（概率论与数理统计专业论文）跳扩散模型在风险理论中的应用.pdf

摘要 集体风险理论主要用来研究保险公司的风险行为，百年来一直备受关注，是精算数 学中重要的一支。其经典模型f h l u n d b e r g 在1 9 0 3 的论文( l u n d b e r g ( 1 9 0 3 ) ) 中引进， 而后经过h a r a l dc r a m 6 r 等人的努力，使得模型在数学上的定义更为严谨，被大多数人接 受。经典模型，同时也被称为c r a m 6 r - l u n d b e r g 风险模型，将所讨论的公司模型刻画 为复合p o i s s o n 过程，在很多方面得到了应用和发展。g e r b e r ( 1 9 7 0 ) 提出的带干扰的复 合p o i s s o n 模型和a n d e r s e n ( 1 9 5 7 ) 提出的更新模型，也就是s p a r r ea n d e r s o n 模型就是其 中比较有名的成功的例子。伴随模型的发展和丰富，多种多样的理论，方法和函数被引 入风险理论的研究中。比如，更新理论，w i n e n e r - h o f f 方程，i t 5 公式，逐段决定马氏过 程还有鞅方法都是风险理论及其相关领域中比较常用的方法。g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 7 ， 1 9 9 8 a ) 在古典模型中引入g e r b e r - s h i u 罚金函数，使得在精算中最重要三个变量，破产时 间，破产赤字，破产前盈余，完美的统一在一起，之后由t s a ia n dw i l l m o t ( 2 0 0 2 ) 发展 到带干扰的模型中。 与此同时，带分红策略下的风险模型也是风险理论中备受关注的问题。当然这部分也 是由于模型本身所具有的现实意义所决定的。分红，即是指将公司的部分所得作为红利 分发给公司所有者或股份参与者。 自然，对于这些受益人而言，他们不仅关心公司目前 的经济状态，更关心的是采取怎么样的分红策略才能使自己的收益以一定的折现率折现 后尽可能的大，即所谓的最优分红问题。根据不同的客户要求，或者说在不同的分红限 制下，最好的分红策略自然是不同的。现在比较公认的好策略有两种，一种是带分红壁 的分红策略，另外一种是门槛分红策略，他们已经被证明是在相应的限制下最优的。这 两种分红策略下的风险模型将在第2 章和第3 章讨论。另外，近来一种称为多门槛的分红 策略也被引入风险模型中，并且引起了很多人的注意。多门槛策略下的马氏调节过程也 在本论文的第4 章进行了讨论。 基于上述的背景，我的博士毕业论文主要是致力于对一些分红模型中的g e r b e r - s h i u 罚 金函数以及期望折现分红函数进行研究。 第1 章主要简介了本论文的研究背景及本毕业论文的结构和内容。 第2 ，3 章主要研究所涉函数的边界可微性，证明了所讨论的函数在分红边界是一阶可 微的。第2 章中，我们讨论了在门槛分红策略下带干扰的复合p o i s s o n 模型，对这个模型 的期望折现分红函数和g e r b e r - s h i u 罚金函数进行了研究，证明了他们在分红边界的可微 i i i i v 摘要 性，并借助积分微分方程的常规处理方法，给出了他们的表达式。 在第3 章中，受a v a n z ie ta 1 ( 2 0 0 7 ) 中所讨论的模型的启发，我们研究了带壁分红策略 下，受布朗运动干扰的对偶模型，并计算了这个模型的期望折现分红函数。以证明函数 在分红边界的可微性为第一目的，然后用通常的方法对这个函数进行了求解。 在第4 章中，我们先研究了一类更新的跳扩散模型，并将结论推广到了受马氏过程调 节的跳扩散模型，其中跳的分布为相位分布。受a s m u s s e n ( 1 9 9 5 ) 和b l a d t ( 2 0 0 5 ) 的启 发，借助于随机流的分析思路，讨论了过程的首出时问题，并用矩阵的形式对破产相关 的变量进行了表示。比如破产时间，破产前盈余，破产赤字三者的联合分布。由于涉及 矩阵形式的方程，给出了所讨论方程的可解性，以及解的唯一性。之后应用前面两章的 结论，我们给出了这个模型在单门槛分红和多门槛分红策略下的期望分红函数。 关键词： g e r b e r - s h i u 罚金函数，期望折现分红函数，对偶模型，多门槛分红，相位分布，随 机流，马氏过程，矩阵方程 学科分类号：6 0 k 2 0 ，6 0 j 7 5 ；6 2 p 0 5 a b s t r a c t c o l l e c t i v er i s kt h e o r y , c o n s i d e r i n gam o d e lo ft h er i s kb u s i n e s so fa ni n s u r a n c ec o m - p a n y , h a sb e e ns t u d i e df o rm o r et h a nac e n t u r ya n da l w a y sb e e nav i t a lp a r to fa c t u a r i a l m a t h e m a t i c s i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lw a sf i r s t l yi n t r o d u c e db y l u n d b e r g ( 1 9 0 3 ) ，a n dw a sl a t e rd e v e l o p e da n dm a d em a t h e m a t i c a l l yr i g o r o u sb yh a r a l d c r a m 6 ri nc r a m 6 r ( 1 9 3 0 ) t h i sm o d e l ，a l s ok n o w na st h ec r a m 6 r - l u n d b e r gr i s km o d e l ， m o d e l st h es u r p l u so fa ni n s u r a n c eb u s i n e s sa sac o m p o u n dp o i s s o np r o c e s sa n dh a ss i n c e t h e nb e e ns t u d i e da n de x t e n d e di nv a r i o u sw a y s t h ep e r t u r b e dc o m p o u n dp o i s s o nr i s k p r o c e s so