（应用数学专业论文）最终范数连续半群的扰动.pdf

摘要 本文对最终范数连续半群的扰动进行比较系统的总结和研究该论 文主要包括以下两个部分： 第一章是预备知识本章对b a n a c h 空间中的岛半群给出一个较完整 的介绍，主要包括：引言，算子半群的预备知识，算子半群的定义及性 质，强连续半群与h i l l e y o s i d a 定理，半群表示其中h i l l e y o s i d a 定理是 本章的核心部分这些知识在第二章中将会用到 第二章是最终范数连续半群的扰动本章系统的总结了一些已知的 扰动定理，主要如下： 定理2 3 1 在b a n a c h 空间x 中，如果t ( t ) 对于t t o 0 是一个最 终范数连续半群，其生成元为a ，b 是一个紧算子，则a + b 生成的半群 s ( t ) 对于t t o 仍最终范数连续 定理2 3 2 在b a n a e h 空间x 中，设( a ，t ( t ) ) a ( m ，u ) ，( 表示a 生成 半群丁( t ) ，且满足| | t ( t ) 临m ) t ( t ) 是对t 0 按范数连续的，且b 是x 中的线性算子，若b 满足下列条件之一： ( a ) b 可闭，d ( a ) cd ( b ) ，且1 1b t ( t ) zi i 。( t ) l | z1 | ( z d ( a ) ，0 0 亦为范数连续的 定理2 3 3 设a 是h i l b e r t 空间日上的一个最终范数连续半群t ( t ) ( 对t t 。0 ) 的无穷小生成元，b 瓢，则由a + b 生成的半群s ( t ) 在 t 时按范数连续这里， 三 5 b l ( h ) i 胁贻+ 。| | r ( a ；a ) b r 2 ( a ；a ) | | = i i 。罂+ 。i i 砰( a ；a ) b 兄( ；4 ) | | = o 定理2 3 4 a 是h i l b e r t 空间h 上的一个最终范数连续半群t ( t ) ( 对 t t o 0 ) 的无穷小生成元，b 是日上一个有界线性算子，b t ( t ) = t ( t ) b ， 则由a + b 生成的半群s ( t ) 当t t o 时按范数连续 下面是作者所做的一些工作： 定理2 3 5 设a 是h i l b e r t 空间h 上的一个线性算子，生成一个岛 半群丁( t ) 满足l lr ( t ) 怪m t 且当t t o 0 时按范数连续b 是一个从 d ( a ) 到d ( a ) 的线性算子，满足t ( t ) bcb t ( t ) 且 i lb 。l l o1 la zl | + 61 i zm v z d ( a ) ， 其中a 和b 是正常数，则由a + b 生成的g 0 半群s ( t ) 当t t o 时按范数 连续 定理2 3 6 设t ( t ) 为h i l b e r t 空间h 上的c o 半群，当t t o 0 时按范 数连续，a 为其无穷小生成元又设b 是a 相对有界的，d ( a ) cd ( b ) ， t ( t ) bcb t ( t ) ，且存在6 0 使得k o t o 0 时最终范数连续，且b 是x 中的线性算子，t ( t ) bcb t ( t ) ，则以下结论 成立： ( a ) 如果b 可闭，d ( a ) cd ( b ) ，且| | b t ( t ) x 临a ( t ) 怕| | ( z d ( a ) ，0 2 t o 时a + b 生成的半群 珏( t ) 按按范数连续 ( b ) 如果b 工( x ) ，则a 十b o ( m ，u + m | | b 忆且当t 2 t o 时a + b 生成的半群( t ) 按范数连续 ( c ) 如果b 上( 【d ( 4 ) ) ，则a + b g ，且当 2 t 。仍有a 十b 生成的半 群码( ) 按范数连续 这些结论对最终范数连续半群的扰动理论的发展与完善有重要意义 关键词：岛半群；最终范数连续半群；相对有界；扰动 a b s t r e e t t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e st h ep e r t u r b a t i o no fe v e n t u m l yn o r m c o n t i n u o u ss e m i g r o u p s i ti sd i v i d e di n t ot w op a r t s c h a p t e