（计算数学专业论文）非负矩阵谱半径的估计.pdf

摘要 摘要 矩阵是现代数学中一个重要的概念，其理论和方法在实际应用中处理了很多 复杂的问题，具有表达简洁，对闯题实质刻画深入等优点，已经成为处理数学问 题和工程技术里重要的数学工具。 矩阵理论是- r 重要的数学理论，很多实际问题最后常常归结为一个或一些 大型系统矩阵( 非负矩阵) ，非负矩阵是矩阵论中的一个重要矩阵类，对它研究的 步伐始终就没有停止过，对于非负矩阵特征值的求解及估计的研究是矩阵分析和 数值代数研究的重要课题，而非负矩阵的p c r r o n 根的估计和p c r r o n 余的研究越来 越受到一些研究者的重视。基于对非负矩阵谱的估计在很多领域里有着广泛的应 用，特别是对p c r r o n 根上下界的估计。 本文主要研究了非负矩阵p e r r o n 根界的估计和p e r r o n 余，得出了一些较好的 结论，探讨了非负分块矩阵谱半径的估计式，并且猜测出非负矩阵一列单调递增 下界和一列单调递减上界；通过相似对角变换与g c r s c h g o r i n 定理并且引进一个参 数，改进了f u j i a nd u a n , k e c u nz h a n g 的结果，得到了一系列非负矩阵谱半径的上 界；利用矩阵的特征值和对应的特征向量的关系，得到了非负矩阵谱半径的估计 式。 关键词：非负矩阵，p c r r o n 根，p o r r o n 余 a b s t r a c t a b s t r a c t m a t r i xi sa l li m p o r t a n tc o n c e p ti nm o d e mm a t h e m a t i c s ，t h et h e o r i e sa n dm e t h o d s o fw h i c hd e a lw i t hs om a n yc o m p l i c a t e dp r o b l e mi nr e a la p p l i c a t i o n s m a t r i xw i t h m e r i t so fc o n c i s ee x p r e s s i o n sa n dc o m p r e h e n s i v ed e s c r i p t i o n s ，e t c ，h a sb e c o m eav e r y i m p o r t a n tm a t h e m a t i c a lt o o li nc o p m gw i t hm a t h e m a t i c a lp r o b l e m sa n di nt h ef i e l do f e n g i n e e r i n ga n dt e c h n o l o g y t h e o r yo fm a t r i xi sa v i t a lm a t h e m a t i c a lt h e o r y p l e n t yo fp r a c t i c a lp r o b l e m so f t e n r e d u c et oo n eo raf e wl a r g e - s c a l es y s t e m so fm a t r i x ( n o n n e g a t i v em a t r i x ) a tl a s t n o n n e g a t i v em a t r i xi s ae m e i a lc l a s so fm a t r i xi nt h e o r yo fm a t r i x r e s e a r c ho f n o n n e g a t i v em a t r i xh a sb e e nc o n t i n u e da n dt h er e s e a r c ho ft h es o l u t i o n so ft h e e i g e n v a l u e so fn o n n e g a t i v em a t r i xa n dt h e i re s t i m a t e si sm o m e n t o u ss u b j e c ti nt h e r e s e a r c hf i e l d so fm a t r