（应用数学专业论文）应用偏微分方程解的存在性渐近极限与时空估计.pdf

，fl 独创性声明 i i i i i i i l l l l l l l l l l l y 18 0 6 0 4 6 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：壅懿呈日期：丝垦 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、 1 ：编学 位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：童昭 指导教师签 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 、j 一，；0j 参0土 摘要 本文考虑三类应用偏微分方程解的存在性，渐近极限与时空估计问题 第一章是引言部分 在第二章，我们考虑定义在复合介质上的椭圆型方程解的渐近极限问题这个 问题来自于弹性力学为了使弹性介质能够承载更多负荷，我们在该介质表面附上 一层硬度很大的强化孱这个强化层相对于内部介质很薄我们考察当薄层厚度趋 于0 时，椭圆型方程解的渐近行为首先，我们假设薄层具有一致厚度，所得结果 推广了b r e z i s ，c a f f a r e l l i 和f r i e d m a n1 1j 的结论；然后，我们考察薄层振荡结构的影 响，所得结果推广了b u t t a z z o 和k o t m1 2 j 的结论 在第三章，我们考虑热传导方程饵的渐近极限问题这个问题来自于复合材料 为了保护导热介质免受外界高温的破坏( 例如返航的航天飞机) ，我们沿该介质表 面涂上一层绝热层这个涂层相对于内部的介质很薄假设涂层的整个热张量很小， 我们考察当涂层厚度趋于0 时，热方程解的渐近行为我们发现极限解在介质的边 界满足d i r i c h l e t ，r o b i n 还是n e u m a n n 条件( 我们称之为有效边界条件) 取决于涂 层的热传导率与厚度的定量关系，其中保证有效边界条件为n e u m a l m 条件的涂层 绝热性最好当假设涂层的热张量只在沿着介质法线的方向很小时( 我们称之为最 优定向涂层) ，我们也得到了类似的结论 在第四章，我们考虑双曲型方程解的存在性与时空估计问题首先我们考虑一 个来自于液晶材料的守恒律方程解的存在性问题通过粘性消失法，利用l py o u n g 测度理论，我们证明了这个守恒律方程在一般的2 初值条件下整体弱解的存在性 接下来，我们考虑了一类带有奇异时变位势的波方程初值问题其中位势模的上界 仅依赖于空间维数，而不是以前结果中要求的充分小性通过对解做加权三2 估计， 我们建立了解的局部正则性估计和s t r i c h a r t z 估计我们也得到了这个波方程解的 存在性结果 关键词：椭圆型方程；抛物型方程；双曲型方程；渐近极限；奇异位势；整体弱 解；s t r i c h a r t z 估计 i i _；j“ 氐，0心 一 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ec o n s i d e rt h ep r o b l e m so fe x i s t e n c e ，a s y m p t o t i cl i m i t sa n ds p a c e - t i m ee s t i m a t e sf o rt h es o l u t i o n st ot h r e et y p e so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si na p p l i e d s c i e n c e s t h ei n t r o d u c t i o nt ot h e s ep r o b l e m si sg i v e ni nc h a p t e r1 i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ea s y m p t o t i cl i m i to f t h es o l u t i o nt oa ne l l i p t i ce q u a t i o no n ac o a t e db o d y t h i sp r o b l e ma r i s e si ne l a s t i c i t y t om a k ea l le l a s t i cm e d i u mw i t h s t a n d h e a v i e rl o a d s ，w ea t t a c hi ta l o n gt h eb o u n d a r