（理论物理专业论文）极早期宇宙相关问题的研究.pdf

摘要 摘要 宇宙学标准模型在物理学的发展中扮演着重要的角色，因为它预言了一系 列关于宇宙演化的理论结果，而这些结果被随后的观测所证实。然而，标准模 型中也存在着许多问题在理论上无法给出合理的解释。通过引入暴胀假说，某 些问题如视界疑难、平直性疑难以及磁单极子疑难等得到或部分得到解决。与 此不同的是，另一些问题如大爆炸奇点问题，暗能量问题以及宇宙大尺度结构 的起源和形成等问题一般认为纯粹在经典引力论的框架内是无法给出圆满解决 的方案的。 本文首先简单地回顾了标准宇宙理论和暴胀模型的基本内容，然后主要介 绍了大爆炸奇点和几类半经典量子宇宙学中给出的解决方案。 其次，我们通过引入一个特殊的修正色散关系研究了它对宇宙的背景动力 学的影响。通过引力理论与视界上的热力学的一种对应，我们推导出了一个含 有反弹解的修正的弗里德曼方程。然后探讨了产生反弹所需的条件和可能性， 我们发现在高能区域，当粒子能量趋近于普朗克能标时，大反弹的确能够产生。 因此，在我们的模型里大爆炸奇点问题不复存在。 在第三部分，我们首先回顾了宇宙早期热扰动假说的一些基本内容，比如 热功率谱的计算以及非高斯性的相关简介。此后我们也简单地回顾了三类比较 流行的半经典模型中热扰动的研究情况，这些模型的引入使得标准宇宙学中无 法得到谱的标度不变性的困难得以克服。最后，我们研究了热扰动在粘滞宇宙 中的情况。我们发现，由于粘滞性的存在，各种热扰动模在穿越视界以后的演 化行为将与理想流体时的情况很不一样。这样，标准模型中的困难被打破，当 粘滞流体的状态参量满足w 口一1 或是w 一l 3 的时候，我们得到的功率谱是 标度不变的。同时，我也讨论了扰动的非高斯性。我们发现，对于德西特膨胀， 即状态参数满足w 口一1 时，非高斯性被压低；而对于p h a n t o ml i k ew 一1 3 的 情况，如果我们选取粘滞系数口4 3 ，则非高斯性具有标度不变性且是可以被 观测到的。 关键词：反弹宇宙：修正的色散关系；热扰动；粘滞宇宙：非高斯性 i i a b s t r a c t a b s t r a c t t h eb i n gb a n gc o s m o l o g yp l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei nt h em o d e m p h y s i c s i tc a n m a k es o m es u c c e s s f u lp r e d i c t i o n so fo u ru n i v e r s ea n dh a v eb e e nc o n f i r m e db yt h e l a t e re x p e r i m e n t s h o w e v e r , t h e r ea r es t i l lm a n yq u e s t i o n st h a tb i gb a n gm o d e lc a n n o tg i v et h er e a s o n a b l ea n s w e r s b yi n t r o d u c i n gt h ei n f l a t i o n a r ys c e n a r i o ，s o m eo f t h e s ep r o b l e m sf o ri n s t a n c e ，h o r i z o np r o b l e m ，f l a t n e s sp r o b l e ma sw e l la sm a g n e t i c 、m o n o p o l ep r o b l e mc a nb ec o m p l e t e l yo rp a r t l yr e s o l v e d d i f f e r e n tf r o mt h e s e p r o b l e m s ，i no r d e rt or e s o l v et h es i n g u l a r i t yp r o b l e m ，d a r ke n e r g yp r o b l e ma n dt h e o r i g i no fl a r g es c a l es t r u c t u r e ，w eh a v et or e s o r tt ot h eq u a n t u mg r a v i t yt h e o r y i nt h i