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给定最大度的树的极小能量 摘要 图的能量被定义为图的特征根的绝对值之和确定特定图类的能量极值是化学图论的重 要课题之从能量的定义可以看出，图的能量与图的谱有着密切的关系，所以图的能量可 以通过图的谱来研究，这是前人在研究图的能量中广为使用的方法另方面，对于无圈图， 图的能量可以表示为图的匹配数的吟弹胡i 增函数，这个关系为人们研究图的能量提供了另 个有效的方法，即通过图的匹配数去确定图的能量的大小关系 设石表示绍个顶点的树的集合，皆表示仃个顶点且最大度为的树的集合在 f 2 1 】中，林文水和郭晓峰确定了，当3 a ( t ) 佗一2 ，? 中具有极大能量的树，并且 确定了，当f 旦争1 a ( t ) n 一2 时，攀中具有极小能量的树 本文进枷究了具有死个顶点，最大度为的树的极小能量问题我们首先将? 中的树转化成具有某种结构的树，即有个悬挂一星的树，转化后不改变树的最大度，但 可设津譬化后的图的能量：变小，然后通过比较图的匹配数并用数学归纳法确定了，当f 翌# 1 a ( t ) 苎竽1 一l ；f 鼍铲1 a ( t ) 错1 2 ( i = l ，2 ，3 ，) ；a ( t ) = 石n + i i l 1 。 且佗三1 ，2 ( r o o d ( i + 2 ) ) ( i = 1 ，2 ，3 ，) ；( t ) = 字1 1 ，n 三3 ( m o d4 ) 时开 中具有极小能量的树 关键词：能量；匹配数；最大度 给定最大度的树的极小能量 a b s t r a c t t h ee n e r g yo fag r a p hi sd e f i n e da st h es u mo fa b s o l u t ev a l u e so fi t s e i g e n v a l u e s t of i n dt h ee x t r e m a le n e r g i e so fac l a s so fg r a p h so rt og i v e a no r d e ro fg r a p h sw i t hr e s p e c tt oe n e r g yi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t t o p i c si nc h e m i c a lg r a p ht h e o r y f r o mt h ed e f i n i t i o no fe n e r g y , e n e r g y o fo fag r a p hc a nb eo b t a i n e df r o mt h es p e c t r u mo ft h eg r a p h o nt h e o t h e rh a n d ，f o ra c y c l i cg r a p h s ，t h ee n e r g yo fag r a p hc a nb ee x p r e s s e da sa m o n o t o m i c a l l yi n c r e a s i n gf u n c t i o no fm a t h i n gn u m b e r s o ft h eg r a p h ，w h i c h p r o v i d e su sa n o t h e rw a yo fs t u d i n ge n e r g y ，s p e c i a l l yo r d e r i n gg r a p h sw i t h r e s p e c tt oe n e r g y l e t 丁nd e n o t et h es e to ft r e e sw i t h 礼v e r t i c e s ，a n d 砰t h e s e to ft r e e s w i t h 佗v e r t i c e sa n dm a x i m u md e g r e e i n 2 1 ，w l i na n d x g u od e t e r m i n e dt h et r e e si n 砰w i t hm a x i m a l e n e r g yf o r3 佗一2 ，a n dt h et r e ei n 丁全w i t hm i n i m a le n e r g yf o r q 1 a ( t ) n 一2 i nt h i sp a p e r ，w ed e t e r m i n et h et r e e si n 碓w i t hm i n i m a le n e r g yf o r i n + 2 ( t ) in + 31 1 1 ，ln + 件i + 3l - i i ( t ) in t + + 2 i 