（计算数学专业论文）几类延迟微分系统的数值稳定性分析.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 微分方程在工程应用中有着十分广泛的应用，凡是与变化率有关的问题几乎都 可以用微分方程模型来研究，特别是近三十年来，随着对诸如管理系统、生态系统、 电力工程和自动控制等领域的建模、设计、分析和应用的深入发展，微分方程模型不 仅仅与现时而且与历史数据有关，这样就得到了大量的延迟微分方程( d d e s ) 。由于 延迟微分方程的复杂性，很难得到理论解的解析表达式，因此人们致力于研究延迟微 分方程的数值解法。为了数值求解延迟，其数值方法的稳定性和收敛性的研究无疑是 重要的。对这方面的研究国内外已有许多研究成果出现，但是直接针对时变和时变中 立型泛函微分方程以及延迟微分代数系统和多滞量奇异摄动问题的数值分析目前还 较缺乏。鉴此本文在第二章讨论了一类时变泛函微分方程r u n g e k u t t a 方法的数值稳 定性。在第三章引入求解中立型泛函微分方程的( 4e 历一方法，证明了在适当条件 下，该方法是数值稳定的。此外该章也给出了( 以8 口) 一方法的局部截断误差。在第 四章首先探讨了一类多滞量微分代数系统的数值稳定性并讨论了多滞量奇异摄动问 题的理论解和数值解的稳定性。 关键词：非线性延迟微分方程稳定性收敛性延迟奇异摄动问题 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t d e l a yd i f f e r e m i a le q u a t i o n s ( d d e s ) h a v ea p p l i c a t i o ni nm a n yf i e l d sc o n c e r n i n g e n g i n e e r i n g ，e s p e c i a l l yi nr e c e n t3 0y e a r s ，t h ed e v e l o p m e n to fm a n yf i e l d ss u c ha s m a n a g e m e n ts y s t e mb i o l o g ys y s t e m ，e l e c t r i c i t ye n g i n e e r i n ga n da u t o m a t i cc o n t r o l ，e t c ， c a u s em a n yd a t aa b o u tb o t ht h ep r e s e n ts i t u a t i o na n dt h ep a s ts i t u a t i o n ，w h i c hi nr e t u r n i n t r o d u c e dl a r g ea m o u n t so fd d e so w i n gt oi t sc o m p l e x i t y , i ti sh a r dt og e tat h e o r e t i c a l e x p r e s s i o no fd d e s ，s op e o p l et u r nt ol o o kf o ri t sn u m e r i c a la n a l y s i s t h es t u d yo ft h e s t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c ei so fg r e e ti m p o r t a n c e a l t h o u g hm a n yr e s e a r c hr e s u l t si nt h e s t a b i l i t yh a v ea r i s e ，t h en u m e r i c a la n a l y s i sd i r e c t l yc o n c e r n i n gt h ev a r i a b l ed e l a ys y s t e m s ， n e u r a lv a r i a b l ed e l a ys y s t e m s ，m u l t i d e l a yd i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o na n dn o n l i n e a r m u l t i - v a r i a b l ed e l a yp e r t u r b a t i o np r o b l e m sa r er a r e s ot h i sp a p e rd i s c u s s e st h es t a b i