（理论物理专业论文）格点体系和弦理论中一些模型的可积性及其相关研究.pdf

摘要 弦理论与凝聚态物理之间有着很深刻的联系。二者不但在方法上可以互相借鉴， 而且在机制和原理上存在内在联系，它们既相互促进又相互影响。弦的经典可积性、 格点模型、经典场论模型之间有着紧密的联系。构造精确可解格点模型，求其本征能 谱、本征态函数和b e t h ea n s a t z 方程等，可为研究超弦的经典解、超对称规范理论与 可积体系的关系提供可能工具。研究弦s i g m a 模型的可积性、解变换可以帮助人们更 好地理解a d s c f t 对应。这方面的研究已引起人们广泛的兴趣。 本论文主要包括两部分内容。第一部分( 第二章，第三章) 主要研究具有一般性 边界的多分量b a r i e v 模型和开边界条件下具有硬芯势的多分量b a i r i e v 模型的精确 解。b a r i e v 模型是一个非常重要的物理模型，它可以用来研究高温超导现象。人们对 一维周期性b a r i e v 模型做了广泛的研究。开边界条件下的b a r i e v 模型( 二分量，三分 量b a r i e v 模型及一种固定边界条件下的多分量b a r i e v 模型) 也己有一些研究，但具有 一般性边界的多分量b a r i e v 模型的精确解至今没有人给出。我们构造了具有一般性 边界的多分量b a r i e v 模型的哈密顿量，利用坐标b e t h ea i l s a t z 方法详细地研究了模 型的可积性，并得到了系统的能谱、可积边界条件及b e t h ea n s a t z 方程。我们还研究 了开边界条件下具有硬芯势的多分量b a r i e v 模型的可积性，给出了系统的能谱、可积 边界条件及b e t h ea 璐a t z 方程。由于存在硬芯势，粒子在链上的分布变得稀疏，开边 界的有芯模型具有不同于标准b a r i e v 模型的性质。在本文结果的基础上，利用热力学 b e t h ea n s a t z 方法，可进一步研究这两个模型的一些热力学性质，如比热、磁化率等。 第二部分( 第四章，第五章，第六章) 致力于研究弦理论中一些模型的可积性及解 变换。我们发现、r o u n g 给出的z 2 m 阶化超陪集靶空间混合型s i g m a 模型的平流满足 运动方程和v i r a s o r o 约束，这意味着我们可由系统的一个已知解构造一系列新解。并 且由新解构造的平流和由原解构造的平流处于同一个集合。尽管由新解生成的守恒荷 和由原解生成的守恒荷处于同一个集合，但每一个守恒荷在不同的解中对应的物理意 义不同。由于混合型s i g m a 模型可被用在超弦的纯旋量描述上，故研究这类s i g m a 模 型的解变换对超弦的研究具有一定的意义。我们构造了超陪集靶空间g r e e n - s c l l w a r z 型s i g m a 模型的作用量和平流，这类s i g m a 模型与混合型s i g m a 模型的不同之处 在于这类s i g m a 模型的作用量的动能项只包含玻色部分，而不包含费米部分，它可 用来描述g r e e n - s c h w a r z 超弦。我们首先构造了z 4 ，z 6 ，z 8 阶化g r e e n - s d l w a r z 型 s i g m a 模型的平流，给出了具有带谱参数平流的s i g m a 模型的作用量及平流的具体 表达式。然后构造了一类动能项较为简单的z 4 m 阶化g r e e n s c h w a r z 型s i g m a 模型 的带谱参数的平流，发现选择合适的、s s z u m i n o 项前的系数就可使模型具有带谱 参数的平流，并给出s i g m a 模型的作用量及平流的具体表达式。利用这些平流我们 可构造无穷多守恒荷，这意味着模型是可积的。我们还发现平流仍然满足运动方程和 v i r a s o r o 约束，故可由系统的原解构造一系列的新解。特别在z 4 阶化情形，我们给 出的g r e e n - s c l l w a r z 型s i g m a 模型，与由m e t s a e v 和t s e y t l i n 提出的在超陪集空间 p s 矿( 2 ，2 1 4 ) 阻0 ( 4 ，1 ) s 0 ( 5 ) 】上被广泛研究的s i g m a 模型，及其它一些类似模型是 一致的。在第六章，我们给出了a d & s 3 背景下玻色弦在光锥规范下的t s t 变换， 得到7 一形变背景下弦理论的作用量。构造了在均匀光锥规范固定下a d & s 3 玻色 弦的l a x 联络，并证明它是平的，从而说明系统是可积的。 