（概率论与数理统计专业论文）几类线性模型中的可容许性估计.pdf

j t夏 窑 垣亟堂焦迨塞生塞翅翌 中文摘要 摘要：参数估计的可容许性是从统计判决的角度来衡量估计的优良性的一种标准， 它是衡量估计优良性的重要准则之一。对于一元线性模型中可容许性的研究已经 比较成熟，有了系统和完整的理论结果。本文主要研究了矩阵损失下，一些多元 线性模型中参数估计的可容许性，得到了这些模型中参数估计的可容许性的充分 必要条件。 本文首先概述了可容许性及矩阵的一些基本知识，第二章介绍了矩阵损失下 一元线性模型中参数估计可容许性的一些基本结论，第三章与第四章分别讨论了 三类线性模型中参数估计的可容许性问题。一、矩阵损失下带约束多元线性模型 中线性估计的可容许性问题，揭示并证明了矩阵损失下带约束多元线性模型中线 性估计的可容许性与带约束一元线性模型中线性估计的可容许性在齐次线性估计 类中是等价的这一特征，从而可以将一元线性模型中可容许性的相关结论推广到 多元线性模型中，得到了带约束多元线性模型中线性估计在齐次线性估计类是可 容许估计的充分必要条件；二、矩阵损失下带约束的生长曲线模型中线性估计的 可容许性问题，在一定的条件下证明了带约束生长曲线模型中线性估计的可容许 性与带约束一元线性模型中线性估计的可容许性在齐次线性估计类中也具有等价 性，得到了带约束生长曲线模型中线性估计在齐次线性估计类是可容许估计的充 分必要条件；三、矩阵损失下多元随机线性模型中回归系数和参数的同时估计的 可容许性问题，在齐次线性估计类中得到了回归系数和参数的同时估计是可容许 估计的充分必要条件。 关键词：矩阵损失；多元线性模型；生长曲线模型；多元随机线性模型；可容许估 计 分类号：0 2 1 2 4 j e 立銮堂亟堂焦论塞垦s 至基! a b s t r a c t a b s t r a c t ：a d m i s s i b i l i t y i so n eo ft h ei m p o r t a n tc r i t e r i o n st oc o m p a r et h eg o o d n e s s o fe s t i m a t o r si nt h ev i e wo ft h es t a t i s t i c a ld e c i s i o n n et h e o r e ma b o u tt h e a d m i s s i b i l i t y i nt h es i n g l el i n e a rm o d e li s c o m p a r a t i v em a t u r i t y , a n di n c l u d e s i n t e g r a t e ds y s t e m i cr e s u l t s i ns o m ew i d e l ya p p l i c a b l em o d e l s ，u n d e rm a t r i xl o s st h i s p a p e rs t u d i e st h ea d m i s s i b i l i t yo fl i n e a re s t i m a t o r sa n dg e t ss o m es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n sa b o u ta d m i s s i b i l i t yo f e s t i m a t o r s w jf i r s ts t a t es o m eb a s i ct h e o r ya b o u tm a t r i xa n da d m i s s i b i l i t y a n dt h e n , w e i n t r o d u c es o m ec o n c l u s i o n sa b o u tt h ea d m i s s i b i l i t yo fe s t i m a t o r si nt h es i n g l el i n e a r m o d e l i nt h et l l i r dc h a p t e ra n df o m lc h a p t e r , w es t u d ya d m i s s i b l ee s t i m a t o r si nt h r e e t y p e so fl i n e a rm o d e l s 1 w es t u d yt h ea d m i s s i b i l i t yo ft h el i n e a re s t i m a t o ri na r e s t r i c t e dm u l t i v a r i a t el i n e a rm o d e lu n d e rm a t r i xl o s s w ep r o o