（概率论与数理统计专业论文）随机过程序列与pmax的若干极限定理.pdf

中文摘要 经典的概率极限理论研究的对象主要尾随机变量的部分和的弱收敛性或强收 敛性，f 1 8 1 1 3 6 1 就是这方面的经典文献。随着实践的深入，人们越来越发现，许许多 多的实际问题都可以转化为随机变量的部分和的收敛问题或过程部分和的收敛性问 题。这类问题进一步发展就是随机过程的收敛性问题。因此，研究过程的部分和问 题，越来越引起人们的注意。 设x l ( ) ，噩( t ) ，x 。( t ) ，是r i o ，1 上的i i d 的随机元。在历史j ：，f i z z ( 1 9 5 9 ) h a h n ( 1 9 7 8 ) ：b a s s 和p y k e ( 1 9 8 5 ，1 9 8 7 ) ，j u k n e v i # i e m 4 ( 1 9 8 5 ，) ，p a u l a u s k a s 和s t i e v e ( 1 9 9 0 ) b d z a n d r y 和f e r n i q u e ( 1 9 9 0 ，1 9 9 2 ) m b l o z n e l i s 和v p a u l a u s k a s ( 1 9 9 3 ，1 9 9 4 ) 等在定 增量矩的条件下研究了正则化的部分和晶= 旷1 2 坠x d t ) 的弱收敛性，其中m b l o z n e l i s 和vp a u l a u s k a s ( 1 9 9 4 ) 在i i d 条件下给出的矩条件是目前为止最佳的。 在第一部分中，我们研究过程的弱收敛性。肖庆宪和郑祖康( 1 9 9 9 ) 在股市的背 景下提出了过程序列的一个收敛定理。林正炎、李坚高( 2 0 0 2 ) 1 4 】去掉了定理a 的 条件( 3 ) 和( 5 ) 5 、弱化了条件( 6 ) ，即 定理b 设 五。( t ) ；t 0 ，n 矾 为一列相互独立的连续过程，满足下列条件 ( 1 ) v n 1 ，x 。( 0 ) = 0 ； ( 2 ) w l 1 ，t 0 ，e x n ( t ) = 0 ； ( 3 ) v a ，b r ( 其中至少一数不为0 ) ，v s t 0 ，j 正极限 唰啪) 垒溉元1 轰n 脚甄( 讣6 础) ) 2 。： ( 4 ) j 6 0 和不减连续函数“( ) ( ，。( o ) = o ) ，v t 0 ，j 0 ，使得当8 ，t 0 ，t 时 有 s u p e i x n ( t ) 一x 。( s ) 1 2 + 6 c l u ( t ) 一u ( s ) 1 1 + 6 2 n 1 则结论仍然成立。 在第一章中我们又把林正炎等( 2 0 0 2 ) 的结果的独立过程序列推广为a n a 过 程序列( a n a 过程序列的概念参见第一章) 。也就是得到 定理1 2 1 设f 蜀。( f ) m 是a n a 过程，满足定理1 3 中( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 条件则 去e 凰( t ) ) 弱收敛于某g a u s s 过程。 v = l 林正炎等( 2 0 0 2 ) 提出了混合过程的一个结果 定理c 假设f 矾( t ) ；t 0 ，= 1 ，2 ，) 为一列p 一混合的的随机过程序列，除了 满足定理b 中的条件( 1 ) ，( 4 ) 外，还满足条件p ( 2 ”) 0 和单调非减函数“( ) ( ( o ) = o ) ，v t 0 ，| e ， 0 ，使得v s t 【o ，t s u p e i x 。( ) 一x 。( 5 ) f 2 + 。：i f “( ) 一“( s ) f 1 + “2 n l 那么 s m l ( t ) 弱收敛于某二参数的高斯过程。 、，6 y o s h i h a r a ，k ( 1 9 9 7 ) 在强混合过程序列情形下给出了一个结果。在第三章中我们 在a n a 过程情形下，改进了y o s h i h a r a ，k ( 1 9 9 7 ) 有关非随机加权的权函数的约束条 件。在y o s h i l a ，k ( 1 9 9 7 ) 中要求非随机权函数满足一致李普希兹( l i p s c h i t z ) 条件， 实际上要求了非随机权函数的一致连续性。也就是我们得到 定理3 21 设 m n 。( t ) ) 是a n a 过程序列，满足下列条件 ( 1 ) v n 1 ， 霸，( 0 ) = 0 ； ( 2 ) v n 1 ，t20 e m n ，。( t ) = o ； ( 3 ) v s 0 1 ，t l ，t j 0 ，1 ，存在中心化的高斯过程 w ( s ，t ) ： 0 ，1 x 0 1 】) 使得 g ( s ，t j ) 垒删7 ( s , t t ) ( s ，t j ) 2 。l i m o 。f ( 击三螈“s ) 嘶t t ( 击i = 1 螈“m m 羽川； ( 4 ) | 6 0 和不减连续函数“( ) ( u ( o ) = o ) ，v t 0 ，9 c t 0 ，使得当8 ，t 【0 ，即时 有 s u ps u p el m , , ，。( t ) 一蜴，。