（理论物理专业论文）量子信息理论中若干问题的研究.pdf

中国科学技术大学博士学位论文 摘要 本文是几年来我们在量子信息理论方而研究工作的总结，主要包括以下几方面内容。 一、量子信道容量和保真度的计算以及量子信道的可区分性。我们对一般的玻色高 斯型信道，计算了输入为高斯纯态的时的信道保真度。此外我们研究t q u b i t 信道的可区 分性，并且讨论了纠缠对于信道可区分性的作用。最后我们给出了某一连续变量信道的 经典信道容量，并讨论了保真度和信道容量的t r a d e o f f 。 二、含时系统的绝热过程研究。我们提出了绝热轨道、绝热演化轨道及u ( i ) 不变的 绝热轨道和绝热演化轨道等概念，重申了绝热演化的含义。并在u ( 1 ) 变换不变展开的基 础上给出了绝热近似不变微扰理论新的绝热条件，并进一步得到了新的绝热条件。我们 发现了绝热近似过程新的几何性质，并对此几何性质作迸一步讨论。 三、混态对称克隆问题。我们指出，对于混态，最优的对称克隆机是不唯一的。这个 结论和纯态情况下w e r n e r 所得到的结论不同。 四、多体纠缠结构分析。我们给出了一般的纠缠结构分类定理。给出了一种构造不 同结构纠缠态的方法。此外我们还讨论了纠缠强度和纠缠态用计算基展开的项数之间的 关系。 第i i i 页 中国科学技术大学博士学位论文 a b s t r a c t t h et h e s i sc o m b i n e do u rr e s e a r c h e so nq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r yi np a s tf e wy e a r s 7 t h e m a i nc o n t e n to ft h i sp a p e rc o n t a i n s ： f i r s l b o s o n i cg a u s s i a nc h a n n e l si n p u t o u t p u tf i d e l i t y , d i s c r i m i n a t i o no fq u b i t sc h a n n e l s a n dc l a s s i c a lc a p a c i t yo fac e r t a i nc vc h a n n e l w eg i v et h ee x a c t l yf o r mo ft h ef i d e l i t yf o r g e n e r a 】b o s o n i cg a u s s i a nc h a n n e l si nc a s e sc h a n n e l si n p u tb el i m i t e d t og a u s s i a np u r es t a t e s b e s i d e s ，w ed i s c u s s e dd i s c r i m i n a t i o no fq u b i tc h a n n e l s a tl a s tu s i n gf u n c t i o n a la n a l y s i sa n d q u a n t u mt r a n s f o r m a t i o nt h e o r y , w eg i v et h ee x a c tf o r mo fac e r t a i nc vq u a n t u mc h a n n e l s c a p a c i t y ；w ea l s oc o n s i d e rt h et r a d e o f fb e t w e e nt h ec h a n n e lc a p a c i t ya n dc h a n n e lf i d e l i t y s e c o n d ，s t u d yo nt h ea d i a b a t i cp r o c e s so ft h et i m e d e p e n d e n ts y s t e m s w ep r e s e n tt h e c o n c e p t so fa d i a b a t i co r b i t ，a d i a b a t i ce v o l u t i o no r b i t ，u ( 1 ) 一i n v a r i a n ta d i a b a t i co r b i ta n du ( 1 ) i n v a r i a n ta d i a b a t i ce v o l u t i o no r b i t a n dw ea l s or e c l a i mt h em e a n i n g so fa d i a b a t i ce v o l u t i o n b a s e do nc o n c e p to fu ( i ) - i n v a r i a n ta d i a b a t i