（应用数学专业论文）局部强仿紧、基可数仿紧空间的性质研究.pdf

摘要 局部强仿紧、基一可数仿紧空间的性质研究 作者简介：付传秀，女，j 9 7 4 年1 2 月出生，师从成都理工大学曹金文教授、 魏责民教授，2 0 0 8 年6 月毕业于成都理工大学应用数学专业，获得理学硕士学 位。 摘要 本文讨论广义仿紧空间上的两类空间：局部强仿紧空间和基一可数仿紧空间。 主要研究的是局部强仿紧空间和基一可数仿紧空间的遗传性、乘积性以及在闭 l i n d e l j f 映射、准完备映射、完备映射下的一系列性质和刻画定理等。 主要结论如下： 1 、设x 是f 一型局部强仿紧空间( f - l ，2 ，3 ) ，若x 是正则空间，则三者等价 2 、若x 是j 一型局部强仿紧空问，则其丌、闭子空间也是f 一型局部强仿紧 空间( 扛1 ，2 ，3 ) 3 、设是正则空间，映射：j 一】，是z 到j ，上的闭l j n d e l j f 映射。若y 是 f 一型局部强仿紧空间，则x 亦是f 一型局部强仿紧空间( f ：l ，2 ，3 1 4 、f 一型局部强仿紧空阳j 在开、完备映射的像是f 一型局部强仿紧空间 ( j = 1 ，2 ，3 ) 5 、f 一型局部强仿紧的正则空间与紧空间的积是f 一型局部强仿紧空间 o = 1 ，2 ，3 ) 6 、f 一型局部强仿紧空间与f 一型局部紧空间的积是f 一型局部强仿紧空间 ( f = l ，2 ，3 ) 7 、在空间j 中，下列命题等价： ( f ) x 是基一仿紧空间， ( f f ) 工是基一可数仿紧空间，并且z 的每一开覆盖，都存在满足x 一可 数仿紧空间的开基的元构成的盯一局部有限的开加细 8 、设x 是正规空间，下列命题等价： ( f ) x 是基一可数仿紧空间， ( f f ) z 存在一开基。盼，i 劈i _ 口) ，使得x 的每一可数开覆盖都存在由 历中的元构成的局部有限的收缩 9 、基一可数仿紧空间在准完备丌映射下的象是基一可数仿紧空间 1 0 、基一可数仿紧空间在准完备映射下的逆象是基一可数仿紧空间 成都理l ：人学硕十学位论文 1 1 、基一可数仿紧空间在基一可数仿紧映射下的逆象是基一可数仿紧空间 1 2 、设映射厂：x y 是到y 上的闭l i n d e l j f 映射，若j 是正则空间，则 映射厂：x 斗y 是基一可数仿紧映射 1 3 、设彳是基一可数仿紧空间，y 是局部紧的基一可数仿紧空间，则x y 是基 一可数仿紧空间 全文分为四章： 第一章：首先介绍论文研究的背景意义、概述论文获得的主要结论。 第二章：作为预备部分，本章给出全文将要用到的一些概念、符号和结果。 第三章：给出拓扑空间的三种局部强仿紧性的定义，证明了这三种局部强仿 紧性在正则空间中是等价的；分别讨论了它们对开、闭子空间的遗传性、在连续 的闭映射下的不变性和乘积性。 第四章：研究了基一可数仿紧空间与基一仿紧空间的关系；给出了基一可数仿 紧空间的一个等价刻画；讨论了基一可数仿紧空间对闭子空间的遗传性，在连续的 准完备开映射下的不变性，以及在连续的准完备映射下、完备映射下、基一可数仿 紧映射下的逆不变性。 关键词：局部紧局部强仿紧基一仿紧基一可数仿紧 n a b s i r a c t s t u d i e so nt h ep r o p e r t i e so f l o c a l s t r o n g l yp a r a c o m p a c ts p a c e a n db a s e - c o u n t a b l yp a r a c o m p a c t s p a c e i n t r o d u c t i o no f t h ea u n l o r ： f h c h u a n x j u ，f e m a 】e ，、v a sb 0 加j nd e c e m b e f 19 7 4 w h o s et u t o rw a sp m f c s s o rc a o j i n w e na n dp m f e s s o rw e i g u i m i n s h eg r a d u a t e df o m c h e n g d uu n i v e r s i t yo f t e c h n 0 1 0 9 yi na p p l i e dm a t hm 面o ra n d 、a sg r a l l t e dt h em a s t e r d e g r e ei nj l l l l e ，2 0 0 8 a b s t r a c t 1 1 1 i sp a p c rd i s c u s s e st w oc l a s s e so fg e n e m l i z e dp a r a c o m p a c t s p a c e s ： l o c a l s t m n g l yp a r a c o m p a c ta n db a s e c o u n t a b l yp a r a c