yw i t hav e r ys t r o n gl a y e rt h a ti st h i nt o m p a r e dt ot h es c a l eo ft h ei n t e r i o rm e d i u m w ec h a r a c t e r i z et h eb e h a v i o ro f t h es o l u t i o n i nt h es i n g u l a rl i m i ta st h et h i c k n e s so ft h el a y e rt e n d st oz e r o i nt h ef i r s ts e c t i o n ，u n d e r t h ea s s u m p t i o nt h a tt h el a y e rh a su n i f o r mt h i c k n e s s ，w ef u r t h e ri n v e s t i g a t e t h er e s u l t so f b r e z i s c a 丘- a r e l l ia n df r i e d m a nf 1 | i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ea s s u m et h a tt h et h i c k n e s s o ft h et h i nl a y e ro s c i l l a t e sp e r i o d i c a l l y , a n dw eg e n e r a l i z et h ew o r k so fb u t t a z z oa n d k o h n 【2 】i nv a r i o u sr e s p e c t s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ea s y m p t o t i cl i m i to f t h es o l u t i o nt oa h e a te q u a t i o n ，w h i c h i sf r o mt h ec o m p o s i t em a t e r i a l w ei n v e s t i g a t et h et h e r m a li n s u l a t i n ga b i l i t yo fa n a n i s o t r o p i c a l l yc o n d u c t i n gc o a t i n gw h i c hi st h i nc o m p a r e dt ot h es c a l eo ft h ei n t e r i o r b o d y w ea s s u m et h a tt h ew h o l et h e r m a lt e n s o ro ft h ec o a t i n gi ss m a l l w es t u d yt h e a s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o nt ot h eh e a te q u a t i o n ，a s t h et h i c k n e s so ft h ec o a t i n g g o e st oz e r o w ef i n dt h a ta f t e rt h i ss i n g u l a rl i m i t ，t h el i m i t i n gc o n d i t i o n o nt h eb o u n d a r yo ft h eb o d y , w h i c hi so fd i r i c h l e t ，r o b i no rn e u m a n nt y p e ，d e p e n d s o nt h es c a l i n g r e l a t i o n sb e t w e e nt h et h e r m a lt e n s o ra n dt h et h i c k n e s so ft h ec o a t i n g ；t h u st h es c a l i n g r e l a t i o nt h a tl e a d st ot h en e u m a n nc o n d i t i o ne n s u r e sg o o di n s u l a t i o n w ea l s oo b t a i n s i m i l a rr e s u l t su n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h