i xa n a l y s i sa n dn u m e r i c a la l g e b r a m e a n w h i l e ，t h ee s t i m a t e so f p e r r o nr o o ta n dr e s e a r c ho fp e r r o nc o m p l e m e n to fn o n n e g a t i v em a t r i xh a v eb e e n t h o u g h tm o r ea n dm o r eb yaf e wp r a c t i t i o n e r s b a s e do nt h ew i d ea p p l i c a t i o n so ft h e e s t i m a t e so ft h es p e c t r u mo fn o n n e g a t i v em a t r i xi ns om a n yf i e l d s ，e s p e c i a l l yt h e e s t i m a t e so f t h eu p p e ra n dl o w e rb o u n d so f p e r r o nr o o t t h i sp a p e rm a i n l yh a sa ni n v e s t i g a t i o ni nt h ee s t i m a t e so fp c r r o nr o o ta n dp e r r o n c o m p l e m e n to fn o n n e g a t i v em a t r i x , o b t a i n i n gaf e wb e t t e rc o n c l u s i o n s d i s c u s s i o no f t h ee s t i m a t ee x p r e s s i o n so ft h es p e c t r u mr a d i u so fb l o c kn o n n e g a t i v em a t r i x ，t h eg u e s s c o n c l u s i o n so fw h i c hi m p r o v et h ec l a s s i c a lf r o b e n i u sr e s u l t s ，f o l l o w e db yas e r i e so f m o n o t o n ei n c r e a s i n gl o w e rb o u n d sa n das e r i e so fm o n o t o n ed e c r e a s i n gu p p e rb o u n d s o nn o r m e g a t i v em a t r i x i m p r o v e m e n to ft h er e s u l t so b t a i n e db yf u j i a nd u a n , k e c u n z h a n gb ym e a n so fs i m i l a rd i a g o n a l i z a t i o nt r a n s f o r m a t i o na n dg e r s c h g o r i nt h e o r yw i t h ap a r a m e t e ri n t r o d u c e d ，o b t a i n i n gas e r i e so fu p p e rb o u n d so ft h es p e c t r u mr a d i u so f n o n n e g a t i v em a t r i x b a s e do nt h ep r o p e r t yo ft h e c h a r a c t e r i s t i cr o o ta n dt h e c o r r e s p o n d i n gc h a r a c t e r i s t i cv e c t o r , n e wb o u n d so ft h es p e c t r a lr a d i u sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：n