( 4 1 2 + 6 茎c t l u ( t ) 一“( s ) | 1 + 6 2 ； 7 ；2 lo 三” ( 5 ) 溉i ( 7 i n , i ( s ) 一h n , i ( t ) ) 2 “= o ( i ”( s ) 一一( t ) 1 4 ) ， 徊 ( ) ) 其中”( ) 是单调有 界连续函数， 则 去善m 扎“s ) h n , i ( ) ：( s 。) 0 1 2 ) 弱收敛于口【0 1 1 2 上姒下述为协方差的g a u s s 过程 e w ( s ，) ( s 7 ，t ) = g ( sas ；t ，t r ) 注：我们在这里把条件减弱成非一致的，也不一定是满足李普希兹条件，这样 把一些非连续性的跳跃函数也包括进去。 在第二部分中，我们探讨有广泛实际背景的极值理论。极值通俗在人们经验范 围内是很少出现或发现的，它在正常的系统( 范围) 情况下很少见随机极值现象曾 受许多的关注。如自然环境中百年不遇的洪水，地震，干旱，这些事件常打破自然界 的相对甲衡状态，对自然界以及人类生活带来重大的影响；社会环境中也有许多极 值现象发生，如经济金融领域中股市价格出现与连续平滑波动完全不成比例的异常 变化；保险领域中因异常罕见事件的发生会对人类社会，经济生活产生重大影响。 有关极值方面的综述性文章和背景性文章可以参见j a n o sg a l a m b o s ，t i l ea s y m p t o t i c o fe x t r e m eo r d e rs t a t i s t i c s ( $ e c o i l ( te d t i o n ) ( 1 9 7 8 ) 和朱国庆等的极值理论应用研究进 展评析( 2 0 0 1 ) 。金融方面的文章可以参见 口r a n c o i sm l o n g i n ( 2 0 0 0 ) 。 由于极值理论具有如此重要的应用价值，许多学者展开对极值的研究。最早主 要是研究1 - m a x ( 1 i n e a rn o r m a l i z a t i o n ) 型极值，l - m a x 极值的研究已经相当成熟，其 理论在应用统计方面的应用已经相当广泛( 较为简单介绍的可以参见文献【3 7 ) ， 其中一种很重要的技术是用p o t 。m e t h o d 来对广义的极值模型做参数假没检验( 可参 见f r a n km 。r o l - n ( 1 9 9 8 ) 【4 6 ) 。当然其中有单变量和多变量的极值之分。p a n c h e v ae 在19 8 4 的论文l i m i tt h e o r e m sf o re x t r e mo r d e rs t a t i s t i c su n d e rn o n l i n e a r ，l e c t n o t e s m a t h 中提出非线形正则化的极值思想并给出了非线形正则化的极值的儿个结果， 其中包括了p - r l l a x ( p o w e rn o r m a l i z a t i o n ) 的情形。m o h a na n dr a v i ( 1 9 9 1 ) 给出了落 在p - n l a x 型极值的吸收域的充分必要条件，并且对两类吸收域做了比较，发现落在 p - m a x 型吸收域要比落在l - m a x 型吸收域的分布函数广得多。这个研究的发现决定 了研究p - l n & x 型极值理论的必要性。有关p - i n a x 极值许多国内外学者做了研究，经 典的如；r a v i ，s ( 1 9 9 1 ) 和u r s u b r a m a n y a ( 1 9 9 4 ) 。我们在这一部分的工作也就 是将l - m a x 情形下的结论推广为 定理4 2 1 设f 是具有形为定义4 1 3 ( p 3 0 ) 定义的m i x t u r e 分布，存在分布f + ， 使得f 尾控制分布族 最，i j ，其尾率r 为使得7 = f c i t i 那么下列结论等 蛙， 价： ( i ) 存在n 。 0 ，风 0 使得f ”( o 。p “s i g n ( x ) ) _ + 日( ) ( i i ) 存在o ： 0 ，艨 0 使得f 。( 蚓成s z 9 ，( z ) ) _ 日( z ) 目有 ，j 。= ：，( v 。= n ：吖一口：，如果h d ( h g ) 卢。= 麟。= o ：7 p ：，如果h d ( h 5 ) ( ￥。= n ：，风= 艨7 ；，如果h d ( h l ，。) u d ( h a 4 ) ( 1 。= o l n + ，。= 线7 一，如果h d ( h 2 ，。) u d ( h 4 ，。) f 4 2 1 1 定理5 , 2 1 若f d p ( 日) ，h 为定义4 1 3 定义繁荣六种p - i i i p - x 极值分布之一， 则 熙赤耋：媳剑圳咖m 妇e r ( 5 zt ) 但是对任意的z o 0 ，氏 0 使得若f d 。( 日) ，h 为定义4 12 的六种p - m a x 极值分布之一。则 占恐p ( 孙( n ) 0 ，n 1 ，使得 p ( m i u ( 。) 茎) 粤日( z ) ，n _ ， 其中h 是非退化的分布函数，且u 几 o ) ，则h 属于定义4 1 2 中的六大类型 的分布之一。 定理6 2 3 设 m 。) 条件地关联 晡。) 与u a w , o ) ，且有o 。 0 、阮 ( 】，? 。 1 ，使得 p ( 蜴。) 