正态分布、t 分布、k o t z 分布等) 已知椭球分布下风险资产组合 的置信水平为卢( o 口 1 ) 的v 皿为 y 。邱= 如0 ) = 一z p r + 靠。、正丽 其h = 靠。是以下方程的唯一正数解 叫s ) = 嵩z 佃r 。( 2 总洲z 则置信水平为口( o 卢 y n 嘞) = e ( 一z r l z 可r v 。) 一8 一 第二章椭球分布下资产组合的c v a r e 0 9 t 扣9 7 一y n 兄口) ) 一一1 面尹；珂i 瓦广一 一厶r ! 一y 。铆勺( 分) 曲 一f 广一 = 普l 岫矿9 ( ( 纠n 曲 令= a 丁a ，z = 国一芦) a 一，d z = i a r l d 寥，则 龇) 一南厶刊警v 。舶比a 刊丁删2 = 一南z 一叫虹矿( 群冉矿) 州印) 出 一南z 肌警嘶。，群绷印) 矿 假设r 是个旋转将。a r 变成( 陋a r i ，o ，o ) ，令z = 铷冠，其中铷= ( ”1 ，锄2 ，h ) ，则 州加一南0 碰一v 砒群川d 训川， 令i 训1 2 = u + l 叫1 2 ，叫7 r ”一1 ，则 纵垆一南l 上啪灿删。m 止矿 令= r ，f r l ，d 伽= r ”2 曲( ) d r ，其中一l 为n - l 维单位球，则 毋口扛) = 哗掣一上，叫叫m 一慨， 则驯是空间上的n - 1 维单位球的表酿酬= 篙令q 5 n = 毪铲测 似加一哗掣厂，2 上似m 一蛐叫r 一9 2 1 椭球分布下风险资产组合的c v a r = 哗掣小棚e 嘶蛐 坼，= 唏掣e 厶”州铲咖m 蛳卅 一矿+ 帮掣e 啦确孚岫乩 一n 帑掣怎掣咖灿 定理2 1 对一个风险资产组合而言，假设其损失l ( 茁，) 是风险因子f = ( y 1 ，抛，) 的线性函数，即l ( z ，f ) = 一。旷，且y 服从均值为p ，方差为的椭球分布， 其密度函数为 p ( ) = l i 一 g ( 白一肛) 一1 一p ) r ) 如( z ) = 一z 芦r + 玛i e 。7 i ：端庶学小灿 2 ( 1 一口) ( 畦、。) ： 几一1 _ 、“u “ = 高二。( 叫) 魄州u 2 ( 1 一p ) r ( 警) ，( 。) 。p w n 州 叭叫 推论2 1 对一个风险资产组合而畜，假设其损失( 譬，暂) 是风险因子口= ( 1 ，耽，”。) 的线性函数，即l ( z ，) = 一盘旷，且y 服从一个多重t 分布，其密度函数为 咖，= 揣( - + 虹掣趟) 晋 1 0 一 第二章椭球分布下资产组合的c v e 皿 则组合的置信水平为p ( o 口 1 ) 的c v a r 为 如( z ) = 一。p t + 魁 。e z t l 其中 甄= 揣”；( c 铲n ”) 碍 推论22 对一个风险资产组合而言，假设其损失l ( z ，y ) 是风险因子y = ( 玑，驰，弧) 的线性函数，即l ( z ，g ) = 一z t ，且g 一j ( p ，) ，其密度函数为 咖h z 矿科锄( 一蛆掣) 则组合的置信水平为p ( 0 p 1 ) 的c v a 皿为 庐p ( 。) = 一。p 7 + 1 z z 7 f 2 ，2 椭球分布下含有无风险资产的资产组合的c v a r 在美国无风险资产通常是指短期国库券，即3 0 天期和9 0 天期的国库券因为期限短， 通货膨胀风险极小，且政府信用在可预见的短期内不会有变化，国库券也不存在违约风 险在我国无风险资产主要是指活期储蓄存款 假设一个资产组合由n 种风险资产和一种无风险资产组成，记。= ( 。1 ，。2 ，。，z 1 ) 是投资者投资于资产组合各资产的头寸，酱= z 丁= l ，其 中，= ( 1 ，l ，1 ) 。+ 1 可= ( 可i ，f 2 ，浙，7 ，) 是资产组合的回报率向量，其中叶是无风险 资产所对应的回报率记矿= ( z h 。2 ，。) ，扩= ( g - ，玑，) 此时收益r ( z ，g ) 和损 失l ( 。，) 分别为 兄( z ，) = z 可r = 。+ ( 掣+ ) 丁+ 。