o n n e g a t i v em a t r i c e s ，p e r r o nr o o t , p e r r o nc o m p l e m e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：塑型日期：肿寸莎年s 肘日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使甩学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：兰卿导师签名：差矬 日期：秒侈年乒吻日 第一章绪论 1 1 选题背景 第一章绪论 随着科技的发展和进步，新的数学理论日趋成熟，新的数学方法层出不穷， 在解决科技生产中的实际问题上越发显出它的勃勃生机。矩阵理论与方法作为数 学的一个重要分支，矩阵计算的理论和方法与方程组的求解是矩阵理论的一个重 要方向，在处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。在工程技术中引进 矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一 点是不容置疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用 开辟了广阔的前景，也使工程技术的研究发生了新的变化，开拓了崭新的研究途 径，例如系统工程，优化方法，稳定性理论等，无不与矩阵理论发生紧密结合。 因此矩阵的理论与方法已成为研究现代工程技术的数学基础。 非负矩阵理论是研究元素非负的实矩阵的理论，它起源于由p e r r o n 发现，后 来由f r o b e n i u s 发展的关于非负矩阵谱半径的一个优美结果，自此以后，a b r a u e r , 0 t a u s s k y , r s v a r g a , a o s t r o w s k i 等人的卓越的工作，已形成了比较完美的理论。 非负矩阵的理论在各类矩阵的谱分析中有着广泛的应用，它与数值分析，经济数 学，概率论，组合数学和控制论等学科有着密切联系，尤其是对马尔可夫链理论， 偏微分方程数值解的一般理论的应用，一直是人们关注的课题。 特征值的估计无论在数学本身或在应用科学中都很重要，例如在线性方程组 的迭代法中讨论解的敛散性时，就要估计线性方程组的系数矩阵的特征值是否都 在复平面上的原点为中心的单位圆内；在微分方程的稳定性理论中，要估计矩阵 的特征值是否有负的实部，即表示特征值的点是否在复平面的左半平面上；在差 分方法的稳定性理论，自动控制理论中都要求估计矩阵的特征值是否在复平面上 的某一确定的区域内。另一方面，计算矩阵的特征值的模或表示特征值的点之位 置作出大致的估计，无不需求出特征值，这时特征值的估计问题就更加重要了。 非负矩阵理论中谱半径的界值估计是该理论的核心问题之一，如果上下界能 表示为矩阵元素的易于计算的函数，那么这种估计的价值更高，而非负矩阵的谱 半径是著名的p e r r o n f r o b e n i u s 定理的主要内容，由于非负矩阵谱半径问题在很 多学科中的广泛的应用，所以p e r r o n 根的研究和p e r r o n 余的研究现在越来越受 电子科技大学硕士学位论文 到一些学者的青睐。 1 2 非负矩阵简述 定义1 2 1 n 1 设彳= ( 吻) r ，刀= ( ) r 一，记 b 0 如果所有0 ， b 0 如果所有岛 o ， a b 如果彳一b 0 ， a b 如果4 一b 0 ， 若a 0 ，则称4 为非负矩阵；若a 0 ，则称么为正矩阵。 定理1 2 1 1 1 设么，b r ，若i a i 0 定理1 2 4 4 1 ( p e r r o n - f r o b e n i u s ) 设a = ( ) 脚o 为不可约矩阵，则 ( 1 ) 有个正特征值，= p ( a ) ； ( 2 ) 相应于以么) 存在一个特征向量x o ； ( 3 ) p ( a ) 随彳的任一元素之增加而增加； 2 第一章绪论 ( 4 ) 反d 是彳的单重特征值。 定理1 2 5 h 1 设彳= ( ) 0 为不可约矩阵，其特征值为五，五，五+ ，以， 其中a = 从彳) ，i 五l = = l 五i = 从么) 。