（理论物理专业论文）多能级原子系统中的量子调控.pdf

摘要 摘要 近年来，多能级系统的量子干涉效应得到了广泛的关注和深入的研究，并且 已逐渐成为量子光学领域的重要前沿课题，人们在过去的几十年中已发现了许多 新的基于量子干涉效应下的物理现象和效应；另一方面，量子调控作为一门新的 科学与技术分支十分活跃，它的发展可能彻底改变计算机、工业、医学，化学与 生命科学等，从而使人类生活发生根本性的变化。目前量子调控的重点是物理实 现，而针对量子控制系统的研究主要还是在理论探讨阶段。本文应用量子光学的 相关理论，对基于多模场与多能级原子相互作用系统中量子干涉下的量子调控进 行了研究，得出了一系列有意义的结果。量子干涉效应有别于传统的经典干涉效 应，基于量子干涉下的量子调控应用领域突破传统的瓶颈，特别是在量子信息、 量子通信加密技术以及光量子计算机等领域将有望取得重要进展。本论文基于国 家自然科学基金资助课题“无序介质激光机理的相关研究和“单光子激光的新 机理研究的基础上，进一步研究了基于量子干涉效应下的量子调控导致的物理 现象，其主要内容包括： 1 、量子调控以及量子干涉韵研究概况及当前的研究动态和应用展望。 2 、介绍相关的研究方法、理论工具基础。具体介绍了波函数、狄拉克符号，量子 电偶极子、密度矩阵表述法、非线性光学极化率、几种物理绘景以及半经典理论 和量子理论。 3 、研究t t r i p o d - t y p e 四能级原子与三光场相互作用系统的基于量子干涉效应的 量子调控下，在共振一近共振区域探测光出现了e i t 现象，实现了光开关效应利用 量子干涉机制电磁诱导，在一定的弱探测场区间实现了介质的左手效应。并比较 了抽运场，控制场，探测场的光场强度对该效应的影响。 4 、研究了具有超精细结构的四能级原子系统在电磁感应下的左手效应，讨论了 由交叉耦合自发辐射路径引起的真空诱导相干( v i c ) 对左手效应的影响。 国家自然科学基金( 批准号：6 0 2 7 8 0 1 6 ，6 0 7 6 8 0 0 1 ) 资助的课题 关键词：量子干涉；电磁感应透明；开关效应；真空诱导相干；左手效应。 q u a n t u mi n t e r f e r e n c ei nq u a n t u mo p t i c sh a sb e e nd i s c u s s e de x t e n s i v e l yr e c e n t l y ， m a n yi n t e r e s t i n gp h e n o m e n ah a v eb e e no b s e r v e dd u e t oq u a n t u mi n t e r f e r e n c ea m o n g m u l t i c h 锄c l si nm u l t i l e v e la t o m i cs y s t e m s o nt h eo t h e rh a n d ， a san e wb r a n c ho f s c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , q u a n t u mm a n i p u l a t i o ni sv e r y a c t i v et h e s ey e a r s i t s d e v e l o p m e n tm a yc h a n g ec o m p u t e r , m e d i c a ls c i e n c e ，c h e m i s t r ya n d l i f es c i e n c e s ，e t c t h o r o u g h l y , t h u sm a k eh u m a n l i f ec h a n g et r e m e n d o u s l y a tp r e s e n t ，t h es t u d yf o c u so f q u a n t u mm a n i p u l a t i o ni sp h y s i c a lr e a l i z a t i o n ，a n dt h e r e s e a r c ho ft h eq u a n t u mc o n t r o l s y s t e mi sa l s om a i n l yi nt h es t a g eo ft h e o r e t i c a le x p l o r i