et h e r m a lt e n s o ro ft h ec o a t i n gi so n l ys m a l l i nt h ed i r e c t i o n sn o r m a lt ot h eb o d y ( ac a s ec a l l e d “o p t i m a l l ya l i g n e dc o a t i n g ”) i nc h a p t e r4 w ec o n s i d e rt h ep r o b l e m so fe x i s t e n c ea n ds p a c e - t i m ee s t i m a t e sf o r t h es o l u t i o n st oh y p e r b o l i ce q u a t i o n s w ef i r s tc o n s i d e ra ne q u a t i o no fc o n s e r v a t i o n l a wa r i s i n gi nl i q u i dc r y s t a l s b yt h em e t h o do fv a n i s h i n gv i s c o s i t ya n dt h et h e o r yo f _ py o u n gm e a s u r e ，w ep r o v et h eg l o b a le x i s t e n c eo fad i s s i p a t i v ew e a ks o l u t i o nt ot h i s i i i h y p e r b o l i ce q u a t i o nw i t hg e n e r a ll 2i n i t i a ld a t u m t h i se q u a t i o nm o d e l sw a v em o t i o n s i nn e m a t i cl i q u i dc r y s t a l s i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ec o n s i d e raw a v ee q u a t i o nw i t h ap o t e n t i a lt h a ti st i m e d e p e n d e n ta n ds i n g u l a r t h es i z eo ft h ep o t e n t i a li se x a c t l ya f u n c t i o no ft h es p a t i a ld i m e n s i o nr a t h e rt h a nb e i n gs m a l le n o u g hi nt h ek n o w nr e s u l t s b a s e do na w e i g h t e d l 2e s t i m a t ef o rt h es o l u t i o n ，w ed e r i v eb o t ht h el o c a lr e g u l a r i t ya n d t h es t r i c h a r t ze s t i m a t e s t h ee x i s t e n c eo fas o l u t i o nt ot h ew a v ee q u a t i o ni sa l s os t u d i e d k e yw o r d s ：e l l i p t i ce q u a t i o n ；p a r a b o l i ce q u a t i o n ；h y p e r b o l i ce q u a t i o n ；a s y m p t o t i c l i m i t ；s i n g u l a rp o t e n t i a l ；g l o b a lw e a ks o l u t i o n ；s t r i c h a r t ze s t i m a t e i v ，。n a，、#一 目录 中文摘要 i 英文摘要i i i 第一章引言 1 第二章椭圆型方程1 7 2 1 一致情形的渐近极限1 7 2 2 振荡情形的渐近极限4 6 第三章抛物型方程6 4 3 1d i r i c h l e t 边值问题的渐近极限6 4 3 2r o b i n 边值问题的渐近极限7 2 第四章双曲型方程8 3 4 1 守恒律方程的整体弱解8 3 4 2 波方程的时空估计1 0 2 结论11 3 参考文献1 1 4 致谢1 2 1 在学期间公开发表( 投稿) 论文情况1 2 2 ，毒 j v o。