r1i st h ep r e p a r a t i o n s w e g i v eac o m p l e t ei n t r o d u c t i o na b o u tc os e m i g r o u p si nab a n a c hs p a c e t h ef o l l o w i n ga r et h ec o n t e n t s ：i n t r o d u c t i o n ，p r e l i m i n a r y f o rs e m i g q o u p so fo p e r a t o r s lt h ed e f i n a t i o n sa n dp r o p e r t i e so fs e m i g r o u p so fo p e r a t o r s ，s t r o n g l yc o n t i n u o u ss e m i g r o u p sa n dh i l l e - y o s i d at h e o r e m ，t h ep r e s e n t a t i o n o s e m i g r o u p so fo p e r a t o r s t h eh i l l e - y o s i d at h e o r e mi st h ec o r eo ft h i sc h a p t e r t h e s ep r e p a r a t i o n sw i l lb eu s e di nt h en e x tp a r t c h a p t e r2i st h ep e r t u r b a t i o no fe v e n t u a l l yn o r m c o n t i n u o u ss e m i g r o u p s s o m e t h e o r e m sa b o u ti tw i l lb eg i v e ns y s t e m a t i c l y t h em a i nr e s u l t sa r ef o l l o w i n g ： t h e o r e m2 3 1 i ft ( t ) i st h ee v e n t u a l l yn o r m - c o n t i n u o u ss e m i g r o u p sf o r t t o 0w i t ht h eg e n e r a t o rai nab a n a e hs p a c ex a n dbi sc o m p a c t ，t h e nt h e s e m i g r o u ps ( t ) g e n e r a t e db ya 十b i se v e n t u a l l yn o r mc o n t i n u o u sf o rt t o t h e o r e m2 3 2 l e tab eal i n e a ro p e r a t o ri nab a n a c hs p a c exg e n e r a t i n ga c os e m i g r o u pt ( t ) w i t h1 1t ( t ) 临m e “w h i c hi sn o r mc o n t i n u o u sf o rt o a n d l e tbb eal i n e a ro p e r a t o ro nx i fbs a t i s f i e so n eo ff o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( a ) i f bi sc l o s e b l e ，d ( a ) cd ( b ) ，a n d | | b t ( t ) xl l sn ( t ) | | 5 9 | | ( z d ( 4 ) ，0 0 t h e o r e m2 3 3 l e tab et h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro ft h en o r mc o n t i m l o u s s e m i g r o u pt ( t ) f o rt t o 0 i nah i l b e r ts p a c eha n db e a ，t h e nt h es c m i g r o u p s ( t 1g e n e r a t e db ya +bi nn o r mc o n t i n u o u sf o rt t oh e r e ， 三n = b l ( h ) ii ，拭m + 。