（应用数学专业论文）一类具有暂时免疫传染病模型的定性分析.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 基鳖日期： 型丛! 堕! 堕 学位论文版权使用授权书 本 1 引言 fs 0 ) = 一j 日( j ，s ) 一6 s + r 咒十b ( ) ， j ( ) = 日( j ，s ) 一( 6 + u ) ， ( 1 1 ) 【r ( 亡) = 口，一( 6 + r ) r ， 这里s = s ( t ) 表示t 时刻易感者( 8 u s c 印t i b l e ) 效目，= j ( t ) 表示t 时刻感 染者( i n e c t i v e ) 数目，r = r ( t ) 是消除者( 恢复者) 数目，b 代表三类人共有 的自然死亡率，r 代表恢复者的免疫失去率；h ( i ，s ) 是非线性传染率，b ( n ) 是 出生茕它是总人口数n = s + i + r 的函数，u 是染病者的恢复率 方程( 1 _ 1 ) 又被称为s i r s 模型，对于该模型已有众多学者进行过研究 当日( f ，s ) = k i s 时，1 9 8 7 年，在文【1 l 中，陈兰荪在相平面( i ，r ) 上的一个三 角型区域内讨论了奇点的类型和稳定性，同时分析了轨线的性态，从而确定 了吸引不变集的存在性1 9 8 6 年l i uw j i - m i n 在文1 2 中用数值模拟的方法 讨论了h o p f 分支的存在性和由同宿分支产生极限环的可能性；2 0 0 2 年汪宏 喜在文【3 中给出了出现同宿分支与周期轨道分支的参数条件1 9 9 2 年岳锡 亭和潘家齐在文【4 及2 3 年李静在文【5 l 中分别用不同的方法证明了无限 周期分支的存在性在上述文献的基础上，本文进一步将在第二节中利用文 6 】h 8 s s ”d 的“规范形”方法，详细讨论( 11 ) 的h o p f 分支方向及分支闭轨 的稳定性，在第三节中，利用文 7 j 中的方法，给出同宿环分支出极限环的条 的稳定性，在第三节中，利用文 7 j 中的方法，给出同宿环分支出极限环的条 件及惟一性 2 局部动态分支 为了更好地研究系统( 1 1 ) ，需要对它进行一些假设和变换，由文献【4 】， 考虑系统( 1 。1 ) ，假设h ( i ，s ) 和b ( n ) 连续可微，且对所有的s 有口( o ，固= o 也就是说在没有感染者时，传染力必为零，将( 1 1 ) 式中三个方程相加得到 对( t ) = b ( ) 一6 ( 2 1 ) 假设( 2 1 ) 有一个平衡位置0 o ，满足b ( 0 ) = 6 0 ，并且这个平衡解是渐 近稳定的，即尽管有传染病发生，但总人口仍然处于平衡状态，因此我们仅 在这个平衡态的人口范围内( 即平面s + i + r = 0 上) 来讨论传染病发展的 分支情况( 说明这样假设的合理性，例如考虑最简单的情况，当b ( ) = d ，d 是常数时，由文【2 可知，系统( 2 1 ) 具有正的渐近稳定的平衡解o = ) 将 日( j ，s ) 取作日( j ，s ) = j s 是常数，这时系统( 1 1 ) 简化为： fj ( t ) = k j 2 s 一( 6 + ) j = 0 j 2 一女f 3 一自r f 2 一( 6 + ) ， r ( 亡) = j 一+ r ) r ， ( 2 ，2 ) 【 s = o 一，一且 以下仅在相平面( i ，r ) 上的三角形区域： 内考虑系统( 2 2 ) 的轨线性态，在以上假设下文【1 】已指出e 是系统( 2 2 ) 的 t = 壬，= 嘉。，r = 孚v 耋三! 二i 。z 2 一m 一$ v l 。， 2 图l 如上图，在z z m 平面内，当参数取在曲线西上时，其特征方程至少有 一个零根；当参数取在曲线于上时，特征方程有一对纯虚根同时还可知当 参数从区域i 穿越曲线亍到达区域i i 时，( z 2 ) 会从稳定的焦点或结点 变到中心( 在曲线亍上) 再变到不稳定的焦点或结点故由h o p f 分支定理， 系统( 2 4 ) 的h o p f 分支只能在区域i 或区域i i 中发生综上得到定理2 1 1 定理2 1 1 ( 2 6 ) 所表示的曲线亍是系统( 2 4 ) 的h o p f 分支曲线即 对亍上任一点( 茁2 ，m o ) ，若以m 为分支参数，则系统( 2 4 ) 在m = m o 处发生 h o p f 分支 证明：系统( 2 4 ) 在原点o ( o ，o ) 的线性近似方程的系数阵为： 其特征方程是 a ：f m 一：。