l i t y o fr a n g e - k n t t am e t h o di nc h a p t e r2 t h e ( a ，b ，d ) m e t h o d si si n t r o d u c e di nc h a p t e r 3 w e p r o v e dt h es t a b i l i t yo f ( a ，b ，d ) m e t h o d sf o rn e u r a lv a i l a b l ed e l a ys y s t e mw i t hac e r t a i n i n t e r p o l a t i n ga tv a r i a b l es t e p a l s o ，w ed i s c u s st h ec o n v e r g e n c ef o rt h i ss y s t e m i nc h a p t e r 4 ， f i r s t ，t h es t a b i l i t yf o rn o n l i n e a rm u l t i - v a r i a b l ed e l a yp e r t u r b a t i o np r o b l e m si sd i s c u s s e d s e c o n d ，w e d i s c u s st h e s t a b i l i t y o f r u n g e - k u t t a m e t h o df o r m u l t i - d e l a y d i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n k e y w o r d s ：n o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；s t a b i l i t y ；c o n v e r g e n c e ； d e l a yp e r u n b a t i o np r o b l e m s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 学位论文作者签名：多谈山 日期：二卯f 年j 月莎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于， 不保密曰。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：j 谚气 日期：埘5 年夕月谚日 指导教师签名：擞孥 日期： 年弓月曰 华中科技大学硕士学位论文 1 1 延迟微分方程简介 1 绪论 勰y ( t 嚣y “o k 虬茹c ， io ) = o ，y o “ ) 。厂( ，y ( ) ，y ( ) ) ，t t o( 1 12 ) ，多一胁腓叫肛“ “) 除f l s ( t ) i ( t ) 一肺m 叫 “ 华中科技大学硕士学位论文 ，( f ) ：k ( 1 一n ( t - r ) ) n ( r ) ( 1 1 5 ) 其中n ( t ) 为时刻t 人f 2 总数。 例4 ： 4 捕食系统( g a n g e r s k y , c u n n i n g h a m ) 卜阳献f ) 卜针吣加l ， l y p ) = 一a 2 y ( t ) + b 2 x ( t r ) y ( t f ) ， 这里工，y 分别代表捕食者与被捕食者的数量 例5 5 电力网络中的能量损耗模型： x ( f ) = a x ( f f ) + b x ( t ) + c x ( t f ) ( 1 1 _ 7 ) 其中x ( t ) 代表t 时刻能量。 这样就得到了大量的延时微分方程( d d e s ) 。由于延迟微分方程的复杂性， 一般来说，常用的延迟微分方程中，只有极少数能够获得理论解的解析表达式，因此 这类微分方程的数值解法就显得十分必要。为了弄清延时微分方程随时间变化的实际 规律，探讨该系统的数值解的行为规律如数值稳定性和收敛性便成为非常重要的研究 课题。 1 2 延迟微分方程数值解发展历史 由于延迟微分方程的复杂性和困难性，在上世纪七十年代年以前，国际上对延迟 微分方程的数值处理只有极少量的工作，仅见m i r a n k e r 等少量论文。随着计算机的 出现和蓬勃发展，延迟微分方程的数值处理越来越呈现现实意义，大量高效数值方法 随之产生。目前获得延迟微分方程数值解法的最常用的途径就是常微分方程的离散数 值方法匹配适当的插值( 用于处理延迟部分) 。近四十年来，人们基于各种插值方法 和各种常微分方程的数值方法，提出了大量的求解延迟微分方程( 简写为d d e s ) 的 数值方法，并有许多开创性的成果。