（课程与教学论专业论文）论数学课程与教学的均衡观念——基于数学知识整体观的研究.pdf

摘要 中国数学教育的传统是重视“双基”教学，在新世纪以来开展的义务 教育数学课程改革中，有些人对这一传统提出了不同的看法。我们对数学 新课程中一些看法进行反思，并审视历次数学课程改革运动的“钟摆现象”， 从数学教育哲学方面思考数学教育的基本矛盾“数学方面”与“教育 方面”的矛盾，为把这矛盾的解决落实到数学课程与教学中去，学校需 要以数学知识作为逻辑起点，寻求均衡的数学课程与教学观。 研究发现，学校数学知识观有了新的变化，数学教师与学生都具备了 过程知识观念，并能把过程知识与结果知识结合起来，思考数学知识的本 质观、课程观、学习观、教学观和评价观的问题。数学过程性知识表现为 数学活动经验、数学情感体验、数学思想领悟协调发展的三种类型，它与 数学形式化知识的融合，形成了数学知识的整体观念二重知识观，坚 持数学的二重知识观，是解决数学教育基本矛盾的关键。 基于二重知识观的数学课程观，在课程目标上提倡训练性与实用性的 均衡，在课程内容上强调基础性与教育性的均衡，在课程结构上要求逻辑 性与认知性的均衡：基于二重知识观的数学教学观，倡导教学模式应处理 好讲解、练习与探索、交流之问的关系，要恰当运用现代化与传统型教学 手段，教学评价则应在纸笔测试与质性评价之间达到平衡。 坚持数学知识的整体观念，树立均衡的数学课程与教学观，对数学课 程改革的顺利进行和逐步深化，具有一定的理论意义与实践价值。 关键词：数学课程；数学教学；数学知识；形式化知识；过程性知识 a b s t r a c t t h et r a d i t i o no fc h i n e s em a t h e m a t i c se d u c a t i o ni st oa t c a c ht w ob a s e s t e a c h i n g b u ti nt h em a t h e m a t i c a lc o u r s er e f o r mo fc o m p u l s o r ye d u c a t i o n ，s o m e o n er a i s ed i f f e r e n to p i n i o nt oi t t h er e f l e c t i o nt on e wm a t h e m a t i c a lc o u r s ea n d t h ep e n d u l u mp h e n o m e n o ni nt h ep a s tm a t h e m a t i c a lr e f o r mu r g e dp e o p l et o c o n s i d e rt h eb a s i cc o n t r a d i c t i o nb e t w e e nm a t h e m a t i c a la s p e c ta n de d u c a t i o n a l a s p e c t t op u ti ti m oe f f e c tt om a t h e m a t i c a lc o u r s ea n dt e a c h i n g ，s c h o o l ss h o u l d s e e kt h eb a l a n c i n gv i e wo nm a t h e m a t i c a lc o u r s ea n dt e a c h i n gb yc o n s i d e r i n g t h em a t h e m a t i c sk n o w l e d g ea st h el o g i cs t a r t i n gp o i n t t h es t u d yf i n d st h a tt h em a t h e m a t i c a lk n o w l e d g ev i e wi ns c h o o lh a s e m e r g e dn e wc h a n g e s ，a n dt h a tt e a c h e r s a n ds t u d e n t sh a v eh a dp r o c e d u r a l k n o w l e d g ev i e w t oc o m b i n ei t t or e s u l tk n o w l e d g e ，t h e yh a v et h o u g h tt h e p r o b l e ma b o u tt h ee s s e n c ev i e w , c o u r s ev i e w ；s t u d y i n gv i e w , t e a c h i n gv i e w , e v a l u a t i o nv i e wo fm a t h e m a t i c sk n o w l e d g em a t h e m a t i c a lp r o c e d u r a l k n o w l e d g e a r