n g i n t h i st h e s i s ，b ym e a n so f q u a n t u mo p t i c st h e o r y ，w eh a v ei n t e n s i v e l yi n v e s t i g a t e dt h ep r o b l e mt h e o r e t i c a l l y ， a n das e r i e so fm e a n i n g f u lr e s u l t sa r eo b t a i n e d q u a n t u mi n t e r f e r e n c ei sv e r yd i f f e r e n tf r o mt h ec l a s s i c a li n t e r f e r e n c e ，w h i c h b r e a k st h r o u g ht h et r a d i t i o n a lb o t t l e n e c kw h i l el e a d i n gi n t ot h es u p e r p o s i t i o np r i n c i p l e i n q u a n t u mm e c h a n i c s ，i tm a k e si m p o r t a n tp r o g r e s si n m a n yf i e l d se s p e c i a l l yi n q u a n t u mi n f o r m a t i o n ,q u a n t u mc o m m u n i c a t i o n e n c r y p t i o n a n dl i g h tq u a n t u m c o m p u t e r ，e t c t h i st h e s i s i sb a s e do nt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f c h i n a “ar e l e v a n ts t u d yo ft h en e wm e c h a n i s mo nl a s i n gi nr a n d o mm e d i a a n d s y u d yo ft h en e w m e c h a n i s mo ns i n g l ep h o t ol a s e r ，w eh a v ef u r t h e rs t u d i e dm a n y k i n d so fq u a n t u mm a n i p u l a t i o np h e n o m e n ao nt h eb a s i so fq u a n t u mi n t e r f e r e n c e t h e k e yp o i n t so ft h i st h e s i sa r ep r e s e n t e d a sf o l l o w s ： 1 o v e r v i e wt h et e n d e n c yo ft h eq u a n t u mi n t e r f e r e n c ea n dq u a n t u mm a n i p u l a t i o n 2 m a k i n ga na n a l y s i so fr e l e v a n tr e s e a r c ha p p r o a c h e s ，t o o lf o u n d a t i o n so f t h et h e o r y i n c l u d e dw a v ef u n c t i o n ，q u a n t u md i p o l e ，t h e o r yo fd e n s i t ym a t r i x ，n o n 。