（应用数学专业论文）广义凸集值优化问题的最优性.pdf

摘要 集值优化问题广泛存在于参数优化、控制论、非光滑分析、不动点理论、变 分学、数理经济学等各个领域，是目前应用数学领域中备受关注的热点之一对 这一问题的研究涉及到集值分析、凸分析、线性与非线性分析、非光滑分析、 拓扑向量格、偏序理论、抽象空间中的几何理论等数学分支，有重要的学术价 值和相当的难度从数学上讲，这一问题可归结为集值映射的极值问题而刻 画极值点特征的最优性条件是其核心内容之一，是建立集值优化方法必不可少 的理论基础，也是集值优化理论的难点问题 如所周知，函数的凸性与广义凸性在优化理论及其应用中占有重要地位在 研究集值优化问题时，集值映射的凸性和广义凸性同样起着非常重要的作用 不少学者针对集值映射引入和推广了各种广义凸性另一方面，有效性是集值 向量优化的基本概念和核心问题向量优化问题标量化是研究向量优化理论的 一种基本方法由于( 弱) 有效解范围较大，收缩解的范围成为向量优化研究 的主要课题之一为了标量化和收缩解的范围，人们引入了各种真有效性的概 念 本文在集值映射的各种广义凸性假设下，基于不同的拓扑空间结构，建立 集值优化问题各种有效解在l a g r a n g e 乘子、次微分( 次梯度) 、支撑函数、标量 化、鞍点等条件下的最优性及其对偶性具体结果可归结如下 两个集合的分离或接触是定义一些有效性的基本方法，受这一思想的启 发，讨论了广义鞍点的集分离性质；在集值映射的近似锥一次类凸性假设下， 在局部凸h a u s d o r f f 拓扑向量空间，得到了约束集值优化问题的强有效解为广义 鞍点的充分必要条件；给出了约束集值优化问题的一种对偶模型，并且得到了 关于强有效解的强、弱对偶定理 在集值映射的锥凸性假设下，在实赋范线性空间，讨论了以下两方面 问题：一是结合c o n t i n g e n t 上图导数和全局真有效性的定义，引进了集值映射 在算子形式下的广义全局真有效次梯度和次微分的概念，讨论了广义全局真有 效次微分的存在性，并得到了无约束集值优化问题全局真有效解在次微分条件 下的最优性；二是直接利用( 弱) 全局真有效点集的概念，定义了约束集值优化 问题的( 弱) 全局真有效次梯度和次微分，并得到了在( 弱) 全局真有效次微分 下，由集值映射的支撑函数和l a g r a n g e 乘子所刻画的约束集值优化问题( 弱) 全 局真有效解的最优性必要条件 在局部凸h a u s d o r f f 拓扑向量空间，在近似锥，次类凸条件下证明了严有 效性和强有效性的等价性，从而推广了严有效点集和强有效点集对凸集而言相 等的结果；通过引进标量l a g r a n g e 映射，给出了广义鞍点的等价定义和基本性 质，建立了约束集值优化问题严有效解的广义鞍点定理和一种对偶规划，证明 了严有效意义下的强、弱对偶定理 在实赋范线性空间和集值映射的锥凸性假设下，首先引进集值映射相对 于给定向量的泛函型锥一h e n i g 真有效次微分的概念，并讨论了其存在性问题， 建立了无约束集值优化问题h e n i g 真有效解在泛函型次微分条件下的最优性； 其次，讨论了控制锥、目标映射和约束映射同时受扰动的集值优化问题h e n i g 真有效解的次微分稳定性问题 在集值映射最新的广义凸性( 称之为s a c h 锥凸性) 条件下，在局部凸h a u s d o r f f 拓扑向量空间，讨论了约束集值优化问题的有效解、弱有效解、b e n s o n 真 有效解、全局真有效解、h e n i g 真有效解和超有效解，建立了它们在标量化、 鞍点、l a g r a n g e 乘子下的最优性和对偶性 关键词：集值优化广义凸性有效性最优性条件非光滑分析凸集分 离定理 a b s t r a c t s e t v a l u e do p t i m i z a i t o np r o b l e mi st h ej o i n tr e q u i r e m e n to ft h ed e v e l o p m e n to fp a r a m e t e ro p t i m i z a t i o n ，c o n t r o lt h e o r y , n o n s m o o t ha n a l y s i s ， f i x e dp o i n tt h e o r y , v a r i a t i o np r o b l e ma n dm a t h e m a t i c a le c o n o m i c s ，a n di ti s t h ef o c a lp o i n tp r o b l e mi nt h ea p p l i e dm a t h e m a t i c sf i e l d t h e r e s e a r c h e so n s e t v a l u e do p t i m i z a t i o nn e e dt h ek n o w l e d g eo fs e v e r a ls u b j e c t s ，s u c ha ss e t v a l u e da n a l y s i s ，c o n v e xa n a l y s i s ，l i n e a ra n dn o n l i n e a ra n a l y s i s ，n o n s m o o t h a n a l y s i s ，t o p o l o c i a lv e c t o rl a t t i c e ，p a r t i a lo r d e r i n gt h e o r ya n dg e o m e t r yt h e - o r yi na b s t r a c ts p a c e