（计算数学专业论文）求解抛物型方程高精度差分格式的并行迭代法.pdfVIP

求解抛物型方程高精度差分格式的并行迭代法 赵新颖 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 伴随着科学和技术的发展，人们研究问题的深度和广度也在不断发展。 而在自然科学和现代工程技术的领域中，很多现象都是用抛物方程或方程 组来描述的。因此，用有限差分方法来数值求解抛物方程问题具有重要的 理论意义和应用价值。在求解抛物型方程的问题时，需要构造出精度高， 稳定性好，存储量和计算量都要小的差分格式。本文从理论与实际应用的 角度出发，针对一维抛物型方程的初边值问题，采用组合差商法和参数的 应用，构造和研究了高精度差分格式和其并行迭代算法，全文共分为两大 部分： 第一部分首先，在空间节点宽度为3 ，时间层宽度为3 的三层局部 节点集上设计构造了新的含参数的差分方程，并用待定系数法给出了一类 高精度的三层九点含参数的隐式差分格式，使其截断误差达到d ( r 3 + j i l 6 ) ， 随后用稳定性分析的f o u r i e r 方法给出了所得格式的稳定性条件，即该格 式无条件绝对稳定。 第二部分其次，针对本文构造的隐式差分格式，研究设计了求解抛 物型方程三层隐式差分格式的并行迭代算法，其基本思想是根据隐式差分 方程组系数矩阵的特点，把差分方程组划分为若干个子方程组来分别同时 进行迭代求解。文中给出了构造此算法的过程，并用矩阵的理论推导论证 了它的迭代收敛条件和收敛方向。它具有d ( f 3 + 6 ) 的精度阶且绝对稳定， 同时也推证了网格加密时的渐进收敛性质，即对任意网格比和任意阶子方 程组，迭代过程均收敛，且迭代收敛速度在每段中随网格点数的增加而增 力n 。 随后针对具体例子给出了数值试验结果，数值算例验证了理论分析的 正确性，表明了算法的可行性与有效性。 关键词：高精度；抛物型方程；待定系数法；并行迭代法。 i i s o l v i n gp a r a b o l i ce q u a t i o n so fh i g ha c c u r a c yd i f f e r e n c e s c h e m ef o rp a r a l l e li t e r a t i v em e t h o d s x i n y i n gz h a o ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ， j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 10 0 ，p r c h i n a ) e n g l is ha b s t r a c t a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，p e o p l es t u d y t h ed e p t ha n db r e a d t ho ft h ep r o b l e mi sg r o w i n g i nt h en a t u r a ls c i e n c e sa n d t e c h n o l o g yi nt h ef i e l do fm o d e r ne n g i n e e r i n g ，t h es i t u a t i o ni sal o to fu s eo f p a r a b o l i ce q u a t i o no re q u a t i o n st od e s c r i b e t h e r e f o r e ，t h eu s eo f f i n i t e - d i f f e r e n c ea p p r o a c ht ot h en u m e r i c a ls o l u t i o no fp a r a b o l i ce q u a t i o n s w i t hi m p o r t a n tq u e s t i o n so ft h e o r e t i c a is i g n i f i c a n c ea n da p p l i c a t i o nv a l u e a t s o l v i n gp a r a b o l i ce q u a t i o n so ft h ep r o b l e m ，t h en e c e s s a r ys t r u c t u r ea n dh i g h p r e c i s i o n ，g o o ds t a b i