a ；a ) b r 2 a ) 1 1 ：| ，。糌。1 1r 2 ( a ；a ) b r ( , k ；a ) 1 1 = o ) t h e o r e m2 3 4 l e tab et h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro ft h en o r mc o n t i n u o u s s e m i g r o u pt ( t ) o nah i l b e r ts p a c eh f o rt t o 0 ，a n dbb eab o u n d e dl i n e a r o p e r a t o ro nhc o m m u t i n gw i t ht ( t ) t h e nt h es e m i g r o u ps ( t ) g e n e r a t e db y a + b i sn o r mc o n t i n u o u s f o r t t o t h ef o n o w i n ga r ed o n eb yt h ea u t h o ro ft h i sp a p e r t h e o r e m2 3 5 l e tab eal i n e a ro p e r a t o ro nah i l b e r ts p a c ehg e n e r a t i n g ac 0s e m i g r o u pt ( t ) w i t hl | t ( t ) l l m e “w h i c hi sn o r mc o n t i n u o u sf o rt t o 0 - a n dl e tbb eal i n e a ro p e r a t o rf r o md ( a ) t od ( a ) s a t i s f y i n gt ( t ) bcb t ( t ) a n d b x i 茎a | 1a z | | + b | | z | | ， v x d ( 且) ， w h e r eaa n dba r ep o s i t i v ec o n s t a n t s t h e nt h ec os e m i g r o u ps ( t ) g e n e r a t e db y a + b i sn o r mc o n t i n u o u s f o r t t o t h e o r e m2 3 6 l e tt h el i n e a ro p e r a t o rab ea ni n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fac o s e m i g r o u pt ( t 1w h i c hi sn o r m c o n t i n u o u sf o rt t o 0 i nah i l l b e r ts p a c eh a n d l e tal i n e a ro p e r a t o rbb er e l a t i v e l yb o u n d e dw i t hr e s p e c tt oa ，d ( a ) cd ( b ) j a n d t ( t ) bcb t ( t ) t h e r ee x i s t sd 0 s u c ht h a tk 0 t o20 a n dl e tbb eal i n e a ro p e r a t o ro nhs a t i s f y i n gt ( t ) bcb t ( t ) ，t h e nt h ef o l l o w i n g c o n c l u s i o n sa r et e n a b l e ： ( a ) l fb i sc l o s e b l e ，d ( a ) cd ( b ) ，a n d1 1b t ( t ) xi 。