o m p a c ts p a c e s t h er e s e a r c hi s m a j n 】yf o c u s e do nt h e r ep r o p e r f i e sl l n d e rt h ec j o s e dl j n d e l 石f m a p p i n g 、q u a s i p e r t m a p p i n g a n db a s e c o l l i l t a b l yp a r a c o m p a c t m 印p i n g 肌de q u i v a l e n tc 城r a c t e r i z a t i o n o f b a s e - c o u n t a b l yp a r a c o m p a c t n e s s ei sg a i n e d t h em a i nc o n c l u s i o n sa r ea sf o u o w s ： 1 l e txi sf l o c a ls t r o n 9 1 y p a r a c o m p a c ts p a c e ( f = 1 ，2 ，3 ) i f j i sr e g u l a r ， t h c nt h r e eo f t h e ma r ee q l l i v a l e n t 2 i fxi sf l o c a ls 订o n g l yp a r a c o m p a c t s p a c e ，t h e ya r eh e r e d i t a r yf o ro p e n s u b s p a c e sa 1 1 dc l o s e ds u b s p a c e s 【f = 1 ，2 ，3 ) 3 i fxi sr e g u l a r ，f l o c a ls t r o n g l yp a r a c o m p a c ts p a c ei sa l li n v e r s eo f c l o s e d l i n d e l 6 f m a p p i n g ( f = 1 ，2 ，3 ) 4 ，一l o c a ls 仃o n 9 1 yp a r a c o m p a c ts p a c ei sp r e s e r v e du n d e rc l o s e dl i n d e l 6 f m 印p i n g 【f = l ，2 ，3 ) 5 l e txa i l dy a r e b o t l lf l o c a lc o m p a c ts p a c e i fxi sr e g u l a r ，t h e n x 】，i sf l o c a ls t m n g l yp a r a c o m p a c ts p a c e ( f - 1 ，2 ，3 ) 6 i f 石i sf l o c a ls t r o n g l yp a m c o m p a c ts p a c e ， 】，i sf l o c a lc o m p a c t s p a c e t h ep r o d u c ts p a c ex yi sf l o c a ls 咖n g l y p 啪c o m p a c ts p a c e o = l ，2 ，3 ) 7 zi sab a s e p a r a c o m p a c ts p a c ei f fxi sa b a s e - c o u n t a b l yp a r a c o m p a c t s p a c ea 1 1 de v e r yo p e nc o v e ro fxh a sa 盯一l o c a l l yf i n i t eo p e nr e f i n e m e n tb y m e m b e r so f t h eb a s i sw 1 1 i c hw i t n e s s e sb a - c o l l l l t a b l yp a r a c o m p a c t s p a c e 8 l e t i sn o m l a l ，xi sa b a s e c o l i n t a b l yp a r a c o m p a c ts p a c ei f r m e r c n l 成都理一l 大学硕+ 学能论文 e x s j s t sa n o p e nb a s i s 。