ce x p a n s i o nw ep r o p o s ea ni n v a r i a n tp e r t u r b a t i o n t h e o r yo f q u a n t u m a d i a b a t i cp r o c e s s ，f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i nan e wa d i a b a t i cc o n d i t i o n b e s i d e s ， w ef i n dan e wg e o m e t r i cq u a n t i t yi na d i a b a t i cp r o c e s s ，a n dw em a d es o m ef u r t h e rr e s e a r c h e so i l i t t h i r d ，c l o n eo fm i x e ds t a t e s w ep o i n t e do u tt h a tt h eo p t i m a ls y m m e t r i cc l o n em a c h i n e i sn o tu n i q u ef o rm i x e ds t a t e s t h ec o n c l u s i o ni sd i f f e r e n tf r o mt h a tw e m e rh a v ep r o v e di nt h e c a s eo fp u r es t a t e s a n dt h el a s t ，a n a l y s i so nt h ee n t a n g l e m e n tc o n s t r u c t i o no fm u l t i p a r t ys y s t e m s w e p r e s e n tac l a s st h e o r e mo fm u l t i p a r t ye n t a n g l e m e n tc o n s t r u c t i o na n dw ed i s c u s sh o w t ob u i l d e n t a n g l e m e n to fd if f e r e n tc o n s t r u c t i o n 第i v 页 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：也煎芝作者签名：型绺至 扫刃年lf 月z - 2 le t 中围科学技术大学博士学位论文 第一章引言 自1 9 0 0 年，普朗克提出了能量量子化的概念以来，经过爱因斯坦、海森堡、薛定谔、 波恩、泡利和狄拉克等批杰出物理学家的努力，建立了现在称之为量子力学的理论体 系。它在人类认识物质世界的思维过程中引进了崭新的革命性的框架，成为人类拓展认 识疆界的利器。近年来，量子力学应用于现有信息科学技术而形成的新的交叉科学一一 量子信息科：学，已经成为科学技术研究的前沿和热点之一。 量子信息论的诞生和发展，在科学方面有着深远的意义。因为它反过来极大地丰富 了量子理论本身，并且有助于加深对量子理论的理解，突出暴露并可能加速解决量子理 论中的一些基本问题。例如量子力学的本质是否是非定域的? 它和狭义相对论中定域因 果律的矛盾是否能够消弭等等。借助这一新兴领域的实验技术，改造量子力学基础，变 革现有时空观念，力深对定域因果律的看法也许是有可能的。 量子信息论在技术方面也有着重大的影响。在这方面大量卓有成效的探索性研究j f 在逐步导致以下各种新理论和新技术的诞生：量子比特和量子存储器的构造，量子态的 制备、存储、调控和传输，量子编码及压缩、纠错和容错，量子中继技术，量子网络理论， 量子算法，量子计算机等等。它们必将导致量子信息产业的繁荣，对人类社会的发展，对 人们的生活都将产生深刻的影晌。 量子信息理论正在经历快速的发展，并且扮演着越来越重要的角色。现在，用连续变 量理论来研究玻色高斯信道，以研究光纤中信息的传输和原子系综量子存储的若干规律， 这方面的研究具有比较重要的地位。玻色信高斯道可以用来描述连续变量编码的光纤传 输信息的过程。我们用多模玻色场的算子理论来研究各种各样的坡色信道的信道容量和 保真度，得到了一些结果。此外，由于实际信道总是具有噪声，为了提高信息传输效率， 提高对信道的纠错能力，识别信道的噪声类型是相当实用的技术。因此把态区分的技术 和方法推广到信道区分。还是很有意义的工作，我们在这方面也进行了一些研究。 自从r s h o r 提出量子大数分解算法之后，量子计算受到了特别的重视。利用量子绝热 近似过程和其中的几何相位构造强健的几何相位门，已经成为量子计算中卜分重要的技 术途径。但是近年来有人指出传统绝热近似条件的不自恰性，因此重新研究绝热过程，考 第1 页 中国科学技术大学博士学位论文 察绝热近似条件的合法性，就十分重要了。我们提出了绝热过程不变微扰论，对相关问 题作了比较深入的讨论。 