l i t y ，s t o r a g ec a p a c i t ya n dc o m p u t a t i o no ft h ed i f f e r e n c e s c h e m es h o u l db es m a l l i nt h i sp a p e r ，t h et h e o r ya n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n p o i n to fv i e w , f o rt h eo n e d i m e n s i o n a ip a r a b o l i ce q u a t i o no ft h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，u s i n gc o m b i n a t i o n so fb a da p p l i c a t i o no f c o m m e r c i a ii a wa n dp a r a m e t e r s s t r u c t u r ea n ds t u d yt h eh i g h p r e c i s i o n d i f f e r e n t i a if o r m a ta n di t sp a r a l l e li t e r a t i v ea l g o r i t h m ，t h et e x ti sd i v i d e di n t o t w om a j o rp a r t s ： f i r s to fa l l ，t h ef i r s tp a r t ，aw i d t ho fn o d e si ns p a c e3 ，t h et i m ew i d t ho f l a y e r3n o d es e to ft h r e ep a r t i a ls t r u c t u r eo nt h ed e s i g no fan e wd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hp a r a m e t e r , a n dg i v ec o e 仟i c i e n td e t e r m i n e df o rac l a s so f h i g h p r e c i s i o nt h r e e - n i n ep o i n t sw i t hp a r a m e t e r si m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e t oa c h i e v et h et r u n c a t i o ne r r o r , a n dt h e nu s i n gt h ef o u r i e rm e t h o do fs t a b i l i t y a n a l y s i s g i v eas t a b i l i t yc o n d i t i o nd e r i v e df r o mt h ef o r m a t ，t h a ti sa b s o l u t e a n du n c o n d i t i o n ajs t a b i l i t yo ft h ef o r m a t f o l l o w e db yt h es e c o n dp a r t ，i nv i e wo ft h i sa r t i c l ec o n s t r u c t e di m p l i c i t d i f f e r e n c es c h e m e ，r e s e a r c hw a sd e s i g n e dt os o l v ep a r a b o l i cd i f f e r e n t i a i e q u a t i o n so ft h r e e i m p l i c i ti t e r a t i v ea l g o r i t h mi np a r a l l e if o r m a t t h eb a s i c i d e ai sb a s e do ni m p l i c i td i f f e r e n c ee q u a t i o n so ft h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e c o e 仟i c i