君 ”w i t ll 留f = 甜) s u c h t l l 8 t e v e d ，c o u i l t a b l y o p e n c o v e ro fxh a sal o c a l l yf i n i t es h r i n k i n gb ym e m b e r so f t h eb a s i s国 9 b a s e c o u n t a b l yp a r a c o m p a c ts p a c ei sp r e s e “e du n d e ro p e nq u a s i - p e r f c c t m a p p i n g 1 0 b a s e - c o l i n t a b l yp a r a c o m p a c ts p a c ei sa l li n v e r s ei n v 撕a n to f q u 船i _ p e 疵c t m a p p i n g 1 1 b a s e c o u n t a b l yp a r a c o m p a c ts p a c ei sa ni n v e r s ei n v a r i a n to f b a s e - c o u n t a b l y p a r a c o m p a c tm a p p i n g 1 2 l e t ，：x 手】，i sac l o s e dl i n d e l 甜m 叩p i n g i f i sr c g u l a r ，t h e n 厂：x 斗j ，i sb a s e c o u n t a b l yp a r a c o m p a c tm a p p i n g 1 3 l e t xa r l dy a r eb o t hb a s e c o u i 沏b l yp a r a c o m p a c ts p a c e i fl ，i sl o c a l l y c o m p a c t ，t 1 1 e nm ep m d u c ts p a c e yi sb a s e - c o u n t a b l yp a r a c o m p a c ts p a c e n l e r ea r ef o l l rc h a p t e r si nt h i sp 印e l i nc h a p t c r1 ，i n 打o d u c e dm er e s e a r c hb a c k g r o u n d 柚dm a i nc o n c l u s i o l l si nt i l i s p a p e n i nc h 印t e r2 ，p r e p a r a t i o nk n o w l e d g e ，d e f i n e ss o m en o t i o n sa n d g i v e ss o m e l e m m a sa l l dt h e o r e m sw ew i l lu s ei nt h i sp a p e t i nc h a p t e r3 ，m r e ek i n d so fl o c a ls t r o n g l yp a r a c o m p a c ts p a c e sa r ed e 6 n e d i ti s p r o v e dm a tt h r e ek i n d so f1 0 c a ls n d n g l yp a r a c o m p a c t n e s s ea r ee q u i v a l e n ti nt h ec 硒e o f r e g u l 屿a n dt h e r ep r o p e n i e sa r ed i s c u s s e dr e s p e c t i v e l y i ti ss h o w nt h a tt l l e ya r c h e r e d i t a r yf o r b o t ho p e ns u b s p a c e sa i l dc l o s e ds u b s p a c e s v e r s i o n so f s o m eo m e r c l 踮s i c a lp r o p e r t i e so f l o c a ls t m n g l yp a r a c o m p a c t n c s s ea 托o b t a i n e d i nc h a p t e r4 ，f i r s t l y ，t h er e l a t i o n sb e t w e e nb a s e - p a r a c o m p a c ts p a c e sa n d b a s e c o u n t a b l yp a r a c o m p a c ts p a c e sa r es t u d i e d ，e q u i v a l e n tc h a r a c t 鲥z a t i o no f t h e m 1 l n d e r 1 ee s p e c i a l l yc o n d i t i o n si sp r o v e d s e c o n d l y w 毫g i v c sa e q u i v a l e m c h a r a c t c r i z a t i o na b o u tb a s e - c o