（应用数学专业论文）不完全市场未定权益的无差别定价和套期保值.pdf

摘要 金融数学足一门新兴交叉学科，在国际金融界和应用数学界受到高度重视它涉及 现代金融学的资产定价理论、投资组合理论以及现代数学中的随机分析、随机控制、优 化理论、数理统计等学科未定权益的定价和套期保值是金融数学的核心问题之一， 它的理论研究不仅丰富和发展了现代金融数学，而且对数学的许多分支的发展起到了 推动作用 本文系统研究了最小熵鞅测度、效用无差别定价和效用无差别套期保值策略获 得了最小熵鞅测度存在且唯一的充要条件；讨论了效用无差别定价的性质及其与最小 熵鞅测度的关系；构造了效用无差别定价和效用无差别套期保值策略主要内容如下： 建立了无套利有界半鞅模型；给出了最小熵鞅测度存在且唯一的充要条件；讨论 了效用无差别定价的性质及其与最小熵鞅测度的关系；介绍了效用无差别定价及效用 无差别套期保值策略 对多维扩散模型进行了深入研究；在多维扩散模型下用鞅方法和动态规划方法证 明了极小鞅测度与最小熵鞅测度是一致的；用线性偏微分方程刻画了效用无差别定价 及效用无差别套期保值策略；证明了效用无差别定价与风险厌恶指数无关；验证了鞅 方法和动态规划方法本质上是一致的 建立了随机波动率模型；在随机波动率模型下用鞅方法和动态规划方法给出了 最小熵鞅测度，用非线性偏微分方程刻画了效用无差别定价及效用无差别套期保值策 略 在风险资产价格服从指数l 6 v y 过程模型的情况下，通过e s s c h e r 变换得到了指 数l 6 v y 过程模型的最小熵鞅测度 关键词：最小熵鞅测度效用无差别定价效用无差别套期保值策略反应扩散系统 e s s c h e r 变换 a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l6 n a n c ei san e wi n t e r s e c t i o ns u b j e c tw h i c hr e c e i v e sh i g ha t t e n t i o n h li n t e r n a t i o n a l 矗n a n c ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c sc o m m u n i t yt o d a y i ti n v o l v e st h e m o d e r na s s e tp r i c i n ga n dp o r t f b l i oi n v e s t m e n to fm o d e r n6 n a n c i a lt h e o r y ，a n di n c l u d e sm o d e r nr t l a t h e m a t i c a lt h e o r ns u c ha ss t o c h a s t i ca n a l y s i s ，s t o c h a s t i cc o n t r o l ， o p t i m i z a t i o nt h e o r y ，m a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c sa n ds oo n t h ep r i c i n ga n dh e d g i n go f c o n t i n g e n tc l a i m sa r et h ek e yp r o b l e m si l lm a t h e m a t i c a l6 n a n c e t h es t u d yo ft h i s f i e l dn o to n l ye n r i c h e sa n dd e v e l o p sm o d e r nf l n a n c eb u ta l s op r o m o t e st h ed e v e l o p m e n t o fm a n yb r a i l c h e so fm a t h e m a t i c a l6 e l d t h i sp a p e rs y s t e m a t i c a l l ys t u d i e dw h a ta r et h em i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r e ，t h eu t i l i t yi n d i 套r e n c ep r i c i n ga n du t i l i t yi n d i f f e r e n c eh e d g i n g t h en e c e s s a r y a n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e 8 sa b o u tt h em i n i m a le n t r o p y m a r t i n g a l em e a s u