ft h ef a e tt h a tt h e a d m i s s i b i l i t yo ft h el i n e a re s t i m a t o ri nar e s t r i c t e dm u l t i v a r i a t el i n e a rm o d e lu n d e r m a t r i xl o s si si d e n t i c a lw i t ht h a to ft h el i n e a re s t i m a t o ri nt h er e s t r i c t e ds i n g l el i n e a r m o d e lu n d e rm a t r i x1 0 s s s ow ec a ng e n e r a l i z et h ee n n c l u s i o no f t h e1 i n e a re s t i m a t o ri n t h er e s t r i c t e ds i n g l e1 i n e a rm o d e lt ot h a to ft h el i n e a re s t i m a t o ri nar e s t r i c t e d m u l t i v a r i a t el i n e a rm o d e lf r o m f r o mt h a tw ec a l lo b t a i nt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o no fa d m i s s i b l ee s t i m a t o ro fr e s t r i c t e dm u l t i v a r i a t el i n e a rm o d e l 2 w es t u d y t h ea d m i s s i b i l i t yo ft h el i n e a re s t i m a t o ri nar e s t r i c t e dg r o w t hc u r v em o d e lu n d e r m a t r i xl o s s w ep r o o ft h ef a c tt h a tt h ea d m i s s i b i l i t yo ft h el i n e a re s t i m a t o ri na r e s t r i c t e dg r o w t hc u r v em o d e ll i n e a rm o d e lu n d e rm a t r i xl o s si si d e n t i c a lw i t ht h a to f t h el i n e a re s t i m a t o ri nt h er e s t r i c t e ds i n g l el i n e a rm o d e lu n d e rm a t r i xl o s s f r o mt h a t w ec a ne a s i l yo b t a i nt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f a d m i s s i b l ee s t i m a t o r si n t h eh o m o g e n e o u sl i n e a rc l a s s 3 w es t u d ya d m i s s i b i l i t yo ft h em u l t i v a r i a t es t o c h a s t i c l i n e a rm o d e l u n d e rt h em a t r i xl o s sf u n c t i o n t h en e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n s t h a tas i m u l t a n e o u se s t i m a t o ro f r e g r e s s i o nc o e f f i c i e n ta n dp a r a m e t e r si sa d m i s s i b l ei n t h ec l a s so f t h eh o m o g e n e o u sl i n e a re s t i m a t o r sa r eo b t a i n e di nt h i sp a p e r k e y w o r d s ：m a t r i xl o s sf u n c t i o n ；g r o w t hc u r v em o d e l ；m u l t i v a r i a t el i n e a r m