p 氛。 p 东北师范大学博士学位论文 第一章引言 本文考虑来自应用偏微分方程中的三个基本问题，包括解的存在性，渐近极 限与时空估计问题 我们首先考虑椭圆型方程解的渐近极限问题所论问题来自于弹性力学为了 使弹性介质能够承担更多的载荷，工程上通常在该介质表面附上一层硬度很大的 强化层例如，在弹性杆的扭转问题中，我们对弹性杆附上一层硬材料来增加它的 抗扭强度 数学模型如下令区域q 1cr 2 代表弹性介质的横截面，沿着它的边界r 包裹 着硬度很大的强化层q 6 记q = q 1u r u q 6 ，见图1 假设强化层q 6 的厚度均匀， 记为5 ，见定义2 1 ，而且具有很大的剪切模量o 根据弹性体的扭转理论，我们 有下面的极小化问题， 珠= 。瓢娃印坪出+ 兰小坪出一厶触) 则应力函数z ，为么6 的极小元根据变分原理【3 】u 满足如下带有d i r i c h l e t 边界条件 的p o i s s o n 方程： ：圣? 乳卜 二器 - ， 、 一 、， i 甜= o ，工a q ， 其中方程系数垂( x ) 满足 i 2 2 ， z q 1 ， 中( z ) = ( 口i ，( x ) ) 2 2 = ia h 2 ， z q 6 ， 这里h 2 是单位矩阵，r 上的“传输条件”是 甜1i f i l = 1 2 j q 6 ，o d u n li q 。a d u n 2i q 。， n = ( i 1 1 ，n 2 ) 是r 的单位外法向量 当f = 2 0 时，方程( 1 1 ) 即为经典弹性杆扭转问题的模型【4 ，其中0 0 表示 每单位长度对应扭曲的角度，抗扭强度是；如u d x 东北师范大学博士学位论文 图1q = q 1uf uq 6 ， r 和a q 的距离是正数6 如果强化层q 6 是各向异性的，即矩阵( 研，( z ) ) 胛胛随x q 6 变化，我们考虑了 最优定向薄层的情形( o p t i m a la l i g n e dc o a t i n g ) 吼对每个工q 6 ，令p 表示x 在 a q l 上的投影，则向量犀是对应于矩阵( a i a x ) ) 最小特征值的特征向量 据我们所知，s a n c h e z p l a n c i a1 6 j 首次在变分方法的框架下研究了带有凸透镜 状强化层的椭圆型方程内部强化问题随后，基于解的日2 估计，b r e z i s ，c a f f a r e l l i 和f r i e d m a n1 1j 研究了任意c 2 光滑区域内带有d i r i c h l e t 边界条件的椭圆型方程内 部强化和边界强化问题利用类似的方法，文献1 7 j 考虑了n e u m a n n 边值的强化问 题利用d eg i o r g i 和f r a n z o n i1 8 j 建立的g a m m a 收敛理论，b u t t a z z o 和k o h n 【2 j 研究了强化层具有振荡厚度的情形( 亦可见o j 关于拟线性椭圆型方程的研究) 文献1 1 l ，1 2 j 在研究由软材料包裹的塑料板能量的渐近行为，以及文献1 1 3 ，1 4 j 在研究 多连通区域上拟线性椭圆型方程的强化问题时都利用了g a m m a 收敛理论值得 一提的是，对椭圆算子特征值也可以考虑类似的强化问题事实上，f r i e d m a n 1 5 j 和p a n a s e n k o 1 6 j 分别研究了散度型椭圆算子主特征值的强化问题r o s e n c r a n s 和 w a n g 1 5j 将f r i e d m a n 的结果推广到了所有特征值最近文献【1 7 j 考虑了r o b i n 特征 值的强化问题关于特征值强化问题的更多工作，请参看文献【1 8 ，1 9 , 删 我们的目的是确定当6 和。趋于零时，方程( 1 1 ) 解的渐近性态为此令 g = o ( 6 ) ，6 l 。i m o + o ( 6 ) = o ， 并且记 o c = 岛詈，p = 品导肛岛罟， a = 洲l i m + 昌 基于解的日2 估计，b r e z i s ，c a f f a r e l l i 和f r i e d m a n1 1 证明了： ( a ) 如果0 【( o ，十叫，则在上2 ( q 1 ) 内，“一w ，这里w 是一个r o b i n 问题的解 ， t 参 p 蠢 i j 东北师范大学博士学位论文 ( b ) 如果0 c = 0 ，则在l 2 ( q 1 ) 内，( 甜一c 6 ) _ w ，这里w 是一个n e u m a n n 问题的解， 常数c 6 依赖于6 并且他们注意到，如果如。