r ei nb o u n d e ds e m i m a r t i n g a l em o d e li so b t a i n e d ， t h ep r o p e r t yo f t h eu t i l i t yi n d i f f e r e n c ep r i c i n ga n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h eu t i l i t yi n d i 套r e n c ep r i c i n g a n dt h em i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r ea r ed i s c u s s e d t h eu t i l i t yi n d i 怕r e n c e p r i c i n ga n du t i l i t yi n d i f i 色r e n c eh e d g i n ga r ec o n s t r u c t e d t h em a i nc o n t e n t sa r el l s t e da sf b l l o w s t h eb o u n d e df t e e a r b i t r a g es e m i m a r t i n g a l em o d e li sc o n s t r u c t e d t h en e c e 8 s a r y a n ds u m c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sa b o u tt h em i n i m a le n t r o p y m a r t i n g a l em e a s u r ei so b t a i n e d t h ep r o p e r t yo ft h eu t i i i t yi n d i f f e r e n c ep r i c i n ga n dt h e r e l a t i o n 8b e t w e e nt h eu t i l i t yi n d i 髓b r e n c ep r i c i n ga 1 1 dt h em i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l e m e a s u r ea r ed i s c u s s e d t h eu t i l i t yi n d i f i b r e n c ep r i c i n ga n du t i l i t yi n d i f l b r e n c eh e d g i n g a r ei n t r o d u c e d t h em u l t i - d i m e n s i o nd i m l s i o ni n o d e li ss t u d i e dd e e p l y w i t ht h i sm o d e li ti ss h o w n t h a tt h em i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r ec o i n c i d e sw i t ht l l em i n i m a lm a r t t n g a l e m e a s u r eb yi h em a r t i n g “ea p p r o a c ha n dt h ed y n a m i cp r o g r a m m i n ga p p r o a c h t h e c h a r a c t e r i s t i ( ：so ft h eu t i l i t yi n d i h b r p n c ep r i c i n ga n du t i l i t yi n d i f r e r e n c eh e d g i n g a r eg i v e nb yt h e1 i n e a rp a r t i a ld i 珏爸r e n t i a le q u a “o n w ep r o v et h a tt h ei n d i 圩色r e n c e p r i c i n go ft h ec l a i mi si n d e p e n d e n to ft h er i s ka e r s i o np a r a m e t e r ，a n dt h em a r t i n 最a l e a p p r o a c ha n dt h ed y n a m i cp r o g r a n u n i n ga p p r o a c ha r ei d e n t i c a l _ t h es t o c h a s t i cv o l a 土i l i t ym o d e li se s t a b i i s h e d u s i n gt h ei n a r t i n g a l ea p p r o a c h a n dt h ed y n a m i ci ) r o g r a m m i n ga p p r o a c l l ，t h em i n i m a l e n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r ea r e 百v e nw i t ht h j sm o d e l t h ec h a r a c t c r i s t i ( 。