st h e s i s ，f i r s t l y , w eg i v ear e v i e wo nt h es t a n d a r dc o s m o l o g ya n dt h e i n f l a t i o n a r ym o d e l t h e nw ef o c u so nt h es i n g u l a r i t yp r o b l e ma n ds o m ep o s s i b l e w a y st or e s o l v es u c hp r o b l e mi ns e m i c l a s s i c a lq u a n t u mc o s m o l o g i e s s e c o n d l y , w ei n t r o d u c eas p e c i a lm o d i f i e dd i s p e r s i o nr e l a t i o n ，a n di n v e s t i g a t e i t si n f l u e n c eo nt h eb a c k g r o u n dd y n a m i c s t h a n k st ot h et h e r m a ld e s c r i p t i o no f g r a v i t yo nt h ec a u s a lh o r i z o n ，w eo b t a i nam o d i f i e df r i e d m a n ne q u a t i o nw h i c h c o n t a i n sab o u n c es o l u t i o n t h e nw ed i s c u s st h ep o s s i b i l i t yo ft h ei n i t i a lb o u n c e i n t h ee x t r e m e l yh i g he n e r g yr e g i o nw h i c hi sc l o s et op l a n c ke n e r g y , t h eb i gb o u n c e h a p p e n si n d e e d t h u s ，i no u rp i c t u r e ，t h es i n g u l a r i t yp r o b l e mi sr e s o l v e di ns o m e w a y s t h i r d l y , w er e v i e wo ns o m ef u n d e m e n t a l so ft h e r m a lf l u c t u a t i o n si nt h ev e r y e a r l yu n i v e r s e ，w h i c hm a i n l yc o n t a i n s c a l c u l a t i o no ft h ep o w e rs p e c t r u ma n d n o n g a u s s i a n i t y a n d w ea l s o g i v e ab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h r e e p o p u l a r s e m i - c l a s s i c a lc o s m o l o g i c a lm o d e l sw h i c ha l ei n t r o d u c e dt oo v e r c o m et h en og o t h e o r e mi nt h es t a n d a r dm o d e l t h e nw ei n v e s t i g a t et h et h e r m a lf l u c t u a t i o n si na v i s c o u su n i v e r s e w ef i n dt h a td u et ot h ee f f e c to fv i s c o s i t y , m o d e so ft h e r m a l f l u c t u a t i o n sh a v eav e r yd i f f e r e n tb e h a v o rc o m p a r i n gw i t ht h ei d e a lf l u i dc a s ea