（概率论与数理统计专业论文）保费随机收取的几类风险模型的研究.pdf

摘要金融风险理论是当前精算界与数学界热门的研究方向，风险理论是近代应用数学的一个苹要分支，而破产理论则是风险理论的核心阿容。本文以古典风险模型为基础构造了三类相关的风险模型，并对其进行了深入的研究，得到了与破产概率相关的表达式或性质。本文主要由五部分组成：第一章简单介绍了风险理论的相关知识如来源、国内外研究现状、主要成果以及研究意义，并介绍了破产理论主要研究方法，其中重点阐述的是有关古典经典风险模型的i 、u j 题。第二章主要介绍了b r o w n 运动、鞅、矩母函数与拉普拉斯变换、随机和、泊松过程等基本概念和相关性质，这些知识构成了本文的理论基础。第三章首先研究了带干扰且保费随机收取的双p o i s s o n 风险模型，利用鞅方法得到模型的l u n d b e r g 不等式及其最终破产概率的一般表达式，并将该模型推广为广义双p o i s s o n 风险模型，得到了类似的性质和结论。第四章研究了另一种风险模型：初始资本受资金利率和通货膨胀利率影响下保费随机收取的双p o i s s o n 风险模型，类似第三章利用鞅方法得剑了最终破产概率的上界及其一般表达式。第五章给出了双二项风险模型，首先介绍了带干扰的双二项风险模型并将其推广到保费随机收取的双二项风险模型，研究了这两种模型的最终破产概率。关键词破产概率，鞅方法，l u n d b e r g 不等式，双二项风险模型，双p o i s s o n 风险模型a bs t r a c tf i n a n c i a lr i s k st h e o r yi st h ep o p u l a rs t u d yd i r e c t i o ni nc u r r e n tf i n a n c i a lm a t h e m a t i c sa n dt h ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c so fi n s u r a n c e r i s kt h e o r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e ma p p l i e dm a t h e m a t i c s ，w h i l ei t sc o r ei sr u i nt h e o r y i nt h i sp a p e r , b a s e do nc l a s s i c a lr i s km o d e l ，w ec o n s t r u c ta n dr e s e a r c ht h r e ek i n d so fr i s km o d e l sw i t hd e p e n d e n c e f i n a l l yw eo b t a i ns o m ee x p r e s s i o n so rc h a r a c t e r sr e l a t e dt or u i np r o b a b ili t y t h i sp a p e ri sm a d eo ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w es i m p l yi n t r o d u c es o m ek n o w l e d g eo fr i s kt h e o r y ,s u c ha si t ss o u r c e ，d o m e s t i cp r e s e n tc o n d i t i o n s ，m a i nr e s u l t s ，s i g n if i c a n c eo fr e s e a r c h ，a sw e l la st h em a i nr e s e a r c hm e t h o do fb a n k r u p tt h e o r y e s p e c i a ll yw ep a ym o r ea t t e n t i o nt oc l a s s i c a lr i s km o d e l i nc h a p t e rt w o ，w eo u t l i n ek n o w l e d g ea b o u tb r o w nm o t i o n ，m a r t i n g a l e ，m o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o na n dl a p l a c et r a n s f o r m a t i o n ，s t o c h a s t i cs u m ，p o i s s o np r o c e s sa n ds oo n s u c hk n o w l e d g ec o n s t i t u t e sat h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h i sa r t i c l e i nc h a p t e rt h r e e ，w ef i r s t l ys t u d yd o u b l ep o is s o nr i s km