关键词：多份量b a r i e v 模型，混合型s i g m a 模型，g r e e n - s c h w a r z 型s i g m a 模 型，可积性，平流 s t u d y o ni n t e g r a b i l i t yo fs o m el a t t i c es y s t e ma n d s t r i n gm o d e l sa n dr e l a t e dr e s e a r c h a b s t r a c t t h e r eh a ep r o f b u n dr e l a t i o n sb e t w e nt h e8 t r i n gt h e o r ya n dc o n d e n s e dm a t t e r p h y s i c s t h e yb o t ho 能re a c ho t h e ri nm e t h o d s ，m e c h a n i c sa n dp r i n c i p l e s t h e ya r e m u t u a l l yp r o m o t i o n a la n di n f l u e n e i n g t h e r eh a 鹏c l o s er e l a t i o 璐锄o n gt h ec l a s s i c a l i n t e g r a b i l i t yo ft h es t r i n g ，t h el a t t i c em o d e l sa j l dt h ec l a s s i c a lf i e l dt h e o r y c o l l s t r u c t i n gi n t e g r a b l el a t t i c em o d e l sa n do b t a i n i n gt h ee i g e n s t a t e s ，e n e r g ys p e c t r u ma n db e t h e a 1 1 s a t ze q u a 七i o i l so ft h es y s t e m sm a yp r o v i d eat 0 0 1f o rs t u d y i n gc l a u s s i c a ls o l u t i o n so f s t r i n g ，s u p e r s y m m e t r i cg a u g et h e o r ya n di n t e g r a b l es y s t e m s s t u d 姐n gt h ei n t e g r a b m i t ya n ds o l u t i o nt r a n s f o r m a t i o no ft h es t r i n gs i g m am o d e lm a yb e n e f i tu sg r e a t l yt o u n d e r s t a n dt h ea d s c f tc o r r e s p o n d e n c e t h es t u d yo nt h e s ea s p e c t sh a ea l r e a d y a t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n t h i st h e s i 8c o m e si nt 、op a r t s i np a r ti ( c h a p t e r si ia n di i i ) ，、阳m a i n l yd e a l w i t ht h ee x a u c ts 0 1 u t i o n so fm u l t i c o m p o n e n tb a r i e vm o d e lf o rc o r r e l a t e dh o p p i n gu n - d e rg e n e r a lb o u n d a 可c o n d i t i o n sa n dt h em u l t i c o m p o n e n tb a r i e vm o d e lw i t hah a r d - c o r er e p u l s i o nu n d e ro p e nb o u n d a r ) rc o n d i t i o n si no n ed i m e n s i o n b a r i e vm o d e li s o n eo ft h em o s ts i g l l i f i c a n tm o d e l 8i nc o n d e i l s e dm a t t e rp h y 8 i c 8 ，w h i c hi sr e l e v a mt o t h eh i g h - t cs u p e r e o n d u c t i v i t y i t h a u sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e di nt h ep e r i o d i cc a s e a l t h o u 曲t h e r ea r eaf 打w o r ba b o u tt h es o l u t i o no fo p e nb a r i e vm o d e l s ( t 、0 - a n d t 1 1 r e e c o m p o n