量子态克隆则是量子信息中另一个重要的问题。在量子通讯的窃听，以及量子操作 的反馈控制等等方面，克隆部有重要的应用。虽然不可克隆定理阻止人们完美复制未知 量子态，但是对任意输入纯态，仍然可以一定的保真度近似克隆；或者是对于某个态，若 它选自给定的组不相关的量子态，那么它还可以被概率地完美克隆。对于纯态的克隆 研究已经很深入，但是对于混态克隆，最大的不同是输入态包含了反对称和部分反对称 的态空间。因此混态克隆的研究就变得相对比较困难。我们研究了混态克隆的某些特例， 并得出结论，混态克隆的克隆映射并不唯一，这和纯态克隆的情形完全不同。 在量子信息理论中，量子纠缠是一个最基本的概念。t e l e p o r a t i o n ，s w a p p i n g 等重要实 验无不是基于量子纠缠的特性。尽管纠缠十分重要，但是对于纠缠的认识还有待于继续 深入。我们在这罩通过考察多体系统子体系的约化态是否完全可分离，提出了一种纠缠 的结构分类定理。 本文共分五章，各章的内容具体组织如下： 第一章作为绪沦，阐述研究的动机背景及基本思想。 第二章中我们使用算子理论和量子变换理论导出由某一主方程描述的量子信道 容量的具体表达式；我们还进一步芍鬯了量子信道的经典信道容量和保真度的甲 衡关系。我们还考虑了当输入高斯纯念时，一般的多模高斯信道的输入输出保真 度。 第三章给出合时系统的绝热过程研究。我们在u ( 1 ) 变换不变展开的基础上给出了 绝热近似不变微扰理论新的绝热条件，并进一步得到了新的绝热条件。我们发现 了绝热近似过程新的几何性质，并对此几何性质作进一步讨论。 第四章首先简要地介绍了纯态克隆的一些研究背景随后对混态克隆给出一种克 隆映射的构造方式，可以构造不同的克隆映射。 第五章我们定义了多题纠缠态的纠缠强度，基于此提出了纠缠的结构分类定理。 我们在两能缴体系中研究了如何构造不同强度的纠缠。最后我们讨论了纠缠强度 和态展开的关系。 第2 页 中闻科学技术大学博士学位论文 第二章量子信道容量，保真度及可区分性研究 2 1 高斯信道保真度 量子玻色信道是有着连续输入字母表的特殊一类量子信道【ii 。由于它们在光纤传输 中有重要的应用，物理学家花费了很多精力去研究此类量子信道的性质。例如，量子和 经典信道容量、熵或者保真度的计算引起了很大的兴趣。特别的，傈真度可以用来衡量 量子信道的输入态和输出态的相似程度。保真度为1 表示量子态相同，而保真度为0 表示 量子态是j 下交的。在某种程度上，保真度衡量了量子信道保存传输信息的能力，因此保 真度在量子信息论中是重要的物理量 4 ，5 】。 到目前为止，在多模f o c k 空f 日j 的对角化二次项哈密顿量b u r e s 保真度已经被推导出来 了【5 】。高斯信道的保真度也被仔细的研究了f 6 j 。我们自然而然的会问：不同的玻色量子 信道的保真度足如何演化的? 有特定的输入态的某些量子信道的保真度是否有上下限? 这些问题值得深入的研究。 这里我们研究当输入高斯纯态时，一般的玻色高斯量子信道的输入输出保真度。 2 1 1c c r 系统和高斯纯态 由n 对j 下则变量( 置，p j ) 描述的n 模量子玻色系统属- 于c c r ( c a n o n i c a lc o m m u t er e l a t i o n ) 统【8 ，9 】，各个模的产生和湮灭算子( n f ，n j ) 由下式定义 垆去朗m = 丧 钔 对于这样的系统，一个量子态p 可由其w e y l 特征函数表征， ( p 。) = t r ( p w ( t ；) ) 其中 w f e ) = e x p i s r 。j 是、y 】算符，而是2 n 维实矢量，r = ( x l ，p l ，x ，p 一，h ，岛) 出特征函数可得到态的算 第3 页 ! 望墼耋堡奎奎耋篁圭兰篁篁圣 j 。= ( 2 矿“j r x ( p a w ( 矿户s 高斯态具有高斯型的w e y l 特延函数因此可以写成如下形式： 加= ( 2 丌尸厂e 毛毗魄7 w ( 矿护 i g 早- 的2 nx2 n 维实对称矩阵r 就是态的协变矩阵而2 n 维实矢量d 称为平抑矢量。它们有 d i = 印( r i p ) ，l ，= r e ( ( 风一d i ) ( r j 一研) 九，f ，j = ( 1 ，2 h ) 量子态的正定性要求r + i o = 0 ，o - = o i o 2 ，这罩o - 2 第二个p a u l 矩阵，n 饵c t g 要求r = 0 众所周知，当且仅当下式满足时，量子态是一个纯态 p 2 = p 对于高斯型纯态上式即意味着下式必须被满足， ( 刎小厂p 如l 如n ，( ) + ( 矿d 抽目护叩= ( 2 丌) 1 厂p - 孵+ + d ， ( 2 ” 其中的平移矢量我们已经合法地忽略了。因为平移是列量子态的一个幺正操作，不影响 此式的合法性。