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西南大学硕士学位论文摘要 严格反馈型非线性系统的输出反馈控制 学科专业：运筹学与控制论 指导教师：谢成康教授 研究生：何晓霞 摘要 由于非线性输出反馈控制系统只有部分状态变量可以测量，并用于反馈，因 此对于非线性项的限制条件较强。就一般而言，目前最弱的结果为到线性增长限 制。放松这限制条件，进而设计观测器和控制器使得系统稳定，是非线性输出 反馈控制研究领域所追求的。 本文的工作是对严格反馈型非线性输出反馈控制系统的非线性项放宽了限制 条件，并设计观测器和控制器使得系统稳定。针对严格反馈类形的非线性系统和 下三角型的非线性系统，设计不同的观测器和控制器。 首先对严格反馈形非线性系统，非线性项满足动态增长的严格反馈型非线性 系统，利用高增益观测器设计了增益在线调整的控制器，使得系统达到稳定。 其次，研究下三角型输出反馈控制系统。通过对函数矩阵建立类似于微分中 值定理的理论，对一类非线性项不满足线性增长限制的系统，设计了观测器， 并用l y a p u n o v 函数和b a c k s t e p p i n g 方法设计了控制器，使得闭环系统输出调整到 零。 最后，对两个实例进行了仿真模拟，说明了设计的观测器和控制器的可行 性。 关键词：输出反馈；观测器；全局稳定；调节；动态增益 m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rc h e n g k a n g x i e n a m e ：x i a o x i ah e a b s t r a c t f o rn o n l i n e a ro u t p u tf e e d b a c kc o n t r o ls y s t e m s ，a so n l yp a r to ft h es t a t ev a r i - a l b l e sc a nb em e a s u r e da n du s e df o rf e e d b a c k ，r e s t r i c tc o n d i t i o n sf o rn o n l i n e a rt e r m s a r es t r o n g u pt on o w ，f o rg e n e r a lc a s e ，t h ew e a k e s tc o n d i t i o ni st h el i n e a rg r o w t h r e s t r i c t i o n s o ，i ti sa ni n t e r e s t i n ga n dv a l u a b l er e s e a r c ha r e at op u r s u er e l a x a t i o n o ft h er e s t r i c t i o n s ，a n dt h e nd e s i g no b s e r v e r sa n dc o n t r o l l e r st os t a b i l i z et h ec l o s e d - l o o p s t h ew o r ko ft h i st h e s i si st or e l a xt h er e s t r i c t i o n so fn o n l i n e a rt e r m sf o rt h e s t r i c tf e e d b a c kn o n l i n e a ro u t p u tf e e d b a c kc o n t r o ls y s t e m s ，a n dd e s i g no b s e r v e r sa n d c o n t r o l l e r st om a k e st h ec l o s e d l o o ps y s t e m ss t a b i l i z e d f o rt h en o n l i n e a rs y s t e m o fs t r i c tf e e d b a c kf o r ma n dt r i a n g u l a rn o n l i n e a rs y s t e ms e p a r a t e l yd e s i g no b s e r v e r s a n dc o n t r o l l e r s f i r s t ，f o rt h en o n l i n e a rf e e d b a c ks t r i c tf o r ms y s t e m ，a s s u m et h a tt h en o n l i n e a r t e r m ss a t i s f yad y n