（音乐学专业论文）音乐创作中的黄金分割比例研究.pdf

摘要 从古到今，在漫长的人类发展历程中，始终有一条线索贯穿艺术审美始终。 这便是被誉为神圣比例的“黄金分割率”。它最早起源于几何学问题，却对后来 的科学美学、形式美学、建筑美学、艺术绘画等多种学科的发展产生了深远的影 响。在音乐领域，也存在着黄金分割率，它像一一只无形的手掌控着人们的审美观。 黄金分割比例充盈着我们的生活。大自然中的黄金分割俯首皆是，贝壳类动 物身上的黄金螺线，植物的花盘，以及我们人体的比例，甚至于生物d n a 链条的 尺寸比例，都完全符合黄金分割比例。在艺术领域，美术、建筑、音乐甚至经济、 天文学、宗教领域中也都存在黄金分割率。本课题探寻音乐中的“音势”与黄金 分割比例的关系，以黄金分割比例在音乐创作之中的应用为研究对象，分析古往 今来的无数音乐家所呕心沥血刨作出的千古名作中所存在的符合黄金分割比例， 以论证黄金分割比例是著名音乐家令其作品历久弥新的法宝。但是同时也指出， 黄金分割比例并不是唯一的审美依据。 本研究从艺术审美心理入手，以多种学科尤其是艺术类学科中的黄金分 割比例应用为基础，借助了黄金分割率在数学方面的研究成果，以大量音乐实例 分析为事实依据，证实了黄金分割比例在音乐作品中的大量存在，阐明了黄金分 割率理论对音乐创作的理性支撑作用，并为现代作曲家指出一条应用黄金分割率 进行写作的道路。 关键词：黄金分割；音乐创作；音势；比例；审美心理；理性思维 a b s t r a c t ac o m m o nt h r e a di nt h ea p p r e c i a t i o no fa r th 硒w e a v e dt h m u g hh u m a n 畸s1 0 n g h i s t o d ra 1 1 dd e v d i o p m e m ，f b ma n c i e n tl i m e st ot l l ep r e md a yt h a tt 1 1 r e a di sw h a t s o m es c h 0 1 a r s t e m “9 0 1 d e nm e a nt h e o 强”w h i c hi st i t l e dd i v i n ep r o p o r t i 册 t h e “g o l d e nm e a nt h e o 可i 血i a l l yo 啦i n a t e d的mg e o m e t 吼 a i l dh a s b r o u g h t f a 卜r e a c h i n gi n f l u e n c eu p o nt l ea p p r e c i a t i o no fa e s t h e t i c s i nt h ef i e l d so fs 锣1 e ， a r c 衄e c n j r e ，a n dp a i m i n g ，a sw e l la st om 跗ya c a d e r n i c 鲫b j e c t s i c l u d i n gs c i 朗c e na l s oe ) 【i s t si nt h cf i e l do fm u s i c ，1 i k ea ni n v i s i b l eh a n d ，c o n t r o l l i n gp e o p l e s a p p r e c i a t i o no f b e a u t y t h eg o l d e nm e a ni se v i d e mi no u rl i v e s ne 菌s t si ne a c ha n de v e r ya s p e c to f n a t u r et h eb e a u t i 如ls p i r a lo ft h ec o n c h ，t h ei m r i c a t ep e t a la m l l g e m e n to fan o w e r t h es t e a d vr a t eo ft l l el m m a nb o d y sh 饿i r ( b e a ：t e v e nt h eu l l i q u es i z ea n ds t m 髓u r eo f t h ed n ac h a i nt h a tm a l 【e se v e r yl i v i n gt h i n g ，a ua d h e r et ot h eg o l d e nm e a n t h e 窝o l d e nm e a ne x i s t sn o to n l yi na n ，a r c h i t o 吐u r e a 玎dm u s i c ，b u ta l s oi na t e a so f e c o n o m i c s ，a s t m n o m y ，a n dr e l i g i o n t h ef u so f t l l i ss 乱l d yl o o k sa tt l l er e l a t i o n s l l i p b 咖e e nt h et e n d 锄c yw h i c hw a sf