（应用数学专业论文）渐近周期的logistic方程.pdfVIP

摘要 f 、 i 众所周知，1 8 3 8 年p f v e r h u l s t 与a l jq u e t e l e t 提出了经典的 l o g i 轴c 模型，1 9 9 3 年t g h a l l a m 和c ec l a r k 修改了经典的l o g i s t i c 方 程近些年来，许多专家和学者对l o g i s t i c 方程中的两个参数：内禀增长率 r 和环境的最大容纳量k 从不同方面进行完善尽管l o g i s t i c 模型还远不够 精细，但是直到一百多年后的今天，它仍是种群生态学中的一个重要的而 且被广泛应用的模型尤其是近二十多年来，在自治系统与非自治系统中 有关有限时滞型，无限时滞型，中立型，离散型。扩散型，离散时滞型，广 义型，差分型l o g i s t i c 方程的最优捕获策略，振动性，周期解，概周期解， 渐近性态，全局性态等方向进行了各方面的研究，可参见文献1 1 - 6 ，【1 0 - 1 8 ， 【2 0 3 1 】，【3 4 】其中在有关l o g i s t i c 方程的两个重要参数r ，k 是周期函数和概 周期函数方面，近期已经有学者对此进行了广泛的研究文【l 】得出，在适 当的条件下，存在唯一一个周期为t 的全局渐近稳定的周期解，并给出周 期解的具体表达式文 2 】i 【3 】分别给出周期解的全局吸引性y 目前，据作者所知，在r ，k 是渐近周期函数方面，l o g i s t i c 方程的结果 却相对很少，文献【3 2 ，3 3 】所讨论的系统参数r ，k 不仅是与时间t 有关，而 且是渐近接近于周期函数的文献1 1 4 给出了在适当的条件下，三种群竞 争系统中，渐近系统的所有正解渐近于周期系统的唯周期解因而，为 了更好地刻划客观世界，我们需要用更加符合客观实际的函数来描述生物 种群的变化，于是作者对l o g i s t i c 方程的两个重要的参数r ( t ) ，k ( t ) 分别是 渐近周期函数时，研究渐近周期l o g i s t i c 方程的渐近周期解，并且得到了解 的存在性，唯一性，全局吸引性等一些良好的性质并在此基础上，进一步 研究渐近周期函数所构成的空间，相应的得到渐近周期函数空间是b a n a c h 空间而且把结论推广到高维空间，也会得到渐近周期函数空间是b a n a c h 空间 本文的具体安排如下；第二节给出渐近周期解存在唯一性和全局吸引 性；第三节证明了在某些适当的条件下，逝近臣勰函数的性质；第四，五节 分别证明了在一维和高维下，渐近周期函数空间是量普錾j 窑图 关键词： 渐近周期，l o g i s t i c 方程 a b s t r a c t i tw a sk n o w nt oa l lt h a tp f v e r h u l s ta n da l j q u e t e l e tw h op r o p o s e d t h ec l a s s i c a ll o g i s t i cm o d e li n1 8 3 8 ，a n dt h e ntg h a l l a ma n dc e c l a r k m e n d e dt h ec l a s s i c a ll o g i s t i cm o d e li n1 9 9 3 a n da f t e rt h a t ，m a n ye x p e r t sa n d s c h o l a r sh a ds t u d i e dt h ei n t r i n s i cg r o w t hr a t ea n dc a r r y i n gc a p a b i l i t y ，w h i c h w e r et w oi m p o r t a n ti n d e x e sa b o u tl o g i s t i ce q u a t i o n n e v e r t h e l e s s ，t h el o g i s t i c e q u a t i o nw a sn o tf a rf r o mp r e c i s e ，b u ta f t e rah u n d e r dy e a r s ，i tw a ss t i l la n i m p o r t a n ta n dw i d e l ya p p l i e dm o d e l i ne c o l o g y e s p e c i a l l yi nr e c e n ts c o r ey e a r s ， i na u t o n o m o u sa n dn o n a u t o n o l n o u ss