利用( c c r jw ( e ) w ( r 1 ) = w ( e + q ) e 一士7 ，经过简单的积分，我们得到f 式 匕fp 口( r + ；打口) 一w ( a ) + d 2 a = 卜渺+ w ( f ) + d 2 ”f ( 2 2 ) d e t q 2 r j j 其中口= e + 目，sa n dr 是( 2 1 ) 式左边的积分变量于是高斯纯态的协变矩阵应满足下式 罴i 1 亿。， 2 1 2 一般玻色高斯信道 一般玻色高斯信i 酋p + r ) 可以用它对w e y lo p e r a t o r 的作用来描述 1 0 ，11 】 丁( 睨) 一w ；a e 一 “， 第4 页 中围科学技术大学博士学位论文 这里a 。g 都是2 n 2 n 实矩阵，并且g 0 必须是对称矩阵于是可得到高斯信道的输出态 p o r e = 丽i 卜i 鲋州+ g ) f d v w 挑 随之，高斯纯态输入情况下一般高斯信道的输入输出保真度可以得到如下 f = t r 。p 。) = ( 2 圹“户妞们g ) e r + i d a r e r t r ( p i n w + ) 护s = ( 2 矿4 卜即吖+ r + 印倒叫， = i 丽亓1 雨唧( 一( 肌7 一。) 面蒜( 肌7 一。) 7 ) ( 2 4 ) 因为r 0 并且g 0 故平移矢量d 不会增加保真度如果我们只对保真度的上限感兴 趣，那么我们可以令d = 0 。 2 i 3 例算：几种玻色高斯信道的保真度 这一节我们给出几个例子。第一个例子是单模放大信道，对于这样的信道有a = 忻1 2 ，g = ( _ 一1 ) 1 2 ，_ 1 ，这里1 2 是2 维单位阵。放大信道在连续变量克隆过程中有重要应用利用 我们的结果，它的保真度可以容易地赢接给出 f = ( 础订而丽) 一e x p ( 1 忻一1 ) 2 州 考虑至f j 2 res p ( 2 ) 很容易算出保真度的最大值在输入态的协变矩阵f = i 2 ，平移矢 量d = 0 时取至0 f ，。= 2 ( 3 , t 一1 ) 。 另一个例子是多模经典噪声信道，对于这样的信道有a = ，g 0 。对于多模经典噪 声信道，输入态的平移矢量不会影响保真度的大小，这是个对克隆或者t e l e p o r t a t i o n i k 言 很好的性质。事实上，高斯型连续变量克隆以及一大类的连续变量t e l e p o r t a t i o n 过程都可 以描述为单模经典噪声信道【9 ，1 2 。它的保真度表达式更简洁 f ( f ，g ) = ! 一 d e t 、2 1 + g 把这个表达式重写成如下形式 f ( f ，g ) ：毫一；：l _ ： 出f 、2 r g d e ( 2 i _ ) 一i + g 一1 f ( r ，g )= 二= f ( r 一，4 ，g 一) ，( 2 5 ) d e t 4 g 第5 页 中同科学技术大学博士学位论文 注意d ；f ( 2 d = 1 而且辛矩阵的逆仍然是辛矩阵。我们把这个关系式叫做广义的标度定 律( g e n e r a ls c a l i n gl a w ) ，因为如果考虑单模经典噪声信道我们的关系式就会约化成文献 【7 】中的标度定律( s c a l i n gl a w ) 。 下面我们考虑一个存在相关噪声的略微复杂点的例子，但它仍然是一个经典噪声信 道。我们将研究一个有记忆的玻色高斯型信道，它由下面的映射描述fj 3 _ 广 $ ：$ c o 。) = jd i d 弛q 够l ，卢2 ) d 够1 ) o d 2 ) p 。d + j ) o d + 2 ) j ：j j ：d ? q ( f l l ，3 2 ) 2 而1 p 矿竹”，卢= 冀够i ) 9 i ) ，( f 1 2 ) ，9 够2 ) 】7 。 是噪声的协变矩阵。 2 nqx no o0j n x nono 0 x n0n 其中j 是噪声的相关因子，变化范围从o 到】。当j = 1 时，这个信道是完全i e t l 的；当j = o 时，信道是完全无记忆的。我们可以容易地把信道在海森堡图像晕重写如下： $ ( 此) = w , e o n ， 首先假定输入态是直积相干态 p 。= j y l 7 2 ) ( 7 1 y 2 l 于是有r = 粤，i 。是四维单位阵。最后我们可以算出保真度 2 百7 丽1 d e t 2 r + y = 两格 ( z 6 ) 从上式可看出记忆强度x 变大时，信道容量也会变大。而噪声水平n 变大时，保真度则减 小。 我们知道量子纠缠是量子信息领域中极为有用的资源【1 4 】。所以，我们希望对于记 忆玻色信道，纠缠输入会有助于获得更好的结果。 我们假定输入态是压缩真空态 = s ( r ) 1 0 0 ) = 志一“谴 第6 页 中同科学技术大学博士学位论文 这时，易算出输入态的协变矩阵r r = ； c o s h 2 r 0 一s j n h2 r 0 因此，信道保真度可以算出如下 o c o s h 2 r o s i n h 2 r 0 s i n h 2 r 0 c o s h 2 r ，：。兰 d e tq 侦+ 7 n 2 订丽巧砑兀忑历丽了历可丽面 ( 2 。