l i n e a ro p t i c p o l a r i z a b i l t ys e v e r a lk i n d so f b a s i cr e p r e s e n t a t i o na n ds e m i - c l a s s i c a lt h e o r ya n d q u a n t u mt h e o r y 3 s t u d yu n d e rt h eq u a n t u mm a n i p u l a t i o no nt h e b a s eo ft h eq u a n t u me f f e c t so fa t r i p o d t y p ef o u r - l e v e la t o ms y s t e mi n t e r a c t i n g w i t ht h r e el i g h tf i l e d s ，t h e r ei sa p h e n o m e n o no fe l e c t r o m a g n e t i ci n d u c t i o nt r a n s p a r e n ti n r e s o n a n c e - n e a rr e s o n a n c e c a s e ，h a v ea p p e a r e do p t i c a ls w i t c h i n ge f f e c t u n d e r t h ee l e c t r o m a g n e t i s mi n d u c e m e n t o fq u a n t 啪i n t e r f e r e n c e ，l e f th a n d e d n e s sc a r r yo u to nt h ew e a kp r o b ef i e l d ，a n dh a v e c o m p a r ep u r e pf i e l d 、p r o b ef i e l d ，c o n t r o lf i e l di n t e n s i t y e f f e c to nt h el c f th a n d e d n e s s 4 t h ee l e c t r o m a g n e t i c a l l yi n d u c t i v el e f t h a n d e d n e s si naf o u r - l e v e la t o m i cs y s t e m i i a s s o c i a t e dw i t hap a i ro fu p p e re x c i t e dh y p e r f i n el e v e l sh a sb e e ni n v e s t i g a t e d t h e p r o p e r t i e so fl e f t - h a n d e d n c s sw i t hv a c u u m i n d u c e dc o h e r e n c ea r i s i n gf r o mt h eo o s s c o u p l i n gs p o n t a n e o u se m i s s i o np a t h w a y sh a v ea l s ob e e nd i s c u s s e d t h i sp r o j e c ti ss u p p o s e db yt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( g r a n tn o n o 6 0 2 7 8 0 1 6 、n o 6 0 7 6 8 0 0 1 ) k e yw o r d s ：q u a n t u mi n t e r f e r e n c e ；e l e c t r o m a g n e t i ci n d u c e dt r a n s p a r e n c y ；o p t i c a l s w i t c h i n g ；v a c u u mi n d u c e dc o h e r e n c e ，l e f th a n d e n e s se f f e c t n l 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究战果。搌我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文 1 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直u 呈- - 4 太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：弓蘧姊 签字日期：沙梅胡7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解壶昌盔堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：方辇请导师签名： 戈ll 匕禾 爿譬 三i 列ji1 日 i 签字目期： 2 味年h 月i7 日 第一章引言 1 1 量子调控简介 第1 章引言 物理学研究物质的基本结构和物质运动的普遍规律，它的研究前沿涉及物质 的微观结构、宇宙的结构和演化、凝聚态和生命物质，以及原子、电子、光量子 等量子体系。