y s t e m s ，t h en e u t r a l ，f i n i t e - d e l a y ，i n f i n i t e - d e l a y , d i f f u s i v e ，d i s c r e t e ，d i s c r e t e - d e l a y , g e n e r a l i z e d ，d i f f e r e n c ea n do t h e rs t y l e m o d e l sw e r ed i s c u s s e do n o p t i m a lh a r v e s t i n g ，o s i u a t i o n ，s t a b i l i t y ，g l o b a ls t a b i l i t y ， a n do t h e ra s m p t o t i cb e h a v i o r so fl o g i s t i ce q u a t i o n r e f e r e n c ew e r es e a r c h e d i n t 6 】，【1 0 - 1 8 1 ，1 2 0 - 3 q ，【3 4 1 t h ep e r i o d i ca n da l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o nl o g i s t i c e q u a t i o n ，w h i c ha r ew i d e l ys t u d i e dr e c e n t l y , t h er e s u l t sa b o u tt h ea b o v e a r ef o u n d o nm a n yk i n d so fm a g a z i n e s t h ea r t i c l e 【l 】1h a sau n i q u ep e r i o d i cs o l u t i o n ，w h i c h i s g l o b a l l ya s m p t o t i cs t a b l ep e r i o d i cs o l u t i o nw i t hp e r i o dt t h ee x p r e s s i o ni s o b t a i n e di n 1 a n dw eg e tg l o b a la t t r a c t i v i t yi nt h ea r t i c l e 【2 】，f 3 】 w i t h i nt h ea u t h o r sk n o w l e d g e ，r e c e n t l y , t h er e s u l t sa r ef e wa b o u tt h ea s m p - t o t i cl o g i s t i ce q u a t i o n t h ea r t i c l e s ， 3 2 3 3 】d i s c u s st h el o g i s t i ce q u a t i o n ，i n w h i c ht h et w oi m p o r t a n ti n d e x e sr ( t ) a n dk ( t ) a r en o to n l yd e p e n d e n to nt ，b u t a l s oa s m p t o t i c a l l yt e n dt op e r i o d i cf u n c t i o n i na r t i c l ef 1 4 ，a b o u tt h et h r e e - s p e c i e sc o m p e t i t i o ns y s t e m ，u n d e rm o d e r a t ec o n d i t i o n s ，a l la 3 m p t o t i cp e r i o d i c s o l u t i o n st e n dt oau n i q u ep e r i o d i cs o l u t i o no nag i v e ns y s t e m t h e r e f o r e ，w e n e e dn m r ec o n c r e t ef u n c t i o nt ob e t t e rd i s c r i b et h ev a r i a t i o no fs o m eb i o l o g i c a l d o p u l a t i o n si no u rr e a lw o r l d t h et w oi m p o r t a n ti n d e x e sr ( t ) a n dk ( t ) o f l o g i s t i ce q u a t i o na r ea s m p t o t i cp e r i o d i cf u n c t i o n ，a n dd i s c u s s e db y a u t h o r t h e a s m p t o t i cs o l u t i o no f t h ea s m p t o t i cp e r i o d i cl o g i s t i cf u n c t i o n i so b t a i n e d s o m e g o o dp r o p e r t i e s ，s u c ha s ，e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，g l o b a la t t r a c t i v i t ya r e d i s c u s s e d t h e p r o p e r t i e so fa s m p t o t i cp e r i o d i c f u n c t i o na n dt h ea s m p t o t i cp e r i o d i cf u n c t i o n s p a c ea r es t u d i e d ，a c c o r d i n g l y ，w eh a v e ，t h ea s m p t o t i cp e r i o d i cf u n c t i o ns p a c ei s b a n a c hs p a c e a n dt h e n ，m u l t i p l e - d i m e n t i o na s m p t o t i cp e r i o d i cf u n c t i o ns p a c e i ss t i l lb a n a c hs p a c e t h ea r r a n g e m e n to ft h ea r t i c l ei s ：i nt h es e c o n ds e c t i o nt h ep r o p e r t i e so f e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，g l o b a la t t r a c t i v i t ya r ed i s c u s s e d ；i nt h et h i r ds e c t i o n ，t h e p r o p e r t i e so fa s m p t o t i cp e r i o d i cf u n c t i o na r ep r o v e d ；i nt h ef o u r t ha n d t h ef i f t h s e c t i o n ，o no n ed i m e n t i o na n dm u l t i p l e - d i m e n t i o n ，a s m p t o t i ep e r i o d i cf u n c t i o n s p a c ea r eb a n a c hs p a c e k e yw o r d s ：a s m p t o t i cp e r i o d ，l o g i s t i cf u n c t i o n i n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：童显鱼匙日期：绝曼：兰：1 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文 的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范 大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) l- 判划汶作苦签名：丛鱼蠡指尉臌：兰也 日 舰缝堇：驾 日 飙毫! ! 圭：墨掣 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：点a 1 5 1 碴逢盎盗电话：! 垒l = 笪丝量p 通讯地址：盎韭l 曼整厶盘i 垃鑫! ! 鞠邮编：曼丝墨垒 1 引言 自1 8 3 8 年，p f v e r h u l s t 在他的同事a l j q u e t e l e t 所提出的增 长阻抗的概念的启发下提出来著名的l o g i s t i c 方程以来，l o g i s t i c 方程一直 是许多学者研究的主要模型，该模型在种群生态学领域中被广泛应用，而 且起着重要的作用而l o g i s t i c 模型主要考察在资源有限的情况下，在某 一确定的环境内某一单种群的增长规律和定性性质以至有学者认为：从 某种程度上来看，l o g i s t i c 方程证实了种群增长和有限资源间的逻辑规律 ( l a c k ，1 9 6 6 ) 经典的l o g i s t i c 模型为： = r z 1 一a ( 1 1 ) 其中。