f t e r c o r s s i n gt h eh o r i z o n t h u s ，t h en og ot h e o r e mo fg a i n i n gs c a l e - i n v a r i a n c ei sb r o k e n w h e nw 口一1o rw - 1 3w i t han o n - v a n i s h i n gv i s c o u sc o e f f i c i e n t ，t h ep o w e r s p e c t r u mi sas c a l ei n v a r i a n to n e m o r e o v e r , w ec a l c u l a t en o n g a u s s i a n i t yi nt h i s i i i a b s t r a c t m o d e l w ef i n d t h en o n g a u s s i a n i t yi s s u p p r e s s e d i n t h ed es i d e re x p a n s i o n c a s ew 口一1 ，w h i l ei ti so b s e r v a b l ea sw e l la ss c a l ei n v a r i a n tw h e nt h ep h a n t o m l i k ec o n d i t i o nw - 1 3w i t h 口4 3i ss a t i s f i e d k e yw o r d s ：v e r ye a r l yu n i v e r s e ；b o u n c i n gu n i v e r s e ；m o d i f i e dd i s p e r s i o nr e l a t i o n ； t h e r m a lf l u c t u a t i o n s ；v i s c o u sc o s m o l o g y ；n o n g a u s s i a n i t y i v 目录 目录 摘要i i a b s t r a c t i i i 第一章引言1 1 1 研究背景和意义1 1 2 宇宙学回顾1 1 2 1 宇宙学标准模型及存在的问题2 1 2 2 暴胀模型5 1 3 本文的主要工作6 1 4 论文组织安排7 第二章半经典量子引力和大爆炸奇点8 2 1 圈量子宇宙学8 2 2 膜宇宙1 0 2 3 非对易时空1 1 2 4 修正色散关系与彩虹宇宙1 2 第三章修正的色散关系和反弹宇宙1 5 3 1 一个修正的色散关系1 6 3 2 弗里德曼方程及其在表观世界上的热力学表述：1 7 3 3 修正的弗里德曼方程和反弹宇宙1 9 3 4 讨论和小结2 2 第四章原初热扰动假说的相关简介2 4 4 1 原初热扰动研究的背景和意义2 4 4 2 热扰动功率谱的计算2 4 4 3 非高斯性简介2 7 4 4 热扰动理论的相关进展2 8 第五章粘滞宇宙的原初热扰动3 2 5 1 粘滞宇宙中热扰动的功率谱3 2 v 目录 5 2 粘滞宇宙中的热非高斯性3 5 5 3 讨论和小结：3 7 第六章结论与展望3 8 致谢4 0 参考文献4 1 攻读学位期间的研究成果4 6 v i 第一章引言 1 1 研究背景和意义 第一章引言 宇宙学是一门十分古老的学科，它的发展大致经过了从哲学思辨到以物理 理论为基础进行科学定量研究的历程。而随着2 0 世纪初广义相对论的诞生，现 代宇宙学理论被逐步地建立起来，并逐步完善成一个被称之为宇宙学标准模型 的系统理论。它为宇宙的演化提供了一个较为完整和合理的物理图景，其理论 上的一些结论和预言在过去相当长的一段时间内经受住了宇宙学观测的检验， 因而得到广泛认同。然而，该理论本身存在着一些问题【，也无法对大尺度结构 的形成以及近年来宇宙微波背景( c o s m i cm i c r o w a v eb a c k g r o u n d ，简称c m b ) 具 有微小各向异性的观测结果给出满意的解释【2 9 】。这使得人们考虑寻求对该理论 进行修正乃至跳出其框架建立新的替代理论来解释这些问题。 上世纪8 0 年代，g u t h 等人提出的暴胀模型( i n f l a t i o n a r ym o d e l ) 为解决标准模 型中的视界疑难和平直性疑难提供了一条途径【l 们，并且从该模型中的原初微扰 理论可以得出与现今c m b 各向异性的观测数据( 如w i l k i n s o nm i c r o w a v e a n i s o t r o p yp r o b e ，简称w m a p ) 符合得较好的结果。