原子、分子物理、光学和凝聚态物理是物理学中涉及面广、影响深 远的领域。一方面，它们为微观、宇观世界的研究和化学、生命科学、环境科学 等学科提供理论概念、方法和实验手段；另一方面，它们为半导体、激光、超导、 纳米、信息、能源、材料等科学技术提供科学基础。如何认识和调控电子、光子、 原子、分子及凝聚态中的量子现象是将这些重要领域联系起来，孕育和推动新一 代技术革命的前沿课题。国家中长期科学和技术发展规划纲要( 2 0 0 6 2 0 2 0 年) 已将“量子调控研究 列为基础研究的四项重大研究计划之一。美国科学 院联合会发布的原子、分子物理和光学委员会2 0 1 0 年的前瞻报告，标题就是“调 控量子世界 。从1 9 7 7 年至u 2 0 0 5 年，与“量子调控有关的诺贝尔物理和化学奖 有1 6 项，包括整数( 1 9 8 5 ) 和分散( 1 9 9 8 ) 量子霍耳效应、氦3 超流的发现( 1 9 9 6 ) 、 高温超导( 1 9 8 7 ) 、超导和超流理论( 2 0 0 3 ) 、激光俘获和冷却原子( 1 9 9 7 ) 、 玻色一爱因斯坦凝聚( 2 0 0 1 ) 、电子和扫描隧道显微镜( 1 9 8 6 ) 、量子光学和激 光光谱学( 1 9 8 1 、1 9 9 9 化学、2 0 0 5 ) 、电子态计算( 1 9 9 8 化学) 等。 量子调控的思想萌芽很早，1 9 8 4 年，诺贝尔物理奖得主、非线性光学大师n b l o e m b e r g e n 最p 有此想法，但由于当时激光控制技术并不成熟，因此当时并未获 得人们的重视。在1 9 9 0 年时r s j u d s o n 1 提出了具体的量子调控的设想，并使用 于碳氢键的哈密顿量中；在1 9 9 2 年，r s j u d s o n 1 继续提出学习控制( 1 e a r n i n g c o n t r 0 1 ) 的想法，即通过观察光与分子相互作用所产生的信号( 如荧光、电离量 等等) ，迅速分析此信号，并与人们所要的目标状态( t a r g e ts t a t e ) 做比较，然 后把比较结果反馈给激光，“告诉 激光如何改变其参数来使分子达到目标状态。 在实验上，量子调控的进展也相当迅速。1 9 9 2 年，e o p o t t e r 等p 1 人，发现 碘原子与氙原子化合成x e l 分子的反应，可用脉冲延时法( 相对于泵浦脉冲) 来达 到控制中间过程的目的。在1 9 9 5 年，l z h u 等”1 发现，对于激光相位的改变，h 1 分子有不同的电子游离阈值( i o n i z a t i o nt h r e s h o l d ) 。在1 9 9 6 年，a s h n i t m a n 等 p 1 甚至可以利用连续波激光( c wl a s e r ) 控制钠分子不同的电离态。其方法是：利 用另一中频率的光去“干扰 钠的双光子跃迁波函数。这个实验甚至不需要二激 光场有相干性( c o h e r e n t ) 。1 9 9 7 年以后，由于激光控制技术的进展，分子的量子 第一章引言 调控实验越来越成熟，c j b a r d e e n 等一1 于1 9 9 7 年成功最佳化染料的荧光信号， 证实“学习控制观点的可行性。1 9 9 8 年a a s s i o n 等1 利用电压调整液晶的折 射率空间分布来“整型脉冲，并利用计算机从事“学习控制过程，成功地证 实了可利用脉冲整型来控制化学反应的过程及其产物。在1 9 9 8 年，d m e s h u l a c h 等p 1 成功证实了在铯原子中，经波函数的破坏性干涉，可以使原本存在的电子能 级跃迁无法产生。1 9 9 9 年，t c w e i n a c h t 等p 1 人曾成功的利用量子调控的方法， 探测出在接近连续高能级( r y d b e r gs t a t e ) 下铯原子的波函数形状。这证实了人 们可由实验把“波函数 描绘出来。