（计算数学专业论文）半线性抛物型积分微分方程的半离散有限体积元方法.pdf

半线性抛物型积分微分方程的半离散有限体积元方法 摘要 本文讨论了半线性抛物型积分微分方程的半离散有限体积元方法。文章 首先给出了半线性抛物型积分微分方程的弱形式，然后对空间进行了三角 剖分，构造了线性有限元空间，建立了有限体积元逼近。同时，文章也引入 了r i t z v o l t e r r a 投影，并且得到了相关的误差估计。随后，文章证明了一些引 理，从而得到了光滑初值下的最优阶l 2 误差估计。对于非光滑初值，借助原 方程的相反问题，得到了l 2 范数下的误差阶o ( t l h 2 i n ) 。这一估计几乎是最优 的。 关键词：半线性；抛物型积分微分方程；半离散；有限体积元方法：误差 估计；光滑初值；非光滑初值 s e m i d i s c r e t ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d s f o rs e m i l i n e a rp a r a b o l i ci n t e g r o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a bs t r a c t t h ep a p e rd i s c u s st h es e m i d i s c r e t ef m i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d sf o rs e m i l i n e a rp a r a b o l i c i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h ef i r s tp l a c e t h ep a p e ri n t r o d u c ew e a kf o r m u l a t i o no fs e m i l i n e a r p a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h e nc o n s t r u c tt h et r i a n g u l a t i o no ft h es p a t i a l ，f o r m u l a t e l i n e a rf i n i t ee l e m e n ts p a c e ，a n db u i l df i n i t ev o l u m ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o n i nt h em e a n t i m e ，t h e p a p e ra l s oi n t r o d u c er i t z v o l t e r r ap r o j e c t i o n s ，a n do b t a i nc o r r e s p o n d i n ge s t i m a t e so fe r r o r s u b s e q u e n t l y , t h ep a p e rp r o v eas e q u e n c eo fl e m m a s ，a n do b t a i no p t i m a l - o r d e rl 2 - e r r o re s t i m a t ef o r s m o o t hi n i t i a ld a t a f o rn o n s m o o t hi n i t i a ld a t a ，h a v i n gt h ea i do ft h eb a c k w a r dp r o b l e mo fo r i g i n a l e q u a t i o n ，t h ep a p e rd e r i v ea ne r r o re s t i m a t eo fo r d e ro ( t 一1 h 2i nh ) i nt h el z - n o r m i ti s a l m o s t o p t i m a l k e y w o r d ss e m i l i n e a r ；p a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；s e m i d i s c r e t e ；f i n i t ev o l - u m ee l e m e n tm e t h o d ；e r r o re s t i m a t e ss m o o t hi n i t i a ld a t a ；n o n s m o o t hi n i t i a ld a t a i i 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导9 币的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：塞! l 蝤 指导教师签名： 日 在学期间研究成果使用承诺二 ； 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权 将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁 盘，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位 论文。