o d e l ；a d m i s s i b l ee s t i m a t i o n ；m u l t i v a r i a t es t o c h a s t i ce f f e c t i v el i n e a rm o d e l c l a s s n o ：0 2 1 2 4 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 王惠惠导师签名；张尚立 签字日期：2 0 0 7 年1 1 月1 3 日签字日期：2 0 0 7 年1 1 月1 5 日 j b 塞窑适态堂亟堂焦途塞独剑丝岜盟 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期：2 0 0 7 年1 1 月1 3 日 致谢 研究生阶段的学习即将结束，回想在北京交通大学的求学过程，首先要感谢 我的导师张尚立老师，他在学习上给予我不倦的教诲，悉心的指导和深切的关怀。 张尚立老师严谨求实的治学态度、精益求精的科研作风和精深渊博的领域知识给 了我极大的帮助和影响。他不仅为指导我的学习和科研工作倾注了大量的心血， 在生活上也给予了我很大的关心和帮助，在此，谨向张老师师表示深深的敬意和 衷心的感谢! 其次，我要感谢理学院的各位老师对我的大力支持与鼓励。在校期间，我得 到了理学院诸位老师给予的指导与帮助。许多老师都曾给我上过课，他们兢兢业 业，勤勤恳恳，把自己的一生都献给了科学教育事业，值得我永远学习。他们高 尚的道德情操和对数学独到的见解深深地影响了我，使我不断进步。在此，向他 们表示我最衷心的祝福和谢意! 最后我要借此机会向养育我成人的父母和亲爱的哥哥表达我最深切的感激之 情。家人多年来默默无闻的在背后支持我，给了我一个舒适安定的学习环境，正 是他们无私的支持和不断的的鼓励使我得以顺利完成学业，衷心感谢他们! j b丞蛮垣盔堂亟堂鱼途童翦直 1前言 线性模型是数理统计中发展较早，理论丰富而且应用性很强的一个重要分支， 一些富有实际意义的统计分支诸如回归分析，方差分析和多元分析等，都以这种 模型理论为基础或与之有密切联系。 线性模型的参数估计问题的研究可以追溯到上世纪初。著名数学家 a m l e g e n d r e 和c f g a l l s s 分别先后于1 8 0 6 年和1 8 0 9 年独立地把最d , - 乘法应用于 观测数据的误差分析，后来，a a m a r k o v 于1 9 0 0 年证明了最d , - 乘估计的方差最 小性质，即著名的g a u s s - m a r k o v 定理，奠定了最小二乘法在参数估计理论中的地 位，r c b o s e 在1 9 4 4 年引入的可估计函数的概念以及广义逆矩阵的应用，使得设计 阵为列降秩的线性模型的估计理论表述得更加严格而简洁。误差协方差阵为列降 秩的线性模型的估计理论的研究始于本世纪6 0 年代中期g o l d m a n 和z e l e n 率先提出 了用满秩线性变换把模型化为协方差阵为盯2 1 且带约束的情形，后来，c r r a o 采 用推广最小二乘的途径，提出了所谓的”最小二乘统一理论”( t h eu n i f i e dt h r o r yo f l e a s ts q u a r e ) 一这种方法既适用于设计阵列满秩或列降秩，又适用于协方差阵奇异 情形。导出的估计形式简单便于理论研究，得到普遍采用，使得奇异的线性模型 和多元线性模型的参数估计问题也可顺利得以解决。 a w a l d 为了要把形形色色的统计问题归纳到一个统一的模式内，于2 0 世纪 4 0 年代末创建了统计判决理论，这个理论对现代统计的发展产生了重大的影响， 极大地丰富和发展了统计推断理论，并由此产生了许多新的研究方向，可容许性 就是其中之一，从实际的角度看，它把统计问题的解看成一种行动，通过分析这 种行动的后果损失，使问题的提法更能适合特定的应用。对线性模型而言， 最基本的问题之一是进行参数估计，以便人们根据参数估计的结果来进行统计分 析，而统计分析结果的好坏往往依赖于参数估计的好坏，尽管数理统计学者提出 了参数的各种估计，但是如何从统计判决的角度来衡量这些估计的优良性，仍然 是一个重要的研究课题，参数估计的可容许性正是用来解决这类问题的重要的统 计工具。 假定研究的问题是要估计莱随机元的分布函数f ( x ，0 ) 中的参数0 ，其参 数空间0 ，失评价和比较采取的判决函数万而产生的后果，引进损失函数l ( o ，巧) 和 风险函数r ( o ，万) ，它们分别表示当参数为口而采取的判决为占时，所遭受的局部损 失和平均损失，两个判决函数的优劣比较全基于其风险函数，称万一致优于j ， 若岛l ( o ，占) e z ( o ，6 ) ，v o 0 ，且不等号至少对某个岛0 成立，若不存在一致 优于占的判决，则称占是可容许的。 j e塞窑适盔堂亟堂焦诠塞 煎壹 显然可容许性是对所采取的判决函数最起码的要求。