号日( 。) ，n - 0 0 ， 其中i i 是非退化的分布函数如果非负整值随机变量序列 。) 和非负随机变量 满足 n n 与编_ 。， 则 p ( 训当厂( 砷) ) v p d p ? 蚓，斗。， 其中h 属于定义4 1 2 中的六大类型的分布之一。 定理6 2 4 设( 。) 关联f 与u r k ( p o ) ，且有o 。 0 ，风 吣b 1 ，使得 p ( 册。s ，矗) 与日江) ，- 。： 其中h 是非退化的分布函数如果非负整值随机变量序列 k 和非负随机变量目 满足 加与q ，n 叶。， 则 f u ( n ( 霸) 与( h 扛) ) ”， 一( ，。， 如果还有 m 。 独立于q ，则 p ( 。驯5 厂( 日( z ) ) 旷d p ( q 5 ) ，n 叶。、 其中h 属于定义4 12 中的六大类型的分布之一。 a b s t r a c t t h ec l a s s i c a lp r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yr e s c a r c h sl a r g e l yt h ew e a k c o n v e r g e n c e o ls t j o n g a p p r o x i i n a t i o no fp a r t i a ls u l n so fr a n d o mv a r i a b l es e q l l e u c e s t h e r ei s ac l a s s i c a ll i t e r a - t u r e ，s u c ha s 1 9 ， 3 7 a b o u tt h a t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fp r a c t i c e ，p e o p l er e a l i z et h a t l n a n yp r a c t i c a lp r o b l e m sc a nb et r a n m b r m e di n t ot h ec o n v e r g e n c eo fp a r l i a l s u n l so fr v s e q u e n c e so rp r o c e s s e s a n dal o to fp r a t i c a lp r o b l e m sc a nb er e s e a r d l e db e t t e rl w r e s e a r c h i n gt h ec o n v e r g e n c eo fp a r t i a ls u m s o fp r o c e s s e s t h e r e f o r e ，t h er e s e a c ha h o u tl i a r t i a ls i | m sc a t c h st h ea t t e n t i o n l e l ，x i ( ) ，x 2 ( t ) ，墨( ) ，b ct h ej idr a n d o me l e m e n t o n9 0 ，1 i nh i s t o r y , f i s z ( 1 9 5 9 ) ，h a h n ( 1 9 7 8 ) ，b a s sa n dp y k e ( 1 9 8 5 ，1 9 8 7 ) ，j i l k l i c v i d i e l l ( 1 9 8 5 ) ，p a u l a u s k a sa r i ds t i e v e ( 1 9 9 0 ) ，b d z a n d r ya n df e r n i q u e ( 1 9 9 0 ，1 9 9 2 ) ，m b l o z n e l i s a i l dvp a u l a u s k a se t a l ( 1 9 9 3 ，1 9 9 4 ) h a dr e s e a r c h e dt h ew e a kc o n v e r g e n c eo fn o r m a i i z e d p a r t i a ls u i l l ss l = ， 一1 2ex d t ) u n d e r c e r t a i ni n c r e l n e n tm o m e n t ，w t l e r ei n c r e n l c i l t o - i n e n tc o n d i t i o n sw h i c hm b l o z n e l i sa n dv 1 1 a u l a u s k a sf 1 9 9 4 1g a v ea r et h eb e s tu n d e ri i d c o n d i t i o ni ns o m ew a yu n t i li i o w i nt h ef i r s tp a r t ，w ed i s c u s st h ew e a kc o n v e r g e n c eo fp m t i a ls l i m so fp r o c e s s e s u n d e r t h eb a k g r o u n do fs t o c km a r k e t ，x i a oq i n x i a na n dz h e nz u k a n g ( 1 9 9 9 ) p r o v eac o n v e r g e n c et h e o r e ma l i ne ta 1 1 1 4 ( 2 0 0 2 ) d r o po f ft h ec o n d i t i o n s ( 3 ) a n d ( 5 ) ，a n dw e a k e l lt h e c o n d i t i o n ( 6 ) ，t h a ti s t os a yt h a t t h e o r e mbl c t x n ( t ) ；t 0 ，n n ) b ei n d e p e n d e n tc o n t i n u o u sp li ) c e s s c sa n d s a t i s f yt h et b l i o w i n g ( 1 ) v n 1 ，五。( 0 ) = o ； ( 2 ) v n 1 ，t20 ，e x ，。( f ) = o ； ( 3 ) v a ，b r ( w h e r eo u eo ft h e ma tl e a s ti sn o tz e r o ) ，v s ，t 0 3 p o s i t i v el i m i t 口s ，t ( n ，b 净。l 。i m 。_ n 1z e ( n 凰( s ) + b x ( 咿 。 r = l ( 4 ) 3 5 0a n dl i o n d e c r e a s i n gc o n t i n u o u sf u n c t i o n u ( - ) ( “( 0 ) = 0 ) ，v t 0 j ( b o ，s u c ht i i a ts ，t 【0 ，t 】t h e r ew i l lb e s u p e i x n ( t ) 一x 。( s ) 1 2 + 6 c w l u ( t ) 一t z ( s ) 1 1 + 6 2 7 0 】 t h e nc o n v e l 。g e sw e a k l yt os o i i l eg u a s sp r o c e s s i nc h a p t e ri ，w eg e n e r a l i z el i nz h e n g y a ne ta l ( 2 0 0 2 ) f l o mt h ei n d e p e n tp r o c e s s s e q u e n c et oa n ap r o c e s ss e q u e n c e 、t h a ti s t os a yt h a tw e g e t t h e o r e m1 2 1l e t x n ( t ) ；n 州 b ea n a p r o c e s s e ss a t i s f i e db yt h e o r e mb s ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ，t h e n 去氘( t ) ) c o n v e r g e s w e a k l yt os o l n eg u s s sp r o c e s s v ，6b 1 l i nz h e n g y a ne ta 1 ( 2 0 0 2 ) g i v ear e u l ta b o u tp m i x i n gp r o c e s s e s t h e o r e m c l e t x k ( t ) ，t o ) ，= 1 ，2 ，b cp - m i x i n gc o n t i t m o u sp r o c e s s e ss a t i s f i e ( 1b y t h et 1 1 e o r e mb 1 s ( 1 ) - ( 4 ) a n d p ( 2 ”) 0a n dm o n o t o n e ，n o n - d e c r e a s i n gf l m c t i o n “( ) ( “( ( ) ) = 0 ) ，v t 0 j 国- o , s u c ht h a tv s ，t 0 ，t s u p e i x , 。( t ) 一x n ( s ) 1 2 + 。c t l u ( t ) 一“( s ) 1 1 + “2 t l l t h e n s 川( ) c o n v e r g e sw e a k l yt os e i n et w o p a r a m e t e r s g n & s sp r o c e s s o 妇i h a r a ，k ( 1 9 9 7 ) g e tt h ef o l l o w i n gr e s u l t u n d e rt h es t r o n gc ym i x i n gp r o c g g s ，i n ( ：h a p t e r1 1 1 u n d e rt h ea n ap r o c e s s ，w e m a k eap r o g r e s si nt h er e s t r i c t e dc o n d i t i o nt b r n o n r a n d o mw e i g h e df u n