+ 1 r ， l ( z ，掣) = 一。r = 一。( 矿) t 一研计l r ， 一】一 2 2 椭球分布下含有无风险资产的资产组合的c v a r 假设+ = ( 口1 ，口2 ，鲰) 服从均值为弘，方差为的椭球分布，其密度函数为 p 白+ ) = l l 一 9 ( ( 旷一p ) 一1 ( g + 一肛) ) 其中9 ( ) 是密度生成函数( d e n s i t yg e n e r a t o r ) 或g ( s 2 ) 是连续的、处处非零的且在r 上可积 的函数给定置信水平口( 0 卢 1 ) ，由v 凰的定义知 1 一卢= p ( l ( 。，) y o ) = p ( $ y 7 s y d r 8 ) = p + ( 旷) t 一y o 嘞一z 。十1 7 ，) = ， i e 一g ( + 一p ) 一1 ( + 一p ) r ) d 扩 j 。( 圹，一y 口r 口一z n + 1 7 ， 下面的推导过程与第。节的推导过程相同，经过一系列的变换得到 其中 ，母高z ”如脚z 。：! ! 鱼塑! ! 尘士! ：芝 p ( z + ) t l 定理2 2 假设一个资产组合由n 种风险资产和一种无风险资产组成，记o = ( 轧z 2 ，z n ，z n + 1 ) 是投资组台各资产的头寸，譬扣= 。j 丁= l ，其中，= ( 1 ，1 ，1 ) 。十1 ，= ( f l ，v 2 ，7 ，) 是投资组合的回报率向量，其中7 ，是无风险资产 所对应的回报率记。+ = ( z 1 ，。2 ，。) ，y + = ( 1 ，耽，鲰) 假设损失l ( 。，f ) 为 l 0 ，目) = 一茹v r = 一z ( 矿) 7 一z n + l r ， 矿：( 口1 ，耽，鼽) 服从均值为p ，方差为e 的椭球分布，其密度函数为 p ( y + ) = e i 一 9 ( ( 鲈一p ) 一1 ( v 一芦) 丁) 其中g ( ) 是密度生成函数( d e n s i t yg e n e r a t o r ) ，则损失的置信水平为卢( o 卢 1 ) 的v a r 为 y 。昂= 一。+ ，一z 叶，o + 哪。v 乞i 研 1 2 第二章椭球分布下资产组合的c v a r 其中s = 四。是下列方程的唯一正数解 ，咖高厂f ”c 2 尚捌z 同理由定理2 1 的推导可知： 定理2 3在定理22 的条件下，损失的置信水平为p ( o p 1 ) 的c v a r 为 妒口( z ) = 一z + ，一z 。+ r ，+ 磺。、乞i i i ；巧亍 其q ， 耻斋仨) 2 ( u 堋。2 一d “ 而睇。与定理2 2 中的相同 1 3 第三章风险资产组合椭球分布下的均 值一c v a r 有效前沿 在这一章中有四个基本的前提： ( i ) 尽管v a r 、c v a r 的度量为货币单位，但是为了叙述方便，本章中仍将收益、损 失、v a r 、c v a r 等统统折算为初始价值的百分比来考虑( 因为货币单位与百分比之问存 在着一一对应的线性关系1 ， ( i i ) 假设组成资产组合的各资产都是有风险的，并且其回报率向量服从椭球分布 ( i i i ) 资产组合的收益r ( z ，口) 和损失l ( 。，们仍分别记为： r ，) = z f 7 ，l ，) = 一正可7 1 这里。= ( zz ，z 2 ，。n ) ，嘭是第j 个风险资产的头寸，；。= 。7 = 1 ，其中f = ( 1 ，1 ，1 ) 。；y = ( 1 ，2 f 。) ，协是第j 个风险资产的回报率，j = l n 这时的可行集 为 x = 。r “，z 产= 1 ) ( i v ) 设e ( ) = p ，c d ( ) = ，则收益和损失的均值和方差分别为 e ( 如) = e ( r ，) ) = e ( 一l 如，) ) = 。肛r 盯2 ( z ) = 盯2 ( r 。) = 矿2 ( l ( 茁，可) ) = z 。r 3 。1 风险资产组合椭球分布下的均值一c v a r 边界 模型的基本假设为( i ) 、( i i ) 、( i i i ) 、( i v ) 并增设 暂一磊( p ，蓟 茁可丁e k ( 一z 弘丁，z 。