（应用数学专业论文）脉冲微分方程三点边值问题解的存在性.pdf

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a l ，这 方面的背景实例包括横截面相同而密度分段不同的支索的振动以及弹性稳 定性理论中的许多问题等f 因为多点边值问题具有广泛的应用背景，因 此具有重要的研究价值近年来，随着脉冲微分方程理论的发展，人们开始关 注脉冲微分方程多点边值问题的研究关于脉冲微分方程两点边值问题解的 存在性的研究已经耿得了一定的成果 1 4 - 2l 】，但关于脉冲微分方程三点边值 ，、【 山东师范人学硕士学伉论文 问题解的存在性的结果还很少见 8 - 9 】因此，我们研究了脉冲微分方程三点 边值问题( 1 ) 最大解最小解的存在性，边值问题( 2 ) 正解的存在性和边值问 题( 3 ) 多个正解的存在性全文分三章 在第一章中，我们首先给出了边值问题( 1 ) 的比较定理然后在此定理基 础上利用改进的单调迭代技巧得到了边值问题( 1 ) 最大解最小解的存在性， 并对解的导数z 进行了估计，最后举例说明了定理的实用性脉冲和，中导 数项z 7 的存在使得f 1 0 1 中的比较定理已不再适用因此，我们建立了一个有 脉冲情形的比较定理，并对原来的单调迭代方法进行了改进对于，不含导 数项z7 的情形可类似本章得到相应的结果在特殊情形下l ，= c = 0 ，z = 1 2 ，m ，由于，中z 的存在f 1 0 1 中的单调迭代技巧已不再适用因此本 章的结果即使在没有脉冲的情形下也是新的 在第二章中，我们首先利用s c h a u d e r 不动点定理建立了脉冲微分方程三 点边值问题的上下解方法，然后利用该方法在一定条件下证明了存在a + 0 使得当0 a a + 时( 2 ) 无解，最后给出 一个例子加以说明脉冲、参数和奇异性的存在使问题变得更为复杂，增大 了解决问题的难度尤其是脉冲的存在，使得原来的上下解方法已不再适用 在第三章中我们首先构造了个锥然后利用锥上的不动点指数理论讨 论了边值问题f 3 ) 多个正解的存在性，关于这方面的结果还很少见本章最后 给出两个例子来说明定理的实用性，并说明脉冲的影响可使方程由存在唯一 解变为存在多解 关键词：脉冲，三点边值，单调迭代技巧，不动点指数，上下解锥 分类号：0 1 7 58 2 些查塑薹查兰塑圭堂垡堡奎 e x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h r e e p o i n tb o u n d a r v v a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l “ e q u a t i o n s s o n g y u x i a s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t v j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，prc h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h r e e p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa sf o l l o w s z ”= ，( ，笋，z 7 ) ，t ( 0 ，i ) ，t t i ， 然e i i t = “t ；篡q ( z 。( t 文d 忙i 2 ) m ) ， ( 1 ) ；=) ( = l ，m ) ， ”。 z ( o ) = 0 ，z ( 1 ) 一v z ( “t ) = 0 ， u s i n gm o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o d ，c o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so f t h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs i n g u l a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a sf o l l o w s fz “( t ) + 。( t ) ，( 。( t ) ) = 0 ，t ( o ，1 ) ，t t 1 ， z f e “ 一k ：“ 1 1 ( z ( f 1 ) ) ， 一_ 1 一厶( z ( t 1 ) ) t 一1 1 77 z ( o ) = 0 = x ( x ) 一7 z ( n ) u s i n gu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nt e c h n i q u ea n ds t u d yt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s - i t i v es o l u t i o n so ft h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa sf o l l o w s lz ”+ ，0 ，z ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ，t t l ， i z f * t 。