fg e r b e r ( 1 9 7 0 ) a n dt h es p a r r ea n d e r s e nr i s kp r o c e s so fa n d e r s e n ( 1 9 5 7 ) a r e t h em o s tf a m o u se x t e n s i o n s t o g e t h e rw i t ht h eg e n e r a l i z a t i o n so ft h em o d e l ，t h e r ea r e d i v e r s i f i e da p p r o a c h e sa n df u n c t i o n a l si n t r o d u c e dt os t u d yr i s kp r o c e s s r e n e w a lt h e o r y , w i e n e r h o f fe q u a t i o n ，i t 5f o r m u l a ，p i e c e w i s ed e t e r m i n i s t i cm a r k o vp r o c e s s e sa n dt h em a r t i n g a l em e t h o d sa r es o m eo ft h em o s tc o m m o n l yu s e da p p r o a c h e si nr i s kt h e o r ya n do t h e r d i s c i p l i n e s s e er o l s k ie ta 1 ( 1 9 9 9 ) a n dr e f e r e n c e st h e r e i n a n dt h r e em o s ti m p o r t a n ta c t u a r i a lv a r i a b l e s ，t h et i m eo fr u i n ，t h ed e f i c i ta tr u i n ，t h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ， a r ea l s oc a p t u r e db yi n t r o d u c t i o no fas o - c a l l e dg e r b e r - s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n i ng e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 7 ，1 9 9 8 a ) a n dt s a ia n dw i l l m o t ( 2 0 0 2 ) o nt h eo t h e rh a n d ，d u et oi t sp r a c t i c a li m p o r t a n c e ，t h ei s s u eo fd i v i d e n ds t r a t e g i e s b e c o m e sa ni n c r e a s i n g l yp o p u l a rb r a n c ho fr i s kt h e o r y d i v i d e n d sa r ep a y m e n t sm a d e t os t o c k h o l d e r sf r o maf i r m se a r n i n g s ，i ti sd e s i r a b l et of i n daf i x e dr u l ew h i c hp r o d u c e s l a r g e s tp o s s i b l ee x p e c t e ds u mo fd i s c o u n t e dd i v i d e n d ，a n dt h a ti st h eo p t i m a ld i v i d e n d p r o b l e m a m o n ga l lt h ed i v i d e n dp o l i c i e sa s s o c i a t e dw i t hd i f f e r e n tc r i t e r i o n s ，t h eb a r r i e r d i v i d e n ds t r a t e g ya n dt h et h r e s h o l dd i v i d e n ds t r a t e g ya r eo fp a r t i c u l a ri n t e r e s t ，a n di n t h el i t e r a t u r eo fc l a s s i c a lr i s km o d e l ，t h e ya r et h e b e s t u n d e rt h e i rc o r r e s p o n d i n gc o n - s t r a i n t s t h e r e f o r e ，w ec o n s i d e rr i s km o d e l sw i t ht h ep r e s e n c eo ft h e s ed i v i d e n ds t r a t e g i e s i nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3 a n dm o r er e c e n t l y , t h e r ei sa n o t h e rh o tt o p i co fs o - c a l l e d m u l t i l a y e rt h r e s h o l dd i v i d e n dm o d e lw h i c hb e c o m e sp o p u l a r ，am a r k o v - m o d u l a t e dr i s k m o d e lw i t ht h i sd i v i d e n ds t r a t e g yi ss t u d i e di nc h a p t e r4 i ia b s t r a c t o nt h eb a s i so ft h e s eb a c k g r o u n d ，t h i st h e s i si sm a i n l yd e v o t et ot h ea n a l y s i so ft h e g e r b e r - s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n ( a l s oc a l l e dg e r b e r - s h i uf u n c t i o nl a t e r ) a n dt h e e x p e c t e dd i s c o u n t e dd i v i d e n df u n c t i o no fs o m er i s km o d e l f i r s t l y , w es h o r t l yr e v i e wt h eh i s t o r yo fr i s kt h e o r y , t h em o s tc o m m o n l yu s e dm e t h o d s ， f u n c t i o n sa n dm o d e l sa r ep r e s e n t e di nt h ef i r s tc h a p t e r ，a sw e l la st h o s en o wc l a s s i c a l w o r k s a n dt h eo r g a n i z a t i o no ft h i st h e s i si sa l s og i v e ni nt h i sc h a p t e r t h e n ，t h em a i n b o d yo f t h et h e s i ss t a r t s t h en e x tt w oc h a p t e r sa r em a i n l yc o n c e r n e do nt h ep r o o fo fd i f f e r e n t i a b l eo ft h ef u n c t i o n sa tt h ed i v i d e n d b a r r i e r s i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e r e dt h ep e r t u r b e dc o m p o u n d p o i s s o nr i s km o d e lw i t hat h r e s h o l dd i v i d e n ds t r a t e g y t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dd i v i d e n d f u n c t i o na n dt h eg e r b e r s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o nw e r es t u d i e d i n s p i r e db yw a n g a n dw u ( 2 0 0 0 ) a n d w a n g ( 2 0 0 1 ) ，w ep r o v e dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，f o l l o w i n gt h ec o r n o m o nw a yo fs o l v i n gi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n de x p r e s s e dt h ef u n c t i o nc o n c e r n e di n t e r m so fs o m eo t h e rf u n c t i o n s i nc h a p t e r3 ，m o t i v a t e db yt h em o d e li na v a n z ie ta 1 ( 2 0 0 7 ) ，w ec o n s i d e r e dad u a l m o d e lw i t hp e r t u r b a t i o n so fb r o w n i a nm o t i o na n db a r r i e rd i v i d e n d t h ee x p e c t e dd i s - c o u n t e dd i v i d e n df u n c t i o nw a ss t u d i e d a n dw ea l s oa i m e da tf i n d i n gi t sb o u n d a r yc o n d i - t i o n s ，a n dt h e ne x p r e s s e di ti nt h eu s u a lw a y a n di nc h a p t e r4 ，ap e r t u r b e dr e n e w a lj u m p - d i f f u s i o nr i s km o d e li ss t u d i e d ，t h ec o n - c l u s i o n sa r ee x t e n d e dt oam a r k o v m o d u l a t e dm o d e lw i t ht h ec l a i ms i z e ss p e c i f i e dt ob ei n t h ec l a s so fp h a s et y p ed i s t r i b u t i o n s m o t i v a t e db ya s m u s s e n ( 1 9 9 5 ) a n db l a d t ( 2 0 0 5 ) ，f o l - l o w i n gt h ef l u i df l o wm e t h o d ，w es t u d i e ds o m ep a s s a g et i m eo ft h ep r o c e s s ，a n de x p r e s s e d t h er u i nr e l a t e dq u a n t i t i e si nm a t r i xf o r m ，s u c ha st h ej o i n td i s t r i b u t i o no ft h er u i nt i m e ， t h es u r p l u sb e f o r er u i na n dt h ed e f i c i ta tr u i n a n dw ea l s os u c c e s si np r o v i d i n gt h en e c - e s s a r ys t e p st h a ts h o u l db et a k e nt oe n s u r et