（概率论与数理统计专业论文）基于二次推断函数的纵向数据半参数模型的估计.pdf

摘要 摘要 华东师范大学硕士论文 i 纵向数据是指对每一个个体在不同时间进行观测而得到的由截面和时间序列融合在 一起的数据纵向数据最大的特点就是它将截面数据和时间序列数据结合在一起，既能 分析出个体随时间的变化趋势，又能分析总体的变化趋势但是，由于同一个体在不同 时间进行了重复观察，而且个体之间又存在着一定的差异。这就导致了纵向数据建模时 的协方差结构的复杂化 l i a n g 和z e g e r ( 1 9 8 6 ) 提出了工作相关阵的思想对纵向数据的广义线性模型参数估 计建立了广义估计方程，由此得到的参数估计即使在工作相关阵错误指定情况下还是相 合的，但是估计的效率可能很差基于此，q u 等( 2 0 0 0 ) 提出用二次推断函数的方法改 进广义估计方程这一思想的好处是不用直接估计工作相关阵中的多余参数，而是利用 广义矩估计的思想建立估计方程由此得到的估计同样具有相台性，且在工作相关阵错 误指定时，与广义估计方程相比极大的提高了估计的效率 本文的工作是在前人的工作基础上将二次推断函数方法应用到纵向数据半参数模型 ( 部分线性模型) ，去改进模型中参数部分的估计效率，并且证明了估计的相合性和渐近 正态性等大样本性质最后在随机模拟中验证了估计的有效性并应用到实例中 关键词：广义估计方程；二次推断函数；b 一样条；纵向数据；广义矩估计 垒逸垒型 一生型堕型麴塑这虹 a b s t t a c t l o n g i t u d i n a ld a t ai sr e f e r r e dt od a t ai nw h i c hi n d i v i d u a l sa r em e s s u r e dr e p e a t e d l y t h r o u g ht i m e ，s oi tc o m b i n e se l e m e n t so fc r o s s - s e c t i o n a ld a t aa n dt i m e - s e r i e sd a t a t h e p r o m i n e n ta d v a n t a g eo fl o n g i t u d i n a ld a t a i st h a ti tc a l la n a l y z ee f f e c t i v e l yt h ec h a n g eo f i n d i v i d u a l so v e rt i m e h o w e v e r ，i ti sc o m p l i c a t e db yr e p e a t e dm e s s u r e m e n tw i t h i ni n d i v i d u a i sa n dv a r i a t i o na m o n gi n d i v i d u a l s l i a n g z e g e r ( 1 9 8 6 1i n t r o d u c e dt h ei n g e n i o u s i d e ao f u s i n gaw o r k i n g c o r r e l a t i o nm a - t r i xw i t has m a l ls e to fn u i s a n c ep a r a m e t e r s t h eg e n e r a l i s e de s t i m a t i n ge q u a t i o n ( g e e ) e s t i m a t o r so ft h er e g r e s s i o np a r a m e t e r sa r ec o n s i s t e n te v e nw h e nt h et r u ec o r r e l a t i o n m a t r i xi sn o ta ne l e m e n to ft h ec l a s so fw o r k i n gc o r r e l a t i o nm a t r i c e s ，a n da r ee f f i c i e n t w h e nt h ew o r k i n gc o r r e l a t i o ni sc o r r e c t l ys p e c i f i e d w h e nt h ew o r k i n gc o r r e l a t i o ni sm _ i s - s p e c i f i e d ，h o w e v e r ，t h eg e e n ol o n g