（概率论与数理统计专业论文）关于记录示性符的一些研究.pdf

at h e s i si np r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s s o m ed i s c u s s i o n sa b o u tr e c o r d v a l u ei n d i c a t o r s b y l i uc h a n g b i a o s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rs u np i n g n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y d e c e mb e r2 0 0 7 。 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索、交流 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士论文 摘要 关于记录示性符的一些研究 摘要 记录值自从c h a n d l e r ( 1 9 5 2 ) 提出后得到了迅速的推广。d z i u b d z i e l a 和 k o p o c i n s k i ( 1 9 7 6 ) 对记录值进行了推广，提出了k 阶记录值的概念，v e r v a a t ( 1 9 7 3 ) 提出了弱记录值的的概念。本文主要讨论了记录时间示性符和记录值示性符，所 使用的方法主要是组合数学与概率论的方法。利用记录示性符之间是相互独立的 性质，通过发生函数的方法，本文得到了记录示性符之和的分布；利用记录时间 示性符得到两个记录时间的条件分布；利用记录值示性符本文得到两个记录值的 条件分布。 关键词：记录值；弱记录值；记录时间；记录示性符；发生函数 h 东北大学硕士论文 a b s t r a c t s o m ed i s c u s s i o n sa b o u tr e c o r dv a l u ei n d i c a t o r s a bs t r a c t r e c o r dv a l u e sh a sb e e nr a p i d l yp r o m o t e ds i n c ei tw a sa d v a n c e db yc h a n d l e r i n19 5 2 d z i u b d z i e l aa n dk o p o c i n s k ip r o m o t e dt h er e c o r dv a l u ea n dg a v et h e c o n c e p to fk - t hr e c o r dv a l u e si n 19 7 6 v e r v a a tg a v et h ec o n c e p to fw e a kr e c o r d v a l u e si n19 7 3 i nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l yd i s c u s s e dr e c o r di n d i c a t o r so fv a l u ea n d r e c o r di n d i c a t o r so f t i m e ，m a n y o ft h e s ec o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e dv i a c o m b i n a t o r i a la n d p r o b a b i l i t y t o o l s d i s t r i b u t i o n so fr e c o r d i n d i c a t o r s s u m m a r i z a t i o nw e r eg i v e nb yg e n e r a t i n gf u n c t i o nm e t h o dc o n d i t i o n i n go n i n d e p e n d e n c eo fr e c o r di n d i c a t o r s ；c o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o no ft w or e c o r dt i m ew a s o b t a i n e db yr e c o r di n d i c a t o r so ft i m e ；c