c t i o n sb e l o n g i n gt oy o s b i h a x a ，k ( 1 9 9 7 ) ，w h i c hr e q u i i e st h e1 1 ( t i l 一 r a u d o mw c i g l m df u n c t i o n dt ob es a t i s f i e db yu n i f o r ml j p s c h i t zc o m t i t i o n i l lf a c t ，t h e r e s t r i c t c d c o d i t i o nr e q u i r et h eu n i f o r mc o n t i n u o u sf o rn o n - r a n d o mw e i g h e df l m c t i o n s ， t h a t i s t os a y t h a t w eg e t t h e o r e m3 2 1 ，。( t ) ) as a t i s f i e st h ef o l l o w i n g ( 1 ) v n l ，。( o ) ：0 ； ( 2 ) v 7 i l ，t o ，e m n ， ( t ) = 0 ： ( a ) v se o ，球t f ，t j o ，1 ，t h e r ee x i s t sa c e n t e r e dg a u s s i a np r o c e s s w ( s ，t ) ： o ，1 】 0 ，1 1 s u c ht h a t g ( s ；t t , t j ) 垒朋小，啪( s i 纠2 。l _ + i i n o 。尉击蚤荆h n , i ( f f ) ) ( 击蚤“旬m ”( f j ) 1 = f 4 ) 3 5 0 a n d1 1 0 1 1 d e c r e a s i n gc o n t i n u o u sf u n c t i o n u ( ) ( n ( o ) = o ) ，v t 0 3 叻1 i ) , s u e h t h a ts ，te 【0 ，t i ，w eh a v e s u p 8 u pe l m , 。，i ( t ) 一螈，。( s ) 2 + 6 e u 0 ) 一“( s ) 1 1 + 6 2 ； n l i n ( 5 ) 。l i m 1 i _ 妻l ( n 一( s ) 一 n ， ( ) ) 2 + 6 = o ( f ”( s ) ”( t ) i 9 ) ，( 。) , w h e r e u ( ) i s n l f ) l n 。l 她一 击蚤“啦m 羽) ( 砷 o t l 2 ) v e r g e s w e a k l y “圆 0 - 1 2 幻a c “n “ g a u s s s i a np r o c e s sw = f ( s t ) ：s ，t ) 0 ，1 7 w i t h e w ( s ，t ) w ( s ，t i ) = a ( s a s ：t ，t ) r e m a r k ：h e , - ew ew e a k e nt h ec o n d t i o nt ob et h a t d o e s n t r e q u i r et h en o n + 1 a l u o u l w e i g h e ( tf u n c t i o n st ob eu n i f o r m c o n t i n u o u sa n db es a t i s f i e db yl i p s e h i t zc o n d i t i o n ，w h i c h i n c l u d es o f t i en o n c o n t i n u o u sa n dj u m p i n g f u n c t i o n i nt h es c c o n dd a r t ，w ed i s c u s st h et h e o r yo fe x t r e m e v a l u ew h i c hh a sb a c k g r o m l d so f w i d es c o p e e x t r e m ee v e n t s ，w h i c ha p p e a ri if l e q u e n t l yo r a r eb e y o n dp e o p l e 7 s 3 t 。 c 1 1 c e i n e a i l sr a r e n e s sa n di l n p o i t a i t t t h ep h e n o m e a ro fr a n d o me x t f e l l l ev a l u en a ”。