1 2 ( i = 1 ，2 ，3 ，) ， ( t ) = f 爱1 1a n d 佗三1 卯2 ( m o d ( i + 2 ) ) ( 江1 ，2 ，3 ，) ，( t ) = 警1 1a n dn 兰3 ( m o d4 ) k e yw o r d s e n e r g y ；m a t h i n gn u m b e r ；m a x i m u md e g r e e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以 明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任 声明人( 签名) ： 年月日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门 大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和 电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 本学位论文属于 l 、保密c) ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打 ) 作者签名涨詹芬 聊鹳可 日期：年月 日 日期知7 年石罗日 给定最大度的树的极小能量 第一章引言 1 图的能量问题是与图的谱相关的问题它是从化学的研究领域中提出来的化学家们在 分析个共轭分子的性能时，发现共轭分子的总的能量( 历) 是最重要的指标之一 1 1 而日 可以用休克尔( h i i c k e l ) 分子轨道( h m o ) 方法求得当然休克尔分子轨道方法得出的点k 只 是对该分子实际能量的种估计但有趣的是，用这种日估计的精度却与更复杂的、更精 密的自洽场( s c f ) 分子轨道模型中得出的精度相同s h a a d 和h e s s 【2 】作出的结果支持这 结论，并且他们还证明了在很多情况下，日与实际的共轭分子的能量( 这可用热力学的 方法测出) 线形相关h m o 理论与图的谱理论密切相关在h m o 中，计算昂轨道的总 能量五0 可归结为计算其分子图的所有特征根的绝对值之和【1 1 这种归结对所有的交替碳 氢化合物以及大多数非碳氢化合物来说都是精确的，而对其他的化合物来说，也是个相当 好的近似估计 3 , 4 , 5 , e 1 这说明日总的来说仅与分子图的拓手懒相关，即 日= i 巧l j 其中是分子图的所有特征根如此就把分子能量的概念推广到了图的能量，亦即图的能 量被定义为其特征根的绝对值总和 1 9 4 0 年，c o u p o n 得出了关于7 r 能量的个积分表达式【7 】： 历= 考虑i n - i x 渊】如， 其中，是7 r 电子数，i = = r ，p ( g ，z ) 是分子图的特征多项式，尸，( g ，z ) 是p ( g ，z ) 的关于x 的次导函数这结果使得在二部图的情况下，能量的计算大大地简化了因为 在此情况下，上面的c o n l s o n 积分表达式可化成i s n 2 b = ；1 虑1i n 【m ( c ，) 护1 如， k = o 其中m ( g ，k ) 是g 的七一匹配数，m ( g ，0 ) = 1 研究树的能量可用于估计分子的共振能( r e ) f 3 一，其定! ；c 是个已给的共振分子的总 能量与个相应的假设参照结构的总能量的差这种共振能可以帮助我们理解和预测各种不 同的共振结构的芳香稳定度( 芳香、非芳香、和反芳香的) 【9 ，圳由于参照结构是种并不存 给定最大度的树的极小能量 2 在的假设结构，对于如何选择这样的机构，在某种程度匕是任意的传统的共振能被定义为 【1 1 l c r e = e 。一2 n 它是基于选择含有n 个孤立的乙烯7 r 电子能双键作为参照结构的但这共振能的 定义在很多情况下不很有效而杜瓦( d e w a r ) 提出用种类似于开链多烯( 其图结构即是 具有完美匹配的树) 的参照结构，称为杜瓦共振能( d r e ) 杜瓦共振能被证明是有价值的 w , l z i s ! 后来g u t m a n 又将开链多烯的思想加以抽象，推广为不依赖于经验参数，只依赖 于给定分子的休克尔图的拓扑结构的拓扑共振能( t r e ) 【3 1 这些都说明研究树的能量确实 有其重要的实际意义 从上面的积分表达式可以看出，树的能量是匹配树仇( g ，k ) 的单调增加函数所以虽 然我们不能完全得出日的精确值，但可以比较不同分子之间的能量的大小 g u r m a n1 1 4 1 在1 9 7 7 年首先在所有无圈图构成的集合中定义了个拟序关系芝( 即具有反身性、传递性 的关系) 即对于两个无圈图丑和乃，有 噩兰t 2 营m ( 噩，k ) 仇( 是，奄) ，k = 0 ，1 ，【詈j 若五三t 2 并且存在个j 使得m ( 噩，歹) m ( t 2 ，j ) 。