随着各种求解延迟微分方程数值方法的提出，决 定一个数值方法可用还是不可用、好与坏最主要的依据就是它的稳定性和收敛性，所 以对算法的这些的研究就显得非常重要的，并引起人们普遍的关注。 2 华中科技大学硕士学位论文 1 9 7 5 年，b a r w e l l 7 提出了标量模型方程 fy ( ，) = 月，o ) + ，o f ) ，t o i y ( t ) = 妒0 ) ，t o( 1 l 一r e ( 2 ) ) 的数值方法的蹦急定性和a p - 稳, 定性的概念。其中急定性和c p - t 急定性是常微分方 程数值解中a 一稳定性概念的推广。其后，大量的文献开始涉及数值方法的p 一稳定性 和g 卜稳定性。b a n e l l 首先证明了隐式e u l e r 方法是定性。1 9 8 5 年w a t a n a b e 和r o t h 8 研究了线性多步法的尸- 稳定和g p - 稳, 定。1 9 8 6 年z e n n a r o 9 首先讨论了 r u n g e - k u t t a 方法的p 稳定和定，并证明了单步配置方法a 一稳定是p 一稳定。 1 9 9 1 年荷兰l e i d e n 大学的尼i n tt t o u t 和s p i j k e r 1 0 研究了r u n g e k u t t a 方法 的g p 一稳定区域。1 9 9 2 年，正zi n1 c # o u t 1 1 对r u n g e - k u t t a 方法找到了一种新的 插值，证明了彳一稳定与萨稳定的等价性随后i n tb o u t 1 2 、1 3 、张诚坚 1 4 3 、 k o t o 1 5 、田红炯和匡蛟勋 1 6 等对这种标量或向量线性模型的p 一稳定性和g p 一稳定 性又进行了细致深刻的研究。 显然一般非线性延迟模型 iy ( f ) = f ( t ，y ( r ) ，y ( ，一f ) ) ，r o 【y ( ，) = 妒( ) ，t ，o 的数值处理比线性模型更复杂，直接研究它的性质及数值方法的性质难度更大。 t o r e l l i 1 7 于1 9 8 9 年基于上述非线性方程在条件： r e i 垡( ，) 0 “l u 2 1 1 2 l i f ( t ，“，v ，) - - f ( t ，“，v ：) 8 p ( t ) i l v 。一v ：f i ；口0 ) + ( ，) 0 下，他首先引入了的石舻稳定性和# t i n - 稳定性的概念，证明了向后e u l e r 方法是g r n 一 稳定的。后来，b e l l e n 和z e n n a r o 1 8 证明了2 级l o b a t t o i i i 方法也是g r n _ 稳定的。 进一步的研究表明，r n 一稳定具有阶障碍，到目前为止，还没有找到3 阶r n 一方法， 主要原因是该概念定义过于苛刻( 要求收缩) 。1 9 9 9 年，c m h u a n g ( 黄乘明) 1 9 、2 0 等适当放开r n - ( g r n 一) 等稳定性，提出了比r n 一( g r n 一) 稳定性弱的非线性稳定性概念， 即r - ( g r - ) 等稳定性。克服了阶障碍。 近几十年来，学者们开始讨论更为复杂的中立型延迟微分问题，( 简n d d e s ) 华中科技大学硕士学位论文 的数值解法的稳定性，提出了n p 一稳定及n g p - 稳定等概念。这些讨论可参见 厶t o r e l l i 2 1 ，2 2 ，a b e l t e na n dj 【z e n n a r o 2 3 ，2 4 ，z h a n g 和z h o u 2 5 ，2 6 及 k u a n g 2 7 等的工作。 算法的收敛性是该领域研究的另一个重要问题，1 9 8 1 年o b e r l e 和p e c h 2 8 讨论了常系数延迟微分方程数值方法的收敛性。基于经典l i p s c h i t z 条件的收敛性 研究还有许多重要结果 2 9 、3 0 、3 1 、3 2 、3 3 、3 4 、3 5 、3 6 、3 7 、3 8 、3 9 。但是上述 收敛性只适用非刚性延迟微分方程。正如常微分方程存在刚性问题一样，延迟微分方 程也存在刚性问题。关于刚性延迟微分方程的收敛性1 9 9 7 年，张诚坚和周叔子 4 0 首先对一类刚性延迟微分方程引入了伊收敛的概念，对强代数稳定且对角稳定的 r u n g e - k u t t a 方法证明其俨收敛阶等于级阶，并构造了2 阶伊收敛方法。从而获 得了理论上的突破，继而黄乘明 5 3 ，5 4 ，张诚坚 5 5 等在此基础上分别了讨论了交 系数方法，单支方法，b u n g e - k u t t a 方法，一般线性方法的口一收敛性质，并得到了 许多重要结果。 