u n t a b l yp a r a c o m p a c ts p a c e si l i 】d e rt l l en o r n l a l c o n d i t i o n s a tl 鹪t ，s o m ep r o p e n i e so f b a s e c o u n t a b l yp a r a c o m p a c t n e s s e 眦 i n v e s t i g a t e d i ti ss h o w n t h a tt h e ya r eh e r e d i t a r yf o rc l o s e ds u b s p a c e s 、p r e s e e d 眦d e r o p e nq u 鹊i - p e 疵c tm a p p i n g 、i n v e r 跎i n v 嘶a n to f q l l a s i p e r f b c tm 叩p 访ga i l d b 船e c o 叫t a b l yp a m c o m p a c tm 印p i n g 锄ds oo n k e y w o r d s ：l o c a l l yc o m p a c t l o c a l s t r o n g l yp a r a c o m p a c tb a s e - p a r a c o m p a c t b 髂e c o i l i l t a b l yp a r a c o m p a c t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛壑堡至太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：订馋穆 加纤g 月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑堡王太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛都堡王盍堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：钳 学位论文作者导师签名 黾年r 月2 5 日 第l 章引言 第1 章引言 1 1 选题依据及国内外研究现状 一般拓扑学的发展已经历了一百多年的历程。其理论、成果和方法应用并渗 透到函数和复分析理论、动力系统和偏微分方程的定性理论、算子理论和代数学 等。1 9 4 4 年由法国数学大师d i e u d o n n 6 引进仿紧性的概念是一般拓扑学进入全 盛时期的重要标志。随后拓扑空问理论迅速发展，对仿紧性与度量性作有益的推 广并且深入研究其性质，引起拓扑学家的极大兴趣，这些工作产生了一般拓扑学 研究的重要分支广义仿紧空问理论。国内以刘应明院士，蒋继光教授为代表 的一批学者，在广义仿紧空问理论方面获得了许多优秀的成果。 本文研究了广义仿紧空问中的两类空间：局部强仿紧和基一可数仿紧空间。 主要获得了局部强仿紧空间和基一可数仿紧空间的遗传性、乘积性、以及在闭 l i n d e l j f 映射、准完备映射、基一可数仿紧映射下的一系列性质和基一可数仿紧 空间的一个等价刻画定理等。 对广义仿紧空间的性质研究一直是国内外学者非常感兴趣并且积极投入的 课题，国际上如日本、美国、芬兰等国出现了，批著名的拓扑学家，在对广义仿 紧空间性质的研究中取得了许多令人瞩目的成果；国内不少拓扑学研究者也积极 投入了对广义仿紧空间性质的研究，并取得了较好的结果，如2 0 0 0 年葛英教授 研究了局部紧空间的闭l i n d e l j f 映象 文献1 3 ；同年，李进金分别讨论了局部 可分空间、仿紧局部c o s m i s 空问、仿紧局部l i n d e l 甜空问的一些性质，见 文 献1 4 、1 5 、1 6 。 2 0 0 3 年，国际著名数学家j o h ne p o t e r 在t o p o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n s 上发表了论文b a s e p a r a c o m p a c ts p a c e s ，提出了比仿紧空间结构更加复杂而 且更为重要的“基一仿紧空间”的概念，利用拓扑基对其性质进行了初步研究， 并获得了较好的结果，如度量空间是基一仿紧空阳】，证则的l i n d e l j f 空间是基一 仿紧空间，基一仿紧空间与紧空间的乘积仍然是基一仿紧空间等，同时提出了关于 “基一仿紧空间”的四个国际公开问题。在2 0 0 5 年的国际拓扑学大会上，专家们 进行了更加广泛的交流，充分肯定了基一仿紧空间性质研究的必要性和重要性。 从此对基一仿紧空问的研究也就成了国内外拓扑学者非常关注的课题，国际上有 y y a j i m a 、k ，y a m a z a k i 、j n a g a t a ，见 文献2 2 、2 3 、2 4 、2 5 、2 6 、2 7 ；国内 李克典教授给出了正则的基一仿紧空间的等价刻画，葛英教授给出基一仿紧映射的 定义，并证明了在x 的拓扑势不小于y 的拓扑势的前提条件下，基一仿紧映射逆保 持基一仿紧性，见 文献2 8 、2 9 、3 0 。