s t h e o r e f o r e ，s t u d yo ns e t v a l u e do p t i m i z a i t o np r o b - l e mh a si m p o r t a n tl e a r n i n gv a l u ea n dc e r t a i nd e g r e eo fd i f f i c u l t y i nt h ev i e w o fm a t h e m a t i c s ，i tc a nb ec o n c l u d e da se x t r e m ev a l u ep r o b l e mo fs e t v a l u e d m a p p i n g t h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o no fs e t v a l u e do p t i m i z a t i o ni st h ek e y c o n t e n ta n da b s o l u t e l yn e c e s s a r yt h e o r yf o u n d a t i o no fm o d e r no p t i m i z a t i o n m e t h o d ，m o r e o v e r ，i ti sa l s oo n eo ft h em o s td i f f i c l u tp r o b l e m so fs e t v a l u e d o p t i m i z a t i o nt h e o r y i t i sw e l lk n o w nt h a tt h ec o n v e x i t ya n dg e n e r a l i z e dc o n v e x i t yo ff u n c - t i o n sp l a yt h ec r i t i c a lr o l ei no p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s i nt h e i n v e s t i g a t i o no fs e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s ，t h ec o n v e x i t ya n dg e n e r - a l i z e dc o n v e x i t yo fs e t v a l u e dm a p p i n g sa r ea l s ov e r yi m p o r t a n t f o rt h e p u r p o s eo fe n r i c ht h ec o n t e n to fs e t v a l u e do p t i m i z a t i o nt h e o r ya n dw i d e n i t sa p p l i c a t i o n s ，m a n yd i f f e r e n tc o n c e p t so fg e n e r a l i z e dc o n v e x i t yf o rs e t v l a u e dm a p sw e r ei n t r o d u c e da n de x t e n d e db ys o m er e s e a r c h e r s o nt h e o t h e rh a n d ，t h ee f f i c i e n c yt h e o r yi st h ek e yp o i n to fs e t v a l u e do p t i m i z a t o n t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，a n dt h eb a s i cp r i n c i p l eo fv e c t o ro p t i m i z a t i o ni s t h a te f f i c i e n tp o i n ts e tc a nb ec h a r a c t e r i z e db yak i n do fs c a l a r i z a t i o no t - t i m i z a t i o n i na d d i t i o n ，t h es t u d yo fv e c t o ro p t i m i z a t i o na r ei np a c ew i t h c o n e - e f f i c i e n c yo fs e t s s i n c et h er a n g eo f ( w e a k l y ) e f f i c i e n ts o l u t i o n si st o o l a r g e ，c o n t r a c t i n gt h er a n g eo fs o l u t i o ni st h ec r i t i c a lt a s k f o rs c a l a r i z t i o n a n dc o n r a c t i n gt h er a n g eo fs o l u t i o n ，s e v e r a ld i f f e r e n tp r o p e re f f i c i e n c yw e r e i n t r o d u c e db ym a n yr e s e a r c h e r s i nt h i sp a p e r ，u n d e rt h ea s s u m p t i o