总的说来，对于延迟微分方程，国际上自8 0 年代以来掀起一个研究的高潮，国 内9 0 年代初也涌现了许多重要的结果。 1 3 本文的主要内容介绍 第二章讨论了刚性时变延迟泛函微分系统 i y ( r ) = f ( t ，y ( r ) ，y ( 口( f ) ) ，t o t t ly ( t ) = 妒( r ) ，时s t f o 数值稳定性，证明了用l a g r a n g e 插值的情况下r u n g e - k u t t a 方法是稳定的。 第三章首先介绍了有关于以e 剀方法的稳定性，利用d 一算子的相容来得 到方法的局部收敛性( 属最方法的基本思想导源于b u t c h e r 4 1 的以纠一方法 李寿佛 4 2 引入了口一算子 即：d ( p ；z ，t ，h ) = 职) z ( ，) + 矿( 卢) z ( f + 厅) ， o ，1 将其推广到v o l t e r r a 泛函常微分方程，得到了 4 华中科技大学硕士学位论文 iy 即= a y 加1 h h b v ( t 。，y ) 【y ( t - i - 肪) = u ( a ) r 即。+ h v ( a ) f ( f 。，y ) 即以e 剀一方法。由d 一算子的结构可知以毋方法概括面非常广泛，几乎包括 了目前常用的各种数值方法，如线性多步法，单支方法，r u n g e - k u t t a 法，循环方法， 混合方法，分块方法及各种预校方法等。所以对“匠剀一方法的研究意味着对各种 数值方法进行统一的和更一般的探讨，所以有重要的意义。但是在李寿佛 4 2 中作者 仅涉及标准d d e s ，鉴此，在本章我将结果拓展到中立型时变延迟系统 iy ( f ) = f ( t ，y ( f ) ) ，y ( ( r ) ) ) ，r k ，r 】 【y ( f ) = g ( r ) ，r 【一f ，“) 研究了拓展后的( 见鼠口) 方法的数值稳定性与局部截断误差，特别证明了匹配一定 的插值方法的( 4e 口) 方法是稳定的。 在第四章首先探讨了多延迟微分代数系统 f 工0 ) = 厂( 工( ，) ，x ( t f 1 ) ，- - ，x ( t f 。) ，y ( r ) ，y ( t f 1 ) ，y ( t f 。) ) ( o r t ) g ( x ( f ) ，y ( f ) ) = o ( t f r ) i石o ) = ( f ) o 蔓t 兰o ) 的r u n g e k u t t a 方法的稳定性。最后讨论了变延迟奇异摄动问题 x ( f ) = 删，x ( t 一 g l o ，) ，砸一) ，y ( t - r l q ) ) ，o 一) ，【o ，刀 ( f ) = g ( m ) ，x ( t - - , l - l ) ，x ( t 一靠( f ) ) ，y ( t ) ，) 以一f l ( f ) ) ，y ( t 一( f ) ) ) ，【o ，r l , o 占 1 的 lx ( o - - c t ) ，翮= ，( ，) ， ，s q 解析解的稳定性。并证明在适当条件下隐式e u l e r 方法求解该刚性延迟奇异摄动问题 是数值稳定性。 总的说来，关于d d e s 的数值方法的理论研究是丰富的，迄今为止还有不少 具有深远意义的理论和数值成果有待进一步探讨。 华中科技大学硕士学位论文 2 刚性时变延迟微分方程数值稳定性分析 延迟微分方程的稳定性是近年来讨论的热门话题，有许多大量高效的数值算法， 但是刚性时变延迟微分方程的探讨得比较少，如只有王文强 5 1 ，5 2 等少数几篇。所 以我在这一章中探讨了有限区间的时变延迟微分方程的稳定性。 2 1 稳定性概念 记 为c ”中定义的一种内积，i i | i 为其相应导出的范数。考虑如下维非线 性时变延迟微分系统 y 7 ( ，) = f ( t ，1 y ( ，) ，y ( a ( f ) ) ，。sr ( 2 1 1 ) l y ( r ) 2 妒( f ) ，f t s t o 以及扰动微分系统 = ( f ) = 厂( f ，。( ) ，2 ( 口( f ) ) ，。r( 2 1 2 ) 【：( ，) 2 妒( f ) ，试t t o 这里：，时= 瓣p ( ，) ，口( f ) f ( f ) 是连续变量，矿，： ，w ，t o - + c ”是连续函数， f ： ，。，卅x c ”c ”c ”是一给定的映射且满足： r e 口0 y 一歹旷，( 口 o ) ( 2 i 3 ) 1 l f ( t ，y ，z ) - f ( t ，y ，j ) 0 茎卢i p 一牙0 ( 2 1 4 ) 这里0 口冬一口。 我们用( 彳，b ，c ) 表示一给定的r - k 方法，其中出锄) j 6 = ，包，- - 砖只c = 如，c 2 , 赡， 为两向量。 