e n tm a t r i x t h ed i f f e r e n t i a ie q u a t i o ng r o u ps u b d i v i d e di n t oan u m b e r o fe q u a t i o n st os o l v et h ej t e r a t i o na tt h es a m et i m es e p a r a t e l y i nt h i sp a p e r , t h es t r u c t u r eo ft h ep r o c e s so ft h i sa l g o r i t h m ，a n dm a t r i xt h e o r yp r o o fo fi t s c o n v e r g e n c ec o n d i t i o n sa n dc o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v ed i r e c t i o n i th a sa n a b s o l u t ea c c u r a c yo fo r d e ra n ds t a b i l i t y , b u ta l s op u s ht h ec a r da tt h et i m eo f m e s hr e f i n e m e n tc o n v e r g e n c ep r o g r e s s i v ei nn a t u r e ，t h a ti s ，o nt h ea r b i t r a r y g r i da n da r b i t r a r yt h a n t h es u b o r d e re q u a t i o n s ，t h e i t e r a t i v ep r o c e s so f c o n v e r g e n c ea n dt h ec o n v e r g e n c er a t ea te a c hi t e r a t i o nw i t ht h ep o i n t si n t h eg r i di n c r e a s e s t h e ng i v eas p e c i f i ce x a m p l eo ft h er e s u l t so fn u m e r i c a le x p e r i m e n t s ，a n u m e r i c a ie x a m p l et ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s so ft h e o r e t i c a ia n a l y s i s ， d e m o n s t r a t e dt h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so fa l g o r i t h m s k e yw o r d s ：h i g hp r e c i s i o n ；p a r a b o l i ce q u a t i o n ；d e t e r m i n e dc o e f f i c i e n t ； p a r a l l e li t e r a t i v em e t h o d 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：麟导师签名：乏敛日期：辑 山东大学硕士学位论文 第一章前言 1 1概述 偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，现代的科学研 究与工程技术中，大量的数学模型都可以用偏微分方程来描述。由于它与 各种科学技术及多种理论分析有着紧密联系，十九世纪以来一直是数学科 学的中心支柱之一。许多重要的物理学、力学基本方程本身是偏微分方程， 故而寻找精度高、稳定性好的数值解法具有广泛的应用意义和科学意义。 长期以来，伴随着计算环境的不断变化，有关并行算法的研究日益增 多。我们知道并行算法就是在并行计算环境中产生和发展的。所谓并行计 算，就是将一个需要求解的问题，分解成若干个子问题，并将这些子问题 分配到并行计算机的若干处理器上，由这些处理器按照并行算法共同协调 求解这些子问题，从而完成对初始问题的求解。众所周知，从并行计算观 点看，古典显式应该是最理想的并行算法，适合于各种类型的并行机，但 这种格式是条件稳定的，特别是对多维问题，稳定性条件更显得苛刻，时 间步长受到严格的限制而隐式格式虽具有绝对稳定性，但这类方法要求 解线性代数方程组，而线性代数方程组的求解往往不宜直接进行并行计算。 