e n tb a r i v em o d e la n dm u t i - c o m p o n e n tb a r i e vm o d e lw i t hf i ) ( e db o u n d a r y c o n d i t o n s ) t h es o l u t i o no ft h eo n e - d i m e n s i o n a lm u t i - c o m p o n e n tb a r i e vm o d e lu n d e r g e n e r a lo p e nb o u n d a r yc o n d i t i o n sh a u sn o tb e e ng i v e no u ty e t w bc o n s t r u c tt h eg e n e r a l f o r mo ft h eh a m i l t o n i a no ft h em o d e la n ds t u d yt h ei n t e g r a b i l i t yo ft h em o d e lt h r o u g h t h ec o o r d i n a t eb e t h ea n s a t zm e t h o d w ba k oo b t a i nt h ee n e r g ys p e c t r u m ，t h es p e c i f i c i i l t e g r a b l eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gb e t h ea n s a t ze q u a t i o n s t h e m u l t i c o m p o n e n tb a r i e vm o d e lf o rc o r r e l a t e dh o p i n ga n dah a r d c o r er e p u l s i o nu n d e r 1 1 l o p e nb o u n d a r yc o n d i t i o ni sa l s os h o w nt ob ei n t e g r a b l ei no n ed i m e n s i o n t h ee n e r g y s p e c t r u m ，t h eb e t h ea n s a t ze q u a 七i o n sa n dt h ei n t e g r a b l eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ed e 卜 r i v e d d u et ot h eh a r dc o r er e p u l s i o n ，t h ed i s t r i b u t i o no fp a r t i c l e sw a sc o m p r e s s e d e 能c t i v e l y t h u sw eh o p et h en e wm o d e lh a sd i 髓r e n tp r o p e r t i e sf r o mt h es t a n d a r d b a r i e vm o d e lu n d e ro p e nb o u n d a r yc o n d i t i o n s u s i n gt h er e s u l t so ft h i sp a p e ra n dt h e t h e r m o d y n a m i c a lb e t h ea n s a t zm e t h o d ，o n ec a ns t u d yt h et h e r m o d y n a m i c a lp r o p e r t i e s o ft h et w om o d e l ss u c ha ss p e c i f i ch e a ta n ds u s c e p t i b i l i t y i np a r ti i ( c h a p t e r si v ，va n dv i ) ，w ed e v o t et os t u d yt h ei n t e g r a b i l i t ya n ds o l u t i o n t r a n s f o r m a t i o no fs o m es t r i n gs i g m am o d e l s w bf i n do n ep a r a m e t e rf l a tc u r r e n t so f t h es i g m am o d e lo ns u p e r c o s e tt a r g e t sw i t hz 2 mg r a d i n gg i v e nb yy 6 u n gs a t i s f a c t i o n e q u a t i o n so fm o t i o na n dt h ev i r a