对方法( 4 ，b ，f ) 利用l a g r a n g e 插值技巧加以改造得到求解( 2 1 1 ) 的结构： 6 华中科技大学硕士学位论文 = y 。+ _ l 。们。+ c 川hy j ( n ) 掣) ， ，川( 2 1 5 )j 、一u ， y = y 。+ 。6 ，f ( t 。+ c 川h 矿，写“) ，i = 1 2 一，s j = l 我们用( 一，b ，f ，上) 来表示。这里= f 一，。，巧，z ”( ，= 1 ，2 ，s ) 分别为真解 j ，( ) ，y ( ，。+ c ，吃) ，j ， ( 乙+ c ，瓦) ) 的近似值，系数口，b ，c ，满足 b j = 1 ，0 c ，s l ( i = 1 ，2 ，s ) 。 因为口( r ) f ，所以我们总可以找到m n ，使得0 + 皖九= 毗+ c ，) 0 1 则； f 伊( + 瓦) ，+ 瓦k 兰t o ； 刁町2 僖密格舢以d “2 1 6 ) 同理将( a ，6 ，c ，l ) 方法应用于扰动方程( 2 1 2 ) 得到： z ：叫= z 。+ 。q ，( f 。+ c 川hz 刁”) ， ，。“( 2 1 7 )jo ， z = 乙+ h b j f ( t 。+ c j h n ，巧，零”) ，i = l ，2 ，j j - l 众所周知，在经典微分方程理论中，代数稳定的r k 方法是零稳定的。现将此结论拓 展到时变延迟微分系统。 定义2 1 1 求解满足条件( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 的系统( 2 1 1 ) 的数值方法称为是稳定 的，如果其解序列饥) 以及扰动方程的解序列矗。 满足 l l y 。一z 。0 cr 龄胁) 一j f ，( f ) 这里c 仅依赖于口，屈t 。 定义2 i 2 方法( 4 ，b ，c ) 被称为是代数稳定的，如果肘= ( m 。= b a + 爿r b b b r 是正 定的，其中b = d i a g ( b ) 。 华中科技大学硕士学位论文 2 2 稳定性分析 记w 。= _ ) ，。一z 。，町m = 巧m 彰抽1 _ 零”一刁，= 1 , 2 ， 一z ；，彰= h m ( t 。+ q ，巧椰，可砷) 一，u 。+ o ，矽，零“) 】 ，s 从( 2 1 5 ) 及( 2 1 7 ) 可以得到： i 彬n ) - w n + 彰m 掣 i = 1 , 2 ，j l u “= + 6 ，彰叫 l= i ( 2 2 1 ) 定理2 2 1 求解系统( 2 1 1 ) 的( 4 ，b ，c ，三) 方法是稳定的，如果其相应( 一，b ，c ) 方法是 代数稳定。 证明：0 w 。+ 0 2 = = ，i if = i r e + 6 j 6 f ，j = i 从( 2 1 7 ) 式的第一式可得： j - 一吩 j = 1 所以有： 帆+ 4 2 = m 1 2 + 2 杰6 ，r e 一( q 6 。+ a 2 ，b j 一6 j q ) i j ；i m + i f 2 - ( 1 + h f l l z o ) m a x m a ，x l l w , 1 1 2 ，m a x o l p ( t ) 一矿( w ) ) o 不妨取q = m a x m 。a 。x o w n m a x ( i j p ( t ) 一( f ) n ) 则上述不等式可以写为 f + 。f j 2 ( 1 + 。卢2 ) p ，。因为1 + h , f l l 2 0 1 ，则 p 。= m a ) ( 钏+ i n 巴) m a ) ( ( 1 + 芦蠕) q ，q s ( 1 + 囊芦峨) p j 递推可得： 。e 。鱼( 1 + 皿；) se x p ( 皿：砉s e x p ( 肚：( t t - t o ) ) 氏 ”小石c 警一删卜其中c = 丽 华中科技大学硕士学位论文 3 时变延迟中立型微分方程数值稳定性分析 本章在b a n a c h 空间中讨论了中立型泛函微分系统的( 以鼠一方法稳定性。 ( a ，岛剀一方法的基本思想导源于b u t c h e r 4 1 的臼，剀一方法，李寿佛 4 2 引入了口一 算子将其推广到v o l t e r r a 泛函常微分方程，得到了翻，毋剀一方法。以e 剀一方 法概括面非常广泛，几乎包括了目前常用的各种数值方法，如线性多步法，单支方法， r u n g e - k u t t a 法，循环方法，混合方法，分块方法及各种预校方法。所以对仉厉剀一 方法的研究有着更重要的意义。 3 1 ( a ，b ，d j - 方法简介 设 1 | | 表示为m 维向量空间r ”中的某种范数，对于任意的实数，ls ，：以 c 。