（理论物理专业论文）沿圆锥曲线运动辐射和调制不稳定性的研究.pdf

摘要 摘要 本文以等离子体介质色散特性的理论知识为基础研究了两个方面的问题： 等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射和线性偏振激光在相对论等离子体 中调制不稳定性。 一方面，从荷电粒子在等离子体中自发辐射的公式出发，以粒子在中心力 场中运动为模型，得到磁单极子在星体引力作用下沿圆锥曲线运动辐射谱的数 学表达式。通过数值计算获得了不同条件下磁单极子沿圆锥曲线运动辐射的谱 能量随频率变化的曲线，以此为基础，分析了辐射特点。结果表明：磁单极子与 荷电粒子在等离子体中运动的辐射有明显的区别。认识到它们之间的不同，对 我们探测磁单极子具有重要的意义。 另一方面，采用一种简捷的研究方法k a r p m l t l l 方法，从相对论等离子体中 的非线性色散关系出发，获得了线性偏振激光的振幅演化和发展的非线性控制 性方程。由非线性控制方程得到了扰动波的色散关系，并利用数值分析画出了 增长率与扰动态波数的关系图，结合这个关系图研究线性偏振激光在相对论等 离子体中传播时的调制不稳定性，得到了更丰富的结果。 关键词：等离子体；磁单极子；辐射谱；非线性控制方程，调制不稳定性； 1 1 a b s t r a e t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h el o c o m o t i o nr a d i a t i o no fm o n o p o l eb yc o n i c a ls e c t i o na n d m o d u l a t i o ni n s t a b i l i t yo fi n t e n s el i n e a r l yp o l a r i z e dl a s e rp u l s ea r es t u d i e di np l a s m a , b a s e do nt h ed i s p e r s i o nc h a r a c t e ro f p l a s m ad i e l e c t r i c o no n eh a n d ，w ea d o p tt h em o t i o nm o d e lo fp a r t i c l ei nt h ec e n t r a lf o r c e - f i e l d ， a n dd e r i v et h en u m e r i c a lf u n c t i o no f t h el o c o m o t i o nr a d i m i o ns p e c t r u mo f m o n o p o l e b yc o n i c a ls e c t i o n , b a s e do nt h es p o n t a n e o u sr a d i a t i o na s s o c i a t e dw i t ht h em o v i n g c h a r g e dp a r t i c l ei np l a s m a w ed on u m e r i c a lc a l c u l a t i o nf o rt h ee q u a t i o no f r a d i m i o n s p e c t r u mi nd i s s i m i l a rc a s e s ，a n da n a l y z et h ec h a r a c t e r i s t i c so f r a d i a t i o n i ti ss h o w n t h a tt h el o c o m o t i o nr a d i a t i o ns p e c t r u n lo fm o n o p o mi sd i s t i n c t l yd i f f e r e n tf r o mt h e c h a r g e dp a r t i c l e t a k i n gc o g n i z a n c eo ft h e s e d i v e r s k i e si so fv e r yi m p o r t a n t s i g n i f i c a n c et od e t e c tm o n o p o l e o nt h eo t h e rh a n d , w ea d o p tab r i e fm e t h o dc a l l e dk a r p m a n , a n dd e r i v et h e n o n l i n e a rc o n t r o l l i n ge q u a t i o nf o ra m p l i t u d eo fl i n e a r l yp o l a r i z e dl a s e r , b a s e do nt h e n o n l i n e a rd i s p e r s i o nr e l a t i o ni nr e l a t i v i