这样就提出了构造出具有良好稳定性，并行性和计算精度的新的差分格式。 随着人们研究问题的深度和研究领域不断发展，对隐式差分方程的并行化 研究也逐渐深入，因此高效率的并行计算方法的研究与应用具有非常重要 的理论和实际意义。 1 2研究概况 用有限差分法求解偏微分方程问题主要的方法有显式差分格式，半显 式差分格式，隐式差分格式和交替方向隐式差分格式。其中隐式差分格式 具有精度高，稳定性好的优点。但在已有的绝对稳定的三对角线型的古典 1 - 山东大学硕士学位论文 隐式格式( 见文 1 ) 精度不高，截断误差仅为0 ( r + h 2 ) 。c r a n k n i c h o l s o n 格式精度较高，截断误差为o ( r 2 + h 2 1 c r a n d a l l 格式( 见文 1 ) 与文 2 的格式称为高精度差分格式，其截断误差均为0 ( r 2 + h 4 ) 。文 3 与文 4 给出的一族隐格式精度更高，截断误差可达到d ( r 3 + 五4 ) 以及d ( f 3 + 6 ) ， 格式绝对稳定且可用追赶法求解。在不增加节点所在区间宽度的情况下， 文 2 曾给出了一个截断误差达0 ( t 4 + h 41 的三对角线型隐格式，但它是 一个绝对不稳定的格式。文 5 给出了一个截断误差为d ( f 2 + h 4 ) 的隐格 式，故在文 6 与文 7 中作者用待定系数法构造了一个双参数三对角线型 隐格式，截断误差分别为o ( r 3 + j l l 4 ) 与d ( r 4 + 4 ) ，格式绝对稳定，可用追 赶法求解。而文 8 的格式要比上述格式都高，截断误差达到o ( r 4 + h 61 。 文 9 构造了一族三层( 特殊情况下是两层) 双参数、绝对稳定、高精度三 对角型的隐式格式，它不仅包含了文 2 与文 1 0 中所存的格式，而且还可 以得到一个截断误差为d ( f 3 + h 4 ) 的绝对稳定的差分格式，精度比文 2 ， 文 1 0 中的格式都高。为建立一维抛物型方程适合在并行机上计算的差分 方法，文 1 从一个新的角度构造了截断误差为d ( t 3 + h 4 1 的一个含参数 b - ，高精度三层隐式差分格式，其稳定性条件是届主【厂= 寺j 。在求解抛 物型方程的有限差分并行迭代算法方面，针对稳定性好且难于并行化的隐 式差分方程，文 1 2 第一次提出了构造分段隐式的思想，建立了分段显一 隐式( a s e - i ) 方法和交替分段c r a n k - n i c o l s o n ( a s c - n ) 方法，实现了分而治 之的原则，使方法具有明显的并行性质。后来文 1 3 研究了求解隐式差分 方程的并行算法，设计了诸子方程组的并行迭代求解方法并证明了其收敛 性。文 1 6 提出了分段隐式迭代并行算法，文 1 7 在此基础上构造了一类 嵌套迭代并行算法，使隐式差分格式的并行化变得简单、高效。而文e 1 8 在文 4 和文 7 的基础上构造了一类高精度嵌套迭代并行算法，它的精度 一2 一 山东大学硕士学位论文 达至u o ( r 3 + 6 ) 且绝对稳定。而文 1 4 、 1 5 3 、 1 6 具体讨论了求解隐式 差分方程的并行迭代法，给出了迭代算法的渐近收敛性质，为降低计算复 杂度，文 1 9 进一步研究了抛物型方程的并行计算问题，提出了能够加速 迭代的并行算法 1 3论文研究内容 本课题的研究目标就是构造出抛物型方程的稳定性更好、精度更高和 效率更高的算法使所求的数值解能更好的逼近精确解，提高计算能力 同时为建立具有良好稳定性、并行性和计算精度的差分方法，提出了构造 分段隐式迭代的思想，使所要求解的差分方程组变成若干个子方程的迭代 解法，从而解决了利用求解方程组时，子方程组的阶数较大以及确定关联 方程组有关常数所涉及的复杂矩阵计算问题。 本文把该理论体系具体运用到的差分格式的构造上，从理论与实际应 用的角度出发，针对一维抛物型方程的初边值问题，采用组合差商法，并 适当引入参数，设计构造了高精度差分格式和并行迭代算法，全文共分为 两大部分： 第一部分首先，在空间节点宽度为3 ，时间层宽度为3 的三层局部 节点集上设计构造了新的含参数的差分方程，并用待定系数法给出了一类 高精度的三层九点含参数的隐式差分格式，使其截断误差达到o ( r 3 + h 61 ， 随后用稳定性分析的f o u r i e r 方法给出了所得格式的稳定性条件，即该格 式无条件绝对稳定。 