a m i cg r o w t hc o n d i t i o n ，t h r o u g hah i g h - g a i no b s e r v e rd e s i g na c o n t r o l l e rw i t hd y n a m i cg a i n 1 i n ea d j u s t m e n tt oa c h i e v er o b u s ts t a b i l i z a t i o n s e c o n d ，c o n s i d e rt h el o w e rt r i a n g l eo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o ls y s t e m t h r o u g h t h ee s t a b l i s h m e n to fs i m i l a rf u n c t i o nm a t r i xt h e o r yo fd i f f e r e n t i a lm e a nv a l u et h e o - r e m f o rac l a s so fs y s t e m sw i t hn o n l i n e a rc o n s t r a i n t sw h i c hd on o ts a t i s f yt h el i n e a r g r o w t hr e s t r i c t i o n d e s i g nao b s e r v e ra n d c o n t r o l l e rv i aal y a p u n o vf u n c t i o na n d b a c k s t e p p i n g ，t oa c h i e v er e g u l a t i o no ft h eo u t p u to ft h ec l o s e d _ l o o ps y s t e m f i n a l l y , t w oe x a m p l e sw e r es i m u l a t e dt oi l l u s t r a t et h ed e s i g no ft h eo b s e r v e r a n dt h ec o n t ，r o l l e ri sf e a s i b l e k e y w o r d s ：o u t p u tf e e d b a c k ；g l o b a ls t a b i l i z a t i o n ；d y n a m i cg a i n ；o b s e r v e r ； r e g u l a t i o n 1 1 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：吓w 霍容 签字日期：幻( 年j 月厶日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：何畋幂导师签名：滁取乐 签字日期：汐p 年j 月f ，口日签字日期：彦d io 年了月l d 日 西南大学硕士学位论文 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1非线性系统的发展概况和研究现状 最近几年，非线性系统控制理论得到广泛研究。其中，状态反馈控制已经比 较成熟，关于状态反馈的成熟体系可见于许多专著中。而对于非线性系统的输出 反馈，由于非线性项的复杂性，至今没有形成系统的控制理论和方法。输出反馈 控制，是指在只有输出信号是可测的情况下，运用观测器估计不能测得的信号设 计控制器。在这种情况下，往往要求非线性项满足很强的限制条件，才能实现控 制目的。 而观测器的设计又是非常关键的，不同特点的系统及非线性项需要不同类 型的观测器。观测器的设计方法有很多种，例如，高增益观测器；k a l m a n 滤 子；l u e n b e r g e r 观测器等。这些观测器通过不同的形式应用于系统的输出反馈。 目前该领域研究热点为严格反馈形式非线性系统和纯反馈形式非线性系统， 这方面已经得到的主要结果包括： 对于非线性项只依赖于输出变量类的非线性系统，许多研究者得出了很多结 论。如l ，2 】中的结果分别说明了当非线性项满足利普希茨条件时，基于观测器利 用反步法可以设计出控制器实现系统的稳定。 而对于非线性项是下三角型的情形，尽管得到广泛研究，但目前对非线性 项的要求都比较强，在 3 ，4 】中，对一类非线性系统全局稳定的研究，利用高 增益观测器，实现了闭环系统的控制。根据先前的研究成果，非线性项如果没 有全局利普希茨连续或线性增长条件的限制，要达到全局稳定或镇定是很困难 的。( 见( 【5 】) ) 。