但是，这并不意味着理论上 已经可以清楚地解释宇宙演化过程的绝大部分问题了。目前，在我们现今理论 中仍旧存在着一些比较突出的问题，如大爆炸奇点问题、暴胀的产生机制和退 出机制以及原初微扰的非高斯性等。这些都有待于我们在理论上和观测上作进 一步的探索和思考。 1 2 宇宙学回顾。 宇宙学是研究宇宙的结构及其演化的学科，在这个宇观尺度范围内，万有 引力起主要作用。1 9 1 5 年，爱因斯坦创建的广义相对论，使得精确地研究宇宙 动力学成为可能。1 9 2 2 年，弗里德曼使用宇宙学度规求解了爱因斯坦场方程f 1 1 1 ， 表明宇宙总是处于膨胀或收缩的状态。1 9 2 9 年，美国天文学家哈勃通过研究星 系的退行红移与距离的关系，发现宇宙不是静止的，而是膨胀的。这一观测结 果极大地支持了弗里德曼动态宇宙学的结果，也从根本上动摇了支配人类历史 第一章引言 上千年的静态的宇宙观。 1 9 4 6 年，加莫夫又在动态宇宙模型的基础上提出了著名的大爆炸( b i gb a n g ) 模型【1 2 】。该理论模型认为，宇宙的极早期处在一个高温、高压、致密且均匀、 没有任何结构的状态。由于宇宙的不断膨胀，温度逐渐冷却，经历了夸克一强 子相变前的甚早期、核合成阶段、原子合成等阶段，原初的密度涨落在引力的 作用下呈现不稳定性而逐渐发展形成恒星、星系、星系团以及超星系团等现今 宇宙的大尺度结构。由于这个模型所作出的一系列重要的预言如宇宙的膨胀、 轻元素的原初丰度等都得到了实验的验证。特别是在1 9 6 5 年前后宇宙微波背景 辐射的发现，使得大爆炸模型成为人类科学史上第一个成功的宇宙学说。 尽管如此，这一模型远非完美。例如该理论本身存在平直性问题、视界问 题、大尺度结构起源问题、磁单极和其它多余的残留物问题、大爆炸奇点问题 等等【l 】。事实上，它也无法解释最近w m a p 观测数据所给出的c m b 具有约为 1 0 。5 量级的温度涨落的结果。尽管g u t h 给出的暴胀理论可以解决其中的一些疑 难，但可以想像，纯粹在经典引力的框架内解决如奇点问题、暗能量问题等全 部的问题是不可能的。因此，在面对某些问题的时候，我们需要引入量子性的 理论去补充和完善。 1 2 1 宇宙学标准模型及存在的问置 宇宙学标准模型建立在宇宙学原理和爱因斯坦方程的基础之上。宇宙学原 理认为：每一时刻的宇宙空间在大尺度下是均匀且各向同性的。满足这一要求 的宇宙学度规即是f r i e d m a n n r o b e r t s o n - w a l k e r ( f r w ) 度规 凼2 = 锄2 瑚，d r 丁+ r 2 s i n 2 耐) ， n ， 其中，o ，9 ，伊) 为各项同性坐标系， 间平直，闭合，开放的宇宙。另外， 必须考虑爱因斯坦场方程： 口( f ) 为尺度因子，k = o ，+ l ，- 1 分别对应于空 需要得到宇宙演化的动力学方程，我们还 如，一虿1 乳v r = 8 万g 兀， 和理想流体的能量一动量张量： 2 ( 1 2 ) 第一章引言 兀p 2 十p ) + p ， 这样，我们就可以得到弗里德曼方程： 如( 争竽毒 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 利 疗= 。万g p + p ) + 孑k ， ( 1 5 ) 其中h = a a 为哈勃参数。以上的式( 1 4 ) 和( 1 5 ) 就是描述宇宙动力学演化的方 程。将两式联立，不难推出： 。，_ 4 n g ( p + 3 p ) 。 ( 1 6 ) 口j p + 3 p j 。 【1 雨) 当西 0 时，说明宇宙的膨胀是减速的。 我们可以将( 1 4 ) 重新写为如下形式： 。 q ( ，) 。2 南， ( 1 7 ) 这里，q o ) 董p o ) 成( ，) 是无量纲的密度参数，p 。( 0 - - 3 h 2 ( 0 8 刀g 是临界密度。 物质分布明显的决定着我们宇宙的空间几何 q = ljk = 0 ， q ljk = 1 。 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 2 0 0 0 年，两组c m b 探测器显示当前的宇宙非常接近空间平直的几何【2 u j ， b o o m e r a n g 在2 0 0 1 年的结果给出的数据为q = 1 0 2 ：錾 1 4 】。