第二部分其次，针对本文构造的隐式差分格式，研究设计了求解抛 物型方程三层隐式差分格式的并行迭代算法，其基本思想是根据隐式差分 方程组系数矩阵的特点，把差分方程组划分为若干个子方程组来分别同时 进行迭代求解。文中给出了构造此算法的过程，并用矩阵的理论推导论证 了它的迭代收敛条件和收敛方向。它具有o ( 7 3 + h 6 1 的精度阶且绝对稳定， 同时也推证了网格加密时的渐进收敛性质，即对任意网格比和任意阶子方 程组，迭代过程均收敛，且迭代收敛速度在每段中随阀格点数的增加而增 3 山东大学硕士学位论文 加。 随后针对具体例子给出了数值试验结果，数值算例验证了理论分析的 正确性，表明了算法的可行性与有效性。 一4 一 山东大学硕士学位论文 第二章抛物型方程的高精度差分格式 2 1 问题的提出 在渗流、扩散、热传导等领域中经常遇到求解抛物型方程的问题。考 虑如下一维线性齐方程 害= 口襄，o 斛，0 斛痧。 ( 2 1 ) 初始条件是 u ( x ，0 ) = 厂( x ) ，0 x ( 2 2 ) 边界条件是 u ( o ，t ) = g o ( t ) ，o t t ( 2 3 ) ”( 厶t ) = 蜀( f ) ，o t t ( 2 4 ) 2 2 差分格式的构造 1 、局邵币点集的选取 取局部节点集为 ( _ 巾) ，( _ ，) ，( _ 彬厶) ，( _ 巾一。) ， ( x ，一。) ，x j + i , 一。) ，( x j - l , + 。) ，( x ，乙“) ，( x j + l ，“) ) ( a ) 其中：设r = 万t ( n 是正整数) 为时间步长， = 吉( m 是正整数) 为空间步 长，对区域【o ，】【o ，r 】进行等距矩形网格剖分，z ，= ，厅，t n = 玎? ，并令 【甜r = 甜( x ，乙) ，“；表示【甜r 的近似值 山东大学硕士学位论文 ， n + l 层 n 层 n - 1 层 j - 1 j j + l 图1 ，是关于时间方向的一阶向前差商，6 是关于时间方向的一阶中心差商， 舜是关于空间方向的二阶中心差商。 ，【材r ，西【材n ，西【“】：，西【”】：群【甜】：是局部节点集( a ) 上的一组关于时 间和空间的一阶、二阶差商。 定义2 1 差商的线性无关：对一差商组q ，口2 ，吼，即没有不全为0 的数毛，屯，t 使得毛口l + 七2 口2 + + 颤= o ，此时差商组q l ，嘞， 就称为线性无关 在给定局部节点集后，给节点进行编号。假设序号为：l ，2 ，s 该 局部节点集上逼近微分的差商是这些节点函数值的线性组合，现假设表达 式如下： = 喜即= a j l , a 1 2 , , a j , ) ( 【州小一，【“i s ) 7 其中 t 唧尺，即= 0 ，- i 因此差商【“】，和向量( 口口，) - - - - 对应，冈而判断差商组 的线性无关性就转化为讨论它们对应向量的线性无关性 定理2 1 设差商组为q = ( q q ，口f ) 【，= 1 ，2 ，s ，则差商组 一6 一 山东大学硕士学位论文 ，铴，口l 线性无关的充要条件是向量组q = ( q q ，口p ) 【， _ ，= l ，2 ，s 的秩为s 。其中u ，= ( “ ，【，扎，【，! r 证明：设存在s 个数向，乞，t 使得 七i + 七2 q 2 + + t 叱= 0 即 毛( q - t ，：，口h ) + 如( q ：。，口：，口：，) + + t ( 叱。，叱2 ，q ，) u ，= ( o ，o ，o ) u ， 得 侄 + 屯q 2 i + + k j 2 ，i = 0 + 也q 2 2 + + k , o t j 2 = 0 + k 2 0 t 2 ，+ + t q k = 0 由，q 2 ，线性无关，锄，叱全为0 ，即方程组( 幸) 只有零解 一艮小 营q ，= ( 口，l ，q ，2 ，q 声) u j ，j = l ，2 ，s 的秩为s 证明：任意差商有一渐近展开式 嗍孙岛孙绯讣即厅讣w 扩3 券i ：+ 山东大学硕士学位论文 旷嘲咏孙甜即厅讣州券i ：+ 。 ( 2 7 ) 一( 2 8 ) 得： 0 = ( 岛。 一q 。) 詈c + ( b j ：一q ：) 罢c + ( 岛，一q ，) + “风刮。箬l ：+ 由此可知： 即 + ( 岛- 8 , 。) 砌 b n 一6 n = o ，8 i 2 6 i 2 = o ，8 阱一6 i n = 0 ， 0 n = 8 n ，8j 2 = 6 j 2 ，8 l n = 6 n ， 所以差商的渐近展开式是唯一的。 0 1 1 2 0 r 2 + 3 0 r + 3 2 ( 2 ，一1 2 0 r 3 ) j o 即对任意的r o 均成立。 