是时刻t 时的种群的数量，即种群的规模，r 是某种群中个体的平 均出生率与平均死亡率之差，即种群的内禀增长率，k 是在某一个确定的 环境内某一单种群所能容纳的最大数量，即环境的最大容纳量模型( 1 1 ) 所反映的是最大容纳量为定常数时，种群规模将随t 的增大而慢慢达到饱 和状态，从而最终将进入平衡态z ( t ) = k 然而，当外界的某些条件或自身的某些因素发生改变时，内禀增长率 r 和环境的最大容纳量k 再也不是固定不便的常数了许多学者经过研究 发现，生物种群在天气的变化，环境的改变，噪音的影响，疾病的传播，天 敌的入侵，人为的干扰，温度的骤变等等诸多因素的单独影响或综合影响 下，种群的两个重要指标：内禀增长率r 和环境的最大容纳量k 是随t 的 不同而不同，也就是说，它们会是t 的函数，而研究的结果证明r 与k 是t 的函数时更为符合实际，也更能细致地刻划实际背景那么经典的l o g i s t i c 模型就变为： 坤) = r 刮卜器| 】 ( 1 2 ) 近些年来，许多学者对系统( 1 2 ) 在自治系统和非自治系统中的关于有 限时滞型，无限时滞型，中立型，离散型，扩散型，离散时滞型，广义型， 差分型等系统的有关最优捕获策略，振动性，周期解，概周期解，渐近性 态，全屙陛态等方向对l o g i s t i c 方程进行了各方面的研究，可参见文献t - 6 ， 1 0 1 8 ，【2 0 一3 1 ， 3 4 _ 其中在有关l o g i s t i c 方程的两个重要参数r ，k 是周期 系数和概周期系数方面，近期已经有学者对此进行了广泛的研究文f 1 1 得 出，在适当的条件下，存在唯一一个周期为t 的全局渐近稳定的周期解， 并给出周期解的具体表达式文 2 1 3 】分别给出周期解的全局吸引性 但是，在实际生活中，我们应该考虑到生物种群所面临的许多实际情 况例如季节的更替，环境的改变，温度的变化，疾病的传播，外来物的侵 入等都会影响到生物种群的增长的速度，使得生物种群的增长速度并不是 严格地遵守周期系统的增长规律，而是非常接近于周期系统的增长规律 据作者所知，在lk 是渐近周期函数方面，给出关于l o g i s t i c 方程的结果 却很少，文献f 3 2 ，3 3 j 所讨论的系统参数r ，k 不仅是与时间t 有关，而且是 渐近接近于周期函数的文献【1 4 】给出了在适当的条件下，三种群竞争系 统中，渐近系统的所有正解渐近于周期系统的唯一周期解 本文中作者将着眼于经典的非自治的l o g i s t i c 方程中的两个参数r ( t ) k ( t ) 都是渐近周期函数的情况下，l o g i s t i c 方程的渐近周期解的形态，以及 由此引出的对渐近周期函数及其构成空间的研究因而，为了更好地刻划 客观世界，我们需要用更加符合客观实际的函数来描述生物种群的变化， 于是我们引入渐近周期函数的概念 首先我们定义渐近周期函数： 若在r + 上的连续函数妒( t ) 满足 妒o ) = 庐( t ) + e 0 ) ， 其中9 ( t ) 为连续周期函数，e ( t ) _ 0o _ + + 。) 称妒( t ) 为渐近周期函数 我们用渐近周期的l o g i s t i c 方程描述某生物种群： 士( t ) = 【r ( t ) + 。( t ) 】。( t ) 1 一鼎】， ( 13 ) 其中r ( t ) ，k ( t ) 是连续的以t 为周期的正的周期函数，即 r ( t ) = r ( t + t ) 0 ，j r ( t ) = k ( t + t ) 0 ( t 0 ) ， 2 n ( ) ，卢( t ) 是满足n ( t ) _ 0 ，卢( t ) _ + 0 ( t - + 。) 的连续函数，而且从生 态学的意义来看要求下面的条件成立， k ( t ) 十卢( t ) 0 ，r ( t ) + n ( t ) 0 易见 - 2 i n 5 ( ) 7 ( 。) ；u ，p 。( 。) 2 r * 1 + = 理1 1 5k ( ) k ( 。) 茎铐u p o k ( 。) = + 可以证明k ( t ) + 卢( ) 扩 0 因为k ( t ) + 卢( t ) 0 ( t 0 ) 且是连续函数，所以对v m 0 ，k ( t ) + 卢( t ) 在 o ，m i 上连续，于是可以取到最小值，则蚝m h i n m 陋( 。) + 卢( 。) 