n so fd i f f e r e n tg e n e r a l i z e dc o n v e x - i t yo fs e t v a l u e dm a p s ，i nd i f f e r e n tt o p l o g i c a ll i n e a rs p a c e s ，t h eo p t i m a l i t y c o n d i t i o n so fs e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m sf o rd i f f e r e n tp r o p e re f f i c i e n t s o l u t i o n sa r ep r o p o s e di nt e r m so fl a g r a n g em u l t i p l i e r s ，s u b d i f f e r e n t i a l ( s u b - g r a d i e n t ) ，s u p p o r tf u n c t o n so fs e t v a l u e dm a p s ，s c a l a r i z a t i o n ，s a d d l ep o i n t a n dd u a l i t y t h em a i np o i n t so ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： t h ed e f i n i t i o n so fs o m ep r o p e re f f i c i e n tp o i n tc a nb ee x p r e s s e db y s e p a r a t i o no rc o n t a c t i n go ft w os e t s ，m o t i v e db yt h i sf a c t ，w ed e l tw i t h t h es e ts e p a r a t i o np r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e ds a d d l ep o i n t i nh a u s d o r f fl o c a l l yc o n v e xt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ，u n d e rt h ec o n d i t i o no fn e a r l y c o n e - s u b c o n v e x l i k e n e s s ，t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yo p t i m a l i t yc o n d i t i o n s f o rs t r o n ge f f i c i e n ts o l u t i o n sb e i n gt h eg e n e r a l i z e ds a d d l ep o i n ta r ee s t a b l i s h e di nc o n s t r a i n ts e t v a l u e do p t i m i z a i t o np r o b l e m s ak i n do fd u a lm o d e l f o rc o n s t r a i n ts e t v a l u e do p t i m i z a i t o np r o b l e m si si n t r o d u c e d ，a n dt h ew e a k a n ds t r o n gd u a lt h e o r e m sf o rs t r o n ge f f i c i e n c ya r ep r e s e n t e d i nr e a ln o r m e dl i n e a rs p a c e s ，t h ef o l l o w i n gt w op r o b l e m sa r ed i s - c u s s e du n d e rt h ea s s u m p t i o no fc o n e c o n v e x i t yf o rs e t v a l u e dm a p s ：f i r s t ， c o m b i n gt h ed e f i n i t i o no fc o n t i n g e n te p i d e r i v a t i v e sf o rs e t v a l u e dm a p sa n d g l o b a l l yp r o p e re f f i c i e n c y ，t h eo p r e a t o rt y p eg e n e r a l i z e ds u b g r a d i e n t ( s u b d - i f f e r e n t i a l ) i ns e n s eo fg l o b a l l yp r o p e re f f i c i e n tp o i n ti si n t r o d u c e df o rs e t v a l u e dm a p p i n g s ，a n dt h ee x i s t e n c et h e o r e mf o rg e n e r a l i z e dg l o b a l l yp r o p e r e f f i c e n ts u b d i f f e r e n t i a