= 五( z ( t 。) ) ， 1 削b = 而可1 - 而7 酢m 【。( o ) = 0 ，o ( 1 ) 7 z ( v ) = 0 ， u s i n gf i x e dp o i n tt h e o r e mo fc o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o n m u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa r i s ei nd i f f e r e n tf i e l d so fa ，d d l i c a b l e m a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s i n 1 ) b a r ra n ds h e r m a nf i r s t l ys t u d i e dt h em u l t i p o i n tb o u n d a r y _ v a l u ep r o b l e m sa n da f t e rt h e nt h e r ew e r el o t so fr e s u i t so n 3 ，ir、i 山东师范大学硕士学位论文 t h i sa s p e c ts i n c e1 9 9 1 2 5 b e c a u s em u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sh a v e w i d eb a c k g r o u n d i nr e c e n ty e a r s ，p e o p l eb e g i np a y i n ga t t e n t i o nt ot h es t u d y o fm u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa s t h ed e v e l o p m e n to ft h et h e o r yf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h es o l u t i o n so ft w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h a v eb e e ni n v e s t i g a t e de x t e n s i v e l y 1 4 2 1 】b u tt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f i e r e n t i a le q u a t i o n sa r es e l d o m s t u d i e d s s ow es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h r e e p o i n tb o u n d a r v v a l u ep r o b l e m s ( 1 ) ，( 2 ) a n d ( 3 ) t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，f i r s tw ee s t a b l i s ho n ec o m p a r i s o nt h e o r e mo ft h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 ) ，t h e nw eg e tt h ee x i s t e n c eo ft h em i n i m a la n dt h em a x i m a l s o l u t i o n st o ( 1 ) b ya ni m p r o v e dm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u eo nt h eb a s eo ft h e a b o v et h e o r e m a l s ow eg i v ea ne s t i m a t et oz 7 f i n a l l y ，a ne x a m p l ei sg i v e n t os h o wt h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r e m st h ec o m p a r i s o nt h e o r e mo f 1 0 i s n t a p p l i c a b l ef o rt h ec a s ei m p u l s ea n dz 7o c c u ra tt h es a m et i m e i nt h es p e c i a l c a s e ，w eg e tc o r r e s p o n d i n gr e s u l t sw h e nt h en o n