f d x 0 ，则当6 0 时，c s 会趋 于无穷大 在第二章第一节我们首先采用一种较为简单的方法得到了b r e z i s ，c a f f a r e l l i 和 f r i e d m a n 【1 】的结果( a ) ：只需h 1 估计，而不必用到【l 】的俨估计然后，我们深入 研究了【1 】的结果( b ) ：我们发现了6 和。新的定量关系可以用来确定“的渐近行 为；同时我们得到了 1 1 中没有给出的最优爆破速率最后，我们得到了【1 】中没有考 虑的最优定向薄层情形的一些结果具体来说，我们得到了以下结果 1 ) 仅( o ，+ 叫定理2 1 证明了，当6 _ o + 时，在l 2 ( q 1 ) 空间，u w ，这里w 满 带有边界条件 竺+ 洲：0 0 ，x 一1 ，_ + 仪w = ，x ， a ) d ( 0 ，+ 叫假设f 在q 6 内l i p s c h i t z 连续定理2 2 证明了，在l 2 ( q 1 ) 内 瞅w ( p ) d s p 铀1 鹕 3 ， 1= 邳似脚 u j 片w ( p ) d s p = 0 定理2 6 把该结果推广到了最优定向薄层的情形 b ) p = 0 ，片鲥0 定理2 3 指出，当6 0 + 时，“在l 2 ( q 1 ) 中爆破，并且存 譬 i i i i ( q 。) 譬 东北师范大学博士学位论文 定理2 7 把这个结果推广到了最优定向薄层的情形 c ) f r g ( p ) a s p = 0 我们在定理2 9 证明了下列结论 i ) y ( o ，+ 叫假设g c 2 ( 五6 ) ，则在三2 ( q 1 ) 内，u _ w ，这里w 满足方程 ( 1 2 ) 以及边界条件 fi d w 一：0 ， t ：妇r w ( p ) d s p ：南，r 阢胁) + 酬吗， 0 4 【= 南，rl g ) 日) + 嘉( p ) i 吗， 、。 其中h p ) 是i 在p 点的平均曲率，o g o n 是g 的法向导数如果丫= + 一， 则( 1 4 ) 的第二个方程为f rw ( p ) a s p = 0 i i ) 丫= 0 ，f r g h - - k o g o n a s p 0 则“在2 ( q 1 ) 中爆破，并且 扣_ 南二融删+ 和卜 如果y = 0 并且如。f d x = 片鲥昂= f r 矽+ 堙a n d s p = 0 ，由于f 几何结构的 复杂性，我们不是很清楚甜本身是否收敛但是，如果q 1 是球体凤，球心在原 点，半径为r ，我们可以确定所有保证“收敛的指标更确切地说。我们在定理 2 1 0 证明了下面结论 d ) f b r f d x = 片g o ( p ) d s p = = 斤g d 一3 p ) 吗= 0 ，g c d 叫( q 6 ) ，其中整数 d 3 ，g i ( p ) ：= a g ) a n i ) 材( o ，+ 一) 则在l 2 ( b r ) 内，u _ w ，这里w 满足方程( 1 2 ) 以及边界条 件 蠊- o ， 【f r w ( p ) d s p = 赤斤黝一2 ( p ) d s p i i ) 7 d = 0 则在l 2 ( 风) 内， 昙州一1 f gd一2(p)dsp47cr2d!jrgd 矽叫_ 一 一2 3 ) 0 【= 0 ，如。f d x 0 定理2 4i 正n y j t ，当6 0 + 时，甜在l 2 ( q 1 ) 中爆破，并且存 在与6 无关的常数c 1 和c 2 ，使得 譬驯b 。q 。，譬 宗弹2 8 把这个结果椎广蛰i 了最优定向薄层的情形 4 ， 呓 p 东北师范大学博士学位论文 图2q = q 1u f uq 6 在第二章第二节，我们假设强化层具有周期振荡的厚度q 6cr 2 的振荡结构 如下记上为r 的长度，do r _ ( 0 ，+ 一) 是周期为三的光滑函数，满足 0 m = m i n d m a x d = m 0 ，定义 q 6 = x ：x = p + t n ( p ) ，p f ，0 0 ，甜在l 2 ( q 1 ) 内收敛到带有适当 n e u m a n n 边界条件的p o i s s o n 方程的解；如果b = 0 ，f n u d x 趋于无穷大在 前一种情况，彳6 收敛到n e u m a n n 问题的能量以，；在后一种情况，如果o 6 3 _ 0 ，则彳6 趋于无穷大；如果o 6 3 _ 一，则彳6 一以，因此，当。