o d e lo fp r e m i u mi n c o m ew i t hd i f f u s i o n ，a n dg e tl u n d b e r gi n e q u a l i t ya sw e l la sg e n e r a le x p r e s s i o no ft h er u i np r o b a b i l i t y t h e nw ee x t e n dt h em o d e lt og e n e r a l i z e dd o u b l ep o i s s o nm o d e l ，a n dg e ts i m i l a rr e s u l t s i nc h a p t e rf o u r ，w ei n t r o d u c et h ed o u b l ep o i s s o nr i s km o d e lo fp r e m i u mi n c o m e ，i nw h i c hi n i t i a lc a p i t a li sa f f e c t e db yi n t e r e s tr a t ea n di n f l a t a b l er a t e s i m i l a rt oc h a p t e rt h r e e ，w ea l s oo b t a i nu p p e rb o n d sa n dg e n e r a le x p r e s s i o no f t h er u i np r o b a b i l i t yb ym a r t i n g a l em e t h o d s i nc h a p t e rf i v e ，w ef i r s t l yg i v et h ed o u b l eb i n o m i a lr i s km o d e lw i t hd i f f u s i o n ，t h e ne x t e n di tt od o u b l eb i n o m i a lr i s km o d e lo fp r e m i u mi n c o m e ，a n ds t u d yt h er u i np r o b a b i l i t yo ft h et w om o d e l s k e yw o r d sr u i np r o b a b i l i t y , m a r t i n g a l em e t h o d ，l u n d b e r gi n e q u a l i t y , d o u b l eb i n o m i a lr i s km o d e l ，d o u b l ep o i s s o nr i s km o d e li i硕十学位论文第一章绪论1 1 风险理论的背景第一章绪论弟一早珀了匕无风险就无保险，风险是保险产生和发展的基础。关于风险，学术界可谓见仁见智，至今没有统一的定义。常见的几种关于风险的观点包括：风险足不幸事件发生的可能性；风险是危险的集合体；风险具有不可预测的趋势，是实际结果与预测结果的可能差异：风险是损失的不确定性；风险是对特定情况下关于未来结果的主观疑虑。基于保险的性质，目f j 仃我国保险业界关于风险的定义大多倾向于“损失的不确定”。该定义至少揭示了两层含义：一是风险的结果是可能的损失；二是不确定性是风险的核心。金融风险理论是当前精算界与数学界热门的研究方向，风险理论是近代应用数学的一个重要分支，而破产理论则是风险理论的核心内容。风险理论主要应用于金融、保险、证券投资以及风险管理等方面，它借助概率沦与随机过程来构造数学模型描述各种风险业务。风险理论主要从定量的角度研究保险公司经营的安全性保险公司最终破产或短期内破产的概率有多大。因此破产理论一直是风险理论中十分重要的研究课题。破产理论的研究溯源于瑞典精算师f 1 i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文 1 ，至今已有一百多年的历史。风险理论中破产理论的研究既有其实际的应用背景，也有其概率论上的兴趣。事实上，类最重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，f 是l u n d b e r g 首次在这篇论文中提出的。不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，它的严格化是以h a r l dc r a m e r ( 1 9 3 0 ，1 9 4 5 ，1 9 5 5 ) 2 ，3 ，4 为首的瑞典学派完成的，是c r a m e r 将l u n d b e r g的工作奠立在坚实的数学基础之上，与此同时，c r a m e r 也发展了严格的随机过程理论。现已公认，l u n d b e r g 与c r a m e r 的工作为经典破产理论奠定了坚实的基础。g e r b e r 是c r a m e r 之后，当代研究破产理论的国际领先学者。随着随机过程，随机点过程等理论的发展，g e r b e r 5 ，6 r a n d e ll 6 以及a s m u s s e n 7 3 等人系统地论述了风险理论的思想。