在2 0 0 0 年，j k u n d e 等u w 展示了利用脉冲 整型及反馈控制方法来控制半导体的非线性特性。2 0 0 1 年，s m h u r l e y 和a w c a s t l e m a nj r u u 首度实验上证实了量子调控，他们所用分子量子调控技术已十 分精湛，不但可选择切断何种键，还可选择形成何种键。2 0 0 1 年，t h y o o n 等u 引在理论上证明，人们无须对脉冲整型，只要适当调整脉冲相位及单位时间 内与物质相互作用的次数，即可对波函数干涉进行控制。 量子调控当前研究的方向之一：物质波包控制。其思想即希望把波函数永远 控制在人们需要的状态上，例如，使用频率间隔、频率间之相位均固定的光梳子 激光( c o m bl a s e r ) 1 ，与经由激光冷却之铯原子相互作用，适当的调整激光的 参数使铯原子中双光子跃迁有最大的跃迁几率，即令波函数有加强性量子干涉， 并经用反馈控制的方法，控制激光系统的绝对频率，因此同时控制了光子状态的 明确性和稳定性。 当前研究的方向之二：单原子的俘获及操控。激光冷却技术的发展，弥补了 扫描隧道显微镜技术无法脱离样品表面来完成对原子分子俘获的缺陷，实现了在 微观上操纵分子原子，按意愿改变原子分子间的排列组合的伟大梦想。例如用激 光来俘获所需原子，再利用激光输送其到需要的位置，从而组合成新的分子；将 来人类甚至可利用激光俘获d n a 大分子，取代上面某些原子，来改善动物或人类 的基因。德国马普学会量子光学研究所已在欧洲核子中心启动了利用激光冷却技 术俘获反氢原子的项目，目的是研究反氢原子和氢原子间的异同。拉开了人类控 制并利用反物质的序幕。 当前研究方向之三：量子态的操控。由于冷原子运动速度比较慢，能级结构 比较稳定，比热原子有更明确的量子态。所以更容易利于对其量子态进行调控。 冷原子量子态变化反过来又控制光信号而实现信息处理。人类研究量子计算机的 最大绊脚石是量子态的退相干，由于冷原子相干时间长，能很好的克服退相干效 应。目前常用的量子态控制手段有：电磁诱导透明( e i t ) ，相干俘获( c p t ) 。 1 2 量子干涉效应及其重要物理现象 2 第一章引言 近年来，对相干场驱动下多能级量子体系的研究发现了许多新的物理现象。 这些基于量子干涉效应下的新现象。包括相干粒子数捕获( c p t ) 、电磁感应透明 ( e i t ) 、无反转激光( l w i ) 和自发辐射修正( m s e ) 等等，已引起了物理学界的 极大关注。对这些现象的深入研究，无论从理论上还是从实验上都具有重要的学 术意义和潜在的应用前景，对激光物理学、激光光谱学及原子、分子物理学的发 展必将产生深远的影响。 作为多能级系统量子干涉效应的核心，相干粒子数捕获现象是最重要也是 最早开展的一个课题。在一个具有两个相邻下能级的二能级系统中，如果采用两 个频率差等于下能级间距的相干场将该二下能级与上能级耦合，下能级之间的相 干迭加态上会发生粒子数捕获现象，这种相关迭加态被命名为c p t 态。 a l z e t t a 等人u 叫于1 9 7 6 年第一次在纳分子蒸气中观察到相干粒子数捕获 现象。在他们的实验中，当基态的超精细跃迁与多模激光的两个模匹配时，纳分 子荧光强度会稳步下降。g r a y ，w h i t e l y ，s t r o u d 和m u m i c k 等人p 刘也先后发表了 类似的实验报道，1 9 7 9 年，o r r i o l s 叫从同步激发通道之间的非线性相干效应的 角度对这些实验进行了理论解释。从此c p t 态开始成为量子光学领域的研究热点 之一。不同情况下的粒子数捕获条件以及包括弛像机制、光场的强度和带宽在内 的各种因素对相干粒子数捕获效应的影响得到了全面的研究。1 9 9 3 年， a g a r w a l u 将量子场引入到c p t 研究中，发现了一些新的物理特征。1 9 9 5 年， j y o t s n a u 驯研究了弱场下的c p t 效应，并与同年得到实验验证。 进入九十年代以来，c p t 概念被实际应用到许多相关领域，其中最重要的应 用为态与态之间的相干布局转移u 引和无反转激光唧1 的实现。在激光诞生之前， 关于无反转光放大的设想已经产生，但由于获得的放大光频率与驱动场频率相隔 太近而不具备使用价值。自8 0 年代以来，多种利用量子干涉效应实现无反转光 放大的理论模型被提了出来。早期的研究重点在于实现强泵浦下的二能级系统无 反转激光行为。