为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学作 者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同 意；若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签 日 勤 鱼凹 堂丛斗趔 内蒙古大学硕士学位论文 第一章绪论 1 a 有限体积元的历史背景 有很多的实际物理问题都可以转化成一个相应的微分方程的形式后进行研究，为 了更好的数值模拟复杂的实际物理问题，解决好相应的数学模型问题，各种数值方程接 连出现，并且各种数值方法针对不同的问题有着各自的优势。如有限差分方法，理论体 系完善，可以处理大多数的问题，有限元方法能够适应复杂区域问题，以及常见的有限 体积法等。本文将研究半离散的有限体积元方法一只对空间进行离散。 抛物型积分微分方程应用于许多领域，例如，【1 5 1 中带有存储器的热导体材料， 【1 3 ，1 9 】中多孔介质的非局部反应流等，这些模型的一个重要特征就是它们在任何领域， 任何时刻都体现出一定量( 质量，动量，热量等) 的守恒。在用数值方法解决初边值问题 时，这是一个很有用的特性。而对于这些问题的存在性，唯一性，正则性可参见【17 】中 的证明。 为了引入研究，首先对有限体积元方法的发展作一个简单的介绍。近十年来，基于 时间积分的方程，对空间进行有限元逼近的数值方法有很多，这些方法已经得到了发 展( 参见f 5 ，7 ，1 8 ，2 4 】) 。在这类问题的研究中，最重要的工具是r i t z 和r i t z v o l t e r r a 投影， 它们用于导出在不同的索伯列夫空间下的最优阶误差估计( 参见【5 ，1 1 ，1 2 ) 。在【1 6 1 中，对 光滑初值和非光滑初值的这类问题作了研究，对于非光滑初值的齐次方程，应用半群 理论的方法可以得到最优阶l 2 误差估计。在【7 】中，当初值函数在础( q ) n h 2 ( f t ) 空间时， 应用能量技巧得到了工2 范数下的收敛阶d ( 竽) ，并证明了齐次方程在三o o 范数下的收敛 阶d ( 譬l o g ( 击) ) 。 近几年来，很多计算数学工作者致力于有限体积元方法方面的研究，例如在 【4 ，2 0 1 中，对形如( 1 2 1 ) 形式的方程进行了有限体积元离散。 这一方法的优点在于 其具有守恒特性。r i c h a r d e e w t n g 对有限体积元方法也作了很大的贡献。存 f 1 】中，r i c h a r d e e w i n g 用半离散的有限体积元方法对线性抛物型积分微分方程进行 了逼近，得到了光滑初值的l 2 误差估计，对于非光滑初值，应用能量技巧和二元讨论得 到了工2 范数下的误差阶o ( t l h 2 i n ) 。这一估计几乎是最优的。 这篇文章主要证明l 2 误差估计，由于光滑性对半离散方法进行误差估计很重要，因 此，当初值u 0 仅在l 2 ( 1 2 ) 空问时，试图应用有限体积元方法得至i j l 2 误差估计，在证明过程 中主要应用能量技巧和二元讨论。这一方法有很多优点，它与6 ，8 1 不同，在处理非光滑 初值下的三2 误差估计，还需要索伯列夫范数的负指数误差估计。因此，这一方法对于带 有顶点的凸多边形领域也是适用的。 l 绪论 对于椭圆型和抛物型问题，先前所作的研究可参见【3 ，9 ，1 4 ，2 1 ，2 2 ，2 3 。 本文将采用文献【1 j 中的半离散有限体积元方法，对半线性抛物型积分微分方程进 行逼近，然后分别导出了光滑初值和非光滑初值下的l 2 误差估计。 1 2 本文的主要工作及文章结构 本文的土要目的是用半离散的有限体积元方法解决如下形式的半线性抛物型积分 微分方程 卜川似乳) = i f o tv - ( 厕吣) ) d s + z 0 t v ( 嘶) ) d s + f ( u ) ，伽眠上 u：0，d礼aqj( 1 2 1 ) 【钍( ，o ) ：u 。