只有特殊形式的系统才可以控制，这种特殊性可以是系统本身，也 可以是非线性项是特殊的形式。在f 6 ，7 ，8 ，9 】中的非线性输出反馈系统没有用全局 利普希茨连续和线性增长的条件，而是对非线性项做了特殊的要求使系统稳定。 当然所有这些结果都只能解决部分系统的问题，还不够全面。因此，对于此 类型非线性系统控制还有待迸步的研究。 1 2 预备知识 本节介绍一些文章中要用到的基本理论，主要包括：l y a p u n o v 意义下的稳 定，著名的比较原理，杨不等式。 1 西南大学硕士学位论文 1 2 预备知识 1 2 1 l y a p u n o v 意义下的稳定性 在介绍l y a p u n o v 意义下的稳定性之前，先引入平衡状态的概念。 考虑自治系统： 圣= f ( x ，t )( 1 2 1 ) 其中z 为扎维状态变量，f ( x ，) 是变量z 1 ，x 2 ，z n 和t 的礼维向量函数。如果，只 是变量戤，i = 1 ，2 ，n 的函数，则称系统( 1 2 1 ) 为非自治系统。如果f ( x ，t ) 是 线性的，那么系统( 1 2 1 ) 就是线性系统；如果f ( z ，t ) 是非线性的，那么系统就 是非线性系统。假设在任意给定的初始条件x ( t o ) = x o 下，方程都有唯一的 解x ( t ) = 垆( t ；x o ，t o ) 。 对系统( 1 2 1 ) ，若存在状态变量z 。，使得对所有时间t ，都有 f ( x 。，t ) = 0 ( 1 2 2 ) 则称z 。为系统的平衡状态或平衡点。 平衡点可以在原点，也可以是其他的非零点。对于平衡点不在原点的系统， 总可以通过坐标变换将其移动到新坐标的原点。因此，以下总假设原点z = 0 为系 统圣= f ( x ，t ) 的平衡状态或平衡点，臣p f ( o ，t ) = o 对所有时间t 都成立。 定义1 2 1 ( l y a p u n o v 意义下的稳定性) 考虑系统圣= f ( x ，t ) 的平衡点z 。= 0 ， 如果对任意给定的 0 ，都存在6 = 6 ( ) 0 满足 忙( o ) i | 5 号l i x ( t ) l i 1 ，且p 一1 ) 0 1 ) = 1 ，那么 对于任意e 0 和( z ，y ) 孵，则 哪抄i + 扣i 口 特别的，当p = q = 2 e 2 = 2 k 时，有 z 可s 舻+ 去可2 上述定理可见 2 】o 3 西南大学硕士学位论文第2 章基于动态控制增益的严格反馈型非线性系统输出反馈控制 第2 章基于动态控制增益的严格反馈型非线性系统输 出反馈控制山d 坝丁工巾i j 2 1引言 近年来，关于非线性系统的全局稳定和调整问题有很多的研究。大多数研究 的是这样的系统 圣l = x 2 + 妒1 ( z 1 ) 考2 = x 3 + 妒2 ( x l ，x 2 ) i , 1 _ - i2z n + n l ( x l ，x 2 ，z n 一1 ) 圣n = u + 加( x l ，x 2 ，x n ) 2z 1 其中z 1 ，x 2 ，z n 是状态变量，y i a u 分别是输出和输入，l ，也，n 是非线性 项。 通过一些假设，用反步法可以使上面的系统稳定或镇定。在 1 0 ，1 1 】中利用积 分反步的方法，设计了一种基于观测器的输出跟踪控制。其中的观测器是基于多 变量圆判据类比方法的。 此外，比上面的形式包含更广的严格反馈型非线性系统也得到了广泛的研 究。这类系统具有下面的形式： 圣1 = x 2 + 妒1 ( z ，u ，t ) 圣2 = x 3 + 也( z ，乱，t ) ( 2 1 1 a ) ( 2 1 1 b ) 圣n 一1 = x n + 加一1 ( z ，u ，t )( 2 1 1 c ) 圣n = u + n ( z ，u ，t )( 2 1 1 d ) y = x l ( 2 1 1 e ) 其中z = 0 ，x 2 ，z n ) t 。一般情况下，对非线性项的假设都是线性增长的。 在 1 2 ，1 3 】中，用高增益的方法对( 2 1 1 ) 进行了研究，对非线性项的假设是 i 九( z ，t ，u ) i c ( i z l i + l x 2 l + + l z t l )( 2 1 2 ) 4 西南大学硕士学位论文2 2 控制器的设计 其中c 是已知的正常数。 在【1 4 】中介绍了一个相对与( 2 1 2 ) 弱的条件 ，l n s 卜1 m z ，u ，t ) lsc s 扣1 m i = 1i = l 其中0 0 ，b i 0 ，i = 1 ，2 ，n ，使得下面的多项式是h u r w i t z 多项式： 8 n + a l s n 一1 + a 2 8 ”一2 + + a n - 1 8 + a n 8 n + b l s n 一1 + b 2 s n 一2 + + k 一1 8 + a n 常数o t 0 ，m ，及矩阵q 在证明中确定。 