e rr e s u l t si nt h e o p t i m a le s t i m a t i o n q u e ta 1 ( 2 0 0 0 ) i n t r o d u c e dad i f f e r e n ts t r a t e g yf o re s t i m a t i n gt h ew o r k i n gc o r r e l a t i o ns ot h a tt h ee s t i m a - t o ra l w a y se x i s t e d ，a n d ，e v e ni ft h ec o r r e l a t i o nw a sm i s s p e c i f i e d ，t h er e g r e s s i o ne s t i m a t o r r e m a i n e do p t i m a lw i t h i nt h ea s s u m e df a m i l y t h e i ri d e ai st or e p r e s e n tt h ei n v e r s eo f t h ew o r k i n gc o r r e l a t i o nm a t r i xb yt h el i n e a rc o m b i n a t i o no fb a s i sm a t r i c e s t h e nu s et h e q u a d r a t i ci n f e r e n c ef u n c t i o n s ( q i f ) t oc o n s t r a c tt h ee s t i m a t i n ge q u a t i o n t h e p u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oa p p l yt h eq u a d r a t i ci n f e r e n c ef u n c t i o n st ot h es e m i p a r a m e t r i cm o d e l f o rl o n g i t u d i n a ld a t aa n di m p r o v et h ee s t i m a t o ro ft h ep a r a m e t r i cp a r t i nt h em o d e l w es u c c e e di np r o v i n gt h ec o n s i s t e n ta n da s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ft h eq i f e s t i m a t o r l a s t ，w ec o m p a r et h eq i fa n dg e em e t h o d sb ys i m u l a t i o n sa n da p p l yt h e q i f e s t i m a t o rt ot h ec d 4d a t a ， k e y w o r d s ：g e n e r a l i s e de s t i m a t i n ge q u a t i o n ( g e e ) ；q u a d r a t i ci n f e r e n c ef u n c t i o n s ( q i f ) ； b s p l i n e ；l o n g i t u d i n a ld a t a ；g e n e r a l i s e dm o m e n tm e t h o d ( g m m ) ；s e m i p a r a m e t r i cm o d e l 柏杨硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 王静龙教授华东师范大学统计系主席 濮晓龙副教授华东师范大学统计系 汤银才副教授华东师范大学统计系 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢 意。 作者签名 日期：钞胡ij - 明 ，。 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定。 