，讯q ， 其中，q r 2 是有界凸多边形领域，边界为a q j = ( o ，卅，且t o o ，毗= 赘，a = n 巧( z ) ) 是q 上的对称一致正有限的2 2 矩阵，0 c osi | a i i c 1 ，b = b 0 ( x ，t ，s ) 是一个 正有限的2 2 矩阵，e = ( e 1 ( z ) ，e 2 ( z ) ) t 是一个有界的向量函数，非齐次项，( 让) ，以及 n 巧( z ) ，b q ( z ，t ，s ) ，e l ( x ) ，e 2 ( z ) 都假定是光滑的，且函数，( t ) 满足： ( 1 ) l i p s c h i t z 条件，即l f ( u ) 一厂( u ) l c l u u f ，v u ，t ，c ( q ) ，其中c 是任意常数。 ( 2 ) i ，( u ) i c l t , l ，v u c ( q ) ( 3 ) i 五( “) isqy u c ( q ) 为简单起见，令a u = 一v ( 4 v u ) ，b ( t ，s ) 仳( s ) = 一v ( 明u ( s ) ) ，e u ( s ) = 一v ( 优( s ) ) 注意在本文中主要应用了c a u c h y s c h w a r z 不等式，y o u n g 不等式，并且文中的误 差估计系数c 是一个一般的正常数，它不依赖于网格常数毳，可能依赖于t 。 这篇文章用半离散的有限体积元方法对( 1 2 1 ) 进行了逼近，分别导出了光滑初值和 非光滑初值下的l 2 误差估计。本文的组织结构安排如下，在第一章中给出了本文所涉 及的预备知识。在第二章中给出了半离散有限体积元逼近的弱形式，建立了有限元空 问下的有限体积元逼近，证明了先验估计及一些有用的引理。在第三章中引入了r i t z v o l t e r r a 投影，并得到了相关的估计。在第四章中应用几个引理，得剑了光滑初值下的 最优阶l 2 误差估计。在第五章中借助原方程的相反问题，得到了非光滑初值下的几乎最 优阶2 误差估计。 2 内蒙古人学硕十学位论文 第二章有限体积元的定义 令a ( ，) ，b ( t ，s ；，) 是砩( q ) h o ( q ) 上的双线性形式，定义为： a ( ，u ，t ，) = a ( z ) v u v v d x ；b ( t ，s ；t ( s ) ，”) = 曰( z ，t ，s ) v u v v d x ( 2 0 1 ) 且令 e ( u ( 5 ) ，”) = 既( s ) v v d x 抛，u 硪( q ) 由a ( ，) ，b ( t ，s ；，) ，e ( ，) 的定义，应用c a u c h y s c h w a r z 不等式易得： i i a ( t ，口) isc i l 1 1 i 召岛s ；让s ，t ，) f c l i u “1 f f 笤f 1 1 ( 2 o 2 ) l i e ( 让( s ) ，u ) i v i l l i i | i v l l x i a ( u ，t ) c o 瞪 为了进行有限体积元逼近，现考虑如下弱形式：求牡：了一硪( q ) ，使得 ( u t ， ) + a ( u ，t ，) = 一b ( ，s ；u ( s ) ，v ) d s 一e ( t ( s ) ，v ) d s + ( ，( u ) ，口) v v 础( q ) ( 2 0 3 ) j 0，0 且u ( o ) = u o ，t 了 其中，( ，) 和l l 。l | 表示上2 内积和l 2 ( q ) 上所诱导的范数进一步的，用w m p ( q ) ( 1 p o o ) 表示索伯列夫空间索伯列夫空间上的范数定义为 i i 训i m , p , n l i 训i m ，p _ ( 上i 纛i d i p ； 1 p c x ) 对p = o o 可作修改当p = 2 时，用俨( q ) 表示w i n , 2 ( q ) ，用”i i m 表示范数迸一 步的，日_ 1 ( q ) 表示在硪( q ) 上的所有有界线性函数空间对于函数h 一1 ( q ) ，它对函数 让硪( q ) 的作用表示为( ， u ) ，它也表示h - 1 ( q ) 和硪( q ) 的对偶对为简单起见，用( ，) 既表示l 2 内积又表示h - 1 ( q ) 和础( q ) 的对偶对 2 1 先验估计 以下引理给h 了当解u 满足( 1 2 1 ) 时的先验估计，且假定初值函数u o 满足正则性 引理2 1 令札满足( 1 2 1 ) ，若u 0 l 2 ( q ) ，( u ) l 2 ( n ) ，则有 以 i i = ( t ) 1 1 2 + i l u ( s ) 1 1 2 d s c i l , , o i l 2 ，0 进一步的，若u o 硎( s 2 ) ，( u ) l 2 ( 2 ) ，则有 ，- i l u ( t ) 1 1 2 - 4 - i i u 。( s ) 1 1 2 d s c i n o l l ； ，o 3 有限体积元的定义 让明： ( 1 ) 在( 2 0 3 ) 中，令口= 札得 ( 抛，锃) + a ( 珏，珏) = 一t b ( ，s ；牡( s ) ，牡) d s t e ( 铭( s ) ，珏) d s + ( ，( “) ，珏) 由( 2 0 2 ) ) 及y o u n g 不等式，可得 三磊d 忡) 1 1 2 + c o i i u ( t ) 1 1 1 2 - c t i i u ( s ) 1 1 1 d s i i t t i i - + c z 。