2 0 0 3 年，w m a p 的数据与该结果结果是一致的：q = ) 9 一+ o 0 2 1 5 l 。而w m a p5 年数据进一步证实 了这样的结果，它给出_ 0 0 1 7 5 q 。 o o 回到经典的情况。当 口 0 的情况下，弗里德曼方程存在反弹解。 一 2 4 修正色散关系与彩虹宇宙 人们普遍相信在量子引力的框架下面，空间应当存在一个最小尺度单元。通 过引力理论、狭义相对论以及量子力学中的特征常数，我们就可以直接构建出 一个具有长度量纲的常数，= 壳g c 3 ，称为普朗克长度。通过该量我们也可以 分别构建出具有时间的量纲的常数，。= ，。c 和能量量纲的常数e 。= h t 。 然而这与狭义相对论的基本理念是相违背的。因为在该理论中，空间间隔、 时间间隔以及能量的大小均非绝对，而是观者依赖的。因此，为了调和二者之 间的矛盾，我们可以采取对标准的洛伦兹对称性进行修正的方法，使得既能保 证极高能时空间和能量在普朗克尺度上的截断，又能保证在低能时回到相对论。 这一新的理论被称作双狭义相对论( d o u b l ys p e c i a lr e l a t i v i t y ，简称d s r ) 【2 纠，在 1 2 第二章半经典量子引力和大爆炸奇点 该理论中修正的洛伦兹变换将是相对复杂的非线性变换。另外，狭义相对论给 出的标准的色散关系为： ( 2 2 0 ) 经过修正后的色散关系中应含有普朗克长度或是能量等特征常数，因此其一般 形式可以表示为： z 2 ( e 耳) e 2 - f ：2 ( e 廓) p 2 = ，瑶c 4 ， ( 2 2 1 ) 其中石和五是依赖于探测粒子能量的函数，在e 0e ，两者都趋于l ，函数与观 者无关，即回到狭义相对论的情况。但目前，对于这两个函数的具体形式还未 有定论。 一 由l s m o l i n 等人构建的彩虹引力理论( r a i n b o wg r a v i t y ) 2 6 1 将平直时空的 d s r 推广到了与之对应的弯曲时空的情况。在这个理论中，坐标线、度规乃至 测地线都是依赖于探测粒子的能量，因此导致了色散关系的修正。其对应的爱 因斯坦场方程为： q ，( e ) = 8 万g ( e ) 乃y ( e ) 。 宇宙学度规也相应地修正为： ( 2 2 2 ) d s 2 = - f , 。2 d t 2 + 口2 正。2 名出。d x ， ( 2 2 3 ) 联立两式求解的修正的弗里德曼方程为： 卜舻可8 n g ( e ) ” 亿2 4 ， 如果选取石= ( i - i ；e 4 ) 。坨和以= l 并令g ( o ) 为牛顿常数，则不难得出类似于 式( 2 7 ) 的弗里德曼方程，而其中的临界密度屏母9 。显然它也提供了与圈量 子宇宙十分类似的物理图像，但是由于彳和左具体形式目前尚未清楚，使得对 它们的选取具有相当的任意性。凌意等人通过研究发现，如果选取 石= 五= ( 1 一，：e 4 ) - 1 陀，在宇宙常数人 o 的情况下，将是一个循环宇宙的演化过 第二章半经典量子引力和大爆炸奇点 程【2 7 】。这说明量子引力或许不仅仅只在宇宙的极早期才会显现其效应。 1 4 第三章修正的色散关系和反弹宇宙 第三章修正的色散关系和反弹宇宙 广义相对论的一大特点在于将背景时空的几何结构与物质分布相联系，两 者之间的定量关系由一组偏微分方程，即爱因斯坦场方程来给定。这一理论的 成功之处除了其形式上的优美外，还在于给出的结论较之牛顿力学更为符合实 验结果。但广义相对论建立在连续可微的基础之上，它与量子力学所强调的离 散、分立等基本理念有着难以调和的矛盾。本质上来说它仍然是一个经典理论。 但是，如果接受一切物质是量子化的观点，那么依赖于物质分布的时空几何也 应该是量子化的( 当然，两者要表现出量子特性的所需的能标是不同的) 。遗憾的 是，目前为止我们对于引力的这样一个量子理论仍旧知之甚少。然而，在一个 完整而自洽的量子引力理论建立之前，根据量子力学和广义相对论的基本观念， 人们普遍相信自然界存在着理论上可测量的最小空间尺度和最高能量标度，即 普朗克长度和普朗克能量。如果这一结论是正确的话，那么长久以来困扰我们 的宇宙大爆炸奇点问题或许可以在量子引力的框架下得到解决。半经典的量子 引力有效理论给我们提供了种相对直观的图像：在引入引力的量子修正后， 描述宇宙演化的弗里德曼方程也将予以修正，于是，宇宙大爆炸的奇点将不再 存在，代之以一个背景的反弹【2 8 ，2 9 】。在该处，能量密度不再发散，宇宙的行为良 好。