1 9 5 6 年，s t e i n 给出在模 型，一( 肛) 及二次损失忙一硎4 下，否定了当 3 时，y 为的可容许估计这 一猜想，这个结果给了人们极大的震动，从而可容许性问题引起了统计学家的普 遍关注，这重要的发现成为以后许多工作的起点。 常见的也是最常用的损失函数是二次损失函数和矩阵损失函数。 关于无约束线性模型中( 在二次损失和矩阵损失下) 线性估计的可容许性问题 的结果已较完满，对于带约束的线性模型中的可容许性估计问题，自h o f f m a n n 【1 1 9 7 7 年首次研究了带约束的一元线性模型中回归参数的可容许估计后，文 7 和 8 分别在二次损失与矩阵损失下对带约束的一元线性模型作了进一步的讨论，近年 来很多学者又研究了多元线性模型中回归系数与参数的线性估计的容许性闯题， 取得了很多的进展。 j s 夏窑 道盔堂亟堂焦迨塞亟备翅迟 2 1 矩阵知识 2预备知识 矩阵是研究线性模型最基本的工具之一，为此，我们介绍一些后文需要用到 的一些结论。首先介绍本文中的常用的一些符号： a 7 矩阵4 的转置矩阵 a 0矩阵a 是非负定矩阵 a b即a b 0 a + 矩阵a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆 a 一 矩阵爿的减号广义逆 t r ( a ) 矩阵一的迹 ( 4 )矩阵4 的列向量生成的子空间 j 矩阵a 按列拉直所成向量 a 固b 矩阵一和曰的k r o n e c k e r 乘积 只矩阵a 的正交投影阵 本文所讨论的矩阵皆为实矩阵。 定义2 1 1 对矩阵厶。，一切满足方程组a x a = a 的矩阵x ，称为矩阵a 的广 义逆，记为爿一。 定理2 1 1 设4 为历n 矩阵，设矗( a ) = ，若4 = p ( ，：】q ，这里p 和q 分别 为m 肌，n 的可逆矩阵，则 小q _ f c b d ) 1 ， ( 2 1 1 ) 这里的口、c 和d 为适当阶数的任意矩阵。 推论2 1 1 1 ) 对任意矩阵a ，a 一总是存在的； 2 ) a 一唯一铮a 为可逆矩阵。此时a 一= a 一： 3 )r ( a 一) r ( 4 ) = r ( a 一爿) = 尺( 州一) o 4 ) 若( b ) c ( 爿) ，a ( c ) c - a ( a ) ，则c a b 与a 一的选择无关。 推论2 1 2 对任一矩阵一 1 ) a ( a 彳) 一a 与广义逆( a 彳) 一的选择无关；， 2 ) a ( a 爿) 一a a = a ，a a ( a ) 一a = a 。 下面我们讨论分块矩阵的广义逆。 j t 丞銮适盔望亟圭 坐僮 丝 塞亟蚤知迟 定理z z 设彳= ( 乏：乏i ) 可逆。若f 4 。f 。，则 = ( 缓2 ，1 - i - - - 衙鼍- 篆i - ，i 一絮蠢1 ， 亿他， 若1 4 ：1 0 ，则 = - ii 稚+ 乏稳： ， ， l 一4 ：4 ，：+ 利如再1 ：4 ：j 、。 其中，如，= 4 ：一4 ，钉4 ：，4 。= 4 。- a , ：4 丢4 ，。 如果爿- 1 不存在，考虑它的广义逆。对此，我们有如下结果。 定理2 1 3 ( 分块矩阵的广义逆) 1 ) 若肖1 存在，则 f - ：t ；f 再4 - ，：厶哆一4 1 1 一再1 z 五- 1 ： ( 2 1 4 ) l 4 - 如j i 一，4 。1厶。 j 、7 2 ) 若存在，则 ， ( 乏妒( - 袁缸+ 乏- 麓- i ； 叫， 1 4 。如j l 一如4 - ：+ 4 ，4 ：4 ：j 5 恤1 叫 。) 鼽眭纷。 则爿一：f 筇1 + 4 - ，z - ，一再一再1 e ：- 1 ， ( 2 1 6 ) l一如，4 ，有。4 ：，j 或 ( 一象筇。+ 淼：倒 ， l 一4 4 - 。+ 倒4 。4 - ：4 ：倒j 、 。 其中，4 。= 4 ：一4 ，靠4 ：，4 。：= 4 ，一4 ：4 矗4 ，。 一般说来广义逆4 一有无穷多个。在这无穷多个4 一中，有一个一占有特殊地 位，它就是m o o r e - p e n r o s e 广义逆。 定义2 1 3 设a 为任一矩阵，若彳满足下述四个条件 1 ) 删= 4 ， 2 ) x a x = x ， 3 ) ( a z ) = a x ， 4 ) ( 咒4 ) = ) 5 4 ， 则称矩阵x 为a 的m o o r e - p e n r o s e 广义逆，记为。 定理2 1 4 ( 奇异值分解) 设以。满足r ( 爿) = r ，则存在两个正交方阵只。，q i 。， j e基窑 适盔 堂亟 堂一僮一盗塞亟盔 翅迟 呤弦 眨m ， 其中a ，= d i a g ( 3 l l ，旯，) ， 0 ，i - 1 ，2 ，r ，矸，墨，印为a a 的非零特征根。通 常称a ，乃为a 的奇异值。利用这个引理，可以构造性地给出a + 。 