o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o no ft w or e c o r dv a l u e s w a so b t a i n e db yr e c o r dv a l u ei n d i c a t o r s k e y w o r d s ：r e c o r dv a l u e ；w e a kr e c o r dv a l u e ；r e c o r dt i m e ；r e c o r di n d i c a t o r s ； g e n e r a t i n gf u n c t i o n i i i ，“ 东北大学硕士论文目录 目录 独创性声明i 摘要i i a b st r a ct i i i 第1 章绪论1 1 1 引占1 1 2 记录值和k 阶记录值的介绍1 1 3 弱记录值和k 阶弱记录值的介绍一3 1 4 发生函数或生成函数4 1 5s t i d i n g 数和推广的s t i f l i n g 数4 1 6 问题的提出及主要研究内容5 第2 章记录示性符的性质7 2 1 引。言一7 2 2 记录时间示性符的性质一8 2 3 记录值示性符的性质1 4 2 4 弱记录值个数示性符的性质1 6 第3 章记录示性符之和的分布1 7 3 1 记录时间示性符之和的分布1 7 3 2 记录值示性符之和的分布2 0 第4 章总结2 3 4 1 本文综述2 3 4 2 下一步应该做的工作2 3 参考文献2 4 致谢2 7 i v 上 东北大学硕士论文 第1 章绪论 第1 章绪论 在这一章中，主要介绍记录值和记录示性符的定义以及有关记录值和记录示性符 的一些成果，介绍了发生函数和s t i r l i n g 数以及推广的s t i r l i n g 数和我们将要做的工作。 1 1 引言 记录值首先是有c h a n d l e r ，k n ( 1 9 5 2 ) 1 1 提出的，在过去半个世纪得到了迅速的推 广，d z i u b d z i e l a ，w 和k o p o c i n s k i ，w ( z a s t o s o w a n i am a t e m a t y k i1 5 ( 1 9 7 6 ) 1 8 7 1 9 0 ) 2 1 对记 录值进行了推广，提出了k 阶记录值的定义，v e r v a a t ，w ( 1 9 7 3 ) 1 3 1 提出了弱记录值的定义， 从记录值的提出到现在前辈们在记录值方面做了很多工作，主要工作有，得到记录值 的分布函数和记录时间的分布函数，记录值的联合分布函数和记录时间的联合分布函 数，记录时间的发生函数和记录值的发生函数【4 1 ，记录值矩的递推关系1 5 1 ，k 阶记录时 间的分布和k 阶记录值的分布，k 阶记录时间的联合分布和k 阶记录值的联合分布，k 阶 记录时间的发生函数和k 阶记录值的发生函数【4 i ，k 阶记录值的高阶矩【6 1 ，k 阶记录值 的预测 7 ，基于记录值的随机区间引，弱记录值的分布9 1 0 1 ，记录值的费舍尔信息以 及弱记录值的费舍尔信息i ，离散分布记录的期望值的边界估计1 1 2 i ，弱记录值的分布 等许多工作。 1 2 记录值和k 阶记录值的介绍 ( 1 ) 记录值的定义： 考虑随机样本。，x ：它们相互独立且来自同一个连续的分布函数f ( x ) ，密度函 数为f ( x ) ，c h a n d l e r ，k n ( 1 9 5 2 ) 定义了记录时间( 以) 和记录值x ( 刀) 如下 1 】： 三( 1 ) = 1 ， ( 以+ 1 ) = m i n j ：j 三( ，z ) ，x ， x ( 。) ) ， x ( 刀) = x l ( 。) 其中胛1 可以得到第，个记录值的密度函数n 引： 乃( 加高- l o g ( 卜m ) ) ) 产1 弛) 舯叭) d 通过引入记录时间示性符，用发生函数的方法可以得到第，1 个记录时间的概率和两 东北大学硕士论文 第1 章绪论 个相邻的记录时间( 刀+ 1 ) 和( 刀) 的条件概率如下h 。： 尸( ( 刀) = 聊) = 兰丛学， p 三( 行+ 1 ) jl ( 胛) ：f ) ：三， ) p ( 刀+ 1 ) = j l ( 甩) = f ) 2 了石三二万， 其中s s ( m ，”) 表示第一类无符号s t i r l i n g 数，且( 1 ) = 1 ，三( 2 ) = ( 2 ) ，上( 甩) = ( 门) 的联合 分布函数为： p(1)=1，(2)=(2)，三(，z)=，(刀)=i万乏5二ii石乏蜀了丽， 其中 1 = j ( 1 ) ( 2 ) x j t ，j 1 ) ，i1 2 _ 1 ， x ( n ，七) 2x l ( 。 ) 一+ l ，( 。，) ，刀1 可以得到第”个k 阶记录值x ( n ，k ) 的密度函数： + 朋( 加志( _ 1 0 9 ( 1 叫制1 ( 1 - f ( x 矿q 似) ， 通过引入k 阶记录时间示性符，用发生函数的方法可以得到第刀个k 阶记录时间的概 率和两个相邻的k 阶记录时间的条件概率如下h 1 ： 尸( ( ，七) = 肌) ：二掣m 船( 研一七，聆一1 ) ， ! p(n+l,k)，i三(胛，七)=，行)=量竺!l云号三专譬笋，rmn+k-1m 1 ； i+ ) 一i ，一i ， l、。k芷r 东北大学硕士论文 第1 章绪论 p l ( 1 ，k ) = 七，l ( 2 ，七) = 肌( 2 ) ，( 疗，七) = r e ( n ) 七! ( ， ( 聍) 一七) ! k ”_ ，以( ，z ) !( ， ( 2 ) 一七) ( m ( 3 ) 一七) ( 聊( 刀) 一k ) 1 3 弱记录值和k 阶弱记录值的介绍 ( 1 ) 弱记录值的定义： 考虑随机样本x 。，x ：它们相互独立取值为 0 , 1 ，n 的离散型随机序 列，v e r v a a t ，w ( 1 9 7 3 ) 3 1 介绍了弱记录值x 。( 门) 和弱记录时间。( 刀) l 。( 1 ) = 1 ， 。( ，z + 1 ) = m i n j 三。( ，1 ) ：x ，m a x x l ，x 2 ，x ，一1 ) ) ， k ( 刀) = ( 。) 疗= 1 , 2 ， 可以得到前力个弱记录值x 。( 1 ) = k 。x 。( 刀) = 七。的联合分布及x 。( ”+ m ) 和x “刀) 的 条件概率协1 0 1 ： 尸( x w ( 1 ) 呐圳吨h “尊等， 其中1 k l k 。n ， p x 。( 甩+ 聊) = jix 。( 玎) = i = 旦r 。( f ，歹) ，1 i j n r j ， 其吣以归( f ，垆骞 。妻一等，脏2 ，胪尸( x l = x t i t , 2t i t ) ， = ，0 一l = 一 一。 q ，= p ( x l x ) ( 2 ) k 阶弱记录值的介绍 考虑随机样本x 。，x ：它们相互独立取值为 0 , 1 ，2 ，) 的离散型随机序列， k 阶弱记录值x 。( 力，k ) 和k 阶弱记录时间定义如下： 。( 玎，k ) = k ， l w ( 刀+ l ，七) = m i n j 三。( 门，j | ) ，x j x k ( 。 七卜“1 ，k ( 。，女) ) ， 以= 1 , 2 x 。( 甩，k ) = x k ( 。，女) 一i + l ，k 加，i ) 疗1 东北大学硕士论文 第1 章绪论 1 4 发生函数或生成函数【1 4 l 发生函数的英文原词是g e n e r a t i n gf u n c t i o n 。它的另外两个译名是生成函数或母 函数，发生函数是现代离散数学领域中的重要方法，它能以某种统一的程序方式处 理和解决众多不同类型的问题，它是离散数学和连续分析的桥梁。 对于一个有限或无限的数列 a o ，口l ，a 2 ) 用形式幂级数 彳( x ) = 口o + 口l x + a 2 x 2 + 使之成为一个整体，我们称a ( x ) 为序列 a 0a ，口：) 的发生函数，记为g a 。) 。发生 函数的方法是在我们研究组合问题时的一个重要具，它是一根晒衣绳，在它上面挂 满了我们要展示的一列数。 1 5 s t i r l i 馏数和推广的跏，懈数1 5 - 1 7 1 ( 1 ) 第二类s t i r l i n g 数定义： r l ，= s ( p ，o ) 【胛】o + s ( p ，1 ) i n l + + s ( p ，p ) 刀】p = s ( p ，足) 】。 k = o 其中s ( p ，k ) 叫做第二类s t i r l i n g 数，【，z 】t = n ( n - 1 ) 伽一七+ 1 ) 玎l 关于第二类s t i r l i n g 数递推公式： s ( p ，k ) = k s ( p l ，k ) + s ( p l ，k 一1 ) 其中s ( p ，0 ) = 0 ( p 1 ) s ( p ，p ) = 1 ( p 0 ) 第二类s t i r l i n g 数s ( p ，七) 表示的意义是将p 个元素的集合划分成膏个不可辩别的非 空盒的划分个数。 ( 2 ) 第一类s t i r l i n g 数： 一 。 p i 【以】p = ( 胛一( p 一1 ) ) ( 一1 ) p - l - k s ( p - 1 ，七) 刀。 