s o r oc o n s t r a i n t t h i sm e a 璐t h a to n ec a ng e n e r a t e as e r i e so fc l a s s i c a l ls o l u t i o n s 行o mt h eo r i g i n a lo n e f 0 rt h e s en e ws o l u t i o n so n ec a n a l s oc o n s t r u c tf l a tc u r r e n t sa n dc o n s e r v e dc h a r g e s ，w h i c hf o r mt h es a m es e tw i t ht h e o r i g i n a lo n e a l t h o u g ht h e s es o l u t i o n sh a et h es a m ei n 丘n i t es e to fc o n s e r v e dq u a n t i t i e s ， t h e ya r en o te q u i v a l e n tt ot h eo r i g i n a ls o l u t i o n e a c hc o n s e r v e dq u a n t i t yh a u sd i e r e n t p h y s i c a lm e a n i n g sf o rd i 雎r e n ts o l u t i o n s s i n c et h i st y p eo fs i g m am o d e lc a n b eu s e di n t h ep u r e 卜s p i n o rd e s c r i p t i o no ft h es u p e r s t r i n g ，t h es t u d yo ft h es o l u t i o nt r a n s f 6 r m a t i o n o ft h em o d e lw i l lb eh e l p f u lt ot h es t u d yo ft h es t r i n g w 色c o i l s t r u c ta c t i o l l sa n df l a t c u r r e n t so fg r e e n s c h w a r zs i g m am o d e l so ns u p e r c o s e tt a r g e t sw h o s ek i n e t i ct e r m s o n l yc o n t a i nt h et 盯g e t s p a j c eb 0 8 0 1 1 si nc o n t r a s tw i t hh y b r i dt y p es i g m am o d e l s t h i s t y p eo fs i g m am o d e l sc a nb eu s e dt od e s c r i b et h eg r e e n s c h w a r zs u p e r s t r i n g f i r s t ， w ec o n s t r u c tt h eg r e e n - s c h w a r zt y p es i g m am o d e l sw i t hf l a tc u r r e n t sw i t hz 4 ，z 6a n d z 8g r a d i n g w 色a l s og i v et h ee x p l i c i tf o r mo ft h ea c t i o na n dt h ef l a tc u r r e i l t s t h e nw e c o n s i d e ras i m p l ec a s eo ft h ek i n e t i ct e r mo ft h em o d e lw i t hz 4 mg r a d i n ga n ds h o wt h a t t h e r ee x i s tao n e 卜p a r a m e t e rf a m i l yo ff l a tc u r r e n t so ft h em o d e lb yr e q u i r i n gas u i t a b l e c h o i c eo ft h ew b s s z u m i n ot e r m s u c hf l a tc u r r e n t sn a t u r a l l y1 e a dt oah i e r a r c h yo f c l a s s i c a lc o n s e r v e dn o n l o c a lc h a r g e s t h ee 妇s t e n c eo ft h e s ec h a r g e si sa ni n d i c a t i o no f t h ei n t e g r a b i l i t yf o