f 双“ a t t e n d e db ym a n yp e o p l et h e lea r eal o to fe x t r e m ee v e n t si nn a t u r e e s p e c i a l l vn a t n r a l c a t a s t r o p h e s s u c h a st h eb i g g e s tf l o o di na c e n t u r y ，e a r t h q u k e ，d r o u g h t ，w h i c ho f t e nb r e a k t i l er e l a t i v eb a l a n c eo fn a t u r e ，a n dw h i c hh a v eap r o f o u n df l u e n e eo nn a t u r ea n dp e o 【) l e l s l i f e a n ds oa r ei ns o c i e t y ，s u c ha sc o m p l e t e l yd i s p r o p e r t i o n a t ea l m o r m a l i t yo ft i l e p li c e o fs t o c km a k e ti ne c o n o m i ca n di i l f i n a n c e r a r e l ye v e n t si ni n s u r a n c e r e a d e r sw h oa r e w i l l i n gt ok n o wt h eb a c k g r o u n da n dt h es u i n l n a r i z ea b o u te x t l e m ev a l u et h e o r e yc a l lr e f e r t ot h et i a n o so a l a m b o s ( 1 9 7 8 ) a n dz h ug u o q i n ge t a 1 f 2 0 0 1 ) r e s p e e t i v e l y a n dag o o d r e t b r e n e eo nf i n a n c ei sf r a n c o i sm l o n g i n ( 2 0 0 0 ) d u et oi t sw i d ea p p l i c a t i o ni nd i f f e n r e n tf i e l d s ：c o n s i d e r a b l ea t t e n t i o nh a sg i v e nt o t h ee x t f e i n ev a l u et h e o r y e v ta b o u t1 一t l l a 2 ( f l i n e a rn o r n l a l i z a t i o ni 【l a x l w a sf i r s ts t u d l e dn o wr e s e a r c ho ft h e o r ya n da p p l ya b o u t1 - m a xt y p ei sn l o r ea n dm o r ei i l a t u r e a n d t h et h e o r j ri s a p p l i e dw i d e l yo nt h ea p p l i e ds t a t i s t i c s ( r e f e rt o 3 7 1 ) ，w h e r ea ni m p o r t a l o ， t e c h n i q u ew h i c hp l a y sai m p o r t a n tr o l e0 1 1t e s t i n gh y p o t h e s e so ft h eg v e i sp o t m e t h o d ( r e f e rt ot h ee l a s s i c a la r t i l c e ，t e s tt i l eg u m b l eh y p o t h e s i sv i at i l ep o t m e t h o d f r a n km o r o h n ：) ，i n c l u d i n gu n i v a r i a t ea n dm u l t i v a r i a t ee x t r e m ev a l u e p a n e h e v aep io p o s e dt h e i d e aa b o u t1 1 0 1 1 - l i n e a rn o r m a l i z a t i o na n d g a v es e i n er e s u l t sa b o u te x t r e m ev a l t t e ，i n c l u d i n g p - m a x ( p o w e rn o r m a l i z a t i o n ) t y p e i nh i sa r t i c l ei n1 9 8 4 m o h a na n dr a v i ( 1 9 9 1 ) g a v et h e s u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o na b o u tt i l ed o m a i no fp - f i l a x ，a n de o l n p a r i n gt h ed o m a i n o fp m a xw i t ht h a to fl - m a x ，f i n d i n gt h a tt h ed o m a i no f p l n 3 xi sw i d e