h es o l v a b i l i t yo fm a t r i xe q u a t i o nc o n s i d e r e d ， a sw e l la st h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n a n dt h e n ，b ya p p l y i n gt h ec o n c l u s i o n sf r o m p r e v i o u sc h a p t e r s ，w ea l s os t u d i e dt h i sp r o c e s sw i t hp e r t u r b a t i o no ft h r e s h o l dd i v i d e n d a n dm u l t i l a y e rd i v i d e n ds t r a t e g y k e yw o r d sa n dp h r a s e s ： g e r b e r - s h i uf u n c t i o n ，e x p e c t e dd i s c o u n t e dd i v i d e n df u n c - t i o n ，d u a lm o d e l ，m u l t i l a y e rd i v i d e n d ，p h a s e - t y p ed i s t r i b u t i o n ，f l u i df l o w ，m a r k o v ，m a t r i x e q u a t i o n a m s2 0 0 0s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：6 0 k 2 0 ，6 0 j 7 5 ；6 2 p 0 5 l i s to ff i g u r e s 1 1 1q u a n t i t i e s ( 配u ( t - ) ，u ( t ) ) 3 3 1 1p a t hc o m p a r i s o n so fu b ( t ) ，u ( t ) a n dd ( t ) 2 7 3 4 2g r a p h i co fy ( u ，b ) 3 4 3 4 3p a t hc o m p a r i s o n so fu ( t ) a n dl ( t ) 3 4 4 1 1c o n s t r u c t i o no f ( r ( s ) ，j ( s ) ) 4 1 2d e f i n i t i o n so ft ia n dt ( i ， 4 2 3s a m p l ep a t ho fr ( 8 ) a n ds t o p p i n gt i m e s 鼠 4 2 4t h ef i r s tc r o s s i n gt i m eb e f o r er u i n 4 2 5t i m e so fr e t u r nb e f o r er u i n 4 2 6r i s km o d e lw i t hp o s i t i v el o a d i n g 4 2 7r i s km o d e lw i t hn e g a t i v el o a d i n g 4 2 8 厂( ，1 0 8 ) 4 2 9f ( o 8 ，i ) 4 3 1 0 g r a p ho fy ( u ，b ) 4 3 1 】g r a p ho f 咖( 让，b ) 4 3 1 2 z ( b ，d ) a saf u n c t i o no fd 4 3 1 3 v ( b ，d ) a saf u n c t i o no fb 4 3 1 4 三 r a p ho fv ( b ，d ) f o rb 2 ，3 0 ，d 【1 5 ，2 0 0 ，w i t hu = 1 ，2 ，2 0 ，5 0 4 3 1 昭r a p ho fv ( b ，d ) f o rb 2 ，3 0 ，d 1 ，1 5 ，w i t hu = 1 ，5 ，2 0 ，5 0 v i i 乾矩的g盯鹤骼2乃两订馋阳 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 孝j 良 砂矽年f 月吁日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：赦 钞哆年r 月矽日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d t h ec o l l e c t i v et h e o r yo fr i s ki sc a l l e dc o l l e c t i v ef o rt h er e a s o nt h a t ，g e n e r a l l ys p e a k i n g ， a l lr i s k si nap o r t f o l i oa r ec o n s i d e r e da saw h o l ei nc o n t r a s tt ot h e ”i n d i v i d u a l w a yo f l o o k i n ga tt h i n g s ，w h e no n ei si n t e r e s t e dp r i m a r i l yi nt h ei n d i v i d u a lr i s k t h ec o l l e c t i v e r i s kt h e o r yd e a l sw i t hai n s u r a n c er i s kb u s i n e s sa n di sc o n c e r n e dw i t hr a n d o mf l u c t u a t i o n s o ft h ei t ss u r p l u sp r o c e s s ，t h er i s kr e s e r v e ，o fa t li n s u r a n c ec o m p a n y t h es t a n d a r dm o d e l o fa $ 1i n s u r a n c ec o m p a n yi su s u a l l yf o r m u l a t e da sf o l l o w s ： u ( t ) = u + p ( t ) 一s ( t ) ，( 1 1 1 ) w h e r eui st h ei n i t i a ls u r p l u si n v e s