( ) 0z1 1 ( z d ( a ) ，0 2 t o ( b ) b l ( x ) ，t h e na + b g ( m ，u + m | ib | | ) ，a n ds e m i g r o u p 丁b ( 亡) g e n e r a t e db ya + b i sn o r m c o n t i n u o u sf o rt 2 t o ( c ) b l ( d ( a ) ) ，t h e na + b g ，a n ds e m i g r o u pt b ( t ) g e n e r a t e db ya +b i sn o r m c o n t i n u o u sf o rt 2 t n k e yw o r d s ：c os e m i g r o u p s ；e v e n t u a l l yn o r m c o n t i n u o u ss e m i g r o u p s ；r e l a t i v e l y b o u n d e d ；p e r t u r b a t i o n 第一章预备知识 第一章预备知识 1 1引言 算子半群理论是泛函分析的一个内容丰富的重要分支，其理论自建立以来象其 它学科一样也经历了由初创到不断完善，成熟，丰富和扩展等阶段该理论在许多 实际问题中，例如量子力学中的s e h r o d i n g e r 方程，中子迁移方程，人口发展方程 以及分布参数控制理论和工程技术中都得到了广泛的应用 自从本世纪初s t o n e 提出算子半群概念及证明了著名的s t o n e 定理以来，人们 围绕其工作进行了许多研究1 9 3 4 年w i d d e r 证明了一个实值有界函数的l a p l a c e 变换具有一些特征，该结论在研究半群理论中起了重要作用，后来人们一直想把它 推广到一般的b a n a e h 空间上1 9 4 8 年h i u e 和y o s i d a 各自独立的得到了h i l l e - y o s i d a 生成定理，这是算子半群的理论发展过程中的一个重要里程碑1 9 5 6 年 m i y a d e r a 证明了w i d d e r 表示定理可以推广到自反b a n a c h 空间其后，有人又证 明了指数w i d d e r 表示定理成立等价于b a n a c h 空间具有r a d o n n i k o d y m 性质 1 9 5 7 年h i l l e 和p h i l l i p s 总结了前人及他们自己的研究成果，出版了算子半群理 论的经典著作泛函分析与半群，这标志着半群理论的基本框架已经建立其后 人们的注意力开始转向扩展算子半群的其它类型，如分布半群，局部凸线性拓扑空 间中的算子半群，非线性算子半群，正半群等1 9 8 7 年a r e n d t 提出积分半群与 d a v i e s 和p a n g 重提g 半群给算子半群的发展赋予了新的生机，因为他们提出了 算子半群的更一般框架，特别从多方面实质的发展了强连续算子半群( 即岛半群) ， 这方面专著还有很多，本文大部分工作都集中在强连续算子半群上 1 2 算子半群预备知识 定义1 2 1 设x 与y 都是b a n a c h 空间，a 是定义在x 上的线性子空间 d ( a ) 上并取值于y 中的线性算子，我们把乘积空间x y 的集合 g a = z ，y x y ：z d ( a ) ，g = a x ， 称为算子a 的图像如果g a 是乘积空间x y 中的闭集合，则称a 是闭线性算 子或闭算子 定理1 2 2 n ( 闭图像定理) 若算子a 的定义域d ( a ) 是x 中的闭子集合，则 当a ：d ( a ) 一y 是闭算子时，它也是有界线陛算子 2 最终范数连续半群的扰动 定义1 2 3 算子a 的定义域d ( a ) 在图像范数i iz 垒l lz | | + l la zl l 下构成 的b a n a c h 空间记作【d ( a ) 定义1 2 4 设a 是由d ( a ) x 到y 的线性算子，如果存在闭线性算子a ， 使得d ( a ) cd ( a ) ，a z = a x ，v z d ( 4 ) ，即aca ，则称a 是可闭线性算子， a 称为a 的一个闭延展，当a 是a 的一个闭延展，并且g _ = g a 时，称a 为4 的最小闭延展或闭包 定理1 2 5 呲设a 是由d ( a 1cx 到y 的线性算子，则a 是可闭线性算子 的充要条件为：对于任给的序列z 。d ( a ) ，只要z 。一o ，a x 。