i i u ( s ) 1 1 d s i i u i i ，+ i l l ( 札) 1 1 i i u 瓤懈) 1 1 - 钟+ 洲i i1 2 + 瓤i i 乱( s ) l i d s ) 2 + e l l 让1 1 2 c f o 。i i “( s ) 1 1 2 d s4 - e l l u 皤+ g i i 乱1 1 2 令e = i c o ，得 翱d 让) 1 1 + 差c 0 i i u i i ；cf 0 2i i u ( s ) l l ；d s4 - c i i 缸1 1 2 上式从。到积分得 i ) 1 1 2 + f o 。i c ( 1 1 乱o l l 2 + 厂。厂8i 厂。i i ) 1 1 u ( t ) l l l u ( s ) l f f d 8 c ( 1 l 蛳l ll u c r ) t l ；d r d s 4 - 1 ( 8 ) 1 1 2 d s j oj oj 0 )i 2 + i 2 + i 2 ) 应用g r 伽 口z f 引理得 i l u ( t ) 1 1 “石2i i 小) l l ；d s _ c l l 咖1 1 2 ( 2 ) 在( 2 0 3 ) 中，令u = 毗得 ( u t ，l t t ) + 撕池) = 一z 。础，s ；u ( s ) ，d s te ( 吣) ，训d s + ( m ) 川 上式从。到t 积分得 z 2 。( s ) 1 1 2 d s + 0 2 三芝a ( u ，t t ) ) d s = 一t sb ( s ，r ；让( r ) ，钍。) d r d 3 一t se ( t t ( r ) ，牡。) d 下d s + 肛池) d s 分别估计有端各项，由于 ts b ( s 一扎( 丁) ：u 。) 打幽= z 。b ( s 一札( 丁) ，u 。) d s d 丁 = z 2 b ( t ，丁；u ( 丁) ，u ( ) ) d 丁一tb ( 丁，r ；乱( 丁) ，u ( 丁) ) d r z 2z 8s s ( s ，丁；“( 丁) ，u ( s ) ) d 丁d s 所以由y o u n g 不等式可得 , o 。f o b ( s ，f ；t t ( r ) ，u 。) 打d s i c 胁1 1 1 1 | 邮) 1 1 t 打+ c 0 2 ( r ) l i n d , + c o 。z 5i i 咖) 1 i m s 川渺d 5 譬z 。i | 乱( 下) | i ；d 丁+ e l | u ( ) i i ；+ c o 。z 8 i i 乱( 丁) lj f d 丁d s _ c o l i u ( 5 ) i i ；d s + e i i u ( ) i | 4 又因为 因此 内蒙古大学硕士学位论文 v ( e ( z ) t l ( 7 - ) ) i i i | t ( 7 - ) ( v e ( z ) ) i i + l l e ( x ) v u ( 7 一) i i c i i u ( 7 - ) 1 1 1 一e ( 钍( 丁) ，t b ) l = i 一e ( z ) 札( 丁) v u 。d x l = i v ( e ( z ) u ( 1 - ) ) u 。如 ，nj q c l l v ( e ( z ) 仳( 7 i ) ) l i i l t ，| i c l l u ( ，- ) l l a l i u 。l l | 一z 。8e ( 仳( r ) ，u 。) d ，d s l c o 。o 。i i u ( 丁) 1 1 - i i u 。i l d r d s 詈z 0 81 1 缸汀) l i i , 扔- a , + e o i i t t 5 1 1 2 d s _ 詈z 2i i 钍( 钏曙如+ ez 。i l f | 2 玉 而 , o ( m ) ，u 泓s i t 忖( u ) i i 钍川d 5 c 厅i u ( s ) 1 1 1 l 仳。i l d s 瓢i i 小) 1 1 2 d s + z i i 圳i i d s 因此，把这三项的估计带回原式得 f tii(s)112+cdii口()tlcdiitloii+詈r。ii珏(s)li玉+ttuall2+eii程()11dsds0j 0j 0 i i ( s 2 + c d 口( c d | | 珈惦+ 导 珏( s ) 孵玉+ 2 + e 程( c 选择合适的e ，并由引理2 1 可得 ，l ，i h ( s ) 1 1 2 d s + i l u ( t ) l l ；c i l u o 旧 引理2 2 令u 满足( 1 2 1 ) ，若u o h 2 ( q ) r l 础( q ) ，y ( u ) l 2 ( q ) ，则有 ( 1 ) l l u t ( t ) 1 1 2 + 后i l u 。