s t i cp l a s m a w eg e tt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n s h i p o fp e r t u r b e dw a v ef r o mt h en o n l i n e a rg o v e r n i n ge q u a t i o n w ep l o tt h ef i g u r eo f g r o w t hr a t e t ot h ep e r t u r b e dw a v en u m b e rb yt h e c o m p u t e r , a n da n a l y z et h e m o d u l a t i o ni n s t a b i l i t ya s s o c i a t e dw i t l lp r o p a g a t i o no fi n t e n s el i n e a r l yp o l a r i z e dl a s e r p u l s ei nr e l a t i v i s t i cp l a s m a ，o b t a i ns o m em o r er e s u l t s k e yw o r d s ：p l a s m a s ；m o n o p o l e ；r a d i a t i o ns p e c t r u m ；n o n l i n e a rc o n t r o l l i n ge q u a t i o n ； m o d u l a t i o ni n s t a b i l i t y 1 1 1 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌态堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：粼孑、签字日期：卿年肛月码阳 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：3 锭刚、导师签名： 签字日期：明年f2 月午目签字日期：缈咖 ，jl从 、莎砷 第1 章绪论 1 1 等离子体的定义 第1 章绪论 “等离子体”( p l a s m a ) 一词是1 9 2 9 年t o n k s 和l a n g m i u r 在研究气体放电 中的振荡时“1 ，首先用来描述带电粒子集合体的。然而，等离子体态的最特殊 的性质，即长程库仑力使带电粒子表现出一种集体的性质，早已为人们所知， 并在1 9 0 6 年l o r dr a y l e i g h 分析原予的汤姆逊模型中的电子振荡时0 1 ，首次描 述了这种性质。 1 8 7 9 年w c r o o k e s 提出了“物质第四态”这个名词来描述气体放电中所 产生的电离介质。1 。物质第四态是根据以下观点提出的：如果固态加热时相变 为气态，在气体中加入更多的能量，使得一部分原子电离。在高于1 0 0 0 0 0 k 的 温度下大部分物质处于电离状态，物质的这种状态称为第四态。此后，往往称 等离子体是物质的第四态。等离子体与固体、液体、气体一样，是物质的一种 聚集状态，其与三态最明显的不同之处在于前者是由带电荷的电子和离子组成， 而后者都是由中性的分子或原子组成。粗略地说，等离子体是带电的，具有 “电性”，而普通气体是不带电的，具有“中性”。当体系中“电性”比“中性” 更重要时，这一体系可以称为等离子体。 综观宇宙，9 9 9 的物质都处于等离子体状态。但是，在地球上却很少天然 等离子体，因为地球及其附近大气的低温度和高密度阻碍了等离子体的存在。 但在上层的电离层中，存在着由稀薄大气的光致电离产生的等离子体。在离地 球更远的地方，等离子体在接近真空的空间被地磁场捕获。而从太阳流向地球 的太阳风就是一种等离子体，而且这种等离子体充满星际空间的许多区域。所 以，在早期，等离子体的研究一般只是受到天体物理学家的重视。 直到1 9 5 2 年，美国为了发展受控核聚变反应堆，制定了雪伍德方案“1 。随 后，英国、法国和苏联也相继开始类似的研究。这些研究的开始，使得人们对 等离子体的研究热情也日趋高涨。到现在，等离子体己成为- - 1 7 独立学科，等 离子体物理学在天文、原子物理、化学、生命科学、分子物理、磁流体发电和 大气物理等众多领域起着非常重要的作用”3 。 第1 章绪论 1 2 等离子体振荡频率和等离子体分类 1 2 1 等离子体振荡频率 设在等离子体中存在电子的扰动( 使电子与离子本底有个位移) ，将在等离 子体中形成电子的振荡。这个振荡频率就是等离子体的一个重要参数：等离子 体电子振荡频率，用m 。表示。由于篇幅有限，等离子体电子振荡频率的推导过 程不再给出，请参考有关的书籍。等离子体电子振荡频率可写为 = ( 吃e 2 m e 6 0 ) 牡 ( 1 1 ) 这里，是等离子体自由电子密度；e 、耽分别是电子电量和质量( e = 一1 , 6 0 x l o 一- ， 库仑，m e = 9 , 1 l x l o 。1 千克) ；氏= 8 8 5 4 1 0 一：法拉米，是真空中的介电常数。 