】 o _ 由m 的任意性 i , n lr a i n ，畔( t ) + 1 3 ( t ) 0 ， m o t e h - 州。 。 不妨设麟。刮韵瞄( ) + 卢( ) 】= 扩，故有 k ( t ) + 卢( t ) 矿 0 由假设o ( t ) _ 0 ( t _ + o 。) 显然 理n 。f 。( 。) s 。( 。) ss ，u p 。( 。) ， 取 n = m a x 。i ! n 。f 。( 吼is 舢u p 。( 川 则对t 0 ， l o ( t ) 1 n r ( ) 是 o ，7 1 上的连续t 周期非负函数，对v t 0 ，3 m 0 ，有 i r ( t ) is m 同理可得， 0 0 ，使得 9 ( o ) m ， 又妒( t ) 是周期函数，即 庐( t ) = 庐 + n t ) = ：9 ( t 1 ) ，t 0 ，t 当n _ + o 。时，1 9 ( t 1 ) i = 9 ( t ) lsm ，所以，9 ( t ) 在r + 上是有界的 由于驴( t ) 在【0 ，t 】上连续，则庐( t ) 在【0 ，卅上一致连续又e ( t ) g ( r + ，置+ ) ，且e ( t ) _ 00 _ + + o 。) 所以e ( ) 在r + 上有界且一致连续从 而，妒( t ) 在r 十上有界且一致连续 设妒( t ) 除了( 2 1 ) 式以外还有分解式t f ，( t ) = 每( t ) 十4 t ) ，其中西( t ) 是周 期为t 的周期函数，s ( t ) _ 0 ( t _ + + 。o ) 于是，当t _ + o 。时， 妒( t ) + s ( t ) = 驴( t ) + e ( t ) ， 妒( t ) 一妒( t ) = e 0 ) 一s ( t ) _ + 0 因为9 ( # ) 一妒( ) 是周期函数，所以，庐( f ) i 妒( t ) ，从而( t ) is ( t ) 即妒( ) 的 分解式是唯一的证毕 定理2 1 若露a ( s ) a s _ + 0 ( t _ + 。o ) ，系统( 1 3 ) 存在唯一渐近周期解， 其周期解全局吸引渐近周期解 证明：周期系统( 1 2 ) 过( 0 ，x o ) ( x o 0 ) 的解设为z l ( t ) 方程( 12 ) 是 贝努力方程，z ( t ) = 0 显然是它的解 从生态学的角度来考虑，我们只对正解感兴趣，本文中，我们总是假 4 定z ( o ) = 知 0 ，那么容易知道周期系统的解z 1 ( ) 对所有t 0 总是正的 州炉 去唧 一肌s 冲) + f o t e x p 卜z 巾m 端如) 。 1 丽 渐近周期系统( 1 3 ) 过( 0 ，x o ) ( x o o ) 的解设为z 2 ( ) 渐近周期系统的解 z 2 ( t ) 对所有t 0 也是正的 吲t ) = ( 去e x p - z 。) + ) 】d 8 ) + o t e x p 一，【r 一) + a 盯) 】d r 揣d s 一1 l 丽 我们作差： i x l l 一9 2 【j i = l 赤一赤l = l 里! 盟二墨! 型i a ( t ) b ( t ) = 志怯e 时肌卅删d s ) 一壶唧卜0 t r d s ) + o te x p t 肌卅酬打，等赫鬻如 一z 刚小r ) d r 高d s f s j 币南酉 去e 印 一z 。r ( s ) 如) 【e x p 一0 t ( s ) d s ) + 唧f 一，。阶m p ) i d a 揣d s + 酬一，巾) d r 端d s ) 5 s 孤杀丽 去唧 一o 。r ( s ) 如) f e 坤( 一z 。a ( s ) d s 一- j + 协叶：俐t ，纠+ 伽小厶打，剖) 币品 f 去 e x p z ) d s ) 叫l + “唧c 刊h 肿s h 乏序nc 一抛s j ) = 丽蒜 l 去【e x 咖z 。如 叫i + 若唧( 仲叫) 幽 + 乏e x p ( 叫) 幽| ) = 丽南 匕【e x p 卜z o t o l d s 叫l + 菩1e x 咖( s 刮6 j + 乏水p ( r 山删5 f ) = 南南 b 【e x p 卜z 吣，d s 叫i + 杀f 1 - e x p ( 刊j + 最j t 唧c 刊b s 高油唧 一小班s ) - ， + 丢+ 最酬唰，+ 去+ 最唧c 刊 + 衰+ 芒苌8 x p ( 一* ) + 主蠹+ 麦景e x p ( 一n ) 因为从生态学的角度来看。l ( 句，z 2 ( t ) 都是正的才有意义，亦a ( t ) ，b ( t ) 也都是正的，所以这里并不影晌我们对上式的判断 于是，当露a ( s ) d s _ o ( t _ + o o ) 时， 卜卜z ) 嘲一t 卜。