注2 2 1 这里的增益是动态增益。 注2 2 2 定理证明的过程是：首先通过两个坐标变换把原系统转化为另一个 系统，然后证明这个系统是l y a p u n o 碱g 定的最后借助这两系统的联系得出原系 统稳定 证明记 憎丁 6 = 西南大学硕士学位论文2 2 控制器的设计 为了用l y a p u n o v 方法分析和证明，引入两个坐标变换。 设o r 0 是任意常数。 第一个坐标变换： = 南，( 盯 o ) ，江1 ，2 ，n 把( 2 2 1 ) 转化成下面的系统： 而1 2 7 7 7 2 + r l - a a l ( y 一童1 ) 一a r - o l 啦= r 叩3 + r 1 - 2 ( y - ：金1 ) 一p + 1 ) ；啦 一1 = r + r l - a a n - 1 ( y 一圣1 ) 一( 盯+ n 一2 ) 三一l r n 。- l + a - kr l - a a n ( y 一岔1 ) 一( 盯+ 礼一1 ) ； 由第一坐标变换得控制律： u = 一r n 扣( b l ? l i 十6 2 7 7 2 + + 6 n ) 。 代x ( 2 2 4 ) ，( 2 2 4 ) 转化为： 疗1 = 7 - 仡+ r l - 1 ( y 一童1 ) 一盯；卵l 而2 = r 叼3 + r l - c r a 2 ( y 一金1 ) 一( 口+ 1 ) ；仇 一1 = r + r l - 盯a n _ l ( y 一圣1 ) 一( 盯+ n 一2 ) 三一l ? k = 一r ( b 1 7 7 1 + b 2 r 1 2 + + k ) - 4 - r l - a a n 一圣1 ) 一( 盯+ n 一 观测器误差记为：氟= 戤一勃，i = 1 ，2 ，佗。 于是有 f c i = 孟2 一r a l ( y 一圣1 ) + 1 ( z ，钍，t ) =一r2a2(y一)+2(z，u，tx2 x 3a 2yx l t ) = 一一 j + 驴2 ( z ，u ，j 杰n 一1 = 面n r n - 1 a n 一1 ( y 一岔1 ) + 一1 ( z ，u ，t ) 孟n = 一r n a 。( 可一岔1 ) + ( z ，u ，t ) 7 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 a ) ( 2 2 4 b ) ( 2 2 4 c ) ( 2 2 4 d ) ( 2 2 5 a ) ( 2 2 5 b ) ( 2 2 5 c ) 1 ) ；( 2 1 2 5 d ) ( 2 2 6 a ) ( 2 2 6 b ) ( 2 2 6 c ) ( 2 2 6 d ) 第二个坐标变换： 令i = l 有 6 = r i l + a ( 盯 0 ) ，i = 1 ，2 ，n 7 1 一盯( 可一岔1 ) = 7 l 用( 2 2 7 ) 把( 2 2 6 ) 转化成为 1 = 7 已一r a l l + 已= r 6 一r a 2 l + 1 ( z ，u ，t ) r 矿 2 ( z ，u ，t ) r a + l 己一。= r 厶- - r a n - l 。+ 等却+ n 2 ) 墨 己= 一r 口n 。+ 鱼孝磐一( a + n - 1 ) n 把( 2 2 5 ) 和( 2 2 8 ) 写为 其中 d = a = ? 7 = 7 a 7 7 + 7 。毒1 一；d r l = r b + 西( 。，u ，t ) - 三d 毒 0 l 0 l l 1 ，b = 1 l l - b n 。= ( 三 ，垂= ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 a ) ( 2 2 8 b ) ( 2 2 8 c ) ( 2 2 8 d ) 篓t 南。( z ，u ，) l l _ 可妒n ( z ，u ，t ) 显然a ，b 是h u r w i t z 矩阵，所以存在正定矩阵p ，q 使得 a t p + p a 一2 e ，b t q + q b 一e 8 已 r r 1 上 矗 + rr r 矿弘r p 一 一 、lillililij， 0 0 1 0 0 1 1 0 0 o o o 1 叽 眈 一 俨 川 咄 吨 ，j，。一 l o o 也 1 o o o 山 ，。一 、l-、 1 一 一 o o 一0 n 一 + 一 盯 1 0 + 0 0 盯 一 盯0 0 0 ，j。一 西南大学硕士学位论文 2 2 控制器的设计 同时有 a l e d p + p d 0 1 2 e a a e d q + q d a a e 这里q t ，t = 1 ，2 ，3 ，4 是确定的正常数。 为了得到闭环系统的稳定，选用的l y 印u n o v 函数有两部分组成 ( i ) 令 = 叩t 即 求导得 切一2 r 1 1 , 7 1 1 2 一三7 7 r ( d 尸+ p d ) 7 7 + 2 7 7 7 t p 。