定理2 1 5 1 ) 设一有分解式( 2 1 ，1 ) ，则爿= q ( 乞1 ： p 。 2 ) 对任何矩阵a ，a + 唯一。 因为a + 是一个特殊的a 一，因此，它除了具有a 一的全部性质外，还有下列性 质。 推论2 1 3 1 ) ( 爿+ ) + = a ， 2 ) ( 爿+ ) = ( 4 7 ) + ， 3 ) i a + a ， 4 ) r ( a + ) = r ( 爿) ， 5 ) a + = ( 爿+ ) = a ( a a ) + ， 6 ) ( 4 ) + = a + ( 爿) + ， 7 ) 设n 为对称方阵，它可以表示为4 = 尸( 含 a ，= 西n g c ，一，= 胄c a ，一+ ：- p f 乞1 2 2 参数估计的可容许性 2 2 1 基本概念 考虑一股的参数估计问题，设百为待估参数向量日的一个估计。因为百一般与 真值日有一定偏差，于是基于百的统计决策相对于口会产生一定的损失。用t ( o ，口) 记这个损失函数，其平均损失脱( 舀，口) 称为舀的风险函数，记为r ( o ，臼) 。般采用 的损失函数为0 的二次损失函数和矩阵损失函数。 ( 最刃= 矽一回，d ( 莎一印兰妒一维，d - o l ( o ，曰) = ( 百一目) ( 舀一目) 。 对二次损失( 2 2 1 ) ，其风险函数为： r ( 百，口) = e ( o p ) 7 d ( g 一目) ( 2 ，2 ，! ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 阵矩交正为 p 里这 ， d 尸 p 趵趵 j t 塞 銮 垣盔堂亟堂焦i 金 塞亟备堑塑 称为广义均方误差，简记为g m s e ( o ) 。特别的，当d = ，时，风险函数为 r ( o ，臼) = e ( 百一刚每一口) 皇圳百一郴，( 2 2 4 ) 称为舀的均方误差，常记为m s e ( o ) 。对于矩阵损失( 2 2 ，2 ) ，风险函数为 r ( 0 ，口) = e ( o 一目) ( 臼一口) ， ( 2 2 ，5 ) 称为百的均方误差矩阵，常记为m s e m ( o ) 。 定义2 2 1 ：设萌和怠为目的两个估计，如果对于风险函数r ( ，) ，有 1 ) r ( q ，口) r ( b ，臼) ，对一切0 成立； 2 ) 至少存在一个o o ，使得不等号成立， 则称最关于风险r ( ，) ( 或者说，关于r ( ，) 所对应的损失函数) 一致优于反。若在某 个估计类中，不存在一致优于百的估计，则称百在该估计类中关于风险函数r ( ，) 为 0 的可容许估计，简称百为0 的可容许估计。否则，称百为0 的不可容许估计。 2 2 2 一元线性模型中参数估计的可容许性 为方便记，若关于风险函数( 2 2 3 ) 和( 2 2 5 ) ，万分别为0 的可容许性估计，则分 别记为舀二日( 特别的，当d = ，时，简记为舀口) 和每0 。下面的定理主要刻画了 这几种可容许性之间的关系。 定理2 2 1 1 2 7 1 若每0 ，则 1 ) 口：臼； 2 1 对于一v j d o ，每三口。 证明：( 1 ) 用反证法，设百护，但占一目并不成立。则存在另外一个估计0 ， 使得对一切0 ，有 e ( o + 一p ) ( 口一口) e ( o p ) ( 百一日) ， 且对某个岛不等号成立。因为a 丑可推出f r ( 爿) f ，( 助，且a b 可推出 t r ( a ) t r ( 研，在上式两边取迹，( 1 ) 得到 e l p 一口0 2 e 护一口n 且在某个岛不等号成立， 即矿一致优于0 ，与假设舀，口相矛盾。得证。 ( 2 ) 仍采用反证法。假设对某个d 0 ，百二口不成立。则存在一个估计矿，使 得对一切0 ，有 耖一o u ：- - d o - d ：， 且在某个o o 不等号成立，设旯为d 的最大特征根，记f = a d ，则有 e 咿。一口眨s 忙一目眩，对一切口成立 ( 2 2 6 ) 做新的估计0 “= f ( o 一百) + 百，其风险函数为 6 j e基窑塑太堂 亟 堂焦盈塞亟备翅迟 e 6 臼一口1 1 2 = e l l 舀一口1 1 2 + e i l 口一百8 ：； + e ( 舀一口) f ( o 一百) + e ( 护+ 一百) f ( 0 一目) ，( 2 2 7 ) 因为f i ，f 2 f ，所以 占f f 口一疹 i ，- - 三i i o 一痧；， ( 2 2 8 ) 又注意到 【l 口一百i l ：+ e ( o 一口) f ( o 一百) = e ( 口一百) f ( o 一百) + e ( 百一口) f ( o 百) = e ( o + 一口) f ( o 一百) ，( 2 2 9 ) 从( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 可以得到 e l i 口”- o i l 2 e l l 舀一目8 2 + e ( 占- o ) f ( o + 一日) + e ( 口+ - o ) f ( o 一口) = e 睁口n e ( 目- 0 ) f ( o + - o ) - e ( g 一f ( o 一目) = e 肾口+ e 咿一p 廿e 峥o i ： e | l 痧一口0 2 在某个包不等号成立，即0 ”一致优于百，与假设百0 相矛盾。