r ，9 ) 一1 4 一 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 第三章风险资产组合椭球分布下的均值c v a r 有效前沿 其中k ( “，9 ) 代表了均值为弘，方差为的椭球分布，其密度函数为 p ( 目) = i r g ( ( 可一p ) 一1 ( 耵一p ) t ) 而9 ( ) 是密度生成函数( d e n s i t yg e n a t o r ) 或g ( s 2 ) 是连续的、处处非零的且在且上可积的 函数 由前一章的推导知损失l ( z ，f ) 的置信水平卢( 0 卢 1 ) 下的v a r 和c v a 皿分别为 y n 助= 一z 一7 + 靖，。、夏驴= 一。p 7 + 醪，。口 ) g y 口嘞( z ) = 如( z ) = 一茁肛丁+ 、巧五j = 一z p t + 玛口( 。) 其一h 8 = 醪。是以下方程的唯一正数解 - 啦，= 高厂f ”c 2 隅捌z 丽 = 斋怎( 叫脯a u 为讨论方便，以后将g y n 嘞( z ) 改记为g y o 昂心) 或g y 。确，a 2 ( z ) 有时记 为a 2 ( r 。) 或口2 ，亿有时简记为r 定义31 组合z + x 属于置信水平卢( 0 口 0 ， d 0 ，并且可得到 矿= + e ( r 。) 其中 = 寺旧( 1 丁) 一a ( 一1 ，) ， = 寺f ( e 一1 ，) 一a ( 1 r ) 】 由于e ( ) 及 o 为常数，故问题( 3 - 3 ) ，( 3 _ 4 ) 同解因此有： 定理3 1 组合z 。y 属于均值一c v a 础盘界 = = 组合z x 属于均值方差边界所 以均值一c v a r 边界方程为： ! ! 旦! ! 鱼( ! ! ! 兰( ! 1 2 2 ：堕! 一! 皇( 垒2 二墨旦：1 、 cd | c 2 1 或 ! 里! 竺旦二2 坠3 ：一( ! 二墨旦2 ：， 1 cd c 2 显然均值一c v a r 边界形式上类似于均值。方差边界作了一个变换 53 。2 均值一c v a r 有效前沿的定义 有效前沿应该是由这样一些点组成，在较低的风险上不可能达到与给定点相同或比 给定点更高的回报，在较高的回报上不可能达到与给定点相同或比给定点更低的风险 定义33 组合矿x 属于置信水平p ( 0 卢 1 ) 下的均值一c v a r 有效前沿 = = 不 存在组合z x 使得e ( ) e ( r ) 和g y 。吩( ) g y 口琊( r 。+ ) 同时成立，且至少有一 个是严格不等式而对应的点( e ( 瞄) ，g y o 嘞( ) ) 构成了有效前沿曲线， 这与已有的均值一方差有效前沿的定义类似 一1 6 第三章风险资产组合椭球分布下的均值一c v a r 有效前沿 - ：= 竺- ：= ： - - - - ：- ：= ：= ：= ：= ：= = 篁= = = = = = = = = = = = = = = = = = 篁= = = = = = = 2 = = 定义34组合z - x 属于置信水平p ( o p 1 ) 下的均值一方差有效前沿乍= 不 存在组台z x 使得e ( 如) e ( 畅) 和口( ) a ( 。) 同时成立，且至少有一个是严格不 等式而对应的点( e ( r 。) ，口( ) ) 构成了有效前沿曲线 3 3 最小化c v a r 组合 定理3 2 若在给定的置信水平p ( o 卢 1 ) 下最小c v a r 组合存在，则它必在均 值方差有效前沿上 证明用反证法若某组合。y 不是均值一方差有效前沿组合，则存在组合矿x 使得e ( 亿) e ) 和盯( 轻) 茎a ( ) 同时成立，且至少有一个不等式严格成立，于是由 上1 鲞知 e v o 嘞( - ) = 口( r 。) 