一个有用的近似公式是 厶= 罟硼o o 厄 ( 1 2 ) 这个频率仅取决于等离子体电子密度，它是等离子体的基本特征之一。由 于电子质量较小，等离子体电子振荡频率通常是较高的。例如，在等离子体密 度= l0 1 l m 4 时，等离子体电子振荡频率丘* i o g h z 。 等离子体离子振荡频率用m 。表示。 = ( 吩p 2 m , 8 0 ) ”2( 1 3 ) 通常，离子的质量远大于电子的质量，因而离子振荡频率通常是较低的。 属于低频振荡。 等离子体频率( p l a s m af r e q u e n c y ) 也称为朗谬尔频率，其定义是 哆2 吆+ ( 1 4 ) 考虑到离子的质量远大于电子的质量，等离子体频率通常近似地认为 q = 吆 ( 1 5 ) 如果考虑到等离子体的热运动时，等离子体电子振荡将在等离子体中传播。 这时，我们称之为电子等离子体波。 2 第1 章绪论 1 2 2 等离子体分类 除m 。外，等离子体中还有许多参量如：德拜长度、碰撞频率等，它们依赖 两类更基本的物理量。一类是粒子特性的物理常数：电子、离子质量，m 。； 电子、离子电荷w ，z , e 。另一类是体系的宏观状态量：电子、离子数密度见， q ；电子、离子温度t ，霉。后一类量可以在相当大的取值范围内( 例如十个 量级或更大) 变化。可以想象，当体系的密度和温度不同时，相应等离子体的 具体性质也不定有很大的不同，我们可以按照温度( t ) 和密度( n ) 把自然 界和实验室等离子体做一分类。 图1 1 给出的是按等离子体中粒子所满足的力学运动规律和等离子体系所 满足的统计规律所做的分类“1 。按照粒子的动能( 即温度t ) 和密度可以把等离 子体分成经典的、量子的及相对论性的。 窖 譬妒 囊魔矗c m 。i 图1 1 等离子体分类 1 3 等离子体介质色散特性 3 第1 章绪论 按照电动力学的观点，等离子体首先是一种介质，但是它又不是一种普通 的介质。要以其为背景讨论问题，我们必须了解它的色散性质。 1 3 i 麦克斯韦方程组 对等离子体介质，除了时i 司色散外，还必须引入空间色散。在等离子体介 质中，以下麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组是合适的”1 ： v - d = 4 ：r p o ( 1 6 ) v e ：一三孚 ( 1 7 ) co t v b ：! 票+ 塑j o ( 1 8 ) co t c v b = 0( 1 9 ) d ( r , 0 = e ( r ，f ) 4 - 4 石id t j ( r , t ) ( 1 1 0 ) j _ 时 式中的岛和j o 是外场源的电荷密度和电流密度。同时，p o 和j 。以及感应的电荷 密度p 和电流密度j 之间的关系由以下连续性方程给出 鲁+ v j ：o ( 1 鲁柙j 0 _ o ( 1 1 2 ) 在等离子体介质中，交变场的变化时标往往小于介质的特征驰豫时标，介 质的状态不仅取决于时n t 的场，而且也依赖于以前时刻的场；另一方面，由于 场在空间的变化，远点场对给定空间点的介质电磁性质亦有影响。因此，本构 方程表示了场e 和d 的一种非局域的关系。在线性电动力学框架内，这种一般 的非局域关系为 d ，( r ，) = f 。d t f d r s ，( t - t ，r - r ) e ，( r ：，) ( 1 1 3 ) 式中张量毛o 一，r - r ) 为响应函数，描述介质对电磁响应的性质。它对时 第l 章绪论 间和空间宗量( f r ，卜r ) 的依赖形式，是考虑到介质的时间和空间均匀的结果。 因此，在等离子体介质中，场方程( 1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ) 、本构方程( 1 1 3 ) 、 电荷连续性方程( 1 1 1 ，1 1 2 ) 以及( 1 1 0 ) ，便是一套适合与我们研究目的麦 氏方程组。 1 3 2 介电张量 作为时- 空坐标点的连续函数的电磁场，我们可以通过傅里叶( f o u r i e r ) 变 换，把它分解为各种频率和波矢的谐波叠加。 在本文我们所采用的傅氏变换及相应得逆变换为。 a ( r ，) = f a ( 国，k ) e _ f ( “一h ) d ( o d k ( 1 1 4 ) ，k ) = 赤a ( r ，小r ) 蛐 ( 1 1 5 ) 现在我们对本构方程( 1 1 3 ) 中的电矢量场进行傅氏变换， 口( 吖) = l d t p r p 国d k 勺。一f 7 ，r - r ) p - i ( m t - k 7 ) e j ( f o ，k ) = j d c o d k l d t p r o f ：r - r 弦帅一卜州 r 譬国，k ) 】e - i ( “4 r ， 因此有， d , ( c o ，k ) = j c o d f d ( ) e i ( s t - k r ) e ( c o ，k ) ( 1 1 6 ) 即 d , ( c o ，k ) = 毛( 国，k ) t ( c o ，k ) ( 1 1 7 ) 式中 勺( ，k ) = f f d t f d r e , j ( t ，r ) p ”。