一y ( n o o ) ，则必 有y = 0 定义1 2 6 x 是一个b a n a c h 空间，dcx 如果d 的闭包等于整个空间x ， 即d = x ，则称d 是x 的一个稠密子集， 定义1 2 7 设t ( t ) 是b a n a c h 空间x 上的岛半群，其无穷小母元为4 ，如 果( a i a ) ( 为任一复数) 是正则算子，即( a j a ) 是由d ( a ) 到x 中的一对一 的线性算子，且其逆算子( ，一a ) _ 1 是x 到x 中的有界线性算子，则称a 是a 的正则点，并称r ( a ；a ) = ( m a ) 。是a 的预解算子不是正则点的复数 ，称 为a 的谱点复平面上4 的正则点全体称为a 的正则集( 或预解集) ，记为p ( a ) 谱点的全体称为a 的谱集，记为o - ( a ) 记唧( a ) = a l a ，一a 不是一对一，即n ( m a ) ( o ) ，称a p ( a ) 为a 的点 谱 记( y c ( a ) = i a j a 是一对一，且r ( 一a ) x ，但r ( a ，一a ) = x ，称 o - 。( a ) 为a 的连续谱 记听) = i a ，一a 是一对一，但瓦酉7 _ 二酉x ，称听( a ) 为a 的剩余 谱 盯( a ) = 盯。( a ) u 盯。( a ) u 口( a ) 定理1 2 8 吐设a ：d ( a ) 一x 是闭线性算子，当a “p ( d ) 时，下面预解 式方程成立， r ( ；a ) 一只( p ；a ) = ( 肛一 ) r ( a ，a ) r ；a ) 并且在空间l ( x ) 中成立， 羔r ( ；a ) = ( 一1 ) 4 n ! r ( ；a ) “+ 1 ，n = 1 ，2 ：3 第一章预备知识 1 3算子半群的定义及性质 定义1 3 1 设x 是一个b a n a c h 空间，t ( t ) ( o 茎t o o ) 是一个从x 到x 的有界线性算子的参数族如果满足 ( a ) t ( 0 ) = i ( i 是x 上恒等算子) ， ( b ) t ( t + 8 ) = t ( t ) t ( s ) v t ，s 0 ， 则称t ( t ) 为x 上有界线性算子半群以后简称算子半群或半群定义中的( b ) 通常称为半群性质 定义1 3 2 对于一个线性算子a 如果定义了： 跗) = 卜x l 觋兰 ) = 躲型f = d + t 川( t ) x ( v z t = 0 咧删， 、 t _ 0 td t 、 则称a 是半群? ( t ) 的无穷小生成元d ( a ) 是a 的定义域 一个有界线性算子半群t ( t ) 是一致连续的，如果! i 强l i t ( t ) 一圳= 0 从定义 可以看出tt ( t ) 是一个一致连续有界线性算子半群，那么l i mi i t ( t ) 一t ( s ) l l = 0 ， 定理1 3 3 1 2 线性算子a 是一个一致连续半群的无穷小生成元，当且仅当a 是一个有界线性算子 定理1 3 4 【2 1 设f ( t ) ，s ( t ) 是一致连续的有界线性算子半群，如果 l i 。三堕二! ：a ：l i m 望l ! t 0 t t - 0 t 则t ( t ) = s ( t ) ( t o ) 从半群的定义可以知道，一个半群t ( t ) 有唯一的无穷小生成元如果t ( t ) 是 一致连续的，它的生成元就是一个有界线性算子；另一方面，如果每个有界线性算 子a 是一个一致连续半群t ( t ) 的无穷小生成元，那么这个t ( t ) 也是唯一的 推论1 3 5 n 设t ( t ) 是一个一致连续有界线性算子半群，则： ( a ) 存在一个常数u 0 ，使得l l t ( t ) l i s ( b ) 存在一个唯一的有界线性算子a 使得t ( t ) = e “ ( c ) ( b ) 中的算子a 是t ( t ) 的无穷小生成元 ( d ) t t ( t ) 按范数可微，且d t i ( r t ) = a t ( t ) = t ( t ) a 3 4 最终范敷连续半群的扰动 1 4强连续半群与h i l l e - y o s i d a 定理 定义1 4 1 x 上一个有界线性算子半群t ( t ) ( 0 t ( + 。) 是一个强连续有 界算子半群如果 ! 鸳t ( t ) 2 。v z x - x 上的一个强连续有界线性算子半群称为c b 半群 定理1 4 2 吼设t ( t ) 是一个岛半群，则存在常数u 0 ，m 1 使得 | | t ( t ) l l m e “( 0 曼t o ) 定理1 4 1 1 2 线性算子a 是岛半群t ( t ) 的无穷小生成元且满足l it ( t ) 怪 m e “( 其中m 三1 ，u 0 均为常数) ，当且仅当： ( a ) a 是闭线性算子且d ( a ) = x ， ( b ) ( “j ，。