es h o w e d b y t h r e e i m p r o v i n g f o r m ：t h e e x p e r i e n c e o f m a t h e m a t i c a l a c t i v i t y , e x p e r i e n c e d m a t h e m a t i c a le m o t i o n ，m a t h e m a t i c a l t h o u g h tg r a s p i n g f u s i n gi t t om a t h e m a t i c a lf o r m a l i z e dk n o w l e d g e ，t h ed u a l k n o w l e d g ev i e wh a sb e e nf o r m e da st h et o t a lv i e wo fm a t h e m a t i c sk n o w l e d g e i n s i s t i n gt h ed u a lv i e wo f m a t h e m a t i c sk n o w l e d g ei st h ek e yt os o l v et h eb a s i c c o n t r a d i c t i o no fm a t h e m a t i c se d u c a t i o n m a t h e m a t i c a lc o u r s ev i e wb a s e do nt h ed u a lk n o w l e d g ev i e we n c o u r a g e s t h a tt h ec o u r s eo b j e c t i v es h o u l da c h i e v eab a l a n c eb e t w e e nt r a i n i n ga n d a p p l i c a t i o n ，t h ec o u r s ec o n t e n ts h o u l de m p h a s i z et h eb a l a n c eb e t w e e nb a s i ca n d e d u c a t i o n ，t h ec o u r s es t r u c t u r es h o u l dd e m a n dt h eb a l a n c eb e t w e e nl o g i ca n d c o g n i t i o n m a t h e m a t i c a lt e a c h i n gv i e wb a s e do nt h ed u a lk n o w l e d g ev i e w a d v o c a t e st h a tt h e t e a c h i n gp a t t e r n s h o u l dh a n d l et h er e l a t i o nb e t w e e n e x p l a n a t i o na n de x p l o r a t i o n ，u s ef i t t i n g m o d e r na n dt r a d i t i o n a l t e a c h i n g t e c h n o l o g y , a n dm e d i a t eb e t w e e nt r a d i t i o n a lt e s ta n dq u a l i t a t i v ee v a l u a t i o n t oi n s i s tt h et o t a lv i e wo fm a t h e m a t i c sk n o w l e d g ea n ds e tu pt h eb a l a n c i n g v i e wo nm a t h e m a t i c a lc o u r s ea n dt e a c h i n gh a v es o m et h e o r y m e a n i n ga n d p r a c t i c e w o r t hf o r m a r c h i n g a n d d e e p e n i n gm a t h e m a t i c a l c o u r s er e f o r m s u c c e s s f u l l y k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c a lc o u r s e ；m a t h e m a t i c a l t e a c h i n g ；m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ；f o r m m i z e dk n o w l e d g e ；p r o c e d u r a lk n o w l e d g e 论数学课程与教学的均衡观念基于数学知识整体观的研究 