1 由假设( 2 2 9 a ) 可以得到 优s - 2 , - 1 1 , 7 1 1 2 一q l = rj 叩1 1 2 + 2 r 叩t 尸l 一2 r + q 1 三) i i 叼1 1 2 + 2 r ? 7 t p 。l 、r 。 ” 一2 r + a l 三) l j , 1 1 2 + 2 r l l 叩i | | j 尸j j | i oj | j 6j 、， 。，。 一( 2 r + q ；) i i 叼j 1 2 + r ( i i7 7 1 1 2 + i i p l l 2 i i 。1 1 2 l 1 2 ) = 一( r + q - ；r ) j i 7 7 1 1 2 十r i l p l l 2 i i n i l 2 i ，1 2 ( i i ) 令 k = ，q 同理求导得 ( 2 2 9 a ) ( 2 2 9 b ) ( 2 2 1 0 ) 玩一r i l 1 1 2 一三t ( d q + q d ) + 2 2 1 q v ( z ，乱，t ) 根据假设1 ，又( 2 2 2 ) 矢n r 1 ，得 i 志| 1 ，又( 2 2 2 ) 知； 0 ，因此 一m q 3 二 一q 3 二 所以有 矿一r + q - ；) i i 叩i | 2 一( r + q s ；) i i 毒1 1 2 + 3 m 几c ( v ) l l q i l ( 1 l s i t 2 + i l n l l 2 ) 一( r + q 。；一3 m n i i q i i c ( v ) ) ( 1 l n l l 2 + t 1 t 1 2 ) 1 0 西南大学硕士学位论文2 2 控制器的设计 其e e a o = m i n a l ，q 3 ) 。 于是 选取 由( 2 2 1 4 ) 推出 于是再由( 2 2 3 ) 和( 2 2 7 ) 知 即 于= 3 m n r q 。l i q l l c ( 可) 7 ( o ) = 1 矿- r ( 1 l7 7 1 1 2 + i i 1 1 2 ) 0 ，i = 1 ，2 ，扎使得下面的多项式是h u r w i t z 多项式 8 n + a 1 8 n l + a 2 s n 一2 + + a n 一1 8 + a n s n + b l s n 一1 + b 2 s n 一2 + + b n 一1 s + a n 这里q o ，m ，q 的确定跟前面的方法类似 注2 2 3 因为假设条件的不同，俾2 纠和留2 j 纠是不同的。 事实上 ( 嘉协l + 击胁l + + 击蚓) c ( 可) ( 刍圳+ 万1l z 。i + + 万1 鬲i z n l ) c ( 可) ( 嘉( 1 岔，i + l 孟t 1 ) + 南( 1 岔。i + l 叠2 i ) + + 南( i 岔n i + i 1 ) ) c ) ( i 叼l i - 4 - 1 7 7 2 i + + l 叩n i + l 毒1 i + l 已i + l 矗1 ) 而c ( ) ( | i7 7 | l + 吲i ) 定理2 2 2 的证明跟前面的类似，这里不再证明。 2 3仿真模拟 圣l = x 2 + l ( z ，u ，t ) x 2 = u + 2 ( z ，u ，t ) 可= z 1 1 2 西南大学硕士学位论文2 3 仿真模拟 其中非线性项 满足 咖1 ，u ，t ) 也( z ，u ，t ) 丽x l ( z ，+ s i n z ) 2 s i n z 。 ( z 1 + s i n x l ) 2l n ( 1 + z + z ；) s i n u 1 i ( z 1 + s i n x l ) 2 i z l l = c ( 矽) l z l i 也i ( z 1 + s i n x l ) 2 ( i z l l + l x 2 i ) = c ( y ) ( i x l i + x 2 1 ) 这里c ( 可) = ( y + s i n y ) 2 。 其中 另外 根据论文的定理2 2 2 ，先设计类似于高增益的观测器 a ：r 。 l 一1 a2 ( 1 ) 岔1 = 圣2 + r ( y 一岔1 ) 未2 = u + r 2 ( 可一岔1 ) u2 r3 r ( o ) 一7 2 岔l r 岔2 5 4 0 r c ( y ) 1 1k i 一1 ， p = ( 二 1 、肛 oj q ：r1 。 一j q 。= 1 ，q 。