则下述各点成立： ( 1 ) 若劬，q 为k 个相异的单位根，则有元，= 众4 ) 国，l 歹七； ( 2 ) 当复平面绕原点旋转2 磋角时，复平面上的力个点五，以； ( 3 ) 若k 1 ，则有r t 阶置换阵使得p a p r 分块为 0 4 ： 0 o oo 4 l 0 0 0 乞3 0 04 一陆 00 其中对角子阵皆是零方阵。 定理1 2 6 1 设4 = ( 吻) 。砌o ，则 ( 1 ) p ( a ) 是彳的一个特征值； ( 2 ) 相应于从4 ) 的特征向量x 0 ； ( 3 ) 当彳的任一元素增加时，烈田不减少。 1 3 本文主要研究工作 本文介绍了非负矩阵p e r r o n 根与p e r r o n 余的发展现状，改进了p e r r o n 根的相 关结果，从d e u t s c h 给出的非负分块矩阵谱半径的估计式，改进了f r o b e n i u s 经典 结论，猜测出了非负矩阵的一系列单调递增的下界和一系列单调递减的上界；利 用相似对角变换与g e r s c h g o r i n 定理的推广较好的估计了p e r r o n 根的上界；最后应 用多项式矩阵得到了非负矩阵p e r r o n 根的一种估计。 电子科技大学硕士学位论文 第二章非负矩阵谱半径的研究 2 1 非负矩阵p e rr o n 根 对于非负矩阵谱的估计，主要是估计非负矩阵的谱半径，这一课题由 p c r r o n - f r o b e n i u s 开始的，时至今日仍是人们感兴趣的工作，谱半径是指矩阵的最 大的特征值，对非负矩阵来说，非负矩阵最大特征值就是p e r r o n 根，记为p ( 彳) 对 其发展，下面简要的予以说明。 2 2 非负矩阵p e r r o n 根的上下界 定理2 2 1 嗍( f r o b e n i l l s ) 如果非负矩阵彳= ( 嘞) 的行和分别为，i ，r 2 ，则 ，反彳) r ，( 2 一1 ) 其中广= m i n ，r = 叫n ，：，ie ，如果么是不可约矩阵，在式( 2 一1 ) 中有一边等 号成立当且仅当么的所有行和都相等。对于列和c l ，c 2 ，乞也有类似的结果。 h m i n c 把不等式应用到谱半径的估计中，得到一个非常优美的结果。 定理2 2 2 【6 1 设矩阵a = 略)o 具有正的行和五，吃，最大特征值p ( a ) ， 、7 ， 再 则 珥n c 号喜龟，从锄m e 昙喜，：x l i ns h u l i n 对f r o b e n i u s 与h m i n c 的结果做出了改进： 定理2 2 3 m 设彳= ( ) o 为咒刀矩阵，且有非零行和= 勖及非零列和 = l 勺= 呀，则有 平( 篙) 绷舯( 鬻儿 平( 篙) 洲) 峄( 智 4 第二章非负矩阵谱半径的研究 兵中m ，岔为正整数，且 熙叩( 鬻) 洲) 熙峄( 篙) 定理2 2 4 嘲设彳= ( ) o 为，l 歼矩阵，且有非零行和，；= 及非零列和 勺= ，则有 平鬻s 以田峄鬻，t ) 一， ( 矿) 7 其中b = ( ，+ 4 ) ，且 烛中鬻纠那嬲i 甲而r f ( a b k ) i 枷j ：) 一七一 ( ) 如果彳是正矩阵，有最大特征值以彳) ，最大行和r 和最小行和，l e d e t m a n n 提出如何决定正数p 。和魏，得，+ a p ( a ) r - p 2 成立的问题，获得如下结论： 定理2 2 5 p 1 设彳= ( 吩) 是正矩阵，有最大特征值从彳) ，最大行和r 和最小行 和，及p ( 国 r ，巧= 卿n ，则 1 ，e 咖( 去_ 1 ) 从今 p ( n r o 都存在以r ，r 和r 分别为最小元素，最大行和与最小行 和的正以阶矩阵，其谱半径取到b r a u e r 的上下界值。 定理2 2 7 t 1 设爿= f 1 是正矩阵，有最大特征值从彳) ，最大行和r 和最 、， 小行和h r l = u t m 鲫n a f 。 5 电子科技大学硕士学位论文 g = r - 2 r + 瓦、f r i 2 - 厂4 r ( r - r ) ， jil：-r+2r+rz+4r(r-r) 2 7 7 则 ，+ 刁( 一1 ) s p ( 锄s 月- r ( 1 一! ) 定理2 2 8 p 1 设a = ( )0 为不可约矩阵，x = “，屯，) r 是对应于夕( 彳) 、，n 一一 的正特征向量，最大行和r 和最小行和，记口：m 强量，则： 1 j x j 6 ；口， 等式成立的充要条件是，= r ，口= 1 。 