t e di nt h em o d e l ，s ( t ) i sc a l l e dt h ea c c u m u l a t e dc l a i m p r o c e s sa n dr e f e r r e dt oa sar i s kp r o c e s s ，p ( t ) i sac o n t i n u o u sf u n c t i o nr e f e r r e dt oa s p r e m i u mp r o c e s so ft h er i s k s ( t ) i su s u a l l yb r o k e nd o w ni n t ot w op a r t s ，t h en u m b e ro f c l a i m s ， ( t ) ) ，a n dt h es i z eo fc l a i m s ， x 南】- ，s ot h ea c c u m u l a t e dc l a i m su pt ot i m etc a n b et h e ni n t e r p r e t e da st h es u ms ( ) = 磐x ko ft h ei n d i v i d u a lc l a i m s t h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，s t u d i e di nl u n d b e r g ( 1 9 0 3 ) ，i sc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ， w h e r ep ( t ) i sad e t e r m i n i s t i cf u n c t i o np ( t ) = 西，t h en u m b e ro fc l a i m su pt ot i m et 0i s a s s u m e dt ob eap o i s s o np r o c e s sw i t hap o i s s o nr a t e 入，t h ec l a i ms i z e s x k ) i sas e q u e n c eo f i n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s ，w i t hc o m m o nd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n f ( z ) ，d e n s i t yf u n c t i o n ，( z ) a n dt h u st h er i s kp r o c e s sc a nb er e w r i t e n ( t ) u ( 亡) = u + c t 一拖 七= 1 ( 1 1 2 ) i nt h ea c t u a r i a ll i t e r a t u r e ，t h ec l a s s i c a lc o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lh a sb e e ne x - t e n s i v e l ys t u d i e db ym a n ya u t h o r s ，s e ef o re x a m p l e ，g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) ，a s m u s s e n ( 2 0 0 0 ) ， g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 8 a ) ，z h o u ( 2 0 0 5 ) a n dr e f e r e n c e st h e r e i n t h e r ea r ec e r t a i n l yv a r i o u s 2 d i r e c t i o n si nw h i c ht h em o d e lo f ( 1 1 2 ) n e e d sg e n e r a l i z a t i o ni no r d e rt ob e c o m ear e a s o n - a b l yr e a l i s t i cd e s c r i p t i o no ft h ea c t u a lb e h a v i o ro far i s km o v e m e n t p e r t u r b e dc o m p o u n d p o i s s o nr i s kp r o c e s so fg e r b e r ( 1 9 7 0 ) i so n eo ft h ei n t e r e s t i n gg e n e r a l i z a t i o n sa n di sd e f i n e d a u s ： n ( t ) u ( 亡) = 乱+ c t + 盯b ( t ) 一y k ， 南= l ( 1 1 3 ) w h e r eb ( t ) i sas t a n d a r db r o w n i a nm o t i o na n di n d e p e n d e n to f ( t ) - a n d y k ) p r e - m i u m si nt h i sm o d e la r ea l l o w e dt of l u c t u a t ef r o mt i m et ot i m et oi n d i c a t et h es o u r c eo f u n c e r t a i n t yi nt h em a r k e t a sw e l la st h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，t h ep e r t u r b e dc o m p o u n d p o i s s o nr i s km o d e la r et h o s ep r o c e s s e sw i t hs t a t i o n a r ya n di n d e p e n d e n ti n c r e m e n t s s t u d y o nl 6 v yp r o c e s si sa l w a y sai m p o r t a n tp a r to fs t o c h a s t i ct h e o r y , a n dm a n yw