随后，波兰的t o m a s zr o l s k i 8 等人在其著作中对这一理论进行总结推广和完善。风险理论的研究由此进入了一个相对成熟的阶段。在风险理论中，古典风险模型是研究历史较长、理论最为完善的风险模型，也是最简单的风险模型。首先介绍一下古典风险模型：硕十学位论文第一章绪论定义1 i 1 古典风险模型【5 l 保险公司在，时刻的盈余由下式给出；n l f )u ( ，) = u + e l - x k ，f 0其中“为初始资本，c 为保险公司单位时间内收取的保费，即保费率，墨( k 1 ) 表示保险公司第k 次的理赔额，( ，) 则表示到时刻，为止 - i 一- j ：i l c f - 总次数。上述模型的第一个基本假定为独立性假定：假定1 ( 独立性假定)设 也；七1 是恒诈的、独立同分布的随机变量序列，记f ( x ) = p ( x i x )觇0 ，= e 【五】= f 1 - f ( x ) l a x ； ( ，) ；，0 ) 是以免( 兄 o ) 为参数的p o i s s o n 过程； 鼍；尼1 ) 与 ( ，) ；，o 相互独立。盈余过程 u ( ，) ；，o 的一条样本轨道示于图1 一l ：以下恒记j扰 ；五瓦五瓦图1 - 1n ( t )s ( ，) = 五v t o ，k = l2硕十学位论文第一章绪论它表示到时刻，为止发生的理赔总金额。由模型的独立性假定知e 【s ( ，) 】= e 【( ，) j e 【五l = i 为确保保险公司稳定经营，通常要求c t e 【s ( ，) 】= ( c 一五) ， 0 ；，0即c 舡为此，需要下述安全负载假定：假定2 ( 相对安全负载假定)设c = ( 1 + p ) 础其中秒 0 ，则称秒为相对安全负载。由p o i s s o n 过程具有齐次独立增量性和模型的独立性假定知， c t s ( f ) ；，0 为齐次独立增量过程，这样，由强人数定律得l i mu ( ，) = - t - o o ，口s 不过，这并不排除在某一瞬问盈余过程有可能取负值，这时称保险公司“破产”。以下恒记丁为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时刻，即令t = i n f t ；u ( t ) o ) ，i n f = l u n d b e r g 和c r a m e r 研究的是保险公司的最终破产概率：v ( u ) = p ( t o ou ( o ) = “) ，“0以下简称甲( 甜) 为破产概率。显然，破产概率可以作为评价保险公司偿付能力的一个数量指标。l u n d b e r g - c r a m e r 的结果可直观的表述为：当初始准备金“充分大，保险公司在经营“小索赔隋形的保险业务时，破产是不易发生的。现给出“小索赔”的确切含义，这由假定3 给出：假定3 ( 调节系数存在唯一性假定)首先，要求个体索赔额的矩母函数虬( ，) = e 】= f e d f ( x ) = 1 + ，f e r x 【1 - ，( x ) k( 1 1 )至少在包含原点的某个邻域内存在；其次，要求下述方程肘，( 厂) ：l + - - 。r( 卜2 )。兄具有正解。注基于m x ( r ) 在其收敛域内是严格意义下的递增凸函数，故方程( 卜2 ) 若有正根，必是唯一的，以下恒记为r ( 如图卜2 ) ，并称其为调节系数。由( 1 - 1 ) ( 1 - 2 ) 两式知，调节系数r 满足下述等式：硕+ 学位论文第一章绪论jim x ( ，)尸五一r图1 - 2詈j c o p m 【1 卅x ) k = l ( i - 3 )注意到詈肛m ，k = 争南 因此，非负函数詈【1 一f ( x ) 】，x o 不是一个概率密度函数，但若令厂( x ) = p m 鲁【1 一f ( x ) 】，觇o由( 卜3 ) 式知f ( x ) 为一概率密度函数，这便解释了调节系数r 命名的由来。定理1 1 2 ( l u n d b e r g - c r a m e r )若假定l ，2 ，3 都成立，则有下列结论成立：( 1 ) 甲( o ) 2 而1 ；( 1 4 )( 2 ) l u n d b e r g 不等式q ( u ) e - r u , v u o( 1 5 )( 3 ) l u n d b e r g c r a m e r 近似：存在常数c ，使得甲( “) 一c e 一砌，甜_ l i m 裂：1 ( 1 - 6 )u - - o oc e 。注：初始盈余为0 时，破产概率甲( o ) 的确切解仅依赖于相对安全负载9 ，而和个体索赔额分布的具体形式无关。此外，( 1 - 5 ) ( 1 - 6 ) 两式解释了：若初始盈余很大，保险公司在经营“小索赔”情形的保险业务时，破产是不易发生的。4硕十学位论文第一章绪论证明：首先是( 卜4 ) 式和( 卜6 ) 式证明：( 更新论证技巧)设o ( u ) = 1 一甲( “) = p ( u ( 0 0 ；t 0u ( 0 ) = 掰)它表示初始盈余为“时，保险公司永不破产的概率，也称为生存概率。首先，根据首次索赔发生的时刻正和首次索赔额，的大小，对生存概率运用全概率公式，可得( 甜) = e 【( ”+ c z x ) 】= f 旯p 劫f ，“7 。( 甜+ d z 矽( z ) a t令x = “+ c t ，上式变为o ( u ) = “p j c r 吣一z 矽( z ) a x这表明o ( u ) 是可微的。