定理得证。 显然，对于一切d o ，百三日可推出百0 。基于这一点，我们只需要讨论均 方误差下的可容许性问题。 定理2 2 2 【2 7 1 若百0 ，则一百a o 。当a 可逆时，其逆亦真。 证明：设痧一0 ，根据定理2 2 1 ，有舀! 口，下面证明舀! 目可推出4 舀爿口， 用反证法。若爿舀a o 不成立，则存在估计0 + 一致优于厢。于是，对一切护有 e i i 口一a o l l 2 ：e u a 百一4 目1 1 2 ， ( 2 2 1 0 ) 所以 妙一一目1 1 2 = 咿一只口+ 只日一彳口0 2 = 杪一只口n 忆n 爿口1 1 2 ， ( 2 r 2 1 1 ) 由( 2 2 1 0 ) 和( 2 2 1 1 ) ，有4 e 眇+ 一4 目卜e 秒一疗 e 8 爿舀一4 臼f = e 肛帆， 对一切毋成立，且在某个岛不等号成立。若记圹= ( 4 _ ) + a q ，则只毋= a o ”，于 是，上式变为 4 a 0 ”一4 曰0 2 e0 百一口i l 。， j e塞銮望太堂亟堂僮途 塞甄釜翅迟 e 0 口一p f | ：_ e l l 百一日i e _ 且不等号在某个岛成立，这表明估计口”一致优于百，与舀2 口相矛盾，这就证明 了爿百爿臼。 对于一元g a u s s - m a r k o v 模型 i y = x 8 + e 。一( o 力) ( 2 。2 1 2 ) 此处，y 为”阶观测向量，z 为。p 阶已知设计阵，v 0 为n 阶已知矩阵， 而仃2 0 未知，设芦为p 阶未知参数矩阵，k 为一女。p 矩阵，使k f l 可估。k f l 的 形如砂的估计( l 为矩阵k n ) 组成齐次线性估计类。以下考虑k f l 的矩阵损失函 数为： z ( d y ，k f l ) = ( d y k f l ) ( d y k f l ) 7 ( 2 2 1 3 ) 定理2 2 3 1 在模型( 2 2 1 2 ) - f f l | 设k f l 可估，则l y 是k 口的线性可容许估计的 充分必要件是： l = l x t z 矿一； l r = k ；或者l x k ，但对任何a ( 0 ，1 ) ，下式不成立： 2 l x t x z 一f r r x z - l x t - k 一( 1 一力( z x ) f 一( l x - k ) 7 0 证明：先考虑充分性。设工为m x n 矩阵，则根据文【2 8 中引理4 1 1 ，我们只需 证明：对任何m 矩阵a ，艏庐不能一致优于工y 。分两种情况： a l r = s ，这时由 r ( s f l ，仃2 ，l y ) r ( s f l ，口2 ，l x f l ) = 仃2 l x t 一石z + ( l x s ) p f l ( l x - s ) ，( 2 2 1 4 ) 有r ( s f l ，盯2 ，l y ) = 盯2 s t s 。 若删= s ，则由 r ( s p ，c r 2 ，a y ) r ( s f l ，盯2 ，a x f l ) = c r 2 a x t x a + ( 4 j s ) f l f l 7 ( 腑一s ) ，( 2 2 1 5 ) 知r ( s f l ，盯2 ，a 1 9 = 盯2 s t s ，故丘矽不能一致优于y 。若丘r s ，则由( 2 2 1 5 ) 知，固定仃2 ( 例如，令盯2 = 1 ) 而适当地选择卢，知似矽也不能致优于工y 。 b l r s ，由定理条件，知l x t x z s t s 不成立，因若此式成立，将有 2 l x t x 乞7 一k 丁一般一l x t k 7 一( 1 一半) ( 三x k ) t 一( l x k y 2 l x t x + s t s 1 一s t x z t l x t s 1 - 0 - a ) ( l x - s ) t 一( l x s 、 = ( l x s ) t 一( l r s ) 一( 1 一a ) ( z x s ) t 一( l r s ) = a ( l x s ) t 一( i x s 1 7 0 ， 对任何a 0 成立，这与条件矛盾。因此，存在非零向量口，使 j b 夏銮 适叁堂 亟 堂僮 诠 塞 亟釜 塾返 a ( z x t x l 一s t s ) a 0 ( 2 ，2 1 6 ) 若肛= s ，贝0 由( 2 2 1 4 ) 和( 2 2 ，1 5 ) ，知 a ( 月( o ，1 ，上】，) 一r ( o ，1 ，a x ，) ) = 口( z x t x l - s t s 、a 1 ，则由( 2 2 1 4 ) 和( 22 ，1 5 ) ， 固定盯2 = 1 并适当选择卢，知削矽也不能一致优于工y 。