rt h em o d e l w 色a l s of i n dt h a tt h eo n e p a r a m e t e rf l a tc u r r e n t so ft h e m o d e ls a t i s 匆e q u a t i o n so fm o t i o na n dt h ev i r a s o r oc o n s t r a i n t t h i si m p l i e st h a to n e l v c a ng e n e r a t eas e r i e so fc l a s s i c a ls o l u t i o 璐矗o ma ne ) 【i s t i n go n e e s p e c i a l l yi nt h ez 4 c a s e ，o u rm o d e lc o i n c i d ew i t ht h ew e uk n o w nm o d e lg i v e nb ym e t s a e va n dt s e y t l i no n as u p e r c o s e tp s u ( 2 ，2 i 4 ) s d ( 4 ，1 ) s o ( 5 ) 】a n ds i m i l a rm o d e l s i nt h es i x t hc h a p t e r ， r eo b t a i nt h es t r i n ga c t i o ni nt h e 下d e f o r m e da d & s 3b a c k g r o u n du n d e rt h e1 i g h t c o n eg a u g eb yt h et s tt r a n s f o r m a t i o n w ba l s oc o n s t r u c tt h el a xc o n n e c t i o nf o rt h e f e du n i f o r ml i g h t c o n eg a u g et h e o r ya n dp r 0 、厂et h a tt h el a xc o n n e e t i o ni 8f l a t t h u s t h em o d e l i si n t e g r a b l e k e ”o r d s ：m u l t i c o m p o n e n tb a r i e vm o d e l ，h y b r i dt y p es i g i i l am o d e l ，g r e e n s c h l w a r zt y p es i g m am o d e l ，i n t e g r a b i l i t y ，f l a tc u r r e i l t v 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。， 学位论文作者签名：罐瞄耻指导教师签名：! 至! l 口d2 年月日 沙。矿年厂月日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：茱了三纯 z 口d 挈年 f 月乡日 第一章引言帚一早ji 苗 超弦理论与凝聚态物理之间有着很深刻的联系。二者不但在方法上可以互相借鉴， 而且在机制和原理上存在内在联系，它们既相互促进又相互影响。 弦理论作为一种低维场论，场论中的方法广泛应用于凝聚态物理的各个领域，在凝 聚态物理的研究中具有重要意义。低维场论如s i n e g o r d o n 场、非线性薛定谔场、t o d a 场等理论对凝聚态物理中一些相关问题的研究具有重要的意义。弦理论的低能近似可 以给出1 r a n 分m i l l s 理论，人们发现n = 2 的超对称1 包n 乎m i l l s 理论的谱曲线是一些 可积体系的谱曲线，而、r a n 分m i l l s 方程与凝聚态物理中g i n s b e r 争l a n d u 方程是非常 相似的。另外凝聚态物理理论中的一些重要机制与场论中的孤子，散射振幅等都密切 相关。a d s c f t 对应将a d s 5 背景中i i b 超弦与四维时空上具有共形对称性 的n = 4 超对称规范场理论联系起来 1 3 】。m i n a h a n 和z a | r e l b o 4 】发现在单圈图水 平上，= 4s y m 理论的s 0 ( 6 ) 标量支( s c 猷盯s e c t o r ) 的平面膨胀算子( d i l a t a t i o n o p e r a t o r ) 等价于可积s 0 ( 6 ) 磁性量子自旋链的h a m i l t o n 量，并利用b e t h ea j l s a t z 方 法计算出算子的反常维。特别地，当将支( 8 e c t o r ) 限制到s u ( 2 ) 时，这些膨胀算子等价 于h e i s e n b e r gx x x 自旋链的h a m i l t o n 量。