在上式两端对“求导，可得( “) ：a - - o ( u ) 一兰 o ( u z ) 卵( z )cc ”上式两端从0 到，积分，可得嘶) - 0 ( 0 ) = 芸f 胁+ 兰cfr 卿一捌1 州纠幽化简整理得因l i m ( “) = 1 ，h - - - ) - 0 0于是有0 ( 0 = 唧) + 芸f 嘶叫【l 州z ) kcw一一则在上式两端令f 一佃，即得1 叫o ) + 兰c c o 1 川z ) k 叫o ) + 吾岬) = 1 - o = 詈= 南从而( 卜4 ) 式得证。进而唧) = l 一詈f 【l 川z ) 弘+ 兰cf 唧_ z ) 【l 川z ) 】出_ l _ 詈几l 川z ) k 一言f 【1 _ 邮_ z ) 心) 】出从而得眦) - l - 叩) _ - 五，f 1 川z ) k + 害f 即叫 1 川z ) 】出由于五- ，f 1 川z ) k = 詈= 南 -即知( 1 - 7 ) 式为瑕疵更新方程。为此在( 1 - 7 ) 式两端同乘以e 用数) 并令( 1 - 7 )( r 为调节系硕十学壁垒塞一一一一。一一一一一堑二要塑堡_ _ _ _ - _ _ - - _ _ _ _ - _ - _ - _ _ _ 一一一郇庵m 甲( ，) 州= f 【l 州z ) p ，化) 2 【1 _ 脚) 】即得么( ，) = 口( ，) + f 么，- z 矿( z ) 4 z从而由关键更新定理即知l i r a e l “u d ( f ) = l i r a 鬟肛南圯t 蜥= f 。舭2 志这表明，l _ + i m 。c w 台( 一t ，“) = 1 ，( 卜6 ) 式得证。注可进一步算得l u n d b e r g - c r a m e r 近似式中常数艮彘淇嘞= j i o 州矿1 _ 帆一然后县( 1 5 ) 的证明：( 鞅方法)l u n d b e r g 不等式的鞅方法证明足由h a n sg e r b e r 给出的。令x ( t ) = e 根u = x ( o ) e x p - rv ( t ) )其中，x ( o ) = p 靠“，r 为调节系数，v ( t ) = c t s ( t ) 。现令y ( t ) = - r v ( t ) ，0 则易知 】，( ，) ，f o ) 为具有零初值，且为齐次独立增量的随机过程，从而易得e e 7 1 = e e 制1 l 】= m 矿( 1 1 ( 一尺) = 1则 x ( f ) ，0 ) 为一正鞅。于是，由非负鞅的收敛性定理知l i m x ( t ) = x ( ) 口j 现设丁为破产时刻，因为对任意取定的，t a t 为有界停时，故由可选抽样定理即知e t x ( t a t ) = 研x ( o ) 】= p 抽利用全期望公式，由上式推知：e = 研x ( 丁 f ) i 丁 州t t ) ( 1 8 )= e 【x ( 丁) lt t l p ( t f )注意到，当丁 ，时，u ( t ) 0 ，从而x ( t 、= e - 删1这样，在( 卜8 ) 式两端令fj ，由单调收敛定理与l e b e s g u e 控制收敛定理，即得p 一砌= e x ( t ) it o o p ( t o o ) + e x ( o o ) lt = c o 】p ( 丁= o o )6硕十学位论文第一章绪论又因i i m u ( t ) = + 0 0 ，日s 故知x ( ) = o ，口j 从而有e 一肋= e t x ( t ) it 】p ( 丁 )由此知帅) = 矿筛丽又u ( t ) 1 ，由上式即知w ( u ) e - r u , v u 0从而l u n d b e r g 不等式( 卜5 ) 式得证。注：在破产理论中研究方法主要有两种，即鞅方法和更新论证技巧，这两种方法已成为研究经典破产论的主要数学工具，l u n d b e r g c r a m e r 定理的证明正是用了这两种方法。1 2 风险理论的研究现状及主要结果按照总索赔的方式划分，风险模型可以分为短期个体风险模型、短期聚合风险模型、长期聚合风险模型三种：按照对保费的收取方式划分，风险模型可以分为连续模型和离散模型两种。一般主要考虑后一种划分方式。连续模型采取连续收费标准，即以时问为连续变化的量连续收取保费：离散模型采用离散收费的原则，即以一定时问长度为收费的单位区间，在每一个单位区问只收取一次固定的保费。讨论的最多的连续经典风险模型是复合p o i s s o n 风险模型，又称为古典j x l 险模型：讨论的最多的离散经典风险模型是复合二项风险模型。目前保险风险理论的研究基本上是对经典风险模型的改造和推广，使得模型更贴近于实际，结果更具有可操作性。作为极具针对性的应用学科，风险理论除了追求模型及结果的一般化以外，它更重视模型假设的合理性与结果的可操作性，而后者更造就了风险理论研究内容的丰富多彩。古典风险模型是研究历史最长并且理论最为完美的风险模型，也是最简单的风险模型。它的严格表述如下：令( q ，f ，p ) 是一个完备的概率空间，模型中的所有的随机变量和随机过程均定义在这样一个概率空间上( 1 ) 过程n = ( f ) ，t 0 ) 是一个强度为旯的p o i s s o n 过程：( 2 ) z = z 。