随后，人们把注意力集中到多能级系统中由激光诱导的无反转激 光模型上，因为在这样的系统中有望获得反转激光原理无法获得的特定电磁波中 的激光震荡，比如u v 和x - r a y 激光。对无反转激光的原理验证性研究已经获得 了丰硕的成果。有关无反转激光的独特性质，如线宽压窄和幅度抑制，以及自脉 冲行为和频率上转换效应也得到了深入的研究。 电磁感应透明是继无反转激光之后量子光学领域内又一个研究热点。顾名 思义，电磁感应透明是指在吸收介质中采用探测场探测某一处于强场耦合作用下 的跃迁而显出的透明效应。e i t 概念首先由i m a m o g l u 和h a r r i s 川于1 9 8 9 年提 出，并由b o l l e r 、i m a m o g l u 和h a r r i s 于1 9 9 1 年首次在s r 原子样品中实验观 察到。随后，h a k y r a 等人p 1 提出，采用直流电场作为耦合场亦能诱导透明现象。 3 第一章引言 不久，d o p p l e r 受限连续波被e i t 也在几个研究小组得到实验验证m 哂1 。除了吸 收抑制效应，e i t 系统同时存在着独特的色散性质，这一方面的理论与实验研究 也吸引着人们的研究兴趣，诱导相位匹配，诱导匹配脉冲效应和缀饰脉冲等新概 念都是与e i t 思想的直接产物。 对e i t 的深入研究有其潜在的巨大应用前景作为驱动力。因为e i t 可以方 便地推广到其它相关领域，例如非线性混频过程的实现、无反转激光的具体实现 以及p h a s e o n i u m 介质的制备等等。尤其引人注目的是，e i t 可被直接应用到诸 如同位素分离和磁场计研究等领域。 对量子体系自发辐射光谱的控制和修正是一个具有二十多年研究历史的课 题。共振荧光的三峰结构早在七十年代初期就已经得到了发展。腔电动力学亦曾 预言自发辐射光谱的增强和抑制效应。随后，在驱动力场作用下腔限二能级的自 发辐射的动态抑制也得到了研究。1 9 9 0 年，n a r d u c c i 、s c u l l y 等人忡1 提出三能 级原子系统会出现自发辐射光谱线型压窄的预言，并于次年得到实验验证“。 1 9 8 9 年，s c u l l y ，z h u 等人1 运用c p t 概念研究了在具有两个相邻上能级的 三能级系统中由于c p t 态量子干涉效应所导致的自发辐射相消现象( s s e ) 。对 m s e 的理论研究从此达到一个高潮，诸如产生m s e 的量子干涉条件、m s e 的缀饰 态处理以及在特定条件下特殊线型的预言等研究成果在九十年代中期取得1 9 9 6 年，x i a 等人发表了观察自发辐射相消现象的实验报道”。 真空诱导相干( v a c u u mi n d u c e dc o h e r e n c e ) 现象是当一个原子的两个基 态能级或激发态能级靠得很近时，它们与另一个能级构成的跃迁同时与相同辐射 的真空场的相互作用所导致出的相干性，其条件非常苛刻。v i c 效应最早被 a g a r w a l 闭1 发现，j j a v a n i n e n p u 于1 9 9 2 年提出人型三能级原子的v i c 效应。v i c 效应会导致一系列有趣的物理现象：自发辐射禁戒和淬灭，原子系统中的吸收和 色散性质的变异。 到目前为止，对多能级系统量子干涉效应的研究兴趣主要集中在相干粒子 数捕获、电磁感应透明、无反转激光以及自发辐射修正等特殊的新物理现象上。 所涉及的理论模型主要包括人型和阶梯型等原子模型。实际上，量子干涉效应普 遍存在于原子、分子等各种量子体系中，它不仅能够导致如前所述的各种特殊的 新物理现象的产生，也必然影响原子、分子等各种体系的光谱学基本特征。对于 给定的任意多能级系统，在系统满足量子干涉条件的情况下，研究其中量子干涉 效应的表现，是一个具有重要学术价值的课题。 1 3 本论文的主要工作 4 第一章引言 本人在前人研究的基础上，特别是在“单光子激光的新机理研究和“无 序介质激光机理的研究国家睽基金项目的基础上，进一步研究多能级原子多 模场的相互作用系统中利用量子干涉效应来实现量子调控。 在第二章中介绍了量子干涉的理论基础，其中包括波函数，量子电偶极子， 狄拉克算符，纯态和混态下的密度矩阵，半经典理论和全量子理论以及几种基本 物理绘景等光场与原子能级系统相互作用的理论工具基础。 第三章研究了t r i p o d - t y p e 四能级原子与三光场相互作用系统的量子干涉 效应下的量子调控。