o ) cp ( a ) 且l lr ( ；a ) ”l l s7 x ! 知，( u ，n = 1 ，2 ，3 ，) 1 5 半群表示 定义1 5 1 设a 是稠定闭算子如果a 的预解集合p ( a ) 含有慰= r ；a u ) ，并且存在常数m 0 ，使得 ， | r ( a ；a ) ”怪志，n = 1 ，2 ，3 ，a 慰 则称算子凡= a a r ( a ；a ) = ”r ( a ；a ) 一a ，为算子a 的y o s i d a 逼近 定理1 5 2 i “设t ( t ) 是以算子4 为生成元的岛半群，e “x 是由a 的y o s i d a , 逼近如生成的一致连续半群，n x ：t 任给的z x 有： 5 6 最终范数连续半群的扰动 且上式的极限在t 的任何有界区间上是一致的 定理1 5 3 吼设t ( t ) 是以算子a 为生成元的岛半群，则对任给的z x 有： 丁( 啦= 熙( ，一；a ) 一z = 恕印( ；a ) 卜 并且上面极限在t 的任何有界区间上是一致的 定理1 5 4 设t ( t ) 是以a 为生成元并且满足| | t ( t ) l m e “，u 0 的g 0 半群，1 u ，则 小s s = 熹z ：砌；a ，知z 叫戤 t z = 熹z ：砌；伽舭e 。( a 2 ) 此定理仅对z d ( a z ) 成立，并且积分在x 中收敛，下面这个定理使得半群 表达式对所有z x 都成立 定理1 5 5 n 设a 是x 上的稠定闭算子，并且满足 ( a ) 存在某0 p j ，使得 p ( a ) 目= a ：l 。r 9 a i 0 ，使得 i i r ( a ：a ) 1 1 丙m a a 则算子a 生成一致有界的g o 半群t ( t ) 并且 邢) = 丽1z 砌枞 其中r 是。中任一条由o 。e 1 。1 到o 。e “吼的光滑曲线( j 0 ，u20 使得 | it ( t ) | | 茎m e 。，| lr ( t ) 【1 m e “。， 第一章预奋知识 则 ，熙矗( t ) 。= t ( t ) z ，z x 在t 的有界区间上一致成立的充要条件为： l i mr ( a ；a n ) z = r ( a ；a ) z ， z x ，r e u 7 8 最终范数连续半群的扰动 第二章最终范数连续半群的扰动 2 1 引言 许多重要的岛半群，例如最终紧半群和最终可微半群都是最终范数连续 p a z y l 9 8 3 年在其专著中两次指出：“到目前为止还没有已知的通过算子a 或预解 式r ( a ；a ) 表达的充分和必要条件来保证t ( t ) 当t 0 时按一致算子拓扑连续” 所以，关于最终范数连续半群特征条件的讨论有重要意义1 9 9 2 年py o u 4 1 表 明：h i l b e r t 空间中的对t 0 范数连续半群等价于它的生成元的预解式沿与虚轴 平行的直线趋于零1 9 9 4 年f 5 1 给出了最终范数连续半群的一个特征1 9 9 6 年 b l a s c o 和m a r t i n e z 6 1 根据最终范数连续半群的特征和预解式给出了一个完整的特 征定理此外，( 7 ， 8 1 ， 9 1 ， 1 0 对最终范数连续半群的特征也进行了讨论 与此同时，另一问题“最终范数连续半群的扰动”即：如果算子a 生成岛半 群丁( o ) ，对算子a 进行扰动成为a + 且，其中b 式某种意义下的扰动算子，那么 算子a + b 是否还生成与t ( t ) 同样性质的半群这一问题也被许多学者所关注并 且得出了许多结论1 9 8 3 年，【2 中指出：如果a 是半群t ( t ) 的无群小母元， t ( t ) 在( t t o 0 ) 时按一致算子拓扑连续( 或可微或紧) ，b 是一个有界算子， 则a + b 生成的半群s ( t ) 可以没有相应的性质1 9 9 4 年，【3 中也给出了一些在 b a n s c h 空间中最终范数连续半群的讨论2 0 0 0 年， 1 1 】中提出：在b a n a c h 空间 中，如果t ( t ) 最终范数连续且有无穷小母元a ，b 是一个紧算子，则由a + b 生 成的半群s ( t ) 也最终范数连续最近gq x u 和l p z h a n g 分别在f 7 与【1 2 中 给出了一些关于最终范数连续半群扰动的一些新结论 本章系统整理了一些近期关于最终范数连续半群扰动的结果，其中包含了自己 