7 0 年中期八b r a u e r 给出了非负矩阵谱半径的界的估计的阶段性成果： 定理2 2 9 4 l 设a = l lo 为不可约矩阵，记 、 ，p 4 x l f m ( f ，d = 三 + + 【( + 吆) 2 + 4 人；人，】i 1 ) ， i j ，其中a = 吻，l m a x m + ( f ，j ) 1 j 1 9 8 4 年n w对于一类满足特殊条件的非负矩阵的特征值给出一个kvharenko 6 第二章非负矩阵谱半径的研究 重要小等式。 定理2 2 1 1 n 2 1 设彳= ( 勺) 为n x 刀矩阵， t r ( a ) - a = o ， 4 = ( a i i a 2 1 一) o ， 那么彳至少存在一对共轭复特征值五= g 破且满足畋+ 三r t 4 。 1 9 8 8 年，数学家t o m a s zs c u l e 根据n w k v h a r e n k o 得到的不等式对玎阶非负 矩阵p e r t o n 根的界的估计得到一个很好的结果。 定理2 2 1 2 呻1 设么= ( ) 为玎狂矩阵，则 以彳) 叩 a - i - 卜3 的奇麴 此定理比以前的结果都有了很大的改进，t o m a s zs e t t l e 在1 年后，他所得到的 结果又进行了改进得到下面定理。 定理2 2 1 3 n 4 1 设彳= ( 口旷) 为疗咒矩阵，设存在一对 ，j ) 满足( 一) o ， m = 幽k m i n ，吣鼢蛩) ， 万= 曲k 珊，+ 地 ，弘咖沁珊 嘞| ，+ 朋j 那么矩阵彳的p e r r o n 根满足： p ( 彳) 石+ k - 2 丢乃( ( 么一科) ， 以 、 卜奇麴。 国内学者卢琳璋对p e r t o n 根界的估计也做了不少工作，得到了不少好的结果， 7 一、户 画磊一慨i 一景 l 文麴周徽叫 为r弋 瞰 一粗 m 电子科技大学硕士学位论文 他引用了t o m a s zs z u l c 对矩阵做近似变换的方法，对某些满足特殊条件的矩阵的 p e r r o n 根做了好的估计。 定理2 2 1 4 n 5 1 a = ( 口矿) o 为疗，l 矩阵，n 0 ，假设存在一下标对( 七，s ) ，使 ( a 殷- a 船) a l b o ，r k 一 o ， 令= 警溉 劫，d = r k - a s s - m a 。, , 脯任瓤，z 鲫以下不等式 成立： 以彳) m a x r , 棚正m 用a x l 、r 。一哟。 ， 若将条件再加强些会得到更好的结果，若将条件再加强一些会得到更好的 结果，假设矩阵彳除满足上述条件外，且对任意的歹厂= ，i = 厂眦 ， o ， 那么对于上述则存在0 m m o ， 剐) 5 一 臀k 一m m 归i n a 钏i i o ，那对上述埘，p ( 么) r 眦一m 熙，对于p e 玎o n 根下界也得到类似的结论如下： 定理2 2 1 5 1 1 5 1 么= ( ) o 为阼，z 矩阵，n o ，假设存在一下标对( 后，s ) ，使 ( 一) 口b o ，气一 o ， 令： 警蛾 黜，帆一一帆删舱瓤m 鲫以下不等式 成立： p ( 么) m i n r ，一以m ，对i n l 、r ，, + 畔。) ， 若对任意的j f 万= 歹l 乃= j ，口如 o ，则存在o 埘 0 ，则对上述掰， 尸( 彳) + m 罂噪 定理2 2 1 6 n 6 1 设4 = ( ) o 为，l ，z 矩阵，b = 似+ 口，) ”1 ，位 o ) ，则对任 第二章非负矩阵谱半径的研究 乎( 智砖删峄( 智定 叩c 智丸删峄( 鬻声 且有 烛p 胬三以郇l i r am a x ( r , 例( - 4 8 * ) 声 定理2 2 1 7 孵设彳= ( 勺) o 为刀力矩阵，则 呼( 遗以彳) 警) t ltj 。 定理2 2 1 8 邮1 设彳= ( 乃) o 为刀刀矩阵，m = 2 ( 七 ) ，记= ( 吻m ) 且 a “的f 行行和与歹列列和记为叭和矿，则有 呼娥m ) c 夕) 去s 反么) sm j a x ( r ”) c j ( 趣) 寺； ，歹 其中正整数k ，且 l i r ar a u i n ( r o ) 以“么) 熙学( ) 寺 2 3 非负分块矩阵p e r r o n 根 下面介绍d e u t s c h 于1 9 8 1 年给出的非负分块矩阵谱半径的估计式，其中的结 果改进了f r o b c n i u s 所给出的经典结论。 