so ft h eu t i 上i t yi n d i f r e n c ep r i c j n ga n du t i l i t y i n d i f i b r e n c eh e d g i n ga r eg i v e nb yt h cn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f b r e n t i a le q u a t i o n w h e nc h er i s k ya s s e ti sd r i v e nb yt h ee x p o n e n t i a ll v y p r o c e s s e sm o d e l ，t h e m i n i m a le n t r o p ym a n i n g a l em e a s u r ei so b t a i n e db yt h ee s s c h e rt r a n s f o r m k e yw o r d s ：t h em i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r e ，t h eu t i l i t yi n d i 艉r e n c ep r i c i n g u t m t yi n d i 色r e n c eh e d g i n g ，r e a c t i o n d i 踟s i o n8 y s t e m s ，e s s c h e rt r a n s f o r m l l 第一章绪论 1 1 期权定价和套期保值的研究现状 未定权益的定价和套期保值是当今金融数学研究的热点问题之一它的理论不仅 丰富和发展了现代金融理论，而且也沟通了各个数学分支与金融学之间的联系，对数 学的发展起了推动作用本节就有关未定权益的定价和套期保值的研究现状和研究方 法进行综述 研究未定权益的定价和套期保值问题，首先要解决市场的无套利性和完全性问 题，即资产定价基本定理第一基本定理涉及无套利机会存在和等价鞅测度存在之间 的关系，第二基本定理涉及市场完全性与等价鞅测度的唯一性之间的关系fd e l b a e n 和w s c h a c h e r m a y e r 7 】在一般半鞅模型假设下研究了无套利与等价鞅测度存在之间 的关系，并获得了一系列重要的结果j m h a r r i s o n 和s r p 1 i s k a 1 9 1 系统阐述并 建立了资产定价的两个基本定理 k b a c k 和s r p l i s l ( a 2 0 研究了无限证券市场 模型下的资产定价基本定理，并给出了无限证券市场模型下资产定价第一基本定理的 一个反例f d e l b a e n 和w s c h a c h e 啪a y e r 【8 】讨论了资产价格过程为一般半鞅模型 下的第一基本定理r j a r r ( ) w 和d b m a d a n 3 1 1 将资产定价的基本定理从有限个 可交易资产推广到无限可交易资产的情况 传统的未定权益定价方法有m f s h a r p e 等人的资本资产定价理论、s a r o s s 的套利定价理论、b l a c k s c h o l e s 期权定价理论、j c c 0 x 和s a r o s s 的风险中性 定价理论，这些传统的定价方法都需要一个基本的市场假设条件，即市场是无套利的 完全市场，然而完全的金融市场是极其罕见的一种理想市场，实践中大量存在的是不 完全的金融市场 j m h a r r i s o n 和s r p l i s k a 1 9 用等价鞅测度来刻画金融市场 的无套利性和完全性，并提出了未定权益定价的鞅方法这一方法不仅适用于完全市 场，而且对不完全市场也十分有效它证明了市场无套利的充要条件是等价鞅测度存 在，市场完全的充要条件是等价鞅测度存在且唯一当市场是完全市场时任意未定权 益都有唯一的无套利定价，并且未定权益的定价为未定权益期末收益折现值在等价鞅 测度f 的数学期望在无套利的不完全市场，由于有多个( 无穷多个) 等价鞅测度，而 且未定权益期末收益折现值在每一个等价鞅测度下的数学期望都是该未定权益的无套 1 第一章绪论 利定价，这时为了给出最合理的定价，需要按照一定的的最优性准则从所有的等价鞅 