li se s t a b l i s h e d m o r e o v e r ，t h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n s f o rg l o b a l l yp r o p e re f f i c i e n ts o l u t i o na r ep r o p o s e di nt e r m so fs u b d i f f e r e n - t i a lf o ru n c o n t r a i n ts e t v a l u e do p t i m i z a t i o n ；s e c o n d ，b yu s i n gt h ec o n c e p t o f ( w e a k ) g l o b a l l yp r o p e re f f i c i e n tp o i n t s ，t h ed e f i n i t i o no f ( w e a k ) g l o b a l l y p r o p e re f f i c i e n ts u b g r a d i e n ta n ds u b d i f f e r e n t i a la r e i n t r o d u c e df o rc o n s t r a i n t s e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s ，a n dt h eo p t i m a l i t yn e c e s s a r yc o n d i t i o n s f o r ( w e a k ) g l o b a l l yp r o p e re f f i c i e n ts o l u t i o n sa r eg i v e nb ys u p p o r tf u n c t o n s o fs e t v a l u e dm a p sa n dl a g - r a n g em u l t i p l i e r si ns e n s eo fs u b d i f f e r e n t i a l i nh a u s d o r f fl o c a l l yc o n v e xt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s ，t h ef o l l o i n g t h r e ep r o b l e m sc o n c e r n i n gt h es t r i c t l ye f f i c i e n c ya r ed e l tw i t hu n d e rt h e c o n d i t i o no fn e a r l yc o n e - s u b c o n v e x l i k e n e s so fs e t v a l u e dm a p s ：f i r s t ，i ti s p r o v e dt h a tt h es t r i c t l ye f f i c i e n c yi se q u i v a l e n tt ot h es t r o n ge f f i c i e n c yu n d e r t h ec o n d i t i o no fn e a r l yc o n e - s u b c o n v e x l i k e n e s s ，a n dt h i sc o n c l u s i o ni st h e g e n a r a l i z a t i o no ft h er e s u l tt h a tt h es t r i c t l ye f f i c i e n tp o i n te q u a l st os t r o n g e f f i c i e n tp o i n tf o rc o n v e xs e t ；s e c o n d ，b yi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to ft h e s c a l a r i z e dl a g r a n g em a p p i n g ，t h ee q u i v a l e n td e f i n i t i o na n db a s i cp r o p e r t i e s o fg e n e r a l i z e ds a d d l ep o i n ta r eg i v e n ，a n dt h es a d d l ep o i n tt h e o r e m sf o r s t r i c t l ye f f i c i e n ts o l u t i o n sa r e e s t a b l i s h e di nc o n s t r a i ts e t v a l u e do p t i m i z a t i o n p r o b l e m s ；t h i r d ，ak i n do fd u a lm o d e l sf o rc o n s t r a i ts e t v a l u e do p t i m i z a t i o n p r o b l e m si sg i v e nb yu s i n gt h es c a l a r i z e dl a g r a n g em a p p i n g ，a n dt h ew e a k a n ds t r o n gd u a lt h e o r e m sa r