o i l i l di n 肌s i c 卸dt h eg o l d e nm e a 玛p a n i c i l l a r l yt h e 印p l i c a l i o no ft h eg o l d e nm e a ni nt l l ec o m p o s i t i o no fm u s i c ，a n da n a l y z e sj l l eg o l d e n m e a nt h a te x i s t si nm a s t e r p i e c e s ，ar e s u no fm e t i c u l o u se f r o n si n u s i c i a n sh a v em a d e s i n c ea i l c i e mt i m e s t l l i st h e s i sd e m o n s t r a t e st h eu s eo f t h eg o l d e nm e a na st h em a g i c w e a p o nw i t hw h i c hm a n yf a m o u sm u s i c i a n sm a d e 仙怆i rw 幽丘_ e s ha n da l i u r i n g e v e r yt i m eh o w e v 鸽t h eg o l d e nm 髓ni sn o tt h eo n l yr e f e r e n c ep o i mf o rt h e a p p r e c i 撕o no f b e a u 够 t l l i sr e s e a r c hs t a f t e df o ma r t 印p r e c i a t i o nm e m a 】i t y ，b a s e du p o nm a n ys t u d i e so n t h em b j e c t ，e s p e c 词l yo na p p l i c a t i o no fg o l d e ns e c t i o ni na r t s t i l d yt l l i sa nd r 哪 s u p p o r t 蜀f o mt 地o u t c o m eo fg o l d e n e 强i nm a t h e m a t i ct h r ；0 旧g ht 蛇a i l a l y s i so fa w i d es e l e c t i o no fm u s i cs 锄p l e s ，t h i st h e s i sp r o v e st h ee x i s t e n c ea n dr o l eo ft h e 霉o l d e nm e a ni nm u s i c i nc o n c l u s i o n ，t h i st h e s i sc l a r i f i e sm er a t i o n a ls u p p o r to ft h e t h e o r yo fg o i d e nm e a ni nt h ec r 铭t i o no fm u s i c ，p r o p o s i n gt h e9 0 1 d e nm e a l la sat o o l f b rt h em o d e mm u s j c j a nt oc r i ；a t ew o r k so f m u s i c k e yw o r d s ：g o l d e nm e a i lt h e o r y ；m u s i cc o m p o s i t i o n ；t e n d e n c yo fm u s i c ； p r o p o f t i o n ：a e s t h 鲥cp s y c h 0 1 0 舒；r a t i o 脚i d e a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中 特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范 大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：检墨鱼日期：丝：! f 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范人学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：绋6 ! 型鱼 指导教师签名：擅盥 日期：p 6 。f - ；1 日期：垒6 。尘37 学位论文作 工作单位： 通讯地址 毕业后 ，南，f 舻 电话： 邮编： 引言 在新时期音乐宦作领域，尤其是伴随“数字岂术”的兴起，音乐创作已 经升始朝着数宁化、序，化发展。艺术已不再是独立的单学科，而是与数 学、几何、物理等自然科学交叉而成的复学科。当然这种交叉并不是在现代 才有的。历史事实证明，甲在公元前，人们就已经开始探索艺术审美的客观 规律，试图将艺术审美提高到一个理性境界。黄金分割率就是人类对自然科 学和艺术审美规律研究的最高成粜。