l i n e a rt e r mfd o e s n ti n c l u d ez p a r t i c u l a r l y ，l i = 露= 0 ，i = 1 ，2 ，一，m ，t h em o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u eo f ( 1 0 h a s h tb e e ne f f e c t i v ef o rt h ec a s et h a t ，i sd e p e n d e n to nz 7t h e r e f o r e ，t h e r e s u l t sa r en e we v e ni ft h e r ei sn oi m p u l s e i nc h a p t e r2 ，f i r s tw ee s t a b l i s ht h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nt e c h n i q u ef o r i m p u l s i v et h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 2 ) s e c o n d ，u s i n ga b o v et e e h n i q u e ，w ep r o v et h a tt h e r ei sa s u c ht h a tp r o b l e m ( 2 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v e s o l u t i o ni f0 a a + f i n a l l y , a ne x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h et h e o r e m s w ec a n n o t i c et h a tt h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nm e t h o do ff 1 0 i sn o ts u i t a b l et oi m p u l s i r et h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nc h a p t e r3 ，f i r s tw ec o n s t r u c tas p e c i a lc o n e ，a n dt h e nw ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( 3 ) b yt h ef i x e d p o i n tt h e o r yt h er e s u l t so nt h i sa s p e c ta r es e l d o ms e e nf i n a l l y ) t w oe x a m p l e s a r eg i v e nt os h o wt h ea p p l i c a t i o n so ft h et h e o r e m si nt h i sc h a p t e r ，w ea l s os h o w t h a tt h ee q u a t i o nw h i c hh a sau n i q u es o l u t i o nc a nh a v em u l t i p l es o l u t i o n sw i t h i m p u l s i v ee f f e c t k e y w o r d s ： i m p u l s i v e ) t h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u e ， m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ， f i x e dp o i n ti n d e x ， u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n ， c o n e c l a s s i f i c a t i o n ： o 7 5 8 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章脉冲微分方程三点边值问题解的存在性 1 1 弓i 言 多点边值问题起源于各种不同的应用数学和物理领域，这方面的背景实 例包括横截面相同而密度分段不同的支索的振动以及弹性稳定性理论中的许 多问题等吼正因为多点边值问题具有广泛的应用背景，因此具有重要的研 究价值但关于脉冲微分方程三点边值问题解的存在性的结果还很少见( 见 文献f 8 - 9 1 ) 众所周知，研究微分方程解的存在性问题时，单调迭代方法是一 种重要的方法通过单调迭代技巧可以在上下解之间找到一个最小解和最大 解文献1 1 中作者利用该方法讨论了二阶脉冲微分一积分方程两点边值问 题解的存在性文献1 0 1 中作者利用该方法研究了不带脉冲的二阶微分方程 三点边值问题解的存在性而利用单调迭代方法讨论脉冲微分方程三点边值 问题解的存在性的结果还很少见显然，f 1 0 1 中的比较定理不再适用于含脉冲 的情形，且单调迭代技巧不再适用于，含导数项z 的情形因此，本章首先 建立有脉冲情形下三点边值问题f 1 1 的比较定理，然后利用改进的单调迭代 技巧给出三点边值问题f 1 ) 的最大解和最小解的存在性，最后给出一个例子 加以说明对于，不含导数项z 的情形可类似本章得到相应的结果在特殊 情形下，l 。