ep r e s e n t e df o rs t r i c t l ye f f i c i e n c y i nr e a ln o r m e dl i n e a rs p a c e s ，u n d e rt h ea s s u m p t i o no fc o n e - c o n v e x i t y o ft h es e t v a l u e dm a p s ，w ef i r s ti n t r o d u c et h ec o n c e p to ff u n c t i o n a lt y p e c o n e - h e n i gp r o p e re f f i c i e n ts u b d i f f e r e n t i mw i t hr e s p e c tt of i x e dv e c t o r t h e n ， i t se x i s t e n c ec o n d i t i o n sa r ec o n s i d e r e d ，a n dt h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o r h e n i gp r o p e re f f i c i e n ts o l u t i o na r ee s t a b l i s h e df o ru n c o n s t r a i n ts e t v a l u e d o p t i m i z a t i o np r o b l e m si ns e n s eo ff u n c t i o n a lt y p es u b d i f f e r e n t i a l i nm d i t i o n ，w h e nd o m i n a t i o nc o n e ，o b j e c t i v ea n dc o n s t r a i n tm a p sa r ep e r t u r b e d s i m u l t a n e o u s l y , t h es u b d i f f e r e n t i a ls t a b i l i t yp r o b l e m i si n v e s t i g a t e di ns e n s e o fs u b d i f f e r e n t i a ld e f i n e du n d e rh e n i gp r o p e re f f i c i e n c ya n ds e m i c o n t i n u i t y i nh a u s d o r r fl o c a l l yc o n v e xt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e s u n d e rt h e 瓣 s u m p t i o no fn e wg e n e r a l i z e dc o n e - c o n v e x i t yo fs e t v a l u e dm a p p i n g s ，c a l l e d i c c o n e - c o n v e x l i k e n e s s ，f o rc o n s t r a i n ts e t - v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m sw e o b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ：t h es c a l a r i z a t i o nt h e o r e m sf o re f f i c i e n ts o l u t i o n s ，w e a k l ye f f i c i e n ts o l u t i o n sa n db e n s o np r o p e re f f i c i e n ts o l u t i o n s ；t h e l o o s e nt y p es a d d l ep o i n tt h e o r e m sf o re f f i c i e n c y , w e a k l ye f f i c i e n c ya n db e n - s o np r o p e re f f i c i e n c y ；t h el a g r a n g em u l t i p l i e r st h e o r e m sf o rs u p e re f f i c i e n t s o l u t i o n s ，h e n i ga n dg l o b a l l yp r o p e re f f i c i e n ts o l u t i o n s ；t h eh e n i ga n dg l o b - x a l l yp r o p e rs a d d l ep o i n tt h e o r e m s ；t h ef r i t zj o h no p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o r s u p e re f f i c i e n ts o l u t i o n s ，h e n i ga n dg l o b a l l yp r o p e rs o l u t i o n s ；t h eg e n e r a l - i z e ds a d d l ep o i n tt h e o r e m sf o rs u p