由两个复标量场西1 ，垂2 组成的单迹算子 具有如下的形式 亡r ( 圣1 圣1 圣1 中2 西2 中1 圣2 圣2 垂1 圣1 西1 西2 ) ( 1 0 1 ) m i n a h a n 和z a l r e m b o 发现单圈膨胀算子作用到如上形式的算子上时，这个膨胀算子 等价于x x xh e i s e n b e r g 自旋链。并称算子( 1 o 1 ) 为x x x 算子。如令标量场西1 等 价于自旋向上的态，标量场圣2 等价于自旋向下的态。则算子( 1 0 1 ) 被映射为 i t t 下j ，j ，tj ，【t 下tj ，) = 4 平面s y m 理论的单圈膨胀算子的双圈修正在文献【5 】中给出，当采取如上基底 时，它可写为 。= 己+ 去喜c 1 咱，+ ( 畚) 2 扣咱) _ 4 ( 1 咱训) + 0 ) ， ( 1 毗) 1 其中巩代表第2 个格点的p a u l i 矩阵。故此我们可用求解可积格点模型的方法来对角 化算子d 。不久m i n a h a n 和z a r e i n b o 的工作就被推广到整个超对称p s u ( 2 ，2 1 4 ) 6 】自 旋链和高圈图上 7 - 9 】。2 0 0 3 年b e n a ，p 0 1 c h i n s k i 和r o i b a n 1 0 发现在a d & 舻背景 中的g r e e n s c l l w a r zi i b 超弦在二维世界面上存在无穷多的非局域守恒荷，这意味着 g r e e n s c h w a r zi i b 超弦的二维世界面的理论是可积的。之后人们用b e n a ，p o l c h i n s k i 和r d i b a n 的方法构造出其它a d s 背景下的g r e e n s c l l w a r zi i b 超弦的平流【1 1 ，1 2 1 ， 由这些平流可构造无穷多守恒荷，从而说明这些弦理论是可积的。故运动方程的解可 由l a x 算子的谱曲线来参数化。k a z a k o v ，m a r s h a k o v ，m i n a h a n 和z a r e m b o 1 3 】证明 在a d & s 5 的子空间r s 3 中运动的弦的谱密度满足可积方程。此结论可被推广 到其它支( s e t o r ) 【1 垂17 和包含世界面费米子的情形【1 8 】。o k o u n k o v ，r e s h e t i k h i m 和 v a f a 【1 9 1 发现拓扑弦论与晶格理论有着对偶关系。世界面上g r e e n - s c h w a r z 弦s i g m a 模型的s 一矩阵及与其相应的一些自旋链的s 矩阵的研究也取得一些很好的结果2 m 2 5 1 。近几年凝聚态物理中的格点可积模型如超对称t j 模型，h u b b a r d 模型，以及研 究可积模型的一些方法如代数b e t h ea n s a t z 方法、坐标b e t h ea n s a t z 方法、渐近b e t h e a 璐a t z 方法等在规范场和弦理论中有着广泛的应用 9 ，2 6 _ 3 1 】。这些都说明格点可积 模型和规范场、弦理论之间的关系非常密切。构造和求解格点可积模型可为弦论和规 范场论的研究提供可能的工具。同时对弦理论的深入研究也会给凝聚态物理从物理背 景和方法上给于帮助。下面我们介绍与本文相关的一些可积模型和弦理论方面的基础 知识及研究进展。 可积统计模型( 又称精确可解模型) 是统计物理中一类非常重要的模型，其最显著 的特征之一就是可以严格求解，它可以看成是真实物理系统的简化。使原本非常复杂 难以求解的物理体系的配分函数变得简单而易于求解。因此任何一种新的可积统计模 型都是非常重要并能引起人们广泛注意的。在数学物理中，它直接导致了量子群的产 生。量子可积系统的研究不仅深刻地揭示了数学、物理学等领域中一些不同分支之间 的相互联系，更为重要的是其中所涉及的一些新概念、新方法、特别是一些新的代数 结构，为物理学相关问题的研究提供了更为广泛的基础。最近发现可积统计模型在超 弦理论和规范理论的研究中有着重要的应用，此方面的研究已引起人们广泛的兴趣。 在早期的精确可解模型中，i s i n g 模型是非常重要的一个。一维i s i n g 模型是i s i n g 于1 9 2 5 年提出并解决的【3 2 ，在这篇文章中他首次提出了转移矩阵技术，这一方法对 2 解决一维或二维精确可解模型是非常有效的。接着，o n s a g e r 3 3 】给出了方形格点i s i n g 模型的解。这个解首次证明了相变的存在并满足普适性。1 9 2 8 年，h e i s e n b e r g 3 4 提出 了磁性物质的量子力学链模型。这一模型被称为“x y z 模型。其哈密顿量为 1 日= 一专( 厶矗盯矗。+ 山+ 。+ 以茈仃鲁。) ， ( 1 - 0 3 ) 一n = 1 其中，l ，毛和以是实数，表示相互作用的强度，自旋算子仃。有如下形式 以= jo o 矿o o ，0 = 1 ，2 ，3 ，n = 1 ，) ， 为p a u l i 算子。