= 露= 0 ，i = 1 ，2 ，m ，由于，中一的存在， 1 0 中的单调迭代 技巧已不再适用，因此本章的结果即使在没有脉冲的情形下也是新的 1 2 预备知识 匿激筹： 其中叩( 0 ，1 ) ，7 【0 ，1 ，0 t 1 t 2 0 ，1 ，f c j rxr ，捌，厶为常数， 5 屯 卵 屯+ 1 t m 1 ，j = e c r ，r ，z l t ：“= 茁( t ) 一。( t i ) 一些查塑蔓查兰堡圭堂篁堡奎 z 仉= “2 一( t t ) 一z m i ) ，( i = 1 2 ，m ) ，这里。( t ) 与z ( 玎) 分别表z f t ) 在 点t = 屯的右极限和左极限，z 讹产) 与一( 百) 分别表z m ) 在点t ：的右极 限和左极限 汜山= 【0 ；t 1 ，以= ( t l ，t 2 ；，以= ( t ，t 卧1 ，如= ( t m ：1 ，j ，= l ， t l ，t 2 ，+ 一，t m p c i j , r = z ：，- r i z ( t ) 当t 。时连续，。( t ) 与z ( 玎) 存在且 z ( 南) 2z ( f ) ，i = 1 ，2 ，m ) p c l h 捌= ( 2 5 p c i j , 矧j z 协) 当t t i 时连续， 且z 协 ) 与z 沁i ) 存在，i = 1 ，2 ，m ) 显然在i l x l l p g = s u pl z ( f ) l 下：p c i j , 捌 成为一个b a n a c h 空间对于z p c i f z 刷，由中值定趣j “ z ( t t ) 一z ( t 。一h ) h 面5 z ( f ) ：t 。一h 0 ，n r ，厶兰0 ，l t20 为常数假定厶口 o 由于p ( o ) 茎0 ：所以t ，0 又由于p ( t ) 在t = t i ( i = 1 ，2 ，m ) ，t = 1 点左连续，故可设t ，t 。( i ： l ，2 ，m ) ，t 7 1 于是t 7 有三种可能：1 ) t ( 0 ，t 1 ) ，2 ) ji ，l i m 一1 使得t 7 ( t i ，t i + 1 ) ，3 ) t 7 ( t 。，1 ) 进一步假设情形2 ) 成立，情形1 ) ，3 ) 同n n i i e 令f ；= i n f t l s t ，t 7 ，p ( 8 ) 0 ，t t ) ( 七= 1 ，2 ，i ) ，t + ：i n f t l s ( t ，t i j ，p ( s ) 0 ，t o ( 1 ) 若t ； t i ，则若= t + ，p ( t 4 ) = 0 ，p 讹+ ) 芝0 令= s u p t l s 乩p ( s ) 0 ，t 0 又p 印：) 0 ，故ea r t ；p 心；) 0 从而e - l v t p 协) 0 ，vt ( ) 于是 p 7 ( t ) 0 ，vt ( t ；，t i + ) 从而甾+ = t 冲1 ，且p ( t ；+ ) 0 ，p 1 0 ；+ ) 0 由 p ( t 二1 ) = p ( 屯+ 1 ) + 三。+ 1 p 7 ( 屯+ 1 ) 0 ， p ( t 薹1 ) p 7 ( t 。+ 1 ) + 工苒，p ( 南+ 1 ) 0 类似前面讨论，可得啦】= o m 依次类推，对vm j i ：彳= t ，扎且 p ( t 髯1 ) 0 ，p r ( t + - 1 ) 0 从而p ( 土) 0 ，p 土) 0 类似前面讨论，可得= 1 ，p ( t ”) 0 ，p l ( ) 0 且vt ( 圮) ，p ( t ) 0 于是对v ( 曩) ，t 巧( j = i + 1 ，- 一，m ) ，有p ”( ) 兰m p ( t ) + n p ( t ) ，( e “。p7 ( t ) ) 7 e ”2 m p ( t ) 0 从而由p t ( 矿) 20 ，a p 饥：t ，l t p ( t ，) 0 ，得p 讹) 0 ，vt ( 咒t ”) ，又 a p l b “= 厶p j ) 00 = i + l ，m ) ，所以p ( t ) 是( 曩) 上的严格单 调递增函数若扩兰叶，则与p ( 1 ) 7 p ( q ) p ( q ) 矛盾 若t + r ，则由 p ( 1 ) 憎( q ) p ( q ) ，可得p ( q ) o ，且p l ( 叩) 0 ，t 0 ，p ( t ) 是( q ，+ ) 上的严格单调递增函数而p ( q ) o ， 这与p ( t + ) = 0 矛盾) 令瑶= i n f t l s h 叩 ) p ( s ) o ，t k ) ( = l ，2 ，f ) ； 则vt ( 露，q ) ，p ( t ) 2 - 0 从而对vt ( 讨，q ) ，有( e 州。