分析前人的伟大艺术作品，小难发现他 们已经在不自觉中运用了黄金分割比率柬进行艺术创作，这就为我们现在的 艺术创作活动提供了理性支撑。总结黄金分割率存音乐作品中的应用，可以 帮助我们找到音乐审美的规律，帮助我们更加理性的进行艺术创作。 目前国内外对于黄金分割比例的研究大多集l i 在美术领域和自然科学 领域。在数学领域的黄金分割率研究丰要是追导它的本原，即黄金分割率本 身的数学价值。能够为我们音乐创作研究提供直接线索的应该是在美术、美 学领域的研究成果。早在中世纪，欧洲的美术作品己大量应用黄金分割比例。 南于音乐本身的抽象巾牛，黄金分割比例在音乐领域的应用不如在美术领域那 样引人注目，但近代音乐学者已经分析出r 在古典音乐中大量的黄金比例应 用，并将之上升为音乐审美的准则之一。不过仅就目前来讲，在音乐领域， 与黄金分割率相关的学术研究还不是很多，希挚本文的撰写能在总结现有相 关资料的基础上对黄金分割率在音乐领域的研究有所补充和突破。 关资料的基础上对黄金分割率在音乐领域的研究有所补充和突破。 第一章、绪论 关于黄金分割比例的理论已经存在有两千多年的历史了。它原本来自于几何 学问题，但却又不仅仅局限于单纯的数学研究领域，他被应用于与人类相关的各 门学科之中。在艺术领域，它更像是一只无形的手，掌控着人们的审美观古 代的欧洲，符合黄金分割比例的艺术造型就已经被广泛认为是最赏心悦目的。音 乐领域亦是如此，早在文艺复兴时期，伴随着音乐美学、节奏学、调式学、对位 学以及乐器学等不同的音乐研究领域所取得的巨大成绩，黄金分割比例也被应用 于当时所创作的无数不朽音乐巨作之中。而后的十七世纪开始直到二十世纪的近 现代，无论音乐史学家如何将这段历史划分，黄金分割比例似乎总能够横跨于其 上，不受乐派之分，不受年代之隔，在不计其数的音乐家之作品中都能找到它的 踪影。因此可以说，黄金分割比例在艺术创作领域中无所不在，它俨然已经成为 了一则美的规范，指引着艺术工作者的创作方向。 在本课题深入探讨音乐创作中的黄金分割比例问题之前，我们有必要了解一 下黄金分割理论的内容及其发展的历史。 一、黄金分割理论的起源与发展 黄金分割理论最早起源于几何学问题。早在公元前六世纪，古希腊毕达哥 拉斯学派( 公元前6 世纪一公元前4 世纪) 通过研究正五边形和正十边形的作图， 非理论性地总结出了黄金分割问题。公元前四世纪，古希腊的数学家、天文学家 欧多克索斯( 约公元前4 0 0 一前3 4 7 ) 又将这个问题进行了系统的研究并建立起 比例理论。公元前3 0 0 年前后，古希腊数学家欧几里德( 公元前3 3 0 一前2 7 5 ) 在编撰几何原本时吸收了欧多克索斯的研究成果，系统地论述了黄金分割， 提出了“中外比”的概念，成为最早完美阐述黄金分割理论的论著，对后来的科 学美学、形式美学、建筑美学、绘画艺术、音乐艺术等的发展，都具有深远的意 义。【2 】 二、黄金分割理论的概念 围绕着黄金分割理论，有三个概念需要阐明无理数巾、斐波那契数列及 黄金分割率，它们的关系是相辅相成的。 ( 一) 认识m 在接触黄金分割的概念之前，首先应该认识这样一个奇异的数字曲。m 是一个无理数常数，它是通过对一段线段的特定的分割雨得来的。请看下图： ac b 若要在线段a b 上面找到一点c ，条件是：由这一点所分割出来的线段a c 与 c b 长度的比值，应恰好等于整个线段a b 的长度与较长部分a c 长度的比值。那 么，在什么位置上的c 点才能符合这个条件呢? 下面是欧几里德的求解方法： 将线段a b 设为a ，线段a c 设为x ，则线段为( a x ) ( a x ) a = x 2 或x 2 + a x a 2 = o 最终结果为x = ( a 2 ) ( r i - _ 1 ) = o 6 1 8 0 3 3 9 9 。o 6 1 8 因此说，只有当c b 长度是a c 长度的0 6 1 8 倍，而a c 长度是a b 长度的o 6 1 8 倍的时候，才符合上述条件。 但是0 6 1 8 这个数字并不是西，西应该是它的倒数，即西= i o 6 1 8 = 1 - 6 1 8 。 即上例中的线段佃长度为较长线段a c 长度的1 6 1 8 倍、较长线段a c 的长度为 较短线段c b 长度的1 6 1 8 倍。不过，由于0 6 1 8 比l _ 6 1 8 更便于计算，也更加 符合人类的思维逻辑顺序，因此人们在研究黄金分割比例的时候，似乎更习惯于 使用o 6 1 8 这个数字嘲。 表面上看起来，垂虽然只是一个无理数常数，但它却表现出许多不同寻常的 本文中m 的数值都取近似值，精确到小数点后三位。 3 属性和意义，它所具备的数学属性是其它普通数字所不具备的，这便是之所以说 它“奇异”的原因。具体表现在： 由2 = 巾+ 1 ，即1 6 1 8 的平方约等于2 6 1 8 ，恰好比自身多1 ； l m = 垂一1 ，即1 6 1 8 的倒数为o 6 1 8 ，恰好比自身少l ； 可以通过多种方式推导出来，比如线段分割法、斐波那契数列法等，其 结果都是完全一致的； 以上所列出的这些巧合几乎不可能同时发生在其它数字上面，可见，中具有 离奇的数学属性。不仅如此，在很多其它与人类息息相关的领域中，西都有所表 现，即是说，在世界万物中都能找到跟中所发生的联系。 ( 二) 斐波那契数列 1 2 世纪，意大利数学家李奥纳多斐波那契( i 。e o n a r d of i b o n a c c i ，1 1 7 5 一1 2 5 9 ) 发现了一串看似简单却非常奇异的数列0 ，1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，1 3 ， 2 l ，3 4 ，5 5 ，8 9 ，1 4 4 ，2 3 3 ，。其中除了开始的。与1 外，每一个数字都是前 面两个数字之和。后人便以斐波那契的名字将这串数列命名，称之为“斐波那契 数列”，或简称为“f 数列”。m 当我们考察斐波那契数列中相邻两个数字的比值时，发现它与无理数西近 似，比如5 比3 为1 _ 6 6 6 ；8 比5 为1 6 0 。如果我们把第一个数字称作f l ，第二 个数字称作f 2 ，以此类推，第n 个数字称为f n ，则n 越大( 即越靠近数列的尾 部) ，相邻两数之比值越趋近于m ，最终将汇聚于币。可见这串数列的背后与无理 数西有着密切的联系。经过计算，这种趋近是很快的，当n = 4 0 的时候，比值的 小数点后已经有1 5 位与西相同了。吲 2 ：3 0 6 6 6 3 ：5 0 6 0 0 5 ：8 0 6 2 5 8 ：1 3 o 6 】5 详见本文第四章第= 节。 4 1 3 ：2 1 o 6 1 9 2 1 ：3 4 o 6 1 7 3 4 ：5 5 0 6 1 8 斐波那契数列的发现成为了中的第一个基本应用，提到中就会很自然地联系 到斐波那契数列，它们经常被认为是同一理论的不同阐述侧面。很多情况下，尤 其是在非数学研究领域，斐波那契数列已经成为m 的替代品，这是由于它比巾更 直接、更具体，而且其精髓又是源自于中，与刮昕一致。因此在实际的生产与生 活之中，人们经常会直接使用斐波那契数列而避免对垂所进行的抽象且复杂的计 算。 对于所有的数字而言，它们的地位应该是平等的。但实际上，人们却特别偏 爱斐波那契数列中所出现的数字。如果细心观察我们身边的事物，无论是工业品 的设计及其型号的命名、文章或音乐作品的段落结构、建筑楼房的设计等等，都 以出自于斐波那契数列中的数字( 如1 、2 、3 、5 、8 ) 居多。 ( 三) m 是黄金分割比率的基础 古希腊人在实践中发现，由垂所确定的这个比例非常优美即便只是一个 最简单的矩形，只要他的长宽两边的长度比值接近1 6 1 8 ，便能使人感到赏心悦 目。于是，将m 这个比值应用于创造活动之中便逐渐成为艺术创造的主流做法， 中这个几何学元素也开始进入了艺术的范畴。有资料表明古希腊人将垂所确定的 这个比例称作“黄金分割”( g 0 1 d e nm e a l l ，g o l d e ns e c t i o n ) 以突出它的艺术魅 力；也另有一说为“黄金分割”这个名字是由中世纪的著名画家达芬奇( l e o n a r d o d av i n c i ，1 4 5 2 1 5 1 9 ) 所命名的。无论怎样，“黄金分割”一词已经成为了m 所确定的这个比例的代名词，成为艺术领域中最完美比例的代表。它甚至被文艺 复兴时期的艺术家们称作“神圣比例”( d i v i n ap r o p o r t i n e ) 【6 。除此之外，还 有很多诸如“黄金比率”、“黄金分割率”等其它称呼。黄金分割率的发现似乎比 中的数值是一个无限不循环小数，因此造成了对晰f 进行的计算的不精确性和复杂性。 5 数学领域中的其它理论更令人着迷，难怪欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普 勒( j o h a n n e sk e p l e r ，1 5 7 l 1 6 3 0 ) 在其著作h a r m o n i c e sm u n d i 。中说，“几 何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯的“商高定理”；另外一个就是黄金分割。 前面那个可以被比喻为金矿，而后面那一个可以与珍贵的钻石矿相媲美。” 将黄金分割比例应用于美学，这大大的扩展了黄金分割比例的内涵。今天我 们所谈到的黄金分割，就已经不再仅仅是指那个无理数，而可以说它是对物体的 一种属性的确定，一种美学上的属性的确定。一个几何图形、一篇文章甚至生产 规划方案，都可以说它符合黄金比例。黄金分割比例己经上升为一种对美的规范 观感，成为一切事物的美学依据。这一点在音乐学研究范畴中也不可能例外，本 课题即是围绕音乐作品中的黄金分割比例进彳亍探讨，揭开黄金分割比例在音乐创 作中的神秘面纱。 开普勒世界的和谐，1 6 1 9 。 第二章、音乐中真的有“数”存在? 每个人都喜爱音乐，因为音乐是人类心灵的声音。音乐表面上看起来是如此 的风情万种、充满灵性，以至于没有人相信它会与枯燥的数学扯上半点关系。音 乐可以直接表达出人们内心中复杂的情绪活动，不需要借助语言、数量等理性因 素试想若要一定将心理活动量化，那将是一个多么复杂的数学难题! 但是， 我们却不能够因此而断言音乐与数无关。实际上，两千多年前，人们就已经发现 了音乐与数的复杂关系m 。 