， e x p ( 一饥t ) 一0 ， e x p ( 一r 。t 1 一0 也就是说 茁1 “) 一士，“) 1 o f - 9 + o o ) 6 文【1 中给出的结论为： 若k ( t ) 0 且口r ( s ) d s 0 ，则周期函数的l o g i s t i c 方程( 1 2 ) 有唯一 一个正周期解，( t ) ，其表达式为： 柏= ( e x n 办s ) d s 一- ) ( ，h 丁带唧t 一，巾m d s ) “ 此外，x p ( t ) 对任何具有正初值。( o ) = 。o 0 的解x l ( t ) 是全局渐近稳 定的 t 三m t ) ，( t ) i = 0 在本文中总假设r ( t ) 0 ，显然仃r ( s ) d s 0 成立则有 t 占州t ) z p ( t ) l = 0 即v e 0 ，3 t 1 0 ，v t 乃，有 m ) - z p ( t ) l 0 ，j 如 0 ，v t 码，有 川t ) 一z 2 ( t ) i 0 ，s t = m a x 孔，t 2 ) ，v t t 有 i 。2 ( t ) 一x p ( t ) i = l z 2 ( t ) 。1 0 ) + 。1 ( t ) z p ( t ) i si z 2 ( t ) 一x l ( t ) l + i 。1 0 ) 一x p ( t ) l 0 的渐近周期解z 2 ( t ) ，按照前面给出的定义可知z 2 ( t ) 是渐近周期函数，且渐近周期解5 2 ( t ) 渐近趋近于周期解，( t ) ，即5 2 ( t ) 全局 渐近稳定于方程( 1 2 ) 的唯一的周期解z p ( t ) 也就是说，渐近周期的l o g i s t i c 方程的渐近周期解当时间趋于无穷的时候趋于所对应周期l o g i s t i c 方程的 周期解周期解x p ( t ) 全局吸引渐近周期解印( t ) 渐近周期解的唯一性由引 理31 可立即推出 。当i x 2 ( t ) 一矿( t ) j = 0 从生物学的角度来看，在未来的一个很长的时间中，某一个生物种群 的个体数量在一段时间内的变化规律会逐渐接近于它在一个周期内的个体 数量的变化规律，当时间越长的时候这种变化的趋势会越明显，接近程度 也会越好从某种程度上来讲，这也恰好描述了客观的现实世界使得人 们在实际工作中减小对某种生物种群的个体数量的增长判断的误差变为可 能，使l o g i s t i c 方程在更大的程度上指导实践 3 渐近周期函数的性质 设妒1 ( t ) ，忱( t ) 为任意两个渐近周期函数，9 l ( ) ，9 2 ( t ) 是连续的周期 为t 的周期函数且满足定义，即， 妒l ( t ) = 庐l ( t ) + e 1 0 ) ，e 1 0 ) + 0 ( t + o 。) ， , p 2 ( t ) = 驴2 ( t ) + e 2 ( t ) ，e 2 ( t ) _ 0 ( t - + 。) 下面证明渐近周期函数关于四则运算，导数，积分，复合是封闭的 1 加法 妒l ( ) + 妒2 ( t ) = 9 1 0 ) + 9 2 ( ) + 1 ( t ) + 6 2 ( t ) ，显然， 事1 0 ) + 9 2 ( ) 是周期 为t 的周期函数，e l ( t ) + 2 ( t ) _ 0 ( t _ + o o ) 所以，妒1 ( t ) + 妒2 ( ) 是渐近 周期函数 2 减法 8 妒1 ( t ) 一【1 0 2 ( t ) = 驴1 ( ) 一9 2 ( t ) - i - e l ( t ) 一e 2 ( t ) ，显然，驴l ( ) 一事2 ( t ) 是周期 为t 的周期函数，1 ( t ) 一e 2 ( t ) _ 0 ( t _ + 。) ，所以，妒l ( t ) 一妒2 ( ) 是渐近 周期函数 3 乘法 妒1 0 ) 妒2 ( t )= 归1 0 ) + e 1 ( t ) 【妒2 ( t ) + e 2 ( t ) 】 = 妒l ( t ) 9 2 ( t ) + 9 1 ( ) 6 2 ( t ) + 9 2 ( t ) e l ( ) + e 1 ( t ) 6 2 ( t ) 显然，9 l ( t ) 庐2 ( t ) 是以t 为周期的周期函数，只须往证： 驴1 ( t ) 2 ( t ) + 驴2 ( t ) e l ( t ) - t - o ( t ) c 2 ( t ) 斗0 ( t + 。) ， 由于9 l ( t ) 和9 2 ( t ) 是r + 上连续的周期函数，所以存在m l 0 ，m 2 0 ，使 得j 9 1 ( t ) i5m 1 ，l 乒2 1 t ) jsm 2 又j e l ( 圳_ 十0 ，j 6 2 ( t ) l _ 0 ( t _ + 。