其中s ( p ，k ) 叫做第一类s t i r l i n g 数。 关于第一类s t i r l i n g 数递推公式： s ( p ，k ) = ( p 一1 ) s ( p - 1 ，k ) + s ( p 一1 ，k 1 ) ， 第一类s t i r l i n g 数s ( p ，七) 表示的意义是将p 个物体排成k 个非空的循环排列的方法 - 4 - 东北大学硕士论文第1 章绪论 数。 ( 3 ) 无符号s t i r l i n g 数： p x ( x + 1 ) + 2 ) ( x + p - 1 ) = s s ( p ，k ) x k = l 其中s s ( p ，尼) 记为第一类无符号s t i r l i n g 数。 关于无符号s t i f l i n g 数s s ( p ，k ) 的一个递推关系： s s ( p ，k ) = s s ( p 一1 ，k 一1 ) + s s ( p l ，k ) ( 4 ) 推广的第一类s t i r l i n g 数s 。( 行，七) ( c o m t e t ，1 9 7 2 ) 定义为： 设a = ( a 0a l ，口2 ) 是一个实数的无限序列，推广的s t i r l i n g 数定义如下： 推广的第一类s t i r l i n g 数s 。( 刀，k ) 定义为： ( 石i 口) 。= ( 石一口o ) ( 石一口1 ) ( x 口。一1 ) = s 。( 疗，尼) x k = o 其中 i 口) 。= 1 关于推广的第一类s t i r l i n g 数的一个递推关系式： s 。( 疗，k ) = s a ( 刀一1 ，k 一1 ) 一一l s 。( 刀一1 ，七) ； ( 5 ) 推广第二类的s t i r l i n g 数s 。( ，z ，七) 定义为： x ”= = s 。( 刀，k ) ( x - a 。) ( x - - a i ) ( x - - a t 1 ) k = o = s 。( 刀，七) ( xi 口) 。 k = o 关于推广的第二类s 一数的一个递推关系式： s 。( 甩，k ) = s 。( n l ，k 1 ) + a , q s 。( 胛一1 ，k ) 1 6 问题的提出及主要研究内容 关于记录时间的概率分布及两个相邻记录时间的联合概率分布前人已经得出了 结果，将要做的工作是通过引进记录时间示性符和记录值示性符，用发生函数的方 法研究了记录时间示性符之和的分布及记录值示性符之和的分布，对于连续的随机 序列通过记录时间示性符得到了两个不相邻的记录时间的条件分布，对于离散型的 东北大学硕士论文 第1 章绪论 随机序列，通过记录值示性符得到了两个不相邻的记录值的条件分布。 东北大学硕士论文第2 章记录示性符的性质 第2 章记录示性符的性质 本章主要介绍了记录示性符以及利用记录示性符通过发生函数的方法得 到一些有用的结果。 2 1 引言 记录示性符从总体上可以分为记录时间示性符和记录值示性符这两类， 对于连续型随机序列，可以引进记录时间示性符的定义，对离散型随机序列 引进了记录值示性符的定义，并且得到了记录示性符之间相互独立，通过记 录示性符可以得到很多有用的结果，如：对于连续型随机序列，通过记录时 间示性符，可以得到第刀个记录时间l ( n ) 的概率分布，第刀个记录时间l ( n ) 和 第疗+ 1 个记录时间l ( n + 1 ) 的条件分布，对于离散型随机序列，也可以得到第以 个记录值x ( n ) 的概率分布，第刀个记录值x ( 刀) 和第，? + 1 个记录值x ( n + 1 ) 的 条件分布等一些有用的结果。 。 有关记录示性符的定义如下h 1 ： ( 1 ) 考虑随机样本x 。，x ：它们相互独立且来自同一连续的分布函数 f ( x ) ，记录时间l ( n ) 和记录值x ( n ) 定义如下： 三( 1 ) = 1 ， t ( n + 1 ) = m i n j ：j ( ”) ，x ， x ( 。) ， x ( n ) = x ( 。) ， 刀l ， 记录时间示性符考。定义如下： 考。= l 刀是记录时间，即以是一个记录值 毒。= 0 ，2 不是记录时间，即x 。不是记录值 ( 2 ) 考虑随机样本x 。，x ：它们相互独立且来自同一个连续的分布函数 f ( x ) ，k 阶记录时间l ( n ，后) 和k 阶记录值x ( n ，k ) 定义如下h ，1 8 1 ： l ( 1 ，七) = k ， l ( n + l ，七) = m i n j l ( n ，j | ) ：x j x 一t ，一l ，胛1 ， x ( n ，七) 2x l 伽，t ) 一i + l ，( h ，t ) ，玎1 ， k 阶记录时间示性符定义如下h 1 ： 专。