r ( 1 1 8 ) 我们称毛( 吼k ) 为介质的介电张量。它对频率的依赖关系确定频率国的色 散，对波矢k 的关系则表征空间色散。 1 3 3 介电张量的性质 由于我们研究的场量都是实函数，因而本构方程( 1 1 3 ) 中的非局域响应 5 第1 章绪论 函数毛( f ，r ) 也是实函数。因此，由( 1 1 8 ) 式，立刻得到 占。( c o ，k ) = 占：( 一国，一k ) 分成为实部和虚部： 占p ( m ，k ) = r e e n ( 国，k ) + i i m 占p ( c o ，k ) 则由上式有 r e e ( c o ，k ) = r - e 毛( 一，一k ) i m 勺( 国，k ) = 一i n l 白( 一国，一k ) 也可以把介电张量分成为厄密( h e r m i t e ) 和反厄密部分： 其中， ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) e , ( c o ，k ) = 苟( 国，k ) + s 尹( c o ，k ) ( 1 2 3 ) 瞄 ，k ) = 三晦和，k ) + ，k ) 】 谬( 址) = 三嘞( 啦) 一( 啦) 】 ( 1 2 4 ) ( 1 1 2 5 ) 我们可以看到，单位时间单位体积内场e 对流j 所作的功和介电张量的反 厄密部分有关。对时空平均j e ，得到( 对单色波一e 一“) 雨= 丢砑丽删e + 佃 哆e + 吒巧互( + ) 碍壤 ( 1 2 6 ) 因而，介电张量反厄密部分移( 奶k ) ( 或的厄密部分) 描写了介质的耗 散响应，而厄密部分则反映了介质的非耗散响应，或介质的透明性质。 1 3 4 色散方程 现在，我们对场方程进行傅氏分析，很容易得到 i ( k x b ) i = 一堕s i j e j + 堕j 吣cc ， 6 ( 1 2 7 ) 第1 章绪论 k x e ：竺b ( 1 2 8 ) c 消去b ，可得 啄础州础) _ _ 等“c o , k ) ( 1 2 9 ) 其中， 懈k ) _ 等( 等硎吲啦) ( 1 3 。) 非齐次方程( 1 2 9 ) 的右边是源项，它对应的齐次方程是 人。( c o ，k ) e ( w , k ) = 0 ( 1 3 1 ) 上式决定了等离子体介质中波的本征模式。它是齐次代数方程，根据克兰 姆定理，存在非零解e ( 缈，k ) 的充要条件是：张量人。( c o ，k ) 分量组成的行列式为 零，即 d e t ( a 。( c o ，k ) ) a ( c o ，k ) = 0 ( 1 3 2 ) 上式被称之为色散方程。一般说来，它的解是复数，然而，介质的耗散一 定是很小的，否则的话，对于有较大的耗散的介质，电磁场能量不好确定。这 意味着，在复数解中，相对于实部而言，虚部很小。这时，介质近于透明，也 就是说略去a 。 ，k ) 中的反厄密部分，a ，( c o ，k ) 是厄密的。根据行列式的性质， 厄密矩阵的特征根全是实的。由于a 。，k ) 等于所有实特征根乘积，因而， a = d 似a 。( c o ，k ) ) 本身是实的。色散方程的解记为 国= 国4 ( k ) ( 1 3 3 ) 我们称为色散关系，同时由于人是实的条件 a ( c o ，k ) = a ( c o ，k ) = a ( 一国，k ) ( 1 3 4 ) 而后面一个等式是考虑到( 1 1 9 ) 和( 1 3 0 ) 式，所以色散关系写为 ( - 9 = 国4 ( k ) = - c 0 4 ( k ) ( 1 3 5 ) 应该指出，如果正频率波是左行波e - “。：物理上，负频率波则表示右 7 第1 章绪论 行波一e a t “。色散方程，a ( k ) = 0 ，仅仅是齐次方程( 1 3 1 ) 的相容条件，它 不能确定场e ( ( k ) ，k ) 的振幅和位相。我们令 e ( “厂( k ) ，k ) = e ( u 4 ( k ) ，k ) e 。( k ) ( 1 3 6 ) 单位模向量e 4 ( k ) 被称之为盯波模的极化矢量。 1 4 论文的主要研究工作 为了研究磁单极子在宇宙等离子体中的辐射特性，在第二章，我们从等离 子体中源流和自发辐射公式出发，借助磁单极子存在时的麦克斯韦方程，得到了 磁单极子自发辐射的谱能量表达式。然后，我们以粒子在中心力场中运动为模 型，结合开普勒问题中的轨道方程，通过严格的推导得到了磁单极子经过地球和 脉冲星上空沿圆锥曲线( 椭圆，双曲线，抛物线) 运动辐射的谱能量方程。并 用计算机数值模拟，画出了磁单极子在宇宙等离子体中沿圆锥曲线( 椭圆，双 曲线，抛物线) 运动的辐射谱，借助辐射谱分析磁单极子的辐射特点。 随着激光技术的发展，激光的强度已超过1 0 ”w c m 2 ，这种超强激光在与物 质相互作用时，可产生能量高于1 0 0 m e v 的高能电子，这时会有明显的相对论 效应。因此，我们有必要研究在相对论性等离子体中传播的激光脉冲的调制不 稳定性。 