若n = l ，则由( 2 2 ，1 4 ) 和 f 2 2 1 5 ) ，知 r ( s p ，仃2 ，左x 夕) ；r ( s ，f 2 ，l y ) 若0 0 及风，使 e哀銮适左堂亟堂焦 盈 塞 亟备塾迟 r ( s ，爵，三y ) 一r ( s p ，爵，正r 矽) 不为零矩阵，因而a z 夕一致优于y 。这说明， 都不满足时，母不是k 的线性可容许估计。这就证明了必要性，因而证明了 本定理。 由本定理及文 2 8 引理4 1 4 ，立得如下的推论。 推论2 2 1 在模型( 2 2 1 2 ) 下且设k 可估，则砂是k p 的线性可容许估计的充 分必要件是以下两条件，同时成立： 三= l x t x 矿； 埘= k ；或者肼k ，但以下a ，b 成立一条： a a = 2 l x t x z 一k t x z 一l x t k 至少有一个负特征根； b a 0 ，r k ( a ) 0 这里名，0 的意义为有非异阵p 使碍p a p = d i a g 似，) ，p l 妒= d i a g ( r j ，) r 此处b = ( z x k ) t 一( i x 一置) 。 以上定理完满的解决了在矩阵损失( 2 2 1 3 ) 下，线性估计在齐次线性估计类中 可容许性的问题。 下面考虑一元带约束的g a u s s - m a r k o v 模型： u = x0 e p 一( o , a 2 v ) ， ( 2 2 1 9 ) l p x 懈盯z 其中y 为阶观测向量，彳为n 。p 阶已知设计阵，n o ，v o 均为忍阶已知 矩阵，为p 阶未知参数矩阵，e 为误差矩阵，记( 柳= ( ，盯2 ) ：7 x ，v x f l s d 2 损失函数取矩阵损失函数： 三d ( y ) ，s x p ) = ( d ( r ) - s x f l ) ( d ( y ) 一s x t ，) ( 2 2 2 0 ) 定理2 2 4 t ”1 模型( 2 2 1 9 ) 及矩阵损失( 2 2 ，2 0 ) 下，砂是k 的线性可容许估计 的充分必要件是： 1 ) l v = l x ( x 7 + x ) 一彳7 + 矿： 2 ) 若存在a 0 使得 2 l v l + 2 l v n v l 一上x k 一k a x z 2 ( 蹦一k ) a ( l x 一足) 7 则必有l v n = 0 ，l x = k ：其中t = 肠7 + 矿；a = ( x t + x ) 一一i 。 2 3 一元随机线性模型中回归系数和参数同时估计的可容许性 考虑如下一元随机效应线性模型 i e塞套适厶堂亟堂焦论塞亟圣翅迟 y = x , a + s e ( 甜) c o v 防y = ( 芝吲 ( 2 ，3 1 ) 其中x 为已知n x p 的矩阵，和f 分别为不可观测的p 维和维随机向量，l ，为 可观测的，矿和爿都已知，a r 是参数。 记： c o v ( y ) = 彬i z + 叫2 + l 彳+ = a ， g = 人+ x a a 彳， h l = ( 厶y 厶y ) ：厶，如分别为珩及留行常数阵 ， l = ( y + 口l 2 y + b ) ：l a ，厶分别为f 行及g 行常数阵，d f ，b e r 9 取损失函数 上( 吐，吐，“) = 卜d 2 - 鼬q f l f l , d 2 嘲- q f l ) 1 ， ( 2 3 2 ) 其中s 为t 行矩阵，q 为q 行矩阵。 我们用 r t 噶以口，皇皿 如口，一i d t - s a ( d , - s o t ，1 表示( 厶y ，厶y ) 的风险函数。 定理2 3 1 叩1 在模型( 2 3 1 ) 及损失函数( 2 3 2 ) 下，若s a 和q 都是线性可估的， 则( y ，厶y ) 是( s q f l ) 在h l 中可容许估计的充分必要条件是： 1 ) 满足厶人= 厶。配4 ( 爿i x ，g + 配4 ) 一a x g + a ， ( 2 3 3 ) l 2 a = i x a ( a x g + x a ) 一a x g + + q ( k i x + 巧2 ) g + 1 1 一x a ( a x g + x a ) 一a x g + 】a ； ( 2 ，3 4 ) 2 ) 当厶觑s ，厶删q a 时，对任意的6 1 ( o ，1 ) ，有蜀( 6 l ，) o 不成立；或者 对任意6 2 ( 0 ，1 ) ，有g ：( 6 2 ，如) 0 不成立，或者对任意的6 ( o ，1 ) ，有 ( 差i 最篁，g 岛n ( ：b 。玩, l p 乞l ，2 。不成立。 