日期，渺j ，勺 学位论文作者签名 日期 导师签名 吨 川、r 、 第一章绪论华东师范大学硕士论文l 第一章绪论 在这一章中，我们将对纵向数据作一般性的介绍t 纵向数据特点，纵向数据建模研 究现状 1 1纵向数据简介 “纵向数据”是指对同一个体或者受试单元在不同时间观测若干次而得到的由截面和 时间序列融合在一起的数据近年来，纵向数据模型研究成为统计学的热点课题之一，在 理论和实际应用两方面都得到了很大的发展h s i a o ( 1 9 8 6 ) 和b a l t a g i ( 1 9 9 5 ) 讨论了纵向 数据在经济学中的应用。在经济学中，纵向数据也被称为”p a n e ld a t a ”；d i g g l e e ta i ( 2 0 0 2 ) 系统的介绍了纵向数据的线性模型和广义线性模型理论；d a v i d i a n 和g i l t i n a n ( 1 9 9 9 ) 研 究了纵向数据的非线性模型理论；d a v i s ( 2 0 0 2 ) 也主要研究了纵向数据的线性模型，同 时还通过大量的例子进行说明。另外，还有许多其它的文献对纵向数据某一方面的问题 进行了讨论，在此，不一一枚举了 纵向数据在实际中的例子很多，它广泛应用于医学、生物学、社会学和经济学等领 域如我们要研究儿童阅读能力随时间变化的趋势，我们可以随机抽取一些儿童，在不 同的时间对其阅读能力进行测试，这祥我们得到的就是纵向数据；再如，在研究中国城 镇居民消费和收入的关系时，2 0 个省份2 1 年城镇居民人均生活性消费和人均可支配收 入的数据也为纵向数据 纵向数据之所以得到如此广泛的应用，因为纵向数据是同一个个体按时间顺序观测 得到的，它将截面数据和时间数据结合在一起，能很好的地分析出个体随时f 可变化的趋 势，他反映了个体间的差异和个体内部的变化起着只利用截面数据或者时间序列数据 模型不可替代的作用，有很高的应用价值例如当分析我国的结构性失业问题它将受到 各地区产业结构的影响，也受到国家各个时期宏观政策的影响。只利用截面数据，即选挥 同一时期不同省市的数据作为样本观测值，可以分析各省市不同的产业结构对结构性失 业的影响，但是不能分析出国家的宏观政策对各省市结构性失业的影响；只利用时间序 列数据，即选择同一省市或者全国在不同时期的数据作为样本观测值，可以分析国家宏 观政策对结构性失业的影响，但是不能分析不同的产业结构对结构性失业的影响；如果 采用纵向数据模型，即在不同时间上选择不同省市的数据作为样本观测值，无疑既可以 分析不同产业结构对结构性失业的影响，也可以分析国家的宏观政策对结构性失业的影 响再如回到前面研究儿童阅读能力的例子，我们随机抽取若干儿童。观测这些儿童在 不同年龄段的阅读能力情况随着年龄的增长，每个儿童的阅读能力均提高，但是每个 第一章绪论华东师范大学硕士论文2 儿童在我们进行观测时的初始阅读能却不一样，有些儿童在年龄较小时的阅读能力反而 比有些年龄较大的儿童阅读能力要强也就是说，纵向数据模型既考虑了个体间的差异 ( 初始的阅读能力不同) 也考虑了个体内部的变化( 阅读能力随着年龄的增长而提高) 但 是，如果我们对此数据采用截面数据的方法进行分析，就忽略了儿童的初始阅读能力。 从而使得分析出的结果违背了实际情况纵向数据的另一个优点是它提供各研究者大量 的数据点，这样就增加了自由度并减少了解释变量之间的共线性，从而可以改进估计的 有效性 由于纵向数据是同一个体不同时刻的多次重复观察，对于每个个体来说，都得到一 个响应向量但是它又不同于一般意义上的多元统计数据在多元统计分析中，每一个 个体也得到个响应向量。但是这个响应向量是同一个体多个指标的一次观察得到的向 量，并无重复的含义，例如，我们要考察某一个中学学生在某次考试中的成绩，对于每一 学生而言，他的成绩包括语文、数学、英语等多门课的成绩，这样每一个个体就得到一个 由多门考试成绩构成的向量，但我们对每一门功课的成绩只进行了一次观察，所以，我 们得到的数据是多元统计数据而不是纵向数据由于纵向数据每个个体的观测值是按照 某种时间顺序观测得到的，这就使得每个个体的观测向量的分量之间存在某种相关性， 如a r t ( 1 ) 结构，当然还有许多其它形式的相关性，如此一来，纵向数据就产生了特殊结 构的协方差阵，从而使我们的统计分析得到进一步简化但一般的多变量数据对协方差 结构却很少作任何假定 总之，纵向数据综合了截面数据和时间序列数据的特点和优点，同时随着计算机性 能的飞速发展，纵向数据的统计分析研究越来越受到人们的重视 1 2基于纵向数据的半参数模型简介 既然纵向数据在社会生活中有着广泛的应用，其建模也经历了从线性模型等参数模 型到非参数模型再到半参数模型的发展过程在本论文中我们考虑的是纵向数据半参数 模型我们考虑一个有着m 个个体，其中第i ( i = 1 ，m ) 个个体有巩次观察的试验 每一次观察由响应变量弘，、协向量z 。r p 及相应的观察时刻t 。构成。不失一般性我 们可以假定。