( 尼) = l z 户以。 刀= 七，七+ l 东北大学硕士论文 第2 章记录示性符的，生质 ( 3 ) 考虑离散的随机序列x 。，x ：j 。相互独立，取值为 0 , 1 ，2 ，n 记录时间l ( n ) 和记录值x ( n ) 定义如下： ( 1 ) = 1 ， ( 九+ 1 ) = m i n j ：歹 ( 刀) ，x ， x 伽) ) ， x ( n ) = x ( 。) ， 刀1 ， 记录值示性符定义如下h 1 ： 叩。= 1 门是一个记录值，即存在x ( m ) = n ，m = 1 , 2 叩。= 0 挖不是一个记录值 ( 4 ) 考虑随机样本x 。，x ：它们相互独立取值为 0 , 1 ，2 ，n ) 离散型随机 序列，弱记录值x 。( 行) 和弱记录时问。( 门) 定义如下： 。( 1 ) = 1 ， l w ( 聆+ 1 ) = m i n j 。( 刀) ：x j m a x x l ，x 2 ，x j i ) ) ， l ( 胛) = k ( 。) ， 胛= 1 , 2 ， 弱记录值示性符定义如下： 叩。”= 1, 1 是一个弱记录值，即存在x 。( 所) = 刀，m = 1 , 2 7 7 。”= 0 刀不是一个弱记录值 尸f i t = 1 ) = 矧删，1 p ( r w = 0 ) = i - p 眠协；篱删，1 弱记录值个数示性符n 9 2 们： p 。= m 表示在序列x 。( 1 ) ，x 。( 2 ) 中有m 个弱记录值的取值为门 p ( p 。= m ) = ( 1 一厶) ”，”= ，0 ，l ，1 一，m = 0 , 1 ， 其中= 矧。 2 2 记录时间示性符的性质 引理2 2 1 ：随机序列x 。，x ：相互独立且来自同一个连续的分布函数 f ( x ) ，记录时间示性符考。，毒2 和m 。相互独立，其中m 。= m a x x i 一，x 。) ， 且考。的概率为n 1 ： p ( 眚。= 1 ) = 二， 东北大学硕士论丈 第2 章记录示性符的性质 尸( 考。：o ) ：1 一尸( 毒。：1 ) ：型 刀 证明：取r t 2 ，可以得到， p ( 专。= 1 ) = p ( x 。= m 。) = p ( x = m 。) ： 七= 1 , 2 ，疗 当f j 时，则p ( x ，= x ，) = 0 有 1 2 p m 。= 墨) + + p m 。= x 。) = n p m 。= 以) 可得 尸( 毒。：1 ) ：p ( - l ：m 。) ：! 刀 引进一序列数a o ) ，口( 2 ) a ( j ) 使得 l a o ) a ( 2 ) a ( s ) ， ，= 2 ，3 ，s = 1 ， 只需要证明f 面等式县口司： 尸 毒口( 1 ) 2l 喜。( ，) 2l ，m ， x = 尸 菩。( 1 ) = 1 ) p 毒。( 。) 1 p m ， x ) 对j = 1 和j = 2 进行证明，可得到 尸( ) 2l ，m ， x ) = p m a x ( x l ，x a ( 1 ) - i ) x 。( 1 ) x ；m a x ( x 。( 1 ) + l ，x ，) x ) 邯) ，_ 州妫州h 卿) = 哿 = p 喜。( 1 ) = 1 p m ， x ) 令s = 2 则有： p ( 专。( 1 ) = 1 ，毒。( 2 ) = l ，m ， z ) = p m a x ( x l ，以( 1 ) 一1 ) x a o ) x ；m a x ( x 。( 1 卜l ，以( 2 ) 一1 ) x ；m a x ( x 。( 2 ) + l ，t ) x 2 ( f ( z 圹f 严一1 ( 删叩一( 卵( v 、卵( “) = 丽f r 而( x ) 2 尸 毒。( 1 ) = l p ( 亭。( 2 ) = 1 ) p m ， 2 时同样可证，引理1 证明完毕 定理2 2 1 记录时间三( 聆) = m 的概率分布为【4 2 1 1 ： p ( ( 以) = m ) = 兰型学 证明：通过记录时间示性符利用发生函数的方法证明该定理，有记录时间示 东北大学硕士论文第2 章记录示性符的性质 性符专。，善：相互独立，可知 p ( l ( n ) = m ) = p ( 毒l + 考2 + + 考。一l = 疗一1 ，考。= 1 ) = p ( 考l + 考2 + + 考。一l = 刀一1 ) p ( 善。= 1 ) ：! ! ! 茎! ：圭型= ! 三! 二! ! m 为了求 尸( 眚l + 毒2 + + 考，一l = 胛一1 ) ， 我们去求眚。