测度集合中选择合适的鞅测度现有文献中常用的最优鞅测度有三种：极小鞅测度、方 差最优鞅测度、最小熵鞅测度但到目前为止还没有一种鞅测度被公认为是最好的 最小熵鞅测度是近几年研究较多的一种鞅测度，许多学者研究了最小熵鞅测度的存在 性及其性质y m i y a h a r a 4 2 探讨了有界过程最小熵鞅测度的存在性，并得到了极 小鞅测度和最小熵鞅测度的关系m n i t t e l l i 【2 2 1 研究了局部有界半鞅模型的最小熵 鞅测度的存在性，得到了最小熵鞅测度存在的充分条件和充要条件t c l a n f 35 ) t f u j i w a r a 和y m i y a h a r a f 3 6 1 研究了l v y 过程模型的最小熵鞅测度的构造 效用无差别定价( u t i l i t yi n d i 雎r e n c ep r i c i n g ) 是近几年研究较多的一种定价方 式，以效用最大化为最优性准则，通过考虑未定权益和不考虑未定权益两种不同的投 资机会的相关性得到的一种定价方法到目前为止，效用无差别定价主要通过两种方 法进行研究：一种是以随机控制理论为基础，利用动态规划方法将效用无差别定价表 示为非线性偏微分方程的解；另一种方法是鞅方法，利用熵准则和最优投资组合问题 的对偶性将效用无差别定价表示为未定权益的期望和补偿函数的差的上确界对于效 用无差别定价的研究已有不少结果，如v h e n d e r s o n 和d h o b s o n 3 9 1 研究了风险 资产服从几何b m w n 运动的不完全市场的效用无差别定价；m m u s k l a 和t a z a r i c h o p o u l o u 【2 3 】研究了关于不能交易的资产的未定权益的效用无差别定价；f e b e n t h 和khk a r l s e n 9 1 研究了资产价格服从随机波动率模型的未定权益的效用无 差别定价；m m u s i e l a 和t a z a r i c h o p o u l o u f 2 4 1 研究了特殊离散时间模型的未定 权益的效用无差别定价的算法体系 未定权益的套期保值问题，是解决未定权益的出售者选择什么样的策略才能避免 或尽可能降低因出售未定权益而在未来可能遭受的损失在完全市场上，任意未定权 益都是可达的，所以未定权益的潜在风险可由复制策略完全对冲在不完全市场上， 由于市场上随机因素的个数大于可用于交易的基础证券的个数，从而导致未定权益 不可能用现存的基础证券无套利复制，所以在不完全的金融市场上存在着大量的不 可达的未定权益，用市场上现有的基础证券来复制这些不可达的未定权益是有风险 的，有一定的复制成本为f 选择使复制成本最低的组合策略，必须确定一个最优性 准则目前最常用的选择最优套期保值策略的准则有两种，一种是由hf 6 l l m e z - 和 d s i ) i l d e r a n n f l 2 提出的风险最小准则由于在一般半鞅模型下风险最小策略未必 2 第一章绪论 存在，所以在1 9 9 1 年m s c l l w e i 2 6 l 又提出了局部风险最小策略的概念，证明了局 部风险最小策略存在的充要条件足未定权益具有f s 分解；m ，s c h w e i z e r 2 8 1 研究了 基于部分信息的风险最小策略问题；f r 1 1 d i g e r ，j ，w b l f g a i l g 和j r u n g g a l d i e r 儿】研 究了随机波动率模型下的局部风险最小策略的构造问题另一种是1 9 8 9 年由b o u l c a u 和l a m b 叭o n 首次提出的均值方差最优准则关于均值方差最优策略的构造问题，在 风险资产的价格过程是连续的情况下已有不少结果，如d d u f f i e 和m r i c h a r d 1 2 1 研究了风险资产价格过程为一般半鞅的情况；m s c h w e i z e r 2 7 1 研究了风险资产价格 过程是几何b r o w n 运动的情况；h p h a m 1 3 给出了构造均值方差最优策略的方法； 闰海峰【4 8 研究了指数半鞅模型下的平方套期保值问题 首次由s d h o d e g s 和a n e l l b e 唱e r 3 3 提出的效用无差别套期保值策略( u t i l i t y i n d i h e r e n c pl l e d g i n g ) 是近几年来随着最小熵鞅测度研究的发展而逐渐发展起来的一 种新的套期保值策略目前，对于效用无差别套期保值策略的研究还处于起步阶段， 对于它的构造还没有一个统一的方法，但许多学者对效用无差别套期保值策略的研 究作了探索 f d e l b a e n ，p g r a n d i t s ，t r h e i n i 苴n d e r ，d s a m p e r i ，m s c h w e i z e r 和es t r i c h e r 【5 】研究了局部有界半鞅下指数效用函数的最优投资组合和最小熵鞅测 度之间的对偶问题，得到了效用无差别定价和套期保值策略的刻画；y m k a l ，a n o v 和c s t r i c k e r 4 1 进一步分析了一般半鞅下的指数效用最优投资策略的鞅性质； r r o u g e 和e in k a r o u i 3 2 】研究了效用最大化定价和熵的关系，用倒向随机微分方 程给出了最优财富过程和最优投资策略的刻画； d 。