第1 章引论 ， 1 1 研究的背景 中国数学教育的传统是重视“双基”教学，即强调学生对基础知识的 理解，并在理解的基础上通过大量的变式练习形成基本技能，培养数学基 本能力与基本态度然而，新世纪以来开展的中小学数学课程改革中，一 些人对中小学数学“双基”的教学提出了质疑，认为“重要的不是让学生 掌握多少数学知识，而是要让学生掌握学习数学的方法”，“结果并不重要， 过程才是重要的”这些观点和相应的做法在数学教育界产生了强烈的反 响，尤其是遇到了来自数学家和一线教师的不同意见数学“双基”教学 如何保持传统，又做到与时俱进，数学课程改革怎样深化，是一个迫切的 研究课题 数学教育工作者冷静地反思这次教育改革，并从2 0 世纪三次重大的课 程改革回顾的高度，审视、寻求数学课程改革的规律，认识到一种明显的 “钟摆现象”历次数学课程改革的成效，促使人们思考数学教育的哲 学问题，郑毓信提出：数学教育的基本矛盾是“数学方面”与“教育方面” 的对立统一，前者是指数学教育应当正确地体现数学的本质，后者则是数 学教育应当充分体现教育的社会目标，并符合教育的规律，从数学教育的 历史我们可清楚地看出，能否很好地处理这一矛盾( 或者说，搞好这两个 方面的均衡) 正是数学教育的关键所在，特别是这直接决定了各个数学教 育改革运动能否取得预期的成功 要把数学教育基本矛盾的解决落实到数学课程与教学中去，需要考虑 章建跃三次国际数学教育改革运动及其启示 j 】数学通报，2 0 0 2 ( 8 ) ：8 郑毓信数学教育哲学【m 】成都：i 四7j l 教育出版社，2 0 0 1 ：2 2 9 高校教师在职硕士学位论文 数学课程与教学的逻辑起点，即把握数学课程与教学理论体系中最简单、 最抽象的范畴二般教学论有一种观点认为，“知识是教学论体系的逻辑 起点，那么，我们可以认为数学知识是数学课程与教学的逻辑起点，乃至 整个数学教育理论体系的逻辑起点因此，从数学知识出发来分析和解决 数学教育的基本矛盾是一个值得研究的理论问题同时，数学知识又是数 学教育中最现实的因素，事实上，每次数学课程改革，专家们都要求数学 教师具备所倡导的数学教育观念，但教师们在新课程的实施过程中，关注 的更多的是数学教材的改革，包括数学知识的选择与编排，因此，从学校 数学知识出来分析和解决数学教育的基本矛盾，又是一个值得研究的现实 问题 1 2 问题的确定 基于上述研究背景，本研究试图完成以下几个方面的工作：调查学校 数学教师和学生的数学知识观；剖析数学课程改革中数学知识观的变化； 分析科学的数学知识观的合理成分整体性；最后构建数学知识整体观 的认知模型以数学知识的整体观为基础，阐述均衡的数学课程观，包括 对数学课程目标、课程内容与课程结构的观念，提出均衡的数学教学观， 包括对数学教学模式、教学手段与教学评价的观念 具体而言，本研究可分解为以下几个问题： ( 1 ) 数学知识整体观的认知模型； ( 2 ) 均衡的数学课程观，包括课程目标观、课程内容观、课程结构观； 吴立岗主编教学的原理、模式与活动 m 】南宁：广西教育出版社，1 9 9 8 ：2 4 论数学课程与教学的均衡观念基于数学知识整体观的研究 ( 3 ) 均衡的数学教学观，包括教学模式观、教学手段观、教学评价观 1 3 研究的意义 国内外对于数学知识观的研究已有不少成果问世，如数学的客观知识 与主观知识，表层知识与深层知识，显性知识与缄默知识，数学知识的学 术形态与教育形态，数学知识成分与观念成分，教育数学与数学教育等但 这些观点都是把数学知识从不同角度分成两个方面来考虑的，而没有把数 学知识作为一个整体来分析其本质属性本课题从研究学校数学知识的整 体观出发，试图解决数学教育的基本矛盾，克服数学课程改革的“钟摆现 雀吉” 勿0 1 3 1对数学教育理论的意义 数学教育理论内容丰富，体系庞大，各种不同理论体系观点各异，风 格不同，如何完善、规范数学教育的理论体系，本是有待研究的大课题本 研究试图以数学知识作为数学课程与教学的逻辑起点，构建数学教育的部 分理论框架，为数学教育理论的建设提供可作参考的视角，对数学教育理 口 论研究具有方法论上的借鉴作用 1 3 2 对数学课程改革的意义 当前基础教育的数学课程改革，从反思到深化，在理论和实践两方面 都有大量的工作要做从理论上看，树立怎样的数学课程观；从实践上看， 数学课程目标、课程内容、课程结构如何落实，都是急待解决的问题以 数学知识作为出发点，在数学知识整体观的基础上，探讨均衡的数学课程 观，避免课程目标、课程内容、课程结构发生偏移，顾此失彼，具有一定 的理论意义和实践价值 1 高校教师在职硕士学位论文 1 3 3 对“双基”教学理论的意义 “双基”教学是我国数学教育理论的特色，对数学“双基”教学的研 究是我国数学教育理论走上世界的重要课题从数学知识入手来认识数学 “双基”，试图追求均衡的数学教学观，在教学模式、教学手段、教学评价 方面达到平衡，对数学“双基”教学的研究无疑是一个有益的探索，对数 学“双基 教学理论基础的确定具有一定的参考作用 1 3 4 对数学教育哲学的意义 数学教育哲学的一个重要任务是解决数学教育的基本矛盾，如何把“数 