( s ) l l i d s c ( 1 l - , ( o ) 1 1 2 + i i 咖i i ；) ( 2 ) 5 | i 。( s ) jj 2 d s + t t n t ( t ) l l ；c l l z , o l l l ( 3 ) l l u ( t ) 1 1 2 c l i 乱o i l 2 ( 4 ) 后s l l u 。( s ) l l ；d ssc l l u o l l ； 证明： ( 1 ) ( 2 0 3 ) 对t 微分，得 ( u t t ，口) + a ( u t ， ) = - b ( t ，t ；t ( ) ，口) 一b t ( ，s ；t ( s ) ，v ) d s e ( t | ( ) ，u ) + ( 九( u ) 抛， ) ( 2 1 4 ) 令上式中u = u ，得 丢爰( 锄，u t ) + a ( 毗，毗) = 一b ( ，；“( ) 毗) 一o 。鼠( ，s ；“( s ) ，毗) d s - e ( u ( ) ，u t ) + ( 九( u ) t t t ，毗) 有限体积元的定义 由( 2 0 ，2 ) 及y o u n g 不等式，可得 三刻d “t i l 2 + c o l l t t c 惦 c 1 乱( t ) l lz l l u t l l l + c7i l u ( s ) l l l d s l l u t l i x4 - c l l - ( t ) l | j l u t l x + i l 九( u ) 毗1 i l l u | | _ 。_ e l l u ( 圳；+ e l i 妣旧+ 一c o i i u ( s ) l l ；d s + c i i 牡t i l 2 令e = l c o ，得 壶d l l u t i l 2 + 翱u t i l ；- c i i 仳i i i + c z 。i i “( s ) i i d s + c t i l 2 再从。至l j t 积分得 i l u , ( t ) 1 1 2 + 厂。) l l ；d s c ( i i 饥( 。) 1 1 2 + o 。i i+ o 。厂8i l 让( 丁) i i ；打d s + ，“i l 牡s i i l u i l u ( s ) l l ；d sl u o ) l l ；d s t 112ds)j0 j 0j 0j 00 ( t2 + 。c ( i i 饥( o ) 1 1 2 + + i l 让( 7 - ) i i ；打d s + 牡。2 ， 由引理2 1 得 i i u t ( ) 1 1 2 + l i u 。( s ) i i ；d s c ( 1 l , “( o ) 1 1 2 + 1 1 咖1 1 ；+ l i u 。1 1 2 d s ) 由g r 肌伽口“引理得 i - d t ) 1 1 2 + f i l 嘞( s ) 孵如c ( 1 l u ( o ) 1 1 2 - t - 1 1 0 1 1 ；) ( 2 ) 在( 2 1 4 ) 中，令移= t u 扰得 ( 毗，撕) + a ( u t ，t u t ) = 一b ( t ，；t | ( ) ，鳓) 一b t ( t ，s ；t 正( s ) ，t u t t ) d s e ( u ( ) ，t u f t + ( 凡( t 1 ) u t ，t u f t ) 由于 t a ( u t ，仳神= 三丢舭( 洲m a ( u t , u t ) 因此对上式从。到积分可得 t s i i u 。( s ) 1 1 2 d s + 互1 a ( u t ，u t ) = 丢z a ( “。，扎。) 如一f o o ts b ( s ，s ；u ( s ) ，u _ d s 一o s8 风( s ，下；u ( r ) ，u 。) d 下d s z 。s e ( u ( s ) ，仳劫d s f t + s ( 九( 让) t 正s ，u s 。) d s = 1 1 + 2 - i - 3 + 1 4 + 1 5 分别估计右端各项，由( 2 0 2 ) 得 1 1 1 i c l i u 。i i i d s 由于 2 = 一s b ( s ，s ；u ( s ) ，u 8 8 ) d s = z 。5 b ( s ，s ；吣) m ) d 8 + z 0 t s b ( s ，s ；u 洲3 ) d 5 + tb ( s s ；u ( s ) ，u 。) d s - t b ( c ，驰( f ) ， 6 内蒙古大学硕士学位论文 因此由( 2 0 2 ) 及y o u n g 不等式可得 l 如i c i l u ( s ) 1 1 1 1 i u 。i i l d s + c s i l u 。i l i a d s + c t l l u ( t ) j l a i i m l l l ，e，1 c i l u c s ) l l d s + c i i 乱。