i t ，f 2 1 表示映区间【f 。，2 】_ 月”的一切连续向量函数所构成的b a n a c h 空间，它 的范数 1 i i 定义为= ，裟愀f ) 忙c “【t i , t z 】；m2 搿0 u i l l 定义为乘积空间 ( r “) 9 = r u p ( p 1 ) 中任一元素u = 0 i ，甜2 t ，“：) 7 ( 这里设每个u e r “) 的范数 我们用符号【表示该算子的范数或矩阵a 的最大范数 设q ( 待1 ，z ，d 是已给的实数，“。( ) ( i ，j = l ，2 ，j ) 和 v 。( ) ( f ，- = 1 , 2 ，s ) 是 0 ，1 上的已给连续函数，我们定义以f ，h ( h 0 ) 为参数 的算子d = d ( ；，t ，h ) ：c 二f o ，口】叶c 0 0 , 1 】如下： 烈；z ，f ， ) = u ( 1 x ) z ( t ) + h f ( u ) z ( f + 矗) ，【0 ，l 】 ( 3 1 i1 ) 这里u ( ) 和矿( ) 分别表示与矩阵u ( ) = ( ) 】。，和矩阵矿( ) = v 。( ) 】。 相应的 线性映射c * o ，口】表示映【o ，a 1 到r m 中的一切连续可微函数所构成的线性空间，。表 示 0 ，口】中的任意元，并记： l o 华中科技大学硕士学位论文 l z ( f ) = ( ：( f + c t h ) 7 ，z ( t + c 2 ) 7 ，z ( t + cs ) 7 ) 7 r 加 z ( f ) = ( = ( f + c l h ) 7 ，= ( hc 2 ) t ，z ( f + c 。 ) 7 ) 7 r ” l d m = ( d tr , 也t ，d t f , 2 ，- 一，d t t , ，) 7 = z ( f + 工历) 一d ( p ；z ，f ， ) 我们以d ( ；z ，r ，h ) 作为函数z ( t + 肪) ( o a 1 ) 的逼近。 日萃iiy n = a y n - 1 + 矾( ，。，y ) 衔。0 ) ：吣) y ( 二：溉】r ) 即仇层一方法 4 7 。 定义3 1 1 算子d 称为是相容的，如果对任给的z c _ ：f 【o ，口 有： m 。a 。x 1 d , | | 斗o ，当 一。关于r 一致。 算子d 称为是p ( p 0 ) 阶相容的，如果当函数z 充分光滑时，有： m 。a ；x ，l d t ，一0 = o ( h 9 ) ，当 寸。关于，一致- 定理3 1 1 4 2 算子d 相容的充要条件是： u ( ) 口，= e s , o u 1 这里及下文中g ，- ( 1 , 1 ，1 ) 7 r 5 3 2 中立型泛函微分方程( 4 e d ) 一方法稳定性分析 ( 3 1 2 ) ( 3 1 _ 3 ) ( 3 1 4 ) 考虑如fn 维非线性中立型时变延迟微分系统 y ( f ) = f ( t ，y ( 口( f ) ) ，( 卢( ) ) ) ， 【f 。，7 】 ( 3 2 1 ) 【y ( f ) = g ( f ) ，t 【t o f ，t o ) 这里：g c a t 。一f ，o 】是可微函数，f = 。m 。a 。x a f t ) ，( r ) ) ，哟，f l ( t ) t 为 t o ，明连续函 数，厂：【f 。，v l x 口a 专是一给定连续映射且满足条件： l 抛，嘶，v 1 ) 一( f ，毪，v 2 厶0 h - u ：r l 【f o 。卅+ l l v , 一v 2 k 。，司) + 岛i | v l - v ：忆叫( 3 2 2 ) 其中：l l 0 , 0 sl 2 0 可知此条件保证了( 3 2 1 ) 存在唯一解 并利用插值技巧改造( 一，b ，d 卜方法获得求解( 3 2 1 ) 的结构： 华中科技大学硕士学位论文 髟= f ( t 。+ c h ，e 和，e 扣) = 口，y p + 向b ，足 j = lj = l i = 1 , 2 ，s ( 3 2 3 ) y ，( r 川+ 勺矗+ a h ) = “，( 抄p + v f ( ) k j = lj = l 0 “l 这里， = o - t ，咒f ，矿，( ，= 垅曲分别为真解j 也) ，m 地+ 弓国) ，y ( f l ( t 。+ c ，厅) ) 的逼 近，0 c ，l ，( ，= 1 , 2 ，j ) 。因为口( ，) ，( ，) k ( 3 2 3 b ) i如= f ( t ，y ) ，y ( ) ) y ”= a y “+ h b k ( 3 2 4 ) y ( t 。一l + 肋) ：u ( a ) v n 。