7 ) 检查( 2 7 ) 式，显而易见，信道保真度仍然随噪声增大而减小，随记忆强度x 增加而增加。但 是和直积态输入相比，我们会发现，仅当输入态的压缩系数r 满足下面的条件时， 川n ( 鲁) 亿s ， 纠缠输入态和输出态的保真度相比直积态输入时有所增加，而极大值在t h er = i 1l n ( 鲁) 时 达到。进一步计算表明当r i n ( 拦) t h e 刚，纠缠输入时输出态的熵会比直积输入时的输 出态熵大。这个事实j 下好和文献【2 1 l q a 的结论：“只有纠缠度适当的态爿会增大记忆信道 的经典信道容量“互相映证。 2 1 4 结论 在本章中，我们研究了输入高斯纯态时，一般玻色高斯信道德保真度。随后给了几个 例子。原则上说，信道保真度随着噪声协变量增加而减少。当有能量从系统泄漏到环境 的时候，信道保真度随着时间l 的增加而减少。 存在记忆效应和输入态是相干直积态的时候，信道的保真度随着记忆强度参数x 增加 而增加。如果此量子信道的输入态是真空压缩纠缠态的时候，信道保真度和输入的压缩 系数y 的关系比较复杂，仅当压缩系数在适当范围内，信道的保真度才会被提高。 如果输入态是更为复杂的量子态的时候，我们的研究可以继续深入下去。而且，我们 的研究仅限于对量子信道有限次的使用的情况。对于无限多的信道使用情况下的保真度 的规律，我们还不知道。 第7 页 2 ， o 姚 o s o q 中国科学技术大学博士学位论文 2 2 量子信道的可区分度 现在我们知道。对于量子幺f 操作的区分和对于量子态的区分是相当不同的概念。比 如说，幺f 操作是可以完全区分的【1 5 】，只要有足够多个：| 考贝：但是量子态却不行。近年 来有些入把操作区分的概念推广到了量子信道的区分【1 6 - 1 8 。对于p a u l i 信道他们给出了 最大区分度，但是对一般的信道，即使是q u b i “言道也并不清楚。纠缠帮助下的信道区分度 也是比较有趣的，因为，对于幺正操作，获得最大区分度，并不需要纠缠输入，然而有些 时候纠缠输入是可以提台i 信道的区分度的。我们在本节中将详细讨论两个一般f l q u b i t 信 道的区分度，以及最大纠缠态输入下的信道区分度。 2 2 1 无纠缠帮助f l q u b i t 信道可区分度 区分未知信道的一般方法是输入一个给定态，然后测量输出。因此，以先验几率( p - p 2 ) 这- 早p l = l p 2 ，给出的两个q u b i t 信道a l ，a 2 的可区分度可定义为同一输入态情况下，两 个信道输出态i 、日j 区分出错的概率的最小值 1 6 】。当然也可以定义为区分输出成功几率 的最大值。为了方便，我们用后一种定义。在输入态是非纠缠的情况下，这个可区分 度d ( aj ，a 2 ) 由下式给出【1 8 】 ) ( a ha 2 ) = ；m a x ( i p l a i ) - p 2 a 2 圳) = ；m a x ( 1 ，h l + i 1 2 d( 2 9 ) 这早p 是任意输入态，选自2 维h i l b e r t 态矢空间，i a i = t r ( a q a - 万) 代表一个矩阵的模，而 l ，1 2 矩阵pj a l ( p ) 一p 2 a 2 ( p ) 的本征值 众所周知，量子信道总可以描述成一个h i l b e r t 空日j 中的完全诈的映射。而2 维h i l b e r t 空 问中的完全j 下映射总可以写成它的正则形式( c a n o n i c a lf o r m ) ： $ ) ：；【l + ，扩+ ( t 力孑】，p ：；( i + 产孑) 其中p 为输入态，堤它的极化矢量，厂= ( i t t 2 ，t 3 ) 是模长小于1 的实矢量，矛= ( o - j ，0 2 ，旷3 ) 是由赝标量一一三个p a u l i 矩阵构成的赝矢量，而t 是3 3 灾矩阵。当，= 0 时，信道就是 所i , 胃u n i t a l 信道。那么，若两个信道分别由弓，t 1 和磊，t 2 表征，当它们被依照先验几率分 第8 页 中国科学技术大学博士学位论文 布( p ，i p ) 提供时，计算它们的可区分度，即等价于计算下面这个矩阵的本征值 d ，5p a t ( o ) 一( 1 一p ) a 2 ( p ) = ； ( 2 p - 1 ) i + ( p 一( 1 一p ) 乏) 扩+ ( p t t 一( 1 一p ) t 2 ) 习孑 ( 2 】o ) 这里产是输入态的极化矢量，然后寻找使( 2 9 ) 式达到最大值的无我们记l = p t i 一( 1 一 p ) t 2 ，弓；厕一( 1 一p ) 匠将上面的矩阵简写如下 砩= ；陋- 1 ) i + 萨+ ( l 力孑 ( 2 j 1 ) 易求出它的两个本征值为 l _ 2 p 一1 + i + t p d ( 2 1 2 ) 五2 = 2 p - 1 一k + l 习 这里| t ，卅代表t ，珀模长。于是有 d ( a ，a 2 ) = m a x ( t 2 p 一】i ，悖+ b 习) ( 2 1 3 ) 因为t 。