i i ；d s + 导i l u ( t ) l i ；+ 以i i u i i ； ，0j o t 对如，交换积分顺序可得 如= z ，酬叩川丁n d s d r = 0 0 8 玩( s 一札( nu 。) d r d s + z 0 8s 岛。( s ，一u ( 丁) ，t t 。) 打d 5 一o 。t 鼠( t u ( 下) ，u t ) 打 + z 。r 研( r ，r ；让( r ) ，让，) d r l 如fsc o o 。( 下) l l i i “川，打d s + c z 2 圳乱( 丁) l l - l i 毗1 1 1 打+ c t t ( 下) l l t l u f i i l 打 c o 8 ( 刊片打幽+ c z 。川 如+ 一c 0 2i m 刮曙打+ 训l 曙 暂( 下) l f f d r + c 2 川；d s + a l l 训悖 厶= 一ts e ( 珏( s ) ，让。) d s = te ( ( s ) ，) d s + z 。s e ( ，u 。) d s - t e ( 让( nt t ) ，c， i 4 i c i l u ( s ) l i i i 缸。i l x d s + c s l l u 。l i i i u 。i l l d s + c tj l u ( t ) j i i i 毗1 1 1 j o，0 c 小( s ) t i g r i s + e 小川街孤驯| 2 + 圳； 1 1 5 1 - ts l l ：。( 让) 叫| i i u 。l i d s _ c z s m m i d s c o 。1 2 d s + o 。s 1 i u 1 2 d s 因此，综合以上各式可得 t s l l j 1 2 d s + 互1 c o l i i c o l i “( 洲幽+ c 0 2 叫i 弛+ 翱u ( 圳； + e t 旧+ e s i i 让。i1 2 d s 选择合适的e ，就有 z 札。1 1 2 d s + 牝i i i c o 。忡) i 曙d s + c f o 叫曙d s + c l l 仳( 伽 由于i i 札( o ) i i c l l 咖1 1 2 ，因此由引理2 1 及引理2 2 得 s i i u 。( s ) 1 1 2 d s + t l l u ( ) i i ；c ( 1 l u o l l ；+ i l u 。( o ) 1 1 2 ) c i l 伽l l ； 有限体积元的定义 ( 3 ) 由( 1 2 1 ) 得 a 乜= 一让t z 2b ( ，s ) 牡( s ) d s z e n ( s ) d s + ，( 珏) 由椭圆的正则性得i i a u l l q i l u i l 2 且 l | 一b ( t ，s ) u ( 5 ) l l = i i v ( 四u ( s ) ) i l i i v b v u ( 0 1 l - 4 - i i b ( v w 0 ) ) i l c 1 1 , z 1 1 1 + c l u l l 2 cj i 叫1 2 l i e u ( s ) l l = l l v ( 钆( s ) ) l i i i t 上( s ) v e l i4 - i l e v u ( s ) i l c l l u l i + c i l 比l hsc l l u l l 2 由于l h ( o ) i isc 1 1 伽1 1 2 ，因此由引理2 2 知i h ( t ) l l c 1 1 坳1 1 2 所以对原式左右两端取l 2 范数得 2 圳吨l l + c 上懈) 忪+ 慨“) 1 1 ) 1， c ( q ) ( i m i4 - | l u ( s ) 1 1 2 d s + | ) 由引理2 1 得 i l u l l 2 c ( 1 l u o l l 2 + i l u 0 ) 1 1 2 d s ) 由g r o n w a l l 弓1 理得 i l u l l 2 c 1 1 仳0 1 1 2 附注2 2 ： ( i ) 对上式先平方，再从。到t 积分，有 ，_ i l 札( s ) 惦d s c t i l u o l l ；sc l l 乱。幔 ( i i ) 由于 ( z l i u ( s ) 1 1 2 d s ) 2st o 。( s ) i 偿d ss c z 。( s ) l 偿d s c i | 伽l 睦 因此 l l u ( s ) 1 1 2 d ssc i l u o l l 2 ( 4 ) ( 1 2 1 ) 两端对求导，可得 ， a u t = - u t t b ( t ，t ) u ( t ) 一b t ( t ，s ) u ( s ) d s e u ( t ) - i - 九( u ) - u t ，0 左右两端取驴范数，由椭圆的正则性可得 1，t 1 1 撕1 1 2 圳毗i i + c l l t f 1 2 + c z 2 d s + c 删1 - 4 - t 1 ) l i ) ， c ( 口) ( 1j 乱扰l i + l l u l l 2 - i - i l u l l 2 d s + i l 抛i i ) 8 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 内蒙古人学硕士学位论文 对上式左右两端先平方，再同时乘以，从。