e re f f i c i e n ts o l u t i o n s k e y w o r d s ：s e t v a l u e do p t i m i z a t i o n ，g e n e r a l i z e dc o n v e x i t y , e f f i c i e n c y , o p t i m a l i t yc o n d i t i o n ，n o n s m o o t ha n a l y s i s ，s e p a r a - t i o nt h e o r e m r “ r ( s o p ) ( u s o p ) i n t a q i a c o a c l a c o n e a g r a p h ( f ) e p i ( f ) m i n a ，d 】 w m i n a ，d 】 b e m i n a ，d h e m i n a ，d 】 g 1 m i n a ，d s t r i m i n a ，d 】 s t r o m i n a ，d 】 s u m i n a ，d 符号说明 扎维欧氏空间 实数集 约束集值优化问题 无约束集值优化问题 集合a 的内部 集合a 的拟内部 集合a 的凸包 集合a 的闭包 集合a 的生成锥 集值映射f 的图 集值映射f 的上图 集合a 关于锥d 的有效点集 集合a 关于锥d 的弱有效点集 集合a 关于锥d 的b e n s o n 真有效点集 集合a 关于锥d 的h e n i g 真有效点集 集合a 关于锥d 的全局真有效点集 集合a 关于锥d 的严有效点集 集合a 关于锥d 的强有效点集 集合a 关于锥d 的超有效点集 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任 本人签名：日期： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，l l p , 学 校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其他复制手段保存论文( 保密的 论文在解密后遵守此规定) 本人签名： 导师签名： 日期： 日期： 第一章绪论与预备知识 最优化理论与方法是一门应用性很强的学科，虽然它可以追溯到古老的极 值问题，然而，它成为一门独立的学科却是在2 0 世纪4 0 年代末随着最优化 理论研究的不断深入及其在非线性系统、控制理论、广义方程和变分问题等领 域中的广泛应用，人们面临越来越多的集值映射问题，例如 1 非光滑分析中的次微分 设，( z ) 为定义在n 维欧氏空间舻上的实值凸函数，点雪舻，集合 a ，( 牙) = r “：i ( x ) 一，( 牙) r ( z 一孟) ，v 2 r “】- 称为，( z ) 在牙的次微分映射o f ( x ) ：形一2 酽为集值映射 2 参数优化问题的可行解集和参数化映射 我们用r 表示实数集的全体，考虑参数优化问题 严吖p 川 1s 9 ( z ，t 正) 。 其中f ，9 ：俨xu r ，u u 为参数可行集 e ( u ) = z r n ：9 ( z ，t | ) 0 ，u u 显然e ( u ) ：u 一2 舻为集值映射 对每个z 形，定义映射f 如下 f ( z ) = ，( z ，u ) 】- u c ，= u s ( z ，u ) 】- ， 则f 是一个集值映射这是控制论中要用到的一个集值映射，称为”参数化” 映射 3 边缘映射 设x ，y 为两个拓扑向量空间，是xxy 到r 的泛函，考察最小化问题 vy v y ( y ) 2 冀n x f w ( x ，! ) y 称为边际泛函，令g ：y _ x c ( u ) = z x ：w ( x ，y ) = y ( 可) 2 西安电子科技大学博士学位论文：广义凸集值优化问题的最优性 即g ( y ) 是最小化问题的解的集合，显然这是一集值映射最优化理论的一个重 要内容就是研究集值映射g 文献中称g 为边缘映射1 6 1 4 ，正规对偶映射 设x 是b a n a c h 空间，x 是它的对偶空间，对任意的z x ，定义映射 j ：e _ e 如下 j ( z ) = ，x ：i ( x ) = l i x l l ，l i i i = i i z l l 则称，是x 上的正规对偶映射，这是一个集值映射 有关集值映射的例子很多，例如：非线性分布参数控制系统理论中用到单 调算子以上例子充分说明了集值映射的存在性和对其研究的必要性由于集 值映射在许多实际问题中反映到数学上是集值映射的优化问题，简称为集值优 化问题，所以对集值优化问题的研究是非线性系统、控制理论、变分问题、非 线性分析等学科发展的必然要求集值映射的优化问题具有广泛的应用前景， 而集值优化理论为这一应用提供了可靠的理论基础和分析工具但是集值映射 不是单值映射的简单推广，所以单值优化的理论和方法不能简单地推广到集值 优化问题中集值优化问题有其自身特点、内涵和困难，其研究涉及到集值分 析i t - s l 、凸分析 a l 、变分学 5 1 、线性与非线性分析【6 一、非光滑分析 4 1 、拓扑 向量格【6 一、偏序理论【6 ，7 】等数学分支由此可见对这一问题的研究有重要的 学术价值，也存在相当的难度 函数的凸性和广义凸性在优化理论及其应用中扮演重要角色在研究集值 优化问题时，集值( 函数) 映射的凸性和广义凸性同样起着非常重要的作用借 助锥偏序理论，a u b i n 1 在其专著中引入了一类重要的集值函数凸性的概念， 称之为锥凸值函数在建立集值优化理论中集值映射的锥一凸性，曾一度是 学者们运用最多的基本概念之一 1 - 3 随后，人们又引入并推广了许多广义集 值锥凸映射的概念，并且将这些概念成功用于集值优化理论的研究之中另 