o ) ，所以 1 9 l ( t ) e 2 ( t ) + 忱( t ) e l ( t ) - i - 6 l ( t ) e 2 ( t ) i s 以i e 2 ( t ) i + 尬l e l ( t ) l + i e l ( t ) e 2 ( t ) 1 _ + 0 4 除法 限制性条件：妒2 ( t ) 0 且i ，5 2 ( t ) o 由渐近周期函数对乘法的封闭性，为证等鲁为渐近周期函数，只须 证盂! 裔为渐近周期函数即可即 而1 一i 去_ 0o + + o 。) 妒2 ( z ) 伽( ) ” 由妒2 ( t ) o ，则妒2 ( t ) 恒正或恒负 不妨设i p 2 ( t ) 0 ，显然有9 2 ( t ) 0 而由( p 2 ( t ) 在r + 上是连续的周期 函数，于是有9 2 ( f ) m 0 由于e 2 ( t ) 叶o ，对上述m 0 ，3 t o ，当v t t 时，有l e 2 ( t ) i 詈，则 i 丽1 一高1 = i 似- - 6 2 ( t 瓦) 厕i 9 s 丽汀蒜犏 s 而1 6 i 2 ( t ) 甭l ：型罢掣二o ( 。_ + + 。) m 于是 赢1 一- ! 两_ o ( _ + o o ) 妒2 ( )( t ) ”一 同理可证，当i p z ( t ) 0 ，3 5 0 ，v u l ，t l 2 【m 一1 ，m + 1 】： u 1 一u 2 l t ，有 i e ( t ) f t 时，驴( t ) 【m ，m 】c m l ，m + l 】 9 ( ) + e ( ) m 一1 ，m + 1 】 且 i 庐( t ) + e ( t ) 一9 ( t ) l = l e ( ) | o = i a is u p1 9 ( t ) i + i o t is u pi 驴( t ) i 【0 ，卅 t 2 0 = i o t 妒| | 最后， 0 妒+ 妒i i = s u pi 庐( t ) + 妒( t ) i + s u p l ( t ) + 妒( t ) l t e o ，明 2 0 s u pi 驴( t ) l + s u pi 妒( t ) 1 t e o ，卅r e 0 ，7 】 + s u pi 驴( t ) i + s u pl 妒( t ) i t 0 t 兰0 = | | 妒i i + l l 妒| i 以下证明：a s p 空间按范数”l l 成为b a n a c h 空间 设 ( t ) ) 。要是a s p 中的任意c a u c h y 列，其中， 妒。( t ) = 9 。0 ) + 驴。( t ) ，( n = 1 ，2 ，) 易证 9 。( t ) ) 。璺是c o ，t 】中的c a u t h y 列 事实上，因为 ( ) j 。要是a s p 中的任意c a u c h y 列，即 1 3 v e 0 ，3 n = ( e ) ，v n ，m2 ( e ) ，有| | 妒。一| p ml l e 即 j | 妒。一妒ml | = s u pi 驴。( t ) 一事m ( t ) i + s u p i 乒。( t ) 一事m ( ) i n 时，有s u p l 驴。0 ) 一驴u ) l n ，因为h l i + m o 。驴n o ( t ) = 0 ，故：i t 0 ，对v t t ，有 l 驴。( t ) l 三 从而有 l 乒( ) i i 庐n 。o ) i + i 驴( t ) 一乒n 。( t ) i i + ；= e 故t 。l i + r a 。( 1 5 ( 1 ) = 0 因而c o ，+ o 。) 是完备的赋范线性空间从而存在子列 。( f ) ，且 女+ l i m + 。庐n k ( 。) = 驴( 。) ， 即 | | 乒n 。一0 0 ( k 斗+ 。) 对于c a u t h y 列 妒。( ) ) 。耋，( t ) = ( t ) + p 。( t ) ，9 。( t ) ，( ) 分别存在 收敛子列 庐。( t ) ，( 。( t ) ) ，这里下角标的取法都要满足 使得 札1 n 2 n 3 n 0 ，3 n = ( e ) ，对v n k2n 有l | 妒。一妒i i e 2 所以取 7 n = 7 h ，那么| | 妒。一妒。 | | e 2 于是， i i 妒n 一妒i |= | | 妒n 一妒n k + 妒。一妒| | - 1 l 妒。一| p n 。| | + ij 妒。一妒| | e 2 + e 2 = e 这样a s p 空间按范数1 i 成为b a n a c h 空间 5 高维系统下的渐近周期函数空间 这一节的主要任务是把一维情况下的主要结果推广到高维系统 对于n 维系统 = i ( t ，z ) ，t 【0 ，+ 。) ，。r 华 设妒。