则记噩 i 正 因此，我们得到 乃三t 2 兮e ( 噩) 刀( t 2 ) ， 丑 _ t 2 净e ( 正) e ( t 2 ) 此拟序还与化学中的h o s o y a 拓扑指标有关 关于这个拟序的研究，以前已经有了很多结果 t 4 - 1 7 1 在【1 4 】中，g u t m a n 给出了一 个可以分解为两条不交路的并的图类的全序关系： 毋三易u 只一2 三p 4u 只一4 三兰恳知u 毋一绌三尼知+ 1u 毋一2 七一l 三 恳七一1ub 一2 k + l 苎三忍u 蜀一3 三日u 毋一1 ，z = 4 k + ，0 ，3 给定最大度的树的极小能量 - 。一 一 1 、 j j 3 图1 ：叉n ，圪，z n ，佗= 9 在此文中，g u t m a n 还指出具有最大能量的树是条路，并且给出前面四个具有最小能量的 树： k 磊 0 利用这种方法，张福基等【钇，捌讨论了六角系统中具有最大、最小能量的图得出的结 论是t 直链在有n 个六角形的无内点六角系统中能量最小，z i g z a g 链在具有佗个六角形的 链中能量最大晏卫根等1 2 4 确定了在直径至少为d 的树中，能量最小的是石乙d ( 如图4 ) 叶鹭珍等f 2 5 】确定了含n 个顶点，至多p 个悬挂点的树中能量最小的也是正k ，n 一升1 刀一矗 - _ - - 。_ 2 1 图4 ：b ( n ，d ) 王霄霞等阮2 7 l 讨论出了图类 正；d 声慨，勘) g i 口，b 1 ，口+ b = m ) 关于匹配数的些序 关系和最大、最小元 林文水等嘲讨论了仃个顶点、最大度为的树( ? ) 中极大、极小能量问题，得到 以下结果：( 其中某些符号见图5 和图6 ) 1 当3 【詈j 冬n 一2 时，能量最大的树是s ( n ，n 一一1 ，2 一n + 1 ) ；当 2 【詈j 时，能量最大的树是y ( n ，a 一1 ，n 一2 + 1 ) 2 当詈1 n 一2 时，能量最小的树是d ( n ，一1 ，n 一一1 ) ；当孚 詈1 一l 时，能量最小的树是珏- 1 - l n 一2 一1 本学位论文用拟序的方法和数学归纳法证明了下述结论： 给定最大度的树的极小能量 1 如果死兰0 ( r o o d3 ) ，= 旦争1 1 ，则斧中能量最小的树是 l ( a 一1 ，a 一2 ，0 ，a 一1 ) ( 见图6 ) 6 2 如果( a ) 礼兰0 ( m o d 3 ) ，警1 a ( t ) e ( t ) 定理2 1 4 5 1 若e = 伽是g 的条边，则对k 1 ， m ( g ，k ) = m ( g 一让一t ，k 一1 ) + m ( g e ，k ) 定理2 1 5 1 2 v 1 设t t n ，l 7 如果f 鸶1 a ( t ) n 一2 ，则t 苎 d ( 佗，a 一1 ，佗一a 1 ) ，e ( t ) 艺e ( d ( n ，a l ，住一一1 ) ) ，等号成立当且仅当t 笺 d ( n ，a l ，佗一一1 ) 如1 果警1 a ( t ) 詈1 1 ，则t 兰砥一1 ，一1 ，n 一2 一1 ， e ( t ) 三e ( 露_ 1 一l m 一2 一1 ) ，等号成立当且仅当t 竺砭_ l 一1 ，n 一2 一1 定理2 1 6 设正“8 ，t 1 是五中的颗树( 如图8 ) ( i ) 如果8 t ，则正，t 卜瓦+ 1 ，t 一1 ； ( i i ) 如果s ，d ( s + t + 2 ，s + 1 ，t 一1 ) ， d ( s + t + 3 ，s ，t + 1 ) 三d ( s + t + 3 ，8 + 1 ，亡) 9 ( 2 ) ( 4 ) 又由式子( 1 ) ，( 2 ) 有，m ( e ，t ，七) r e ( t , + 1 ，t 一1 ，后) ，且存在个数歹使得r e ( t , 勘j ) m ( e + l ，t 一1 ，歹) ，即有乃，t 正+ l ，t 一1 ( i i ) 如果s - 9 ( s + t + 3 ，s ，t + 1 ) ， d ( s + t + 2 ，s ，t ) _ d ( s + t + 2 ，t + l ，s 一1 ) 注意到d ( s + t + 2 ，t ，s ) = d ( s + t + 2 ，s ，t ) ，d ( s + t + 3 ，s ，t + 1 ) = d ( s + t + 3 ，t + 1 ，s ) 由式子( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 有，r e ( t , ，。