第三章，我们首先介绍了等离子体中波的调制不稳定性以及激光在等离子 体中的传播，然后采用一种新的简捷的方法- - - - k a r p m a n 方法，从非线性色散方 程出发，直接获得了线性偏振波模所满足的非线性控制方程，并给出了线性偏 振激光在相对论等离子体中传播的调制不稳定性的增长率与扰动态波数以及激 光强度之间的函数关系及变化曲线。 最后一章为本文的总结，以及对今后工作的展望。 8 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 2 1 引言 正如狄拉克所说叫“到底磁单极子存在与否，只能由实验来决定”。半个 多世纪以来，实验物理学家总是不倦地试图在地球上探测磁单极子，直到现在 仍无所获。尽管如此，磁单极子还是引起了人们极大的兴趣，人们把注意力投 向广大的宇宙，希望能在宇宙中首先发现磁单极子。如果宇宙中存在磁单极子， 我们如何去探测和寻找它呢? 一种可能的方法就是探测它的能量辐射，通过分 析能量损失，即可以从一个侧面来证明磁单极子的存在。上世纪9 0 年代，杨千 里等研究了磁单极子在宇宙空间等离子体中的辐射“”，但是，他们的解析解 是在近似和特定条件下获得的，且没有给出直观的磁单极子运动辐射谱。 理论分析表明，磁单极子应该是超重粒子“”。所以，当其穿过星体上空等 离子体时，在星体引力作用下，很可能做圆锥曲线( 椭圆、双曲线、抛物线) 运动，并产生瞬时的能量辐射。本章以携带不同能量的磁单极子在地球和脉冲 星中心力场中沿圆锥曲线运动为模型，推导了磁单极子运动辐射的谱能量公式。 不仅数值求解了谱能量，而且分析了磁单极子与荷电粒子在等离子中辐射的区 别。这对探测磁单极子是非常必要的。 2 2 磁单极子理论和实验的发展 2 2 1 磁单极子的理论学说 传统电动力学认为，南北磁极总是成对出现的，不存在单个的磁极。为了 追求电磁场的对称统一，英国著名物理学家狄拉克2 0 世纪3 0 年代提出了可能存 在磁单极子 如图1 2 所示 的设想“，从电与磁的完全对称性思想出发，用量子 力学的理论证明了磁单极子的存在。并指出磁单极子的存在可以解决电荷的量 子化问题。随着大统一场理论的提出，再次证明应该存在一种超重的磁单极子。 此外，从物质世界的对称性考虑，也应该有相应的磁单极子存在。由于电荷的 9 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 量子化在现代物理学中是一个非常重要的概念，所以它使得许多物理学家和天 文学家认真思考磁单极子存在的可能性问题。有许多科学家提出了其他学说， 比较著名的有“”：全对称磁单极子学说；量子力学磁单极子学说；规范磁单极 子学说；相对论性耦合场磁单极子学说；超弦磁单极子学说；超对称和超弦磁 单极子学说等。这些学说弥补了狄拉克理论中的一些缺陷和不足，给磁单极子 的存在以更坚实的理论根据。 2 2 2 磁单极子的性质 、 、 、 图1 2 、 、 根据磁单极子理论，物理学家认为它应有如下性质“”：首先是具有极强的 电离能力，在较高速度下磁单极子的电离能力是电子的1 8 0 0 0 倍，在低速条件 下电离能力更大；第二，它在磁场中能被加速；第三，它能被反磁质排斥，被 顺磁质吸收；第四，它可以和顺磁性的原子或分子结合成束系统，结合能的大 小和化学结合能相当：第五，它的质量很大，比质子的质量大得多( 约为l o ”质 子质量) 。 2 2 3 实验探索磁单极子 磁单极子的理论前景是动人的，吸引一大批实验物理学家绞尽脑汁地到处 1 0 长 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 搜寻。1 9 8 2 年，美国物理学家凯布雷拉宣布“，在他的实验仪器中发现一个磁 单极子捕捉到一个磁单极子，采用一种叫做超导量子干涉式磁强计的仪器，在 实验室中进行了1 5 l 天的实验观察记录，经过周密分析，实验所得数据与磁单极 子理论所提出的磁场单极子产生的条件基本吻合。因此他认为这是磁单极子穿 过了仪器中的超导线圈。不过由于以后没有重复观察到类似那次实验中观察到 的现象，所以这一事例还不能证明磁单极子存在。最近的一项理论工作提出， 磁单极子在动量空间的行为是与反常霍尔效应相联系的”筑波的国立高等工业 科学技术研究所的y o s h i n o f it o k u r a 及其同事们受到这一理论的启发，没有在实空 间中寻找磁单极子，而是转到动量空间凝聚态物理学家在其中构建费米面、 b f i l l o u i n 带等的数学空问，他们将一块由锶、钉和氧制成的高质量的晶体放在一 个磁场中，磁场方向为z 方向，然后测量y 方向的横向电阻率，他们发现，横向 电阻率并不如所预期的那样随温度线性地变化，而是呈现非单调的变化，甚至 改变符号研究人员还使用一种高分辨k e n 显微镜方法测量了这种晶体的薄片的 横向光传导率，在低能处发现一个尖锐的峰据t o k u r a 等的说法，这个峰只能用 在晶体结构中存在磁单极子来解释。尽管如此，人们还是未能通过实验在地球 上发现磁单极子。 2 2 4 宇宙空间磁单极子 物理学家济济尔多维克和克罗波指出：在宇宙大爆炸的一瞬间，产生了能 量极高的磁单极子。因为大爆炸之后温度很快下降，这样磁性相反的磁单极子 就及容易发生湮灭，使得宇宙中的磁单极子幸存寥寥无几，但还是有磁单极予 存在。