康素玲引进了基一亚紧空间，并讨论了基一 成都理i ：人学硕十学位论文 亚紧空间的遗传性，见 文献3 2 。邓小彬给出了基一亚紧空问的等价刻画等，见 文献3 3 。 1 2 本论文的主要结论 本论文对局部强仿紧空间和基一可数仿紧空间进行研究，得出如下主要结论： l 、设j 是f 一型局部强仿紧空间o = 1 ，2 ，3 ) ，若x 是正则空间，则三者等价 2 、若工是f 一型局部强仿紧空间，则其闭子空间也是f 一型局部强仿紧空间 o = l ，2 ，3 ) 3 、设x 是正则空间，映射厂：x 一】，是到】，上的闭l i n d e l j f 映射若，是 f 一型局部强仿紧空间，则z 亦是f 一型局部强仿紧空间( f = l ，2 ，3 ) 4 、j 一型局部强仿紧空间在完备开映射的像是f 一型局部强仿紧空间 o = l ，2 ，3 ) 5 、f 一型局部强仿紧的正则空间与紧空间的积是f 一型局部强仿紧空间 o = 1 ，2 ，3 ) 6 、z 一型局部强仿紧空间与f 一型局部紧空间的积是f 一型局部强仿紧空间 o = 1 ，2 ，3 ) 7 、在空间x 中，下列命题等价： ( f ) 工是基一仿紧空间， ( 打) 石是基一可数仿紧空间，并且j 的每一开覆盖，都存在满足石是基一 可数仿紧空间的开基的元构成的盯一局部有限的开加细 8 、设是正规空间，下列命题等价： ( f ) x 是基一可数仿紧空间， ( f f ) z 存在一开基国，i 碍。l _ m 陋) ，使得x 的每一可数开覆盖都存在由 研中的元构成的局部有限的收缩 9 、 基一可数仿紧空间在准完备开映射下的象是基一可数仿紧空间 1 0 、基一可数仿紧空自j 在准完备映射下的逆象是基一可数仿紧空间 1 1 、基一可数仿紧空问在基一可数仿紧映射下的逆象是基一可数仿紧空间 2 第1 章引言 1 2 、设映射，：x y 是石到y 上的闭l i n d e l 折映射，若x 是正则空间，则 映射，：x _ + y 是基一可数仿紧映射 1 3 、设z 是基一可数仿紧空间，y 是局部紧的基一可数仿紧空间，则x x 】，是基 可数仿紧空间 成都理jr ：入学硕士学位论文 第2 章预备知识 2 1 一般拓扑的基本概念 本节给出第三章将要用到的一些基本概念、符号和引理。其他不作说明的概 念和符号，均参考文献 7 ，9 。 定义2 一卜1 设j 是一个集合，少。是x 的一个子集族如果少满足以下条 件： ( f ) 矿j 巧x j ， ( 打) 如u 7 ( f = l ，2 ，仃) ，则n 2 。弘7 ， ( 玎f ) 如q 乡7 ( ，r ) ，贝0 u q ：y 厂 - 这里指标集r 是无限集，则称( x ，矿) 是一个拓扑空间矿。是集合z 的一个 拓扑，。矿的元素称为开集在矿早已约定或在文中已有说明而无须指出时，通常 简单地用x 表示拓扑空间 定义2 一卜2 设x 是一个拓扑空间，x x ，如果u 是的一个子集，满足条 件：存在一个开集y 。少使得x y 亡u ，则称u 是点x 的一个邻域点工的所有 邻域构成的x 的子集族称为点x 的邻域系易见，如果u 是包含着点x 的一个开 集，那么它一定是x 的邻域，我们称u 是点x 的一个开邻域 引理2 1 1 设彩( ) 是点x 的所有邻域所成集族，则满足： ( 1 ) x 它g ( x ) ， ( 2 ) 如u 它f ( 工) ，贝0 x u ， ( 3 ) 如u 乍彩( x ) ，矿) u ，则矿彩( x ) ， ( 4 ) 如u ，矿叼够( x ) ，彩( x ) ，则u n 矿留万( x ) ， ( 5 ) 如u 彩( z ) ，则存在集y 使z 矿 u 及对任何r 矿，y 彩( f ) 引理2 一卜2 拓扑空间j 中的子集u 是开集当且仅当【，是它的每一点的邻 域 定义2 一卜3 设x 是一个拓扑空间，x x 记为x 的一个邻域系纭 4 第2 章预备知识 的子族髟如果满足条件：对每一个ue ，存在一髟，使得c u ，则称髟 是点x 的一个邻域基 下面我们引入导集、闭集、闭包和内部的概念 定义2 一卜4 设彳是一个拓扑空间，爿c x 如果点z x 的每一个邻域【，中 都有爿中异于x 的点，即u n ( 爿一 工 ) ，则称点x 是集合爿的一个聚点集合 一的所有聚点构成的集合称为爿的导集，记作一。 定义2 一卜5 拓扑空间x 的子集f 称为闭集，如果z f 是开集 引理2 1 - 3 拓扑空间x 的所有闭子集f 形成的集族矿满足下列条件： ( f 1 ) 妒乡ix 乡， ( f 2 ) 如e 矿( f _ 1 ，2 ，疗) ，则雌if ， ( f 3 ) 女口c 箩7 ( ，r ) ，贝u n ：，厂) j r 这里指标集是无限集。 引理2 1 4 设矿是集x 的子集族满足( f 1 ) 一( f 3 ) ，则。