学方面”与“教育方面”的矛盾落到实处，既是一个实践性问题，也是一 个理论性课题以数学知识的整体观念为突破口，诠释数学教育的基本矛 盾，使得数学教育在“数学方面”与“教育方面”达到平衡，本研究也是 对数学教育哲学的一点贡献 1 4 研究的总体框架 论数学课程与教学的均衡观念基于数学知识整体观的研究 第2 章文献述评 近几十年来，人们对数学知识及其与数学课程、数学教学的关系进行 研究，已有不少成果问世，如文 5 】、 6 、【2 6 - 3 0 ，归纳起来主要有：( 1 ) 数学知识的分类与整合；( 2 ) 数学知识的认知模型；( 3 ) 基于一定数学知 识观的数学课程与教学观 2 1数学知识的分类与整合 从有关研究资料上看，不同学科背景的研究者对知识类型的看法有各 自不同的角度早在2 0 世纪5 0 年代，英国哲学家、物理化学家波兰尼在 研究知识的性质时，根据知识的不同形态，明确地把知识区分为“显性知 识”和“缄默知识”显性知识即可以用文字、语言明确表述的知识，例 如数学定义、公式等；缄默知识即不能系统表述，“只可意会，不可言传” 的知识，例如在解决数学问题中关于我们是如何思考的知识 认知心理学家为了研究人类学习的心理机制，对知识表征的类型，即 人们记忆中对信息的表示方式进行深入的研究，安德森认为：知识可以区 分为“陈述性知识”和“程序性知识”陈述性知识是可以用文字、语言 来描述的，它是人所知道的事物状态的知识，例如关于等腰三角形性质的 知识；程序性知识是关于人如何做事的知识，例如关于应当如何根据面临 的情况选择解决问题的方法的知识( 即认知策略) p o l a n y im t h es t u d yo fm a n m l o n d o n ：r o u t l e d g e & k e g a np a u l ，1 9 5 7 ：1 2 j r a n d e r s o n c o g n i t i v ep s y c h o l o g ya n di t si m p l i c a t i o n m n e wy o r k ：f r e e m a n ，1 9 8 0 ：1 0 高校教师在职硕士学位论文 在数学教育研究中，希伯特和卡彭特将数学知识区分为“概念性知识 和“方法性知识”概念性知识是那些关系丰富的知识，只有它是一个网 络的个部分时才能被称为概念性知识；方法性知识是指一系列的动作， 要形成方法性知识，至少要建成方法中相继动作之问的联系 英国学者欧里斯特在研究社会建构主义时提出客观知识和主观知识， 并从它们之间的关系来阐述二者的含义，认为社会建构主义将主观知识和 客观知识循环地联系起来，其中每一个促进另一个的更新在这个循环中， 新的数学知识从主观知识( 个体的个人创造) 开始，经发表而形成客观知 识( 通过主体问的审视，再形成和接受) 在数学学习的过程中客观知识被 个体内化和再建构，成为个体的主观知识，根据这个知识，个体创造并发 表新的数学知识，从而完成循环 综上所述，尽管人们都在对“知识分类”问题进行研究，但是，由于 知识背景的不同，他们所关注的重点是有差异的，有时甚至是很不同的显 然，哲学家、自然科学家( 包括数学家) 更加关注知识的客观形态，主要 从知识的逻辑定义来考察，而心理学家则更加关注知识的主观表征，主要 从知识的心理意义来考察由于数学教育研究既要体现数学学科本身的特 点，又要反映学生的数学学习心理规律，这就促使数学教育工作者从数学 知识的客观形态与主观表征两方面来思考数学知识的分类问题，因为只有 这样才能反映数学教与学的本质实际上，这是一种将数学知识与其产生 d g r o u w s h a n do fr e s e a r e ho i lm a t h e m a t i c st e a c h i n ga n dl e a r n i n g m m a c m i l l a np u b l i s h i n g c o m p a n y , 1 9 9 2 ：1 6 1 p a u le r n e s t 著，齐建华等译数学教育哲学 m 】上海：上海教育出版社，1 9 9 8 ：5 2 章建跃从知识分类看数学“双基”的内涵【j 数学通报，2 0 0 3 ( 8 ) ：1 论数学课程与教学的均衡观念基于数学知识整体观的研究 的过程作为一个整体来认识的观点基于这种认识，新的数学教学大纲把 数学思想方法纳入数学基础知识的范畴，这就使得数学知识的形式与功能 达到了统一，恰当地体现了数学知识所具有“概念二重性”的特点，即许 多数学知识具有既表现为一种操作过程，又表现为对象、结构的特点 数学知识从分类到整合，标志着人们对数学知识研究的逐步深入，以 整合的思想来认识数学知识的本质，树立数学知识的整体观，应该是从数 学知识出发，解决数学教育基本矛盾的关键所在 2 2 数学知识的认知模型 人们在数学知识的整合理念下，反过来又对数学知识的分类进行再分 析，把数学知识这一母项( 属概念、上位概念) 的几个( 往往是2 个) 子 项( 种概念、下位概念) 联系起来，构建数学知识的认知模型，将显性知 识和缄默知识融合在一起的数学知识“冰山模型”就是其中的研究成果之 