可能的磁单极子源包括宇宙大爆炸、银河系、太阳、地球、陨星、宇宙 射线和加速器等等，根据磁单极子的性质及其与物质相互作用的特点，就可能 探测到它们是否存在。当宇宙中的磁单极子穿过宇宙空间和字宙天体“大气” 时，通常会辐射电磁波，损失能量。因此，我们有必要了解粒子在等离子体中 运动时的辐射。 2 3 等离子体中荷电粒子自发辐射 当外源流存在时，从麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组的第三式，很易得到 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 去，f e 罢一c b ( v b ) 灿= 一f v j o e d r ( 2 1 ) 去加瓦o d + b 罢+ 研( e b ) 】d r = 一，小胁 去， e 面0 1 3 + b 面o b 】d r + 云，( e b ) , i s = 一，j o e d r ow兰ili【e0d+b0b】=一j0 。e (23)t0 t0 t4 兀 。” u 4 = 一f d t f d r e ( r ，t ) j 。( r ，t ) ( 2 4 ) 睢叫。矽舭忙苦黜毂 = ( 2 丌) 6 ，d k 仁d u ( u u 。( k ) ) - 2 ( 2 秽卜铲 最后一步是考虑了来自u = 士扩( k ) 的贡献是一样的，故有乘子2 。 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 k1 甄l q 5 u l = ，f ” 百o ( w 2 a ) = 亳悟蚺r 亳( 枞。) + 缸等 有 毛屯= 丢除”a 。百o q h s b 】 = 知鲁虬+ 知警a 。 = 虬面c a i r a ( 2 6 ) 譬未= 等a i j a , b 鲁= 吾u 2 等 = 詈亳( m 巧) 一4 以 ： 故而 掣= 亳( 以_ ，卜4 批k ) 由： 五。= 五，t i ( k ) e j ( k ) 就可把r ( k ) 写为( 州，k ) ：0 1 1 3 墨! 兰竺堕王竺主堡苎堡王翌堕丝堕垡垩塑盟塑堑 雕) = 考亳( 枞分( k ) ( k ) ) 一，r 1 = b 掣i i 一r 1 晓i ， l u a ”“l 驯l o 厶 其中 ( u ，k ) = ，k ) e ；( k ) e ；( k ) ( 2 8 ) 而7 k 2 c 2 肛，印一1 ) 的部分乘了因子“2 就不依赖于u ，于是在( 2 7 ) 式中导数 为零，即得到( 2 8 ) 式。因此，得到谱能量为( m e l r o s e ，1 9 8 0 ) 【研 u 42 t ju 4 ( k ) d k ( 2 9 a ) u ”( k ) = 2 ( 2 兀) 6 冗( k ) 矿( k ) j 。( ( k ) ，k ) i 2 ( 2 9 b ) ( 2 7 ) 、( 2 8 ) 以及( 2 9 ) 式是决定运动的荷电粒子自发辐射的基本公式。 以速度“) 运动的荷电粒子引起的流密度为 j 0r ，t ) = q , ( t ) s f f r ( ) ) ( 2 1 0 ) 其中g 为荷电粒子的电荷量，它的傅氏分量是 j 0 ( 础) = 两d t ，斋e x p _ kr ) 】j o ( r d = g 0 0 v o ) o x p i ( w t - k r ) 】斋 ( 2 因此，知道了在磁场中的荷电粒子真实轨道r ：“匀，我们按( 2 “) 式就 能求得j 。k ) ，然后代入( 2 9 ) 式，就可获得荷电粒子自发辐射能量及它们的 谱分布。 2 4 等离子体中磁单极子的自发辐射 与荷电粒子一样，在等离子体介质中运动的磁单极子也能进行自发辐射。 但在性质上这种辐射有时和荷电粒子的大不相同。考虑到存在磁单极子情况下， 1 4 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 夏瓦斯韦方程硐如f 形式( 杰免逊。1 9 8 0 ) ： d i v d = 4 z p , ( 2 1 2 ) 加m 一1 _ 0 b 一竺l ( 2 1 3 ) co tc d i v b = 4 7 日 ( 2 1 4 ) r o t b ：! 票+ 一4 y l l ( 2 1 5 ) 其中，成和j ，为磁单极子磁荷密度和流密度：( 2 1 3 ) 式中磁流密度项的 符号为负，是因为磁荷应满足连续性方程所致。把上式进行谱分解，消去 b ( 印，k ) ，可德 a 。( 础) 巴( 站) = 一詈j 如k ) + 等( 姒j 。( 删，( 2 1 6 ) 其类似于( 1 。2 9 ) 式。从( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 式，类似于上节开始得到( 2 3 ) 式那样，我们可得到 百o w 三去卜瓦0 d + b 罢l = - 【( 。b ) + e ) 】 ( 2 1 7 ) 在考虑磁单极子辐射情况下( t = o ) ，有 。 u 9 = 一l 厂d ，d r j 。( 叫) b ( 叫： ( 2 1 8 ) 通过变换，有 u 4 = 一( 2 兀) 4r e f d k d w j 。