，七) m ( 正，t ，七) m ( 正+ l ，卜1 ) ，七，耳存在歹l ，如使得 r e ( t , 一，j 1 ) m ( 正 t ，j 1 ) ，m ( e ，t ，如) m ( t t + l ，卜l ，如) 即有互，5 i 正，t 卜互+ 1 一一1 1 2 1 设t 是斧中的颗树，n a + 2 如果t 中有个顶点t t ，有白 ) = 口) = ，且加的一1 个相邻的点是t 中的悬挂点，则在t 中由坼) u 加) 导出的星称 为个悬挂一星i t ) 称为悬挂一星的中心，钮的非悬挂相邻点缸称为悬挂a 一星的 附着点( 如图9 ) 定理2 1 7t 是瓦中的颗树，最大度至多为，且n + 1 若t 不包含悬 挂的一星，则t 可以转变成2 中的颗树r ，并且p 满足p 一 t ，p 包含一 给定最大度的树的极小能量 1 0 一l 五 图9 ：弘 个悬挂a 一星此外，如果n 2 + 1 ，则t 可以转变成斧中的颗树p ，p 满足 p t ，且r 包含两个中心不相邻的悬挂一星 证明：设r 的直径为d 因为佗a + 1 ，所以d 3 如果d = 3 ，则t 同构于d ( n ，p ，q ) ，其中p ，q a 一1 显然如果t 不包含悬挂的 一星，则通过p 一变化，t 能转化成d ( n ，a 一1 ，n - - a 一1 ) ，其中d ( n ，一1 ，n 一一1 ) 隹撕爹卜悬挂的一星，d ( n ，a 一1 ，佗一一1 ) t 所以我们假设d 4 设p = 口l v 2 抛是j f l 的条最长路，p 4 噩，t 2 是t v 2 v s 的两个分支， 抛，v s 分别包含在正，t 2 中 设a = 【口ld ( v 2 ，口) = 2 ，口y ( 五) ) 则a 中的每个点是t 中的悬点，否则在t 有 条路的长度大于d ，。矛盾 如果i a i a 一1 ，对坼( a ) 中的点经过一系列p 一变换，t 能转化成树p ，其 中p 包含个悬挂一星，t t 如果i a i a 一2 ，对n t ( a ) 中的点经过一系列p 一变换，t 能转化成树正，t ( 如图 8 ) ，瓦，t - t a 一1 ，。+ t a + i = t + 如果s + t a 一2 ，对边移1 睨进行e g t 变化，正- t 变化成t t ，由e g t 变化知； r m a x d r ( 口1 ) ，而( 忱) ) 给定最大度的树的极小能量 1 1 所以上面过程经过有限步后能够终止则t 能够转化成斧中的颗树p ，并且p p 包含僦一星，p t 现在我们设t ? ，且t 中有且仅有个悬挂一星，其中心为t t ，附着点为t ， 佗2 a + 1 我们现将t 转化成树t 。，使得t + 包含电凸与w 不相邻的另外个悬挂 一星 设砰，巧，霉是t u 中不包含w 的分支，佻y ( z ) 是与牡相邻的点， i = 1 ，2 ，t 如果存在个巧，y ( 巧) a 我们考虑从点心到巧中的点的最长路与上面相 似的讨论方法，我们能将t 转化成? 中的树p ，且p 中包含另外个悬挂一星， 其中心在z 中 如果y ( 巧) a 一1 ，歹= 1 ，2 ，t ，则每个写转化成中心为嘶的星图，变化 后t 转化成r 然后我们利用p 一变化，r 能变化成树p ，r 包含中心与即不相邻 的另外个悬挂一星 定理2 1 7 证毕 口 给定最大度的树的极小能量 2 2 主要结果及其证明 定理2 2 1 设t 砰， ( i ) 如果n 兰o ( m o c t 3 ) ，( t ) = 孚1 1 ，则t 三l ( a - 1 ，a - - 2 ，0 ，一1 ) e ( t ) e ( l ( a l ，一2 ，0 ，一1 ；0 ) ) ，等号成立当且仅当t 型三( 一1 ，a 一2 ，o ，一1 ) ( i i ) 如果( a ) 佗兰o ( m o d 3 ) ，哮1 ( t ) - 砥_ 1 - 3 o ，砥- l t ，l 三弦- 1 , _ 2 ，o ，等号成立 当且便当珏_ l t | 竺殛1 - 2 o ， 则l ( a 一1 ，a 一2 ，s ，t ) 卜l ( a 一1 ，a 一3 ，0 ，a 一1 ) ( i i i ) y ( 霉) i a 一1 ，将每个巧收缩成以哟为电b 的星图再由p 一变化，将 而转化成t i l ，一1 t 。，其中s ，t 1 由p 一变化知，t i - 1 , 一1 加5 ，等号成立当且 仅当磁- - 1 , 一1 加竺蜀 由定理2 1 4 有，对k 1 ， m ( t i 一1 ，一l ，抽，k ) = ( a 一1 ) m ( 弦一1 t ，。，k 一1 ) + m ( 砥一1 ，印+ 1 ，k ) m ( l ( a 一1 ，a 一3 ，0 ，a 1 ) ，k ) = ( a 一1 ) 仇( 砥一1 ，一3 o ，k 一1 ) + m ( 砥- 1 , 2 ，o ，k ) 给定最大度的树的极小能量 由s ，l ，定理2 1 6 知，砥一1 t ，。 - 砥一l ，一3 ，o ，砥一 。+ l 卜弦一l ，一2 ，0 所以弦一l 。一l 。t ，。 - l ( a 一1 ，一3 ，0 ，a 一1 ) 则蜀 - l ( z x 一1 ，一3 ，o ，一1 ) 综合( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 我们有当t o 砥_ 1 ，- l 一2 时，t o 兰l ( a 一1 ，一3 ，0 ，一1 ) ， 等号成立当且仅当t o 垡l ( a 一1 ，一3 ，0 ，a 1 ) 对丑。i v ( t 1 ) i = 3 a ，且a ( t 1 ) = a = r 墨垒3 丝1 t 一1 = r 篮型3 世1 一1 ，由定理2 2 1 有，丑三l ( a 一1 ，a 一2 ，0 ，一1 ) ，等号成立当且【仅当t 1 垡l ( a 一1 ，一2 ，o ，a 一1 ) 由定理2 1 4 有，对k 1 。m ( t ，k ) = ( a 一1 ) m ( t o ，k 一1 ) + m ( 噩，k ) ， m ( l ( a 一1 ，( a 一3 ，一1 ) ，0 ，a 一1 ) ，k ) = ( a 一1 ) m ( l ( a l ，一3 ，o ，a 一1 ) ，k 一1 ) + m ( l ( a 一1 ，a 一2 ，0 ，a 一1 ) ，七) 所以m ( lk ) m c l ( a 一1 ，( a 一3 ，一1 ) ，0 ，a 1 ) ，k ) ，则t 三l ( 一1 ，( 一 3 ，a 一1 ) ，0 ，a 一1 ) ，等号成立当且叙当t 兰l ( a 一1 ，( 一3 ，a 1 ) ，0 ，a 一1 ) 定理2 2 5 证明完毕 口 给定最大度的树的极小能量 参考文献 【1 1a n t eg r a o v a c ，i g u t m a na n dn e n a dt r i n a j s t i d ，l e c u t r en o t e si nc h e m i s t r y ：t o p l o g i - c a la p p r o a c ht ot h ec h e m i s t r yo fc o n j u g a t e dm o l e c u l e s m s p r i n g e r v e tl a g ( b e r l i n ) ， 1 9 9 7 ：4 8 【2 ls c h a a d ，l j a n db a h e s s ，j r ，j a m j c h e m s o c ，1 9 7 2 ，9 4 ：3 0 - 6 8 f 3 】i g u t m a n ，m i l o r a dm i l u na n d n e n a dt r i n a j i s t i d ，n o n p a r a m e t r i cr e s o n a n c ee n e r g i e s o fa r b i t r a r yc o n j u g a t e ds y s t e m s j j o u r n a lo fa m e r i c a nc h e m i c a ls o c i t y , 9 9 ：6 ， m a r c h1 6 ，1 9 9 7 ：1 6 9 2 1 7 0 4 【4 】i g u t m a na n dn t r i n a j i s t i d j t o p c u r r c h e m ，4 2 ，4 9 ( 1 9 7 3 ) ；c r o a t c h e m a c t a ，4 7 ，5 0 7 ( 1 9 7 5 ) 5 】h g i i n t h a r da n dh p r i m a s j h e l v c h i m a c t a ，1 9 5 6 ，3 9 ：1 6 4 5 【6 】6a g r a o v n c ，i g u t m a n ，n t r i n a j s t i da n dt z i v k o v i d j t h e o r c h i n a c t a ， 2 6 ，6 7 ( 1 9 7 2 ) 【7 jc a c o u l s o n ，p r o c j c a m b r a i d g ep h i l e s s o c ，1 9 4 0 ，3 6 ：2 1 0 【8 】i g u t m a n ，a c y c l i cc o n j u g a t e dm o l e c u l e s ，t r e e sa n dt h e i re n e r g i e s j j m a t h em a t i c a l c h e m i s t r y , 1 9 8 7 ，h1 2 3 - 1 4 3 【9 】l s a l e m ，t h em o l e c u l a ro r b i t a lt h e o r yo fc o n j u g a t e ds y s t e m s m w a b e n j a m i n ， n e wy o r k ，n y ，1 9 6 6 ，c h a