设么= 口。 o 分块如下 、 v，x f4 4 ：以 么一i 4 - 厶如 4 4 ：如 ( 2 2 ) 七 其中鸣为吩阶方阵，强= ，l ，1 f 尼。既与乃分别表示鸟最小行和与最大行和， t = 1 1 l ，j k ，又记 联彳) = ( 日) t 娃，烈彳) = ( 劬) t 。t ( 2 - 3 ) 9 电子科技大学硕士学位论文 定理2 3 1 【4 1 设彳= k ，)0 为不可约矩阵，么分块( 2 2 ) 式，尸( 彳) 与q ( 么) 如 、 7，x ( 2 3 ) 式所记，则 烈尸( 么) ) 夕( 么) p ( q c a ) ) ， 定理2 3 2 州设彳= ( 口 f ) o 为具有分块形式( 2 - 2 ) 的不可约矩阵，p ( 彳) 与 q ( a ) 女1 1 ( 2 3 ) 式所记，则 彳) = q ( 御，即反国= 以国= 烈么) ， 或者 以御 p ( 么) q ( 彳) 猜测1 是否存在彳= ( 吩) 。期o 矩阵，有 气五磊s p ( a ) ， ( 2 - 4 ) 且熙以= p ( 彳) ，其中以= p ( 只”r 。 猜测2 是否存在彳= ( ) 。o 矩阵，有 p ( 彳) 4 4 a o ，( 2 5 ) r 1 i m 4 = p ( 彳) ，其中或= p ( q ( a ，) ) 2 一。 注2 1 我们可以任意给出一个矩阵 划分矩阵彳： 即 a = a ：= l 1 12 5 4 23 2 3 3 3 11 6 5 l 1 ； 23 l2；33 54111 2 3 i 6 5 彳= 没如a 1 2 ) 1 0 第二章非负矩阵谱半径的研究 其中 4 。= ( ：三) ；4 ：= ( 量三) ；4 。= ( 主三) ；4 尥= c ： 我们可以通过上述定义的得到p ( a ) 和q ( 爿) ，有 p c 彳，= ( 茎主) ，q c 彳，= ( 三二) ， 通过( 2 4 ) 和( 2 5 ) 得： 表2 1 f 下界上界 l9 6 5 7 51 2 。1 5 4 1 21 0 3 6 9 51 1 5 7 3 9 31 0 6 9 0 0 1 1 2 9 3 5 4 1 0 8 5 4 01 1 1 5 6 2 51 0 9 3 6 9 1 1 0 8 8 l 61 0 9 7 8 61 1 0 5 4 3 实际上，反a ) = i i 0 2 0 5 ，上表说明了一系列单调递减上界4 和一系列单调 递增下界名是有可能存在的，p ( 田和q ( 么) 所构造的函数列也许是有效的，但是还 需要理论上的证明求证。 2 4 非负矩阵p e r r o n 根上下界序列 1 9 9 3 年数学家k o l o t i l i n a 将非对称矩阵对称化，处理后，再对它的p c r r o n 根 进行估计，所谓把非对称矩阵对称化就是指，设彳为n x n 阶非负矩阵，那么我们 可以得到一个矩阵s ( 么) = ( 吩) ，其中s o = 口，f ，显然，s ( 4 ) 为对称矩阵，我们 有p ( s ( 么) ) p ( 彳) 的关系，从而对户( s ( 彳) ) 进行估计来对原来非负矩阵的p ( a ) 进 行估计。 1 9 6 6 年y a m a m o t o 得到下面重要定理： 电子科技大学硕士学位论文 则 定理2 4 1 【1 s 1 设彳= ( 吻) 为万，z 矩阵，7 ( 却= 乎嘉，儿y ( 彳矿) 2 ，则 y o 乃以从彳) k o l o t i l i n a 也z 。，i 0 下面的重要定理。 定理2 4 2 0 9 i 发彳：( 口 ) 为甩，z 矩阵，q ：r s ( 么) e 以 2 - h ，其，= ( 1 ，1 1 ) ， s o 毛以彳) d a n i e lb s z y l d 也得到了一个很好的估计： 定理2 4 3 冽设彳：( 勺) 为挖冠矩阵，p , - - r p ( 么2 ) 2 一，则可以得到： 岛只珐从川 注2 2 ：当s ( 么2 ) 是( 行) 随机矩阵时，此时有& = 反。 定理2 4 4 设4 ：( ) 为，z h 矩阵，m ( 4 ) ：竺，令吒： ，( m ( 4 2 ) ) 2 ， k n ，有 q 呸嚷p ( a ) 。 