( 础) b ( u ，k ) ( 2 1 9 ) 在只有磁荷情况下，场e ( 驰k ) 为 置( u ，k ) = 4 u 。ia ( l u ，k 1 - i 【d c x j 。( u ，k ) 】， ( 2 2 。) 通过方程组( 2 1 2 ) 一( 2 1 5 ) ，用e ( 口，k ) 来表示b ( 国，k ) ，就有忙；i k l u 。一( z 氕) 4 鼬，d u c u c l 警j ：( k ) j m ( k ) + i c ki k 矿( 嵋k ) ) j m ( k ) j 1 5 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 由于第一项没有实部，故 u 4 = 一( 2 兀) 4r e ，d k d 哮p e + ( 站) 】j 。( 础) ( 2 2 1 ) 用置换张量展开被积函数，并把( 2 2 0 ) 式代入( 2 2 1 ) 式，得到 u 4 一m 阻卢u 学鳖掣； 积分主要贡献来自被积函数的极点a ( k ) = 0 ，因而类似于上一节中荷电粒子 辐射谱能量的推导，最后可得到 u 4 ( k ) = 2 ( z 兀) 6 l 南卜卜( k ) 】j 。( ，k ) j 2 汜z z ， 其中r ( “，( k ) ，k ) 由( 2 7 ) 式确定。( 2 2 2 ) 式是磁单极子在等离子体自发辐射的 基本公式。 2 5 磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 2 5 1 磁单极子沿圆锥曲线轨道运动的辐射 当运动磁单极子穿过宇宙等离子体时，它产生的磁流密度为 j ( r ，f ) = g v ( t ) 万( ，一，o ” ( 2 2 3 ) 其中g 为磁荷，8 ( r 一，( ，) ) 是狄拉克万函数，而，o ) 为运动磁单子的轨道。将上 式做傅立叶变换得 蜘朋= g ! 啪e x p 【删- k ，( 嘞】南 ( 2 2 4 ) 若磁单极子的能量e 0 ，则其在中心力场下作双曲线运动“”，轨道方程为 ，( f ) = 口( e - c 蟛) 巳+ 口；i j 蜘， ( 2 3 5 ) 其中，c x ，巳为单位矢量，口为双曲线的长半轴，p 为离心率，善为无量纲 参数，t 为 ，：，堕( e s h 掌+ 孝) 扣、了 + ；) 印) _ _ 寺嘉百( 珊媳一d 肛确，) ( 2 3 6 ) 同卜我们得到 u ( k ) = u “( k ) + u 2 2 ( k ) _ 2 ( 2 石) 6 碡秽4 置h 岛1 2 ) ( 2 - 3 7 ) 式中 骂= 南j 一硝s 如一+ 舸弧一咖【j ( m 厚删峥心n o ( c o s c a ( e 一“n 卵捂面，麟 皿= 南! 一删一一一，m 压珠一一咖神唧“c 桴t 删+ 。嘲缸一绯一蝴劬妇燃 ( 2 3 8 ) 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 看磁单檄f 的能量e = 0 ，则兵在中心力场f 作抛物线运动“”，轨道方程为 ，( f ) = 昙( 1 _ 矿) 巳+ a r l e y ( 2 3 9 ) 其中，气，巳为单位矢量，口为抛物线的焦准距，刁为一无量纲参数，f 为 r = 岸抄争 啪一岛c 南巳一南勺， 旺4 。， 同上，我们得到 u ( k ) = u ( k ) + u 2 2 ( k ) - 2 ( 2 万) 6 ( 彘) 2 酬2 + m ( 2 4 1 ) 式中 c l = 南】( 一删n 卿一n 一力e 冲【“m j 等詈( ，+ 譬卜幻s ；n 烈c o s 矿；( 1 - r 2 ) + s i n 研) ) 】却 g = 石每j ( 一卿一g c o s f a + a c o s 口s m 纠e x p “m j 警；( i + 萼) 一妇s i n 畎一妒；( 1 一矿) + s n 卵) ) l 却 ( 2 4 2 ) 由此( 2 2 2 ) ，( 2 3 4 ) ，( 2 3 7 ) ，( 2 4 1 ) 可知：磁单极子的谱能量与等离子 体的折射率有关。玟与荷审粒子的谱能量县不同的， 2 5 2 数值计算与分析 由于( 2 3 4 ) ，( 2 3 7 ) ，( 2 。4 1 ) 式的复杂性，往往无法将其简化，也就得 不到谱能量的解析解。如果，取某种近似情况则会使所研究的问题失去一般性。 然而，我们可以对它进行数值计算，以携带不同能量的磁单极子经过地球和脉 冲星上空为例计算其辐射谱。 在宇宙等离子体中，由( 2 7 ) 可得 r 2 磊再1 1 9 ( 2 4 3 ) 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 其中n ( c 0 4 ) 为等离子体介质的折射率。由于矿远远超过最高共振频率，此时介 电常数脚1 可取为以下简单形式 斗蒿 则折射率为 n ( r a 4 、= ( 2 4 4 ) f 2 4 5 ) ( 2 4 5 ) 式代入( 2 4 3 ) 式可得胄= o 5 。 