= 3 ，q s = 丢，a 4 = 2 ，盯= 互1 仿真的初值z l = 0 2 4 ，z 2 = 一2 4 6 ，岔1 = 岔2 = 0 1 3 、， n v 3 2 1 2 0 一 l 、 、-、 1 ：n n o 一口_ 、lllij 1 2 2 5 2 1 2 ，i-_-il、 西南大学硕士学位论文2 3 仿真模拟 图1 ：状态z 1 图2 ：状态z 2 1 4 西南大学硕士学位论文2 3 仿真模拟 图3 ：状态z 1 及岔1 图4 ：状态x 2 及岔2 1 5 西南大学硕士学位论文2 3 仿真模拟 图5 ：增益7 图6 ：输入u 1 6 西南大学硕士学位论文第3 章一一类高阶非线性系统的输出调整 第3 章一类高阶非线性系统的输出调整 3 1引言 在本章中，研究的是如下形式的系统，设计了观测器和控制器使闭环系统达 到全局稳定。这种系统的形式如下： 其中 圣= a x + b u + 西( z ) y = c x a=(喜：i二二姜!二；兰妻，b=( 州加而，h 勺 ( 3 1 1 a ) ( 3 1 1 b ) 控制的目标是把输出可调整到零，同时保证闭环系统的其他变量有界。 对于上述形式系统，在 1 1 ，17 】中，非线性项具有g 7 ( z ) 的形式，g 是矩 阵，y ) 是向量值函数。利用反步法使系统达到稳定。这种形式的非线性项 包含了一些系统。 本文利用高等数学中的知识建立了类似于微分中值定理的理论，设计了合适 的观测器，并运用反步法得到控制器，最后达到系统稳定的目标。这里的非线性 项不需要满足这种形式，并且非线性可以依赖不可测状态高阶增长。 下面首先用微分中值定理设计了观测器，使观测误差收敛到零。然后应用反 步法设计了控制器，并证明了稳定性结论。最后给出了仿真实例。仿真的结果表 明控制器能够使高阶非线性系统稳定。 1 7 西南大学硕士学位论文3 2 观测器的设计 f ( x ) = ( ( z ) ，2 ( z ) ，厶( z ) ) 1 f ( z ) = e ( z ) 五( z ) 爿= ( 面o f i ，面0 5 ，差) o a f z ，( o a f z c岛，已，厶，=l(墓ofl：(量plj、薹；兰；：)：姜；兰；) f ( q ) 一f ( p ) = 喜e ( i ) ( ( q ) 一五( 剐= 喜e ( i ) ( c ：f ) ( q p ) = 筹( 烈a 一国 肌) - f ( 萨箦( q 卅 ( 3 2 1 ) 1 8 3 2 2 观测器的设计 考虑如下观测器： 奎= a 岔+ b u + 西 ) 一l ( y c 圣) ( 3 2 2 ) 其中l = ( 1 1 ，1 2 ，f n ) r ，f 1 ，1 2 ，2 n 是常数。那么f 面的足理成立。 定理3 2 1 对于系统p _ f u ，利用观测器p 2 矽如果存在矩阵尸= p t 0 和l ，使得对任意叩px p xr n ，有 ( a 瑚+ 跏) tp + p ( a + l c + 釉) 。 成立，那么观测误差孟= z 一岔收敛到零。 证明观测误差岔满足 叠= ( a + l c ) 岔+ 中( z ) 一圣( 圣) m ( 3 2 1 ) ，存在( c o ( x ，企) xc o ( x ，岔) xe o ( x ，岔) ，使得 吣) 叫牡筹亳 于是 童= ( a 邶+ 釉) 孟 考虑l y a p u n o v 函数= 孟丁p 孟，是正定的，根据上式得 = 岔( ( a + 知) t p ( a + l c + 知) ) 岔 由假设得讫 0 。这就意味着当时间到达某个时刻时，观测误差岔收敛到零。定理 证明完成。 口 推论3 2 1 对于系统p f i j ，用观测器p 。2 纠。如果存在矩阵厶使得 ( 4 + l c ) t p - i - p ( a + l c ) 0 成立。对任意7 7 舻x 戳x 黔，有 ( 跏) 2p + p ( 釉) 。 那么，观测误差孟收敛到零 西南大学硕士学位论文3 3 控制器的设计 推论3 2 2 对于系统但j 砂，用观测器似2 矽如果存在矩阵厶使得 ( a + l c ) t + ( a + l c ) 0 同时对任意的卵渺舻r n ，满足 那么，观测误差刮史敛到零。 3 3 控制器的设计 ( 知) 丁+ ( 釉) 0 是常数。 最后，控制律定义为： j = l挚o y 硼1 、1 = 二刁+ 1l i ，。 让= q n ( 可，岔2 ，岔n )( 3 3 1 ) 定理3 3 1 对于系统p f ! ) ，利用观测器p 2 矽和控制律p 3 f ) ，闭环系统 的输出调整到零，且其它的状态变量有界 证明为了简便，记也= 机( 妙，岔2 ，筑) ，于是 2 1 。z 2 + o t l + 1 + 叠2 + a l l x l 磊= z i + i + q t + 祝+ f i x l + 4 a i j x j j = lj = l a q t 一1 ： 飞i q 一面o ( 1 i - 1 ( 畲。+ z ，+ 矽( z ，) ) 一百0 0 r i - - i 牙2 竹竹1 知= u + 磊+ k 面1 + o 可奶 j = 1j = 1 a 及n 一1 二 百巧 一百o o l n - i ( ：2 + a 1 1 x 1d - ) ) 一筹面。 