众所周知，通过对角变换来估计非负不可约矩阵p c r r o n 根的方法很多，但是 还是基于： 4 = a ， 4 l + l = 研1 以，其中疗n ， 乜= d i a g ( 凹，露) ，钟，d 。n r + ， 由于相似矩阵具有相同的特征值，我们只要适当的改变见中对角元的数值，通过 有限次的迭代，就可以达到预期的目的。也就是说钟广，的取法是问题的关键 所在，影响着迭代次数和效果。 定理2 4 5 心2 1 设彳_ 4 = ) o 为刀珂不可约矩阵，最大行和r o 和最小行和 ，。，我们可以取掣= o ，i = 1 ，2 ，万，d o = 幽昭( 钟，钟) ，4 + 。= d r l 4 q ， ，_ i 假设，o p ( a ) 。 定理2 5 3 t 2 6 1 设矩阵彳是咒以阶非负不可约矩阵，其谱半径为反彳) ，真子集 合口c ，口，拧 k ，则矩阵么的主子矩阵4 口】的p e r r o n 余, p t ( a a a ) 为不可约矩阵。 于是卢琳璋给出了重要定理： 定理2 5 4 t 2 7 1 设4 为n 阶非负不可约矩阵，则 f p ( 4 ) p ( 肛( 彳1 4 口】) ) = 以彳) ，f = p ( 彳) ， i 从4 ) ，p ( a t a l ) ，l 血，那么我们则应 该原则此类口( 或= n i 口) 使 m a x z 黟。( 彳) ，r 眦( 4 口 ) j 0 ， 此时，以彳) r a i n t o ，z t o ，口) ，血。 定理2 5 7 汹1 设a 为n 阶非负不可约矩阵矗3 ，且厂雠 ，血，若先取口使 m 朋i n o ( 么) 警，：f ( 么) ，取气使 t o m a x r j ( a ) ，则 p ( a ) - m a x t o ，乏o ，口 r 血，若取 口( = 口) 和气，满足 m a x m a x 5 ( a ) ，( 彳【口p ) 唑( 彳) ，r 血( 彳口p o ， 1 4 第二章非负矩阵谱半径的研究 和 则： 懈 嘴_ ( 彳) ，k ( 牛p ) 气 疵 r 眦( 4 ) ，唑删) ， ( 么) m i n t o ，z ( t o ，口) ) 从彳) m a x 岛，z ( t o ，口) ) k ( 彳) 1 5 电子科技大学硕士学位论文 3 1 引言 第三章非负矩阵p e r r o n 根的上界 本章给出了非负矩阵p e r r o n 根的一系列优化上界，通过相似对角变换与 g e r s c h g o r i n 定理较好的估计了p e r r o n 根的上界。 设a 是n 阶非负方阵，它的谱半径p ( a ) ( 即p e r r o n 根) ，如果非负矩阵 彳= ( ) 。的行和分别为，i ，r 2 ，：i ，则 ，p ( 彳) r ，( 3 - 1 ) 其中r = m i n r ，r = m 野，：，fe ，如果a 是不可约矩阵，则在式( 3 1 ) 中有一 边等号成立当且仅当么的所有行和都相等。对于列和c l ，乞，c 也有类似( 3 1 ) 的结 果。 设矩阵么= ( 吻i 。2 0 具有正的行和，r z ，：l ，则 m l 。姒i 1 荟n ) p ( 印峄( 吾喜，；) ( 3 - 2 ) 同理，列和c l ，c 2 ，q 也有类似( 3 - 2 ) 结果。 3 2 主要结果 通过相似对角变换的方法来估计非负矩阵的最大特征值，即 4 = a ， 4 + 。= 研1 4 砬，其中k = l ，l ， d k = d i a g ( d ? ，d ：，d ：、d ：，d ；，d k ，融 对于一个菲负矩阵a = 以= ( 口? l ，我们令 、 7 ，群一 刃= ( 西) 。( 口；) h ， j = l产l s 为参数，且0 j 1 ，i = 1 ，l ，a , o 的最大值记为严，即 1 6 第三章非负矩阵p e r r o n 根的上界 ，2 甲( 萎) ( j = l 矿 引理3 , 2 1 m 设彳= ( ) ”，j 【o ，l 】，则 烈a ) m 蟊l + 霹c ： 1 ( 3 - 3 ) 弓l 理3 2 2 t 1 g = 主蚓。 j = l 设么= 气= ( x 。为菲负矩阵，贝l j 反么) ，( 3 4 ) 注3 1 当日+ ，式子从a ) 尸也成立。 