第一节中讨论了在t r i p o d t y p e 四能级原子与三光场相互作 用系统中，在基于量子干涉的量子调控下，在一定条件下适当改变控制场的拉比 频率，探测场对应的介质色散曲线可以实现从反常色散到正常色散的转变，出现 了开关效应。通过控制参数条件，实现共振一近共振区域的电磁感应透明等一系 列非线性效应。该工作已被量子光学学报录用。在第二节中该系统在多探测 场区间在量子干涉机理的量子调控下，介质的相对介电常数和相对磁导率受电磁 感应发生显著变化，介质出现左手效应。在此基础上还进一步比较了抽运场，控 制场，探测场的光场强度对该效应的影响。 第四章研究了具有超精细双线结构的四能级原子与两激光场相互作用的量 子系统，在弱探测场的条件下，选择适当的光场与原子系统相互作用的参量条件， 利用量子干涉机制在一定的频率区间实现介质的左手效应。同时还讨论了由两衰 变通道之间交叉耦合引起的v i c 效应对系统出现的左手效应的量子调控。该工作 已被物理学报录用。 第五章对全文进行总结，并展望了本论文的可后续工作。 5 第二章光场与原子能级系统相互作用理论基础 第2 章光场与原子能级系统相互作用理论基础 2 1 波函数 在对量子光学中所遇见的系统进行分析时，我们首先用量子力学中的波函 数，如妒( ，f ) l f ，( r ，t ) 。后续工作中将用到与之相关的量，即态矢眇) 以及密度矩 阵j d 。为了介绍波函数，这里具体考虑束缚电子。对于电子波函数最直接的物理 诠释是通过说明其绝对值之平方 妒( ，f ) l f ，( ，t ) ( 1 ) 这个量是t 时刻在点r 处发现该电子的几率密度。由此，在t 时刻在围绕点尹的体 积元d 3 ，中发现该电子的几率是 妒( ，f 渺( ，f 矽3 ， ( 2 ) 由于这个粒子在全空间中被发现的几率之和应等于1 ，所以波函数是归 一化的，即 阳( ，f 砂( ，t ) a 3 ，一1 ( 3 ) 根据对( 1 ) 式的解释，电荷密度应该由印+ ( ，f 砌( ，f ) 给定。电荷密度的来 回振荡，将产生一个振荡的偶极矩。 在量子力学中，可观察量由作用在波函数上的算符表示。假设可观察量 是可以测量的，其算符用6 来表示，则其期望值为： 军p 3 砷( ，f ) o ( 尹) f ，( ，f ) ( 4 ) 给出了对系综测量的平均值，属于系综的每个系统都由妒( ，f ) 描述。 一个特别重要的量是电偶极矩。经典的电偶极矩定义为罗呸噍，其中呸 是第f 个电荷，d ，使这个电荷相对于一个方便地选定的原点的位置矢量，对于 单电子原子，电偶极矩是e r 。在量子力学中，电偶极矩算符是e l ，电偶极矩 由下面的期望值为： ( e r ) 。p 3 砷( ，f ) e 却( 广，f ) = d 3 1 ( 砷矽) ， ( 5 ) 由于e l f ，v 是电荷密度，所以e l 得期望值就是电偶极矩的空间平均。 波函数的时间演变由薛定谔方程 i h 矽( r ，f ) 一n ( r ，p 渺( ，f ) ( 6 ) 6 第二章光场与原子能级系统相互作用理论基础 来确定，其中t t ( r ，j p l ) 是以妒( ，f ) 所描述的系统得哈密顿算符，p 为动量。薛定 谔方程的通解是简单振荡解的线性组合，有如下形式： 妒( ，f ) 一q ( r ) e x p ( 一i 0 2 n t ) ( 7 ) 由于波函数缈( ，f ) 和本征函数“。( ，) 是归一化的，则展开系数应满足： i e l 2 - 1 ( 8 ) 这里指出，( 8 ) 式中所表示的诸态的叠加导致几率幅之间的量子干涉，正 如电场幅度在迈克耳逊干涉仪中发生的干涉一样。 2 2 狄拉克符号 用波动力学和矩阵力学两种方法来描述量子体系状态，都有共同特点是：与 体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量 的本征函数的线性组合，而展开系数的模平方均具有力学量概率的含义。 狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量态矢，并引进了 一套“狄拉克符号 ，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。不从单一角度描 述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念。 任何力学量完全集的本征函数系缸。 ) 作为基矢构成希尔伯特空间( 以离散 谱为例) ，微观体系的状态波函数1 ：f ，作为该空间的一个态矢，有 妒一口。h 。 ( 9 ) 口。即为态矢妒在基矢“。