【0 ，1 】记所有观察值为集合 ( z 训可。) ，i = 1 ，一，m ，j = 1 ，一，m ) 并对数据集建立半参数模型 = = l i f o + f o ( t d ) + e “ 其中岛是p 维回归系数。，0 是某个光滑函数，e “是随机误差，并且由纵向数据的特 点，我们般假定个体间随机误差相互独立、个体内随机误差存在某种相关结构 第一章绪论华东师范大学硕士论文3 模型中的线性部分刻画了某些协变量的性质，而非参数部分则刻菡了另外一些协变 量的特征，这更加符合实际模型。很多研究者已经针对模型( 1 1 ) 某些方面做了大量研 究如果非参数部分矗已知或者不出现在模型中，则有大量的文献研究了高斯误差假定 下的重复测量数据的线性模型的统计推断这一部分的理论已经相当成熟，在诸如s a s 这样的统计软件中都有现成的分析模块l i a _ n g 和z e g e r ( 1 9 8 6 ) 又进一步将误差分布推 广到指散分布族，并且建立了广义估计方程如果而未知，但是没有重复测量，即所有 的m = 1 ，这就是h e c k m a n ( 1 9 8 6 ) ，s p e c k m a n ( 1 9 8 8 ) 等研究的部分线性模型当响应变 量关于观察时刻存在某种非线性关系时，半参数模型( 1 1 ) 对纵向数据研究非常有用 z e g e r 和d i g g l e ( 1 9 9 4 ) 用半参数混合模型分析了c d 4 细胞数据，他们用核光滑方法估计 矗m o y e e d 和d i g g l e ( 1 9 9 4 ) 还研究了这种估计的牧敛速度。z h a n g 等( 1 9 9 8 ) 提出了 一种极大惩罚高斯似然估计方法，他们用光滑样条的方法拟合非参数部分，0 还有l i n 和y i n g ( 2 0 0 0 ) 利用边际的方法( m a r g i n a la p p r o a c h ) 给出了参数部分芦d 一类最小二乘 估计h e 等( 2 0 0 2 ) 还在不具体假定协方差结构的情况下给出了一类h l 估计方法从 稳健性角度考虑的话，大家都知道基于最小二乘方法的估计和统计推断和容易受到异常 观察值的干扰，从而影响估计的有效性所以许多研究者利用将个体内部协方差结构参 数化的方法以期望得到更加有效的估计方法这一类中l i a n g 和z e g e r ( 1 9 8 6 ) 的工作相 关阵思想最具有代表性。 本文是将q u 等( 2 0 0 0 ) 提出的二次推断函数方法应用到半参数模型中，对模型中的 参数部分岛提出一种新的估计方法与广义估计方程相比，我们的估计方程在工作相关 阵误假定时具有更好的效率因为我们的方法不需要估计工作相关阵中的未知参数7 。 从面减少了因为，y 的估计错误而导致回归参数部分估计错误的风险。在论文的第二章我 们给出了我们的估计方法，并且证明了估计的相合性和渐近正态性等大样本性质；在第 三章我们做了些蒙特卡罗模拟，对q i f 和g e e 方法进行了比较，同时我们还将改进估 计应用到c d 4 细胞数据，得到了与z e g e r 和d i g g l e ( 1 9 9 4 ) 类似的结论 第二章估计方法及大样本性质华东师范大学硕士论文 4 第二章估计方法及大样本性质 2 1估计方法 类似于h e 等( 2 0 0 2 ) ，我们用b 一样条方法逼近模型( 1 1 ) 中的非参数部分，0 令 o = s o s l 8 2 5 h 0 ，且s u p 。i i a 。| | 5c l o ( 1 l b i 表示b 的最大奇 异值) 条件7 e e e ：= k ，s u p ti i v , i | 0 使得s u p i e 慨i p ( ( d o 条件8还假定设计点z a ，t o 满足关系 。妤k = g k ( t t j ) + 5 i j k ；i = 1 ，m ，j = 1 ，啦，k = 1 ，。，p 其中肌是p 个具有r ( 2 ) 阶有界导函数的函数，幻t 是相互独立的零均值随机 变量序列，且与相互独立如果记g = ( g l ，卯) ，a 。= ( 5 1 ，) ，其中 乱= ( 6 l l k ，6 1 。，k ，稚。k ) ，则有x = g + a 。，还要假定。满足t a ) e a 。= 0 ，s u p 。：e i l 5 。护 c o b ) 击：玩。一pd k ，鬲1 “。t l k 。一p 鼠，仇，岛( f ，k = 1 ，s ) 为正定矩阵，令 硒= ( d i ，d ：) ，则娲是列满秩矩阵 其中 b k = d i a g ( a i 5 尥a 一，厶5 慨a ) ， 婀 ：d i a g ( 以i 5 1 蚴a l _ 。i h a l ，1 慨4 。