一6 3 - 8 ( ( 0 ，1 ) ) 时，甜6 爆破而它的能量彳6 收敛这种解和它的能量具有不同行为的现 象是由于n e u m a n n 问题的解缺少唯一性对于这种广义的扭转问题来说，当 如，f d x = 0 并且f r g d s 0 时，最有效的强化层应当满足o 5 2 _ 0 在第三章，我们考虑热传导方程解的渐近极限问题这个问题来自于材料科学 为了防止导热体过热，工程上通常在该导热体表面涂上一层绝热层在这一章我们 将考察绝热涂层的绝热性能，这个绝热层允许是各向异性的( 例如航天飞机外壳涂 有纳米材料制成的绝热层) 一般来说，绝热涂层的厚度以及热传导率都很小我们 的目的是确定涂层的厚度和它的热传导率二者量纲之间的定量关系，使得涂层最 有效地保护内部的导热体 数学模型如下与椭圆型方程类似地，令区域q 1c 酞疗是有界开集( 代表各向 同性的导热体) ，沿它的边界r 包裹着另一个区域( 代表各向异性绝热的涂层) ， 6 广i ， 一 卜、 l 东北师范大学博士学位论文 记q = q 1u f u q s 假设q 6 的厚度均匀，记为6 记4 ) 为q 的热张量矩阵，而且 一拧= k 淼竺 n 7 ， 这里k 0 是q 1 的热传导系数，是单位矩阵，o 是充分小的正实数，矩阵( 动 ) ) 对于每个z q 6 是正定对称阵，而且它的最小特征值有正下界o 充分小意味着 q 6 在各个方向的热传导率都很小我们也考虑了q 6 仅在垂直于a q l 方向的热传 导率很小的情形这样的各向异性热张量可以通过文献【2 1 ，2 2 】中的均匀化理论得到； 文献【2 3 l 给出了这种张量的一种显示表达式假设整个系统q 的外部温度日很高 ( 例如返航的航天飞机) ，则温度函数q ( x ，t ) 满足如下带有d i r i c h l e t 边值的热方程 i 9 一v ( a v q ) = 0 ，x q ，t 0 ， q = h ，工硷，t 0 ， ( 1 8 ) lq = q o ) ， x q ，t = 0 ， 这里常数日远大于初始温度分布q o ( x ) 的值 按照特征函数展开法( 1 2 4 j4 1 节) ，o 由下式给出： 。 q(蹦)=h+三e-l,t中所(x)厶帖)(qo7)一日)出7，rt l ，l 这里( h ，中m ) 是椭圆算子u _ 一v ( a v u ) 在d i r i c h l e t 边界条件下的特征值和单位 化的特征函数注意到0 0 ， o w o n + ( 咖n 万k ) ( w h ) = 0 ，x a q l ，t 0 ， ( 1 1 0 ) iw = q 0 ，x q 1 ，t = 0 ， 其中n = ( n l ，n 疗) 是a q l 的单位外法向量，n 孑= 一a u n j 是协法向量如果0 c = + 一， 则边界条件为d i r i c h l e t 条件w = h 见定理3 1 换句话说，如果0 【= 0 ，即( 1 9 ) 成立，则在有限时间段 0 ，t 】内，a q l 可以被 保护的很好；否则，如果0 0 ， 鬻+ 1 1 ( q 1 4 ) = 0 ，工施，f 0 ， ( 1 1 1 ) iq = q o ( x ) ， 工q ，t = 0 ， 这里热张量a 由( 1 7 ) 给出，鬻= v q 彳五，五= ( 五”一，瓦) 是a q 上的单位外法向 量，h 是正常数( 温度) ，远大于初始温度分布q o ) 的值 为了找到涂层的热张量，厚度以及热交换系数三者量纲之间的关系，从数学 的角度出发，我们假设 g = o ( 6 ) ，t 1 = ”( 6 ) ，当6 _ 0 时，o 保持有界， 而且下列极限存在 o 【= 岛詈，b = 洲l i m + n ( 6 ) 我们在定理3 3 证明了下述结论 1 ) 如果b = 0 ，那么对任意有限时刻t 0 ，当6 0 + 时，在l 2 ( q 1 ( 0 ，丁) ) 内，q _ w ，这里w 是如下方程的解 1w t k a w = 0 ，z q 1 ，t 0 ， w = q 0 ， 工q 1 ，t = 0 ， 【嘉= 0 ，x ef ， 0 2 ) 如果6 ( o ，+ 一 且0 【 0 ，+ 叫，则对任意有限时刻t 0 ，当6 _ 0 + 时，在 l 2 ( q 1 ( 0 ，r ) ) 内，q _ w ，这里w 满足方程 i 毗一尬w = 0 ， z q 1 ，t 0 ， w = q o ， z q 1 ，t = 0 ， 【尼嘉+ 篙焉( w 一日) = o ，z r ，f o 其中呀= ( 一a o ) n ；边界条件可以理解为：( i ) 如果0 c 和b 都等于一，则边界条件 为d i r i c h l e t 条件w = h ；( i i ) 如果b = 一且a 。，x 。