e l l k n o wr e - s u l t sc a nb eg e tt h eu s eo f b e r t o i n ( 1 9 9 6 ) a n ds a t o ( 1 9 9 9 ) g i v e su sag o o dk n o w l e d g eo f t h el 6 v yp r o c e s s e s s e ea l s oy a n ga n dz h a n g ( 2 0 0 1 ) ，g a r r i d oa n dm o r a l e s ( 2 0 0 6 ) ，z h o u ( 2 0 0 7 b ) ，a l b r e c h e r ae ta 1 ( 2 0 0 8 b ) a n dr e f e r e n c e st h e r e i nf o rt h e i ru s ei nr i s kt h e o r y t h et r a d i t i o n a lq u e s t i o no fr u i np r o b a b i l i t y , t h ep r o b a b i l i t yt h a tt h es u r p l u sp r o c e s s i sb e l o wz e r oa ts o m et i m e i so n eo ft h ek e yq u a n t i t i e si nt h er i s kt h e o r y d e f i n et h et i m eo fr u i n ， t = i n f t 0 ，u ( t ) o ) ， t h e nf o ru ( 0 ) = u 0 ，w eh a v et h ef i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t yd e f i n e da s 矽( 让，t ) = p t f l u ( 0 ) = 叫， a n dt h ep r o b a b i l i t yo fu l t i m a t er u i nd e f i n e da 8 i ti s a l w a y s p e o p l et u r n s 妒( u ) = p i t 0 ，( 1 1 7 ) w h e r ew ( x l ，x 2 ) i san o n n e g a t i v em e a s u r a b l ef u n c t i o no n 0 ，) 【0 ，) ，d e n o t e st h e a m o u n tp a y a b l ea tr u i na n dm a yd e p e n do nt h ed e f i c i ta tr u i na n dt h es u r p l u sj u s tb e f o r e r u i n ，6i sc a l l e dt h ed i s c o u n t e dr a t et h e r e b ys p e c i f y i n gu ( ，) ，o n ec o u l dg e tt h el a p l a c e 4 t r a n s f o r mo fr u i nt i m e ，t h em a r g i n a la n dj o i n td i s t r i b u t i o no f ( t ，u ( t 一) ，i 矿( t ) 1 ) a n ds o o n f o l l o w i n gt h ei n t r o d u c t i o no fg e r b e r s h i uf u n c t i o n ，v a r i o u sa u t h o r sh a v ec o n t r i b u t e d t ot h ea n a l y s i so fr i s km o d e lw i t hm o r eg e n e r a ls e t t i n g sv i at h es t u d yo ft h i sa n a l y t i ct o o l ， f o ri n s t a n c e ，t s a ia n dw i l l m o t ( 2 0 0 2 ) e x t e n d e dt h ec o n c e p tt ot h ep e r t u r b e do n e ，c a i a n dd i c k s o n ( 2 0 0 2 ) s t u d i e dt h eg e r b e r - s h i uf u n c t i o no fas u r p l u sp r o c e s sw i t hi n t e r e s t a l b r e c h e re ta 1 ( 2 0 0 5 b ) s t u d i e dt h eg e r b e r s h i uf u n c t i o nf o rac l a s s i c a lr i s km o d e lw i t ht h e p r e s e n c eo fl i n e a rd i v i d e n ds t r a t e g y m o r a l e s ( 2 0 0 7 ) s t u d i e dt h eg e r b e r - s h i uf u n c t i o nf o r ap e r t u r b e dr i s kp r o c e s sd r i v e nb yas u b o r d i n a t o r w i l l m o t ( 2 0 0 7 ) e x a m i n e st h eg e n e r a l s p a r r ea n d e r s e nr i s km o d e lw i t ha r b i t r a r yi n t e r a r r i v a lt i m ea n dc l a i ms i z ed i s t r i b u t i o n s ， a n ds h o w st h a tt h eg e r b e r - s h i uf u n c t i o ns a t i s f i e sad e f e c t i v er e n e w a le q u a t i o n l a n d r i a u l t a n dw i l l m o t ( 2 0 0 8 ) c o n s i d e rs p a r r ea n d e r s e nr i s