在数学学科中也有显性知识和缄默知识之分，数学教材中的概念、定 理、公式、法则等内容都是显形知识，而蕴涵在这些显形知识之中的基本 常识、朴素思想与合情思维等，则属于缄默知识的范畴 如“平均数 的 计算公式是显性知识，而其所反映的“不多不少、相互平摊、不偏不倚、 公平合理”等常识和思想，则是缄默知识( 这里并不是缄默知识的陈述， 而是以“显性”的方式描绘、表达) 长方形的面积公式是显性知识，而其 背后隐藏着丰富的常识( 或经验) 如人们要给一间房屋的地面铺地毯，计 顾泠沅等寻找中间地带【m 】上海：上海教育出版社，2 0 0 3 ：3 1 7 石循忠谈学生数学知识的个人建构【j 数学教育学报，2 0 0 4 ( 3 ) ：4 8 高校教师在职硕士学位论文 算需要多少材料( 长与宽) ；要计算一页长方形方格纸的方格数，从长和宽 两个方向数方格数，再运用乘法( 这里乘法法则己成为“常识”) 定积分 的形式定义是显性知识，而其体现的“曲边梯形可看成无限个狭长矩形的 拼接 以及“旋转体可比做无限个圆薄片的叠加”这些朴素的、自然的思 想则是缄默知识 学生对数学知识的习得，建立起来的个人知识，是显性知识与相应缄 默知识的融合，显性知识被丰富、厚实的缄默知识支撑着有学者把个人 知识比作“冰山模型”，显性知识是浮在海面上的“冰山一角”，缄默知识 则是隐藏在海面下的“冰山基座”这对显性知识与缄默知识的关系以及个 人知识本质的描述既形象又富于哲理在传统的数学知识教学中，一些教 师往往“就事论事”，直接讲解显性知识这一部分，而没有触及起支持作用 的缄默知识，学生当然不育1 叫5 1 艮好地建立自己的个人知识即使有的学生理 解了某一数学知识，也是因为教师的讲解不自觉地引发了相应的某些缄默 知识，从而使学生建立起个人知识 数学课程中的显性知识都是数学家( 或数学工作者) 的主观知识经发 表后形成的客观知识，那么这些客观知识都是合乎情理的，能被大多数人 所认同和接受的数学家在主观知识的建构过程中，应该也是在一定缄默 知识的基础上建立( 暂时的、发表前的) 显性知识因为在这一( 暂时的) 显性知识之前，人类还没有( 或他不知道) 这样的知识现在来看学生个 人知识的建构过程，学生也会象当年的数学家( 数学工作者) 一样，在自 己已有缄默知识的基础上，运用合情思维方式，建立自己的个人知识学 生的个人知识与数学家当年所建立的主观知识很可能是一致的或类似的， r 论数学课程与教学的均衡观念基于数学知识整体观的研究 可谓是“英雄所见略同”这一观点是基于生物学上“个体发展过程是群体 发展过程的重现”原理在数学学习上也是成立的，即数学发展的历程也应 在个人身上重现，这才符合人的认识规律这样看来，我们的学生在学习 某一新的数学知识之前，并不是“头脑一遍空白”的无知者事实上，学 生头脑中已具备大量的缄默知识，其中一部分就是建立需学数学知识的坚 实基础同时，学生头脑中还存在缄默的认识模式，如学生很自然地把特 殊对象具有的性质推广作为该类事物的一般规律，这就是归纳推理；学生 或把一类事物具有的性质迁移为类似事物的性质，这就是类比推理难怪 人们将归纳与类比都称为合情推理 2 3 数学范例课程观 学生的缄默知识不会自动地转化为显性知识而且对于某一显性知识 的建构，需要哪些缄默知识，是由学生自己来组织的那么，教师要帮助 学生回忆、捕捉与显性知识相应的缄默知识，促进学生形成具有良好结构 的个人知识，一个重要的途径就是提供范例范例是联系显性知识与缄默 知识的桥梁，基于个人知识的“冰山模型”，我们又认为范例是学生个人知 识的载体，正象句子是词语的载体一样语文教学中，我们很难向学生解 释“尊重”的含义以及“尊重”与“尊敬”的区别，但可简单地通过给出 句子或让学生造句来解决这一教学问题好的范例包含了显性知识所需的 丰富的缄默知识，有些范例甚至使学生留下终身难忘的印象如很多人中 学毕业多年后还记得当年学习数学归纳法时教师的举例“多米诺骨牌游戏” 弗赖登塔尔作为教育任务的数学【m 】上海：上海教育出版社，1 9 9 5 ：3 高校教师在职硕士学位论文 ( 而数学归纳法则早己忘得一干而净) 对于一些抽象的、复杂的数学知识， 采用范例教学往往可以起到事半功倍的效果 正因为范例在学生个人知识建构过程中的重要作用，教材编写者对范 例的选择与编制是非常讲究的编者要精心发掘教材中显性知识背后的深 层思想，研究学生头脑中与这一显性知识相应的生活经验或已有知识有 时甚至要开展“思维实验”，想象历史上人们当时怎样创造和建构这一知识， 才能编制出好的范例如义务教育数学教材八年级上册在“平均数”单元 中提供比较两支球队的身高和年龄的引例就是很好的范例 教师面对教材中的范例，首先要认真钻研，分析范例中丰富的内涵， 它与相应显性知识的一致性，以及它包含的哪些内容可能是学生的缄默知 识，充分理会教材编写者的意图，利用好教材中的范例其次( 往往更重 要) ，教师要仔细分析所教学生的知识基础与生活经验学生的缄默知识哪 些对教材知识的学习有帮助，哪些有干扰作用，有时还需自己开发或改编 教材中的范例如义务教育数学课本中计算长方体对角线的范例“母子二 人买的竹竿太长，放不进电梯”，对农村的学生就不合适因为农村孩子大 