分别将( 2 3 4 ) ，( 2 3 7 ) ，( 2 4 1 ) 式无量纲化，引进如下无量纲参量： 二：旦，三：i l o p e捂，二= 膏 1 可一一万 一2 面杀 j ：，0 ；旦， 。 j o u o 其中z ：警为非相对论电子等离子体频率； 魄( 吮、埤) ； 研 j o ( 2 r r ) 4v 区r a2 “= 嘉橱c 雕啪一铖 们做替换口j 4 ，k k ，缈斗缈，j j j ，u u 。 图2 1 地球上空等离子体电子密度 计算中取。2 1 地球质量为5 9 8 x 1 0 ”g ，半径为6 3 5 7 x l o s c m ；脉冲星质量 2 0 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 为1 2 蚝( m o 为太阳质m - ) ，半径为1 0 k m ；g = 6 6 7 2 0 x 1 0 1 8 , o n 一佣2 1 9 2 ， m o = 1 9 9 x 1 0 ”g ，c - - 2 9 9 1 9 x 1 0 ”c m s e c ，善和刁的初始值为0 。 ( 1 ) 若磁单极子穿过地球上空等离子体。由图2 1 可知等离子体电子密度的 变化，分别取距离地球1 0 0 k m ，1 0 0 0 k m ，5 0 0 0 k m 为起点进行计算，且在 1 0 0 k m 情况下，对白天和晚上两种情况进行了讨论。具体取值如下表： 表2 1 h1 0 0 k m1 0 0 0 k m5 0 0 0 k m w1 7 8 x1 0 7 h z ( 自) 1 7 8 x1 0 6 n 2 ( 晚) 5 6 4 j 0 6 n z 1 7 8 1 0 6 h z 1 5 6 6 6 ( 自h3 3 6 0 1 5 ( 晚) 2 2 8 7 7 33 3 6 0 1 5 口0 2 万0 2 7 r0 。2 万 口 o 2 5 石0 2 5 ；, r 0 2 5 a 口o l 咖 1 2 0 1 2 6 2 ( 自)1 2 ，0 1 2 6 2 自)6 0 0 6 3 1 ( 自 6 3 3 2 8 26 3 3 2 8 23 ，1 6 6 4 14 5 3 1 6 44 5 3 1 6 42 2 6 5 8 2 2 5 7 6 4 5 ( 晚) 2 5 7 6 4 5 ( 目0 1 - 2 8 8 2 2 豌) e 小于0等于0大于0小于0 等于0大于0小于0等于0大于0 x 所示 经过数值计算得到携带不同能量穿过地球上空磁单极子的辐射谱如图2 2 u t 0 ( 白天) a ( e 0 ) 图2 2 经过地球上空磁单极子辐射谱 由上图可知，携带相同能量磁单极子白天和夜晚经过地球相同高度 ( 1 0 0 k m ) 时，磁单极子的能量损失不同，晚上的时候更大。这说明：磁单极 子的辐射与等离子体电子频率。有关，相同条件下，。越小越容易损失能量， 这与文献 1 0 1 2 的理论分析是一致的；由图也可以看出，a - c 图中的辐射谱除数 值有差别外，其他特点都非常相近，我们取其经过地球上空h = 5 0 0 0 k m 时的辐 涵、想一 墨釜二娑 广 一 广 一 硝蜀刮爿叫引卅烈qld封_曩j刮叫j酉_1叫q 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 射谱做曲线拟合( 只拟合主要部分) ，如图2 3 所示。 u a ( e o ) 图2 3 经过地球上空( h = 5 0 0 0 k m ) 磁单极子辐射谱的拟合曲线 拟合方程分别为： u ：墚0 0 1 9 8 5 5 ( 2 4 6 a ) 1 + p 而 u ：! ! ：! ! 丝 m 一2 42 0 7 1 + e 0 1 0 6 6 1 1 u ：0 0 7 4 = 3 0 3 1 + e 0 0 9 6 2 5 5 7 1 9 7 2 2 0 0 0 4 0 4 5 ( 2 4 6 b ) ( 2 4 6 c ) 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 ( 2 ) 若磁单极子穿过脉冲星上空等离子体，等离子体电子密度由图1 1 得到， 具体取值如下： 当e o 时，取h = 8 0 k m ，口= 2 4 3 8 3 3 ，p = 2 ，口= 詈，妒= 三，= 0 4 5 6 2 9 6 ， 胛= 1 0 3 硎一，= 1 7 8 x 1 0 6 h z ，x = 5 。 经过数值计算得到携带不同能量穿过脉冲星上空磁单极子的辐射谱如图 2 4 a - c 所示，其中一种情况的拟合曲线( e 0 ) 如图2 4 d 所示。 u u a m b c d 图2 4 经过脉冲星上空磁单极子辐射谱及其拟合曲线( e 0 ) 2 4 第2 章等离子体中磁单极子沿圆锥曲线运动的辐射 拟合方程为： u ：罢一0 2 1 3 7 3 ( 2 4 7 ) l + p 面 数值计算的结果表明磁单极子在宇宙等离子体中沿圆锥曲线运动辐射类似 于曲率辐射，由曲线拟合方程知辐射谱为指数谱。携带不同能量的磁单极子经 过地球和脉冲星上空时，它们的运动辐射谱与数值计算得到的荷电粒子运动辐 射谱“1 ( 如图2 5 所示) 之间有明显的区别：在低频( 相对而言) 区，磁单极 子的辐射谱能量是不断