一、西方科学界对音乐与数学关系问题的探索 以“自然科学家和美学家的眼光来看待世界”为哲学特征的毕达哥拉斯学派 曾经从数的和谐观点出发，深入地探讨了音乐美的本质。他们认为，声音之所以 有质的差别时值的长短、音调的高低、力度的变化等等，都源于发声体在某 个方面的数量有所差别。比如一根弦的长短不同，便可以拉出不同音高的声音； 敲击不同的材质，便可以制造出不同的音色或者即便是同一种材质，当其处 于不同状态的时候，也能够发出不同的声音，比如敲击装满水的杯予和空的杯子、 敲击缺乏弹性的兽皮和绷紧的兽皮、敲击实心木和空心木等等，所发出的声音都 有差异。正是根据这些差异，毕达哥拉斯学派发展了关于音程的数字基础的学说， 定制了音阶，还根据他们所认为美的一些比例关系，推导出一个“音乐比例”， 并由此建立了他们的音乐理论体系。由此可见，整个毕达哥拉斯学派的音乐理论 体系就是源于对音乐之数学基础的认识。嗍 欧几里德在几何原本中完美阐述了比例问题。之后，尼寇马克( 约l 世 纪) 又将之发展，归纳出一系列的特殊比例，以应用于各门学科之中。其中特别 指出一类“音乐比例”【9 】，使得音乐学与几何学结合得更加密切了。 详见本文第一章第一节。 7 在现代对声音物理学的研究中发现，西方乐音的音高也是符合斐波那契数列 的，其根据是声音频率建立于斐波那契数列。由下表可以看出斐波那契数列比率 和音阶中各音频率的关系【1 0 】： f 数列比率计算频率实际频率音名 1 1 4 4 0 4 4 0 o oa 2 l8 8 08 8 0 0 0a 2 3 2 9 3 3 32 9 3 6 6d 2 51 7 61 7 4 6 2f 3 26 6 06 5 9 2 6e 3 52 6 42 6 1 6 3c 3 81 6 51 6 4 8 2 e 5 2l 。1 0 0 。o o 1 1 0 8 ，7 2c 5 37 3 3 3 37 4 0 0 0 茸f 5 82 7 52 7 7 1 8”c 8 3 1 1 7 3 3 3 1 1 7 4 6 4d 8 57 0 46 9 8 4 6f 事实上，在西方科学发展史上，音乐与数学的关系一直都是热门的研究课题。 开普勒、伽利略、欧拉、傅立叶、哈代等人都曾潜心研究过音乐与数学的关系。 “发声体的体积、质量、材质等因素导致其发出的声音性质不同”，这便是乐器 制造的基本理论依据。德国著名哲学家、数学家莱布尼茨( 1 6 4 6 一1 7 1 6 ) 曾说过： “音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的”；神学家 圣奥古斯汀也认为，“数可以把世界转化为和我们心灵相通的音乐”。 二、我国对音乐与数学关系问题的探索历程 在我国，关于音乐与数学的研究起步也很早。我国古代的骶谓“律学”，实 际上就是对乐音进行数学研究的一门学科。早在公元前四世纪，关于乐律的计算 法就已经出现。管子地员篇中记载了用“三分损益法”来定制律例：“凡将 起五音，凡首，先主( 立) 一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以 成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生 商；有三分而後于其所，以是成羽；有三分去其乘；适足，以是成角。” 明代的著名乐律理论家和数学家朱载靖( 1 5 3 6 一约1 6 l o ) 将数学知识、声学 知识和音乐知识进行结合，定制了科学的十二平均律：“度本起于黄钟之长，则 黄钟之长即度法一尺。命平方一尺为黄钟之率；东西十寸为勾，自乘得百寸为勾 幂。南北十寸为股，自乘得百寸为股幂；相并，共得二百寸为弦幂。乃置弦幂为 实，开平房除之，得弦一尺四寸分四厘二毫，为方之斜，即圆之径，亦即 蕤宾律倍之率。以勾十寸乘之，得平方积一百四十一寸四十二分，为实，开 平方法除之，得一尺一寸八分九厘二毫，即南吕倍律之率。仍以勾十寸乘之，又 以股十寸乘之，得立方积一千一百八十九寸二分，为实，开立方法除之，得 一尺。五分九厘四毫”，即应钟倍律之率”。朱载靖的这种计算方法，其实 质是在八度音之内分出十二个等音程的音，这理论在当时是处于世界领先地位 的。【”1 伴随着近现代中国科学的飞速发展，声音物理学、科技美学等学科也迅速崛 起，对于声音( 音乐) 与数学之问关系问题的研究也日益深入，美学与科学的结 合更加紧密。“物理与音响共鸣，声波为科学交响”。，音乐已经引起科学家们的 广泛关注，与此有关的论文、专著也大量的涌现出来。现在的科学技术已经可以 将音乐转化为数学模型，然后与其它的事物的物理模式相互转化。比如音乐喷泉 的工作原理，就是依据音乐的强弱参数，来控制喷泉喷出的强度与花式；音乐合 成器的工作原理也是通过对乐器音色的物理采样，将声音转化为数学模型储存起 来，之后通过对这些数学模型的调用，来重现乐器的音色，甚至可以对这些数学 模型的参数进行修改，来合成新的音色。 举办于1 9 8 5 年的“青年作曲家新作交流会”上，涌现出一大批的新音乐风 格作品，展示出了很多颇富见地的创作技法理论。其中讨论的焦点之一便是关于 本例所引用的数字不超过五位数。 李政道语。李政道( 1 9 2 6 - ) ，1 9 5 7 年诺贝尔物理学奖获得者，中国科学院外籍院士，物理学家。 9 音乐与数学的结合问题，很多作曲家都提出了他们自己的见解。