由( 2 1 1 ) 式得 1 2 0 r 2 s 0( 2 1 3 ) 又由l 一蜀2 一l 1 2 0 r 2 + 3 0 r + 3 一f 2 r 一1 2 0 r 3 ) s 由上式可得 1 5 - ( 1 - 6 0 r 2 ) s o ( 2 1 4 ) 再由一l + 9 1 2 g l i 得 1 3 - 山东大学硕士学位论文 由上式可得 一3 6 0 r 2 + 3 0 r 一9 一f 2 r 一1 2 0 r 2 1 2 0 r 3 1 s 面百丽差万而矿引( 2 1 5 ) - 4 8 0 r 2 1 2 1 2 0 r 2 j 0 ( 2 1 6 ) 由于s 【o ，2 1 ，故对任意的r o ，( 2 1 3 ) 一( 2 1 6 ) 式恒成立，综合上述并根 据l a x 的稳定性和收敛性等价定理可得如下定理： 定理2 4 对任意的r o ，差分格式( 2 8 ) 稳定且收敛 一1 4 一 山东大学硕士学位论文 第三章求解高精度差分格式的并行迭代法 3 1 算法的构造 对于问题( 2 1 ) 一( 2 4 ) 上章我们构造了一族隐式差分格式，下面 我们考虑它的高精度差分格式的并行计算问题( 2 8 ) ( 本节记为( 3 1 ) ) 格式( 3 1 ) 是无条件稳定的三层九点隐式差分格式，其截断误差为 o ( r 3 + h 6 ) ，其中，= 口去，_ ，= 1 ，2 ，m l ，刀= l ，2 ，一1 ，而且 h 。 u ；= f ( x j ) ，= o ，l ，m ( 3 2 ) ”：= g o ( 厶)甜：= g l ( 厶) n = o ，1 ，2 ， ( 3 3 ) 显然差分格式在n + l 层是严格主对角占优的。为此，可考虑用迭代法 对其求解。 将差分格式( 3 1 ) 一( 3 3 ) 写成如下矩阵形式 a u ”1 = b n = l ，2 ，_ ，一1 ( 3 4 ) 其中 a = cd dcd dcd d c 以。一1 ) 。( 。一i ) c = 1 2 0 r 3 + 1 2 0 r 24 - 2 8 r 4 - 3 d = 6 0 r 3 一r u 。“= ( “? + 1 ，甜2 n + l ，“。n + 一l l j x 7 b 是由u 1 ，u n + l , g 。( 厶+ 。) ，g ，( 乙+ 。) 决定的向量。 将系数矩阵a 分裂为如下形式 1 5 山东大学硕士学位论文 其中 这里 4 = n = a = m n m ：f4 cd dcd 0 1l n ：0 ： n i = o ： 00 d0 一dc d n 。j 0 ： ： o 0 i i n 。一j ( 辨一i ) x ( 脚一1 ) i = l ，2 ，k m 一， 0 i ( m - 1 ) x ( m i ) f = i ，2 ，k i 这里0 是与4 同阶的零矩阵，且 上 惕= m - i ，= 秩( a j ) f = l ，2 ，k ( k y 0 自然数) r i m j m - i ( 3 5 ) n 称为关联矩阵，常为非常稀疏阵。由以上分裂可导出如下迭代形式 m 川h ) ：删川】( 5 ) + 6 ( 3 6 ) 其中s 为迭代次数，m 一- 称为迭代矩阵。迭代初始向量”x o 通 常取为。于是方程组( 3 6 ) 可改写成以下与之等价独立的k 个子方程 组的迭代式： 一1 6 山东大学硕士学位论文 引理 f 4 v , t “m ) - 1 【蚴+ 岛 j 4 g 卜叫扣+ 1 ) - l u h + 1 k + 2 卜+ 1 取曲+ 6 2 ( 3 7 ) 【a g t 肘1 什d = m 1 一l 。+ 瓯 3 2 收敛性分析 下面讨论( 3 6 ) 的收敛性，并给出其收敛趋向的估计。为此引入如下 引理3 1 ( 见文 2 3 ) 设m = ( 嘞) 为n n 阵，= ( ) 为n x m 阵，m 严格对角占优，则 一偿揣 由上所述，a 和m 是严格对角占优的，为此可得高精度并行迭代算法 式( 3 6 ) 的迭代收敛性估计： m - l - v l l 。蝴 1 2 0 r + 1 2 0 r 2 + 2 8 r + 34 1 5 6 0 r + 1 2 0 r 2q - 2 9 r + 33 0 = ：一 一120r3+120r2+28r+3 o ，由够0 知0 。由( 3 1 0 ) 和( 3 2 0 ) 可知a p 。故 巾纠：盟訾 ( 3 2 1 ) 州妇，：趑鸳一 蚴 则 即 ( f ，p ) o ，z 旦旦 z ：o ，汪旦生 2 o ，k 旦旦 m ) = 峄巾砒小m 川= 竽 ( 3 2 3 ) 再假设p 是一连续可微变量，微分之，得到 儿，：盟笔趟 0 l 该问题的精确解为 u ( x ，f ) = e 。