一e ( r 。) a ( ) 一e ( 如) = e y o 玮( ) 这样，对给定的置信水平卢( 0 j 8 1 ) ，组合茁的c 皿风险不可能达到最小，故z 不可能 是最小c 、，a r 组合，原题得证证毕 根据定义3 3 、3 4 知，有效前沿曲线必在各自的边界曲线上，由式( 3 5 ) 、( 3 6 ) 知组合 的均值方差边界线是一条开口向右的双曲线，而对应的均值一方差有效前沿是这条双曲 线的上半枝，由定理32 知，最小c v a r 组台应在这条双曲线的上半枝的某点处 对服从椭球分布的风险资产组合而言，其g y o ( ) 一玛口( 如) 一e ( ) ，故均 值一方差有效前沿曲线上的点对c v a 鼠的影响有两项，盯( ) 和e ( 如) 若坞不足够 大，致使坐萼善；! 旦掣：黑一1 o 恒成立，则当e ( h ) t 时，e 矿。琊( ) 反而l ； “1 e ( r 。) 时，c v o r 口( ) 反而t ；此时g y n 昂( ) 无最小值只有当心足够大时，导数由负 向零向正值变化，g y n 凰( 如) 才能达到最小值，也才存在最小c v 皿组合 下面将给出最小c v 媪组合存在的条件及相应条件下的矿和m t nc f v o r 的表达式 定理3 3 在置信水平卢( o 岛时，最小c v i r 组合矿由下式给出： 其中 z 。= 七十危e ( 7 _ ) = 去【b ( 一1 ，丁) 一a ( 一1 删， = 击【e ( 一1 ，) 一a ( e 一1 p ) 】 1 7 一 ( 3 7 ) 3 3 最小化c v a r 组合 最小c v a r 组合的回报率的期望为 对应的最小c v a r 为 e ( = 鲁+瓜磊蓦习 卿g y 。确( h ) 2 e ( r 矿) 证明 先证m i n g y 口r 存在 = = p 岛，其中岛是满足= 、务的p 值由定 理3 2 知，若m i ne v n r 存在，则必在均值。方差有效前沿上： 。 且下列优化问题有解 e ( ) ：曼+两( 3 _ 8 ) ：客e v 。r 口( ) 。婴安 玛a ( ) 一e ( ) ) ( 3 9 ) 由文献 1 2 知，磐a ( ) 的组合z ；满足e ( 如；) = 鲁，a ( r 。：) = 嘉，记g p ) = a y n 郫( ) 根据定理3 2 知，求解( 3 9 ) 式等价于求解 因为 。吨，g ( 口) =，p 娶c v o ( 如) 口ee l ，g ，+ ) 口f l c ，+ o 。) = 唧嬲删b 小阻 口e f l 佃，+ 一) i 。l u嬲) 州拇盘监掣 一1 8 第三章风险资产组合椭球分布下的均值c 虑有效前沿 = l i m 口一0 + 2 一溉+ = 一。 吕( ，+ 去) 故9 ( 盯) = a 矿。r 口( ) 不可能在嘉处达到最小 删加，卜卜p 嗣) = 一若+ 。小嗣) ：一矣+ l i m lf + + ( ( 埘一罟) 以卅吕 侣( 吼，一言) 下面分情况讨论一下驻点存在的条件 ( 1 ) 若 、伍万，则l i m 一+ o 。g ( f ) = + 。，此时9 p ) 不可能在无穷远处达到最小 若g ( 口) 在【l 虿，+ 。) 内达到最小，则必在该区间上的驻点处达到令： 得 解之有 ，嘲一器= 。 口( ) = l 历 ( 3 - 1 0 ) 由于此时 万7 虿，故驻点存在 ( 2 ) 若= t 、万刀，则l i m 一+ 。9 p ) = 一4 c ，此时9 ( f ) 也不可能在无穷远处达到 最小，【习为在现实中风险资产组合的风险应该大于零若9 p ) 在 1 v 何，+ o o ) 内达到最小， 一1 9 533 最小化c v i r 组合 则必在该区间上的驻点处达到但由于= d e ，此时9 ，陋) = o 无解，所以驻点不存 在 ( 3 ) 若 y n 嘞忆) 一2 0 第三章风险资产组合椭球分布下的均值一c v a r 有效前沿 即： 一。肛丁+ 盯( r k ) 一茁卢丁+ 弗，。口( r 。) 所以 q g 、。 等 o d 口” 所以随卢t 而严格单调t 设岛是满足玛= 、，z 巧霹的卢值，则 万7 虿甘卢 岛 此即为9 ( a ) = e y 口r 口( ) 有驻点存在的充要条件 叉因为 一 一 。