比如四川音乐学 院何训田主张的凭借数学的等值变换方式来控制音乐材料；武汉音乐学院彭志敏 使用斐波那契数列进行的新音乐创作手法的探索等等。m 1 三、音乐与数学的同一性 由上述对中外科学美学史的论述可以得知，音乐中的确存在着数学。不仅如 此，音乐领域的很多基本问题恰恰是由数学所推导出来的，是根源于数学理论的。 在音乐那浪漫的夕 表之下，隐藏着的是合乎数学逻辑的理性运算。若究其根本原 因恐怕是因为数学早己不仅仅局限于最初级的“计数”功能，而发展成为一门形 式符号体系的学问。数学可以通过抽象的符号来提炼自然空间的性质，而音乐恰 恰也是应用符号体系来控制音响形式的。在这个层面上，音乐与数学合而为一， 成为可以相互定义的两个相通的范畴。因此说，音乐与数学是同一的】。精通小 提琴演奏的物理学家爱囡斯坦( 1 8 7 9 一1 9 5 5 ) 曾风趣地说：“我们这个世界可以 由音乐的音符组成也可以由数学公式组成。”由此我们可以确定，用数学方法来 探讨音乐领域中的某些问题，是合乎逻辑的、是完全可行的。这也为本课题的研 究方法奠定了理论基础。 o 第三章、音乐作品中的“音势” 一、事物的发展势 ( 一) 什么是“势” 在汉语中，“势”是一个很常见的名词，比如我们常说的山势、水势、趋势 等等。“势”代表了一种发展豹趋向和规律。我们知道，自然界中任何事物都不 是完全静止的，而是不断发展变化的，那么它们的发展变化就一定遵循着某种规 律，一定会有他们自己的发展方向。这种规律和方向，就是“势”。事物在发展 过程中，一旦形成了“势”，其发展就会遵循着这个“势”进行下去，如成语“势 不可挡”，因此世间万物都会“顺应形势，因势利导”，沿着自己的发展方向前进。 这也是预测学的基本依据之一。 ( 二) “势”的组成基础及发展形态 “势”的组成基础，其实是非常简单的。就像我们所熟悉的计算机，它虽说 是个多面手，几乎各行各业都有其涉足的领域，但是就其运算逻辑基础来说却只 有两个数字0 和i ，由这两个数字的不同排列组合，迸行复杂的二迸制运算， 再通过输出设备，呈现给人们以多姿多彩的内容。 再如中国的传统思维方式阴阳。“阴阳”与西方数学中的“正负”概念 相类似，都可以理解为一种代数符号。但是“阴阳”的概念要比单纯的“正负” 概念复杂得多。阴阳代表由一分化而成的二，但这矛盾的二又统一而合为一，这 分化统一连续不断就成为“势”的发展过程。 “势”的组成基础就是上述的“o 、1 ”、“正负”、“阴阳”等等，即由统一而 分化出来的正反两面。中国古代道家学派创始人老子认为，“一生二、二生三、 三生万物”。事物在发展的过程中，如果条件适宜，就会如“一生二、二生三” 见老子道德经四 二章 一般膨胀，吸收资源；当膨胀到一定点，资源枯竭、条件不适宜的时候，数量就 会迅速减少，萎缩至一定程度，又会继续膨胀。这一涨一落，呈现出“s ”形的 发展规律，恰好与我国古代太极图中阴阳两面相交的s 形状相吻合。 辩证唯物主义理论认为，事物发展的总趋势是静进性和曲折性的统一，事物 发展的走向是“曲折并前进”的。由于否定之否定的相互作用原理，事物的发展 道路不会一帆风顺，会呈现出前进与暂时性后退的情形。但是在宏观上，就整个 运动发展来说，大的方向还是一直前进的。 以上理论表明，事物发展之“势”表现为馥线前进。这包括两层意思：第一， 在宏观意义上，事物最终一定会是发展的，不是倒退的；第二，事物发展的前进 形式是“s ”形，不是直线。 ( 三) “势”存在的普遍性 世间万物都有其自身发展之“势”。从最简单的例子说起，花草的生长、动 物的繁衍、人的生老病死，都有其固定的、可遵循的规律；纵观整个人类社会的 发展变迁，无论是哪个历史年代，都会有顺应那个历史年代的伟大人物：历史事 件产生，对整个社会的前进产生一股促进韵力量，一切都显得那么偶然，但是又 存在其必然性。放眼整个宇宙，所有天体都在顺应着自己的轨道运行，井井有条， 像受到一只无形的纪律之手的指挥。古希腊的哲学家、科学家亚里士多德( 公元 前3 8 4 一前3 2 2 ) 曾说：“完美的天上物质构成的天体运动轨道，必定是完美的曲 线。”由此可见，世间万物都在根据自己的发展规律自然地发展着，这个规律就 是使世间万物呈现出“完美”的依据，即“势”。 二、“势”是美的规范 ( 一) 人类的审美心理定势 既然世间万物都有其自身发展之“势”，那么人们在进行立美、审美活动的 时候，其心理是否也有一个定势存在昵? 答案是肯定的。人们的立美活动，最终也可以被抽象为一种自然事物的发展 1 2 过程，那么它也会有一个属于自身的、在其发展过程中将要一直遵循着的规律存 在。既然是一个确定了的规律，那么我们便可以把它称作为“势”。这种立美活 动的发展势不似其它事物的发展势那么显而易见，它隐藏于人类的心灵和感觉之 中，在人们进行与美有关的创作活动时起作用，规定着人们的创作取向。因此在 这种心理势的规定下所创造出来的艺术作品，便注定会符合这部艺术作品所应遵 循的发展之势。 人们的艺术创作心理有其发展定势，审美心理也不例外。人们在观赏一件 美术作品、聆听一部音乐作品豹时候，他的内心决不是静止的，而是随着艺术作 品的发展而进行律动 ，这种律动所产生的曲线是有规律的，这个规律可以被称 为“审美心理定势”。