与【1 8 】的方法一样，用类似l y 印u n o v 函数的方法证明定理。 选取 = 互1z 1 2 ，k = k 一1 + 互1 魂2 ，z = 2 ，礼 对于上述函数求导数，m ( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) ，得 m = z l ( z 2 + q 1 + 1 ( z 1 ) + 岔2 + a l l x l ) = z l ( z 2 + q 1 + l ( z 1 ) + a l l x l ) + 名1 岔2 = 一z 怕勿一( 倔2 一丽1z ) 2 十嘲 2 1 ( 3 3 2 a ) ( 3 3 2 b ) ( 3 3 2 c ) ( 3 3 2 d ) ( 3 3 2 e ) ( 3 3 2 f ) ( 3 3 2 9 ) m “ 西南大学硕士学位论文3 3 控制器的设计 奶= 以+ 砘z 3 + c z 2 + 如懒+ 薹2 。巧幻一等( 聃( x 1 ) + a l l x l ) 一百6 0 0 1 1 圣z ) = 一( 庙2 一南计去等勿) 2 + 嘲+ z 2 ( z 3 慨+ 表帕亳， + 2 j = ln确一土塑z一等(金。+他-)4-allxl)2d o y+ 刍( 筹) 2 勿)n 2 j z j 一一z 1 一刁百【z 2 + 妒【z 1 )+ 面i 刁歹j 勿j = 一z 一霹+ z 2 2 3 + 孟；一 t 一1 j = l i 一1 ( 庙。 1 1 抛1 、2 丽魂十丽苛钇) 等南一等( x 2 - - a l l x l + 纵) 一面o o f i - 1 面：)酉巧一百i it j 一百i z 2 j 亏+ 铀旎一( 妇孟z j = l + 旎( 忍+ 1 + q t + 五+ 屯孟l + 南针南薹等硝删 等x 二j + 刍( 等) 2 忍酉+ 砑i 巧厂j 忍 一等( 互：2 + a 1 1 x l + 讹肛葡1 百0 c e i _ 1 ( 矿 z ；+ z i z i + l + d 孟；一 z ；+ d 孟；一 ( 庙z i 一2 鲁神) )磊2 m 1 ) 秽1 + 去萎等州丽忽+ 丽备百聃1 ， 最后，令= k 一1 + ；，u = a n 很容易得到 n 记= 一f j ：- j j = l考+ 塌一 f 怕孟。 i 秽1 + 去薹等硝 ( 3 3 3 ) 现在证明输出可可以调整到零，并且其他的状态变量是有界的。由( 3 3 3 ) 得， 由的定义，这等价于 皖一2 k + 如； 一2 k + 如2 2 2 眦 ；芦 +_ z ，q + 西 + 口 + + 忍 ，一 兹 + 一 睚 ， i i 的 k 般 一 纠 ；触 斛 ；芦 一 = 一zd+ 李 n 触 一 一 西南大学硕士学位论文 3 4 仿真模拟 两边同时乘以e 黜，容易得到，e 2 k + 2 e 孔k 凼2 e 孔。即 ( e 2 。k ) 7 凼2 e 钴 所以，最后由比较原理可以得出下面的估计式 k ) k ( o ) e 一2 + d e 一2 童2 ( 丁) e 打d r ，t j 0 两边同时求极限得 l i r av n ( 雌恕( 唧) e - 2 t + d e - 2 t ( 职丁) e 2 7 打) = l i m deq。孟2(7-)e2。drt- 。o o j o 、 ：l 。i r a d f o x 2 i ( r ) 广e 2 1 d ro 。 。= t z - t m , c od 篓2 e z r ：l i m 呈矛2 2 恶互矿 这里第三个等式是用l h o s p i t a l sr u l e ，最后一个等式是由定理3 2 1 得到的。因 为k ( t ) 0 ，所以有 1 i mk ( t ) = 0 t - - - o o 而由k 的定义，可失l l l i m t 。o 。互1 銎1 露= 0 ，因此容易得出旎( t ) _ 0 ，i = 1 ，2 ，n 当t 0 0 。当然可以得到输出y = z l 被调整到零。 下面说明其他的状态变量是有界的。首先，从观测误差的有界知岔1 = z 一面l 是 有界的。从前面变换的定义中容易看出8 l 是有界的。又因为奶= 勿+ 1 ，因此不 难得到畲2 是有界的。再由咖2 的连续性，可以证明o t 2 是有界的。重复以上步骤，可 以依次得到所有闭环的状态变最都是有界的。口 3 4仿真模拟 考虑下面的二阶系统 圣1 = 3 7 2 + 3 7 1 一z 圣2 = u + z 一吾z i z 。 可= x l 2 3 西南大学硕士学位论文 3 4仿真模拟 ii- i ；i ；i i ；i ；i i i ；i i i i i 习f 线任一澎r 糸玩个满足全局利晋希次连续相线性瑁长。