在特殊情形以= 山= 以和五= 已以，分别被称为x x x 和 x x z 模型。1 9 3 1 年，b e t h e 3 5 】找到了x x x 链哈密顿量的本征值和本征矢。在解决 这个问题时，他提出了著名的b e t h ea n s a t z 方法。这个方法后来被广泛地应用于求解 其它可积模型。利用这个方法我们可以得到一些规范理论和弦理论的谱的精确解，它 可以帮助人们更好的理解弦理论和规范理论的对偶性。在b e t h e 的那篇著名的论文之 后，利用坐标b e t h ea n s a t z 方法，m g 和y _ a n g 3 6 】对角化了各向异性的x x z 链 的哈密顿量。他们还系统的研究了该体系的热力学性质。对于完全各向异性的x y z 模型，b a x t e r 3 7 】首先给出了x y z 模型的解，随后他又证明了x y z 模型与八顶角 模型( 一种二维精确可解格点模型) 的关系。随后j o h 璐o n ，k r i n s k y 和m c c o y 给出了 x y z 的激发态能量 3 8 】。为了简化b a 础e r 的方法，t a k h t a j a n 和蹦d e e v 3 9 提出了 量子反散射方法。利用此方法他们得到了六顶角模型和八顶角模型的转移矩阵的本征 值。在研究开边界条件的x x z 模型时，s k l y a n i n 4 0 提出了边界反射方程。利用反射 方程，他构造了该系统的转移矩阵，并证明了对不同的谱相互对易，进而说明这个系 统是可积的。在他的计算中，r 矩阵必须具有p 和t 对称性、幺正性及交叉对称性。 鉴于已知的冗矩阵大部分不满足上述性质，人们将s k l y a n i n 方法推广到具有p t 对 称性、幺正性和交叉对称性 4 1 】或p c t 对称性、幺正性和弱交叉对称性的系统【4 2 】， 利用这一方法可构造各种具有开边界条件的系统。在这一方案中，反射方程起着十分 重要作用，它与y a n g - b a x t e r 关系一起共同构成了精确可解体系的基本关系，同时也 给出了守恒流的生成泛函。 强关联电子系统在高温超导研究中具有十分重要的意义。最受关注的模型是已被 广泛研究的h u b b a r d 模型【4 3 】和超对称t j 模型【4 4 。在h u b b a r d 模型的格点链上， 3 格点上可以没有电子，可以有一个自旋向上或向下的电子，也可以有两个自旋相反的 电子。总的来说共有四种可能的态，i o ) ，i 下) 一c i o ) ，ij ，) 一砖l o ) ，i i ) 一c 豸l o ) 。中间 两个态可被看作是费米的，另外两个态整体可被看作是玻色的。h u b b a r d 模型最早被 用来解释过渡金属化合物的磁性质，它的精确解已由l i e b 和w u 于1 9 6 8 年用b e t h e a n s a t z 方法给出f 4 5 1 。r - 矩阵由s h a u s t r y 给出 4 6 】，用代数b e t h ea n s a t z 方法求解该 模型见文献4 7 ，4 8 1 。h u b b a r d 模型的量子涨落由同一格点的库仑排斥作用引起。后来 发现它和费米液体理论，高温超导中的氧化铜平面，规范场论，弦理论都有联系从而 引起了人们广泛的研究兴趣。超对称t j 模型描述了在每个格点上最多只能容纳一个 电子的强关联可积系统，每个格点最多只能有三种态，真空态、自旋向上的态和自旋 向下的态。这个模型可被用来描述高温超导中的c o p p e 卜0 x i d e 平面，其量子涨落来源 于相邻格点间的反铁磁自旋交换作用。 b a r i e v 4 9 1 提出了一种新的模型来解释高温超导现象。在他的模型中电子和空穴 的跳跃与能带的填充情况有关，依赖于末态是否被电子占据。这种关联跳跃如是排斥 性的，它会减少跳跃项的振幅；如是吸引性的，则增加跳跃项的振幅。b a r i e v 后来将 该模型推广到具有任意分量( 分量) 的情况 5 0 ，并证明了该模型的可积性。其基态、 激发态、关联函数、高温极限、强相互作用耦合极限和弱相互作用耦合极限等情况下 的一些热力学性质在文献【5 1 5 5 】中已被详细的讨论。周焕强【5 6 】利用量子反散射方法 构造了周期性条件下二分量b a r i e v 模型的转移矩阵，及量子r 矩阵，并证明了模型 的可积性。用代数b e t h ea n s a t z 方法对周期性条件下的b a r i e v 模型的精确求解分别 由m a r t i n s 和r a m o sf 5 7 1 及周f 5 8 1 独立的给出。以上所有这些工作都是在周期性的情 况下完成的。由于b a r i e v 模型的r 矩阵不满足交叉幺正对称性，因此反射矩阵瓯 和n 没有同构对应关系，必须求解两个反射方程。周焕全【5 9 1 给出了二分量开边界 b a r i e v 模型的反射方程的对角解及可积边界场，并证明了模型的可积性。二分量开边 界b a r i e v 模型的反射方程的一般解见文献 6 0 】，在该文献中，作者给出了反射方程的 非对角解和一组新的对角解。