rt h a nt h a to f1 - m a x ， w h i c hm e a l l st h a ti ti s n e c e s s a r yt or e s e a r e ht h ee x t r e m ev a l u et h e o r yo fp - n l a x t h e r e a r ei n a n ya u t h o r sw h oh a v es t u d i e dp n l a x ，s u c ha sr a v i ，s ( 1 9 9 1 ) a n du r ，s u b r a m a n y a ( 1 9 9 4 ) o u rw o r ki nt h i sp a r tg e n e r a l i z em a i n l yt h er e s u l t sa b o u t1 - m a x w h i c ha l r e c e n t l y g o t ，t ot h o s ea b o u tp m a x ，t h a ti st os a yt h a t t h e o r e m4 2 1s u p p o s efb ei n i x t u r ed i s t r i b u t i o nw i t ht i l ef o r m ( + ) a n dt h e r ei sd i s t r i b u t i o nf + w h o s et a i ld o m i n a t e st h e o s eo f 最，i n w i t ht a i lr a t i o sr s u c ht h a t7 = f q7 i o ， t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ( i ) t h e r ee x i s t s “n 0 ，卢n o s u c ht h a t f ”( n n i 。i 卢n s i g n ( x ) ) 口( z ) ( i i ) t h e r ee x i s t sn ： 0 成 0s u c ht h a t f + “( n 鑫雠s i 9 佗( 。) ) 叶日( ) w h e nt h e s es t a t e m e n t sh o l d ，t h en o r m a l i z i n gc o n s t a n t sa r ea r er e l a t e sa s f o l l o w i n g 卢。= 艨，d 。= 盖，y 一一：i f h d ( 日6 ) 岛= 雕，。= 嗽俨，i f h d ( 矾) ( y 。= “：，风= 卢：吖：，i f h d ( h 1 ，。) ud ( h 3 ，n ) n 。= “：，觑= 成7 一，i f h d ( 日2 。) u d ( h 4 4 ) t h e o r e m5 2 1 s u p p o s ef d p ( h ) ，a n dhb co l l eo fo n l ys i xp t y p eo fd , f c a l lp - l o a xs t a b l el a w si n e n t i o n e db yp r e v i o u sc h a p t e r ，t h e n 舰面1 荟n ；啦剑= 狮h s 铷r b u t f o r a l l x o 0 ，风 0 s u c ht h a ti ff d 口( h ) ，hb eo n eo fo n l ys i xp - t y p eo fd f s ，w h i c hw ec a l lp - m a xs t a b l el a w si n e n t i o n e d b yp r e v i o u sc h a p t e r ，t h e n 县p ( z n ( t t i 0 ：n2 l , s u c ht h a t p ( 嘲u ( 。) ) 粤日( z ) ，n 叶o 。， w h e r ehi sn o n - d e g e n e r a t ed i s t r i b u t i o n a n du 月( p 0 ) t h e nh i so n eo fs i xp - t y p e d i f i n e db yd i f l n i t i o n4 1 ，2 t h e o r e m 6 2 3s u p p o s ef a s s o c i a t e sc o n d i t i o n a lw i t h n “ ，a n d u r ( p 1 1 ) a n d t h e r ea r en n 0 ，风 0 ，n l ，s u c h t h a t p ( m 。s2 i ) 马日扣) ，n 斗9 。， w h e r ehi s n o n - d e g e n e r a t ed i s d r i b u t i o n i ft h e l ea r e n o i l n e g a t i v ei n t e g e rr a l l t o mv u i a h s e q u e n c e o j ，a n dt h e r e 、n n 0 ，卢扎 0 ，n 1