； il 则特征根是 h ：( 。) ：坐生坐巫军亚匝巫至 = 口( m ) 土妒( m ) 4 其中。( 。) ：掣笋，卢( m ) ：近五鼍亚 v ( 2 ，m o ) 亍，有m o = f z 2 2 + l ，代入上式得 又经过计算得 则 即 a ( 。) ：o ，卢( m 。) ：再 o a ( m ) = ；+ 万 一( m 0 ) = ；+ 0 r e 乳腓亍地 故由h 0 p f 分支定理，系统( 2 4 ) 在曲线t 上任一点处发生h o p f 分支 即( 2 6 ) 所表示的曲线亍是系统( 2 4 ) 的h o p f 分支瞌线证毕 2 2h 0 p f 分支方向及分支田轨的稳定性 令 ( ：；) = ( ：等) ( 笼) 则系统( 2 4 ) 化成 ( 茏) = ( ；? ) ( ) + ( 三褰) 其中 ( 2 7 ) a = ( t + b 9 2 ) 2 一( z 2 ( 3 “_ 1 ) 一n ) 一f ( l + b 啦) 卜( g i 一言抛) ( l + 口驰) 陌1 + b 2 + 2 2 2 b = 坚挚 再令z ：。+ 勘，将系统( 2 7 ) 化成如下形式的等价的复一阶常微分方程： 5 3同宿分支 对于系统( 2 4 ) 的同宿分支问题，文【4 和文 5 】分别用不同的方法证明 了无限周期分支的存在性文 5 】进一步应用p o i n c a r e _ b e b d i 】( s o n 环域定理得 到了系统存在不稳定的极限环，但并未给出严格的数学证明本文通过另一 种比较简单的数学方法严格证明了不稳定极限环的存在性，并且证明了极 限环是惟一的 3 1 同宿轨道的存在性 由文 4 ，为了寻找系统( 2 4 ) 的同宿轨道，我们首先注意到参数平面 ( 现，m ) 中的p 点，在p 点处有： m f 一1 = 0 z i = l ， 这时阵a 化为了： ( ：；) 这是一个以。为特征值，代数重数为2 ，几何重数为1 的阵，因此可以选 取对应于它的零特征值的两个特征向量e 1 ，e 2 ，使得a e l = o ， e 2 = e l ，以及它 的伴随向量2 1 i ：2 ，使得f 2 = o ，a f l = f 2 ，且满足k 勺= b ( 奶是k r o n e c k e r 的记号) ，i j = 1 ，2 通过简单计算，我们得到： e 1 = e 2 = 8 、，、lf，一 如= f 舞= 卢， 筹：。( 。一6 。) + 。p + 。，2 + 。s 卢 + 。t 卢。，4 一。；f 卢。+ 。( 1 一z ) 卢。 3 1 巨， 。， 系统( 3 2 ) 是系统( 3 1 ) 的未扰动系统易知( 3 2 ) 有两个平衡点：陋，卢) = ( o ，o ) 为中心；( a ，卢) = ( 口6 ，o ) 为鞍点，且( 3 2 ) 是h a m i l t o n 系统，h 啪i l t o n 9 _、 0 l l 一 在如d ，使 彳( 而) = o ； ( i i ) 设m ) = o ，又设口) ；( ，0 。+ 卯v ) ( 岛，o ，如) o ，则存在e o o ，l 的邻域v ，使得当o h 0 ，满足7 6 ( 如7 2 l d l ) 一2 f o = o ，使得m ( 5 l ，如) = o 由于 o ，故如7 2 f 6 l7 0 综上所述，因为口( 6 l ，如) 0 ，由引理3 2 2 ，当m ( d l ，如) o ( 即 矿拈，6 l ，如) o ) 时，系统( 3 1 ) 在l 附近存在极限环，又由于存在6 l ，如 o ， 使得m ( d l ，6 2 ) = o ，而o ( 6 l ，如) o ，故系统( 3 1 ) 在l 附近至多存在一个 极限环由于d ( d 1 ，6 2 ) 0 ，当e 0 时，极限环是不稳定的 定理3 2 1 系统( 3 1 ) ，如果参数0 o ，那么存在e o o ， l 的邻域v ，使得当o o ，1 6 l 一6 l i e o ，i 如一如i o ，则系统( 3 1 ) 在v 中有惟一不稳定的极限环 若m ( d l ，6 2 )