状态x l 是口j 以测的，状 态z 2 是不可测的，并且z 2 的增长速度比线性增长要快。其中 a = 肛 咄吣，= 0 蠹13 咱) 叼= ( 7 7 1 ，伽) = ( 7 7 1 1 ，m 2 ) rx ( 7 7 2 1 ，啦2 ) t 酞2 r 2 筹c 叩，= 筹c 帕= ( 一? 矗一善一。) 选取l = ( - 3 ，一2 ) t ，尸= e ，d = i 1 ，满足 ( a + 三e + 筹c 们t 刀+ e ( a + l c + 筹c 们) = ( 一4 i 6 7 7 备一2 叩兰一2 ) 。 控制器 未1 = 岔2 + 岔1 一岔；+ 3 ( x 1 一圣1 ) 垒= u + 岔，一言岔2 一岔2 + 2 ( z l 一岔1 ) 让= 5 1 z 2 3 2 仝2 + 岔1 + z ；一6 2 1 9 ( z ；一1 ) 2 ( 岔2 一z i + 3 2 1 ) + 3 ( z 一1 ) ( 岔2 一z i + 3 2 1 ) 这里初值的选取是z 1 ( 0 ) = 2 ，z 2 ( o ) = 3 ，岔l ( 0 ) = 0 3 ，岔2 ( 0 ) = 0 5 。仿真的结 果由图像表示出来。图像表明控制器实现了控制目的。 2 4 西南大学硕士学位论文3 4 仿真模拟 图7 ：输出可 图8 ：状态z 1 及其观测 2 5 西南大学硕士学位论文3 4 仿真模拟 图9 ：状态x 2 及其观测 图1 0 ：输入u 2 6 西南大学硕士学位论文总结 总结 本文主要讨论了严格反馈形非线性系统及下三角形非线性系统的输出反馈控 制问题。对于严格反馈形非线性系统，当非线性项满足动态增长变化时，前面所 得到的结果没有办法解决这类系统的控制问题，本文利用高增益观测器设计了控 制增益在线调整的闭环控制器，实现了系统的稳定。对于下三角形非线性系统利 用高等数学中理论知识寻找到对非线性项合适的限制条件，相比前面文章中的利 普西茨条件和其他一些条件有一定的减弱。在这个条件下设计了传统类型的观测 器，接着利用b a c k s t e p p i n g 方法设计了控制器，使系统达到稳定。虽然文中对这类 非线性系统输出反馈控制进行了一些尝试性的研究，但是这方面还有待更进一步 深入研究。 2 7 西南大学硕士学位论文 参考文献 参考文献 m i r o s l a vk r s t i c ，l o a n n i sk a n e l l a k o p o u l o s ，p e t a rk o k o t o v i c n o n l i n e a ra n d a d a p t i v ec o n t r o ld e s i g n n e wy o r k ：j o h o nw i l e ya n ds o i l s ，1 9 9 5 2 jh k k h a l i l n o n l i n e a rs y s t e m s3 r de d i t i o n e n g l e w o o dc l i f f s ，n e wj e r s e y ：p r e n - t i c eh a l l ，2 0 0 2 3 jh a ol e i ，w e il i n u n i v e r s a r ya d a p t i v ec o n t r o lo fn i n l i n e a xs y s t e m sw i t hu n k o w n g r o w t hr a t eb yo u t p u tf e e d b a c k s y s t e m sa n dc o n t r o ll e t t e r s 2 0 0 6 ，4 2 ：1 7 8 3 - 1 7 8 9 【4 】h a ol e i ，w e il i n a d a p t i v er e g u l a t i o no fu n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m sb yo u t p u t f e e d b a c k ：au n i v e r s a lc o n t r o la p p r o a c h s y s t e m sa n dc o n t r o l l e t t e r s 2 0 0 7 ，5 6 ： 5 2 9 5 3 7 【5 】5f m a z e n c ，l p r a l ya n dw d a y a w a n s a g l o b a ls t a b i l i z a t i o nb yo u t p u t f e e d b a c k ：e x a m p l e sa n dc o u n t e re x a m p l e s s y s t e m sa n dc o n t r o ll e t t e r s ，1