z 1 ，a 二5 m 以二5 a 慨a 二5 ) 第二章估计方法及大样本性质华东师范大学硕士论文8 岛s l l s 1 8 汕 杀件9对于样条内节点 s t ，江1 ，5 h ) ，假定满足m a x l i _ k 。l 啦+ 1 哦l = o ( k 9 1 ) 且口m i n l i k 。q m ，其中哦= 8 i 一8 1 1 ，g = m a x l 0 ，且q 。( 岛) 一。岛 证明一我们首先来考察鲕( p ) 鱼) = 去( x x ， 。( ，i 一- 尸p ， ，) 日b 。1 。( j i 一- p p ，) 。( y y 一- x x 侈f l ，) ) m 、j 、x ( ，一尸7 ) 日。( ，一p ) ( y j 印) 7 =三(x，；(，i一-p，o，尻bi。(，i一-p)；(x(flo一-声fl，)+rfo+e，)m xp p ) ( x ( f l oe ) 2 一i ： j 、 ( j 一) b 。( j 一一声) + r + ) 7 =i(。x。(i一-，pt，)。b。i。(。i一-厂p，)x。(肋flo一-p。3，)+去(x：一-p，)b；i(i一-p)foxp ) b s ( ip ) f o ) mi j “l 一rj 。“一厂j l 肋一p ， 、 ( ，一7一 ( 2 9 ) 。湖 c 妄，一m 、 e e 研 反 、j、j p ； 一 一 x x ， 一m 寸 、， e 目 p o 二 日 玩 、j、j p ；p 一 一 rrl i i x x ，i、 ，一m 第二章估计方法及大样本性质华东师范大学硕士论文 1 0 其中f o = ( f o ( t 1 ) ，i o ( t m ) ，) ，f o ( t , ) = ( ，0 ( 屯1 ) ，矗( t i n 。) ) ，e2 ( e l l ，6 1 n t 一， e 。) 。我们依次记( 2 9 ) 中右边四项为1 1 ，1 2 ，i s ，厶对于 ，我们考查它的第k 块： 袁x ”一p ) b k ( i p ) x ( f l o 一卢) ， 类似于引理3 的证明，我们可以得到 一p k o ( g o p ) ( 2 1 0 ) 关于p e 一致成立对于厶，我们也考查它的第k 块； 翥( 卜p ) b k ( i p ) f o 2 去( g 7 + ：) ( ，一p ) 7 玩( ，p ) f o = 击g 一p ) ，瞰( ，一p ) f o 十去甜，一p ) ，b k ( i p ) f o ( 2 1 1 ) 同样由引理2 ，我们知道存在一个矩阵j 使得l l a u j t l = 0 ( m ；i ) ，从而( j p ) f o 同( ，一p ) c 一样是0 ( m i l k ) ，所以 1 焘g v p ) 7 b k ( i p ) f o 2 o ( k 2 ) ， 翥醚( 7 一p ) 鼠( j p ) f o 2 去o ；( 打( ( 一p ) b b ( ，一p ) 昂蟛( ，一p ) 磁( 一p ) ) ) = o n ( k 二r m - 1 从而得到 所以 击x ( ，一尸) 鼠( ，一p ) f o = o ( i 2 7 ) + o p ( k ；m 一 ) = o p ( m 一 ) = d p ( 1 ) 厶= d p ( m 一 ) = 唧( 1 ) ( 2 1 2 ) 笪三主笪盐查鲨丛盔登查壁丛 生壅竖薹盔堂塑圭坠塞 1 1 对于3 ，我们也考查它的第k 块，类似于( 2 1 2 ) 式，我们有 所以有 最后来考察 其中 且有 及 = 磊1 g ( i - p ) 鼠p e + 熹辞( ，一p ) p e = 磊1 u ( m ；i k ) 岛( 磅1 ) + 击q ( 打( ( ，一尸) ，b r ，r j r r ) p ，一p ) ) ) = o p ( m f 幔) 十o p ( m 气鲁向 = 唧( 仇一 ) = o p ( 1 ) 毛= o p ( m 一) = d p ( 1 ) ，( 捌一x 碍) a ，1 m 4 5 1 b 、 矗= ( 1 1 、一x 碍) 町1 尬月_ 5 1 矗 聪= 0 ( 捌一x 爿) a 。z 1 尬a _ 5 1 、 2 ( ； ) 、( x ：一x tp ：、a t2 1 m ，a i l l jk ( ( x i x 7 只) a _ 舰a _ 、， ； l ( 掣一x ，碍) a _ ；1 蝇a _ ；1 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 目p 巩 阳 b f 9 一 r。 + 旧 一m一m | | 、il， e g 且 风 一；一 一 一 p 口 ， 一仇 = 五 龟 既 1 2 i 一2 町 m 慨 l i i 一2 町；町 、，、， 爿 鼍 翟 曩 ， 。汹 一m | | 矗 m ：i ，一m | | 第二章估计方法及大样本性质华东师范大学硬士论文 1 2 由条件7 知协方差g d 悠) 有界，所以由大数定理可以推出 厶一。0 从而由( 2 1 2 ) 、( 2 1 4 ) 式可以推出 9 m ( 口) = ，l + + o p ( 1 ) ，e ( ) ) = 1 1 + ( 1 ) 再由( 2 i 0 ) 、( 2 1 6 ) 式得到9 饥( p ) 一，a o ( p o 一国关于口一致成立 另一方面，我们考察n 。( p ) ，为了描述的方便，我们不妨记 则 ( 2 1 6 ) 1 1 m = ( 墨一x 爿) 盯。慨盯5 慨一五p a ( y 一即) ) ，i = 1 ，m ，k = 1 ，s 所以 f 仇( 卢) = l t 驾一x 只a _ 1 肼1 a _ 。 k 一五p 只y x p 1 ( 捌一x ，爿) a 。- ! ：尬a 。i 1 ( m 一墨p 只( y x 卢) ) = ( ) 姒1 雌 m ( p h ( 卢) 7 = f ； m ，聪 由此q 。) 可以表示为 ( p ) = 袁玑( 阢( p ) 1 ，罂t 姒，雌 2 一m l： 、2 。姒。w ：f 1 、 毗 瞰；暇 、 毗 瞻 瞰 眠 m # 甚i 第二章估计方法及大壁查鳖亟 华东师范大学硕士论文 1 3 q 。) 的第( j ，) 块又可以表示为 鬲1 _ 一。i v ，：k = 去( 墨一x 7 爿) a _ 。屿a _ ；( 翔一只x ) ( 岛一卢) ( 岛一p ) ( 五一只x ) 7 a _ 5 慨a _ 。( 五一只x ) + 去( _ 一x 爿i ，a - - 5 坞a _ 5 ( 置一p , x ) ( z o p ) j o ( t , ) 一p t f o ) a - 。a _ 5 ( 五一只x ) + 磊j - 厶l t i x 7 目) a _ m j a ；( 五一只x ) ( 岛一卢) ( e t r e ) a _ 5 m k a _ 5 ( 墨一只x ) + ( 袁( 墨一x 7 爿) a _ ；m j a ；5 ( 置一只x ) ( 岛一p ) ( ，0 ( ) 一p , f o ) 7 a f 5 螈町5 ( 墨一只x ) ) 7 + 去( 墨一x 只) a _ 。屿以f 5 ( f o ( t o p , f o ) ( ，0 ( ) 一p , f o ) 7 a _ 5 峨町5 ( 五一只x ) + 去( 弼一爿) a _ 3 屿4 5 ( ，0 ( ) 一p , f o ) ( e i p i e ) 7 a _ 5 1 螈a _ 5 1 ( 五一a x ) + ( 袁( 墨一x 爿) 町5 m j a ? ( 5 ( 五一只x ) - ( z o 一卢) ( e 一p i e ) a _ 5 懈a _ 5 ( 五一只x ) ) + ( 去( 删一x 7 爿) 町。坞4 5 ( ，0 ( 如) 一p , e o ) ( e t 一只e ) a _ 5 慨a _ 5 ( 五一只x ) ) + 击( _ 一x 爿) 4 f 5 坞a _ 5 ( e t 一只e ) ( 岛一只e ) a _ 5 尥a _ ( 墨一只x ) 垒t 1 十t 2 十t 3 + t 4 + t 5 + t 6 + t 7 + t 8 + t 9 箜三皇堡盐查鎏丞盔登查焦煎 坐查竖堇盔堂亟望蛊 1 4 利用条件8 ，我们有 t 1 = 去委( 墨一x 瑚町。4 。隅一只x ) 一伪 t ( 岛一卢) ( x l 一只x ) 4 _ 5 慨a _ ( 磁一只x ) 易( 岛一f 1 ) ( f i o 一卢) 7 硪，( 2 1 7 ) 其中珥( 岛一卢) ( 岛一p ) 7 珥是( 岛一p ) ( 风一3 ) 7 的某个可能线性函数。再利用条件8 和 引理3 的证明，我们有 去善( 墨爿明托舻( 五一嘲( 岛卅 ( ，o ( “) 一p , f o ) 7 a _ 1 靠町5 ( 磁一只x ) 0 p ( 1 )( 2 1 8 ) t 3 = 熹( 弼一x 碍) 町5 坞钉。