是实矩阵，它有如下的奇异值分解 t p2 r 听0 0 0 磋0 0 0 o 这里r ，o 是实j 下交阵。如果t = 0 ，我们就称这两个信道具有u n i t a l - 1 i k e 的差异也就是说这 两个信道或者都是u n i t a l 信道，或者它们都是非u n i t a l 信道，只是恰好有p i 一( 1 一p ) t 。2 = 0 ， 这时我们有ei f p + t ，爿= i t ，叫如果奇异值彬最大的话，我们只须选择 ，= 土0 7 司( 2 1 4 ) 其中露是第f 个坐标轴上的单位矢量，那么就可使】t ，爿达到最大值 i t a ，。= 秽， ( 2 1 5 ) 因此如果两个信道的具有u n i t a l l i k e 筹异，那么输入单q u b i t 纯态时信道的可区分度为 d ( a j ，a 2 ) p = m a x ( 1 2 p i i , 矿) ( 2 1 6 ) 第9 页 中国科学技术大学博士学位论文 达到这个最佳值的输入态有两个 b o a p ，：= 1 ( i + ，手)(217)pc i = = 【i + ，矿，【z 其中尹由( 2 1 4 ) 确定。需要指出条件1 2 p i i 矿成立时，也就是蜕或者| 口 i p ) 一( 1 一p ) a 2 ( p ) 0 或者( 1 一p ) a 2 ( p ) 一p a l 6 0 ) 0 ，这时测量不会帮助我们区分这两个信道的输出【? 】，我们 只需猜测信道就是出现几率较大的哪一个。 如果0 ，很难对于一般情况给出解析解，因为此时求解( 2 j 3 ) 式的极值问题等价于 求解一个超越方程。但对于特殊情况，例如加入矩阵t p s 的奇异值都相等，我们还是可以 得到代数解，这时只有一个最佳输入态 7 扛矿i ；，岛r 弓( 2 1 8 ) 而信道的可区分度为 d ( a 1 a 2 ) ，= m a x ( i z p - i i , 铷+ l 1 ) ( 2 1 9 ) 2 2 2 纠缠帮助下的信道可区分度 如果假定信道的输入和输出之间事先共享了纠缠资源，那么也许我们可以期望q u b i t 信 道的区分度会更好一点。这时信道的可区分度由下式定义【】8 】 d ( a i , a 2 ) = ；搿( p l ，。a 1 ( p e ) 一p 2 ，。a 2 m ，4 = ；m a x ( ( 2 2 0 ) 。 i = i 丸是下面这个矩阵的本征值 p l i o a l ( p e ) 一p 2 i o a 2 ( 1 d ) 在( 2 2 0 ) 式中，求和只有四项。这是因为考虑到纯态的s c h m i d t 分解，对于q u b i t 信道，一 个2 2 维的纠缠资源就足够了。 我们现在来研究当输入端与输出端共享e p r 对时，两个u n i t a l q u b i t 信道的可区分度。 由于最大纠缠态是局域等价的，因此我们设e p r 对处于如下的b e l l 态上 l 甲) = ：( i o o + 1 1 1 ) ) 第1 0 页 中国科学技术大学博士学位论文 p = i w ) ( e l = ；( ，十昕。h 一町。- + 以。l ) ( 2 2 1 ) o - ，i = j ，y ，z 和r 。i = j y ，z 分别代表输入信道的q u b i t 和辅助q u b i 啪三个p a u l i 矩阵。若两个 信道分别由五，t i 和匠，t 2 表征，则有 j ，。 ( p 由= 5 。+ 矛+ 矿t l 刁 ( ：) l ，。 。p 。) ： ( ，+ 丘矛+ 仔，( t ：力) 这里彦7 = io o l o0 萨。我们先考虑两个信道具有u n i t a l 差异的情况，这时有 a d e ( a i ，a 2 ) p l ，o a i ( p e ) 一p 2 ， a 2 ( o e ) = ； ( p t - p 2 ) l + 弘( t f ) l 考虑到l 的奇异值分解 于是容易得到 这晕靠= 朋e ( a - ，a z ) = ； loo 0一l0 ool t p = r 。 计0 0 0 磋0 0 0 磋 ( p i p 2 ) l + 睇 o 斫0 0 0 一稍0 0 0 碟 r 矛7 ，且e o = 0 7 。于是 k ( a l ，a 2 ) 的四个本征值容易求出 五l = ( p l p 2 ( 计+ q ；+ q ；) ) 4 2 = ( p l p 2 ( q ；一磋一g ) ) 4 3 = ( p j p 2 干( 圻一磋+ 孵) ) 4 3 4 = ( p l p 2 千( 斫+ 磋一碟) ) 4 第1 l 页 ( 2 2 3 ) ( 2 ，2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 中同科学技术大学博士学位论文 在p l p 2 后面的正负号山d e t r d e 【0 的符号决定。不失般性，对我们取正号，千相应 取负号，于是立即可得下面的关系 d e ( a i ，a 2 ) = 4 旧 i = i ( 2 2 7 ) = ；( m a x o p 。