引理3 2 3 t 1 1 设矿和r 为非负实数，0 口s 1 ，则 l a c y 一a a t + ( 1 一a ) a 引理3 2 4 嘲设彳= ( ) 期，o 口l ，则么的特征值位于如下并集之中 u z 一i 啦+ o - a ) q 由引理3 2 3 即得 ( 噶) 5 ( ) s ( 瞄) + ( 1 一j ) ( 嵋) ， ，= l，= l，= i盘i 则 m ( 否丐) ( 丢略) 卜5 呼n p ( j = t 剪) + ( 1 一j ) ( j = l ) 】， 令 伊= 喇s ( 蝣) + ( 1 5 ) ( 略) 】 。 j = ll = l 如果a 为对称矩阵，参数s ( 0 s 1 ) 没有实际意义，此种情况归为文，本 文主要讨论彳为非对称矩阵，通过对角变换的方法来建立一个迭代过程，即 4 = a ， 4 + l = 缉1 4 b ，d o = d i a g ( d o z ，霹，刃) ，k = 1 靠 1 7 。詈 l i 墨 中其 电子科技大学硕士学位论文 其中刃= ( ) 5 ( ) h ，s 为参数，h0 s 0 分别为彳和么r 对应于反么) 的特征向量，且z x , - - 1 ，咒- - 1 。 b ”z = ( 从彳) + 口) “一1 x ， ( a b ) ”x = a ”b ”x = p 8 ( 锄( p ( 么) + 口) m ( n - d x ， 由引理4 2 1 可得 ( 以彳) + 口) r e ( n - 1 ) z x , = 毛，；4 ) ， 于是 由引理4 2 2 得 p ”( 么) ( p ( 彳) + 口) r e ( n - t ) 五- - z t ，；( 么“b “) ， i = 1 1 = 1 ( p ( 么) + 口) o 圳= ( 曰“) ， f # l 矿( 彳) ( 以彳) + 口) ”一1 = 薯( 彳“b “) ， 以舻端警= 鬻， 第四章非负矩阵p e r r o n 根的界 叩絮署中焉署s c 郇峄焉署峄等署 r ，；( 口”) ， 五，；( b ”) 、7 z 玉，；( 曰”) r _ ，：( b “) 故( 4 - 2 ) 式得证，同理可证( 4 - 3 ) 式。 定理4 2 2 设么= ( ) 。非负不可约矩阵，令墨= ( 彳+ q ，) 川，岛= ( 彳+ 口：，) 川， 对任意正整数m ，有 叩c 篙学砖朋，峄篙铲声 h q 平( 糍铲) 砉从锄峄错) 吉 ( 4 _ 5 ) 证与定理4 2 1 证明过程类似。 定理4 2 3 设a = k ，l 非负不可约矩阵，令b = ( 么+ ，) ”1 ，对任意正整数限， 、，x 有 平( 等) 刍纠呼( 觜) 刍， t 、，：”) 7 一 j 、，；( 丑”) 。 叩( 筹) 去纠郇叩( 错) 去r 、q ( 曰“) 7 、 ； 、g ( 曰“) 。 证与定理4 2 1 证明过程类似，取口= 1 即可。 4 3 数值例子 4 艏 ， 由定理4 2 2 ，取q = 2 ，吃= 3 ，珑= 2 ，则p ( 彳) 的各种界值如下： 表4 1 ( f f 和) 下界 上界 f r o b e n i u s48 _ l i n c5 6 2 5 ( 4 6 ) ( 4 - 7 ) 电子科技大学硕士学位论文 l e d e r m a n n4 1 5 4 7 7 8 6 6 1 0 s t r o w s k i4 5 2 7 57 6 5 4 7 b r a u e r 4 8 2 8 47 4 6 4 2 ( 4 - 2 ) 5 7 2 0 85 7 6 7 1 ( 4 - 4 ) 5 7 4 0 75 7 4 2 8 表4 - 2 ( 列和) 下界 上界 f r o b e n i u s57 m i n c 5 65 8 5 7 2 l e d e r m a n n 5 0 8 0 06 9 2 5 9 0 s t r o w s k i5 2 2 4 76 8 1 6 5 b r a u e r5 3 7 2 2 6 7 0 1 6 ( 4 - 3 )5 7 3 0 35 7 5 3 3 ( 4 - 5 ) 5 7 4 1 25 7 4 2 2 实际上，从a ) = 5 7 4 1 6 5 7 3 8 ，从上表可以看出定理4 2 1 和定理4 2 2 结果 比较精确。 2 4 致谢 致谢 首先，衷心的感谢导师黄廷祝教授三年来对我的谆谆教诲和辛勤培养