一方面，有效性理论是集值向量优化问题研究和应用的核心，而有效点集能被 某种标量优化问题的最优解所刻画是向量优化理论的基本原理【6 】针对这一问 题，国内外学者们相继引入了各种真有效性的概念 本文在集值映射的各种广义凸性假设下，基于不同的拓扑空间结构，建立 集值优化问题各种有效解在l a g r a n g e 乘子、次微分( 次梯度) 、支撑函数、标 量化、鞍点等意义下的最优性条件及其对偶定理本章简要介绍集值优化问题 的数学模型及其研究现状，并列出本文用到的一些关于集值映射的广义凸性和 第一章绪论与预备知识 3 集值优化问题中各类真有效性的基本概念最后说明本文的主要内容和结构安 排 1 1 预备知识 本节首先介绍一般拓扑向量空间框架下的集值优化问题的数学模型其次， 由于集值映射的广义凸性贯穿于本文始终，而锥有效性是集值优化问题研究的 核心理论，因此，为了后面章节论述的需要，本节介绍广义锥一凸集值映射与 集合的各类锥有效点的概念 1 1 1 集值优化的数学模型 关于集值优化理论的的第一篇研究论文可以追溯到1 9 8 8 年c o r l e y s 的工 作目前，谈到集值优化的数学模型，一般考虑的是极小化问题下面将集值 优化的数学模型作一简单介绍 设x 为一实线性空间，y 和z 为两个实拓扑向量空间，d 和e 分别为y 和z 中的凸点锥( 定义见后) ，并且空间y 、z 中的偏序分别由d 、e 诱导给 出设f ：x 一2 r ，g ：x 一2 z 是两个集值映射 考虑下面的约束集值优化问题( c o n s t r a i n ts e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m ) i d m i nf ( x ) ( s o p ) is z q = z 7 x ：g ( x 7 ) n ( 一e ) d ) 和无约束集值优化问题( u n c o n s t r a i n ts e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m ) i d r a i nf ( x ) ( u s o p ) 【s 丘z x 将约束集值优化问题转化为无约束集值优化问题，从理论上讲是十分有意 义的令l ( z ，y ) 表示映z 到y 的连续线性算子的集合，并记 l + ( e ，d ) = t l ( z ，y ) ：t ( e ) cd ) 定义集值优化问题( s o p ) 的l a g r a n g e 乘子映射l ：x l + 一2 y 如下： l + 全l ( x ，t ) = f ( x ) + t g p ) 】，扛，t ) x l + ( e ，d ) ( 1 1 1 ) 4 西安电子科技大学博士学位论文：广义凸集值优化问题的最优性 有了上面l a g r a n g e 乘子映射l ：x 4 ( e ，d ) _ 2 y 的定义，可将约束集值 优化问题( s o p ) 的研究转化为下面的无约束集值优化问题： id m i n ( z ，r ) ( u s o p ) t 【s z x 1 1 2 广义锥一凸集值映射 下面首先给出本文的一些符号约定设y 为任意实拓扑向量空间，为了区 分不同空间的零元，用0 y 表示y 中的零向量设a 为y 中的任意子集，与文 献中的记法一致，a 的拓扑内部记为i n t a ，a 的闭包记为c l a 如果a 为y 中的 凸子集，文献 9 】还定义了a 的拟内部，记为q i a ， q i a = 【z a ：c l c o n e ( a z ) = y ) 设a 为y 的子集，若对任意的z 1 ，z 。a ，a 【0 ，1 】均有 , k x l + ( 1 一a ) z 2 a ， 则称a 为y 中的凸集 集合acy 的凸包记为c o a ，定义为 c o a = 0 ，a 0 ，1 ，存在z 3 x ，r 0 使得 以+ a f ( x 1 ) + ( 1 一a ) f p 2 ) cr f ( z s ) - 4 - d 定义1 1 2 8 1 1 4 】称集值映射f ：x _ 2 y 在x 上是近似d 次类凸的，如果 c l c o n e ( f ( x ) + d 】是凸集 文 1 4 对集值映射的各种凸性作了详细的研究并得到如下结论： d 一凸号d 一预不变凸jd 一类凸jd 次类凸号近似d 一类凸号近似 d 一次类凸 但其逆未必成立i 圳 y a n g 1 3 】得到了下面的结果： d 凸号d 预不变凸号广义d 次类凸 并且其逆未必成立【1 3 】 徐义红f 坫1 经过论证还得到了如下重要结论： 广义d 次类凸号近似d 次类凸 由此可见，在集值映射的上述各种广义凸性中，近似锥一次类凸性是集值 映射中更为一般的一种广义凸性 最近，著名学者s a c h 1 6 】又引进了下面广义锥凸集值映射的概念，我们称其 为s a c h 锥凸性 定义1 1 2 9 i 1 6 】称集值映射f ：x _ 2 y 在x 上是s a c h d 凸的，如果 i n t c o n e ( f ( x ) + d ) 】为凸集，并且 c o n e ( f ( x ) + d ) cc l i n t ( c o n e ( f ( x ) + d ) ) 】 第一章绪论与预备知识 7 文 1 6 】还证明了集值映射的s a c h 锥凸性是比近似锥次类凸性还要广义的 一种凸性因此，在上述集值映射的一系列广义凸性中，s a c h 锥凸性是目前见 到的集值映射最为一般的一类广义凸性 当然对于集值映射还有其它一些广义凸性的概念，因这些概念与本文内容 关系不大，故在此不在赘述，关于这方面的介绍可参见文献【1 4 ，1 0 ，1 3 ，1 7 1 9 1 1 3 锥有效性理论 集值向量优化理论