+ 孝：+ + 善州的发生函数 巴一，( s ) ：西针秘吨一- = 兀m - i 西毛= 兀m - 1 三孚! s ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s 十m 一2 ) = 一 ( 所一1 ) ! 有s ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + m - 2 ) 兰s s ( m - 1 ，n ) s ”则 p l j 巴一，( j ) = 扩1j 西祭砂+ 。- = s s ( m l ，刀一1 ) 眦圳= 掣 定理1 成立。 定理2 2 2 记录时间的条件概率为4 】： 证 = 尸 辱2 = o ) p 考j ( 2 ) 一i = 0 p 毒j ( 2 ) = 1 ) p 考j ( 2 ) + l = 0 ) p 考( 3 卜l = 0 ) p j ( 3 ) = 1 ) 尸 考j ( 。一1 ) 一l = 0 ) p 考( 。一1 ) = l j p j 伽一1 ) + l = o ) p ，( 。卜i = o ) 尸 考j ( 。) = 1 ) 。f n 1nr m - p t 芦，j ( 2 ) 一- - 1 t 、尸 考砌) - 1 ) = 尸考z 2o 卜一p 考，) 2o 7 趸而葫 1 ( ( 2 ) 一1 ) ( ( 3 ) 一1 ) ( ( 门) 一1 ) 定理成立 引理2 2 2 ：随机序列x 。，x 2 相互独立且来自同一个连续的分布函数 f ( x ) ，后阶记录时间示性符序列考。( 七) ，毒川( 七) 相互独立，且毒。( 后) 的概率为h 3 ： 尸( 考。( 七) ：1 ) ：一k 尸( 眚。( 七) ：o ) ：1 一尸( 毒。( 七) ：1 ) ：坐 定理2 2 4k 阶记录时间三( 刀，七) = m 的概率分布为【4 t2 3 - 2 6 】： 尸( ( 刀，后) ：聊) ：掣雕( m 一七，以一1 ) ，竹! ，l， 东北大学硕士论文 第2 章记录示性符的， 生质 证明：通过惫阶记录示性符利用发生函数的方法证明该定理，有k 阶记录时间 示性符 。( 七) ，考：( 七) 相互独立，可知 p ( l ( n ，七) = m ) = p ( 专。( 七) + 考+ l ( 七) + + 毒。一1 ( 后) = ，z 一1 ，考，( 后) = 1 ) = p ( 髻( 尼) + 眚+ l ( 七) + + 考脚一l ( 七) = , 一1 ) 尸( 考，( j | ) = 1 ) ：生p ( 考( j | ) + 毒k + l ( 七) + + 毒。一l ( 后) = n - 1 ) 为了求 p ( 善t ( 后) + 考t + l ( 后) + + 髻。一l ( k ) = i - - 1 ) ， 进一步求专。( 尼) + 毒( 七) + + 。一，( 尼) 的发生函数 巴_ l ( s ，忌) ：西“聃缸舭卜一t ”：兀m - i 西“t ，= 扦【三二生 k s o + k s ) ( 2 + k s ) ( 肌一1 k + k s ) 庀( 庀十l j ( 尼+ z ) ，竹一l j ： 生二 芒k s o + k s ) ( 2 + k s ) ( ，刀一1 一七+ k s ) ( 所一1 ) ! 令，= k s ，则 黜圳他) ( 2 岫) ( m - l - k + 缸) ：粤掣f ( 1 + f ) ( 2 + ，) ( 朋一卜k + f ) ( 所一1 ) ! 、 一 。 。 朋一七 册一七 有咐+ 1 + 2 ) - 砸+ 所1 一后) 2 善船( m - k , r t 矿2 善船( m - k , l 1 ) ( 妫“则 = 黜m 孕- km - k , n m 1 删 i 一 ! 百 ， 川) = 裂删m - k , n - 1 ) 尸( 三( 刀，七) ：聊) ：鱼b ”一j 巴一。( s ，七) m ：掣船( m - k ，川) m ! 定理2 2 5 ：七阶记录时间联合概率分布4 ，2 7 2 8 1 p l ( 1 七) ：七，l ( 2 ，七) = m ( 2 ) ，t ( n ，七) = m ( 玎) 1 2 - 东北大学硕士论文第2 章记录示性符的性质 一尼! ( ，刀( 疗) 一七) ! 聊( 刀) ! k ”一1 ( m ( 2 ) 一七) ( ，竹( 3 ) 一七) ( 聊( ，1 ) 七) 证明：p t ( 1 ，七) = 七，l ( 2 ，k ) = ，竹( 2 ) ，l ( n ，k ) = 朋( 刀) ) 2p 溉( 后) = 1 ，考( 七) = 0 ，善。( 2 ) 一l ( 七) = 0 ，毒。( 2 ) ( 七) = 1 专。( 。) 一l = o ，考。( 。) = 1 ) = p 专女( 七) = 1 p 考t + i ( 后) = 0 ) p g 。