b e c h e r e r f l l 利用反应扩散系统 ( r e a c t i o n _ d i f h l s i o ns y s t e m s ) 给出了随机波动率模型的效用无差别定价和效用无差别 套期保值策略； m p 0 w e n 【2 5 】研究了基于效用最优的套期保值策略； jc v i t a n 峨 w s c h a r l l e r m a y e r 和h w a n g 阻6 1 研究了有随机赋资情况下不完全市场的效用最大 化问题 1 2 预备知识 假设在概率空间( q ，f ，p ) 上给定滤子流，= ( f ) ，；”+ 满足通常条件 厂 ( r ) t r + 是由n 。 o r 生成的，厅= f 3 第一章绪论 设尸，q 是慨率空间( q ，f 尸) 上的测度，若对任意o ，q l p ( 或 q l 再一p l 丑) ，则称q 关于p 绝对连续( 或等价) ，记为q p ( 或q 一，) ) 定义1 1 1 设尸，q 是( 咄f ，) 上的概率测度，9 是，的子口域，蛋上q 关 于p 的相对熵为 如( q l _ p ) 兰 e r i 器1 目1 n ( 器1 洲如果q i 。p 1 g i 十o 。其它 其中器g 为q l9 关于尸l 的r a d o n n i k o d 妒m 导数若9 = ，简记为h ( q ip ) ， 表示q 关于p 的相对熵 下面的引理给出了相对熵的性质 引理1 1 2 设g 芦，在一一域9 上q p ，咒9 是另一个仃一域，则 h w ( q i 尸) 日g ( q l 尸) 引理1 1 3 设邑= 器i ，q p ，而且日( q ip ) o 。，则z l n z 是p 一下鞅， l n z 是q 一下鞅 由于最小熵鞅测度和指数效用最优投资组合问题相关，因此下面给出指数效用函 数及其相关经济含义 指数效用函数为 ( 。) = 一e 1 。 其中7 为风险厌恶指数，y ( 0 ，+ o 。) 一般来说，当7 l 时表示投资者是风险喜爱者， 而且1 越大表示投资者越喜爱风险 1 3 本文解决的问题和结构 本文将针对最小熵鞅测度、效用无差别定价和套期保值策略的构造进行研究，重 点研究效用无差别定价和套期保值策略到目前为止，对效用无差别定价和套期保值 策略的研究相对来说较为薄弱，而效用无差别定价和套期保值策略在实际中有较广泛 的应用所以系统研究效用无差别定价的性质和套期保值策略的构造是十分必要的 第一幸绪论 基于如上背景和思考，本文首先研究局部有界半鞅最小熵鞅测度的存在性，给出 了最小熵鞅测度存在唯一的充要条件，得到了效用无差别定价和套期保值策略的构 造其次讨论了两类特殊半鞅模型( 多维扩散模型和随机波动率模型) 的最小熵鞅测 度、效用无差别定价和套期保值策略问题利用动态规划方法和鞅方法，给出了两类 模型的最小熵鞅测度、效用无差别定价和套期保值策略的构造，并且证明了多维扩散 模型的最小熵鞅测度和极小鞅测度是一致的以及效用无差别定价与风险厌恶指数是无 关的最后研究了指数l 6 v y 过程模型的鞅测度，利用e s s c l l e r 变换给出了指数l 6 ”， 过程模型的最小熵鞅测度 本文共分为5 章，其框架结构如卜 ： 第一章综述了未定权益的定价和套期保值的研究现状和研究方法，对本文所做 的工作和相关的预备知识作了简要介绍 第二章研究了局部有界半鞅模型的最小熵鞅测度、效用无差别定价和套期保值 策略问题得到了局部有界半鞅最小熵鞅测度存在难一的充要条件；给出了最小熵鞅 测度及其对偶问题的刻画；研究了效用无差别定价的性质以及效用无差别定价与最小 熵鞅测度的关系；给出了效用无差别套期保值策略的构造 第三章主要研究多维扩散模型的最小熵鞅测度、效用无差别定价和套期保值策 略利用鞅方法和动态规划方法刻画了效用无差别定价及效用无差别套期保值策略， 并证明了两种方法的一致性；证明了多维扩散模型的最小熵鞅测度与极小鞅测度是一 致的以及效用无差别定价与风险厌恶指数是无关的；给出0 一u 过程模型的最小熵鞅 测度及效用无差别定价 第四章主要研究随机波动率模型的最小熵鞅测度、效用无差别定价和套期保值策 略获得了随机波动率模型的等价鞅测度的刻画；利用鞅方法和动态规划方法刻画了 最小熵鞅测度；通过非线性偏微分方程的解得到了效用无差别定价和套期保值策略； 给出常见的随机波动率模型的最小熵鞅测度及效用无差别套期保值策略 第五章对风险资产价格服从指数l d v y 过程模型的最小熵鞅测度进行了研究给 出指数l v y 过程的等价鞅测度的刻画；和用e s s c