：i = 1 , 2 ，) 是独立同分布的非负随机变量系列，分布函数为f ( z ) ，且7硕十学位论文第一章绪论f ( 0 ) = 0 ，期望为p ：( 3 ) n = ( f ) ， o ) 与z = z ，：i = 1 , 2 ， 相互独立：令：n i t )联f ) = “+ 刀一e z ，= ln ( t )s ( ，) = c t - z ，- i其中，甜0 是初始准备金，c 0 是常数，表示单位时间的保费收入，( ，) 表示( 0 ，】时间间隔内发生的索赔的次数，z 表示第f 次的索赔量0注：在本文中，约定z i = 0i = 0我们称 尺( ，) ，0 ) 为复合p o i s s o n j 义l 险模型， s ( ，) ，t 0 ) 为此模型的盈利过程，这里的保费收入过程 c ，0 是时间t ，的线性函数。记r ( t ) 的破产概率为：少( z ，) = p ( r ( t ) 0 )并令：厅( ，) = f e = d f ( z ) 一1假设了厶 0 ，当，个名时，有办( ，) 个o o 定义相对安全负荷p = 以材对于古典风险模型r ( t ) 的破产概率少( ”) 主要结果有：( 1 ) 若p 0 ，则卿) = 南( 2 ) 当z i j j 艮从指数分布时，吣) = 击p 赤( 3 ) 。l i m 。e r ( 甜) = 南( l u n d b e r g _ c r a m e r 逼近)“+ 。办7 ( r ) 一、。，r8硕十学位论文第一章绪论( 4 ) 少( 甜) e - 肋其中( 3 ) ( 4 ) 两式中的r 为l u n d b e r g 指数，即矗( 厂) = 的j 下解。古典风险模型除了上述主要结果外，另外还有大量文献对此进行了多方面的研究，得到了许多很好的结果，如a 1f r e d oe g i d i 0d o s r e i s ( 1 9 9 3 ，2 0 0 2 ) ，d i c k s o n ，d c m ( 1 9 9 2 ) ，h a n su g e r b e ra n de 1i a ss w s h i 试1 9 7 3 ，1 9 9 0 ，1 9 9 7 ) ，l iw e ia n dr o n gw u ( 2 0 0 2 ) ，张春生和吴荣( 2 0 0 1 ) ，等等。古典风险模型的研究为风险理论的研究奠定了基础，但它不能很好地反应保险公司的经营状况，与现实生活操作有很大的差距，因此，已有许多风险理论研究者对古典风险模型作出了更符合经营实际的推广。这些推广主要有以下几个方面：( 1 ) 古典风险模型的索赔到达过程齐次p o i s s o n 过程，推广为广义齐次p o i s s o f i 过程、非齐次p o i s s o r l 过程、c o x 过程、一般的更新过程等。( 2 ) 把古典风险模型中的保费收入常数c 推广为一个变量受马氏调制的费率，受当前资产盈余影响的费率等( 3 ) 通货膨胀率、利息率、投资收益等因素也被考虑进风险模型，如：带利率的风险模型，带干扰的风险模型。( 4 ) 把单险种的风险模型推广为双险种模型，甚至多险种风险模型。9硕卜学位沦文第二章基础知识第二章基础知识首先简单介绍本文中将要用到的基础知 叭i - i ，这些知谚 构成了本文的理论基础。2 1 布朗运动过程定义2 1 11 9 4 ( 布朗运动) 随机过程 x ( ，) ，o ) 称为布朗运动过程，若( 1 ) x ( o ) = 0 ：( 2 ) ( ，) ，0 ) 有平稳独立增量；( 3 ) 对每个， 0 ，x ( t ) 服从正态分布，均值为0 ，方差为c 2 ，( f 0 为常数) 。布朗运动( b r o w n ) 过程有时称为维纳( w i e n e r ) 过程，是应用概率论中最有用的随机过程之一。注：当c = 1 时，这过程常被称为标准布朗运动。性质2 1 2 t 9 1 l布朗运动过程 x ( ，) ，o ) 具有以下性质：( 1 ) ( 独立增量性) 对任意的0 = ，o ，l ，2 ，。( 朋2 ) ，增量工。一，置：一五，z 。一x 。相互独立，而且这些增量也与置。独立；( 2 ) ( 正态性) 对于每一s 0 为常数；( 3 ) ( 路径连续性) x ( ，) ，0 是t 的连续函数。2 2 鞅定义2 2 1p o i( 鞅)设在概率空间( q ，f ，p ) 上有一个非降的仃一代数族 g ；t t ) 及实随机过程 m ( ，) ，o ) ，称序列( 肘( n f ) 为鞅，如果满足：( 1 ) 对于任意的，0 ，m ( t ) 为e 一可测( 即m ( t ) e ) ：( 2 ) 对于任意的，0 ，e i m ( t ) l t定理2 2 4 ( d o o b 有界停时定理) 设( 肘( f ) ，f ) 是一右连续的鞅，s ，丁为停时，则有e t m ( r ) l r , = m ( t s ) ，p a s 2 3 矩母函数及拉普拉斯变换定义2 3 1 f 1 1 1 。( 矩母函数) x 的矩母函数定义为甲( ，) = e e x 】= i e “d f ( x )对甲逐次求导并计算在t = o 点的值能得到x 的各阶矩，即甲( f ) = e x e 吖】甲”( ，) = e x 2 e 吖甲”( ，) = e x ”e 吖】计算在f = 0 点的值得甲”( o ) = e x ”】，玎1 应注意我们已假定求导与积分运算可交换是合理的，通常遇到的情况都是这样的。