少正好是拓扑空间 ( x ，矿) 中所有闭集形成的集族，这里矿= j f ：， 定义2 一卜64 是拓扑空间的子集，所有包含集4 的闭集的交称为集爿的 闭包，也就是包含一的最小的闭集，记作一 定义2 1 7 一是拓扑空间x 的子集，一切包含在4 内的开集的并称为集一 的内核，也就是包含在一内的最大开集，记作4 0 由上述定义可知，拓扑空间x 的子集4 是闭集，当且仅当4 = 4 ：子集u 是开 集当且仅当x u = x u 设x 是一个拓扑空间，一c ，一、一。与分别表示集合彳的闭包、内部与导 集 定义2 一卜8 设。名是一个集族，】，是一个集合集族臼n 】，i 。名) 称为集 族堋在集合】，上的限制，记作翻l ， 引理2 一卜5 设j ，是拓扑空间( x ，。步，) 的一个子集，则集族矿m 是l ，的一个 拓扑 成都理一r 大学硕士学位论文 定义2 一卜9 设，是拓扑空间( x ，功的一个子集，拓扑空间( x ，少m ) 称 为拓扑空间( x ，纠的一个子空间 引理2 一卜6 设f t cx ，则f 是子空间】，的闭集当且仅当存在x 中的闭集 f 使f ：f n x ，从而一c 】，关于】，的闭包彳= j n y 定义2 一卜1 0 设x 和y 是两个拓扑空间，厂：x 斗王，x 彳 ( 1 ) 如果】，中的开集u 的原象， 1 ( u ) 是中的一个开集，则称映射，是从拓 扑空间x 到拓扑空间y 的一个连续映射，或简称，连续： ( 2 ) 如果，( x ) 的每一个邻域u 的原象，。1 ( 是x 的一个邻域，则称映射_ 厂 是一个在点x 处连续的映射，或简称，在点z 处连续 引理2 一卜7 设x 和y 是两个拓扑空间，：工_ l 则映射，连续当且仅当 对于每一个点z x ，映射厂在点x 处连续 定义2 一卜1 1 设x 和j ，是两个拓扑空间，映射，：x 斗y 称为一个开映射 ( 闭映射) ，如果对于x 中的任何一个开集( 闭集) u ，像集，( u ) 是y 中的一个开 集( 闭集) 一定义2 一卜1 2 拓扑空间z 到拓扑空间】，的连续闭映射，：x - y 称为闭 l i n d e l j f 映射，如果对每一y y 厂- 1 ( y ) 是空间x 的l i n d e l j f 子空间 定义2 一卜1 3 拓扑空间到拓扑空间】，的连续闭映射，：j 专y 称为完备 映射，如果对每一y y ，1 ( y ) 是空间x 的紧集 引理2 一卜8 设y 为紧空间，对任意空间z ，投射p ：z l ，寸x 是一完备映 射 定义2 1 - 1 4 设x 是一个拓扑空间，如果x z 和爿c j 是一个闭集，使得 x 仨一，则存在x 的一个开邻域u 釉的开邻域啦得u n 矿= ，则称拓扑空间x 是 一个正则空间 定义2 一卜1 5 拓扑空间j 称为紧空间，如果j 的每一开覆盖具有有限子覆 盖 6 第2 章预备知识 2 2 仿紧空间的基本概念 本节将给出第四章将要用到的一些基本概念、符号和结果。其它不作说明 的概念和符号，均来自文献 5 与文献 6 。 文中用j v 表示自然数集。用i 爿l 表示集合的势，m ( x ) 表示空间x 基底的 最小势，简称拓扑势。4 和( 工) 分别表示x 的开邻域和x 的邻域系。拓扑空间简 称空间，映射厂是满射。 定义2 2 1 空间的一个子集族。名称为局部有限的，如果对每一x x ， 存在z 的邻域d ，至多与舅中有限个元相交称胡是盯一局部有限的，如果翻是 可数多个局部有限族的并 定义2 2 2 拓扑空间彳称为仿紧空间，如果工的每一开覆盖具有局部有限 的子覆盖 定义2 - 2 _ 3 设( x ，奶是一个拓扑空间，劈是。矿的一个子族如果矿。中 的每一个元素( 即拓扑空间x 中的每一个开集) 是国中某些元素的并，即对于每 一个厂矿，存在席7c 历使得u = u 。，b ，则称历是拓扑。少的一个基，或 称埘是拓扑空间z 的一个基 引理2 2 1 集族席是开基当且仅当对每一开集u 及每一点x u ，存在 曰。卵，使x 丑c u 引理2 2 2 历是拓扑空间x 的开基，则留满足： ( f ) 历， ( f f ) 如u l ，u 2 劈，及x u ln 【，2 ，则存在u 3 历，使x 【，3c u ln u 2 ( f f f ) u u ：【，留) = x 相反地，设x 是一集，留是x 的子集所成集族满足( f ) 一( 耐) ，置矿为j 君中 集的并集所形成的集族，则歹满足定义2 2 3 ，从而x 是拓扑空间以历为开基 定义2 2 4 设善= 以：s s ) ，叩= ：，r ) 是空间x 的开集族 ( 1 ) 乒，叩是肖的开覆盖，称叩是f 的精确加细，如果r = s 且讥s ，k 亡玑 ( 2 ) f 是x 的开覆盖，称叩是f 的强加细，如果谚：fe r j 是善的加细 成都理】：大学硕+ 学位论文 ( 3 ) 孝是x 的开覆盖，称，7 是f 的收缩，如果叮是x 的开覆盖且，7 是孝的精确 强加细，即r = s ，v s s ，kc 以 引理2 2 3 若空间x 的可数开覆盖彩有局部有限的开加细，则铝有局部 有限的精确开加细 定义2 2 5 设爿是一个拓扑空间，如果一c x 和b 匕x 都是闭集，且 4 n b = 妒，则存在爿的开邻域昕口b 的开邻域臌得u n 矿= ，则称拓扑空间x 是 一个正规空间 引理2 2 4 正规空间x 的每个点有限开覆盖有一个收缩 定义2 2 6 拓扑空间x 称为可数紧空间，如果x 的每一可数开覆盖具有有 限子覆盖 定义2 2 _ 7 称映射，：石寸】，为准完备映射，如果，是连续闭映射且对每 一j ，】，。