( t ) a s p “是n 维系统的解，表示为 i p 。( t ) = ( v p ( t ) ，妒( t ) ，一，妒0 0 ) ) 其中妒，( t ) a s p l ( i = 1 ，2 ，n ，m = 1 ，2 ) 由于a s p l 是完备赋范线性空间，所以对于a s p l 中的任意c a u t h y 列 妒p ( t ) 。璺，我们从 妒r ( t ) ) 。_ o o 中取出任意子列 l p 嚣( ) ) 。璺，使得 妒己( t ) ) 。璺c 妒p ( t ) ) 。昌，妒嚣( t ) 刀( ) a s p l 然后再从 妒器( t ) ) 。墨中取出子列 旧( t ) ) 。_ o o ，使得 妒嚣( ) 。昌c 妒，( t ) ) 。_ o o ，妒乃( t ) 。9 7 ( t ) a s p l 1 6 再从 妒乃( t ) ) 。璺中取出子列 妒霹( t ) ) 。璺，使得 妒舄( ) ) 。c 妒孑0 ) 。璺，妒嚣o ) 驴孑( t ) a s p l 按照这样的方法依此类推下去，直到我们从 妒焉一。) ，( ) 。墨中取出子列 妒易( ) ) 。璺，使得 蠕( ) ) 。当c ( 妒? ( ) ，。；，妒易( z ) _ 庐? ( t j a s p l ， 于是，从上面的取法可知，存在子列问的包含关系如下： 妒己0 ) m 曼d 妒嚣 ) 。昌 妒嚣p ) 。詈3 - d 妒琶 ) 。兰 因此，存在子列 l p 嚣( ) ，。璺( i = 1 ，2 ，n ) 使得， 妒万( t ) ) 。墨c 妒p ( t ) ) 。曼，妒嚣( t ) + 驴p ( t ) a s p l ( i = l ，2 ，- n ) a s p “中的任意一个向量妒。( t ) 的分量 p p ( f ) ( i = 1 ，2 ，n ) ，都有子 列( 妒嚣( t ) ) 。璺满足 蹭( t ) 。”( t ) a s p l ， 而 ( 乒r ( t ) ，弼1 ( t ) ，簿( t ) ) a s p “ 所以 妒。( t ) ) 。璺= ( ( 妒r ( t ) ，妒( t ) ，妒( t ) ) ) 。璺中存在子列 ( ( 妒嚣0 ) ，妒嚣0 ) ，一，妒嚣( # ) ) 。当， 使得 ( 妒嚣( f ) ，妒嚣( t ) ，。，l p 焉( t ) ) ( 驴r ( t ) ，9 ( t ) ，。，9 ( t ) ) 而( 9 7 ( ) ，9 ( t ) ，l p - 。r a ( t ) ) 是a s p “中的一个向量，从而， ( 妒p ( ) ，移( t ) ，- 一，妒孑( t ) ) ( 驴? ( t ) ，四( t ) ，- - ，庐? ( t ) ) 即( 妒p ( ) ，妒矿( t ) ，妒2 ( t ) ) ( m = 1 ，2 ，) 收敛到a s p “中的元 ( 9 r ( t ) ，9 ( t ) ，一，9 署( t ) ) 这样一来，a s p “就成为完备的赋范线性空间，即b a n a c h 空间 1 7 参考文献 m e n gf a n ，k ew a n g ，o p t i m a lh a r v e s t i n gp o l i c yf o rs i n g l ep o p u l a t i o nw i t h p e r i o d i cc o e f f i c i e n t s ，m a t h b i o s c i ，1 9 9 8 ( 1 6 2 ) 1 6 5 1 7 7 z h a n gb g ，g o p a l s o m yk ，g l o b a la t t r a c t i v i t ya n do s i l l a t i o ni nap e ji o d i c d e l a yl o g i s t i ce q u a t i o n ， j m a t ha n a l 1 9 9 0 ，1 5 0 ：2 7 4 2 8 3 z h a n gb g ，g o p a l s o m y k ，g l o b a la t t r a c t i v i t yi nt h ed e l a yl o g i s t i ce q u a t i o l ，【j ， 一 4 b d c o l e m a n ，n o n a u t o n o m o u sl o g i s t i ce q u a t i o n s a sm o d e l so ft h e a d j u s t m e n t o fp o p u l a t i o n st oe n v i r o n m e n tc h a n g e ，m a t h b i o s c i 4 5 ，1 5