c 2 一c ，一 昙十暑( 一2 c ，一吾) j 所以 矿= 志 。，协( 去，+ 。) 依此知：只要9 ( 一) 的驻点存在，则其必为极小值点结合前面的分析知，它也为最小值点 于是驻点存在兮g v 。助的最小值存在静口 岛，其中岛是满足玛= 菩的p 值 下面求卢 岛( 风是满足玛= 羽的p 值) 时的m i nc v n r 组合矿由定理3 2 知， z + 为均值方差有效前沿组合，当然也必为均值方差边界组合由文 1 2 l 知，对应驻 点盯( 糖) 的均值e ( 和) 及均值一方差边界组合z + 是唯一的，且由( 3 _ 8 ) 和( 3 一1 0 ) 知： e ( 。) = 舍十履蓊 z + = 七+ 丘e ( r 。) 其l l 女= 刍i b ( 一1 ，) 一a ( 一l 卢。r ) ，h = 去旧( 一1 ，) 一a ( 矗1 j t ) 而对应的c v a r 的最小值为 h 姆c v n 岛= 玛口( 如) 一e ( k t ) z x ”7 、 其巾e ( r 。) 由( 3 一1 3 ) 式给出，口( t ) = 一2 1 一 证毕 ( 3 1 3 ) 3 4 均值一c v a r 有效前沿 定理3 3 说明，在求解最小c v a r 问题时，必须选择合适的置信水平芦，若置信水平卢过 低( p 廓) ，则该问题无解 推论3 1 在给定的置信水平芦( o p 1 ) 下，若密e y 。嘞( ) 组合存在，则它必 位于均值方差有效前沿曲线的上半部 证明 由定理3 2 知，最小c v a r 组合位于均值一方差有效前沿上由文f 1 2 知，最小方 差组合的均值e ( r 。：) = a g ，而对给定的置信水平口( o 肺，其中岛是满足= z 可石的卢值，则组合属于给定置信水 平卢( o 岛，组合z x 属于均值一c v a r 边界且e ( ) e ( r 。) ，z + x 为 置信水平卢下最小c v a r 组合要证。属于置信水平卢下的均值一c v a r 有效前沿，只需验 证以下两个不等式同时成立即可： 掣 。 d e ( ) 。 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 一尸一耥垅 第三章风险资产组合椭球分布下的均值c 武有效前沿 记g ( a ) = e v n 嘞( 如) ，由定理3 3 的论证过程可得：对最小c v i r 组合，其均方差满 足 小卅 嘉川( 咖) ) = 。；v a 去，扒一) 。 从而对v 口 口( ) ，有 9 ( 盯) 9 7 ( 盯( r 。) ) = o( 3 1 6 ) 因为组合矿和。属于均值一c v a r 边界，根据定理3 1 9 i 口必属于均值一方差边界，又根 据定理32 知z + 属于均值一方差有效前沿，且e ) e ( 协) a c ，自然z 也属于均值一 方差有效前沿，故 嬲 。 ( 蝴) d e ( ) 。 由( 3 1 6 ) 、( 3 一1 7 ) 两式立即得( 3 一1 4 ) 式： 皇g 兰! 璺： d e ( ) 璺里竺鱼! ! 1 2 旦亟盟 d 盯( )d e ( ) 又冈为z 属于均值一c v a r 边界组合，由( 3 - 5 ) 式知 叫( a ) 粼 。 历孚 ! 里! ! 些! 垒2 ：! ( 堑! i 垒2 二星! 垒1 2 d e ( )d e ( h ) = 蚝勰一- e 寸。) 一a f c 2 f 蠡一 ( 3 _ 1 8 ) v 虿+ 1 噘r c 匠丽( 笋) 2 万v 虿十矿一下i 菰丽 1 面矿2 r 1 可可专瓣f 一 c i d i c 3 5 收敛结果 5 南刈( 专+ 帮) 2 敲( 3 1 5 式得证，所以。属于置信水平卢下的均值一c v a r 有效前沿 一c 曼淼篙糕誓篡磊嚣裹茹磋攀芝詈 一c v a r 边界，而对任意的均值一c v i r 边界组合o x ，根据( 3 一1 8 ) 有= = ，二丽毫警旦 o ， 即均值一c v a r 边界的斜率处处为负，因此对任意的组合z x ，存在另一组合z 1 x ， 其回报率的期望更高，但c v a r 却更小，这说明z