1 + h v ( a ) k a 2 川，b 2 嗡】，u 2 】，v t u ) 2 吨】， p = “，谚矿，7 ) 7 贮 y ( o = “0 + q 砷7 ，虼o + c 蝴7 ，k ( r + ( 渤7 ) 7e 1 s , = ，毪，坎，风历) = ( 厂毽+ q 矗m ，元( 历，：，弛+ 矾只，豇( 历，) r 3 y ( c o = “( ，儿( 曲，* ( ，8 叉圆= 西( ，兜( ，只( 圆7 ) 7 3 2 华中科技大学硕士学位论文 b l 入系统( 3 2 1 ) 的扰动方程 p ) = 似，掣枇7 ( ( f ) ) ) ，】 ( 3 2 5 ) iz ( f ) = ( ，) ，r 一f ，t o ) 同理将方法( 3 2 4 ) 应用于扰动方程( 3 2 5 ) 得到： f瓦= f ( t ，z ( 口) ，乞( ) ) z 0 1 = a z 扣。1 + b 瓦 ( 3 2 6 ) lz ( f 。一1 + u h ) = u ( ) z 肿1 + 厅矿( ) 瓦 定义3 2 1 求解满足条件的系统的数值方法称为是稳定的，如果其解f ”及扰动方程 ( 3 3 5 ) 的解z “满足： 器悬一z 。i i - c 咿”一z 卜燃叭口) - - z i ( o ) l l 卜 却，】 这里c 为常数。 定义3 2 2设 七 “1 ， 云；”) 分别为趿i 的解序列，插值方法称之为拟稳定的，是 指存在常数厶，使其在r = f ( - t ，。) 处的插值f ，f 满足 p 币厶m a x m 。a x k ，( 一引) + 学 一酬 ) 其中( f ) u ( f ) 表示趿夏的已给的初始函数。 引理3 2 1 非线性中立型时变延迟微分系统( 3 2 1 ) 的数值方法( 3 2 3 ) 中的插值方 法( 3 2 3 a ) 、( 3 2 3 b ) 是拟稳定的。 ig ( f 。+ 。) ，f ，+ 瓦h m t o ； 硼埘( 3 2 3 曲弘僖密暑籼。+ 民p 。碱彘 显然矽一矽忙厶m a x 蚓畛一刻+ 罨卿一蚓口 同理可得( 3 2 3 b ) 也是拟稳定的 证毕。 记： 等 卜m 旧 嘴 k 华中科技大学硕士学位论文 w “= y 川一z ，阡i f ) = y o ) 一z ( f ) 呒= e 一瓦= f ( t 。，y ( 口) ，f ( 卢) ) 一f ( t 。，z ( 口) ，三( ) ) 从( 3 3 4 ) 和( 3 3 6 ) 可得： 呒= k 。一k 。 w ”= a w ”1 + h b w ( 3 2 7 ) 【w ( t 。一1 + 肋) = u o , ) w 扣 1 + 矿( ) 既 定理3 - 2 2 具有拟稳定插值的( 爿，b ，d ) - 方法如果满足：上0 ( 厶+ ：) 1 ，则有： i l 。0 兰t i 占。+ 丁i f + 丁：善 其中： l 一一 墨! ，l = 墨! 绉兰；! 3 2 8 1 一【l2 + l t ) lo 1 一o ( 上l + l2 ) 证明：由( 3 2 7 ) 可知： l i l l = j 裴目i f ( t 。+ c j ，y ，( 口o ) ) ，只( ( f ) ) ) 一f ( t 。+ c ， ，刁( 口o ) ) ，乏( 卢o ) ) ) i i - l t m 。a ；x ，( 0 y ，( 口o ) ) - - z i ( d o ) ) 吣。一。托。1 + l 防( 卢( f ) ) 一互( ( f ) ) k 。一叫蝎。一鄙) + 厶罂警只( ( r ) ) 一乏( o ) ) i l ，。q 。1 日a t - a ( t ) ，是连续变量，我们总可以找到一个t ( f f ) ，使得 口( f + c i h ) = ，+ 点 = 盯 ：m ；a x ，；，l l y ，( o r ( 6 ) ) ：( c r ( 臼) ) i i ，。一，+ 。，】 ，。j l y ，( c r ) 一：，( 。) ij 。，。一，。+ ；。，+ “懊一m 阳+ ) 一z t + “蹦) ) | l 【i i i li ( s 。+ f ) 这里：5 。= 峨= l i t ( t ) - ( ，) i | 【”1 。m 。a 蛳xs 州u p 。i i 矽( t - + 圳 产m 。a ；x ，y 曰) - - z i ( e ) l l 【_ r 山。彬善2 能口) 一z ：( 咄。 又由于f l ( t ) ，是连续变量，我们总可以找到一个f ( f f ) ，使得 ( f + c ， ) 一占= ，+ y ，h = 1 9 ，0 ，1 4 华中科技大学硕士学位论文 t 能眵( ( 口) ) 一乏( ( 侧”。一卜# 1 ， 。吧慧0 歹，( 口) 一乏( 1 9 ) 。，。+ l + f 防( f + ， ) 一乏( f + y ) i 。lj 不妨令( | + c ，厅) = f + v ，h = 占+ 口= l a ，0 v 。