部分没有坐过电梯，不知电梯门关上时是一个长方体箱子教师可改为“大 衣柜里藏彩珠筒( 一种烟花) ”的范例 2 4 数学活动教学观 教师给出的范例不仅是学生个人知识的载体，同时也提供了一个问题 情境，一个有助于学生参加数学活动的素材数学是最具探索性的学科之 一，在数学活动中，学生往往通过自主探索与合作交流两种形式来建构个 人知识 1 n 论数学课程与教学的均衡观念基于数学知识整体观的研究 学生一般都具有好奇心面对给出的数学问题，学生自觉地进行自主 探索，试图解决问题由于教师还没有给出解决问题所需要的显性知识( 假 定学生也尚未从教材或其他资料上看到) ，学生唯一的途径是利用已学知识 和已有经验这时，学生便在脑海中尽力去搜寻与问题相关的缄默知识， 并把他们组织起来有时甚至找不到任何有助于问题解决的依据，完全是 凭直觉、论情理、想当然去作出猜想，但这种“瞎猜”实质上也是凭借着 某种更具隐藏性的缄默知识在显性知识呈现以前，学生已经建立起了对 一定理解力，这是教师直接讲解显性知识所不可能达到的效果 在自主探索过程中，不同学生所取得的效果在方向、程度和性质上都 不一样，其中一个原因是由于学生的相关缄默知识的结构、质量、属性等 方面都不尽相同因此，学生之间进行合作交流是非常必要的学生单独 解决不了的数学问题，经过合作交流可能得以解决因为各个学生都有自 己的缄默知识，他们各自可能无法解决数学问题，但经过合作交流，各人 把自己有关的缄默知识以“显性”的形式传达出来，各种缄默知识经过比 较、组合或融合，很可能就把数学问题解决了俗话说“三个臭皮匠，赛 过诸葛亮”，就是这个道理即使已解决数学问题的几个学生相互交流，也 是很有作用的因各人解决问题的途径和方法可能不一样，通过交流，不 同的途径和方法放在一起比较，交换思想，相互学习，这对他们今后的数 学活动是大有裨益的合作交流开始是在小组内进行的，后来才是小组之 间的交流或教师与小组的交流各小组得出的结论离运用目标显性知识所 得出的结论往往有一定的差距，如何通过比较、评判，得出大家认同的结 论，教师的作用就显得更重要了当然，教师不是简单地表态，说这个结 1 1 高校教师在职硕士学位论文 论好，那个结论不好而是说明一些结论的合理性，另一些结论的缺陷或 不足之处最后还是让学生集体评价，选择最好的结论，大多数学生认为 合理的结论往往是目标显性知识的雏形 合作交流有助于解决数学问题，但更有价值的是促进了学生的缄默知 识向目标显性知识的转化因为合作交流需要学生各人把自己的有关缄默 知识以显性的语言表达出来，传达给其他同学课堂上数学活动在伎学生 统一认识，认同目标显性知识相应的某种缄默知识之后，紧接着便是缄默 知识的显性化，即知识表征问题，数学知识还往往需要完成符号化和形式 化的工作知识表征是显性知识形成的标志，没有知识表征，缄默知识是 不清晰的、不稳定和不牢固的，当然也不能完成教材知识的教学任务知 识表征必须与主题相应的缄默知识保持一致，但要做到这一点不是一次就 可以实现的，往往要经过多次尝试，不断检讨、修正，知识表征才能达到 目标显性知识的形式 2 5 对数学知识观的反思 数学知识的“冰山模型”，突出学生已有经验与活动参与的作用，由其 演绎的数学课程观符合经验课程论的观点，是对传统的学科课程论的挑战， 而从其导致的数学教学观则属于活动教学论的范畴，是对经典的传统教学 论的批评，在一定程度上代表了先进的课程观与教学观但对经验与活动 强调得太过分，也容易走上另一个极端数学知识的“冰山模型”，有偏向 数学教育的“教育方面”的趋势，与传统的数学知识观比较偏重数学教育 的“数学方面一样，对处理好数学教育的基本矛盾是有些不利的 要建立均衡的数学课程与教学观，需从数学知识的整体观念出发来思 1 ， 论数学课程与教学的均衡观念基于数学知识整体观的研究 考问题，这就必须对数学知识的“冰山模型”进行反思按照“冰山模型” 建构的数学知识，经常是单个的数学知识，而对学生如何建立知识点之间 的联系，理解数学知识的逻辑体系，“冰山模型”本身还不能很好地解决这 个问题我们应该寻求更加完善的数学知识认知模型，树立更加科学的数 学知识观，才能处理好数学知识点建构与知识体系形成的关系构成“冰 山模型”的“缄默知识”这一“基座”，一般是考虑学生的数学活动经验， 重视数学知识的来源，而对数学知识的应用过程关注得不够，这对学生认 识数学知识的完整性是不利的因此，应寻求更为合理的数学知识观，将 数学知识与其产生与应用过程作为整体来考虑问题这就要求我们对数学 知识的认知模型进行实证研究与理论分析 论数学课程与教学的均衡观念基于数学知识整体观的研究 第3 章数学知识观的研究 3 1实证研究 3 1 1 被试的选择 关于样本的选择，有几个问题必须预先研究与说明 作为一名在职攻读研究生的高校教师，从事数学教学论课程的教学与 研究，在接触本市中学数学教师，进而通过中学教师选取中学生样本方面 有一定的优势 2 0 0 5 年7 月，我市1 4 8 名中学数学教师( 其中高中教师8 5 人，初中教 师6 3 人) 在本校参加继续教育学习，本人承担数学新课程的反思与深化 课程的教学工作利用这一机会，我对这些教师进行了问卷调查( 