一p ：+ 磋圻+ 醒1 ) + m a x ( i p ，一p ：孵瑶一；1 ) ) ( 2 2 8 ) m a x ( i p i p 2 1 ，m a x ( 计，磋，孵) ) ( 2 2 9 ) 这就是说，对于具有u n i m l 差异的两个q u b i t 信道，最大纠缠态总可以达到或者超过非纠缠 态输入时它们的可区分度。不妨假设稿是奇异值中最大的，那么我们可以得到纠缠态不 提高可区分度的条件： ， i j 口i p 2 + 醒i i 啸+ 墟i ( 2 3 0 ) i 旧- 一废乙醒l 瞄町；l 特别地当p l p 2 = o 时，这个条件就退化成为三角不等式。 如果信道的差异不是u n i m l 的，撮大纠缠态帮助下的信道可区分度是可以解析求出的。只 是为了便于对比，我们也只考虑t ，的奇异值都相同的情况。我们假设t 。的奇异值分解中， 两个实正交阵的行列式都为1 ，那么我们容易算出m ( a “a z ) 的四个本征值， l = ( 2 p l 士( 一，7 p + 、；雨) ) 4 2 = ( 2 p j ( 一，一、雨) ) 4 ，= ( 2 p 一1 ( _ ，一、；i ：i i j j 丽) ) 4 l 。= ( 2 p l 土( q ，+ 、f i ：i i ：i 丽) ) 4 ( “t 2 ，t 3 ) ；f = r 随之，我们得到信道区分厦 d e ( a j ，a 2 ) = , l a i l = ；1 2 p - 1 + 扎麻) + ；m a x 0 2 p - 1 - 机厄嗣 考察这个结果，我们发现此时最大纠缠态可能降低区分度! 例如，取p = 1 2 ，一矿= t l = t 2 = 3 有 无纠缠帮助区分度d ( a i ，a 2 ) ( v + 1 ) 矿大于纠缠帮助区分度d e ( 】，a 2 ) = ( 佰+ g 7 ) r p 2 。 第1 2 页、 中固科学技术大学博士学位论文 而且即便两个信道都是非纠缠破坏的，最大纠缠态也可能减低区分度! 例如，对如下参 数的两个信道五= ( 1 4 ，0 ，o ) ，t = 3 1 4 ，五= ( 】6 ，o o ) ，t = 5 1 6 ，取p = 】2 ，易得 d ( a 1 ，a 2 ) = 1 6 ( 1 + 诟) 2 4 = d e ( a l ，a 2 ) 我们不难发现，最大纠缠态减低区分度的情况并不是很特殊的。而且有一些特殊的例 子，任意纠缠纯态都会减低区分度，这些例子中最简单的一个就是，考虑完美信道和一个 完全的振幅衰减信道。 2 2 3 纠缠降低区分性 让我们考虑这样一类信道 a ， ，他们由参数i = ，和t 。= 一2 i ) ，描述，这罩口是一个 常数满足条件0 五，口，而产某一方向上的单位矢量这样的信道可由退极化信道混合 一定程度的振幅衰减得到。不失一般性，我们可以令，处于z 轴方向当输入态为任意两 体纯态p a 日= i l 王，) 。肌b w l l i 寸，信道 ，输出得密度矩阵如下； a ，( p 8 ) = ( ( 1 一口) l a 2 + , i o a a ( o i ) t r a p a b + ( 一a 1 ) p a b ( 2 3 1 ) 假定这样的两个信道a 。a n d a 2 是以等几率提供的，我们来计算其区分度设信道分别由，i l a n d 2 给定，矩阵；( l ( p a n ) 一a 2 ( p 口) ) 可以算出如下： ；( a t 锄扩a ：锄枷= a l - 2 2 刚o ) 朋( o t t r a p a b - p b ) ；扣一劫阮，( 2 3 2 ) 2 这罩1 0 ) 是泡利矩阵叽的本征态，记 力的本征值为帆，i = l ，2 ，3 ，4 1 并h 2 u = 川，可见这 两个信道的区分度就是 ( l 一也) “。这里“，。是“的最大值容易发现u m a x 是完美信道和 个完全的振幅衰减信道区分度的两倍大小又因为完美信道和一个完全的振幅衰减信 道可由直积态完美地区分，因此“。，等于2 而且可由特定的直积态得到。故可得出结论对 于我们研究的这种信道，纠缠不会增加区分度。 进一步地，数值计算可见这种情况下纠缠对于区分信道反而是有害的。考虑塑j s c h m i d t 分 解，两体输入纯态可以写成如下形式： 1 甲) 日= 、i 1 4 0 l 庐) b + 1 一g l 砂1 ) a l e l ) 口 这罩q 是j 下实数，而且我们可对l 砂) ，1 ) ，l ) 8a n d1 妒1 ) 日驳适当相位使得i o ) = 诉i 妒) 日+ 第1 3 页 中固科学技术大学博士学位论文 钔= - 1 ) 口成立这里，也是正实数在( i 缈) 。1 0 - ) 。，i 妒) 口，i - ) 。 