如果艺术作品的“发展势”符合了审美主体的“心理势”， 则审美主体便会感到满足，审美活动也会收到良好的效果。 举一个简单的例子，比如和弦连接，这就是一种发展，一串和弦一个接一 个地进行下去，它会有它自己的发展势。当我们听到一个属七和弦时，一定会让 它“继续发展”即解决到主和弦，否则就会感到不舒服，会认为这个和弦连 接进行得不够圆满。这实际上就是我们的审美心理定势在起作用。如果属七和弦 能进行到主和弦的话，则这样的“发展势”符合了我们的审美“心理势”，我们 会感到和弦连接很稳定，听起来很舒服。反之则会违反我们的审美心理定势，我 们会认为它不稳定，不好听。 因此，人们在与艺术发生关系的时候，无论是立美过程还是审美过程，都 有审美心理定势在起作用，它规范了人们对美的认识。简言之，审美心理定势就 是人们对美的规范，是划分审美过程中对美与丑的感受的依据。 ( 二) 审美心理定势对美的规范作用 通过对人类审美心理活动过程的研究【1 5 1 可以确定，是人们的审美心理定势在 操控着一切立美、审美活动的进行。那么这个审美心理定势又是从何而来的呢? 是人类自己确立的，还是来自于宇宙某处，抑或是原本就存在于人类灵魂之中豹 呢? 若要回答这个问题，我们首先必须明确一个更基本的问题；到底是人类的意 志影响着大自然的美与丑，还是自然之美的定律决定着人类韵审美取向昵? 我们 人类是万物之灵，雅典智者派领袖普罗泰戈拉( 约公元前4 8 1 一前4 1 1 年) 认为， “人是万物的尺度”阳。可见人类已经把自己t 升为大自然的代表，世间万物 的主宰。普罗泰戈拉的话没有错，事实上人类就是在以自己的观点看待自然界。 可是当我们客观地审视自己的时候，却会发现人类自身的各个方面也在遵循着大 自然的规律。人类的某些观念，看似主观，但却与大自然的客观规律之间有着惊 人的巧合。因此可以推断，人类与生俱来的审美观念也与大自然有着密不可分的 联系。根据达尔文的进化论，人类本身就是大自然美的“创造品”之一，再结合 普罗泰戈拉的名言，不难看出，人类的审美情趣在诞生的那一刻起已经由大自然 的规律所注定，它控制着人类对美与丑的鉴赏能力m 】。简单地说，人类用大自然 赋予自己的审美标准，反过来对大自然进行审美活动。如果把美的本原看作是 “人”本身，那便是陷入了唯心主义的泥潭。 由此可见，人类的审美心理定势不是人类自己所决定的。它是由大自然所赋 予的，在人类诞生之初就已经植根于人们的大脑中了。表面上，它似乎更偏向于 一种心理活动，看似主观，好像是来自于人类的意识；而实际上它是一种客观存 在，是先于人类而存在的，不受人类主观思维所左右，它直接规定了人们对“美” 的理解方式。 那么，对于人类而言，什么才是美的? 古希腊的柏拉图( 公元前4 2 7 前3 4 7 年) 曾说“美是难以定义的”。可是现代著名物理学家、1 9 3 3 年诺贝尔奖的获得 者狄拉克( 9 0 2 一1 9 8 4 ) 却又戏剧性地接上了一句：“数学美与艺术美一样，是无 法定义的，但研究数学的人鉴赏数学美并不会觉得困难。”换句话说，如果深入 地研究美学，就会发现，美并不是凭空而来的，也并不是难以掌控、无规律可循 的。本文前面的论述已经说明了这一点，世问万物的发展都符合其自身发展之 “势”；那么也可以反过来认为，符合“势”的事物发展过程，就是美韵。 因此说，审美心理定势可以从，。义上理解为一种美的规范、美的标准。之 所以会有一些事物被认为是美的，另一些事物则是不美的，就是因为它们自身的 1 4 发展之“势”不同，有一些符合了大多数人的审美心理定势，被人们所接纳，它 们被认为是美的；还有一些跟大多数人的审美心理定势不相符合，甚至相去甚远， 无法让人接受，这样的事物则被认为是不美的，甚至是丑的。 三、音乐作品中的“音势” 音乐作品中所存在着的“势”，我们统称之为“音势”。“音势”存在于所 有的音乐作品之中，音乐作品按照“音势”发展，“音势”便成为了音乐作品发 展的规律和依据。本课题借助于“音势”概念，通过分析音乐作品的音势与黄金 分割比例的关系的方法，来研究和总结黄金分割比例在音乐作品中的表现、作用 及意义。 “音势”一词从广义上讲是指包含音乐、语言等在内的所有声音的发展势。本文特指音乐的发展势。 1 5 第四章、“音势”与黄金分割理论 一、黄金分割率与音势的关系 黄金分割在欧洲艺术的审美观念之中占据着支配性的地位，一直影响着美 术、建筑等领域的艺术成果。在古代欧洲，符合黄金分割比例的造型就已经被广 泛认为是最赏心悦目的【1 8 1 。它们之所以美丽的原因，按照我们之前所探讨的“势” 的概念来理解，即为这些艺术作品自身发展之“势”符合了审美者的审美心理定 势，这种审美心理定势就是黄金分割比例的造型概念。可以说，黄金分割的观点 与“势”的概念是相辅相成的。黄金分割率作为一条审美豹原则，即是说艺术作 品的发展应该是符合这条原则的，抑或符合这条原则的艺术作品即为美的。黄金 分割率就此从一个单纯的几何问题上升为一条审美原则。 当然，我们并不是说艺术作品就一定要完全符合黄金分割率。如果持这种 观点，那便是将“势”与黄金分割比例的概念混为了一谈。实际上，它们是两个 既有区别又互相关联的范畴，这两个范畴之间的关系是包含与被包含的关系。蕴 含于立美与审美活动之中的心理定势是一定存在的，但这种定势并非绝对是黄金 分割比例。