当矩母函数存在时，它唯一地决定分布。这是十分重要的，因为这使我们能够用矩母函数刻划随机变量的概率分布。常见离散概率分布的矩母函数见表2 - 1 ：表2 1离散概率分布均值方差概率质量函数p ( x )矩母函数( ，)二项分布n p参数g p 。( i 一一”。 凡。+ ( 1 一p ) 】”n p ( 1 一一”，p ，0 p 1x = 0 ，1 ，以泊松分布兄五参数名 0p 以冬，x ：o ，1 ，2 ，e x p 2 ( e 一1 ) )x !7定义2 3 2 f 1 ( 拉普拉斯变换) 任意函数g 的拉普拉斯变换定义为：硕+ 学位论文第二章基础知识季( s ) 毒 。e - ”a g ( x ) ，倘若此积分存在u2 4 随机和没x 。，x ：，x 。，是独立同分布伪随机变量，记x ，的分布函数为fg ) g = 1 ，2 ，门) ，令x = x ，+ x ：+ + x 。，设x 的分布函数为f 。g ) ，则有r g ) = e g ) 木丘g ) 拳木e g ) 。特别地，若一，x ：，x 。具有相同的分布函数f ( ) ，则f x g ) = f ”( ) 。设n 是一只取非负整数值的随机变量，其概率分布为仇= p i n = k 】，k = 0 , 1 ，2 ，；x 。，x ：，x v 是独立同分布的随机变量序列，令s = x i + x 2 + + x ，我们约定n = 0 时，s = 0 ，且假定置与相互独立，则称s 为随机和眨】，n 为求和次数。于是有：( 1 ) e p 】- e n 】e x 】( 2 ) 附吲= v a r n ( e 【x 】) 2 + e 【】v a r x 】。证明：( 1 )设随机变量的矩母函数为研o ) ，则删o ) = p 睹p 。；七拳0因为x i ，置，x 独立同分布，所以它们有相同的矩母函数，记为m ( r ) ，m ”) = e p = i e “卵( x ) ；( 2 - 2 )设随机和s 的矩母函数为m n o ) ，鸠( r ) = e p = e e p 聒i = 吐( m ( r ) ) _ 所( 1 。g m ( ，) )( 2 - 3 )对上式两边求导，得m s ( r ) 吲0 州蛳锱，令，= 0 ，则m ；( o ) = m ( o ) m ( 0 ) ，即e p 】= e n 】e x 】。( 2 )对( 2 - 2 ) 式两次求导，得1 2硕士学位论文第二章基础知识砌h 0 删雠“( 1 0 9 删盟铲令，= 0 ，肘；( o ) = 所。( 0 ) 阻( 0 ) 】2 + 胁( o ) ”( 0 ) 一阻( 0 ) 】2 ，即e bz 】- e 【2 】( e 防d 2 + 可】v a ，区】( 2 4 )又砌，陋】= e b 2 】一( e s d 2 ，由( 2 3 ) 及( 2 一1 ) ，得v a r s l = v a ，i n ( e 【x 】) 2 + e 【】w r x 】。证毕此外，随机和s 的分布函数计算如下：b g ) ：尸陋s 】：e p ( ss i j v ) 】：妻尸b s i n ：七】p 。：艺f + 。g ) p 。特别地，当求和次数服从参数为五的p o i s s o n 分布时，有( 1 ) e b 】= 五e 防】，b 】：加k2 j ；( 2 ) b ( x ) = f 蚶g ) 告且( 2 5 )( 2 4 ) 式便是著名的复合p o is s o n 分布。2 5p o i s s o n 过程定义2 5 1i n 。( 计数过程) 对于随机过程 ( 吐r 0 ) ，n ( t ) 表示到时刻，为止已发生的“事件”的总数，如果满足( i )n ( t 1 0 ：( i i )( ，) 是整数值；( iii )若s t ，则( j ) n ( t ) ：( i v )当s 0 ，如果( i )( 0 ) = 0 ；( i i )过程有独立增量；( i i i )在任一长度为，的区间中事件的个数服从均值为办的泊松分布。即对一切s , t o ，p n ( t + s ) 一( j ) ：，z ) ：p m 塑竽，力：o ，l ，定理2 5 3 下列一组条件是有限值计数过程( o ) ，0 ) 为泊松过程的充要条件：硕十学位论文第二章基础知识( 1 )n ( 0 ) = 0 ；( 2 ) 过程有平稳与独立增量；( 3 ) p j v ( 办) z1 ) = 砌+ d ( 厅 ：( 4 ) p ( ) 2 ) = d ( 办) 性质2 5 4 l p o is s o n 过程 ( f ) ，f 0 ) 在任意时刻f ( f 0 ) 不可能有跃度超过l 的跳跃。即对应的点过程没有重点。可用如下数学式表达：p n ( t ) = 0 或1 ，对每一，( o ，o o ) ) = l或p 3 t o ( o ，o o ) ，使得n ( t o ) 2 ) = 0 这里n ( t 。) 表示点过程 j 7 v ( f ) ，0 ) 在时刻t 。发。1 三的点数。定义2 5 5 t 1 。( 复合p ois s o n 过程) 称随机过程 x ( ，) ，0 ) 为复合泊松过程，若对f 0 ，它可以表示为： ，f nx ( ，) = r，= l其中 ( ，) ，0 ) 是一泊松过程， r ，f - 1 , 2 ，) ，是一族独立同分布的随机变量，且过程 ( ，) ，t 0 ) 与 r ，f 1 ) 假定是独立的。