高中教 师班与初中教师班分别进行) 在数学教师两个进修班上，分别选取两位工 作负责、有经验的中学一级教师( 系本人原来教过的学生) ，布置他们把相 应的学生问卷调查表带到各自的学校，于2 0 0 5 年秋季开学后开展问卷调 查4 个数学教师在2 0 0 5 年1 0 月以前相继把调查统计数据寄回给我 2 0 0 5 年1 0 月l o 日一1 1 月1 8 日，我在本市一所中学带队实习4 0 天利 用这一有利时机，我在该校初三年级( 没有安排实习生) 开展数学教学实 验，有三个数学教师，三个班级，1 8 2 名学生参加了实验与测试；在指导实 习的同时，我还有意识地观察3 0 名实习生( 高中实习1 2 人，初一、初二 实习1 8 人) 的数学课堂教学情况，收集与课题研究有关的信息；暑假上课 和带队实习期间，我还先后找了4 位数学教师、4 位实习生进行面谈，了解 他们的数学课程与教学观 1 气 高校教师在职硕士学位论文 本研究的样本容量比较可观，来源比较广泛，为我的课题研究提供了 内容丰富、富于价值的信息，而且在时间和经费上也是比较经济的 3 1 2 研究工具 本研究的原始数据资料是通过应用四种主要的研究工具而收集的，它 们是：2 份问卷调查表( 教师、学生配套用表) 、1 个教学实验方案( 包括l 套测试题) 、半结构面谈和课堂观察 第一、问卷调查表 问卷调查表分教师用表和学生用表，分别由2 4 个问题组成，二表的问 题基本上是对应设计的，只是语言表达通俗性有所不同，可见附录1 1 、附 录1 2 调查表的问题设计遵循问卷制作的语言与形式方面的一般原则，为 了保证所给问题的全面性、答案的可选性，问卷表的制作过程中参阅了多 份问卷调查表，并向本专业导师组的指导教师作了技术性的咨询 整个问卷的设计以研究的总体框架为基础，围绕教师与学生数学知识 观的几个方面来构成问题，包括数学知识的本质观、课程观、教学观、评 价观，并试图在本质观、课程观、教学观和评价观的相关性、可比性上设 置问题，以剖析教师和学生数学知识的本质观、课程观和教学观大致上 说，问题1 至4 涉及数学知识本质观；问题5 至8 考察数学知识的课程目 标观；问题9 至1 2 是关于数学知识的课程内容与结构观；问题1 3 至1 6 考 察数学知识的学习观；问题1 7 至2 0 旨在获取数学知识的教学观的信息； 问题1 3 至1 6 考察数学知识的评价观( 见附录1 1 ，1 2 ) 第二、教学实验 为了比较清楚地把握数学教师的知识观，尤其在数学结果知识与过程 1 6 论数学课程与教学的均衡观念基于数学知识整体观的研究 知识两个方面如何取得平衡的问题，本研究设计并实施了一项短周期的数 学教学实验，具体情况如下 ( 1 ) 实验假设：在数学教学中既要重结果，又要重过程，才能使学生 形成良好的数学知识结构； ( 2 ) 实验目的：检验结果知识与过程知识的教学价值； ( 3 ) 实验方式：在初中三年级的三个班级上，由教学水平基本相当的 三个数学教师执教同一课题方差，三节课的教学设计思想为： ( 1 ) 教师k 1 ( 班级c 1 ) 直接讲授方差的定义与计算公式，学生完成大 量的巩固练习； ( 2 ) 教师k 2 ( 班级c 2 ) 突出方差定义发生全过程，以及方差计算公式 探索的全过程，巩固练习的时间不够； ( 3 ) 教师k 3 ( 班级c 3 ) 重视方差计算公式得出的主要环节，学生完成 一定份量的巩固练习 ( 教学方案详见附件2 1 ) 在三个教师分别同时上完课的第三天，布置三个班的学生完成一套“方 差”知识的测试题测试题由2 个题目组成( 详见附件2 2 ) ，第1 题是指 明了直接用方差公式来计算的常规习题；第2 题是一个情景题，没有说明 要计算方差，只是要求比较两个方阵的整齐程度测试后，比较分析3 个 班的得分情况 第三、半结构面谈 面谈的目的是为了进一步对教师问卷调查的证实以及教师所采用教学 行为的支配观点的外显，因此，面谈遵循半结构的形式( 面谈问题见附录3 ) ， 1 7 高校教师在职硕士学位论文 面谈的对象有两种 第一种：中学数学教师，在暑假数学教师继续教育班上随机选取4 名 教师( 系接受调查学生知识观任务的4 位教师) ，分别用j l 、j 2 、j 3 、j 4 表示他们的姓名； 第二种：数学实习生，在高中、初中实习班级中随机选择2 名实习教 师，分别用s 1 、s 2 、s 3 、s 4 表示他们的姓名 第四、课堂观察 教师( 准教师) 的数学知识在很大程度上具有“内隐性”( 缄默性) ， 教师表达出来的数学知识观，或在问卷上选择自己赞成的数学知识观，往 往不一定是真实情况，有时还相去甚远；而且在实验中，研究者要求教师 具备怎样的数学教学观，但教师并不一定能很好地领会和把握这种观念， 可能会按照自己默会的观念去实施数学教学因此，在本研究中，课堂观 察被作为一种研究手段，用来弥补前面三种手段的不足，并对比与验证前 面的发现结果( 课堂观察注记见附录4 ) 3 1 3 数据的收集 2 0 0 5 年暑假，我市数学教师继续教育1 4 8 名学员，来自本市中学各级 各类学校，具有广泛的代表性：被选的4 名教师于2 0 0 5 