到积分可得 z 5 i l 仳。( s ) l i ；d ssc ( z 2s l i u 。1 1 2 d s + f 0 2s i i u ( s ) i i ；d s + f o 。z 8s i i u ( 丁川；d 丁d s + f o 5 i i u s l i ；d s ) c ( 5 i l 让。1 1 2 d s + i l u ( s ) l l ；d s + 8 1 1 t , 。l i n d ) 因此由引理2 2 及( 2 1 5 ) 得 s i l t 。( s ) 幡d s c l l u o l l ； 引理2 3 令t t 满足( 1 2 1 ) ，若咖l 2 ( q ) ，( u ) l 2 ( q ) ，则有 ( 1 ) t l l , , c t ) l i ；+ 后s l l u 。( s ) 1 1 2 d s c l l - o l l 2 ( 2 ) t 2j l u t ( t ) 1 1 2 + 詹8 2 i l ( s ) 旧d s c l n o l l 2 ( 3 ) t l l u ( t ) 1 1 2 c l l 乱o l i 证明： ( 1 ) 在c 2 0 3 ) 中，令 = 池得 ( 妣，t 正) + a ( “，r u t ) = 一b ( ，s ；t 正o ) ，t u t ) d s 一e ( t t ( s ) ，t u t ) d s + ( ，( t 正) ，t u t ) 由于 a ( u , t 毗) = 丢忑d t a ( u ，u ) 一主a ( 乱，让) 所以对上式从0 到积分得 s l l u 。1 1 2 d s + 互1t a ( u ，u ) = 三ta ( u ，乱) d s z 。z 3b ( s ，r ；也( r ) ，s u s ) 打d s i ti se ( t t ( r ) ，s 乱。) 打d s + o ( ，( u ) ，s 牡s ) d s 分别估计右端各项，由于 一z 。z 8s b ( s u ( 下) ，u 。) d 下d s = 一z 。t s b ( s u ( 下) ，u 。) d s 打 = t 8b ( s ，丁；让( r ) ，( s ) ) 俐s + o z 8s b s ( 旷；让( 丁) ，牡( s ) ) d t d s 一t b ( t ，1 i ；u ( r ) ，u ( t ) ) d t + r b ( 1 - ，下；u ( 丁) ，乜( 下) ) 打 因此，y o u n g 不等式可得 i _ o s s b ( s ，丁；u ( 丁) ，u 。) d r d s l c上上11,4r)1111|u(s)11-打ds+c2上ilu(丁)11lilu(t)11rt i t - d 7 + c 上i tr i l u ( 7 - ) i 曙d 7 - r s c z z 8 i i 时) ；d t d $ + cf o 。i i 小) d s + a l l ) | i ；+ cf o 。i i 时) d r s 等l u ( s ) l l d s + 训i u ( ) i i ； 9 有限体积元的定义 同理 i z z 8s e ( “( 丁) ，札。) 打d s i = i z 。，s e ( 仳( 丁) ， 。) d s 打l = , o 。r 脚州s ) ) d t d s - t t e 丁n m z r 即州州d r i c o f 0 5i i 札( 丁) 1 1 i i 铭( s ) 1 t - 打幽+ 优f 0 2i i u ( r ) 1 1 i i 缸( ) 1 1 打+ c t t i i u ( r ) l i i i 钍( r ) 1 1 打 c o 0 5l i 毯( 丁) l l ；d 1 d s + cz o 。l 暂( s ) 1 ；2 1 d s + 孚z i u ( ，一) 1 1 2 打+ 矗i i 钍( t ) i i + cz 。下l l 乱( r ) l l i d r 瓢i i 小) i i ；d s + a l l ) l i ； 又因为 , o 。s ( ，( u ) ，u 。) d s i ts i l l ( u ) 1 1 - i i u 。i i d s c o 。s i i u i i l i t t 。i i d s c o 。i i 训；出+ z 2 8 1 1 s l l 2 幽 因此综合以上各式有 i i u 。2 + i i ；c ”l i + 譬厂。i l u ( s ) i i ；d s a l l ；+ ez 。s i i 乱。i l i i d s c o t l l u ( t ) l l i l u ( s ) l l ；d s - t - a l l u c t ) l l i12dsjo j 00 u 。