张耀中和周焕全f 6 1 1 运用坐标b e t h ea n s a t z 方法，证明 了在一种固定边界条件下二分量开边界b a r i e v 模型的可积性，并给出了系统的能谱 和b e t h ea n s a t z 方程。在文献 6 2 1 中，f o e r s t e r 等人用量子反散射方法详细地研究了 二分量开边界b a r i e v 模型的可积性问题，给出了两类对角形式的边界k 矩阵，并由 此导出了四种可积边界场，用代数b e t h ea n s a t z 方法给出了系统的b e t h ea n s a t z 方 4 程和能谱。三分量b a r i e v 模型的r 矩阵在文献f 6 3 1 中给出，其反射方程的对角解在 文献f 6 4 ，6 5 1 中给出。在文献f 6 6 1 中，f o e r s t e r 等人详细地研究了三分量开边界b a r i e v 模型的可积性问题，给出了三类对角形式的边界k 矩阵和九种可积边界场，并用坐 标b e t h ea n s a t z 方法给出了系统的b e t h ea n s a t z 方程和能谱。在一种固定边界条件 下多分量( n 一分量) 开边界b a r i e v 模型的可积性及精确解在文献f 6 7 】中给出，这种开边 界b a r i e v 模型的热力学性质在文献 6 8 】中讨论。具有一般性边界的多分量b a r i e v 模 型的可积性及精确解至今还没有人给出，是一个值得研究的问题。我们在论文的第二 章将详细讨论这个问题。 近年来相继出现了一些带硬芯势的可积模型，如带硬芯势的x x z 模型f 6 9 1 、带硬 芯势的超对称t j 模型 7 0 】、带硬芯势的非对称排斥模型【7 1 】、带硬芯势的完全非对 称扩散模型 7 2 】，带硬芯势的b a r i e v 模型 7 3 等。其中具有关联跳跃、带有硬芯势的 推广的2 分量b a r i e v 模型【7 3 】是由y u e 和s c h o t t m a n n 于2 0 0 2 年提出的。在此模型 中，自旋分量相同的两个电子不能存在于个晶格间隔内，自旋分量相异的两个电子 不能近于。硬芯势的存在，限定了电子数的最大值。他们证明了这种模型在周期边 界条件下的可积性，给出了b e t h ea n 8 a t z 方程，利用热力学b e t h ea n s a t z 方法讨论了 体系的热力学性质，并详细讨论了系统在强耦合极限、弱耦合极限、高温极限及低温 极限下的一些热力学性质。后来他们将该模型推广到任意分量( n 分量) 的情形 7 4 1 ，用 坐标b e t h ea n s a t z 方法给出了系统的能量本征值和b e t h ea n s a t z 方程，并研究了该 模型在吸引势和排斥势两种情况下的热力学性质。贺和岳 7 5 】将这种模型推广到开边 界情形，并对2 分量具有硬芯势的b a r i e v 模型进行研究，得到了系统的能谱和b e t h e a 璐a t z 方程，后来李和岳 7 6 对此2 分量模型的热力学性质进行了研究。但具有硬芯 势的开边界多分量b a r i e v 模型至今没有人研究，由于存在硬芯势，电子在链上的分布 变得稀疏，开边界的有芯模型具有不同于标准b a r i e v 模型的性质。因此是一个值得研 究的问题。我们在论文的第三章将研究具有硬芯势的开边界多分量b a r i e v 模型的可 积性和精确解，并给出可积边界条件。 随着一维系统在实验室中得以实现以及纳米技术的发展使得可积模型与真实的物 理问题直接相关。通过研究精确可解模型可以得出系统的一些物理性质，如自由能、 磁化率、热传导率及动力学性质等，可以与相关的实验结果进行直接比较，使我们能 够深入认识诸如高温超导、超流、量子霍耳效应等现象的物理机制。此外，系统的边 5 阶化超陪集靶空间混合型s i g m a 模型来描述。y o i u n gf 9 1 1 进一步推广了b e n a 等人的 结果，构造了z 2 m 阶化超陪集靶空间混合型s i g m a 模型的作用量和平流。虽然人们 对弦模型的可积性作了广泛的研究，但关于解的变换问题至今还没有明确的结果。而 场的可积性研究的一个重要课题就是解变换，也就是研究场的解之间的关系，特别是 由一个已知解找到新解。这是因为可积系统有许多守恒量，如果把它们作为新的“哈 密顿量”，就可以由此从原来的哈密顿量的轨道( 也就是原来的一个已知解) 生成一个 新的解。我们在本论文的第四章证明了y o u n g 给出的z 2 m 阶化超陪集靶空间混合型 s i g m a 模型的平流满足运动方程和v i r a u s o r o 约束，因此可由系统的已知解构造一系 列新解。z 4 阶化的g r e e n s c l l w a r z 型s i g m a 模型的平流和可积性已被人们广泛的研 究 1 皿1 2 ，1 7 ，1 8 ，8 4 ，9 2 9 6 】，但z 2 m ( m 2 ) 阶化的g r e e n - s c l l w a r z 型s i g m a 模型的平流 及相关问题至今还没有人给