现在计算x ( t ) 的矩母函数。，( 甜) = e e x p u x ( t ) 2 e e x p ( u x ( t ) n ( t ) = 力肼( ，) = 门n = o=扫exp纵z+n+驯|(，)圳p础等n=o，2 塾e x p k + + 啪劬等( 2 - 6 )3 扣唧n 咄等( 2 _ 7 )其中式( 2 6 ) 得自 l ，i ，匕， 与( r ) 的独立性，而式( 2 7 ) 则来自诸z 的独立性。因此令y ( ”) = e g 】硕十学位论文第二章基础知识从( 2 7 ) 我们得姒) = 薹；( 材) p 劫等笋2e x p m y ( 甜) 一1 ) )对上式求导易得e x ( o 】_ 2 t e r 】及v a r i x ( t ) 】= 2 t e y 2 】定理2 5 7 t 1 3 1 若 人，( 吐r 0 ) 是广义齐次p o i s s o n 过程，则对任意s 0 ，n ( t ) 的概率母函数g 。( s ) 必形如g ，( s ) = p 州小h ，这里z o 是某一常数，g ( s ) = 只j ，是某一正数值随机变量x 三主主 的概率母函数，其中只给出过程在任在各个点发生的时刻点数是具有相同分布 只，k 1 ) 的独立随机变量。事实上我定理2 5 8 1 3 】对于如上给定了允和只的广义齐次p o i s s o n 过程m ，0 为一m ( t )复合p o is s o n 过程，rm ，= y x f ，其中_ 一，= l1 ) x ，为m 上的离散随机变量，且e ( x ，= 七) = 只：2 ) m ( t ) 是强度为五的齐次p o i s s o n 过程。令e xi = i 1性质2 5 9 e m ，= 枷证明：e m ，：g f ( s ) p = 1= 办p m ( 印) - l g ( s ) l s = 1 = 刎。= 枷硕十学位论文第二章基础知识2 6 一些常用定理及不等式定理2 6 1 1 1 4 1 ( 强大数定律) 设孝= ( 氧，受，) 为一独立同分布的随机变鼍序列，且研圳】 0 ，如 0 的p o i s s o n 过程m = m ( ，) ：，0 ) 和n = ( f ) ：t 0 ) ；( 3 ) r v ( t ) ，0 ) 是标准的布朗运动过程，口为大于0 的常数；( 4 ) 假定( ，) m ，y ，n ，x 相互独立m ( ，) ，( f )s ( f ) _ 圪一以+ 洲( f )k = lk = l则称此过程 尺( ，) ，0 ) n 5 j 为带干扰且保费随机收取的双p o i s s o n 风险模型，过1 70 一o彬+x一圪胤+”i ior令硕十学位论文第二章带干扰且保费随机收取的双p o i s s o n 模删及其推广程 s ( f ) ，t 0 为盈利过程。实际背景：( i ) 掰o 表示保险公司的初始资本；( ii ) m ( ，) 表示保险公司在( 0 ，】内收到的保费次数，服从参数为 ，的p o is s o r分布k 表示第k 次收到的保费额，期望为。；( iii ) ( ，) 表示保险公司在( o ，】内发生的索赔次数，服从参数为五f 的p o i s s o n分布x 。表示第k 次索赔量，期望为2 ；( i v ) 尺( f ) 表示保险公司在时刻f 的盈余资本，s ( f ) 表示保险公州在时刻f 的盈利。为了保证保险公司的稳定经营，通常要求【s ( ，) 】 0 ，即单位时间内保费收入大于理赔额，又目s ( ，) 】= 研圪一以+ 洲( ，) 1k = lk = l= e m ( t ) i e y , 卜e 【( ，) e x 1 = ( l 一允2 2y 0即有丑“一2 2 , u ： o ，由此定义安全负荷系数9 = 丝一l 0 ，以及破产时刻为l 2 2r ：i n f t ：r o ) o ) ，若上集空，则丁= o o 。最终破产概率为甲( “) = p t 0 令魄( r ) = r e - “奶( x ) 一l ，h 2 ( 厂) = f e r x 犯( x ) 一l ，( 假定为e ( x ) 轻尾分布) 。引理3 1 2 t 1 5 i 盈利过程 s ( ，) ，f 0 具备以下性质：( i ) 研s ( f ) 】= ( l 一名2 2 y 0 ；( i i ) 具有平稳独立增量性；( i i i ) 存在正数，使得e e 稍】 。所以g ( ，) 为凸函数，因而方程g ( ，) = 0 至多有两解，= 0 的解是半j 、l 的义掣i ，= 0 = 一丑f 媚( x ) + 五f 媚( 矿一铂“耶o ，在，= 0 处方程g ( ，) = 0 左边的导数小于右边的导数，但当，一0 0 时，左边的导数趋于，故方程g ( r ) = 0 必有一个非平凡解r ，即方程g ( ，) = 0 存在唯一正根。证毕定义3 1 5 对于盈利过程 s ( ，) ，0 ) ，定义事件流f 5 = e 5 ，r 0 ，其中e = f vf vz m 弓i 理3 1 6 m l f ( ，) f 5 ，f 。)是鞅，其中m “( ，) = 墅雩并证明：( 1 ) m 。