l i x a = s ，l 2 x a = q a ； l i x a = s ，厶j “q a 时，1 1 x a c ( l 2 x a q a ) 0 ， 否则对任意的6 2 ( o ，1 ) ，有g ：( 岛，厶) o 不成立： ( d 当厶翮s ，厶x a = q a 时， ( 厶物- s ) c a x z ；一( 一x ，g + 匕4 ) 一a x g + ( y k 。+ k 。) q 】0 ， j e壅奎适盘堂亟堂僮迨塞亟圣翅迟 否则，对任意的6 l ( 0 ，1 ) ，有g 。( 6 l ，) 0 不成立。 其中， 蜀l ( 6 l ，) = b , ( z 1 x a s ) c ( & x a 一研+ 厶别c z 石，厶，一s c s ， 9 2 2 ( 6 2 ，之) = 巩( 厶x a q a ) c ( l , x a q a ) + 厶x a c a x z ；一q ，4 c 爿q 一q ( 巧。x + k ：) g + x a ( a x g + x a ) 一( 厶匕d d a ) 一( 岛x a d a ) ( a x g + x a ) 一a x g + ( j 彤；+ ，) g g 。2 ( 6 ，6 2 ) = b ( l , x a s ) c ( l , x a q ，4 ) + z , x a c a x 砭一s c a 7 q 一( 厶五- s ) ( a x g + x a ) 一a x g + ( x k l + 砭，) q 。 2 j e 壶銮重盘堂亟堂鱼迨塞主亘缮挂搓型生生长搓型主回归丞堑卫查：! 生毽 3 多元线性模型与生长模型中回归系数可容许性 3 1 带约束多元线性模型中回归系数线性估计的可容许性 3 1 1 基本概念 线性模型中回归参数的可容许线性估计问题一直是大家关注的问题之一。目 前，关于无约束线性模型中( 在二次损失和矩阵损失下) 线性估计的可容许性问题 的结果已较完满，对于带约束的线性模型中的可容许性估计问题，自h o f f m a n n t l 】 1 9 7 7 年首次研究了带约束的一元线性模型中回归参数的可容许估计后，文 7 和 8 分别在二次损失与矩阵损失下对带约束的一元线性模型作了进一步的讨论，文 9 与 1 0 则讨论了带约束的多元线性模型中回归系数的线性估计在线性估计类中的 容许性。本文讨论矩阵损失下带约束多元线性模型中线性估计的可容许性问题， 证明了约束条件下多元线性模型中线性估计k b 的可容许性与约束条件下一元线 性模型中线性估计k 口的可容许性是等价的这一特征，根据此特征得出了多元线性 模型中线性估计k b 的估计l y 是可容许估计的充要条件。 考虑多元带约束线性模型： f y = 船+ g 吾( o ，z p y ) ，( 3 1 1 ) l b s y n x b _ 0 和b 分别为q x q n p x q 阶未知参数矩阵，占为误差矩阵。本文考虑矩阵 损失函数： 工( d ( y ) ，k s ) = ( d ( y ) - k s ) ( d ( y ) 一x s ) ，( 3 ，1 2 ) 其中k b 是线性可估函数，郎乒( 趸) 曼( x 7 ) ，d ( y ) 为k b 的任一估计。 定义3 1 1 ：设d i ( y ) 和d 2 ( y ) 是k b 的任意两个估计，如果对所有的( b ，劲，有 r ( q ，占，z ) r ( d 2 ，b ，) ，( 3 1 3 ) 而且至少存在一组( 鼠，。) ，使得不等号成立，则称d l ( y ) 一致优于d 2 ( y ) ，记作 d l ( y ) 0 ，则对 任意口，有( b ，) h ( ) ，由( 3 1 6 ) 式，有 p m r ( q r ，b ，) = t r b x j v x b z , v l g + ( z l x k ) b b ( 厶x 1 0 l i 职r ( l r ，b ，z ) = t r b z 嬲l v l + ( l x - k ) b b ( l x - k ) ， 即t r b x n x b - ( 厶v z , 一三比) ( l x - k ) b b ( l x - k ) 一( 厶x - k ) b b ( z 1 x - k ) 。 考虑一元带约束的g a u s s m a r k o v 模型： i y = x p + e p ( o ，c r 2 v ) ， ( 3 1 7 ) l 卢x 7 v x p 仃2 其中y 为n 阶观测向量，石为i x p 阶已知设计阵，n o ，v o 均为n 阶已知矩阵， 卢为p 阶未知参数矩阵，e 为误差矩阵，记q ( ) = ( ，c r 2 ) ：卢z 懈s 盯2 损失函数取矩阵损失函数： 上( d ( 1 ，) ，k p ) = ( d ( y ) 一k p ) ( d ( y ) 一k 卢) 。( 3 1 8 ) 引理3 , 1 2 在模型( 3 1 7 ) 和损失函数( 3 1 8 ) t ，设( 户，仃2 ) h 。( | ) ，作为k p 的 估计，则q y 0 ， 则对任意，有( ，仃2 ) h i ( ) ，f l j ( 3 1 1 1