p 也) ) 7 en t m p ( t ) o 又p 7 ( q ) 0 ，p ，( t 产) 0 ， 又厶l ； o 从而p 印c ) 冬( t 产) 一l t p ( t f ) 0 于是对vt ( 魂1 ，亡f ) ，有( e - 。v t p 他) ) 7 e 肌m p ( t ) o 又 p ( 赴) 0 ，且p l ( 寸) 0 又l 。l ： o 从而p 协。) 芦 ) 一q p ( 岛) 0 于是( en t p ，( 亡) ) 7 三e - - n t m p ( t ) 0 ，v t ( t o l ，屯) 又( t t ) 0 ，且p l ( t ) 0 ， 则同( 1 ) 类似讨论可得矛盾 于是p ( t ) 茎0 ，vt 。， 引理1 2 2 【8 】若口，d p c i j , 冗 ，m ，n ，l 。：l ；( i = 1 ：2 ，一，m ) 为常数， 则z p c i j , r n c 2 ，嗣是二阶脉冲微分方程三点边值问题 一x t t ( t ) = 一m x ( t ) 一z ( t ) + 口( t ) ，t ( 0 ，1 ) ，t t i ， 斌x l t = 毛t i 三瓮赫一l ；( 5 ( t i h 心) ) ( i = l2 ，m ) ) ( 1 22 ) 岱饥：“= 嚣( d ( t ) ) 一 ) 一z ( t ；) ) ( = l ，一，m ) ， z ( o ) = 0 ，4 1 ) 一7 x ( n ) = 0 的解，当且仅当z p c i zr 是_ f 面脉冲积分万程的解： z ( t ) 2j lg ( t ，s ) ( 一m z ( s ) 一n z l ( s ) + 口( 8 ) ) d 5 + l ；z ( 屯) + 0 一t d i ；( 5 ( t d ) 一l ：( 6 ( 屯) 一。( 屯) ) + 而7 t 耋池) 十“沁 ( t 。卜e ( t 。一( t 。) ) 一高骅i 屯h 1 h 引姒 “叫氐卜叫屯”h ，恐 奠中 g ( t ，s ) 坐! 二! l ! ! ! 二生 。 ( 1 一刍二一。)t ( 1 一s ) 一7 ( 叩一s ) s ( 1 一) i + - 7 7 叩7 t0 8 )s ( 1 一) + 7 叩0 一) l 一7 叩 t ( 1 一s ) 1 一，y q 7 0 s 墨tsq ，0 s 卵t o 冬t 8 墨q ， s tsl ， 0 墨t 茎口s 1 ，0 叩t s 1 由引理1 2 2 ，易得 推论1 2 1 若z p c i z 嗣n g 2 j ，r 是二阶脉冲微分方程三点边值问 8 山东师范大学硕士学位论文 题( 1 _ 2 _ 2 ) 的解，则 ， z ( 1 ) 一z 7 ( o ) = 一n ( 一m 。( s ) 一z 7 ( s ) + a ( s ) ) d s + e ( d ( t 。) ) 一l ；( 6 ( 屯) z ( t z ) ) 引理1 2 3 若口，d p c i j , r ，m 0 ，n r ，l i 三0 ，l ；20 ( z 1 ，2 ，m ) 为常数假定 r ：2 m 。，。& ；x j l a ( t ，s ) ，r 7 2 。l t 。，t 。a ，。u x 。，i g ：( 。，8 ) i ， 舻( m + i n i ) r + 寓磐”“渊 + 南磐柏吨属 q2 恳= ( m + i n i ) r 7 + 高蝥z + ( 2 - 媚1 + 南函拍一牡列 口2 鄙 1 ， 则脉冲积分方程( 1 23 ) 在p g l z 嗣中具有唯一解 证明：考察算子 ( f z ) ( t ) = fg ( t ，s ) ( 一m z ( s ) 一z ( s ) + o ( s ) ) 如 + ( 工。z ( t 。) + ( t t 。) 耳p ( 彘) ) 一l ：( 6 ( 屯) 一z ( 屯) ) 0 t t t + 焉塞” 一南磐z 讹 则 ( t ) = z 1g s ) ( 一m 贯( s ) 一。( s ) + a ( s ) ) d s + 露( d ( 。) ) 一l ；( 6 ( 岛) 一z ( t 。) ) + 南妻掣) 柏 一高磐茹俅 9 屯) c ( d ( ) ) 一l ：( 岛) 一z ( ) ) ) ，vt j ( 1 27 ) 山东师范大学硕士学位论文 故f ：p c i z r 尸c 1 【z 冗j 对vz ，yep c i i j , r 由( 12 6 ) ，得 l ( f x ) 【t ) 一l ，g 儿t ) ，1 ： g ( t ，s ) ( 一m x ( s ) 一n x ( s ) + a ( s ) ) d s j 0 + l 。z ( t 。) + ( t 一赴) 玎( d ( t z ) ) 一l ；( 6 ( t t ) 一z ( t t ) ) ) 0 4 7f + 尚蚤( 。；) + ( 叩一。；) 晰( ) ) 一q ( 一州) ) 一而t 三( 。t ) + ( 1 一棚( ) 一e ( 一酬) 一0 g ( t ，s ) ( 一m y ( s ) 一f ，( s ) 十口( 8 ) ) 8 8 一 l i y ( 如) + ( t 一屯) 露( d ( 幺) ) 一l ；( 6 ( t z ) 一( t 。) ) 】) 0 t i t r 一禹妄m 。) 怕。川郫。卜p 。