h e r 变换得到指数l v y 过程的最小 熵鞅测度；计算了特殊指数1 6 v y 过程的最小熵鞅测度 第二章有界半鞅模型的效用无差别定价和套期保值策略 2 1 引言 一般半鞅模型的期权定价和套期保值问题是未定权益定价和套期保值研究的重 点目前大部分文献都集中在研究一般半鞅模型下资产定价的基本定理、未定权益的 近似定价以及最优套期保值策略的选择如fd e l b a e n 和ws c h a c h e r m a v e r 【7 在一般 半鞅模型下研究了无套利与等价鞅测度存在之间的关系；fd e l b a e n h 和ws c h a c h i i l a y e r f 6 1 对论了资产价格过程为一般半鞅模型的第一基本定理；m f r i t t e l l 【2 2 1 研究 了般半鞅模型的最小熵鞅测度的存在性但对于一般半鞅模型效用无差别定价和套 期保值策略的研究较为薄弱所以本章主要研究丁局部有界半鞅效用无差别定价和效 用无差别套期保值策略问题首先得到了局部有界半鞅最小熵鞅浏度存在且唯一的充 要条件；其次给出了最小熵鞅测度及其对偶问题的刻画；最后研究了效用无差别定价 的性质班及效用无差别价格与最小熵鞅测度的关系，给出了效用无差别套期保值策略 的定义 考虑一个无摩擦的证券市场投资者在给定的投资期限h 明口月+ ) 内可连 续进行交易市场上的所有随机现象用概率空间( n pp ) 来描述假设在概率空间 ( n ，f ，p ) 上有一给定的滤子流芦= ( 羁) t t t 满足通常条件， = p 称带有滤子流 的概率空间( n f ( 只) ，c t ，p ) 为滤予概率空间r 表示市场参与者在z 时刻所掌握 的有关市场的全部信息设翼是正的连续的厂= ( r ) ，适应的有界变差过程，表 示无风险资产( 如债券) 在时刻的价格，历= ( 翼) - 1 是价格过程的折现因子局部 有界半鞅s = f s ：o t ) 是定义在滤子概率空间( n ，f ( n ) t ，) ) 上的一值 随机过程，p ( 1 i d ) 是，= ( 羁) z c r 适应的右连续左极限存在的严格正的过程 不失一般性，假设证券价格的规范化因子母e 1 ，此时嚣( 1sz d ) 表示第。种风险 资产( 如股票) 在t 时刻的折现价格 首先给出有界半鞅模型的定义 定义2 1 1 六元体( q ，只) o c “r ，只三( 别，j d ) 被称为市场模型其中s 是风险 资产的价格过程，是定义在( n ，只( 只) n c t c t ，p ) 上的半鞅，l ( s ) 是所有关于半鞅s 可积的可料过程全体，( nf ，( f ) o c ，c r ，p ) 是完备的滤于概率空间如果风险资产价 可积的可料过程全体， ( n f ，( f ) o cc c t ，尸) 是完备的滤子概率空间如果风险资产价 “ 第二章有界半鞅模型的敢用无差别定价和套期保值策略 7 格过程s 为有界半鞅，称市场模型( q ，r ( r ) o 丁，s ，l ( s ) ，p ) 为有界半鞅模型 下面回忆资产定价理论中常用的一些概念 定义2 1 2 设s 是定义在滤子概率空间( 1 2 1 只( f ) o t k 了1 p ) 上的零初值适应的半 鞅，称妒= ( 1 ，们为s 的组合策略，如果 1 ) ”是，= ( r ) o t 丁适应的； 2 ) 目足s 可容许的，并且随机积分j i 呜( 日s ) t = ( 日s ) 了一= 石以d s a s 存在； 其中口称为s 的交易策略称过程g t ( 妒) = ( 口，s ) = ，詹以d 鼠为由s 的组合策略p 产生的增益过程 k ( 妒) = 吼+ 西& 是与组合策略妒相应的价值过程，讯，巩分别表 示投资者在t 时刻持有无风险资产和风险资产的数量如果k ( 审) = ( 妒) + g t ( 妒) ， 称组合策略妒= ( 叩，目) 为自融资的 定义2 1 3 对市场模型( q ，f ( r ) o o ，称该市场模型是无套利 的 定义2 1 4 可测空间( q ，f ( f c ) c c r ，尸) 上的概率测度q 被称为s 的等价局部鞅 测度，若q 满足 1 ) q 是与j d 等价的概率测度，即q ( q ) = l ，q p 且尸q ； 2 ) s 是q 一局部鞅 若进一步有s 是q 一鞅，则称q 为s 的等价鞅测度半鞅s 的所有等价鞅测度 组成的集合记为m 5 ，s 的所有等价局部鞅测度组成的集合记为朋麓，半鞅s 的所 有绝对连续( 局部) 鞅测度组成的集合记为朋t 5 ( m 麓) ， 由资产定价第一基本定理知市场是无套利的充要条件为存在等价鞅测度，所“不 失一般性，假设有界半鞅模型是无套利的市场模型，即m 啪0 2 2 最小熵鞅测度及其对偶问题 这一节介绍了最小熵鞅测度的定义，给出了有界半鞅模型的最小熵鞅测度存在唯 一的充要条件，并且研究了最小熵鞅测度与指数效用函数下期末财富最优问题的对偶 第二章有界半鞅模型的效用无差别定价和套期保值策略 8 性 2 2 1 最小熵鞅测度 定义2 2 1 若概率测度q o m 邸，并且满足 h ( q 。