上的分量，态矢妒在所有基矢恤。 上的分量仁。 构成了 态矢在缸。 这个表象中的表示( 矩阵) 妒i 口1 口2 ： 口 ： 妒+ ( 口：，a l ，口：，) ( 1 0 ) 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空 间。其中( 9 ) 式中的比。只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；( i 0 ) 式的右方是妒的函。) 表象。 设态空间中两个任意态矢妒_ 与妒口在同一表象缸。卜p 的分量表示各为 口。 与侈。) ，则两态矢内积的定义为 7 第二章光场与原子能级系统相互作用理论基础 勺p 眇，c 口：，c z ；， ，c z ：， 。喜 - 罗口 ( 1 1 ) _ 一 注意：妒：缈j 一缈；妒 态空间中的妒与妒+ 在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该 分属于两个不同的空间，互为伴随空间。 引入符号l ，称为右矢。微观体系的一个量子态缈用眇 表示，| l f ， 的 集合构成右矢空间，阿 在右矢空间中的分量表示可记为矩阵： 眇 一 口1 a 2 ： a ： ( 1 2 ) 约定：右矢空间的态矢妒，妒4 ，妒口，一律用字母陟 ，l l f ， ，p 置 ，表示；力学 量的本征态矢一律用量子数1 1 ，1 2 ，k ，k 砌 ，或连续本征值协 表示。 引入符号 i ，称为左矢微观体系的一个量子态妒也可用 与 妒i 的分量互为共轭复数 的内积定义为同一表象下伴随 空间中相应分量之积的和 - 口。w + + 口。w - 口。b ： ( 1 4 ) 这里 葺 ，i 万 ，ia 仍为抽象的本征矢o 2 3 量子电偶极子 由于电子的几率密度是由于电子波函数1 ；f ，+ ( r ，f 渺( ，f ) 确定的，所以任何时刻 都是已知的，这样有效电荷密度为缈( ，f ) l f ，( ，f ) ，例如，考虑一个初始处于基 态的氢原子，具有如图2 1 中所示的球形电荷分布，这里平均电子电荷是集中 在球心上，施加一个电场力会使得这个分布相对于带正电的原子核位移，如图 所示，然后撤去这个电场，结果会由于库仑相互作用，而使电荷球跨越核来回 振荡，这个振荡的偶极子与一个弹簧上的电荷行为相当类似。 8 第二章光场与原子能级系统相互作用理论基础 ( a ) p = 0 ( b ) p 0 图2 1 ( a ) 氢原子的球形电荷分布( b ) 施加电场使电荷分布相对于带正电丽的核位移 下面考虑二能级原子，设时刻f 一0 ，原子处于基态，其波函数为： 妒( ，o ) a “。( ，) ( 1 5 ) 然后，再电场力作用下，在较迟的时刻，波函数由本征函数的叠加给出，即： 妒( ，t ) = c ：( t ) e x p ( - i c o 。t ) u 。( ，) + c ：q ) e x p ( - - i w b t ) u 6 ( ，) ( 1 6 ) 由于波函数是确定到一个未定的相因子，所以可以将( 1 0 ) 式写作为： 妒( ，f ) - c 口( t ) c x p - i ( c o - - c o b ) t u 。( ，) + g q ) u 6 ( ，) ( 1 7 ) 为了说明问题，假定“。( ，) = tu ：。( ，) ，u b ( ，) mu 。( ，) ，并令一心一魄。则在时刻 t 2 n , r r m ，( 1 7 ) 式中指数因子为1 ，而波函数( 1 7 ) 化成为： 妒( ，2 n a ) c ：“。( ，) + g ( ，) ( 1 8 ) c c ， 在时间万以后，即在时刻f 一2 n z v t o 时，( 1 7 ) 式中指数因子为一1 ，而则波函 数为： 妒( r ，业) 。一q “。( ，) + q ( ，) ( 1 9 ) 倒 通过求( 1 8 ) 式和( 1 9 ) 式的模方，可以发现在时间过程中几率密度是一直在来 回振荡的，产生一个震荡的偶极子，这个偶极子的期望值为： ( e r ) 一b c , qe x p ( 一i a 】! t ) + c c ( 2 0 ) 其中，b e z , 。b 为电偶极子矩阵元的量值。 这样，只要确定系数c 口和q ，或者仅确定它们的双线性乘积e q ，就可以 定出感生偶极矩。 2 4 密度矩阵表示法 对于经典的二能级原子系统，波函数可以写成： f f ( r ，t ) 一c 口o 姐。( r ) + c 6 g 如6