( y ) 是空间x 的可数紧集 引理2 2 5 设，：斗】，是空间x 到空间】，上的准完备映射， 玩k 。是z 中的局部有限集族，则杪眠豫；。是空间y 中的局部有限集族 引理2 2 6 设，是空间x 到空间】，上的连续映射，下列命题等价： ( f ) ，是闭映射， ( f f ) 对每一子集e c 】，及爿中的开集u 厂一1 伍) ，存在石中的开集矿，使得 ，_ 1 ( e ) c y cc ，y = 厂。( 厂( y ) ) ，( y ) 是l ，的开集 ( f f f ) 对每一y 】，及x 中的开集u 3 厂一1 ( y ) ，存在j 中的开集矿，使得 ，_ 1 ( y ) c y c u ，矿= ，。( 厂( 矿) ) ，厂( y ) 是y 的开集 引理2 2 7 映射，：x 斗y 为闭映射当且仅当对跏】，任意开集 u c ，u ，- 1 ( y ) ，了q ( ) ，) 使得厂1 ( q ) c u 引理2 2 8 设爿= 五置是墨与丘的乘积空间，国与分别为五与 五的基，则国= 饵马：骂岛，呸岛 为空间x 的一个基 第3 章局部强仿紧空间 第3 章局部强仿紧空间 本章在强仿紧空间的基础上，引入三种局部强仿紧空间，给出了三者等价的 一个充分条件，分别讨论了它们的一些性质，结果表明三种局部强仿紧空间有类 似于强仿紧空间的有关结论，从而丰富和推广了强仿紧空间的一些已知结果。 3 1 局部强仿紧空间的定义 定义3 一卜1 ”。1 空间x 称为f 一型局部紧空间( f = 1 ，2 ，3 ) ，是指它满足下面的 条件( f ) ： ( 1 ) x 中每一点都有一个紧邻域； ( 2 ) x 中每一点都有一个紧邻域基； ( 3 ) x 中每一点x 的任意一个邻域u 包含一个开邻域矿，使得矿c u ，且矿 是紧的 类似的有如下定义： 定义3 一卜2 ( 1 ) 拓扑空间x 中每一点都有一个强仿紧邻域，则x 称为卜型局部强仿紧 空自j ； ( 2 ) 拓扑空间x 中每一点都有一个强仿紧邻域基，则x 称为2 一型局部强仿 紧空间； ( 3 ) 拓扑空间x 中每一点x 的任意一个邻域u 包含一个开邻域y ，使得 y c u ，且矿是强仿紧的，则x 称为3 一型局部强仿紧空间 定义3 一卜3 在空间x 中，j r 是x 的子集若】，作为x 的子空间是强仿紧空间， 则称y 是x 的强仿紧子集 注3 一卜4 强仿紧空间必是卜型局部强仿紧空间，因为强仿紧空间本身是它的 任何一点的强仿紧邻域 以下是关于局部强仿紧空间的主要结论和证明 3 2 局部强仿紧空间的子空间 引理3 2 1 “2 3 强仿紧空间的闭子空间是强仿紧空间 9 成都理：i ：大学硕十学位论文 定理3 2 1 若爿是f 一型局部强仿紧空间( f = 1 ，2 ，3 ) ，则 ( j ) ( f - 3 ) j ( f = 2 ) j ( f = 1 ) ： ( 口) 若x 是正则空间，则( f _ 1 ) 铮( f _ 2 ) ( f = 3 ) 证明 ( ，) 由定义3 一卜2 ，显然成立 ( ) ( f = 1 ) j ( f = 3 ) 设u 是x 的一个邻域，则u 包含x 的一个开邻域矿， 令4 是x 的一个强仿紧邻域，则矿n o 是工的一个开邻域由于x 是一个正则空 间，故孤的开邻域，使得矿c 矿n oc 矿亡u 由引理3 2 1 ，矿作为强仿紧 空间一的闭子空间是强仿紧的，从而z 是3 一型局部强仿紧空间再结合( j ) 可得 出( 1 ) ( 2 ) 曲( 3 ) 定理3 2 2 若z 是f 一型局部强仿紧空间，则其开子空间也是j 一型局部强 仿紧空问o = 2 ，3 ) 证明 ( 1 ) 设r c 工，r 是开集，u 是，在j 中的邻域，由x 是2 一型局部强仿紧空 间知，x 在x 中有一个强仿紧邻域y ，满足矿c 己，c 】，显然矿也是z 在y 中的邻 域，从而r 是2 一型局部强仿紧空间 ( 2 ) 设j ，c x ，j ，是开集，u 是z 在x 中的邻域，由x 是3 一型局部强仿紧空 间知，在x 中有一个强仿紧邻域矿，满足矿c u c y ，且y 是强仿紧的显然y 也是z 在y 中的一个开邻域，从而y 是3 一型局部强仿紧空间 定理3 2 3 若工是f 一型局部强仿紧空间，则其闭子空间也是f 一型局部强 仿紧空间( f = 1 ，2 3 ) 证明 ( 1 ) 设x 是卜型局部强仿紧空间，】，亡x ，r 是闭集 垤y ，由肖是卜型局部强仿紧空间，则玉在上中的强仿紧邻域矿 令u = y n 】，则u 是x 在j ，中的邻域，且u 作为y 的子集是闭集，由引理 