陇一只x ) 汹一卢) ( e t 只e ) 7 a _ 5 靠a _ ( 咒一只x ) = 击( 霹一x 7 爿) 4 _ 5 坞a _ 5 ( 五一只x ) ( 风一p ) e ：a _ 帆a _ ( 墨一只x ) 一去( _ 一x 7 只) 4 _ 5 鸠a _ 5 ( k 一只x ) ( 岛一卢) e ，只 戤以_ ( 五一只x ) = 熹妻( 墨一x 爿) a _ 屿a _ ( 墨一只x ) ( 岛一卢) e ：a _ a _ ( 五一只x ) + o ，( 1 ) t 4 = t 2 = 0 n ( 1 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 粥= 磊1 若r n ( 箕一x 爿) a _ 屿町 ( ，o ( t t ) 一只r ) ( ，0 ( 屯) 一p , f o ) a i = 1 m 女a - = 1 ( x i 一只x ) = o p ( 1 ) ( 2 2 1 ) 第二章估计方法及大样本性质华东师范大学丽士论文 1 5 11 x p ，) 4 _ 。屿a i ( f o ( t ) 一只晶) ( e t 一只e ) a i l 帆a _ ( x i 只x ) ( 2 q x 耳) a _ ；1 蚂重；1 ( 厶( 如) 一p , f o ) i = 1 1 u , a 7 5 ( 置一只x ) 墨一x 7 爿) 以_ 5 1 毛a _ 1 ( ，0 ( ) 一p , f o ) e 爿4 5 慨5 ( 五一只硼 磊1 善m ( 墨一x 爿) a _ j 岣a _ ( ，0 ( 如) 一只昂) e t t 一。- 屯帆a _ 5 1 ( 五只x ) + 0 p ( 1 )( 2 2 2 ) t 3 7 去妻i = 1 ( 卫一x 爿) a _ 屿a _ ( 五一只x ) ( 阮一卢) e a t - ! ，慨a _ 1 ( 五一只x ) + 唧( 1 ) 一x 爿) a _ 1 1 屿a _ 1 ( ，0 ( ) 一p , f o ) e ：a f5 1 慨a f 5 1 ( 五一只x ) + 吻( 1 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 一x 7 p ) a 7 j 坞a _ ( e 。一只e ) ( 白一只e ) ，a _ 5 1 靠a _ 5 1 ( 磁一只x ) 一x 7 爿) a _ 。i 屿a _ 5 1 e a - ! ：慨a - 1 ，( 五一只x ) + 咚( 1 ) + 唧( 1 ) ( 2 2 5 ) m 一m 一m l j ，l 。斟 吧一m ，m ：e 邪三m 墨 协 。等等衄 ，一m ，一m 一m = = = 第二章估计方法及大祥本性质华东师范大学硕士论文1 6 其中k ：( 捌一x ，爿) a _ 5 1 坞a _ 1 e ；e ：a _ 5 1 帆a f 5 1 ( 五一只x ) 由( 2 1 7 ) 一( 2 2 5 ) 式我们可以得到 而且 去峨= t 1 + 去锄+ ( t 3 + t 6 + t 7 + t 8 ) + ( 1 ) = 1t = 1 冒c 去喜瞻，= t ，+ e c 击姜t ，+ 唧 联去* = 去( 雹一x i ! j - - 5 屿a - 1 2 e ( e e ：) 町：1 慨町；1 阢一只x ) = 去( 型一x 爿) 町5 1 屿3 k 钉 慨町5 隅一只x ) 2 翥( 一尸) 7 咏( j p ) x ( 2 2 6 ) 类似于引理3 的证明，我们可以在条件8 下推出击x ( ，一p ) 7 ( j p ) x p 岛 ， 再由切贝雪夫大数定理可以得到示1 墨，r i 一p 岛k 所以。1 呈。一p 奶( 岛一 竺，眠崂2 。慨。睨、 ( 卢) 。鬲1 【 - ! ) 、罂。暇。墨。眦。睨7 凰( 岛一f 1 ) ( f l o p ) 7 捌凰涵一口) 愉一) 群、 【 - ； ) + 岛 、凰一z ) ( z o f 1 ) 叫h ( f l o 一卢) 一f 1 ) 联7 ( 2 2 7 ) 对于任意的e 一致成立，而且汹) 一，s o 引理4 得证口 引理5 在条件# ，6 下蜘( 岛) 服从中心极限定理，即 盯 m ( 岛) 垒- + d u 。( o ，厶p ) ，( 2 2 8 ) 第二章估计方法及大样本性质华东师范大学硕士论文 1 7 其中k 是s p 阶单位矩阵 证明：由( 2 1 0 ) 一( 2 1 6 ) 式我们可以推出 x 7 ( ，一p ) b 1 ( ，一p ) f o ( 风) ：一1f； m 硎一p 愠( ，一p ) 娲 x ( ，一p 7 ) b 1 e 、 + 鬲1 ( ； ) 、x ，f ，一p ) b s e b 1 p e 、 ) b s p e 7 = 去娄( 三二篓舞：三) + 唧c m 啕2 击；( 。捌一x ，爿，0 ；尥a _ ；q ) + 0 p ( m 毛) = 熹喜( m 啕， ( 2 z 。) 