p t e r 3 【l o jm j s d e w a r ，t h em o l e c u l a ro r b i t a lt h e o r yo fo r g a n i cc h e m i s t r y m m c g r a w - h i l l ，n e wy o r k ，n y ，1 9 6 9 ，c h a p t e rv a n di x 【1 1 】a s t r e i t w i e s e rj r ，m o l e c u l a ro r b i t a lt h e o r yf o ro r g a n i cc h e n i s t s m w i l e y , n e w y o r k ，n y ，1 9 6 1 ：2 3 9 给定最大度的树的极小能量 【1 2 】b a h e s sj r a n dl j s 妇d mj o r g c h e m ，1 9 7 2 ，3 7 ：4 1 7 9 【1 3 li g u t m a n ，m m i l u na n dn t r i n a j s t i 6 j c h e m p h y s l e t t ，1 9 9 3 ，2 3 ：2 8 4 【1 4 】i g u t m a n ，a c y c l i cs y s t e m sw i t he x t r e m a lh i i c k e l7 r e l e c t r o ne n e r g y m t h e o r e t c h i m ，a c t a ( b e r l i n ) ，1 9 7 7 ，4 5 ：7 9 8 7 【1 5 】i g u t m a na n df u j iz h a n g ，o nt h eo r d e r i n go fg r a p h sw i t hr e s p e c tt ot h e km a t h i n g n u m b e r s j d i s c r e t ea p p l i e dm a t h e m a t i c s ( n o r t h - h o l l a n d ) ，1 9 8 6 ，1 5 ：2 5 - 3 3 【1 6 】i g u t m a na n df u j iz h a n g ，o nt h eq u a s i o r d e r i n go fb i p a r t i t eg r a p h s j p u b l i c a t i o n s d el i n s t i t u tm a t h d m a t i q u e ，n o u v e u es 6 r i e ，t o m e4 0 ，1 9 8 6 ，5 4 ：1 1 1 5 【1 7 】a t b a l a b a ae d ，c h e m i c a la p p l i c a t i o n so fg r a p ht h e o r y m a c a d e m i cp r e s s ，l o n - d o n ，1 9 7 6 ，3 【i s f u j iz h a n g ，h u a i e nl i ，o nt h ea c y c l i cc o n j u g a t e dm o l e c u l e sw i t hm i n m a le n e r g i e s ， 【j 】d i s c r e t ea p p l m a t h ，1 9 9 9 ，9 2 ：7 1 8 4 【1 9 】f u j iz h a n g ，h u a i e nl i ，o nt h em a x i m a le n e r g yo r d e r i n go fa c y c l i cc o n j u g a t e dm o l e - c u i s j d i s c r e t em a t h e m a t i c sa n dt h e o r e t i c a lc o m p u t e rs c i e n c e ，2 0 0 0 ，5 1 ：3 8 5 - 3 9 2 【2 0 】h u a i e nl i ，o nm i n i m a le n e r g yo r d e r i n go fa c y c l i cc o n j u g a t e dm o l e c l u l e j j m a t h c h e m ，1 9 9 9 ，2 5 ：1 4 6 - 1 6 9 【21 】f u j iz h a n g ，z i m a ol i ，l u s h e n gw a n g ，h e x a g o n a lc h a i n sw i t hm i n i m a lt o t a l 俨 e n e r g y j