ip ) 2 。器磐，。( q lj r ) ) 0 m 。，5 则称q o 为s 的最小熵鞅测度( m i n i m a le n t r o i ) ym a r t i n g “em e a s u r e ) 下面定理给出了有界半鞅最小熵鞅测度的存在唯一性，定理证明参看文献f 2 2 1 定理2 2 2 若存在q m 啪( p ) 使得甘( q | ，) ) 。，则最小熵鞅测度存在唯 一，并且等价于p f 面定理给出最小熵鞅测度存在的充要条件，并且给出了最小熵鞅测度的刻画 定理2 2 3 假设存在国m 8 ，8 ( p ) 使得打( 国jp ) l n c 坳m d s = l nc 所以( q 0 lp ) 甘( 国fp ) ，由定理2 2 2 得最小熵鞅测度是唯一的，因此q = q 0 必要性假设亩是最小熵鞅测度，由i c s i s z d r f l 4 】的定理3 1 得q 为 黑：。畦 d p “p j 塑护h 第：章有界半鞅模型的效用无差别定价和套期保值策略 9 厂v ，v 是h ( s 只) 生成的线性空间，其中h 是( n ，只，p ) 上本性有界随机变 量，p 是v 的闭包 由多维的y 0 z 定理得，存在s 町积的仉使得，= ( ，”d s ) ，r 所以磐= c e x p ( ( j 口d s ) 了1 ) ，而且不难验证l ( ，叩d s ) 了- = o ， 口 下面命题给出了最小熵鞅测度的判定，命题的证明参看文献3 8 1 命题2 2 4 设s 是有界半鞅，如果国m ，并且相对熵有限，其r a d o n n i k o d 多m 导数为e x p ( c + ；? ，h d s e ) ，其中岳”? d 吲r l ：。，( p ) ，则国为最小熵鞅测度，而且对 于任意q m 5 其中m r = q m 8 8 ：( q lp ) o ，使得e e ( ”5 一 o 。，其中，y 是 风险厌恶指数 下面定义测度其r a d o n n i k o d 妒m 导数为 雾施一j c _ 1 划护岫) 因为对任意q 尸 h ( q = 1 1 1 署+ l n c + 1 翻= 删jb ) + l n c + ( 2 2 1 ) 第二章有界半鞅模型的效用无差别定价和套期保值策略 所以 m ；5 ( _ p ) = q m 1 、。：( q ij d ) o ，l ( s ) ，使得g ，( d ) 是q 口鞅，则 l n e = h ( q b lp b ) ( 225 ) 第二章有界半鞅模型的效用无差别定价和套期保值策略 设p ”兰一p ，因为 p 一1 g t ( 胪) ：e g r ( d ) ：61 z j ，日 ( 2 26 ) 即口8 上1 ( p 日) 又因为存在q m 广n m 啪满足逆h 6 l d e r 不等式月l l “( 岛) ，由 f d e l b a e n ，p g r a n d i t s ，t r h e i n l 五n d e r ，ds a m p e r i ，m s c h w e i z e r 和c s t r i c k e r 5 】 引理33 得泸e 川，所以 。戮e _ e x p ( 一7 ( z + z t 畦0 m l j o = e7 。s u pe 一e 一1 g t ( 口0 m 。 = e1 。c - 1s u p e 如 e 。 日e m = e l c 一1s u p e 【e g 1 ( 佃) 畦e m 由于e 。h b 】= 1 n c - 1 警 ，所以 假设 可x p ( 。黑。h 玩一日( q p ) ) 、日州：o = 一e x p ( 一7 一q 器，。( 日( q | p ) 一玩 7 矧) ) = 一e 2 c 1 e x p ( 一。器，。日( q f 魄) ) = 一e 1 。c 一1 p 一日8 ) 九皇 目上( s ) 卜g “l 1 ( p 口) ，vq 朋? 8 ，g 。( 口) 是q 鞅) 贝4p 如当且仅当佃0 m 由( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 得要证等式( 22 4 ) ，只需证 s u p e 如 e 口 e 一，( q 。i 如) 因为h ( q 日i 尸8 ) = l n j ，所以一e h 旧8 i ) ：一i ( 2 2 7 ) ( 2 28 ) ( 2 2 9 ) c | | 日 霹 c e = 胪 r“ 一p 以所 、 b 一 蜗 邶 口 第二章有界半鞅模型的效用无差型窒丝塑奎塑堡堕筮堕 一1 3 另一方面，对任意日 l 因为函( 日) 和q ( 口) 足q 8 一鞅，由j e i l s e l - 不等式得 耻嘶 害警扣 = d 一1 e 。日 e 一6 7 8 一g 7 c 8 ) 一 所以s u p e p b 【e g 7 ( 9 s 一6 1 娓0 k 由( 2 2 6 ) 得一e p 日陋一g r 【一。】