s i n x 利用本文格式( 2 8 ) 求数值解，并与精确解相比较。为方便起见，用问 题( 4 1 ) 的精确解u ( x ，t ) = p 叫s i n x 给出第一层的值 ，i 。 r = o 5 ，h = 鱼，t = o 5 定2 ，迭代步数n = 3 2 4 1 8 x数值解精确解绝对误差( 1 0 。) 五 o 0 0 1 2 o 0 0 1 20 1 6 4 3 艺 0 0 0 2 50 0 0 2 50 3 2 3 6 j c 3 o 0 0 3 60 0 0 3 60 4 7 3 1 五0 0 0 4 6 0 0 0 4 60 6 0 8 3 屯 0 0 0 5 50 0 0 5 5 0 7 2 4 9 讫 0 0 0 6 20 0 0 6 20 8 1 9 5 工，0 0 0 6 80 0 0 6 80 8 8 9 2 黾 0 0 0 7 10 0 0 7 10 9 3 1 9 而 0 0 0 7 2 0 0 0 7 20 9 4 6 3 2 2 山东大学硕士学位论文 j c l o 0 0 ( ) 7 l0 0 0 7 l0 9 3 1 9 x 1 1 0 0 0 6 8 0 0 0 6 80 8 8 9 2 五2 0 0 0 6 20 0 0 6 20 8 1 9 5 j c l 3 0 0 0 5 5o 0 0 5 50 7 2 4 9 五4 0 0 0 4 60 0 0 4 60 6 0 8 3 j c l 5 0 0 0 3 60 0 0 3 6 0 4 7 3 l 而6 0 0 0 2 50 0 0 2 50 3 2 3 6 x 1 7 o 0 0 1 2o 0 0 1 20 1 6 4 3 r = o 5h = 旦，t = o 5z t 2 迭代步数n = 3 2 4 0 0 1 8 0 x 数值解精确解绝对误差( 1 0 3 ) 五 0 0 0 0 10 0 0 0 l0 0 0 2 5 屯 0 0 0 1 40 0 0 1 40 0 2 7 3 毛 0 0 0 2 60 0 0 2 60 0 5 1 3 毛 0 0 0 3 70 0 0 3 70 0 7 3 3 毛 o 0 0 4 70 0 0 4 70 0 9 3 1 讫 0 0 0 5 60 0 0 5 60 1 0 8 5 0 0 0 6 30 0 0 6 30 1 2 0 7 黾 0 0 0 6 80 0 0 6 80 1 2 8 8 而 0 0 0 7 10 0 0 7 10 1 3 2 8 x t o 0 0 0 7 20 0 0 7 2o 1 3 2 5 2 3 - 山东大学硕士学位论文 五1 0 0 0 7 l0 0 0 7 l o 1 2 8 9 五2 0 0 0 6 70 0 0 6 70 1 2 1 0 五3 0 0 0 6 20 0 0 6 20 1 0 9 4 五4 0 0 0 5 4o 0 0 5 40 0 9 5 6 五5 0 0 0 4 50 0 0 4 5 0 0 7 9 3 6 0 0 0 3 50 0 0 3 50 0 6 1 3 五7 0 0 0 2 3o 0 0 2 30 0 4 1 2 x l $ 0 0 0 1 10 0 0 1lo 0 1 9 9 2 4 一 红色是近似解曲线，绿色是精确解曲线v a r i a b l ex 山东大学硕士学位论文 例2 、考虑初边值问题 拿：拿，o 工 o a t0 1 x u ( x ，o ) = ) 4 ( 1 - x ) ，0 x 1 u ( o ，f ) = ”( 1 ，f ) = o ，t 0 该问题的精确解为 ( 4 2 ) 如力= 詈童施咖c 删 利用本文格式( 2 8 ) 求数值解，并与精确解相比较。为方便起见，用问 题( 4 2 ) 的精确解甜( x ，f ) = 罟。喜& 七，e - k 2 t t z t s i n ( 七刀x ) 给出第一层的值“，1 r = o 5 ，h = o 1 ，t = o 5 ，达代步数n = 1 0 0 绝对误差 x数值解 精确解 1 o e - 0 0 3 五 0 0 0 2 40 0 0 2 60 1 7 9 4 恐 o 0 0 4 60 0 0 4 60 0 1 9 3 毛 0 0 0 6 30 0 0 6 00 2 6 7 4 毛0 0 0 7 4 0 0 0 6 9 0 5 1 2 0 j c 5 0 0 0 7 80 0 0 7 2 0 6 0 6 0 0 0 0 7 40 0 0 6 90 5 1 2 0 而 0 0 0 6 30 0 0 6 00 2 6 7 4 毛 0 0 0 4 60 0 0 4 60 0 1 9 3 j c 9 0 0 0 2 40 0 0 2 60 1 7 9 4 山东大学硕士学位论