叫) 十高蚤( 屯) + ( 1 一姐( ) 一甾( 一可( 圳) | s l g ( t ，s ) t ( m i x ( s ) 一y ( s ) i + i ( 。( s ) 一( s ) ) i ) d s j o + 量 l 。1 茁，( 屯) 一g ，( 屯) i + ( t - 屯) l ；i z ( t 。) 一y ( t 。) j # l 。 + 而7 t , 酽i 帅t ) 一1 + ( q 一媚) 一1 j + 而t 蚤吣一可 + ( i - 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t i ) e + 高蚤阱( i - - t i ) 圳l z 一9 = ( m + t n i ) “高擎。+ ( 2 - 8 7 - t i ) e + 高酽z + ( ” ) 础l 。一 山东师范大学硕士学位论文 从而 | | ( f 。) 7 一( f v ) p gs 膨l z g l i p g ， ( 129 ) 于是，由( 1 28 ) 式和( 1 2 9 ) 式，可得 i i f 茁一f g l i p 。，卢l i 。一可l i p g - ，vx ，y p c i z r ， ( 1 2 1 0 ) 其中 卢= m a x 3 l ，卢2 ) 0 ，使得 f ( t ，。，9 ) 一f ( t ，孟，雪) 一m ( x 一牙) 一n ( y 一雪) ， 2 ；0 0 ) 牙osy o ( t ) ，vt zy ，口r ， 譬( 孟( t 。) ) 一日( 嚣( t ：) ) l ；( 牙( ) 一。( t ；) ) ， z o ( 屯) 5 牙z y o ( t i ) ( i = 1 ，2 ，一，m ) 记 2 5 0 ，y o = z p c 1 zr ：x o ( t ) z ( t ) v o ( t ) ，vt ，) 山东师范大学硕士学位论文 1 3脉冲微分方程三点边值问题解的存在性 定理1 3 1 假设条件( h 1 ) ，( 飓) 及( 124 ) ，( 125 ) 式成立，并假定l 。三 o ，l ；o 为常数，且l 。l ： 1 ( i = 12 ，m ) 则存在序列 z 。) ， 鼽) c p c i 工r n c 2 l ，7 ，冗 ，满足 x o ) 茎z - 0 ) - s 。0 ) - 茎y 。( t ) sy 1 0 ) 曼可o ( z ) ， b 1 ( t ) z ：( t ) sb 2 0 ) ：b l ( t ) g ：0 ) 茎b 2 ( t ) ， 且 z 。) ， ) 在，上分别一致收敛于三点边值问题( 1 ) 在【2 9 0 ，鲥中的最小解 和最大解互，。+ p c i 【z 网n 伊【j 7 ，捌， z ：) ， 醵) 在j 上分别一致收敛于一 和z “于是对三点边值问题( 1 ) 在 知，y o 中的任何解z p c i z 捌n c 2 【，捌 有 ， z o ( t ) 。1 ( t ) s 曼x n ( t ) s - s 牙( t ) 。0 ) 。+ ( t ) 冬g 。( t ) s y l ( t ) o ( t ) ， f 13 1 1 其中 ，1。n t，1 b 1 ( ) = z 一m 上k ( ，s ) ( 蛳( s ) 一知( s ) ) d s 一南工，( s 肭( s ) ，g ) d 5 一e ( 珈( 也) 一跏( 如) ) e “t + 芳j 譬( 珈( t t ) ) 一l ；( o ( 蠡) 一z o ( 血) ) ( e 一“+ 1 ) 一( o ( 1 ) 一x o ( 1 ) ) ， b 。( ) = ( t ) + m 上k ( t ，s ) ( 珈( s ) 一跏( s ) ) d s 一孑 二i 工1 厂( s ，黝( s ) ，z ：( 8 ) ) d s r lp 川t， + l ；( 珈( 屯) 一z o ( ) ) e 卜如+ 矗 露( 。o ( t z ) + l ；( o ( 屯) 一x 0 ( 屯) ) ( e “+ 1 ) + n ( y o ( 1 ) 一z o ( 1 ) ) ) ， l k ( t ；s ) = 【 e 一1 e f 1 + e ( 1 5 ) 1 f - - - - f ，一l j 1 n r _ 1 _ 。_ ，_ _ 1 n _ _ _ _ _ _ l 。、一 e 一1 0 s f 1 0 t s 1 证明：任给d b o ，y o ，令 矿( = ，( t ，j ( t ) ，d 俅) ) + m d ( ) + n 6 俅) 1 ( 1 3 2 ) 则口p c j , n 由引理1 2 2 和引理1 23 ，三点边值问题( 12 2 ) 有唯一解 z p c i i j , 嗣n c 2 l ，司令。= a d ，则a ：瞄0 ) y o 斗p c l z r n c 2 ，捌c 1 3 山东师范大学硕士学位论文 p c i z 用下证( n ) 3 7 0sa z o ，a y o y o ( 6 ) a 是 如，疵 上的增算子为证 ( o ) ，令z l = a x o ，p = z o 一茁1 ，贝由( 1 22 ) 及( 13 ，2 ) ，得 一。? ( t ) = z lj k t ：二 z i l b n ： z l ( 0 ) = 0 - m x l ( t ) 一n c c ：