的一些工作 2 2算子半群预备知识 定义2 2 1 b a n a c h 空间x 上g 半群t ( t ) 叫做在一一致算子拓扑下对t t o ( t o 0 ) 连续，如果对t t o 成立： l i m i it ( t + ) 一t ( t ) i i = o 第= 章最终范薮连续半群的扰动9 定义2 2 2 b a n a c h 空间x 上岛半群t ( t ) 叫做在一致算子拓扑下对t t o ( t o 0 ) 连续，如果它在一致算子拓扑下对t = t o 是右连续的，对t t o 是连续 的 定义2 2 3 一个岛半群t ( t ) 称为最终范数连续半群，如果当t t o ( t o 0 ) 时，它按一致算子拓扑连续特别，如果t o = 0 ，则称为范数连续半群 定义2 2 4 设a ，b 均为x 中的线性算子，称b 是a 相对有界的( 或相对紧 的) ，如果d ( a ) d ( b ) ，且b ：c d ( a ) 一x 是有界的( 或紧的) 定理2 2 5 【3 ( f e l l e r m i y a d e r a - p h i l l i p s ) 设m 1 ，u r ，又设a 是x 中的稠 定的线性算子，则以下结论等价： ( a ) a a ( m ，u ) ( b ) ( u ，。) cp ( a ) ，且存在b ( x ) 中的强连续算子族t ( t ) ，| | t ( t ) i l m e “， t o 使得v z x ，r ( k a ) z 是t ( o x 的l a p l a c e 变换 ( e ) ( u ，) p ( a ) ，且 | | ( a u ) “r ( 凡a ) “j i m ，v a u ，n n ( 1 ) ( d ) 存在u 7 u ，使得r ( u 7 一a ) = x ，且 m | ( a a p zl l ( a u ) “| | zm v z d ( a “) ，n n ，a2u 7 ( 2 ) 此外，( b ) 中的t ( t ) 即为a 生成的岛半群 证明：( 。) 净( b ) ( c ) 这从定理14 9 立得 ( c ) j ( a ) 由定理1 2 8 知 ，m 一1 貉r ( 凡a ) = ( 一1 ) ”- 1 ( n 一1 ) ! r ( ；a ) “， n n 由上式及( 21 ) 可得 | | ( 一u ) n + l r ( ；a ) n i i sm n !a u ， 忆n o 于是由w i d d e r - a r e n d t 表示定理f ，存在r ( ；a ) 的确定函数s ( t ) b ) ( t 0 ) 满足s ( o ) = 0 和 | | s ( t 十h ) 一s ( t ) i i m h e “ 3 a x e “，1 ) ，t ，h 兰0 ( 3 ) 若z d ( j 4 ) ，则由分部积分得 r ( a ；a ) 。= x l z 十i 1r ( ；4 ) a z = z 。e 一址d o z + z 。s ( s ) 4 。d s ) 1 0 _ = ：一：一苎竺苎丝塞竺童矍竺兰墼 由于抽象函数，( t ) 的l a p l a c e 变换f ( a ) 不能具有两个不同的正规化的确定函数， 得， 一 s ( 。) 。= 缸十上s ( s ) a 础c ，( o ，c o ) ，x ) ( 4 ) 结合( 2 3 ) 式及面丽= x ，即见丁( f ) 垒s 协) 满足( b ) 由此及( 2 4 ) 式得r ( o ) ： ，t ( t ) x z o o ) ，又由预解恒等式有， j c 上8 1 官h 邢+ s ) 础出 = z 。e - o , - ) , ) t ( r ( a ；且) 。一 ! o te - a r t ( ，) 。d r ) 出 2 i 兰1 r ( a ；a ) z r ( 肛；a ) z = r ( 卢；a ) r ( 入；a ) x 2 上ze 1 吨。叮( 归( 啦幽出( p a 以 从l a p l a c e 变换得唯一性知，0 + s ) = t ( t ) r ( s ) ( t ，s 兰o ) 因而丁( ) 是一g 半群最后，不难从定理1 49 推知a 是r ( ) 的生成元 ( c ) 辛( d ) 显然。 ( d ) = ( c ) 由所设“j ，p ) ，现在证明 u l 垒s u p a 之u7 ；7 ，刈cp ( a ) ) = o 。 若c 0 1 o 。