年下期对中学生进 行调查，4 位数学教师分别来自城镇高中( 学校a ) 、农村高中( 学校b ) 、 城镇初中( 学校c ) 、农村初中( 学校d ) 学校，被试学生也具有较好的典 型性对数学教师的调查，于2 0 0 5 年7 月1 2 日实施，当堂收回问卷，共 1 3 4 份，回收率为1 0 0 ，对中学生的问卷，于2 0 0 5 年1 0 月2 8 日全部收回， 据实施调查的4 位教师统计，总回收率为9 0 6 表3 1 显示了四所学校的 17 r 论数学课程与教学的均衡观念基于数学知识整体观的研究 回收率 表3 1 学校 abcd 总计 上交问卷学生人数 6 46 85 54 52 3 2 收回率9 8 2 8 9 3 9 2 5 8 2 5 9 0 6 教学实验在实习学校初三年级的3 个平行班分别进行，表3 2 显示了3 个数学教师与3 个班级学生的基本情况 表3 2 班级教师教龄教师职称学生人数学生基础 c l1 2 中教一级 5 3 较好 c 29 中教一级 5 5 较好 c 38 中教一级 5 4 较好 3 1 4 数据的处理与分析 数据分析遵循定量分析与定性分析相结合的原则定量分析主要来自 问卷调查与实验测试的数据，以获得( 1 ) 数学教师、学生的数学知识本质 观、课程观、教学观三个调查向度在不同观点取向上的比例；( 2 ) 三种不 同的数学教学行为作用下的数学知识学习效果，从而折射教师应具备的数 学知识观定性分析主要应用于半结构面谈与课堂观察的信息，以评析数 学教师与准教师( 实习生) 的数学知识本质观、课程观与教学观通过数 据分析，我们得出了一些有价值的结论 第一、数学结果知识仍然是师生关注的重点 在问卷调查中，问题的设计主要围绕教师和学生的数学知识的本质观、 高校教师在职硕士学位论文 课程观、教学观、评价观来展开，并有意识地安排了反映数学结果知识与 过程知识的问题，从统计的数据上看，教师和学生数学知识观的主要成分 仍然结果知识表3 3 显示了问卷调查的一些统计数据 表3 3 中的1 0 个问题都是为了考察教师与学生数学知识各方面的结果 知识观念，从统计数据可以看出，教师与学生回答“完全肯定”和“基本 肯定”选项人数之和占被试人数的百分率大部分在8 0 以上，尤其是高中 教师、高中学生的两个被试组更为明显，并有6 个问题达到1 0 0 ，对第7 题的回答，四个被试组都为1 0 0 这就说明教师和学生更加关注数学结果 知识但也看到，教师和学生对第2 1 题的数据都在7 0 以下，他们对数学 考试的认识与数学考试的实际作用并不相符，而对第1 5 题的数据基本上在 8 0 以下，可能是师生对数学实验的理解还不够 表3 3 问题序号 被试淤 1671 0l l1 3l51 71 92 1 初中学生 1 0 0 9 0 1 0 0 5 8 8 1 9 l 6 5 8 2 7 9 5 5 高中学生8 8 l o o 1 0 0 7 7 9 1 8 1 7 0 9 2 8 6 6 7 初中教师 9 1 9 3 1 0 0 8 9 7 9 7 9 7 6 7 0 8 9 4 6 高中教师 8 3 8 7 1 0 0 9 2 8 7 8 7 8 4 8 2 9 2 6 l 通过与数学教师和实习生面谈，得出类似的结论面谈的8 个对象有5 个认为：数学知识就是数学教材中的概念、公式、法则、定理等内容；8 个 面谈对象都认为：学习数学知识可以培养思维能力，开发智力，而且说，数 学知识是学习其他学科( 如物理、化学、生物、地理) 的基础；高中数学 论数学课程与教学的均衡观念基于数学知识整体观的研究 教师( 或实习生) 有3 个认为：数学教材分科编排比混合编排要好；高中 教师( 或实习生) 都说：数学教材内容总是按数学知识的逻辑顺序来安排 的而初中教师( 或实习生) 认为：数学教材内容应该按照学生学习数学的 思维过程来编排面谈的8 个对象都说：学生对数学知识的掌握主要是通 过大量的数学练习来实现的 在查看数学实习生( 数学准教师) 的教案过程中，我们看到教学内容 包含的数学知识总是教材上的定义、定理、法则与公式等，教学目的则是 对这些数学知识的具体要求；通过课堂观察，又发现他们的数学课堂教学 模式基本上采用讲解与练习相结合的教学模式，采用传统的教学手段，只 是在上公开课时才运用多媒体课件 第二、教师和学生有了数学过程知识的观念 问卷有意识地安排了反映数学过程性知识的问题，从统计的数据上看， 教师和学生的知识观中都蕴涵着丰富的过程性知识成分表3 4 显示了问 卷调查的一些统计数据 表3 4 中的1 0 个问题都是为了考察教师与学生数学知识各方面的过程 性知识观念，从统计数据可以看出，教师与学生回答“完全肯定”和“基 一本肯定 选项人数之和占被试人数的百分率大部分在6 0 以上，尤其是数 学教师的两个被试组更为明显，初中学生组有4 个问题达到1 0 0 这就说 明教师和学生在数学知识的本质观、课程观、教学观、评价观等方面都表 现出了较好的过程性知识观，应该是学校数学知识观的新变化但也不难 看出，高中学生的数据以及初中学生的部分选项的数据在5 0 以下，这是 值得进一步思考的问题 2 1 高校教师在职硕士学位论文