s 1 z m 。a ：x 。眵( 尸( 口) ) 一 ( ( 鳓| | 【，o 。”啪1 ， ：m 。a ；x ，峙( ) 一乏( ) 。川+ f ) 一乏( f + v ，。j 再采用拟稳定插值的方法可得： f 。i i r ，占。+ 一f + t 2 f 热l = 可古两弘岩等等 定理3 2 3 系统( 3 2 1 ) 的数值解是稳定的充分条件是( 爿，b ，d ) 一方法满足定理 3 2 2 且系数矩阵4 的幂有界，即存在常数口，使 1 1 - a ，疗= 0 , 1 “2 一 证明： 1 1 w ( r ，一。+ 一 ) | | s i c ，( 一) 洲“| + h i i v ( ) l l l l w 川 l i 【，( 一) 蛐矿“0 + h i 旷( 一) i i ( r f ，+ tl f + t 2 善) 故当l 盯时 s。恶叭)0)勰一。1101 + s3 一 h ( s u pl 矿( ) 1 1 ( 丁f + 丁s 。+ t2 ；) ) 0 j 口1 选取日，使满足不等式嬲s u 酬矿( ) l i o ) - 阶相容的，如果真解j ，( r ) 充分光滑时，有： 。m 。a 。x d 1 | l = 。( 疔9 ) 。m ；。a x 。i d j ： ( ) l | = 。( 矗9 ) ，当矗+ 0 ： i 月s 定理3 3 1 方法( 3 2 3 ) 相容的充要条件是： ( 1 ) 算子d 是相容的：( 2 ) a e ，= p ，a c + b e ，= c + e 。 证明：充分性：设( 1 ) ，( 2 ) 成立，由算子d 的相容性得： 麟肛：2 ( 驯i 斗o ，当 专o ： l i 月s 其次，由( 3 3 1 ) 及条件的第i 个分量为： 其中 ”5 去酗吣一川一十c 卅酗耐 = 口f ( c 。一c ，+ 1 ) o 。) + “：卜6 。k ： j 。i1 = 1 = 6 。 ，o 。，y ( 口) ，y ( f 1 ) ) - f ( t 。+ c ，h ，y ( 口) ，y ( ) ) 1 j - i + 口y ( c 。一c j + 1 ) “： ；i i = 1 , 2 j 华中科技大学硕士学位论文 “：= f 【厂( f 。一+ c ，厅+ 目( q - - c ) + 1 ) h ，y ( 口) ，y ( ) ) 一f ( t 。，_ y ( 口) ，y ( ) ) 】d 曰 故有： m a x ，渺d ：9 = m 筝l l d z ：l l s ( 懋阮i 1 f ：n s n j m 。都。x 1 f ( t 。，y ( 口) ，y ( ) ) 一f ( t 。+ c ，厅，y ( a ) ，y ( 驯l + ( 燃纵c j - - c j + 1 ) | x 懋l ，叫 l 如s n 由此可得： 。m a x 。 d ”卜o ，当厅丰。 所以方法时相容的。 必要性：设方法时相容的，考虑初值问题： 工( r ) = 0 ，r o ，1 】；x ( o ) = 1 则该问题显然满足系统的条件，且其真解为x ( t ) = 1 。由方法的相容性，当 a o 。m a ；x 。俐d ：l = 扣一圳一o ， 恕剖2 ( 驯| = 罂剖巳一u ( ) 巳卜o 。 由此推出： a e ，= p ， ，( ) p 。= e s , o p 1 同理考虑初值问题：x ( f ) = l ，【0 ，1 】；工( 0 ) = 0 ，可得： 鼎气+ c 一c b e ，1 1 - o ， 一o 。 故有： a c + b e j = c + p j 定理证毕。 推论：方法( 3 2 3 ) 相容的充要条件是： a e ，= e ，a c + b e ，= c + e ，u ( ) g 。= e s ( o s a 兰1 ) 华中科技大学硕士学位论文 4 延迟微分代数系统的稳定性分析 4 1 延迟奇异摄动问题系统的稳定性 4 1 1 理论解的稳定性 延迟奇异摄动问题经常出现在自动控制，电子系统及生理学等高科技领域。它可 以看成是延迟微分方程的一类子问题。有关非线性延迟奇异摄动问题，有大量文献研 究在单常延迟情况下的收敛性( 如甘四清 6 ) ，但有关其稳定性特别是多变延迟时的 稳定性国内外相关的研究非常少。因此探讨其稳定性非常有意义。下面我们讨论多变 延迟时系统的稳定性。 用 表示e u c l i d e a n 空间的内积，l l - l i 为其相应的范数，考虑下列多变延迟奇 异摄动系统。 z 缸) = ，) ，坤一1 ( f ) ) ，。唧一o ) 撕) a t 一( f ) ) ，一? 露一毛【f 0 ，7 1 ( f ) = 甙m ) ，x ( t 一i ，呻一o ) j o ) ，) 和一f l ( f ) ) ，