这样的基下，慨可写作： m , 2 q ( 1 一s ) 一q 娟巧i0 打鬲i q j f i = 面一日( 1 一j ) 0 0 00 一( 1 一q ) s- ( i g ) 、j _ 两 与丽0 一( 1 一日) 、j 1 = 面( 1 一q ) s 肘d 的一个本征值是零，另外三个本征值是如下方程的解 ( 2 3 3 ) x 3 一( q + j 一2 q s ) x q ( 1 一q ) ( q + s 一2 q s ) = 0 ( 2 3 4 ) 图2 1 显示了数值计算的结果可见最大值只在q = l ，s = o 和口= 0 ，s = j 两点取到，而这两 点都是直积态因此当我们所知出的这一类信道是以相同几率给出时，纠缠恰恰是有害 于信道区分度的 图2 1 ：a x 在( q = j ，s = o ) 和( q = 0 ，s = i ) 两点取到，对应态均是直积态 2 2 4 讨论和结论 我们讨论t q u b i t 信道的可区分性问题，并得出结论，对于具有u n i t a l 差异的两个信道， 最大纠缠态是一个p r e t t y g o o d 的输入态。将这结论推广到高维信道中去，我们得到这样的 推论： 如果，有多个j 下交的输入态都可以达到某两个信道的最大可区分度，那么最大纠缠 态输入将至少不减低信道可区分度。 这个推论的证明是非常平凡的，不再赘述。 第1 4 页 中国科学技术大学博士学位论文 但是对于不具有u n i t a l 差异的信道，我们很容易发现，纠缠甚至有可能减低信道可区 分度。晟简单的例子莫过于考虑完美信道和一个完全振幅衰减信道。进步的考察，会 发现即便对于非纠缠破坏的信道，最大纠缠态也有可能减低可区分度。这样的发现的确 有些令人迷惑。这个问题还有待于进一步的考察。 2 3 有噪声有损耗的玻色信道容量 量子通讯的基本概念和方法就是将经典信息编码到特定的量子态中，通过量子信道 进行传输最后接收者将量子态解码，以得到要传输的经典信息。如果输入态的相干性 由于和环境的相互作用被破坏则称量子信道是有噪声的。数学上而言。量子信道可以 由一个h i l b e r t 空| 1 j j 中完j 下的、保迹的映射来描述【2 】。另一方面，通过对感兴趣的系统和 环境相互作用的马尔科夫近似，我们得到另一种描述信道的方法，即量子混态演化的主 方程【3 0 ，3 1 1 。此过程描述了噪声对量子态的影响，并且可以被视为在有噪声的情况下信 息的传输，即一个量子信道。 s o n j ae ta 1 已经馊用主方程研究了量子比特情况下的有噪声的量子信道，他们称之 为压缩真空信道【3 2 1 。但是，他们的工作仅限于对有限维希尔伯特空问作用的有噪声量 子信道，而通过主方程研究连续变量系统则需要更多精力的投入。 在奉章中，我们研究描述衰减的单模电磁场与热库相互作用的主方程。主方程中密 度算予的演化被认为是一个有噪声的衰减的玻色信道。本质上，我们研究的量子信道其 实就是【2 0 】和【2 9 t _ 作的重合。我们的目的就是要证实主方程可以作为有效的工具来研 究此类问题。 我们首先回顾主方程和其显式解。然后我们给出有噪声的有损耗玻色信道的准确的 信道容量和保真度表达式。接着，我们研究给定输入态时，信道容量和保真度可以达到 最佳关系的情况。最后，我们给出结论。 2 3 1 主方程及其解 主方程描述开放物理系统的相干量子演化的动力学【2 6 ，2 7 1 。这些方程使用超算子来 描述密度矩阵的演化。主方程对应了一个完j 下、保迹的映射。因此主方程定义了一个量 第1 5 页 子信道 $ ：p _ $ c o ) 主方程本质上研究时间上局域的演化，即，马尔科夫过程【2 6 ，2 7 。因此，这些山二e 方程决定的量子信道是无记忆的量子信道。 另一方面，主方程描述了各式各样的物理过程。因此不同的主方程对应不同的量子 信道。我们所研究的主方程定义了一个有噪声的有损耗玻色信道。与所研究系统耦合的 热库可以认为是噪声。 根据h o l e v o - s c h u m a c h e r w e s t m o r e l a n d ( h s w ) 定理【3 3 】，使用一次量子信道$ 的经典 信道容量被定义为 邝) 5 器笳卜军删一誓邓( p f ) ) j ( 2 3 5 ) 其中上限取遍所有系综i p 。p ；】可能的输入态a 。这里p i 是ap r i o r i 先验的概率分布，并 且s ) = - t r p l 0 9 2 p 】是冯诺依曼熵。我们宣布对数函数的底都是2 。七( $ ) 也被称为h o l e v o 限。 现在而言，对有损耗玻色信道，人们证实相干态的高斯混态，即，热态可以取得h o l e v o 限。 考虑单模电磁场和热库相互作用的情况，即，阻尼谐振子和压缩热库相耦合的情况。 主方程可以写为如下形式【4 l ，4 2 】 害= ；( + i j 【：印a + - a + 掣- p a + a ， 亿，s ， + n ( 2 ap 口一n d 0 一p + ) + ；m ( 2 口+ p 矿一九+ p p 口+ 口+ ) v + 圭坛( 2 a p a a a p p a a ) 其中口( 和a + ) 是湮灭( 和产生) 算子：，是哀减速率，n 是热库的平均光子数，并且肘