， 1 u ( t ，0 ) = 0 ， l 甜( o ，x ) = “o ) 形式上对这个方程关于z 求导，得到 f ( u t + u u x 肛知伽p 0 ， u ( t ，0 ) = 0 ， ( 1 1 2 ) i 甜( o ，x ) = u 0 ) 方程( 1 1 2 ) 即是著名的h u n t e r - s a x t o n 方程【2 7 】，可以用来描述向列型液晶( n e m a t i c l i q u i dc r y s t a l s ) 材料中波的运动 2 7 】它是c 锄a s s a h 0 1 i n 方程的高频极限【28 | ，并且是 带有双h a m i l t o n i a n 结构的完全可积系统【29 1 h u n t e r - s a x t o n 方程有这样的几何解释 【3 0 ，3 1 】：对空间周期函数，它描述了齐次空间v i r ( s ) r o t ( s ) 上的测地线流( g e o d e s i c f l o w ) ，这里v i r ( s ) r o t ( s ) 表示按照齐次膏1 范数：( f , g ) = 居五g 孓出，v i r a s o r o 群 v i r ( s ) 模掉旋转子空间r o t ( s ) 所生成的空间h u n t e r 和s a x t o n 2 7 证明了( 1 1 2 ) 是 如下变分波方程的一阶逼近方程： 嘶f c ( 甜) 【c ( “) 魄 工= o o ，x r ( 1 1 3 ) 【( 材，“f ) ( o ，x ) = ( u o ，材1 ) ( x ) 事实上，考虑( 1 1 3 ) 的几何光学近似解 v ( x ，t ；e ) = 帅+ e u ( e t ，x c o t ) + d ( 2 ) 1 0 t p 东北师范大学博士学位论文 这里v 0 是常数，c o = c ( v o ) 0 假设c ，( ) 0 ，h u n t e r 和s a x t o n 2 7 】证明了甜( ，) 满足( 1 1 2 ) 关于方程( 1 1 3 ) 的工作，感兴趣的读者可以参考【“，8 5 ，8 6 ，8 7 ，8 8 , 删 利用特征线方法，h u n t e r 和s a x t o n 2 7 】证明了，如果, t ox ) 不单调递增，则 ( 1 1 2 ) 的光滑解在有限时刻爆破不仅如此，利用k a t o 关于抽象拟线性发展方程的 理论，y i n 3 2 j 建立了周期h u n t e r - s a x t o n 方程强解的局部存在性，并且证明了，除 了那些不依赖于空间变量的解，其它强解都爆破因此我们有必要研究方程( 1 1 2 ) 弱解的整体存在性问题由于方程( 1 1 2 ) 的弱解不唯一，我们必须对弱解做出选 择，这就是所谓的可允许弱解最有意思的可允许弱解包括两类：一类是耗散型弱 解( d i s s i p a t i v es o l u t i o n ) ，另一类是守恒型弱解( c o n s e r v a t i v es o l u t i o n ) 对光滑初值 u o ) ，当解保持光滑时，耗散型弱解和守恒型弱解保持重合；跃过爆破时刻后，二 者分离守恒型弱解在跃过爆破时刻后动能保持不变，而耗散型弱解在跃过爆破时 刻后失去所有动能例如| 3 3 j ，考虑初值 州垆 = ：呸羞 则u o 所对应的耗散型弱解为 以啦，= 摩 垆o 专广： e ( “如( 啪= 上+ i 巩蚴括( f ，x ) 1 2 d x = o ， 跏洲) = 二+ 胁刚圳2 出= 1 = 脚o ) 硎 o ， 、 f 1 2 一l ， 0 ， l 二 巩忙v ，吣 0 ， ( 1 1 4 ) l 比，0 ) ：o ， i v ( o ，x ) = v o ( x ) 当v o ( x ) b v ( r + ) 时，h u n t e r 和z h e n g1 3 3 l 证明了( 1 1 4 ) 耗散型弱解和守恒型弱解 的整体存在性对非负初值v o ( x ) 胪( r + ) ，p 2 ，z h a n g 和z h e n g 3 4 j 利用y o u n g 测 度理论证明了( 1 1 4 ) 耗散型弱解的整体存在性注意到( 1 1 4 ) 的光滑解具有三2 ( 酞+ ) 守恒性因此有必要研究三2 ( r + ) 初值的解基于这个考虑，z h a n g 和z h e n g 3 5 】证明 了，当初值v o ( x ) 非负而且v o ( x ) l 2 ( 酞+ ) 时( 1 1 4 ) 耗散型弱解的整体存在性和唯 一性随后，他们【3 6 】证明了对一般的l 2 ( r + ) 初值，( 1 1 4 ) 耗散型弱解和守恒型弱 解的整体存在性和唯一性值得一提的是，b r e s s a n 和c o n s t a n t i n 3 7 j 构造了整体耗 散型弱解的连续半群，并且介绍了一类距离泛函，利用这类距离泛函可以描述解 关于初值的局部l i p s c h i t z 连续依赖性 注意到文献【3 3 ，3 4 , 3 5 , 3 6 】均采用特征线方法构造逼近解，即取一列阶梯函数 喵( x ) ) 逼近初值v o ( x ) ，然后利用特征线方法表示出以这些阶梯函数v