审美心理定势可能有多种，黄金分割比例也许只是其中一种，但是就 实际情况而言，黄金分割比例这种审美心理定势却较其它类型的审美心理定势有 着本质上的优越性。 审美主体的审美心理定势，只能在一定的时期内、一定的社会人群当中呈 现稳定的状态。纵观人类的发展历史，不同的时期，人类的审美标准是有所变化 的；即使是相同的历史时期，不同的社会阶层也会具有不同的审美标准。即是说， 审美心理定势并不总是确定的，而是随着不同的审美主体、不同的审美时间而变 化的。那么，是否有这样一种审美心理，它可以具有比较广泛的接纳群体和具备 相对而言比较长的稳定期呢? 黄金分割率恐怕就是这样的一种审美心理定势。它虽然只是众多的审美标 准之一，但是它却比其它任何的审美标准受到更多人的认可，也在艺术领域中比 其它的审美标准存留的时间更久。从达芬奇首次将黄金分割比例应用于艺术作品 开始，一直到近现代，黄金分割在艺术领域的地位都是无旁者可及的，它甚至被 认为是上帝创造的比例，是先于达芬奇而存在舱，因此也被冠以“神圣比例”的 光环。 既然在美术理论中，黄金分割比例能够占据如此重要的位置，那么在音乐 领域，黄金分割理论是否也具有独一无二的地位昵? 作为艺术范畴中相通的两个 领域，美术和音乐中的一些创作手法和理论当然会相互影响。从文艺复兴时期开 始，很多音乐作品的音势都或多或少的呈现出了黄金分割比例的结构特征。 二、黄金分割在多领域中的表现 黄金分割是具有最广泛影响力的审美心理定势，它在美术、建筑、生物学等 各个领域中扮演着非常重要的角色： ( 一) 黄金分割与美术设计 如果说到黄金分割比例在美术中的运用，则不能不提到达芬奇。他是最早开 始探寻人体解剖学和绘画中透视原理以及线段问比例关系的画家。这可以从达芬 奇盼“维楚维埃斯人”这一概念中体现。现存于威尼斯学术美术馆中的这幅人体 比例图，根据罗马折衷主义建筑师维楚维埃斯( 约公元前7 0 前5 ) 的理论，以 肚脐为人体的中心，手指和脚趾的移动可以形成一个圆周线，另外头顶与脚的长 度与手臂伸开的长度相等，可以以此作出一个正方形，这样便形成一个固定的人 体比例。达芬奇的所有作品中都充满了黄金分割比例，在著名油画最后的晚餐 。中，所有房间和桌子的主要比例都符合黄金分割。 除此之外，达芬奇的其他美术名作，如蒙娜丽莎等也都有黄金分割比例 的影子。黄金分割比例也被其他大多数的酒家所应用，比如大卫的名画萨宾妇 女，其画布的长宽之比正吻合黄金分割律；德加的舞女、米勒的牧羊女 等画中如添条直线，其黄金分割点正是画面的中心。 达芬奇名画最后的晚餐创作于1 4 9 5 1 4 9 8 年，现珍藏于米兰玉玛利亚德尔格契修道院。 1 7 可以说，黄金分割比例最辉煌的表现就是在美术之中。符合黄金分割比例的 美术作品俯首皆是，它早己被上升为一套完整韵美学理论，记载于美术学生的教 科书内。到现在为止，已经没有任何一个艺术设计能够完全摒弃黄金分割比例， 它作为一个恒久的美学定律，无时无刻不在影响着艺术设计者的创意思维。 与美术作品类似，在建筑领域中，黄金分割率有着同样广泛的应用【2 0 。众所 周知的神秘金字塔，它的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面( 这些 数字都出自斐波那契数列中) ，而高底和底面百分比率约为o 6 1 8 。可见，在科 学还不算发达的古代埃及，人们已经在实践着黄金分割比例这一美的奇迹。 由于黄金分割比例被人们奉为了“神的比例”，因此在古希腊，按照黄金分 割比例建造的神庙、圣殿比比皆是。法国巴黎的圣母院在比例设计上也符合黄金 分割比例的要求。 。；r+ r， 、。；。，嚣，沙 孙矜专稳。；一 ，+。，。一亳 ( 二) 黄金分割与人体 十三世纪初，意大利的著名数学家列奥纳尔德连比萨( l e o n a r d od a p i s a ，约1 1 7 5 1 2 5 0 ) 研究了大量的人体比例，发现人体很少呈现完全的对称。 人的肚脐以下的部分与身高的比接近于o 6 1 8 ；人的面部器官、甚至上肢与下肢 的比例，都基本上符合黄金分割率。其实在人体中，还有很多其它的黄金分割点， 比如肚脐以上的部分，其黄金分割点在咽喉；肚脐以下的部分，其黄金分割点在 膝关节：上肢部分的黄金分割点在肘关节。如果一个人完全符合黄金分割比例， 那么这就是“标准美人”了，大概这就是艺术家之所以在人体绘画中要运用到黄 金分割比例的原因。 在人们肉眼看不到的微观世界中，也有黄金分割比例的存在。医学实验表明， 人类感觉到最舒服的外界温度为2 3 ，而人类的正常体温为3 7 。这两个数值 之比也恰好等于o 6 1 8 ，符合黄金分割率。再研究得深奥一点，人类的d n a 基因 螺旋链也是符合黄金分割率的：每两个完整的d n a 螺旋，其长度为3 4 埃。，而宽 度为2 1 埃，其比值近似于中。m e l i hy a z i c i 对细胞中d n a 链的研究表明，d n a 是由循环的两条螺旋组成的，每一次螺旋都呈现出两个凹陷处，稍大的为2 l 埃， 稍小的为1 3 埃，这个比值也接近于黄金分割率。此外，d n a 的剖面图是一个十 边形，十边形本身便是一个符合黄金分割率的几何图形。 对于人类而言，与黄金分割比例相关的最奇妙的事情是在人类的大脑中。人 类的头脑似乎已经被深深地刻上了黄金