是，5 一可测的；，棚，) i - e 【篙】2 鲤篇铲= e e x p - r u 2e x p 一r u ) o o( 3 ) 对任意0 d o证明：因为丁是f 5 一停时，选取t o t o 】p t ，o e m 。( ，oat ) i t f o 】p ( t t o = e m 。( t ) i t ，o p t r o )( 3 1 )由于在 丁 0 0 ) 的条件下，甜+ s ( t ) 0 ，故p 丁，。) l 茳赢l 无；妄；i = j 乏e 五- r 孑d 而2p 一“e e x p t g ( r ) lt t o 】e 一“s u pe 懈p 在上式两端令t o o o ，得w ( u ) e s u pe 神取r = s u p r ：g ( r ) 0 ) ，即证结论。证毕根据引理3 1 4 ，易知r 为调节系数。定理3 1 9 对于带干扰且保费随机收取的双p o i s s o n 模型 r ( o ，t 0 ，设r 为调节系数，其最终破产概率为：y m ) = 二t 一( 3 2 )一e e x p 一r r ( 丁) ) it f 。】p r t o ( 3 3 )以i a 表示集合a 的示性函数，有0 - ，。】 p t ，。 = e p 一骨州“i t ，。) e e - x r q , , ) l r ( ，。) o ) 】由于0 e - r r ( ，i e ( t o ) zo 1 且根据强大数定理町证当，o 斗0 0 时，r ( t o ) 寸o o ，p _ a s 因此由控制收敛定理，有l i r ae e 廿嘏叫丁 ，。似丁 b ) = o ，p a s ，0 _ 于是在( 3 3 ) 式两端令t 。专0 0 即得结论。3 - 2 带干扰且保费随机收取的广义双p o i s s o n 模型证毕文献 1 5 介绍了带干扰的双p o i s s o n 风险模型，文献 1 6 讨论了广义双p o i s s o n 风险模型，本节将上节讨论的模型推广为广义双p o i s s o n 风险模型，进行了研究。即把索赔过程由一般的复合p o i s s o n 过程推广到广义的复合p o i s s o n过程。下面给出该模型的数学定义及基本假设：定义3 2 1定义模型m f ，1n ( t 1r e ( t )r ( ，) = 甜+ x ，- u ( t ) + c r w ( t ) ；u ( ，) = z ，( ，) = e ；，0其中甜表示初始准备金，甜= 月( 0 ) ：m = m ( r ) ) 脚是服从参数为丑的p o i s s o n过程，m ( f ) 为( 0 ，】内收到的保费次数，x 。表示第k 次收到的保费额，期望为“，x = x 。) 捌是恒正的独立同分布的随机变量序列；u ( ，) 为( 0 ，】内的总理赔量，r为个体索赔额，y = 圪) 心是恒正的独立同分布的随机变量序列，e 为独立同分布的离散随机变量，且p ( e = 后) = 只，k = 1 , 2 ，：r e ( t ) 为强度为如齐次p o i s s o n 过程；盯为大于0 的常数，w ( t ) 是一个标准布朗运动，并且w ( t ) ，m ，x ，y ，朋( ，) ，b 相互独立。性质3 2 2 【2 3 j 。u ( t ) 具有如下性质：2 1硕： 学位论文第二章带干扰且保费随机收取的双p o i s s o n 模型及其推j( 1 ) 【，o ) ，t 0 ) 是独立增量过程；( 2 ) 对于这一个广义复合p o i s s o n 过程：u ( ，) = r ，( ，) = b n，i ，l胛l ，m “)可转化为经典复合p o i s s o n 过程，即u ( f ) 可x 为u ( o ，z z ，- l其中，z ，= 比。+ x ，+ “。+ l + + 比。+ j ：+ “，；x o = 0 z ，i = 1 , 2 ，独立同分布，且 川( ，) t 0 与 z ，) 蔷独立。( 3 )设e 【】，】= l z 2 ，v a r y = 盯；：e 【b 】= 3 ，v a r b = 仃；则e 【u o ) 】= 如2 3 ，v a r u ( t ) = 允2 t o t 3 仃；+ ；+ 2 2 盯3 2 ) ( 4 )u ( ，) 的矩母函数为m 。，( f ) = e x p 2 ：旺m r 一( r ) p - 1 1 1式中：m ，( ，) 为随机变量l ，的矩母函数。m f n定义3 。2 3 记s ( ，) = x ，- u ( t ) + c r w ( t ) ，它表示至时刻，为止的净盈利，由独i = l立性知：m f t 、e 【s o ) 】= e 【x ，一，o ) + 耐矿o ) 】= e m ( o e x l 】一e 【，o ) 】2 i t 一如2 3 ti = l为了保证保险公司的稳定经营，通常要求研s ( 明 0 ，即单位时间内保费收入大于理赔额，则有 m 一如2 ， 0 ，由此定义：相对安全负荷系数为：口：兰一l o ； 2 2 3破产时刻为；瓦= i n f t ：t o r r ( t ) 0 ；初始盈余的破产概率为：甲( 甜) = 尸 瓦 0 引理3 2 4 盈利过程 s ( ，) ，t 0 ) 是一个右连续随机过程，且具备以下性质：( 1 )e 【s ( ，) 】= ( 五l 一如2 z 3 y 0 ；( 2 ) 具有平稳独立增量；( 3 ) 存在正数，使得e e