g o ( r ) 为初值的( 1 1 4 ) 的解( v n ( t ，z ) ，扩( r ，工) ) ，最后取序列 ( 俨( f ，x ) ，矿( f ，z ) ) ) 作为逼近解序列本文将采用 粘性方法构造逼近解事实上，取粘性逼近解( v ( f ，z ) ，u 8 ( f ，x ) ) 满足如下方程组 驴+ “8 巩v = 一三( 开+ 茜v ，f 吣 o ， 巩矿= 伊，t o ，工 0 ， u e ( t ，0 ) = 0 ， ( 1 1 5 ) 巩v ( f ，0 ) = 0 ， 俨( o ，x ) = 垢( 石) ， 这里垢( z ) 是初值v o ( x ) l 2 ( 酞+ ) 的光滑逼近h u n t e r z h e n g a s 】证明( 1 1 4 ) 耗散 型弱解的存在性时也利用了粘性逼近解但是本文有三点不同：一，【3 8 】考虑有界 区域的情形，即x ( o ，) ，常数， 1 0 ，本文考虑半空间的情形；二，【3 8 假设初值 1 2 东北师范大学博士学位论文 为特殊形式 l 一1 ，0 工1 ， v 0 。 10 ， x 1 ， 本文考虑一般三2 初值；三，为了得到逼近解在l 2 中的强紧性，与 3 8 所用工具不 同，本文利用y o u n g 测度理论 基于粘性消失法，我们得到了以下结论记鳊= 0 ，+ 一) 0 ，+ 一) ，c | + ( o ，+ 一) ) 为 0 ，+ 一) 上的右连续函数 定理1 1 假设v o ( x ) l 2 ( r + ) 具有紧支集则( 1 1 4 ) 存在整体耗散型弱解( m “) 进 一步，这个解满足对任意p 3 和q 2 ，v 圪。( 鳊) ，v c ( o ，+ 一) ，l q ( r + ) ) n c + ( o ，q - o o ) ，三2 ( 酞+ ) ) ，并且甜1 。, p ( 皿) 为了证明定理1 1 ，注意到( 1 1 5 ) 包含二次项，因此我们必须得到逼近解序列 _ v ) 在l 乞。( 鲸) 中的强紧性但是先验估计只给出弱紧性为了克服这个困难，受 文献【3 4 ，3 5 , 3 6 , 3 9 , 4 0 , 4 1 , 4 2 j 的启发，我们采用y o u n g 测度理论基于逼近解的上界估 计，我们证明了 v 】所对应的y o u n g 测度退化成d i r a c 测度，这就证明了逼近解 在三c ( 酞+ ，工乙( r + ) ) 中的强紧性，其中q o o ， 2 然后，利用局部高指数可积 性估计，我们得到 伊) 在l 乙。( q 。) 中的强紧性对序列 矿) ，利用娑 3 ) 估 计，我们很容易得到它在q d 。( q 。) 中的强紧性 关于粘性逼近解的收敛速度，我们有下面的结果 定理1 2 假设0 ) 0 具有紧支集并且全变差有界，那么 渺( 一u ( t ，) i i l ( r + 1 c e l 2e x p ( c t ) ， 并且 1 i 伊( ，) 一v ( ，) i i l 2 ( r + 1 c e l 4 e x p ( c t ) 其中c = c ( t v ( v o ) ) 注记1 1h u n t e r 和z h e n g s s 】证明了，如果v o ( x ) 0 具有紧支集并且全变差有界， 则( 1 1 4 ) 存在整体耗散解，并且这个解的全变差有界定理j 2 表明通过粘性逼近 得到的耗散型弱解是唯一的关于严格双曲型，真正非线性双曲组带有b v 初值的 粘性逼近问题以及粘性解的收敛速度问题，有兴趣的读者可以参考【钉，卅 13 东北师范大学博士学位论文 在第四章第二节，我们将考虑如下带有时变位势的波动方程初值问题， lu t f a u + v ( x ，f ) 甜= 0 ， ，t ) r 疗酞， u ( o ，x ) = 厂 ) ， ( 1 1 6 ) i 【u t ( o ，z ) = g ( z ) ， 这里v ( x ，t ) 是实值函数，并且n 3 当v 三0 时，ec o n s t a n t i n ，j c s a u t 4 5 】，p s j 6 1 i n1 4 6 j 和l v e g a 4 7 】分别独立证 明了：自由s c h r s d i n g e r 方程的解，在几乎所有时刻，局部上比初值高i 2 阶导数， 更确切地说，成立以下估计 榔s u p 妻- k ，仁i 砖2 e i t a u o1 2d t d x c 陋洲珏， 这里( d s x f ) ( 芎) = 1 2 7 c 芎1 3 灭芎) ，“a ”代表f o u r i e r 变换，e i t a u o 是自由s c h r f d i n g e r 方程 的解这个估计称为局部正则性估计更多关于s c h r f d i n g e r 方程局部正则性估计