对于任意一个满足a a = l 的r 印上的向量8 ，由条件7 ，有e & = 0 ，s 印 e l i 氐1 1 2 + 6 l a 川2 s u p e 怜酽“s u p te l l e iqe 2 + 6 o o 所以8 u al a 7 & l o o ，从而对8 已李雅普诺夫中心极 限定理条件满足，所以 - i 争盐竺l _ 一_ d n ( o ，1 ) ( n 7 銎，c o v f f , ) a ) 4 显然去2 1 e 伽婚) 是一个s p s p 维矩阵我们来考察其中的第0 ，k ) 个p p 维分 块，不妨记为& 仙，则我们有 s n ，kx 只) a _ 5 1 嵋a _ 5 1k ( ( 捌一x ，爿) a _ 5 1 戤a _ 1 ) ， = 夏1 刍ml n t t x 爿) 町。屿霄5 k 4 5 噬a f 5 ( 五一只x ) = 去x ( ，一p ) n j 女( ，一p ) x ( 2 3 0 ) 类似于( 2 8 ) 式，由条件8 我们有s 哪一，马 ，所以示1 墨，c 硎他) 一，v o ，从而有 盯w 1 云善m 矗一a 矿 ( ) 、j、， 一 一 r i ， ，【，l x x ， 一m 一 、 墨 m 试 一m | f 第二章估计方法及大样本性质 华东师范大学硕士论文 1 8 再由( 2 2 9 ) 和上式可以得到 v o 一 m 1 1 鲕( f l o ) ：v o 一 m l = k 4 m 垒一d u i v ( o ，l p )( 2 3 1 ) 引理5 得证口 引理6 假定废是岛的任意估计， 如果废满足q 。( 废) 一po ，则蝶岛； 偿j 如果成满足m q 。( 成) = 0 p ( 1 ) ，则m ( 或一风) = 0 ，( 1 ) ，讥 9 。( 熊) = 0 p ( 1 ) 证明；我们首先考虑废满足q k ( 佛) 一，0 时的情况，由引理5 我们可以得到国k ) 一一 ( f j o 一芦) ，g ：y - 1 归) g d ( 岛一舒) 关于口e 一致成立因为g o ( p o 一口) = o 仅在p = 阮处 成立，所以在岛的任意小邻域d ( 阮) 的外面，有l i mp 国l m ( f 1 ) o = 1 现在估计佛满 足q 。( 成) 一，0 ，所以p 成6 ( 阮) ) 一1 再由6 ( 阮) 的任意性，我们得到露一p 阮 其次我们考察成满足m q 。( 成) = o p ( 1 ) 时的情况，因为m q 。( 成) = o v ( 1 ) ，所以 q 。( 成) 一，0 ，则由上面的证明可以推出成一，岛将m ( 成) 重新写成 1111 m 9 。( 目：) = m i 9 。( 风) 一m ( 成一卢d ) = 憎u k 一m m i ( 霞一邱) ( 2 3 2 ) 简单变形得： 饥m ( 成一岛) ：订m ( 联) 对上式两边同时做一个权矩阵为q i l ( 芦：) 韵二次距离变换得 m j ( 俄一风) 7 9 袅n 0 ( 成) 赫( 成一风) m j ：( 0 一m 夕价( 缳) ) ，( 穰) ( 订一m 鲕( 俄) ) s2 ( 唁1 ) ，q 二：( 成) 订+ ( m g m ( 雠) ) ，n = ( 艨) m ；( 医) ：2 增1 q 二1 ( 成) 语+ 2 m + q 。( 成) ( 2 ，a 3 ) 由f k ( p ) 的一致收敛性，及引理1 可以得到 q 。( 成) + ，y ( 扁) = k ( 2 3 4 ) 由上式及引理5 ，我们有 增1 吲( 线) 增1 ：0 ，( 1 ) 同时由m q 。( 成) = 0 ，( 1 ) 可以推出 m ( 俄一z o ) 7 站q 二1 ( 成) 如( 群一儡) m = q ( 1 ) n ；吁n ， 一 畎 十 十 已 。等湖 一m 一m 第二章估计方法及大样本性质 华东师范大学硕士论文 1 9 再由引理5 可以推出 g m t “- ih * ) 饥一，弼爵1 硒，( 2 3 5 ) 由假定条件知瑙s i l n o 是正定矩阵，如果我们记a 0 是弼s 彳1 硒的最小特征根，则 显然有 a m l l 联一风1 1 2 sm ( 成一岛) 7 厶n = ( 成) ( 成一历) m = o r ( 1 ) 由此可得 m ( 成一肪) = o v ( 1 ) 再由上式和( 2 3 2 ) ，及引理5 。我们有 m 妣( 鼢= 0 ，( 1 ) 。 引理6 得证口 定理1 的证明t 因为风一a r g m i n 口o q 。( p ) ，所以 q 。( 风) 墨q 。( 岛) 由引理4 ，我们有m q 。( 3 0 ) = o p ( 1 ) ，所以 m q 。( 风) = 0 ，( 1 ) 则由引理6 可以推出 风_ p 风， 和 m 鼽( 反) = q ( 1 ) 到此为止我们证明了反是岛的相合估计 下面我们证明反的渐近正态性因为良= a r