( 2 卜l ( 七) = o i p ，( 2 ) ( 七) = 1 ) p 毒，( 。卜l = 0 p 专。( 。) = 1 ) k + 1 m ( 2 ) 一1m ( 2 )m ( n ) 一1m ( n ) 后! ( m ( 胛) 一七) ! k ”一1 ， ( 门) !( 朋( 2 ) 一七) ( ，竹( 3 ) 一尼) ( ，卯( 门) 一七) 其中k m ( 2 ) m ( n ) 推论2 2 1 ：利用记录时间示性符对一个等式的证明 s s ( m - 1 ，z 1 ) = ( 朋一2 ) ! l ，( 2 ) ，( 3 ) j ( n - ) 。( j ( 2 ) 一1 ) ( ( 3 ) 一1 ) ( ( 刀) 一1 ) 证明：有三( 聆) = m 表示在序列x ：，x ，x ，一。中有刀一2 个记录值，这胛一2 个记 录值出现的时间记为( 2 ) ，( 3 ) ，j ( n 一1 ) ， 尸( ( ，z ) = 聊) = j p ( 毒l = l ，善朋h = o ，髻m ) = l ，乞( 2 ) + l = o 考加_ 1 ) 一l = o ，眚巾州= l ，善加_ 1 ) + l = o 考。= 1 ) k ，( 2 ) ( 3 ) ( j ( n - i ) 。，2 3 ，( 2 ) 一1j ( 2 ) j ( 2 ) + 1j ( n 一1 ) 一1j ( n - 1 ) j ( n - 1 ) + l m - 1 ，行 ：y ! l 。( 2 ) 。，( 2 怎。( 。一i ) 。( ( 2 ) 一1 ) ( ，( 3 ) 一1 ) ( ( 拧一1 ) 一1 ) ( ，力一1 ) m 有定理2 3 1 知： p ( 刀) ：脚) ：s s ( m - j 1 , 一n - 1 ) 可得 s s ( m 丁- 1 , n - 1 ) ： m ! i j ( 2 ) j ( 舞“n 一) 。( ( 2 ) 一1 ) ( ( 3 ) 一1 ) ( ，( 即) 一1 ) ( ，卵一1 ) m s s ( m - 1 ，n - 1 ) = 伽一2 ) ! l j ( 2 ) j ( 3 ) j ( n - 证明完毕。 t ) 。( ( 2 ) 一1 ) ( ，( 3 ) 一1 ) ( ( 聆) 一1 ) 1 3 东北大学硕士论文 第2 章记录示性符的性质 2 3 记录值示性符的性质 引理2 3 1考虑离散的随机序列x 。，x 2 x 。相互独立，取值为 o ，1 ，2 ， ，记录值示性符序列叩。，7 。相互独立且 砌。_ 1 ) - p x 圳胁) = 嬲，n - - 0 , 1 , - 朐。_ o ) = i - p ”1 ) _ 矧，n = 0 , 1 , - - 证明：尸铆。= 1 = p x l = 1 t + p x l 以，x 2 = 刀 + p x 1 ”，x 2 n , x 3 = 门 + = p x = 刀) ( 1 + p x 门) + 尸2 x 门) + ) 一p ( x = 以) p ( x = 疗) 1 一p ( x 刀) p ( x 珂) 为了证明1 o , 1 。的独立性，只需要证明： ，乩弘：，乩旷1 ) _ 冉等粼 其中0 sa ( 1 ) a ( 2 ) a ( s ) ， ，= 2 , 3 ， 给出m ( r 1 ) 表示当，7 加- n = 1 时的时间，则 p r 。( i ) = 1 , q 。( 2 ) = l ，叼。( ，) = 1 ) = p 叩刚) = 1 ，叩叩) = 1 ，叩吣) = 1 ，m ( r 一1 ) = m ) 。三喜p 7 7 州1 ) 2 1 ，7 7 州2 ) 2l ，7 7 a ( ，- 1 ) 2 1 ，m ( ，一1 ) = ，托，x m + l a ( ，一1 ) ，x m _ l ，ix ( 行) = | = 揣 证明：p x ( n + 1 = jx ( 胛) = 七) = p r l k + l = o ，叩m = o ，r 7 广l = 0 , 1 1 ，= 1 ) = p r l k + l = o p r m = o ) p 铆，一l = o p r j = 1 ) p x k + 1 ) p x j 一1 p x = 办p = ) ：= 一= 一 尸 r k + 1 ) p x j 一1 p x j p x k + l p x ( n + 1 jx ( 刀) = k ) 证明完毕。 = p r l k + 1 = o ，7 7 i + 220 ，7 7 j l = 0 ，叩，= 0 = p r l + l = o p r + 2 = o ) p r j l = o p r ，= 0 h x k + 1 尸 x j 一1 p x 办p x ) = = 一= 一 p x k + 1 ) p x j 一1 p x j p x k + 1 ) 定理2 3 2 ：记录值x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) 的联合分布函数为h 一们 p ( x o ) = i l ，x ( 2 ) = f 2 ，x ( ，z ) = ) - p ( 拈秒尊矧，l = p r o = 0 e r l i l _ l = o e o ，。= 1 ) g o ”l = o e r l k = l e x o e i x i l 一1 p i x = p x - 1 p x = i 。 p x 0 ) g x i l 一1 p x i l p x 一1 e x 卵c 如秒尊渊 证明完毕。 1 5 - 东北大学硕士论文第2 章记录示性符的性质 2 4 弱记录值个数示性符的性质 引理2 4 1 3 3 1 ：序列甜o ，“l ，一，甜。相互独立，且甜，= k 的概率为 p ( f l t = k h h 小o ，1 ，删坍，厶= 矧， 朋mm “，的概率为：尸( = 七) = a 。( 聊+ 1 ) ( 1 一) 厂，。 i = ot = ot = o 舯姒洲户一i = o , 1 , - - , m 尸( 所+ 1 ) = 兀三。( 1 一) 和三。a ，( 聊+ 1 ) = 1 定理2 4 1 b 钆3 朝 第刀个弱记录值x w ( n ) m 的概率为： p x 。( 刀) 朋) = 仅，( m + 1 ) “ t = o 证明： p x 。( 刀) m ) = p ( u o + “l + 甜。门) = p ( ”。刀) = 尸( “，= 刀) + 尸( 甜。= + 1 ) + 尸( 甜，= 玎+ 2 ) + t = ot = oj = ot = o = a ，( 肼+ 1 ) ( 1 一妒”+ e a ，( 聊+ 1 ) ( 1 一k 肿1 + a ，( 朋+ 1 ) ( 1 一，一”+ l = ot = oi = 0 = a ，( ，l + 1 ) ( 1 一妒。”( 1 + + 2 ) t = o = i = 0 堋h 专 1 。，i = a ，( 研+ 1 y ，” f ；o 证明完毕。 1 6 f 东北大学硕士论丈 第3 章记录示性符之和的分布 第3 章记录示性符之和的分布 3 1 记录时间示性符之和的分布 定理3 1 1 ：记录时间示性符之和的分布 眦“州扣垆掣”喜矗川力( f ) ( 脚1 ) h 证明：由喜。的发生函数为e s 厶：生兰+ 兰及考。，考川考。相互独立，则 刀刀 e s 钳+ 一点西钆t ic j - _ _ 2 + ) ：堕兰盟堕掣堕尘尘 j 2 ” j = m ii mm + 1, ：! 竺尘；型( ，刀一1 + s ) ( 所+ s ) ( 刀一1 + s ) 刀! 令t = m - l + s ，则e s 钳l + 一如堕掣t ( t + 1 ) ( t + n - m ) 门! ：掣”- m + s ls ( n - m + v ) ， ，z ! 智 有t 7 = ( m - 1 + s ) 7 = ( ：) ( m 1 ) 卜( j ) ，则 嘣“一一一导掣”- m + l 船( n - m + 1 , ，) ( 锄_ 1 ) h ( s ) t ，f 门! 智 、 。i = o ”一 7 一 啡毋螺2 掣”善- m + 曲l 一肌+ 1 ，) ( ：缈 聪“川和垆掣”善- m + 嘶l m m ( ，) ( 小缈 定理证毕 推论3 1 1 ：记录时间的条件分布 尸( 三( + 驴门) = 朋) = i m ln 未- m - i j s ( n - m - l , 1 ) ( 。肌，_ ，+ l 证明：有考。，考：考。相互独立，且尸( 考：1 ) ：三 江1 ，2 i 尸( ( + f ) = 以i ( ，) = 聊) = p 心，+ l + 善。+ 2 + + 善。一l = f 一1 ，考。= 1 ) = p 心。+ l + ，+ 2 + + 专。一i = f 1 ) 尸( 专。= 1 ) 1 7 ，嘎 东北大学硕士论文 第3 章记录示性符之和的分布 ! p 。+ 。+ 考。+ ：+ + 考。一。：f 一1 ) 根据定理3 1 可得 j p 心。+ l + 专。+ 2 + + 专。一l = i - 1 ) 则 ：芝”- m - i 甜( 甩一聊一l ，7 ) ( 聊+ - 仰一1 ) ! 篇、 。 州+ f ) = 刀) = 聊) = i m ! n 未- m - 1 船( n - m - l , 1 ) ( 聊，- f + l 证明完毕 推论3 1 2 ：关于一个等式的证明 i m yn 备- m