2 +；c + ；i l u ( s ) i i ；d s；+ e s i i 乱。2 c ， 选择合适的e ，并由引理2 1 得 r t，c s l i 札。i 1 2 d s + t i l = c t ) l l ；c l i t t ( s ) i i ；d ssc i l 如1 1 2 ( 2 ) 在( 2 1 4 ) 式中，令u = t 2 u t 得 ( 乱纨2 毗) + a ( 铆，2 毗) = 一b ( ，；牡( ) ，2 毗) 一 b t ( t ，s ；u ( 5 ) ，t 2 t 正) d s e ( t 正( ) ，t 2 毗) ， ，0 + ( 凡( u ) u t ，t 2 u ) 由于 2 u t t , u t ) = 圭爰 2 ( u 洲) ) 叫缸栌t ) 所以对上式从0 刽积分得 却础i i z 。s i i h 。1 1 2 d s + t s 2 a ( u 剁泓s = 一t s 2 b ( s ，s ；u ( s ) u 泓s z z 8s 2 鼠( s 丁；u ( 丁) ，u 。) d r d s - ts 2 e ( 札( s ) ，u 泓s r t + 8 2 ( 厶( u ) u 。，u 。) d s 1 0 内蒙古人学硕十学位论文 因此由( 2 0 2 ) 及y o u n g 不等式可得 去t 2 1 1 2 + c 0 s 2 i i d s z 2s s i l 2 d s + c z 0 t8 2 ( s ) 1 1 1 。i i d s + c z 2 8 8 2 1 1 u ( r ) 1 1 t i l u s l l 打如 + c 8 2 i l u ( s ) l i i i 让。i l l d 8 - 4 - c s 2 i i 厶( u ) 仳。”i l 札。i i d s ) 甜s i | 训2 幽+ 豺怯( s ) 晴幽+ e 和枷出+ 瓢0 8 惦批+ c z 0 t 8 2 2 幽 令f = 勺，得 却训2 + 三c op 川 d s 0 ，使得 c 一1 h 2 m e a s ( v i ) c 2v 啦霸 其中，h 足所有元k t h 的最大直径 有多种方法引进正则对偶网格，它取决于在每一个元k t h 上点q ，以及在它边 上点的选取本文中，点g 为每一个元k t h 的重心，点x i j 为k 边界的中点。显然， 若孔是正则的，也就是存在一个常数c ，使得 c 2 m e a s ( k ) 2 其中，h k = d i a m ( k ) ，v k t h ，这时对偶网格瑕也是正则的。 为了进行有限体积元逼近，令甄是定义在三角剖分上的标准线性有限元空问， 1 2 内蒙 大学硕士学位论文 s h = v c ( q ) ：训七是线性的v k t h ，且训舰= 0 它的对偶体积元空间研， 垅= 砂l 2 ( q ) ：训掣是常数v v 霸，且v l o n = o 显然，瓯= s p a n 妒i ( x ) ：翰明) ，懿= s p a n 妒d x ) ：甄螂 ，其中，也是与结点x i 有 关的标准结点基函数，咖是体积元k 的特征函数令如：c ( n ) _ 甄，弦：c ( a ) 一睇是一 般插值算子，即： 霸铭( z ) = 瓴锄扣) ， 矾n h 氍珏( z ) = 磁识( z ) x i e n h 其中u i = t ( i ) 有限体积元逼近定义为：求函数u h ：了一鼠，使得 f tf t ( u h t ，珑x ) + a ( u h ，菇x ) = 一b ( t ，s ；t ( 5 ) ，赋x ) d s f e ( u h ( s ) ，珐x ) d s + ( ，( u ，1 ) ，虻x ) v x 魏 ( 2 2 1 0 ) 其中u ，l ( o ) = 瓦咖，瓦u o 是u o 到& 的厶2 投影，定义为： ( p a u o ，嫒x ) = ( t 0 ，磊x ) v x 魏( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 0 ) 中的的双线性形式a ( ，) ，b ( t ，s ；，) ，e ( ，) 定义为： a ( u ，口) = 一哦厶a ( x ) v u 。n d s x x _ i e n n 。” b ( t , s ；t l ，u ) 一协厶b ( x ，, s ) v u n d s x x t e n h 。w e ( u , v ) = 一仇厶e ( z ) 牡- n d s x z e n h 。” 其中( 乱，u ) ( ( 础f l h 2 ) u 瓯) x 晶，n 是所涉及积分领域的外法向量当( u ，口) 础( q ) n 础( q ) ，双线性形式a ( ，) ，b ( t ，s ；，) ，e ( ，) 由( 2 0 1 ) 给定 为了描述( 2 0 3 ) ，( 2 2 1 0 ) 中的线性形式的特征，常用以下魏及既上的一些离散范数： l 乱h 睦 =