，由p ( a ) 为c 的开集，知l 隹，9 ) ，且存在a ( u ，“1 ) ，使0 u 1 一a ；( a u ) 于是从a p ( a ) 及( 2 2 ) 知： r ( u - ) 垒( a u ，) 2 r ( ；a ) m k = 0 依算子范数收敛，且易验证兄- ) = r ( u 1 ；a ) 因而u l p ) 矛盾从而( 2 1 ) 式对a u 成立又从所设 u l ，皇 u a u ；队，u 7 】cp ( 4 ) ，】| ( 肛一u ) ”r ( p ；4 ) “1 1 m ，n ， “茎u ，l 故_ 以下证明q 2 垒i n f k ；a j = u 即可 j ( a u 2 ) 满足0 c d 0 和一个n n 使得 l _ i m + o 。i i r ( 。+ 打；a ) ”t ( t o ) i i = 0 ， 其中r ( a ；a ) 是算子a 的预解式。特别，t ( t ) 在t t o 时最终范数连续当且仅当 j i 砰| | r ( 。+ i t ；a ) t ( t o ) l i = 0 定理2 2 8 1 “若正( t ) ，乃( t ) ( t o ) 均为b a n a c h 空间x 中的强连续有界 线性算子族，则在强算子拓扑下下式成立： z + 。e 一 正( t ) d t z + ”e 7 j ( ) d t = z + ”e 一 。( z 。7 j ( t s ) i j ( s ) d s ) d t ， 其中r e a i y i a x o ) 1 ，u 2 ，咄= 1 i 理i ni i 正( ) i l ，( = 1 ，2 ) t o + 。 1 2 最终范数连续半群的扰动 2 3最终范数连续半群的扰动定理 定理2 3 1 旺在b a n a c h 空间x 中，如果t ( t ) 对于t t o 0 是一个最终 范数连续半群，其生成元为a ，b 是个紧算子，则a + b 生成的半群s ( t ) 对于 t o 仍最终范数连续 定理2 3 2 1 3 1 在b a n a c h 空间x 中，设( a ，t ( ) ) eg ( m ，u ) ，t ( t ) 是对t 0 按范数连续的，且b 是x 中的线性算子，若b 满足下列条件之一： ( a ) b 可闭，d ( a ) cd ( b ) ，且1 | b t ( t ) xl i sd ( t ) | | z | | ( z d ( a ) ，0 0 范数连续的 定理2 3 3 1 ”设a 是h i l b e r t 空间日上的一个最终范数连续半群t ( t ) ( 对 t t o 三0 ) 的无穷小生成元，b e a ，则由a + b 生成的半群s ( t ) 在t t o 时 按范数连续这里， 勘= b l ( 刮l i r a 黯。a ；a ) b r 2 ( a ；a ) i i = 胁黔。i | r 2 ( ；a ) b r ( x ；a ) 1 1 ：0 ) 其中l ( h ) 是上所有有界线性算子组成的集合 定理2 3 4 1 ”】a 是h i l b e r t 空间日上的一个最终范数连续半群t ( t ) ( 对 t t o 0 ) 的无穷小生成元，b 是h 上一个有界线性算子，b t ( t ) = t ( t ) b ，则 由a + b 生成的半群s ( t ) 当t t o 时按范数连续 下面是作者所做的工作： 定理2 3 5 设4 是h i l b e r t 空间日上的一个线性算子，生成一个e o 半群 t ( t ) 满足| | t ( t ) 性m e “且当t t o 0 时按范数连续b 是一个从d ( a ) 到 d ( a ) 的线性算子，满足t ( t ) bcb t ( t ) 且 | | b xl i sa ia x | | + 6i l 2 9l l ，v z d ( a ) ， 其中a 和b 是正常数，则由a + b 生成的岛半群s ( ) 当t t o 时按范数连续 i i e n ：取, k o p ( a ) 由条件| ib zi n | | a z | | + bi zi ，线性算子s 垒 ( o a ) b r ( 1 0 ；a ) 有界因此当p u + m | | sl l 时，1 p ( s r ( “；a ) ) 由于有 界线性算子乃，乃满足 p ( t ，t 2 ) 一 o ) = p ( 乃丑) 一( o ) ， 量三兰苎竺堇垫塞鳖童童竺兰垫 1 3 所以1 p ( b r ( p ；a ) ) 令u = j 日r ( p ；a ) ，则v ( d ( a ) ) = d