3 2 一l 知，u 是x 在r 中的强仿紧邻域，从而y 是卜型局部强仿紧空间 1 0 第3 章局部强仿紧空间 ( 2 ) 设j 是2 一型局部强仿紧空间，y c x ，】，是闭集 h ，r ，取z 的任一邻域u ，满足矿是j c 在y 中的邻域，则存在x 在x 中的一 个邻域，使得u = n y 因x 是2 一型局部强仿紧空间，则石在x 中有一个强仿紧邻域d c 矽 令y = d n y ，则y c u c y ，矿是z 在】，中的邻域矿作为d 的子集是闭集， 由引理3 2 1 知，矿是x 在y 中的强仿紧邻域从而】，是2 一型局部强仿紧空间 ( 3 ) 设x 是3 一型局部强仿紧空间，】，c x ，】，是闭集 仇】，取x 的任一邻域u ，满足x 【，c r 则x 在z 中有一个邻域矿，使得 u = n l ， 工是3 一型局部强仿紧空间，因此z 在j 中有一个开邻域d ，使得d 亡矽， 且d 是x 在x 中的强仿紧邻域 令矿= d n y ，则y 是x 在】，中的开邻域，y = d n y c d n 】，c n y = u ， 且矿c d ，由引理3 2 1 知，y 是工在y 中的强仿紧邻域，从而y 是3 一型局部空间 3 3 局部强仿紧空间的映射性质 引理3 3 1 嘲设石是工f 则空间，映射，：z 斗】，是j 到y 上的闭l i n d e l j f 映射若r 是强仿紧空间，则x 亦是强仿紧空间 定理3 3 1 设x 是正则空间，映射厂：j 呻，是x 到】，上的闭l i n d e l j f 映 射若y 是f 一型局部强仿紧空间，则亦是f 一型局部强仿紧空间( f = 1 2 ，3 ) 证明 ( 1 ) 设x 是正则空间，映射厂：x 呻】，是x 到j r 上的闭l i n d e l 计映射，y 是 卜型局部强仿紧空间 魄，对每一y ，g ) ，因】，是卜型局部强仿紧空间，则了y 的强仿紧邻域 矿又，是x 到j ，上的闭l i n d e l 6 f 映射，由引理3 3 1 知，厂1 0 ，) 是x 的强仿紧邻 域，所以爿是卜型局部强仿紧空间 成都理工人学硕士学位论文 ( 2 ) 是j 下则空间，映射：x 斗j ，是j 到y 上的闭l i n d e l j f 映射y 是2 一 型局部强仿紧空间 地x ，对每一y 厂0 ) ，设矿是j ，的任一邻域由映射厂是连续的，厂o ，) 是x 的邻域 因】，是2 一型局部强仿紧空间，则jy 的强仿紧邻域，使得矽c 矿又厂是 x 到】，上的闭l i n d e l j f 映射，由引理3 3 1 知，。1 缈) 是z 的强仿紧邻域，且 ze ，。1 妒) 亡厂。1 缈) 亡x ，从而x 是2 一型局部强仿紧空间 ( 3 ) x 是正则空间，映射，：彳斗y 是x 到l ，上的闭l i n d e l j f 映射y 是3 一 型局部强仿紧空间 蜥x ，对每一y ，0 ) ，设y 是j ，的任一邻域由映射，是连续的，厂1 妒) 是x 的邻域 因】，是3 一型局部强仿紧空间，则jj ，的开邻域，使得矿c y ，且矿是强仿紧 的再由映射厂是连续的知，x ，一妒) c 而c ，一- ( - ) c 厂一缈) ，且，一1 妒) 是 工的开邻域 因映射厂是x 到】，上的闭l i n d e l 甜映射，由引理3 3 1 知，一1 眵) 是工的强 仿紧邻域而7 = i 两作为，1 ( _ ) 的子集是闭集，由引理3 2 1 知，7 = i 两是强仿紧 的，从而】，是3 一型局部强仿紧空间 推论3 3 1 设映射厂：z 斗y 是空间x 到空间】，上的完备映射若y 是f 一 型局部强仿紧空间，则x 亦是f 一型局部强仿紧空间( f = 1 ，2 3 ) 证明 因完备映射是闭l i n d e l j f 映射，从而根据定理3 3 1 ，结论成立 引理3 3 2 。1 强仿紧空间在开、完备映射下的像是强仿紧空间： 定理3 3 2f 一型局部强仿紧空间在开、完备映射的像是f 一型局部强仿紧 空间( f = 1 ，2 3 ) 证明 ( 1 ) 设映射，：工呻r 是空间j 到空间j r 上的开、完备映射，x 是卜型局部 1 2 第3 章局部强仿紧空间 强仿紧空i 剐 砂，伍) c y ，任取点x 厂。( y ) ，由x 是l 一型局部强仿紧空间，则五的强仿 紧邻域，由，是开映射及引理3 3 2 知，( 矿) 是y 的强仿紧邻域，从而( x ) 是卜型局部强仿紧空间 ( 2 ) 设映射，：x 斗 ，是空间到空间y 上的开、完备映射，z 是2 一型局部 强仿紧空间 厂( ) c l 矿是y 的任意邻域，任取点x 厂1 ( y ) ，由厂连续，则 ，“( 矿) 是x 的邻域由x 是2 一型局部强仿紧空间，则孤的强仿紧邻域，使得 矿c ，_ 1 ( 矿) 由，是开映射及引理3 3 2 知，( ) 是y 的强仿紧邻域，且 ，( ) cy ，从而，( x ) 是2 一型局部强仿紧空间 ( 3 ) 设映射，：x 斗j ，是空间z 到空间y 上的开、完备映射，x 是3 一型局部 强仿紧空间 砂口) cy ，y 是，的任