= a ，而且一d = 7 日8 0 ，所以 因此 s u p e 尸b e g t ( 9 口e 2 ) 由1 ) 的证明得最优策略日口= 一d e m ，最优测度为q 8 ，而且 警= 筹参地咖憎川p ( 一7 ( c 日+ ! t 紫峨一叫 其中= 一l n e c 3 ) 由1 ) 得最优问题( 2 2 2 ) 转化为 “( z b ，7 ) = e 一e x p ( 一7 ( z + z 7 一尹d 曼 = 一 一。( 一7 ( z c 训 = 一e x p ( 一7 ( 。一c 骨) ) 注：当b = o 时，最优投资组合问题的解为钍( z ，y ) = 一c x p ( 一1 ( z 一一) ) 下面定理是p g r a n d i t s 和t r h e i n l a n d e r 【2 9 的命题3 4 的一个变形定理，可以 作为识别定理判定对偶问题( 22 4 ) 的最优测度q b 和最优策略目8 定理2 2 9 假设2 25 和假设2 2 6 成立，s 是有界半鞅，国朋。一并且 纂一，( 一7 ( ，+ 小蜘日) ) ， u p 词 h b 一 吣 p ，埘 倘 文 卅 呻叫 l 曰 r， 一 p 魄 坤 叩 e ，卜一 目 = 哿 第二章有界半鞅模型的效用无差别定价和套期保值策略1 4 其中i r ，口工( s ) ，目s 是国一b m o 鞅，而且存在 o 使得e x pf 7 ( b + e 露目d s ) 1 l 1 ( p ) ，则 国= q b ，百= 口曰，百= r d 2 3 效用无差别定价和套期保值策略 1 9 8 9 年h o d g e s 和n e u b e r g e r 首次给出了效用尢差别定价的定义，随后许多学者 进行了研究t 刑i w a r a 和y m i y a h a r a 3 6 研究了效用无差别定价的性质， r r ( ) l l g e 和e i mk a r o u i 3 2 】研究了效用无差别定价的推广定义，并证明了效用无差别 定价是无套利定价，d b e c h e r e r 【1 首次给出了效用无差别定价过程和套期保值策略 的定义，并研究了带跳随机波动率模型的效用无差别定价过程和套期保值策略 本节参考以上文献介绍了效用无差别定价和套期保值策略的定义以及效用无差别 定价的性质 首先给出效用无差别定价的定义，这个定义由h o d g e s 和n e u b e r g e r 3 3 】给出 定义2 3 1 如果a ( 7 ( b ) = a ( 1 ) ( b ，7 ) 满足方程 u ( z ，7 ) = u ( z + a nj b ，1 ) ，( 2 3 1 ) 则称a n ) ( b ) 为未定权益b 的效用无差别定价 严格地讲，定义2 3 1 给出的效用无差别定价a ( ，旧，7 ) 是卖方定价 代入( 23 1 ) 得 州耵) = 。器 一；( 删一明 ) ) ) 0 川；5 l y 、 7j 对于买方来说，效用无差别定价a p ( b ) 应满足方程 “( z ，7 ) = u 一a p + b 7 ) ， 将( 224 ) 代入( 2 3 3 ) 得 a ( 即) _ 。器 一；( 删醐 ) ) ) 肌rl y 、 7 j f 2 3 2 1 ( 2 33 ) ( 2 34 ) 箜三童 一至堡圭墼堡型塑鏊旦垂董型窒丛塑奎塑堡堕塑堕 1 5 由( 2 3 2 ) 和( 2 3 4 ) 得对于指数效用函数来说效用无差别定价的买方定价和卖方定价 是相同的，这与其它效用函数如幂效用函数u ( z ) = 譬、对数效用函数u ( z ) = l n 。 不同，对于后两种效用函数来说，效用无差别定价的买方定价和卖方定价是不同的 注：本文研究指数效用函数的效用无差别定价，以后简称效用无差别定价由 ( 232 ) 知效用无差别定价a h ) ( b ，7 ) 与投资者的最初投资成本。无关 下面定理证明了效用无差别定价是无套利定价，定理证明参看文献f 3 2 1 定理2 3 2 效用无差别定价是无套利定价，即 洲辩 ，吲s 州b ) 删獬胁。酬b 】1 而且当市场是完全无套利市场时，效用无差别定价与鞅测度定价相同 从金融学的角度来讲，效用无差别定价给出了未定权益的公平定价的计算方法 投资者以公平定价a ( t ) ( 日) = a ( 7 ) ( b ，7 ) 购买( 或出售) 未定权益和不考虑未定权益两 种投资机会的期望效用相等，体现了无套利定价的本质 下面两个定理给出了效用无差别定价的性质，这两个定理的证明分别参看文献 3 6 】和 3 2 定理2 3 3 假设存在最小熵鞅测度q o ，并且日( q op ) o ，a ( 】( b ) 22 1 口o b ； 2 ) 若o 7 0 则 ! 罂、h ( b ，7 ) = s u p z 1 。【b 】 7 。 0 m ；- 5 n ” 。 第二章有界半鞅模型的效用霆差别塞堕塑奎塑堡堕筻堕一1 6 注：由定理2 3 4 知当7 _ 。时，效用无差别定价的极限为无套利