最近，含有反弹解的修正弗里德曼方程在各种半经典量子引力理论中被广 泛研究【2 3 , 2 4 , 2 7 , 3 0 - 4 1 】。本文主要通过修正标准的色散关系，推导出含有反弹解的弗 里德曼方程。 修正色散关系可能为粒子的能量或是动量提供一个截断，这些情况早已在 极高能物理以及量子引力现象学中被广泛讨论过【4 2 埘】。进一步地说，根据广义 相对论的观点，时空结构依赖于物质的分布。如果色散关系的修正可以保证在 极高能情况时分布的物质的能量密度不再发散，那么时空的曲率也不会发散， 奇点问题将不复存在，这也正是我们引入修正色散关系的直接原因。类似的由 粒子的量子引力效应带来的对时空的影响也在彩虹引力理论的框架下被研究过 2 6 , 2 7 4 5 规】。与之不同的是，本章中我们主要通过宇宙动力学方程在表观视界上的 热表述来推导出修正的弗里德曼方程。 广义相对论的热表述最早由j a c o b s o n 提出【5 3 j ，从r i n d l e r 视界上热力学( 这 里假定处于平衡态) 的克劳修斯关系万q = t d s 出发，爱因斯坦方程可以被推导 第三章修正的色散关系和反弹宇宙 出来。这里，万9 和丁分别是r i n d l e r 视界内部的加速观者所探测到的穿过视界 面的能流和热浴( t h e r m a lb o t h ) 的安鲁温度。近来，这一思想被广泛地用于各种引 力理论和宇宙学。研究表明，在从克劳修斯关系推导弗里德曼方程的过程中， 表观视界充当着适合的角色。这便是宇宙学方程和表观视界上的热力学的对应。 关于此类相关工作可见近期的参考文献【5 4 枷】。最近，蔡荣根等人结合修正的熵 一面积公式通过该种途径得到了修正的弗里德曼方程，然而目前为止相关研究 都没有能够实现宇宙的大反弹【6 1 , 6 2 】。在本章，我们通过引入特殊的修正色散关系， 导出的弗里德曼方程是具有反弹解的。 本章的结构主要如下：在3 1 节我们引入修正的色散关系，该关系在普朗克 尺度下对粒子的能量和动量都有截断；在3 2 节，我们简单回顾一下由表观视界 上的克劳修斯关系推导弗里德曼方程的大致过程；在3 3 节，通过修正的色散关 系得出具有反弹解的弗里德曼方程；最后是讨论和小结。 3 1 一个修正的色散关系 近年来对于量子引力理论的研究表明，粒子在接近普朗克能标的时候，普 通的色散关系需要进行量子修正。我们在现象学的层面上引入这样一个特殊的 色散关系： 瓦1 s i n ( 砟d = 厢， ( 3 1 ) 在这里我们采用自然单位制( 壳= c = 1 ) ，式中e 和p 为粒子的能量和动量，m o 为静 止质量，= 荔西暑呜为普朗克尺度，刁为一个与时空的量子性有养的无量纲 参数。显然地，对于正定的动量p ，能量e 的取值范围被限制在 o ，万叩 的区 间内。这就是说，粒子的能量不能是发散的值。另外需要指出的是：在低能情 况e 口m v 时，对( 3 1 ) 式做泰勒展开我们有： ( 1 - # 7 2 鬈e 21 3 ) e 2 = p 2 + 朋；。 1 6 ( 3 2 ) 第三章修正的色散关系和反弹宇宙 这个修正色散关系对于黑洞热力学的影响已经在过去的一些文章里面被详细地 讨论过6 3 ，v j 。显然，如果令j o 则回到普通的相对论的色散关系。现在我们 用r 1 、式的色散关系代替( 3 2 ) 式，研究在极高能的情况下它对宇宙动力学的影 i “戎i tj 及现得到的修正的弗里德曼方程具有反弹解。 我们进一步分析( 3 1 ) 式能量动量的变化关系：在粒子能量处于较低的能量区 i 日l l - o ，, , - i 2 , 1 4 , 时，p 是e 的单调递增函数，这与我们平时的经验相符。特别地， 当能量达到e = 刀, iz , 7 1 p 时，动量达到其最大p m 积= 1 矿。而当粒子能量在高 能量区间 万2 7 7 ，z r ir l l p 时，粒子的能量增加，其动量反而单调下降至0 。这 与我们；一一! 。确j 完全是属于量子效应表现强烈的情况。当我们做如下变分， 以e 分村。穆、r 分的显然： 耻再6 雨p ， 3 ， 其中“+ 对应于e o ，n 2 r l p 的情况，而“一 对应于e i x 2 r l l p ，z c lq l p 的 情况。本文后面的推导表明以上两种情况都能够导出具有反弹解的修正的弗里 德曼方程。 3 2 弗里德曼方程及其在表观世界上的热力学表述： 首先，让我们回顾一下如何由广义相对论在表观视界上的热力学表述导出 宇宙学弗里德曼方程的过程。不失一般性，本文中我们只考虑平直的宇宙。从 宇宙学